CONTROLE IIProf. Samuel Bettoni 21/08/12

Transformada Z

A transformada Z é aplicada a sinais discretos ou sinais amostrados.

Ex: Suponha que o seguinte sinal exponencial seja amostrado

Transformada Z

Exemplo 1:

Expandindo o somatório:

Transformada Z:

Logo, a transformada Z de f(kT) édada por:

Transformada Z

Exemplo 2 – Seja o sinal amostrado y(kT):

Transformada Z:

Transformada Z de y(kT):

ou

Relação entre Plano S e Plano Z

Relação entre Plano S e Plano Z Para mostrarmos a relação entre os dois

planos, considere um sinal amostrado e*(t).

Aplicando-se a transformada de Laplace nesse sinal, obtém-se:

Relação entre Plano S e Plano Z Como o sinal e(kT) é constante dentro da

transformada, temos:

Pela propriedade da transformada de Laplace, uma função translada tem a seguinte transformada:

Assim,

(Propriedade da Transformada de Laplace)

Relação entre Plano S e Plano Z A equação anterior torna-se a

transformada de Laplace do sinal amostrado e*(t):

Define-se a variável Z como . Logo,

Relação entre Plano S e Plano Z

Relação entre Plano S e Plano Z Como a transformada Z de um sinal

discreto é a transformada de Laplace com a substituição da variável z = esT, isto implica que todos os pontos no plano S tem seu ponto correspondente no plano Z.

Um ponto qualquer no plano S é dado por:

Já no plano Z esse ponto será:

js

sTez

Tez

eeezT

TjTTj

z e

)(

Relação entre Plano S e Plano Z Eixo imaginário do Plano S:

Eixo imaginário do Plano Z:

0 , js

3600 e 1

z e

)(

zz

Tez

ezT

Tj

Círculo Unitário

Relação entre Plano S e Plano Z Semi-plano esquerdo no Plano S:

Mapeamento no Plano Z:

0 , js

Tzez

Tez

ez

T

T

Tj

e 1

z e

)(

Região dentro doCírculo Unitário

Relação entre Plano S e Plano Z Semi-plano direito do Plano S:

Mapeamento no Plano Z:

0 , js

Tzez

Tez

ez

T

T

Tj

e 1

z e

)(

Região fora doCírculo Unitário

Relação entre Plano S e Plano Z

Resolução Equações de Diferenças

Resolução Equações de Diferenças Existem 3 técnicas básicas para a

resolução de equações de diferenças:

Primeiro método: solução clássica

Segundo método: procedimento sequêncial

Terceiro método: Transformada Z

Resolução Equações de Diferenças Técnica: Procedimento Sequêncial Exemplo 1: Deseja-se encontrar m(k) a

partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1), sendo

Solução

,...7,5,3,1,0

,...6,4,2,0,1)(

k

kke

...54321)( 4321 zzzzkm

Resolução Equações de Diferenças Técnica: Transformada Z Exemplo 2: Deseja-se encontrar m(k) a

partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1).

Solução

Transformada Z da equação:

)(1

1)(

)()()()( 11

zEz

zzM

zMzzEzzEzM

Transformada Z de e(k):

)1)(1()(

2

zz

zzE

,...7,5,3,1,0

,...6,4,2,0,1)(

k

kke

Resolução Equações de Diferenças Técnica: Transformada Z Exemplo 2: Deseja-se encontrar m(k) a

partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1).

Solução

Transformada Z da equação:

12)1)(1(1

1)(

)(1

1)(

2

22

zz

z

zz

z

z

zzM

zEz

zzM

Resolução Equações de Diferenças Técnica: Transformada Z Exemplo 2: Deseja-se encontrar m(k) a

partir da equação m(k) = e(k) – e(k-1) – m(k-1).

Solução

Podemos expandir M(z) em uma série de potência, dividindo o numerador pelo denominador (Método explicado mais a frente). Assim, M(z) será descrito por: ...4321)( 321 zzzzM

Transformada Z Inversa

Transformada Z Inversa

Para que a transformada Z se torne uma ferramenta útil na solução de uma equação de diferenças, é necessário o conhecimento de técnicas para obter a transformada Z inversa.

As técnicas que utilizaremos serão: Método da Série de Potência Método da Expansão por Frações Parciais Método da Inversão Método da Convolução Discreta

Transformada Z Inversa

Método: Série de Potência

Técnica utilizada para encontrar a

transformada Z inversa de uma função E(z),

na qual a série de potência E(z) = e0 + e1 z-1

+ e2 z-2 + …, é obtida a partir de uma razão

entre o numerador e o denominador de

E(z).

Transformada Z Inversa

Método: Série de Potência Exemplo: Encontre os valores de e(k) sabendo

que E(z) é dada pela função

SoluçãoDividindo o numerador pelo denominador, encontraremos que

23)(

2

zz

zzE