Transformada de Fourier

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Trabalho de processamento de imagens sobre transformadas de fourier, com códigos, introdução e testes.

Text of Transformada de Fourier

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE COMPUTAO CURSO DE CINCIA DA COMPUTAAO DISCIPLINA: PROCESSAMENTO DE IMAGENS PROFESSOR: JOO PAULO RIBAS

Relatrio do Trabalho

Alunos: Lauro Csar Renato Gonalves Tlio Rondon de Albuquerque

Cuiab, 10 de maio de 2009.

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SumrioLista de Figuras --------------------------------------------------------------------------------Introduo --------------------------------------------------------------------------------------Resultados -------------------------------------------------------------------------------------3 5 12

Caracterizao do Problema ------------------------------------------------------------------ 11 Anlise dos Resultados ------------------------------------------------------------------------ 19 Concluso --------------------------------------------------------------------------------------- 19 Referncias Bibliogrficas -------------------------------------------------------------------- 20 Anexos ------------------------------------------------------------------------------------------- 21

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1.Lista de Figuras

Fig. 1: Utilizao de tcnicas de processamento de imagens na aproximao de imagens de satlites ---------5 Fig. 2: Ponto (pixel) f(x,y) no Plano (x,y) --------------------------------------------------------------------------------6 Fig. 3: Transformada de Fourier ------------------------------------------------------------------------------------------6 Fig. 4: Transformada Inversa de Fourier --------------------------------------------------------------------------------7 Fig. 5: Funo para Transformada Discreta de Fourier ---------------------------------------------------------------7 Fig. 6: Funo para Transformada Discreta Cosseno -----------------------------------------------------------------8 Fig. 7: Comparao entre DFT e DCT -----------------------------------------------------------------------------------8 Fig. 8: Transformada utilizando FFT -------------------------------------------------------------------------------------9 Fig. 9: Transformada utilizando separalidade --------------------------------------------------------------------------9 Fig. 10: Funo para convoluo ----------------------------------------------------------------------------------------10 Fig. 11: Teorema da convoluo -----------------------------------------------------------------------------------------10 Fig. 12: lenna256.bm ------------------------------------------------------------------------------------------------------12 Fig. 13: boa256t.bmp ------------------------------------------------------------------------------------------------------12 Fig. 14: bridge.tif -----------------------------------------------------------------------------------------------------------12 Fig. 15: cmera.tif ----------------------------------------------------------------------------------------------------------13 Fig. 16: Comparao entre os espectros obtidos na imagem lena256.bmp ----------------------------------------13 Fig. 16 (a): Espectro logartmico DFT-2D ---------------------------------------------------------------------------13 Fig. 16 (b): Espectro logartmico FFT2 ------------------------------------------------------------------------------13 Fig. 16 (c): Espectro centralizado DFT-2D --------------------------------------------------------------------------13 Fig. 16 (d): Espectro centralizado FFT2 -----------------------------------------------------------------------------13 Fig. 17: Comparao entre os espectros obtidos na imagem boa256t.bmp ----------------------------------------14 Fig. 17 (a): Espectro logartmico DFT-2D ---------------------------------------------------------------------------14 Fig. 17 (b): Espectro logartmico FFT2 ------------------------------------------------------------------------------14 Fig. 17 (c): Espectro centralizado DFT-2D --------------------------------------------------------------------------14 Fig. 17 (d): Espectro centralizado FFT2 -----------------------------------------------------------------------------14 Fig. 18: Comparao entre os espectros obtidos na imagem bridge.tif --------------------------------------------15 Fig. 18 (a): Espectro logartmico DFT-2D ---------------------------------------------------------------------------15 Fig. 18 (b): Espectro logartmico FFT2 ------------------------------------------------------------------------------15 Fig. 18 (c): Espectro centralizado DFT-2D ------------------------------------------------------------------------15

4 Fig. 18 (d): Espectro centralizado FFT2 ----------------------------------------------------------------------------15 Fig. 19: Comparao entre os espectros obtidos na imagem cmera.tif -------------------------------------------16 Fig. 19 (a): Espectro logartmico DFT-2D ---------------------------------------------------------------------------16 Fig. 19 (b): Espectro logartmico FFT2 ------------------------------------------------------------------------------16 Fig. 19 (c): Espectro centralizado DFT-2D --------------------------------------------------------------------------16 Fig. 19 (d): Espectro centralizado FFT2 -----------------------------------------------------------------------------16 Fig. 20: lenna256.bmp Transformada Discreta de Cosseno -------------------------------------------------------17 Fig. 21: boa256t.bmp Transformada Discreta de Cosseno --------------------------------------------------------17 Fig. 22: bridge.tif Transformada Discreta de Cosseno -------------------------------------------------------------17 Fig. 23: cmera.tif Transformada Discreta de Cosseno ------------------------------------------------------------17 Fig. 24: Imagens que a convoluo foi aplicada ----------------------------------------------------------------------18 Fig. 25: Resultado da convoluo ---------------------------------------------------------------------------------------18 Fig. 25 (a): Convoluo atravs da funo Conv2 do MATLAB ----------------------------------------------------18 Fig. 25 (b): Convoluo atravs do Teorema da Convoluo -------------------------------------------------------18

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2.IntroduoAtualmente o interesse na rea de processamento de imagens tem crescido muito, principalmente em aplicaes como a melhoria da qualidade de imagens e o melhor processamento dos dados das imagens, aumentando muito o seu uso em reas como programa espacial, medicina, arqueologia, fsica, astronomia, etc.

Fig. 1: Utilizao de tcnicas de processamento de imagens na aproximao de imagens de satlites

Processar uma imagem consiste em decompo-la sucessivamente com o objetivo de extrair mais facilmente a informao nela presente. Processar uma imagem, como feito pelo sistema visual humano (SVH), extremamente complexo, realizar as mesmas tarefas que o SVH, com a ajuda de mquinas, exige uma compreenso dos conhecimentos humanos. Esta caracterstica faz com que o processamento de imagens seja, atualmente, uma disciplina dependente do sistema no qual ele est associado, no existindo uma soluo nica e sufuciente para todos os problemas. Por isso ainda no existem sistemas de anlise de imagens complexos o suficiente para funcionarem em todos os casos. Quando falamos em anlise de imagens falamos do tratamento da imagem ou tambm de parametrizao nela que vrias medidas (parmetros) so utilizadas para descrever diferentes informaes dentro de uma imagem.

6 A imagem refere-se a uma funo de intensidade de luz bi-dimensional f(x,y), onde x e y so coordenadas espaciais e o valor de f em um ponto qualquer (x,y) proporcional ao brilho ou nvel de cinza da imagem naquele ponto. Uma imagem digital uma imagem f(x,y) discretizada no espao e na intensidade de brilho e pode ser considerada uma matriz, cujos elementos so chamados de pixels (Picture elements).

Fig. 2: Ponto (pixel) f(x,y) no Plano (x,y)

No processamento de imagens existem vrios problemas, e existe uma ferramenta matemtica muito usada na soluo destes problemas, a transformada de Fourier, utilizada em diversas reas da cincia e tecnologia hoje em dia, desde a simples filtragem at a utilizao na compresso de arquivos de imagem. Esta transformada uma das maneiras de realizar uma mudana de domnio espacial em espectral (onde um sinal fica caracterizado por suas componentes de freqncia). A transformada de Fourier de uma funo f(x) definida como:

Fig. 3: Transformada de Fourier

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Existe tambm a transformada inversa, que recupera a funo original e definida como:

Fig. 4: Transformada Inversa de Fourier

onde Wx a 7alcular7i angular, e i raiz de 1. A transformada de Fourier facilita a anlise da imagem, mostrando a imagem decomposta em seus componentes de freqncia, permitindo identificar os aspectos mais comuns da imagem, como, por exemplo, suas texturas e contornos. Ele representa em cada ponto a informao daquela freqncia da imagem inteira. Isso permite filtrar, eliminar ou ampliar mais facilmente uma faixa especfica de freqncia. A transformada de Fourier, utilizada em vrias reas e para vrios problema, cada utilizao possui um tipo de transformada para melhor resolver o problema, as utilizadas neste trabalho so: DFT (Transformada Discreta de Fourier) A Transformada Discreta de Fourier muito usada no estudo do espectro de sinais e determinada numericamente com o auxlio de computador digital. Possui valores x k discretos, para isso existe a verso da transformada para funes discretas.

Fig. 5: Funo para Transformada Discreta de Fourier

DCT (Transformada Discreta Cosseno) A transformada de DCT de uma imagem tem como propriedades que a informao visual mais importante concentrada em apenas alguns coeficientes da DCT.

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Na compresso os coeficientes mais significativos se acumulam no inicio da matriz dos dados, ficando o re