Convolução, Série de Fourier e Transformada de Fourier ... · Exemplo: Sistema integrador A relação entre uma entrada x(t) e a saída define um sistema contínuo (integrador)

Sílvia Mara da Costa Campos Victer

Concurso: Matemática da Computação

UERJ - Friburgo

Convolução,

Série de Fourier e

Transformada de Fourier contínuas

Tópicos

Sinais contínuos no tempo

Função impulso

Sistema lineares e invariantes sob translação (SLIT)

Convolução Contínua

Série de Fourier Contínua

Transformada de Fourier Contínua

Definição

Propriedades

Exemplos

Sinais contínuos

Sinais contínuos

Um sinal contínuo, denotado x(t), é uma função (real ou complexa)

cujo domínio é o conjunto dos reais ℝ.

Função impulso unitário ou delta de Dirac (fundamental

no estudo de sistemas lineares)

Propriedade de filtragem

Sinais contínuos

Propriedades da função impulso:

Integral com impulso: Exemplos:

Integral com impulso deslocado

Integral com impulso escalonado

Sistemas contínuos

Sistemas cujas entradas e saídas são funções escalares (sinais reais

ou complexos) contínuas no tempo.

Notação:

Exemplo: Sistema integrador

A relação entre uma entrada x(t) e a saída

define um sistema contínuo (integrador)

Sistemas contínuos

Definições

Linearidade: um sistema é linear se satisfaz o princípio da

superposição:

‘

Invariância no tempo: Um sistema é invariante no tempo se um

deslocamento da entrada produz igual deslocamento na saída.

Causalidade: um sistema é dito (ou não-antecipativo) quando a

saída não depende de valores futuros da entrada.

Estabilidade: a saída é estável para toda entrada limitada

Sistemas contínuos

Resposta ao impulso:

Saída do sistema quando a entrada é a função impulso e as

condições iniciais são nulas (sistema em repouso), isto é

A resposta impulso do integrador é

Convolução contínua

Convolução é a operação:

A convolução opera com duas funções ou com dois sinais, x(t) e

h(t), para gerar uma terceira função ou sinal como resultado da

operação, y(t). A interpretação para a função h(t), na

engenharia - resposta impulsiva de um sistema linear e

invariante no tempo, mas também é uma função matemática

que descreve as características intrínsecas de um sistema.

Convolução

Exemplo de operação da convolução para sinais contínuos

infinitos, onde x(t) é o sinal de entrada e h(t) é a resposta

impulsiva:

Convolução

Resultado desta convolução: Sinal contínuo infinito

x(t)

h(t)

y(t)

Exemplo de convolução

Convolução de sinal contínuo finito com sinal contínuo infinito

Exemplo de convolução

Resultado: sinal contínuo infinito

Convolução A Convolução é linear: Substituir x(t) = ax1(t) + bx2(t)

A Convolução é invariante no tempo: Substituir x(t – t0)


Propriedades:

O impulso é o elemento neutro da convolução

Comutativa

Associativa


Distributiva em relação à soma

Deslocamento no tempo:

Convolução com a degrau: integração

Convolução com a Resposta ao Impulso de

um sistema SLIT

A saída de um sistema linear e invariante no tempo é a

convolução da resposta ao impulso com a entrada, isto é

Sendo a resposta ao impulso do sistema

Prova:

Propriedade da representação da

resposta ao impulso

Conexão paralela de sistemas (propriedade distributiva)


resposta ao impulso

Conexão série de sistemas (propriedade associativa)


resposta ao impulso

Propriedade comutativa


Sistemas inversíveis e desconvolução

Série de Fourier contínua

Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

Qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequências, cada uma multiplicada por um coeficiente diferente (Série de Fourier)

Funções não periódicas (porém tendo um valor finito de área sob a curva) podem também ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos multiplicadas por uma função peso (Transformada de Fourier)

Ambas representações podem ser reconstruídas completamente por um processo inverso sem perda de informação.


Funções periódicas:

Qualquer função que satisfaça

T : constante chamada de período da função

Série de Fourier:

Decomposição de um sinal periódico de entrada em componentes

periódicas primitivas.


Encontrar o período da função

deve ser um número

racional

A função não é periódica:

pois não é um número racional


Encontrar o período da Função

Menor T

Séries de Fourier

Exemplo de uma sequência periódica:

Propriedades das Representações de Fourier

Sinais periódicos de tempo contínuo ou discreto têm uma representação por série de Fourier, dada pela soma ponderada de senóides complexas com frequências múltiplas inteiras da frequência fundamental. Desta forma, um conjunto discreto de frequências está envolvido em sua representação.

Séries de Fourier Síntese

parte DC parte par parte ímpar

T é um período de todos os sinais acima

(Série trigonométrica de Fourier para sinais reais)

Série de Fourier

Decomposição

Frequência angular fundamental

n-ésimo harmônico da função periódica

Séries de Fourier

Funções ortogonais

Para conjunto de funções ortogonais {Ф} em um intervalo

a < t < b :

Obs: A escolha de exponenciais complexas como uma base ortogonal é apropriada pois:

sinais complexos são periódicos

relativamente fáceis de manipular matematicamente

o resultado tem interpretação física significativa

Séries de Fourier

Conjunto ortogonal de funções senoidais

Série de Fourier Exemplo (onda quadrada)

-0,5

0

0,5

1

1,5

Série de Fourier

Amplitudes e ângulos de fase

Forma complexa da série de Fourier

Exponenciais complexas



Espectro de Frequência complexa

Trem de impulso

Séries de Fourier: Forma complexa:

Série de Fourier

Análise de Formas de onda periódicas:

Simetria das formas de onda:

Decomposição: Qualquer função f(t) pode ser expressa como a soma

de uma função par e uma função ímpar:

Série de Fourier

Exemplo:

Para sinais reais: espectro de magnitude – simetria par;

espectro de fase – simetria ímpar

Séries de Fourier contínua Exemplo: Trem de pulso retangular

Sinal periódico com período fundamental T = 2

Espectros de linha (de amplitude e de fase, respectivamente)

Simetria

par

Simetria

ímpar


Condições de Dirichlet:

Um Sinal periódico, tem uma série periódica se ele satisfaz as seguintes condições:

1. Ser absolutamente integrável sobre qualquer período:

2. ter apenas um número finito de máximos e mínimos em qualquer período.

3. ter apenas um número finito de descontinuidades em qualquer período.

Série de Fourier Contínua

Representação de uma onda quadrada: com apenas 5

componentes já se consegue uma boa aproximação.

Teorema de Parseval

Fenômeno de Gibbs

Transformada de Fourier

Descreve sinais periódicos e aperiódicos.

Pulso retangular e um trem de pulso





Exemplo de um sinal exponencial complexo:

b>0

( ) ( )

0 0

( ) ( )

1

bt j t

t

b j t b j t

t

X e u t e dt

e dt eb j

( ) ( )

0 0

( ) ( )

1

bt j t

t

b j t b j t

t

X e u t e dt

e dt eb j


Espectro de amplitude e de fase do sinal exponencial:


Forma polar


Se x(t) é um sinal real:

do pulso

retangular

Transformada Inversa de Fourier

Dado um sinal x(t) com transformada de Fourier

x(t) pode ser recalculado de pela transformada

Inversa de Fourier

Par de transformada


Propriedades


Propriedades


Propriedades


Propriedades


Exemplo da propriedade da escala

Pares da Transformada de Fourier

Próxima aula:

Escolher 4 pares da transformada de Fourier, provar a

fórmula e desenhar o espectro de magnitude.

Provar as fórmulas da convolução e multiplicação no tempo.

Qualquer dúvida: [email protected]

Obrigada pela atenção

mailto:[email protected]

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