Transformada de Fourier em tempo

contínuo

Capítulo 1*:

*Baseado no capítulo 4 do livro texto: “Sinais e Sistemas” de Alan V. Oppenheim, 2ª edição.

Prof. Alan Petrônio PinheiroUniversidade Federal de Uberlândia

Faculdade de Engenharia Elétrica

alanpetronio@ufu.br

Sinais e Sistemas 2• Eletricidade: informação x energia

Slide nº 2 de X

Representação da informação

• Representação informação

• Sinais

• Sistemas

• Introdução à teoria Fourier

• Teoria preliminar

• Formulação

• Fórmulas

• Exemplos sinais importantes

• Propriedades

• Linearidade

• Deslocamento tempo

• Convolução

• Multiplicação

• Dualidade

• Outras

• Tabelas

• Sist. Caracterizados por eq.

diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

visual

auditivo

elétrica

óptica

Sinais e Sistemas 2

• “Sinais são representados por uma combinação

linear de sinais básicos”

– Exponenciais complexas

• ejwt = cos(wt) +j.sin(wt)

Slide nº 3 de X

Sinais

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• Introdução à teoria Fourier

• Teoria preliminar

• Formulação

• Fórmulas

• Exemplos sinais importantes

• Propriedades

• Linearidade

• Deslocamento tempo

• Convolução

• Multiplicação

• Dualidade

• Outras

• Tabelas

• Sist. Caracterizados por eq.

diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2

Slide nº 4 de X

Sistemas

Re

pre

sen

taçã

o e

m f

req

uê

nci

a

Resposta em frequência – H(jw)Espectro entrada

(excitação)

• Representação informação

• Sinais

• Sistemas

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• Teoria preliminar

• Formulação

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• Exemplos sinais importantes

• Propriedades

• Linearidade

• Deslocamento tempo

• Convolução

• Multiplicação

• Dualidade

• Outras

• Tabelas

• Sist. Caracterizados por eq.

diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2• Fourier: série x transformada

• Série

– Só sinais periódicos

– Sinais “harmonicamente” somados

• Transformada

– Frequências infinitesimais próximas (integral).

– Sinais periódicos e aperiódicos também (classe mais ampla

de sinais, mas não a todos)

• Transformada contínua x discreta

Slide nº 5 de X

Introdução à teoria de Fourier

01

11

11

01

10

n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

memória

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• Sinais

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• Fórmulas

• Exemplos sinais importantes

• Propriedades

• Linearidade

• Deslocamento tempo

• Convolução

• Multiplicação

• Dualidade

• Outras

• Tabelas

• Sist. Caracterizados por eq.

diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2• Formulação da hipótese de Fourier

“Fourier intuiu que um sinal aperiódico pode ser visto como um

sinal periódico com período infinito”

Lembrando da série de Fourier que:

Slide nº 6 de X

T1 fixo e T=4.T1

T1 fixo e T=8.T1

T1 fixo e T=16.T1

• Representação informação

• Sinais

• Sistemas

• Introdução à teoria Fourier

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• Fórmulas

• Exemplos sinais importantes

• Propriedades

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• Deslocamento tempo

• Convolução

• Multiplicação

• Dualidade

• Outras

• Tabelas

• Sist. Caracterizados por eq.

diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2• Fórmulas:

Slide nº 7 de X

Análise – X(jw) Síntese – x(t)

Demonstração

Quando T→∞, w0→0

• Representação informação

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• Sistemas

• Introdução à teoria Fourier

• Teoria preliminar

• Formulação

• Fórmulas

• Exemplos sinais importantes

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• Linearidade

• Deslocamento tempo

• Convolução

• Multiplicação

• Dualidade

• Outras

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• Sist. Caracterizados por eq.

diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2• Observações quanto a formulação:

– A transformada tem que ter convergência

• x(t) seja integrável

• x(t) tenha número finito de máximos e mínimos em

qualquer intervalo finito

• x(t) tenha número finito de descontinuidades e elas

devem ser finitas

Slide nº 8 de X

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• Sinais

• Sistemas

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• Fórmulas

• Exemplos sinais importantes

• Propriedades

• Linearidade

• Deslocamento tempo

• Convolução

• Multiplicação

• Dualidade

• Outras

• Tabelas

• Sist. Caracterizados por eq.

diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2• Calcule a TFTC dos sinais abaixo:

Observação: estes sinais são muito recorrentes!

Slide nº 9 de X

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• Deslocamento tempo

• Convolução

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• Outras

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• Sist. Caracterizados por eq.

diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Resposta

Resposta

Sinal 1)

Sinal 2)

Sinais e Sistemas 2

Slide nº 10 de X

Sinal 3)

Resposta

• Deste exemplo podemos já tirar uma importante propriedade da TF

( )πθ

πθθ

sensinc =

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• Convolução

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• Dualidade

• Outras

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• Sist. Caracterizados por eq.

diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2• 1) Linearidade

Slide nº 11 de X

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• Deslocamento tempo

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• Dualidade

• Outras

• Tabelas

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diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2

Slide nº 12 de X

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diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

• 2) Deslocamento no tempo

Exemplo: qual a TFTC do sinal abaixo?

Sinais e Sistemas 2

Slide nº 13 de X

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diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

• 3) Convolução

Resposta impulsivaResposta em frequência

Sinais e Sistemas 2• 4) Multiplicação

Ampla aplicação quando 1 dos multiplicandos é “puro”

Slide nº 14 de X

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• Linearidade

• Deslocamento tempo

• Convolução

• Multiplicação

• Dualidade

• Outras

• Tabelas

• Sist. Caracterizados por eq.

diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

( ) ( ) ( )00

ωωπδωωπδω ++−=jP

Sinais e Sistemas 2• 5) Dualidade

Slide nº 15 de X

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• Dualidade

• Outras

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diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2

• Outras diversas:

– A) Conjugação e simetria

– B) Diferenciação e integração

Slide nº 16 de X

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• Outras

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diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2 – C) Mudança de escala no tempo

– D) Parseval

Slide nº 17 de X

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diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2

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diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2

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diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2

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• Representação informação

• Sinais

• Sistemas

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• Linearidade

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• Convolução

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• Dualidade

• Outras

• Tabelas

• Sist. Caracterizados por eq.

diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2

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• Sinais

• Sistemas

• Introdução à teoria Fourier

• Teoria preliminar

• Formulação

• Fórmulas

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• Propriedades

• Linearidade

• Deslocamento tempo

• Convolução

• Multiplicação

• Dualidade

• Outras

• Tabelas

• Sist. Caracterizados por eq.

diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

Sinais e Sistemas 2

Slide nº 22 de X

• Representação informação

• Sinais

• Sistemas

• Introdução à teoria Fourier

• Teoria preliminar

• Formulação

• Fórmulas

• Exemplos sinais importantes

• Propriedades

• Linearidade

• Deslocamento tempo

• Convolução

• Multiplicação

• Dualidade

• Outras

• Tabelas

• Sist. Caracterizados por eq.

diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo

• Sistemas no tempo regidos por equações como:

• Na frequência viram:

• Exemplo: considere o sistema LIT estável caracterizado pela

equação abaixo. Estime sua resposta em frequência e resposta ao

impulso unitário

Sistemas caracterizados por equações

diferenciais

( ) ( )

==

=M

kk

k

k

N

kk

k

kdt

txdb

dt

tyda

00

( ) ( ) ( )ωωω jXjHjY = ( )( )( )ω

ωω

jX

jYjH =

( ) ( )( )

( )( )tx

dt

tdxty

dt

tdy

dt

tyd234

2

2

+=++

Sinais e Sistemas 2

Ver seção “capítulo 1” da “lista 1” disponível no site da

disciplina.

Slide nº 23 de X

Exercícios

• Representação informação

• Sinais

• Sistemas

• Introdução à teoria Fourier

• Teoria preliminar

• Formulação

• Fórmulas

• Exemplos sinais importantes

• Propriedades

• Linearidade

• Deslocamento tempo

• Convolução

• Multiplicação

• Dualidade

• Outras

• Tabelas

• Sist. Caracterizados por eq.

diferenciais

• Exercícios

Capítulo 1:

Transf. de Fourier em

tempo contínuo