Determinação dos parâmetros de um cabo trifásico …...Determinação dos parâmetros de um cabo trifásico simétrico João Vítor Vieira Peres Dissertação para obtenção do

Determinação dos parâmetros de um cabo trifásico simétrico

João Vítor Vieira Peres

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e Computadores

Júri

Presidente: Professor Doutor Paulo José da Costa Branco

Orientador: Professor Doutor Manuel Ventura Guerreiro das Neves

Co-Orientador: Professora Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro

Vogal: Professora Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus

Setembro de 2010

i

Agradecimentos O autor deseja agradecer ao Professor Doutor Manuel Ventura Guerreiro das Neves e à

Professora Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro pelo empenho e

dedicação sem os quais não seria possível a elaboração deste trabalho.

O autor deseja ainda agradecer à sua família e amigos o apoio demonstrado não só durante

este trabalho mas durante todo o curso, em particular à sua namorada, cuja disponibilidade

para troca de ideias e conceitos estéticos foram importantes para a elaboração deste trabalho.

ii

Resumo O presente trabalho pretende desenvolver um método eficaz de calcular a capacidade de

cabos de distribuição de energia eléctrica. Para o fazer foram estudados e comparados o

método dos filamentos de carga e o método das fitas de carga.

O método dos filamentos de carga consiste na discretização da carga à superfície dos

condutores, pela substituição dos mesmos por condutores fictícios com toda a carga num

filamento no centro. Deste modo, a carga é simulada como estando a uma profundidade igual

ao raio dos condutores fictícios e não á superfície dos condutores.

O método das fitas de carga baseia-se na substituição dos condutores por um polígono de n

lados formado por fitas carregadas electricamente. Deste modo, a carga fica distribuída de uma

forma contínua pela superfície do polígono.

Foram comparados os resultados de ambos os métodos com os resultados analíticos em

sistemas diferentes, e concluiu-se que apesar de ambos apresentarem resultados razoáveis, o

método das fitas de carga permite chegar a melhores resultados com menos incógnitas. Este

método foi aprofundado para incluir os efeitos de dieléctricos diferentes no sistema e foi

comparado com o resultado da medição em laboratório de um cabo real com quatro condutores

e cinco dieléctricos. Os resultados deram erros da ordem dos 15%, que podem ter origem em

vários factores que não foram contabilizados, nomeadamente, os condutores estarem

entrelaçados dentro do cabo, haver intervalos de ar entre as camadas ou as medições estarem

afectadas de erros devido a harmónicas injectados pelo gerador ou tolerâncias de

componentes.

Palavras Chave- Cálculo da capacidade, Método das fitas de carga, Método dos filamentos de carga.

iii

Abstract The present work aims to develop an effective method to calculate the capacity of the cables

used in electricity distribution. Therefore, the filament of charge method and the strips of charge

method were studied and compared.

The filament of charge method consists in the discretization of the charge on the surface of

conductors, by replacing them with fictitious conductors with the entire charge in a filament at

the centre. Consequently, the charge is simulated at a depth equal to the radius of the fictitious

conductors and not at the surface of the conductors.

The strips of charge method is based on the replacement of the conductors by an n-sided

polygon formed by strips electrically charged. So, the charge is continuously distributed across

the surface of the polygon.

The results of both methods were compared with the analytical results in different systems, and

it was concluded that although both exhibit reasonable results, the strips of charge method

allows to reach better results with fewer variables in the system (strips). This method was

further developed to include the effects of different dielectrics in the system and was compared

with the results of the measurement of a real cable with four conductors and five dielectrics. The

results were errors in the order of 15%, which can originate from various factors, namely, the

interlacement of the conductors in the cable, the spaces of air between layers or the

measurements errors because of harmonics injected by the generator or the tolerance of the

components.

Key Words- Capacity calculus, Filaments of charge method, Strips of charge method.

iv

Índice Agradecimentos ......................................................................................................................... i

Resumo .................................................................................................................................... ii

Abstract ................................................................................................................................... iii

Lista de Figuras ....................................................................................................................... vi

Lista de Tabelas....................................................................................................................... ix

Lista de Símbolos ..................................................................................................................... x

1 – Introdução ........................................................................................................................... 1

1.1 - Motivação ...................................................................................................................... 1

1.2 - Objectivos ..................................................................................................................... 3

1.3 - Estrutura do trabalho ..................................................................................................... 3

2 - Cálculo analítico................................................................................................................... 5

2.1 - Campo eléctrico estático ................................................................................................ 5

2.2 - Capacidade ................................................................................................................... 6

2.3 - Cabo bifilar .................................................................................................................... 7

2.4 - Cabo monofásico não centrado ................................................................................... 11

3 - Método dos filamentos de carga ......................................................................................... 13

3.1 - Introdução ao método .................................................................................................. 13

3.2 - Formulação do método ................................................................................................ 14

4 - Método das fitas de carga .................................................................................................. 17

4.1 - Introdução ao método .................................................................................................. 17

4.2 - Formulação do método ................................................................................................ 18

5 - Validação dos métodos ...................................................................................................... 28

5.1 - Sistema 1 .................................................................................................................... 28

5.2 - Sistema 2 .................................................................................................................... 33

5.3 - Sistema 3 .................................................................................................................... 37

5.4 - Sistema 4 .................................................................................................................... 40

5.5 - Comparação dos resultados ........................................................................................ 44

6 - Dieléctricos ........................................................................................................................ 45

v

6.1 - Método analítico .......................................................................................................... 46

6.1.1 - Cabo monofásico com dois dieléctricos em série ................................................... 46

6.1.2 - Cabo monofásico com dois dieléctricos em paralelo .............................................. 48

6.2 - Método das fitas de carga ............................................................................................ 51

6.2.1 - Cálculo da capacidade .......................................................................................... 59

6.3 - Validação do método das fitas em sistemas com dois dieléctricos................................ 60

6.3.1 - Cabo monofásico com dois dieléctrico em serie..................................................... 61

6.3.2 - Cabo monofásico com dois dieléctricos em paralelo .............................................. 65

6.3.3 - Comparação dos resultados .................................................................................. 67

7 - Simulação de um cabo real ................................................................................................ 69

7.1 - Medição da capacidade ............................................................................................... 70

7.2 - Simulação do cabo ...................................................................................................... 75

8 - Conclusões ........................................................................................................................ 79

9- Referências bibliográficas ................................................................................................... 81

10 – Anexos ............................................................................................................................ 82

vi

Lista de Figuras Figura 1.1 - Topologia típica de um cabo de baixa tensão ......................................................... 2

Figura 2.1 - Campo de deslocamento eléctrico provocado por uma concentração de carga ...... 6

Figura 2.2 - Cabo bifilar não simétrico ...................................................................................... 8

Figura 2.3 - Campo eléctrico criado por um filamento de carga no vazio ................................... 8

Figura 2.4 - Campo eléctrico criado por um par de filamentos de carga .................................. 10

Figura 2.5 - Cabo monofásico não centrado ........................................................................... 12

Figura 3.1 - Método dos filamentos de carga .......................................................................... 13

Figura 4.1 - Método das fitas de carga ................................................................................... 17

Figura 4.2 - Fita de carga de largura 2L .................................................................................. 19

Figura 4.3 - Transformação do referencial da fita .................................................................... 22

Figura 5.1 - Equipotenciais calculadas analiticamente para o sistema 1 .................................. 29

Figura 5.2 - Potencial eléctrico calculado analiticamente para o sistema 1............................... 29

Figura 5.3 - Campo eléctrico calculado analiticamente para o sistema 1 .................................. 30

Figura 5.4 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor

positivo do sistema 1 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de

carga ...................................................................................................................................... 31


negativo do sistema 1 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de

carga ...................................................................................................................................... 31


positivo do sistema 1 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga

............................................................................................................................................... 32


negativo do sistema 1 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga

............................................................................................................................................... 33



carga ..................................................................................................................................... 34



carga ..................................................................................................................................... 35

vii



............................................................................................................................................... 36



............................................................................................................................................... 36



carga ..................................................................................................................................... 38



carga ..................................................................................................................................... 38



............................................................................................................................................... 39



............................................................................................................................................... 40



carga ..................................................................................................................................... 41



carga ..................................................................................................................................... 42



............................................................................................................................................... 43



............................................................................................................................................... 43

Figura 6.1 - Cabo monofásico com dois dieléctricos em série ................................................. 46

Figura 6.2 - Cabo monofásico com dois dieléctricos em paralelo ............................................ 48

Figura 6.3 - Cabo típico com 4 condutores e 5 dieléctricos ..................................................... 51

Figura 6.4 - Dieléctrico polarizado .......................................................................................... 52

Figura 6.5 - Diferentes abordagens de uma interface de dois meios ....................................... 53

viii

Figura 6.6 - Equipotenciais calculadas analiticamente para o sistema 5 .................................. 62

Figura 6.7 - Potencial calculado analiticamente para o sistema 5 ............................................ 62

Figura 6.8 - Módulo do campo eléctrico calculado analiticamente para o sistema 5 ................. 63



............................................................................................................................................... 64



............................................................................................................................................... 64



............................................................................................................................................... 66



............................................................................................................................................... 66



............................................................................................................................................... 67

Figura 7.1 - Cabo utilizado nas medições ............................................................................... 69

Figura 7.2 - Capacidades parciais .......................................................................................... 70

Figura 7.3 – Montagem para medição da impedância ............................................................. 73

Figura 7.4 – Carga por unidade de superfície nos condutores em regime simétrico ................ 75

Figura 7.5 – Potencial em regime simétrico ............................................................................ 76

Figura 7.6 – Equipotenciais em regime simétrico .................................................................... 76

Figura 7.7 – Carga por unidade de superfície nos condutores em regime assimétrico ............ 77

Figura 7.8 – Potencial em regime assimétrico ........................................................................ 77

Figura 7.9 – Equipotenciais em regime assimétrico ................................................................ 78

ix

Lista de Tabelas

Tabela 5.1 - Sistemas utilizados na validação do método dos filamentos de carga ................. 28

Tabela 5.2 - Resultados analíticos do sistema 1 ...................................................................... 28

Tabela 5.3 - Resultados do sistema 1 aplicando o método dos filamentos de carga ............... 30

Tabela 5.4 - Resultados do sistema 1 aplicando o método das fitas de carga ......................... 32






Tabela 5.10 - Resultados do sistema 3 aplicando o método das fitas de carga ....................... 39

Tabela 5.11 - Resultados analíticos do sistema 4 .................................................................... 40

Tabela 5.12 - Resultados do sistema 4 aplicando o método dos filamentos de carga .............. 41

Tabela 5.13 - Resultados do sistema 4 aplicando o método das fitas de carga ....................... 42

Tabela 6.1 - Parâmetros dos cabos utilizados ........................................................................ 61

Tabela 6.2 - Resultados analíticos para o sistema 5 ................................................................ 61


Tabela 6.4 - Resultados analíticos para o sistema 6 ................................................................ 66


Tabela 7.1 – Características do cabo utilizado nas medições ................................................. 70

Tabela 7.2- Valores das grandezas nas medições .................................................................. 74

Tabela 7.3- Coeficientes de capacidade medidos ................................................................... 74

Tabela 7.4- Coeficientes de capacidade simulados através do método das fitas de carga ...... 78

x

Lista de Símbolos

- Campo eléctrico

– Deslocamento eléctrico

- Campo de indução magnética

- Campo magnético

- Vector densidade de corrente eléctrica

-Densidade de polarização

- Densidade volúmica de carga eléctrica

- Constante dieléctrica

- Permeabilidade magnética

[ ] – Vector de carga

[ ] - Matriz de coeficientes de capacidades

[ ] - Vector de tensões dos condutores

r - Coordenada radial

- Vector unitário normal exterior

- Constante de integração

- Distância do centro do condutor fictício j ao ponto da superfície do condutor fictício i

tangente à superfície do seu respectivo condutor real

- Número de condutores reais

– Densidade de carga por unidade de superfície no inicio da fita

– Densidade de carga por unidade de superfície no final da fita

- Metade do comprimento da fita

- Tensão imposta no condutor real

-Susceptibilidade eléctrica

- Metade do comprimento da fita

- Tensão incidente na carga

- Impedância característica

- Constante de propagação

- Factor de reflexão

xi

– Impedância longitudinal

- Admitância transversal

- Capacidade parcial entre e

- Coeficiente de capacidade entre e

- Frequência angular

1

1 – Introdução

1.1 - Motivação

A humanidade está cada vez mais necessitada de energia. Desde a década de 70 até 2005 o

consumo de energia, a nível mundial, aumentou cerca de 50%, totalizando cerca de 17 PWh,

suportado pelo forte desenvolvimento económico dos países actualmente desenvolvidos, como

os EUA, Inglaterra, Alemanha ou França. Nestes países, ditos desenvolvidos, tem-se assistido

a uma tendência de estagnação dos consumos energéticos, o que poderia levar a concluir que

o consumo mundial de energia estaria a estabilizar. No entanto, tal não se verifica, uma vez

que esta estagnação é contraposta pela explosão do consumo nos países em forte

desenvolvimento como a China, Índia e Brasil, prevendo-se um aumento do consumo a nível

mundial. Segundo projecções do WEC, o consumo de energia vai aumentar em cerca 1.6% por

ano até 2030, sendo que 70% deste aumento se deverá a países em desenvolvimento, a China

sozinha será responsável por cerca de 30% do aumento.

Em Portugal, segundo as previsões da ERSE (Entidade Reguladora dos Serviços

Energéticos), o consumo de energia em 2010 será de 48 588 GWh registando-se uma queda

na procura da ordem de 1% em relação a 2009. Esta queda na procura é justificada pela grave

crise económica que se verifica actualmente. Assim, com a retoma económica, espera-se que

os consumos de energia em Portugal voltem às tendências de crescimento, acompanhando o

resto do mundo.

Assim se compreende que o problema de produzir e levar até ao consumidor toda a energia

necessária, de uma forma eficiente, é dos maiores desafios de engenharia que enfrentamos

actualmente.

O transporte e distribuição de energia eléctrica é feito com recursos a linhas aéreas e/ou cabos

subterrâneos. Os últimos são normalmente utilizados em zonas com grande densidade

populacional, como as cidades, em que as linhas de transmissão são inoportunas, uma vez

que existem construções elevadas, falta de espaço para as infra-estruturas de suporte das

linhas e ainda introduzem poluição visual.

O cálculo dos parâmetros eléctricos dos cabos e das linhas são essenciais para a integração

dos mesmos nas redes de energia, nomeadamente para a sua regulação e controlo e também

para o fornecimento de energia com qualidade. Por outro lado, o conhecimento destes

2

parâmetros torna-se fundamental do ponto de vista do projecto, uma vez que permite um

dimensionamento correcto, possibilitando o uso eficiente dos recursos disponíveis.

A presente tese pretende dar resposta a este problema, centrando-se no cálculo da capacidade

dos cabos de baixa tensão. Este tipo de cabos tem normalmente uma topologia semelhante à

ilustrada na figura seguinte:

1-Condutor

2-Isolante

3-Isolante comum

4-Bainha

5-Isolante exterior

Figura 1.1 - Topologia típica de um cabo de baixa tensão

Estes cabos podem ter um número arbitrário de almas condutoras de cobre ou alumínio (1),

sendo que os mais utilizados para transmissão de energia são os de um, dois, três ou quatro

condutores. Cada condutor tem isolamento próprio (2) embebido num isolamento comum (3),

que podem ser de polietileno termofixo (XLPE) ou de policloreto de vinilo (PVC). Pode existir

também uma bainha condutora comum (4) que actua como gaiola de faraday, permitindo

reduzir a interferência electromagnética e ainda dar resistência mecânica ao cabo. Por fim

existe ainda um isolamento exterior (5) normalmente de poricloreto de vinilo (PVC) que pode

ter várias funções entre elas, proteger pessoas do contacto directo com os condutores activos,

protecção do cabo contra roedores ou ainda agir como retardante de chamas.

A utilização destes cabos não se restringe às redes de distribuição subterrâneas, tem também

utilidade no transporte de energia subaquático e em ambientes industriais com grandes

necessidades de potência como refinarias de petróleo, fábricas de betão, metalurgias, etc.

1

2

3 4

5

3

1.2 - Objectivos

Este trabalho tem como objectivo desenvolver e estudar um método de cálculo da capacidade

de cabos com um qualquer número de condutores e com geometrias arbitrárias. Nos cabos

subterrâneos este parâmetro tem muito maior expressão que nas linhas aéreas, pois nestas o

dieléctrico envolvente é o ar. Para o cálculo da capacidade faz-se um estudo do campo e do

potencial eléctrico nos dieléctricos em que os condutores estão embebidos, bem como da

densidade de carga na superfície dos condutores. Vão ser estudados dois métodos de cálculo

diferentes: o método dos filamentos e o método das fitas. O método dos filamentos baseia-se

na discretização da carga na superfície dos condutores através da introdução de filamentos de

carga imaginários à superfície dos condutores reais. No método das fitas, a carga dos

condutores é substituída por fitas de carga estrategicamente colocadas à superfície dos

mesmos. Ambos os modelos são validados através da comparação dos resultados obtidos com

o cálculo analítico em dois tipos de cabo simples - o cabo bifilar e o cabo monofásico não

centrado.

Vai utilizar-se o programa de simulação MATLAB como uma plataforma informática para

implementar cada um dos algoritmos considerados bem como os algoritmos de cálculo teórico

que os vão validar. A plataforma irá receber como dados os parâmetros dos cabos,

nomeadamente, os raios e localização dos condutores, as constantes dieléctricas dos meios

circundantes e as tensões nos condutores, e vai dar como resultados o campo eléctrico, o

potencial eléctrico, a densidade de carga à superfície de cada condutor e a capacidade do

sistema. Este trabalho servirá para comparar os métodos acima referidos do ponto de vista da

qualidade dos resultados obtidos, de modo a perceber qual produz resultados mais

aproximados dos teóricos. O método considerado melhor será desenvolvido de modo a ser

aplicado a um cabo real com três almas condutoras. Os resultados serão comparados com os

resultados reais, medidos em laboratório, de modo a tirar conclusões sobre a capacidade do

método.

1.3 - Estrutura do trabalho

No capítulo 2 faremos uma breve introdução ao cálculo analítico da capacidade em dois

sistemas simples nomeadamente o cabo bifilar e o cabo monofásico não centrado também.

Estes cabos têm como dieléctrico o vácuo e são considerados como sendo condutores

perfeitos. Será feita uma breve revisão das equações fundamentais do campo eléctrico estático

necessárias a partir das equações de Maxwell, de modo a deduzir o potencial e o campo

eléctrico num ponto arbitrário dos dois sistemas. Deste modo será deduzida a equação da

capacidade de cada um dos sistemas.

4

No capítulo 3 será introduzido o método dos filamentos de carga. A partir das equações do

introduzidas no capítulo 2 nomeadamente o potencial e campo eléctrico produzidos por um

filamento de carga, e aplicando o método da sobreposição será desenvolvido o método em

estudo. Este será formulado tendo em vista sistemas com um número arbitrário de condutores,

de geometria cilíndrica, e admitindo que o dieléctrico é o vácuo. Tirando estes

constrangimentos o método será explicado de uma forma geral o suficiente de modo a poder

ser aplicado a um número variado de sistemas.

No capítulo 4 explicaremos e formularemos o método das fitas de carga. Este simula a carga

nos condutores como estando distribuída linearmente em filamentos de espessura infinitesimal

estrategicamente localizados. Deste modo, a partir do potencial provocado por um elemento

longilíneo de carga e do postulado da distribuição linear de carga no filamento, será deduzido o

potencial provocado por uma fita de carga. Assim, será aplicado o teorema da sobreposição

para chegar expressão final do potencial e campo eléctrico provocado por todos os filamentos.

Posto isto, serão deduzidas as fórmulas fundamentais do método nomeadamente a capacidade

de um sistema com vários condutores e tendo como dieléctrico o vácuo.

No capítulo 5 os métodos dos filamentos de carga e das fitas de carga serão validados. A partir

de rotinas desenvolvidas para o cálculo de ambos os métodos, bem como para o cálculo

analítico, serão calculados os resultados de quatro sistemas diferentes. Dois destes serão do

tipo cabo bifilar e os outros dois do tipo cabo monofásico não centrado todos com o vácuo

como dieléctrico. Far-se-á a comparação dos resultados em relação ao cálculo analítico, bem

como a comparação entre os métodos, nomeadamente em relação à diminuição do erro com

aumento de filamentos ou fitas simulados.

No capítulo 6 serão estudados os efeitos de mais de um dieléctrico diferente. Será introduzido

o cálculo analítico para sistemas do tipo cabo monofásico com dois dieléctricos ou em série ou

em paralelo. O método dos filamentos de carga será desenvolvido de modo a ser utilizado para

resolver sistemas mais complexos e reais, com mais de um dieléctrico diferente. Assim, o

método será utilizado para resolver dois sistemas com cabo monofásico, um com dois

dieléctricos em série e outro com dois dieléctricos em paralelo. Serão comparados os

resultados com os resultados do cálculo analítico.

No capítulo 7, são apresentados os resultados da medição em laboratório de um cabo real, e

estes são comparados com os resultados da simulação do mesmo cabo através do método das

fitas de carga.

No capítulo 8 são tiradas conclusões do presente trabalho, nomeadamente conclusões gerais e

trabalhos a desempenhar futuramente.

A nomenclatura utilizada neste trabalho será letra maiúscula e a negrito para representar vectores, letra maiúscula para representar escalares, constantes ou módulos de vectores e

letra maiúscula entre parentes rectos para representar matrizes.

5

2 - Cálculo analítico

2.1 - Campo eléctrico estático

Comecemos por considerar as equações fundamentais do electromagnetismo, ou seja, as

equações de Maxwell:

= − (2.1)

= + (2.2)

= 0 (2.3)

= (2.4)

Onde, - Campo eléctrico (Vm-1)

– Deslocamento eléctrico (Cm-2)

- Campo de indução magnética (T)

- Campo magnético (Am-1)

- Vector densidade de corrente eléctrica (Am-2)

- Densidade volúmica de carga eléctrica (Cm-3)

Bem como as equações constituintes dos meios para meios lineares e isótropos:

= (2.5)

= (2.6)

Onde - Constante dieléctrica (Fm-1)

- Permeabilidade magnética (Hm-1)

No que diz respeito ao campo eléctrico estático, em (2.1) e em (2.2) são nulos ou

invariantes no tempo, e considerando derivável duma função potencial escalar e aplicando

a propriedade do gradiente ( ) = 0 vem:

6

= −

(2.7)

Por outro lado, assumindo que há uma concentração de carga não nula num determinado

volume V limitado por uma superfície fechada , como na figura 2.1, partindo de (2.4) e

integrando em volume ambos os membros vem:

= ⟺ . =

(2.8)

Onde é a normal exterior à superfície fechada .

Figura 2.1 - Campo de deslocamento eléctrico provocado por uma concentração de carga

Onde se fez intervir o teorema da divergência, de modo a transformar o integral em volume do

primeiro membro num integral em superfície. A equação (2.8) é a forma integral da lei (2.4), o

significado físico desta lei é que as linhas de campo têm início nas zonas com cargas positivas e terminam em zonas com carga negativa. As equações (2.7), (2.8) e (2.5) formam as

leis fundamentais que regem o campo eléctrico estático.

2.2 - Capacidade

Qualquer sistema com dois ou mais condutores imersos num dieléctrico produz um dispositivo

que pode armazenar energia eléctrica. Nestes sistemas, devido à linearidade das equações

fundamentais do campo eléctrico estático, (2.7), (2.8) e (2.5), a tensão nos condutores é

proporcional à carga nos condutores, assim introduzindo a noção de capacidade obtêm-se:

7

[ ] = [ ] [ ]

(2.9)

Onde [ ] – Vector de carga dos condutores (C)

[ ] - Matriz de coeficientes de capacidades (F)

[ ] - Vector de tensões dos condutores (V)

A capacidade relaciona a carga com a tensão, e representa uma propriedade do sistema

completamente definida pela geometria e forma dos condutores e pelas propriedades do

dieléctrico envolvente.

2.3 - Cabo bifilar

Para resolver o problema do cabo bifilar no vácuo, recorre-se à técnica de substituir cada um

dos condutores reais por um filamento de carga equivalente. Assim, o problema cinge-se a

calcular a localização do centro dos condutores e a distância dos filamentos fictícios de carga à

origem do referencial. De notar que o referencial utilizado foi o referencial com origem no ponto

equidistante dos filamentos de carga em que o plano = 0 e as superfícies dos condutores são

equipotenciais. Por outro lado, as linhas de força do campo eléctrico são arcos de

circunferência com origem nos filamentos de carga fictícia e atravessam perpendicularmente a

superfície dos condutores e o plano = 0.

Como se pode ver pela figura 2.2, tem-se:

⎩⎪⎨

⎪⎧ + =

+ = − =

⇔

⎩⎪⎨

⎪⎧ = −

−2 − 2

= +

= −

(2.10)

8

y

-q

( , 0) ( , 0)

+q x

Figura 2.2 - Cabo bifilar não simétrico.

Posto isto, e fazendo intervir o teorema da sobreposição, calculam-se as contribuições do

campo eléctrico e do potencial de cada um dos filamentos e somam-se. O facto das equações

(2.7), (2.8) e (2.5) serem lineares valida a utilização do teorema da sobreposição.

Figura 2.3 - Campo eléctrico criado por um filamento de carga no vazio.

9

Considere-se o filamento de carga ilustrado na figura 2.3. Fazendo uso de (2.8) e considerando

a superfície indicada e o carácter radial do campo, vem sucessivamente:

. = ⇔ 2 = ⇔ = 2

(2.11)

Onde - carga por unidade de comprimento (Cm-1)

r – coordenada radial (m)

- Vector unitário normal exterior do cilindro

Ao fazer intervir (2.5) e (2.11), e tendo em conta que o filamento se encontra no vácuo, obtém-

se então o campo eléctrico:

= ⇔ = 2

(2.12)

Utilizando (2.7), obtém-se o potencial:

= 2 = 2 ln1

+

(2.13)

A constante é uma constante de integração arbitrária que representa a distância à qual se

considera o potencial nulo.

O potencial do ponto arbitrário de coordenadas (x,y) representado na figura 2.4 é portanto:

= 2 − = 2 ln

= 2 ln( + ) + ( − ) +

(2.14)

10

Onde e são as distâncias aos filamentos de carga positiva e de carga negativa,

respectivamente. Considera-se a equipotencial nula no plano constituído pelos pontos

equidistantes dos filamentos de carga, como mostra a figura 2.4.

Figura 2.4 - Campo eléctrico criado por um par de filamentos de carga.

O campo eléctrico no mesmo ponto é, a partir de (2.12):

= 2 − 2 =

= 2cos( ) + ( )

−cos( ) + ( )

Tendo em conta que da figura (2.4) se tira:

( ) =

( ) =−

( ) =

( ) =+

= ( − ) +

= ( + ) +

Vem o campo eléctrico provocado pelo cabo bifilar num ponto arbitrário de coordenadas x e y:

R+

R-

x -a +a

y

+q -q

11

= 2−

( − ) + −+

( + ) + +1

( − ) + −1

( + ) +

(2.15)

A diferença de potencial entre os condutores terá que ser igual à tensão aplicada, e a

densidade de carga do filamento, por unidade de comprimento é:

= 2 ln|C − R + a||C − R − a| − ln

|C − R + a||C − R − a| ⇔ q =

2U

ln (C − R + a)(C − R − a)(C − R − a)(C − R + a)

(2.16)

Assim a capacidade do sistema é:

= =2

ln (c − R + a)(C − R − a)(C − R − a)(c − R + a)

(2.17)

2.4 - Cabo monofásico não centrado

Para o cálculo da capacidade de um sistema com dois condutores em que um envolve o outro,

segue-se o mesmo raciocínio utilizado para o cabo bifilar não simétrico. Ambos os condutores

vão ser substituídos por um filamento de carga fictício, respectivamente. O problema fica

resolvido com o cálculo das coordenadas desses filamentos, bem como dos centros dos

condutores no referencial, com origem equidistante dos filamentos fictícios de carga, ou seja, o

eixo do y é a equipotencial nula.

Para calcular a C1 e C2 da figura 5 tem-se:

⎩⎪⎨

⎪⎧ + =

+ = − =

⇔

⎩⎪⎨

⎪⎧ = −

−2 − 2

= +

= −

(2.18)

12

Figura 2.5 - Cabo monofásico não centrado.

Posto isto, o problema cinge-se ao cálculo do potencial e do campo eléctrico de um sistema de

dois filamentos de carga. Logo as equações (2.14), (2.15), (2.16) e (2.17) continuam a ser

válidas.

C1

R

R2

1

y

x +q -q

a a

V=0

+q

y

V=0

R1

( , 0) ( , 0)

13

3 - Método dos filamentos de carga

3.1 - Introdução ao método

O método dos filamentos de carga é uma abordagem numérica ao cálculo da capacidade nos

cabos. A introdução de algoritmos numéricos na resolução destes problemas é essencial para

cabos com geometrias não triviais, uma vez que, para estes não é possível encontrar solução

analítica. A ideia deste método nasce do facto teórico de a carga num condutor em equilíbrio

electrostático se distribuir à superfície do mesmo, resultado que deriva directamente da

ausência de campo eléctrico dentro do condutor. O campo eléctrico anula-se, pois caso

contrário, haveria movimento das cargas no interior do condutor, e este não estaria em

equilíbrio electrostático. É então natural discretizar a carga à superfície do condutor,

substituindo-a por um número elevado de condutores fictícios distribuídos pela superfície do

condutor real e com toda a sua carga concentrada no centro, como mostra a figura 3.1. Assim,

as aproximações que se fazem neste método são concentrar a carga em determinados pontos

do condutor, e ainda considerar que estes pontos não estão à superfície do condutor, mas sim

a uma profundidade infinitesimal igual ao raio dos condutores fictícios.

Figura 3.1 - Método dos filamentos de carga.

.

. . .

.

. .

. . . . . .

. .

. . . .

. . . .

. .

. . .

. .

. .

P

14

3.2 - Formulação do método

O potencial criado no ponto P por um condutor fictício de carga por unidade de comprimento

a uma distância é, de acordo com (2.13):

= 21

+

(3.1)

Onde, é a constante de integração.

- Tem o significado da figura 3.1

Devido à linearidade de (2.7), (2.8) e (2.5), pode ser utilizado o teorema da sobreposição e,

logo, o potencial eléctrico produzido por um condutor é expresso pela soma das contribuições

individuais de cada condutor fictício distribuído pela sua superfície. Este resultado pode ser

generalizado e assim, o potencial criado por um sistema com um número arbitrário de

condutores é expresso pela soma das contribuições individuais dos condutores fictícios

distribuídos pelas superfícies dos mesmos, ou seja:

= 21

+

(3.2)

Por outro lado, a soma das cargas do sistema é nula, logo a soma da carga dos condutores

fictícios também o é, assim:

= 0

(3.3)

Ao utilizar (3.2) para calcular o potencial dos pontos da superfície dos condutores fictícios

tangentes à superfície de cada um dos respectivos condutores reais, tendo em conta que o

potencial à superfície do condutor é igual à tensão imposta no mesmo, obtêm-se equações

linerarmente independentes. Juntando a equação (3.3) chega-se a um sistema de + 1

equações do tipo:

15

⎣⎢⎢⎡ 1⋮

1 …1

1 0 ⎦⎥⎥⎤

( + 1) × ( + 1)

⋮

( + 1) × 1

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ ⋮

⋮

⋮

0 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

( + 1) × 1

⇔ ⋮ =

⎣⎢⎢⎡ 1⋮

1 …1

1 0 ⎦⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ ⋮

⋮

⋮

0 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(3.4)

Onde, =

- Distância do centro do condutor fictício j ao ponto da superfície do condutor fictício i

tangente à superfície do seu respectivo condutor real [m]

- Carga por unidade de comprimento do condutor fictício i [Cm-1]


- Número de condutores reais

- Tensão imposta no condutor real x [V]

A equação (3.4) permite calcular a carga por unidade de comprimento existente em cada

condutor fictício, a constante de integração e, ainda, a carga por unidade de comprimento

total existente em cada condutor. Esta última é a soma das cargas por unidade de

comprimento de cada um dos condutores fictícios dentro do respectivo condutor real.

Note-se que da figura 3.1 pode ser expresso em termo das coordenadas x e y de um ponto

arbitrário:

= ( − ) + −

(3.5)

Onde e têm o significado da figura 3.1.

Com este resultado já é possível calcular o potencial eléctrico de um ponto arbitrário (x,y)

através de (3.2):

16

= 2⎝

⎛ 1

( − ) + − ⎠

⎞+

(3.6)

Da mesma maneira, utilizando o resultado (2.12) e fazendo intervir o teorema da sobreposição,

o campo eléctrico num ponto arbitrário de coordenadas x e y é expresso por:

= 2 = 2 ( − ) + −( − ) + −

(3.7)

As equações (3.4), (3.6) e (3.7) permitem implementar um algoritmo baseado no método dos

filamentos de carga. Estas equações permitem resolver problemas com número de condutores

cilíndricos arbitrário, com qualquer geometria entre eles. No caso do cabo bifilar não simétrico e

do cabo monofásico não centrado, o cálculo da capacidade, depois de resolver (3.4), é trivial,

basta somar todas as cargas dos filamentos existentes no condutor positivo e dividir pela

diferença de potencial. Assumindo que os primeiros valores do vector q de (3.4)

correspondem aos filamentos no condutor positivo, ou seja que existem filamentos de carga

no condutor positivo:

=∑−

(3.8)

Para se calcular a distribuição de carga superficial nos condutores, é necessário ter em

consideração que a carga de cada filamento representa na realidade a carga que está

distribuída no arco do respectivo condutor fictício. Assim, a carga de cada filamento tem que

ser dividida pelo comprimento do arco que realmente ocupa:

2

(3.9)

Onde representa o raio do condutor real , onde está .

17

4 - Método das fitas de carga

4.1 - Introdução ao método

O método das fitas de carga, como o nome indica, baseia-se na substituição dos condutores

reais por fitas de carga à sua superfície, como mostra a figura 4.1. Assume-se que a carga ao

longo das fitas pode variar da forma ( ) = + . Logo, ao contrário do método dos

filamentos de carga, em que a carga fica concentrada em determinados pontos, no método das

fitas de carga a carga é contínua, uma vez que o limite de uma fita coincide com o limite de

outra. Deste modo, as aproximações que se fazem neste método consistem em substituir a

superfície cilíndrica do condutor real por um prisma de n lados, e considerar uma distribuição

de carga linear por troços (em cada fita). Este facto leva a que o método seja mais complexo

do ponto de vista da formulação, do que o método dos filamentos de carga. No entanto, como

se verá, produz resultados mais exactos.

Figura 4.1 - Método das fitas de carga.

.

x

y qj+1

qj

Fita de carga j

18

4.2 - Formulação do método

Neste método, quando se fala em fitas de carga, considera-se um elemento de volume

carregado electricamente, com uma largura 2 , um comprimento igual ao do cabo e uma

espessura infinitesimal. Assume-se ainda que a densidade de carga por unidade de

comprimento varia linearmente ao longo da largura da fita, e que ao longo do comprimento não

há variação de carga, logo, quando se falar em distribuição de densidade de carga por unidade

de comprimento, está a referir-se à distribuição de densidade de carga na largura da fita.

Assim de – a a distribuição de carga é:

( ′) = ′ +

(4.1)

Com, =

=

– Carga por unidade de superfície no inicio da fita [Cm-2]

– Carga por unidade de superfície no final da fita [Cm-2]

A carga por unidade de comprimento total na fita é:

( ′) ′ = ( + )

(4.2)

O potencial num ponto genérico ( , ) criado pela fita de carga ilustrada na figura 4.2

determina-se a partir da equação:

=( ′)

2 ln1

( ′) ′ +

(4.3)

Com ( ′) = + ( − ′) e ( ′) dado por 4.1

19

Figura 4.2 – Fita de carga de largura 2L.

Resolvendo 4.3 (Resolução em anexo):

( , ) = 1( , , ) + 2( , , ) +

(4.4)

Com,

1( , , ) = −1

8 1−′

( − ′)−1

2[( − ) + ] [( − ) + ]

+ 1−′

( + ′) +1

2[(− − ) + ] [(− − ) + ]

+ 2 1−′

−2 + tan− ′′ + tan

− − ′′

−1

2[−( − ) + (− − ) ]

q1 q2

x x0 L -L

y

y0

r(x’)

θ(x’)

P

y’

x’

20

2( , , ) = −1

8 1 +′

( − ′) +1

2[( − ) + ] [( − ) + ]

+ 1 +′

( + ′)−1

2[(− − ) + ] [(− − ) + ]

+ 2 1 +′

−2 + tan− ′′ + tan

− − ′′

+1

2[−( − ) + (− − ) ]

Quanto ao campo eléctrico a partir de (2.12), e seguindo o raciocínio utilizado para o potencial,

podia ser calculado por:

=( ′)

21

( ′) cos(θ) + sin (θ) ′

(4.5)

Mas por simplicidade usou-se (2.7) e vem (resolução em anexo):

( , ) = 1 ′( , , ) + 2 ′( , , )

( , ) = 1 ′( , , ) + 2 ′( , , )

(4.6)

Com,

1 ′( , , ) =1

8⎩⎨

⎧− 1−

′[( − ) + ] + 1−

′[(− − ) + ]

+ 2 1−′

⎣⎢⎢⎡−

1

1 + −

−′

1 + −′

+1

1 + − −

+′

1 + − −′

−2 ′

tan− ′′ − tan

− − ′′ + 4

21

2 ′( , , ) =1

8⎩⎨

⎧− 1 +

′[( − ) + ] + 1 +

′[(− − ) + ]

+ 2 1 +′

⎣⎢⎢⎡−

1

1 + −

−′

1 + −′

+1

1 + − −

+′

1 + − −′

+2 ′

tan− ′′ − tan

− − ′′ − 4

1 ( , , ) =1

8 2 1 −′

tan− ′′ +

( − ′)( − ) +

−( − ′)

1 + −−tan

− − ′′ −

(− − ′)(− − ) + +

(− − ′)

1 + − −

−′

ln[( − ) + ]− ln [(− − ) + ]

2 ′( , , ) =1

8 2 1 +′

tan− ′′ +

( − ′)( − ) +

−( − ′)

1 + −−tan

− − ′′ −

(− − ′)(− − ) + +

(− − ′)

1 + − −

+′

ln[( − ) + ]− ln [(− − ) + ]

, Componente do campo eléctrico

, componente do campo eléctrico

Com n fitas, utiliza-se o teorema da sobreposição para calcular o potencial, somando-se a

contribuição de cada fita. Tem-se a função potencial de uma fita em coordenadas x e y num

referencial em que a mesma está centrada, e o que se pretende é calcular o potencial num

ponto arbitrário de um referencial diferente, que vai ser comum a todas as fitas. Assim, será

necessário fazer uma rotação e translação de referencial da fita, como mostra a figura abaixo.

22

Figura 4.3 – Transformação do referencial da fita.

Por simplicidade utilizou-se o plano complexo.

Assim:

=−−

(4.7)

Rotação do referencial:

+ = ( + ) = ( + ) cos( ) − ( )

= ( ) + ( ) + (− sin( ) + cos ( )

′′ =

cos( )− sin( )

sin ( )cos ( )

(4.8)

Rotação e translação do referencial:

x

x’ y’

y

y2

y1

x1 x2

cy

cx

23

′′ =

cos( )− sin( )

sin ( )cos ( )

−−

(4.9)

Posto isto, para se calcular o potencial num ponto (x,y) provocado por fitas de carga, é

necessário somar as contribuições de cada fita. Assim, a contribuição de cada fita será dada

pela equação (4.4), mas com as coordenadas do ponto (x’,y’) transformadas por (4.9):

( , ) = +

(4.10)

Onde =1 , , + 2 , , ( =

= )1 , , + 2 , , ( á )

Note-se que 1 e 2 variam consoante a fita a que estão associadas uma vez que dependem

do comprimento da fita 2 e das coordenadas , que são as coordenadas de ( , ) no

referencial centrado na fita , ou seja aplicando (4.9). Deste modo, usou-se a nomenclatura

1 , , e 2 , , para realçar estas diferenças.

Por outro lado, é a carga por unidade de superfície no extremo inicial da fita e também

naturalmente do extremo final da fita − 1. Na equação (4.10) os casos especiais apresentados

são introduzidos pelo fechar de cada superfície condutora do sistema. Assim, se o valor de

representa a ultima fita de uma superfície esta vai acabar no inicio da primeira fita da superfície

e logo:

= =

(4.11)

Quanto ao campo eléctrico provocado por fitas, o raciocínio é idêntico: há que somar as

contribuições de cada fita de carga transformando o referencial da fita no referencial comum a

todas as fitas. Mas como o campo é um vector e não um escalar como o potencial, é

necessário fazer a transformação inversa para que as componentes do campo venham

expressas no referencial comum a todas as fitas, e não no referencial centrado na fita.

A transformação inversa das componentes do campo é, a partir de (4.9):

24

= cos( )

sin( )−sin ( )cos ( )

(4.12)

Deste modo, as contribuições do campo eléctrico de cada fita no referencial desta, são

calculadas por (4.6), utilizando as coordenadas (x’,y’) provenientes da transformação (4.9).

Depois, as componentes do campo eléctrico de cada fita têm que ser transformadas para

referencial comum por (4.12), antes de serem somadas, ou seja:

( , ) = = [cos ( ) − sin ]

= cos 1 , , + 2 , ,

− sin 1 , , + 2 , ,

=1 , , + 2 , , ( =

= )1 , , + 2 , , ( á )

( , ) = = [sin ( ) + cos ]

= sin 1 , , + 2 , ,

+ ( ) 1 , , + 2 , ,

=1 , , + 2 , , ( =

= )1 , , + 2 , , ( á )

(4.13)

Onde:

11 =

cos( )sin( )

−sin ( )cos ( )

1 ′1 ′

22 =

cos( )sin( )

−sin ( )cos ( )

2 ′2 ′

(4.14)

O problema da obtenção do potencial e do campo eléctrico de um sistema com fitas de carga

fica assim reduzido ao cálculo da densidade de carga nos extremos de cada fita.

25

Para este cálculo vai utilizar-se um raciocínio semelhante ao utilizado no método dos

filamentos de carga. Logo, vai ser calculado o potencial provocado pelas fitas de carga

(equação (4.10)) nos pontos à superfície dos condutores que são extremos das fitas. Na

realidade não se pode calcular o potencial nestes pontos pois de (4.4) verifica-se haver uma

indeterminação ao calcular o potencial nas duas extremidades de uma fita, assim esta

indeterminação é resolvida pelo cálculo do potencial em pontos infinitesimalmente próximos

destes. Note-se que o potencial nestes pontos é aproximadamente igual à tensão imposta no

condutor adjacente, uma vez que pontos onde se calcula o potencial estão infinitesimalmente

próximos da superfície dos condutores. Assim, tendo fitas têm-se pontos extremos de fitas

e logo equações linearmente independentes da forma (4.10). Estas equações, de modo a

expor as incógnitas ( ) podem ser rearranjadas da seguinte forma:

( , ) = = 1 , , + 2 , , +

=

+1( ′, ′, ) + 2( ′, ′, ) ( =

( = )1( ′, ′, ) + 2( ′, ′, ) ( á )

(4.15)

Onde é a tensão imposta ao condutor a que o ponto ( , ) é infinitesimalmente próximo.

As particularidades dos fechos das superfícies já explicadas na equação (4.12) passam agora

a ser representadas como mostrado na equação (4.15). Assim ao calcular a parcela

correspondente à carga por unidade de superfície da extremidade inicial da primeira fita de

uma superfície é necessário ter em consideração que esta corresponde também à extremidade

final da fita anterior que neste caso será a fita final da mesma superfície.

De notar que se têm equações com + 1 incógnitas ( cargas por unidade de superfície

mais a constante de integração ). Para o sistema ter resolução é necessário adicionar uma

equação. Esta equação é a que mostra o fecho da carga, ou seja que a soma de toda a carga

do sistema é nula. Assim, a soma da carga total de cada fita por unidade de comprimento

também é nula, de (4.2):

26

( + ) = 0

(4.16)

Com - Carga por unidade de superfície no inicio da fita [Cm-2 ]

- Carga por unidade de superfície no final da fita [Cm-2]

- Metade do comprimento da fita [m]

Deste modo, com as equações (4.10) e a equação (4.16) chega-se a um sistema de + 1

equações com + 1 incógnitas na forma:

⎣⎢⎢⎢⎡ 1⋮

…10⎦⎥⎥⎥⎤

⋮ =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ ⋮

⋮

⋮

0 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⇔ ⋮ =

⎣⎢⎢⎢⎡ 1⋮

…10⎦⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ ⋮

⋮

⋮

0 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(4.17)

Onde,

De(4.10):

=1( , ′, , ′, ) + 2( , ′, , ′, ) ( =

= )1( , ′, , ′, ) + 2( , ′, , ′, ) ( á )

=+ ( =

= )+ ( á )

- Carga por unidade de superfície dos extremos das fitas [Cm-2]


- Número de condutores no sistema

- Tensão imposta no condutor real [V]

De (4.17) tira-se a carga por unidade de superfície nos extremos de cada fita e, como se

assumiu que em cada fita esta varia linearmente, chega-se à distribuição radial de carga na

superfície de todos os condutores. Posto isto, utilizando (4.10), (4.13) e (4.17), é possível aferir

27

o campo eléctrico e o potencial num ponto arbitrário de um sistema com qualquer geometria e

número de condutores.

No caso de existirem dois condutores no sistema o cálculo da capacidade a partir da carga por

unidade de superfície nas extremidades das fitas é trivial. De (4.2) tira-se a carga por unidade

comprimento de cada fita, somando-a para todas fitas do condutor positivo e dividindo pela

diferença de potencial entre os condutores chega-se á capacidade do sistema. Assim tendo

fitas no condutor positivo:

=∑

−

(4.18)

Onde é a carga por unidade de comprimento da fita calculado pela equação (4.2)

28

5 - Validação dos métodos Com o intuito de validar o método dos filamentos de carga e o método das fitas de carga, os

resultados obtidos por estes métodos vão ser comparados com os resultados obtidos

analiticamente. Vão ser utilizados nas simulações quatro sistemas diferentes, dois constituídos

por cabos bifilares não simétricos e dois constituídos por cabos monofásicos não centrados. Os

sistemas simulados têm as características expostas na tabela 5.1.

Tabela 5.1 - Sistemas utilizados na validação do método dos filamentos de carga.

Tipo de cabo

Raio do condutor

positivo (cm)

Raio do condutor

negativo (cm)

Distância entre os centros dos

condutores (cm)

Tensão aplicada (V)

Sistema 1 Bifilar 1 0.5 4 10

Sistema 2 Bifilar 1.5 2.5 7 15

Sistema 3 Monofásico 1 5 2 10

Sistema 4 Monofásico 0.5 3 1 20

5.1 - Sistema 1 Os resultados do cálculo analítico para o sistema 1 da tabela 5.1 estão apresentados na tabela

5.2 e nas figuras seguintes.

Tabela 5.2 Resultados analíticos do sistema 1

Carga no condutor positivo por unidade de comprimento

(pCm-1)

Capacidade do sistema por unidade de comprimento

(pFm-1)

Sistema 1 164.21 16.421

29

-6 -4 -2 0 2 4 6-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5

0

5 -5

0

5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Pot

enci

al [V

]

Figura 5.1-Equipotenciais calculadas analiticamente para o sistema 1.

Figura 5.2 - Potencial eléctrico calculado analiticamente para o sistema 1

[Cm]

[Cm]

[Cm]

[Cm]

30

-6 -4 -2 0 2 4 6-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 5.3 - Campo eléctrico calculado analiticamente para o sistema 1

Os resultados obtidos através do método dos filamentos de carga, para o sistema 1 são

apresentados na tabela 5.3 e nas figuras seguintes.

Tabela 5.3 - Resultados do sistema 1 aplicando o método dos filamentos de carga

Número de filamentos por

condutor

Carga no condutor positivo por unidade de

comprimento (pCm-1)

Capacidade do sistema por unidade de

comprimento (pFm-1)

Erro em relação aos resultados analíticos (%)

10 129.92 12.992 20.9

50 158.75 15.875 3.3

100 162.09 16.209 1.2

500 164.06 16.406 0.001

1 000 164.18 16.418 ≈0

[Cm]

[Cm]

31

0 1 2 3 4 5 6 71.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

-11

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]

Cálculo analíticoMétodo dos filamentos com n=50Método dos filamentos com n=100Método dos filamentos com n=500Método dos filamentos com n=1000

Figura 5.4 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor positivo do sistema 1 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga

Figura 5.5 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor negativo do sistema 1

entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga

0 1 2 3 4 5 6 7

-6.5

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5x 10

-11

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]


× 10

× 10

Car

ga p

or u

nida

de d

e su

perfí

cie

[Cm

-2]

Car

ga p

or u

nida

de d

e su

perfí

cie

[Cm

-2]

32

Os resultados obtidos através do método das fitas de carga, para o sistema 1 são


Tabela 5.4 - Resultados do sistema 1 aplicando o método das fitas de carga

Número de fitas por condutor


comprimento (pCm-1)


comprimento (pFm-1)

Erro em relação ao resultado analítico (%)

10 162.60 16.260 0.98

20 163.79 16.379 0.26

50 164.14 16.414 0.04

100 164.19 16.419 0.01

Figura 5.6 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor positivo do sistema 1

entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga

0 1 2 3 4 5 6 71.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

-11

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]

Cálculo analíticoMétodo das fitas com n=10Método das fitas com n=20Método das fitas com n=50Método das fitas com n=100

× 10

Car

ga p

or u

nida

de d

e su

perfí

cie

[Cm

-2]

33

0 1 2 3 4 5 6 7

-6.5

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5x 10

-11

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]

Cálculo analíticoMétodo das fitas com n= 10Método das fitas com n= 20Método das fitas com n= 50Método das fitas com n= 100

Figura 5.7 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor negativo do sistema 1 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga


seguinte.

Tabela 5.5 Resultados analíticos do sistema 2


(pCm-1)


(pFm-1)

Sistema 2 351.49 23.433

× 10 C

arga

por

uni

dade

de

supe

rfíci

e [C

m-2

]

34





condutor


comprimento (pCm-1)


comprimento (pFm-1)

Erro em relação ao resultado analítico

(%)

10 241.59 16.106 31.3

50 329.57 21.972 6.2

100 342.30 22.820 2.6

500 350.65 23.376 0.2

1 000 351.26 23.417 0.001


entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga

0 1 2 3 4 5 6 72

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5x 10

-11

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]


× 10

Car

ga p

or u

nida

de d

e su

perfí

cie

[Cm

-2]

35

0 1 2 3 4 5 6 7-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1x 10

-11

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]


Figura 5.9 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor negativo do sistema 2 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga



Tabela 5.7-Resultados do sistema 2 aplicando o método das fitas de carga



comprimento (pCm-1)


comprimento (pFm-1)

Erro em relação ao resultado analítico

(%)

10 345.87 23.058 1.60

20 350.04 23.336 0.41

50 351.26 23.417 0.07

100 351.43 23.429 0.02

× 10 C

arga

por

uni

dade

de

supe

rfíci

e [C

m-2

]

36

0 1 2 3 4 5 6 72

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5x 10

-11

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]


Figura 5.10 -Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor positivo do sistema 2 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga

Figura 5.11 -Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor negativo do sistema 2 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga

0 1 2 3 4 5 6 7-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5x 10

-11

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]


× 10

× 10

Car

ga p

or u

nida

de d

e su

perfí

cie

[Cm

-2]

Car

ga p

or u

nida

de d

e su

perfí

cie

[Cm

-2]

37

5.3 - Sistema 3

Os resultados do cálculo analítico para o sistema 3 da tabela 5.1 estão apresentados na tabela

seguinte:

Tabela 5.8- Resultados analíticos do sistema 3


(pCm-1)


(pFm-1)

Sistema 3 389.75 38.975





condutor


comprimento (pCm-1)


comprimento (pFm-1)


10 212.40 21.240 45.5

50 344.93 34.493 11.5

100 369.49 36.949 5.2

500 387.49 38.749 0.6

1 000 389.03 38.903 0.2

38

0 1 2 3 4 5 6 74.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8x 10

-11

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]


Figura 5.12 -Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor positivo do sistema 3 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga

Figura 5.13 - Comparação da distribuição radial da densidade de carga por unidade comprimento do condutor

negativo do sistema 3 entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga

0 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5x 10

-11

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]


× 10

× 10

Car

ga p

or u

nida

de d

e su

perfí

cie

[Cm

-2]

Car

ga p

or u

nida

de d

e su

perfí

cie

[Cm

-2]

39



Tabela 5.10 - Resultados do sistema 3 aplicando o método das fitas de carga



comprimento (pCm-1)


comprimento (pFm-1)


10 392.13 39.213 0.61

20 390.28 39.028 0.14

50 389.83 38.983 0.02

100 389.77 38.977 0.01

Figura 5.14 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor positivo do sistema 3 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga

0 1 2 3 4 5 6 75

5.5

6

6.5

7

7.5

8x 10

-11

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]


× 10

Car

ga p

or u

nida

de d

e su

perfí

cie

[Cm

-2]

40

0 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5x 10

-11

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]


Figura 5.15 -Comparação da distribuição radial da densidade de carga por unidade comprimento do condutor negativo do sistema 3 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga


seguinte:

Tabela 5.11- Resultados analíticos do sistema 4


(pCm-1)


(pFm-1)

Sistema 4 665.37 33.268

× 10 C

arga

por

uni

dade

de

supe

rfíci

e [C

m-2

]

41

0 1 2 3 4 5 6 71.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6x 10

-10

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]






condutor


comprimento (pCm-1)


comprimento (pFm-1)


10 391.04 19.552 41.2

50 601.46 30.073 9.6

100 636.93 31.847 4.3

500 662.17 33.109 0.5

1 000 664.32 33.216 0.2


entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga.

× 10

Car

ga p

or u

nida

de d

e su

perfí

cie

[Cm

-2]

42

0 1 2 3 4 5 6 7-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0x 10

-11

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]


Figura 5.17 -Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor negativo do sistema 4

entre o calculado analiticamente e utilizando o método dos filamentos de carga.



Tabela 5.13-Resultados do sistema 4 aplicando o método das fitas de carga



comprimento (pCm-1)


comprimento (pFm-1)


10 667.98 33.399 0.4

20 665.92 33.296 0.08

50 665.46 33.273 0.01

100 665.40 33.270 0

× 10 C

arga

por

uni

dade

de

supe

rfíci

e [C

m-2

]

43

0 1 2 3 4 5 6 71.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5x 10

-10

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]


Figura 5.18 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor positivo do sistema 4 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga

Figura 5.19 - Comparação da distribuição de carga por unidade de superfície do condutor negativo do sistema

4 entre o calculado analiticamente e utilizando o método das fitas de carga.

0 1 2 3 4 5 6 7-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0x 10

-11

Rad

Den

sida

de d

e ca

rga

por u

nida

de d

e co

mpr

imen

to [C

/m]


× 10

× 10

Car

ga p

or u

nida

de d

e su

perfí

cie

[Cm

-2]

Car

ga p

or u

nida

de d

e su

perfí

cie

[Cm

-2]

44

5.5 - Comparação dos resultados

As figuras 5.1, 5.2 e 5.3 mostram o potencial e o campo eléctrico calculados analiticamente

para o sistema 1. Os resultados de ambos os métodos analisados para estas grandezas são

muito próximos dos calculados analiticamente; por essa razão e para não haver repetições

desnecessárias de figuras, foram só apresentados os resultados analíticos para o sistema 1,

podendo o leitor analisar a evolução do erro pelos outros resultados apresentados.

Pode observar-se pelos resultados apresentados nos capítulos 5.1 a 5.4 que ambos os

métodos produzem resultados aproximados dos obtidos analiticamente, sendo que, com o

aumento dos filamentos no método dos filamentos de carga e das fitas no método das fitas de

carga, os resultados da capacidade e da densidade de carga superficial tendem para os

calculados analiticamente. Assim, ambos os métodos são válidos.

Comparando o método dos filamentos de carga com o método das fitas de carga pode

verificar-se que os resultados do segundo tendem muito mais rapidamente para os resultados

analíticos. Analisando as tabelas 5.3, 5.6, 5.9 e 5.12 conclui-se que para obter um erro da

ordem de 1% no método dos filamentos o número de filamentos terá de ser da ordem da

centena. Por outro lado, pelas tabelas 5.4, 5.7, 5.10 e 5.13, conclui-se que para se obter um

erro da mesma ordem de grandeza no método das fitas de carga só é necessário um número

de fitas da ordem da dezena. Deste modo o método das fitas de carga permite chegar a erros

da mesma ordem de grandeza mas com menos incógnitas no sistema. Posto isto, daqui para a

frente, desenvolver-se-á apenas o método das fitas de carga, por ter ficado verificado que este

produz resultados mais próximos dos reais sem recorrer a um número exorbitante de incógnitas

no sistema.

45

6 - Dieléctricos

Denomina-se por dieléctrico um meio não condutor, ou seja, um meio em que os electrões não

se podem mover livremente no material.

Um dieléctrico é constituído por átomos ou moléculas, que podem ser polares ou não polares.

Nas moléculas polares, o centro da distribuição de carga negativa não coincide com o centro

da distribuição de carga positiva, ao contrário das moléculas não polares. Na presença de um

campo eléctrico uniforme, as moléculas não polares tornam-se polares, uma vez que as cargas

negativas e positivas sofrem forças iguais, mas de sinal contrário. Por outro lado, as moléculas

polares alinham-se sob a acção do mesmo campo, nestas condições diz-se que o dieléctrico

está polarizado. Este efeito é representado pelo vector densidade de polarização eléctrica que,

nos meios lineares e isótropos, é proporcional ao campo eléctrico:

=

(6.1)

Onde -Densidade de polarização [Cm-2]

-Susceptiblidade eléctrica

A polarização tem efeito no campo eléctrico que a induziu, uma vez que ela própria é uma fonte

de campo eléctrico, assim:

= +

(6.2)

Substituindo (6.1) em (6.2) vem:

= (1 + )

(6.3)

Ao comparar com (2.5) pode inferir-se que:

= (1 + )

(6.4)

46

Onde normalmente, 1 + é representado por , que se denomina por constante dieléctrica

relativa.

6.1 - Método analítico

6.1.1 - Cabo monofásico com dois dieléctricos em série

Figura 6.1 – Cabo monofásico com dois dieléctricos em série

Aplicando o teorema de Gauss às superfícies S1 e S2 indicadas na figura (6.1), conclui-se que,

em ambos os dieléctric

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