1 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3. Transformada Z 3.1. Definição Seja um sistema discreto LTI: x[n]y[n]h[n] Com: A saída y[n] pode ser

1

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

3. Transformada Z

3.1. Definição

Seja um sistema discreto LTI:

x[n] y[n]h[n]

Com: Complexoszznx n ,][

A saída y[n] pode ser calculada como:

2


k

kn

k

kn

k

zkhzny

zkhny

knxkhny

nhnxny

][][

][][

][][][

][*][][

3


Definindo:

k

kzkhzH ].[)(

Temos que: nzzHny )(][

k

kn zkhzny ][][

Cte complexa

Logo: zn é autofunção do sistema Discreto LTIe H(z) seu autovalor correspondente.

4


Logo, definimos Transformada Z do sinaldiscreto x[n] como:

n

nznxnxZzX ].[]}[{)(

)(][ zXnx Z

Transformada Z Unilateral:

0

].[)(n

nznxzX

Equivalente à TZ bilateral quando x[n]=0 n<0 ;

Usada p/ analisar EDCC com condições iniciais não nulas.

5


Escrevendo o número complexo z na sua forma polar:

jerz .

Temos:

n

njnj ernxerX .].[.

Logo: nj rnxFerX ].[.

Se r=1: ][nxFeX j

Transformada de Fourier

6


Logo: Transformada Z pode ser obtida a partir daTransformada de Fourier fazendo: jez

ze jnxFzX

][)(

O inverso nem sempre é verdade!!!

nrnxFnxZ ].[][

Pois:

Pode fazer com que alguns sinais se tornem convergentes

7


Analogia Contínuo Discreto

Contínuo: Transformada de Laplace:

dtetxsX st).()( js

Fazendo: js

Obtemos a Transformada de Fourier:

dtetxX tj ).()(

j s

Eixo j

Se eixo j ROC 0

dteetxsX tjt .).()(

8


z

1-1

Re{z}

Im{z}

Discreto: Transformada Z:

( ) [ ]. n

n

X z x n z

jerz .

Fazendo: jez

Obtemos a Transformada de Fourier:

n

njenxX ].[)(

Circulo Unitário

Se circulo unitário ROCr0

( ) [ ] .n j n

n

X z x n r e

9


Ex.:][][ nuanx n

0

1

0

..)(

].[)(

n

n

n

nn

n

nn

zazazX

znuazX

PG: =a.z-1 a0=1 n=

1

10

n

n aS

1

1

.1

).(11)(

za

zazX

Converge se: 1. 1 za az

10


Neste caso:

azaz

zzX

zazX

,)(

.1

01)(

1

z

1-1Re{z}

Im{z}

a

Se |a|<1 T.Fourier |a|>1 T.Fourier

11


Ex.2: ]1[][ nuanx n

1

1

1

11

11

.)(

...)(

].1[)(

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

nn

zazX

zazazazX

znuazX

PG: =a-1.z a0= a-1.z n=

1

10

n

n aS

za

zazazX

.1

).(1)(

1

11

Converge se: 1.1 za az

12


Neste caso:

azaz

zzX

zazazX

,)(

.1

01)(

11

z

1-1Re{z}

Im{z}

a

Se |a|>1 T.Fourier |a|<1 T.Fourier

13


Conclusão: Sinais diferentes podem ter a mesmaexpressão algébrica de X(z).

Logo uma Transformada Zsó é completamente definida se especificarmos:- Expressão algébrica de X(z)- Região de Convergência(ROC)

14


Qualquer sinal que pode ser representado como umsomatório de exponenciais complexas, poderá ser representado por uma Transformada Z compostade uma razão de dois polinômios.

00

11

22

11

00

11

22

11

...

...

)(

)()(

zbzbzbzbzb

zazazazaza

zD

zNzX

MM

MM

MM

NN

NN

NN

Raízes de N(z) Zeros da X(z)

Raízes de D(z) Pólos da X(z)

Nos exemplos:az

zzX

)(

Zero: z=0

Pólo: z=a

Valores que fazem X(z) igual a ZERO

Valores que fazem X(z)igual a INFINITO

15


Diagrama de pólos e zeros:

Representação gráfica no plano z dos pólos e zeros.

z

1-1Re{z}

Im{z}

a

azaz

zzX

,)(

16


Ex.3: ][3

1][

2

1][ nununx

nn

0

1

0

1

00

0

3

1

2

1)(

3

1

2

1)(

3

1

2

1)(

][3

1][

2

1)(

n

n

n

n

n

nn

n

nn

n

nnn

n

nnn

zzzX

zzzX

zzX

znunuzX

17


31

211

311

21 1

1

1

1)(

z

z

z

z

zzzX

3

1

2

1 zz

6

1612

612

31

21

121 22

)(

zz

zz

zz

zzzX

18


z

1-1Re{z}

Im{z}

1/2

z

1-1Re{z}

Im{z}

-1/3

3

1z

z

1-1Re{z}

Im{z}

1/2-1/3

1/12

3

121

1212

)(

zz

zzzX

21z

z

31z

z

2

1z

2

1z

19


Ex.4: ]1[2

1][

3

1][

nununx

nn

Usando os resultados das análises anteriores e aPropriedade de Linearidade da Transformada Z.

3

1][

3

1

31

z

z

znu Z

n

2

1]1[

2

1

21

z

z

znu Z

n

Logo:2

1

3

1:)(

21

31

zROCz

z

z

zzX

20


2

131

121

21

31

2)(

zz

zz

z

z

z

zzX

z

1-1

Re{z}

Im{z}

1/2-1/3

1/12

2

1

3

1: zROC

21


Ex.5:

outros

NnaNnunuanx

nn

,0

10,][][][

1

0

1

1

0

.)(

.].[)(

N

n

n

N

n

nn

n

n

zazX

zaznxzX

PG: a0=1 =a.z-1 n=N

1

10

n

n aS

1

1

.1

.11)(

za

zazX

N

X(z) converge se Nza 1.

Isto é: 0 zea

22


az

az

zz

azz

az

zX

za

za

za

zazX

NN

N

N

NN

NNN

1

11

1

1)(

.1

.1

.1

.11)(

Pólos da X(z):azempóloaz

zempólosNz N

0

0101

Zeros da X(z): 1...,,1,0.

0/2

Nkeazemzeros

polinômiodoraízesZerosazNkj

NN

Quando k=0: zero em z=a logo cancela com o pólo em z=a

23


Logo tem-se: N-1 pólos em z=0 N-1 zeros distribuídos uniformemente sobre um círculo de raio a

z

1-1Re{z}

Im{z}

(7)

a

p/ N=8

2k/8

ROC: Todo plano z com exceção de z=0

24


3.2. Propriedades da ROCConsiderando X(z) uma função racional em z e x[n] finito p/n finito

1) A ROC de X(z) é um anel ou disco centrado na origem (z=0)

2) A Transformada de Fourier de x[n] converge absolutamente se e somente se a ROC de X(z) inclui a circunferência unitária.

3) A ROC não contém pólos de X(z)

4) Se x[n] tem duração finita, x[n]0 p/ -<N1nN2<, a ROC é todo plano z com possíveis exceções em z=0 e z=

25


7) Se x[n] é definida à esquerda e à direita, a ROC será um anel compreendido entre 2 pólos.

8) A ROC deve ser uma região conexa.

5) Se x[n] é definida à direita, x[n]=0 p/ n<N1<, a ROC estende-se de |z|=r0 (maior pólo) até , incluindo ou não z=

6) Se x[n] é definida à esquerda, x[n]=0 p/ n>N2>, a ROC será |z|<r0 (menor pólo), incluindo ou não z=0

26


3.3. Transformada Z InversaDemonstração da fórmula de inversão.

2

2

1

...2

1][

...2

1][

.].[

].[.

].[)(

dreerXnx

deerXrnx

erXFrnx

rnxFerX

rnxFzX

njj

njjn

jn

nj

n

27


2

...2

1][ dreerXnx

njj

Mudança de variáveis:

dzerj

d

dejrdz

erz

j

j

j

.

11

..

.

Variando de 0 a 2 z varia sobre uma circunferênciade raio r. |z|=r ROC de X(z)

1[ ] ( )

2

n

r

zx n X z dz

j z

11[ ] ( )

2n

r

x n X z z dzj

Resolve-se utilizando o Teorema dos Resíduos

28


Pares de Transformadas Z][nx )(zX ROC

][n 1 ZPlanoTodo

][nu 1z

z1z

]1[ nu1z

z 1z

][ 0nn 0nz

0/

0/0

:

0

0

npz

npz

excetoZPlanoTodo

][nuan

az

z

az

]1[ nuan

az

z

az

29


][nx )(zX ROC

][. nuan n

2.

az

za

az

][.2 nuan n 3

..

az

azza

az

][.1 nuan n 22

az

z

az

][.cos 0 nun 1.cos2

cos

02

0

zz

zz 1z

][.sin 0 nun 1.cos2

sin

02

0

zz

z 1z

30


][nx )(zX ROC

][.cos 0 nunr n 2

02

0

.cos2

cos.

rzrz

rzz

rz

][.sin 0 nunr n 2

02

0

.cos2

sin..

rzrz

rz

rz

outros

Nnan

,0

10, azz

azN

NN

1 0z

31


3.3.1. Inversão por Inspeção

Consiste no uso eficiente das tabelas e propriedadesda Transformada Z

32


3.3.2. Expansão em Frações Parciais

Revisão:Dado G(v) função racional em v com grau N(v) < grau D(v)

r

i kk

i

iki

pv

AvG

vD

vNvG

1 1

)(

)(

)()(

Pode ser escrita na forma

Onde: r = número de pólosi = multiplicidade do pólo i Aik = coeficiente relativo a k-ésima parcela do pólo i

33


Onde:

i

i

i

i

pv

ik

k

iik vGpv

dv

d

kA

)(.!

1

Ex.:)22()2(

4)(

22

2

sss

ssH

Pólos: duplos em s=-2 e complexo s=-1j r=4 1=2 2=1 3=1

34


122)2()22()2(

4)(

2222

2

ss

DCs

s

B

s

A

sss

ssH

42

8

22

4

)(2!22

1

2

2

2

2

2

22

22

s

s

ss

sA

sHsds

dA

24884

842

22

4

)(2!12

1

2

234

2

2

2

2

2

2

12

12

ss

s

ssss

ss

ss

s

ds

dB

sHsds

dB

35


Pólo complexo:jIRs

B

jIRs

A

ss

DCs

''

222

)(')(')''( jIRBjIRAsBADCs No caso:

jj

jss

sA

sHjsds

dA

js

js

5.014

24

)1()2(

4'

)()1()!11(

1'

1

2

2

1

11

11

jj

jss

sB

sHjsds

dB

js

js

5.014

24

)1()2(

4'

)()1()!11(

1'

1

2

2

1

11

11

36


P/ funções com coeficientes reais: sempre B’=A’*

Logo:

}'Im{}.Im{}'Re{}.Re{2

}'Re{.2

ApApD

AC

Assim:

3)1)(5.0()1)(1(2

2)1.(2

D

C

12

32

2

2

)2(

4

)22()2(

4)(

2222

2

ss

s

sssss

ssH

Matlab: função residue[r,p,k]=residue(n,d)

37


No caso específico da Transformada Z

Como as funções básicas são na forma:az

z

A expansão em frações parciais não pode ser aplicadadiretamente na X(z).

Soluções:

1) Aplicar o método na função:z

zX )(

2) Aplicar o método na função: 1zX

Matlab: função residuez[r,p,k]=residuez(n,d)

38


Ex.: 31

41

6523

)(

zz

zzzX

Método 1:

31

41

31

41

65

)(

3)(

z

B

z

A

z

zX

zz

z

z

zX

13

4

141

31

41

65

z

zzz

zA

23

3

131

31

41

65

z

zzz

zB

39


31

41

31

41

2)(

21)(

z

z

z

zzX

zzz

zXLogo:

Por tabela temos:

][2][][ 31

41 nununx nn

40


Método 2:

1311

411

311

41

165

1

1111

3)(

z

B

z

A

zz

zzX

31

41

6523

)(

zz

zzzX

1111

3

41

141

1311

41

165

z

zzz

zA

2111

3

31

131

1311

41

165

z

zzz

zB

41


1311

41

1

1

2

1

1)(

zzzX

Por tabela temos:

][2][][ 31

41 nununx nn

42


3.3.2. Expansão em Série de Potência

Definição da Transformada Z Série de Laurent

n

nznxzX ].[)(

...].2[].1[]0[].1[].2[...)( 212 zxzxxzxzxzX

43


Ex.:5.0

)(

z

zzX

Sabemos por tabela: ][)5.0(][ nunx n

Isto é:....0625.0125.025.05.01][

...43210

nx

n

Podemos calcular a série de potência de uma razão de polinômios por divisões sucessivas:

44


....

0625.0125.0

125.0

125.025.0

25.0

25.05.0

5.0

....125.025.05.015.0

5.0

32

2

21

1

1

321

zz

z

zz

z

z

zzzz

zz

45


Ex.2: 111212 111)( zzzzzX

Pólos somente em z=0, frações parciais não é apropriado.

Multiplicando todos os termos:

121

212 1)( zzzzX

De tabela temos:

]1[][]1[]2[][ 21

21 nnnnnx

Ex.3: azazzX ,1log)( 1

46


3.4.Propriedades da Transformada Z

47


Exercícios:

1) 21

21

41

2

,)(

zzz

zzX

2)21

232

2 12)(

zz

zzzX

3)

21

232

23 2)(

zz

zzzzX

Verificar as respostas usando Divisões Sucessivas

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