Diego

FACULDADE ANHANGUERA DE CUIABÁ

ENGENHARIA CIVIL

EDSON FLORÊNCIO RA:8803004625

FRANCISCO DE ASSIS PEREIRA M. RA: 9097460279

HEITOR BRUNO LIMA SILVA RA:8828402986

INGRYD SAMARA DE SOUSA ROSA RA: 8831410892

ODAIR MARIANO RA: 8805332208

RAFAEL VOZ DE VALOR RA:9097456893

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares.

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares

(ETAPA 3,4)

CUIABÁ-MT

JUNHO/2015

EDSON FLORÊNCIO RA: 8803004625

FRANCISCO DE ASSIS PEREIRA M. RA: 9097460279

HEITOR BRUNO LIMA SILVA RA:8828402986

INGRYD SAMARA DE SOUSA ROSA RA: 8831410892

ODAIR MARIANO RA: 8805332208

RAFAEL VOZ DE VALOR RA:9097456893

CÁLCULO NUMÉRICO

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares.

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares

(ETAPA 3,4)

Trabalho apresentado ao curso de,Engenharia civil da faculdade anhanguera de Cuiabá para obtenção de nota parcial e conhecimento em base do estudo visto em sala integrado a ATPS,da disciplina de calculo numérico,Sob orientação do professor. Edson Benedito Antunes Angelo da Silva.

CUIABÁ-MT

ABRIL/2015

SUMARIO

1. INTRODUÇÃO...................................................................................................04

2. ETAPA 3 Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares........................05

Passo 1: Conceitos introdutórios de sistemas lineares.........................................05

Passo 2: circuito elétrico representado................................................................05

Passo 3: Conclusão do Número Parcial do Código de Barras Palíndromo.........08

Passo 4:Relatório3 ................................................................................................08

3. ETAPA 4 Soluções Numérica de Sistema de equações lineares.........................09

Passo 1: conceitos de solução de sistemas lineares.............................................09

Passo 2: desafios propostos..................................................................................10

Passo 3: Equipe....................................................................................................10

Passo 4 Relatório 4..............................................................................................11

4. REFERÊNCIA BIBIOGRÁFICA.....................................................................13

5. CONCLUSÃO.....................................................................................................14

03

INTRODUÇAO

O objetivo deste trabalho é desenvolver e aprimorar nossos conhecimentos com

a relação a conceitos e princípios gerais do calculo numérico. O desafio deste trabalho

desenvolver as etapas 3 4 que será o comprimento descobrir o código de barras linear

palíndromo com 34 barras que chamou a atenção da importadora ,Vendomundo.

Para isto teremos que realizar e concluir sete tarefas que apos devidamente

concluídos teremos que associar a resposta a um número: 0 ou 1. Esses números

colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas fornecerão os dezessete

primeiros algarismos da esquerda para a direita que irão compor o código de barras

linear.

04

2.SOLUÇÁO NUMÉRICA DE SISTEMA LINEARES

ETAPA3:Passo1

Conceitos introdutórios de sistemas lineares

Utilizou-se um exemplo aplicado ao setor imobiliário na cidade de Aparecida do

Norte. Através da aquisição de um terreno em determinado bairro da cidade com

pagamento parcelado por um período de 72 meses ou seis anos. É necessário lembrar

que o IGP-M é acumulativo, ou seja, ele é acrescentado sempre sobre o último reajuste.

Sendo assim um terreno comprado neste plano teve alteração de preço cinco vezes, ou

seja, um reajuste por ano a partir do segundo ano, já que o valor do primeiro ano é

fixado pela imobiliária. Para aplicar a Regra de Cramer foi dado nomes a esses dados

obtidos. Portanto o número de meses pago no decorrer do plano foi representado por x,

o valor das parcelas foi representado por y e o valor aproximado do IGP-M foi

representado por z. O, o valor do IGP-M está aproximado porque oscilou segundo a

inflação do país, sofrendo variações dentro do ano. Com essas três incógnitas aplicou-se

a fórmula para encontrar primeiramente o valor do determinante e logo após encontrou-

se o valor de cada incógnita respectivamente. Para começar o desenvolvimento do

Sistema de Equações Lineares têm as seguintes informações: o número de meses

representado por x, o valor para y era R$ 79,90 e o valor do IGP-M, representado pela

letra z, que estava zerado no primeiro ano, pois o IGP-M só fora cobrado a partir do

segundo ano e o valor total pago no ano. Aqui esta demonstrando os três primeiros

anos. X=72 Y=79,90 Z=0

Passo 2

Considerar um circuito elétrico representado por:

{ i2+¿ i2+¿ i3=0z1i1+¿ z2 i2 ¿0z2i1+¿ z3 i3 ¿120

Onde,i1, i2 e i3são as correntes e z1=10, z2= 8 e z3= 3, as impedâncias pelas quais,as

correntes passam.

05

A respeito do sistema linear gerado pelo circuito elétrico, podemos afirmar:

I – o determinante da matriz incompleta A do sistema é 118

II –a matriz inversa de A, denotada por A-¹=[0,20 0,02 0,070,25

1−0,09 0,080,07 0,15 ]

III – o sistema é possível e determinado (sistema compatível) e a solução é dada por= i1

= 9,79; i2=4,11; i3=-13,9

Onde, e são as correntes z1=10, z2= 8 e z3= 3, as impedâncias pelas quais as correntes

passam.

z1=0 =10

- z1= = 65 = 8

- z1= 120 = 3

+ z2= 0

z2- 8. = 65

z2=8.3 .=120

z3= 0

z38. – 3. = 120

Respeito do sistema linear gerado pelo circuito elétrico, podemos afirmar:

I – o determinante da matriz incompleta A do sistema é 118.

06

DetA:

8.8-3.(-8-10) = DetA = 8.8 + 3(18)

DetA = 64 + 54 = DetA = 118

II –a matriz inversa de A, denotada por A-¹=[0,20 0,02 0,070,25

1−0,09 0,080,07 0,15 ]

A= 1 1 1 CofA = -24 30 -64 (CofA)t = -24 30 -64

108 0 30 -88 0 30 -88 0

80 -3 -64 0 6 -64 0 6

III – o sistema é possível e determinado (sistema compatível) e a solução é dada por= i1 =

9,79; i2=4,11 ; i3=-13,9

DetA i1 = = -1.(-3.65) + (-8.120) = -765 = DetA i1

DetA i2 = = 1.(120.10 – 8.65) .1 (-3.65) = 485 = DetA i2

1 1 0

DetA i3= 10 8 65 = 1.8.120 – 1. (10.120 – 65.8) = 280 = DetA i3

8 0 120

i1= DetA i1 = - 765 = - 6,48

Det A 118

i2 = DetA i2 = 485 = 4,11

Det A 118

i3 = DetA i3 = 280 = 2,37

Det A 118

07

I – o determinante da matriz incompleta A do sistema é 118.

Esta afirmação é correta, pois o determinante corresponde, DetA = 118

II – a matriz inversa de A, denotada por = -¹=[0 ,20 0 ,02 0 ,070 ,25

1−0 ,09 0 ,080 ,07 0 ,15 ]

Esta afirmação está incorreta visto que a matriz inversa é diferente da matriz

apresentada;

III – o sistema é possível e determinado (sistema compatível) e a solução é dada por:

=i1 = 9,79; i2=4,11; i3=-13,9

Esta afirmação está correta pois a solução encontrada é igual a da solução apresentada;=

9,79; = 4,11; = -13,9 = = 9,79; = 4,11; = -13,9

Passo 3

Conclusão do Número Parcial do Código de Barras Palíndromo

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.

Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.

Associar o número 1, se aafirmação III estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.

Passo 4

RELAORIO 3:Soluções numéricas de sistema de equações lineares-parte1

Noções de equações lineares com matrizes não singulares; Matrizes inversas

generalizadas; Consistência em sistemas de equações lineares; noções de restrição nas

soluções e nos parâmetros,Seja A=[aij] uma matriz de ordem nxm: Norma linha: O

maior somatório dos elementos de cada linha de uma matriz . O somatório de cada linha

08

da matriz equivale a soma em módulo de cada elemento da linha da matriz, Norma

coluna: O maior somatório dos elementos de cada coluna de uma matriz . O somatório

de cada coluna da matriz equivale a soma em módulo de cada elemento da coluna da

matriz.

Após a conclusão da etapa 2 e realização dos cálculos encontramos os seguintes

números parciais do código de barras palíndromo:

011

Etapa 4

Passo 1 (Equipe)

Soluções Numérica de Sistema de equações lineares

Um sistema lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de

equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis.

Sistemas lineares podem ser classificados em: Possível Determinado: (solução única).

Indeterminado: (infinitas soluções). Impossível

Não admite solução. Deve-se observar que, a equação linear é, necessariamente, uma

equação polinomial. Sistemas lineares também são muito usados para a computação, em

algoritmos e programação. Pode ser conceituado como um sistema de equações do

primeiro grau, ou seja, um sistema no qual as equações possuem apenas polinômios, em

que cada parcela tem apenas uma incógnita. Em outras palavras, num sistema linear,

não há potência diferente de um ou zero.. Os sistemas lineares podem ser resolvidos

através de diferentes métodos: por escalonamento, e pelo método de Cramer O método

do escalonamento permite resolver sistemas lineares de n equações a n incógnitas. Caso

existam mais incógnitas do que equações, o método não funcionará, ou seja, ele não

permite resolver sistemas com grau de liberdade maior ou igual a 1.Desafio A

Dada a Matriz = [2 1 3 0221

211

54

3,5

10

2,5]

Sobre a decomposição LU, podemos afirmar que:

09

I – a matriz L é dada por: [ 1 0 0 121

0,5

1 0 10 1 0

0,5 1 1]

II – a matriz U é dada por:[2 1 3 0000

1 2 10 1 00 0 2

]Passo 2

2. Desafio B

Considerar os sistemas:

(a) (b)

{ 4 x1−¿X2 +X 3=82 X1 +5 X2 +2X 3=3X1 +2 X2 +4 X 3=11

¿

Utilizando a eliminação de Gauss e aritmética de ponto flutuante com três algarismos

significativos com arredondamento, podemos afirmar que:

I – a solução do sistema (a) é X1 = ,0 999999, x2= − e 1 e x3=3

II – tanto no sistema (a) quanto no sistema (b), a troca das equações não altera a

solução;

III – a solução do sistema (b) é x1= − 4,0; x2= 2,1; x3 = 0,6 e x4= 0,3 ;

IV=O Valor determinante da matriz A do sistema (b) é 10.

Passo 3 (Equipe)

Para o desafio A:



10



Para o desafio B:





Associar o número 0, se a afirmação III estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação III estiver errada.

Associar o número 1, se a afirmação IV estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação IV estiver errada.

Após a conclusão da etapa 2 e realização dos cálculos encontramos os seguintes

números parciais do código de barras palíndromo:

Para o desafio A: 10

Para o desafio B: 1001

Relatório 4 - Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares – parte 2

Conceitos de solução de sistemas lineares: método direto (exato) e método interativo

Os métodos numéricos destinados a resolver sistemas lineares são divididos em dois

grupos são dois métodos os métodos diretos e os métodos iterativos.

Métodos, diretos :São métodos que produzem a solução exata de um sistema, a menos

de erros de arredondamento, depois de um número finito de operações aritméticas. Com

esses métodos é possível determinar, a priori, o tempo máximo gasto para resolver um

sistema, uma vez que sua complexidade é conhecida. A clássica Regra de Cramer,

ensinada no ensino médio, é um método direto. Entretanto, pode-se mostrar que o

número máximo de operações aritméticas envolvidas na resolução de um sistema n × n

por este método é (n + 1) (n!n − 1) + n. Assim, um computador que efetua uma

11

operação aritmética em 10−8 segundos gastaria cerca de 36 dias para resolver um

sistema de ordem n = 15. A complexidade exponencial desse algoritmo inviabiliza sua

utilização em casos práticos. O estudo de métodos mais eficientes torna-se, portanto,

necessário, uma vez que, em geral, os casos práticos exigem a resolução de sistemas

lineares de porte mais elevado. Apresentaremos, a seguir, métodos mais eficientes, cuja

complexidade é polinomial, para resolver sistemas lineares. Antes, porém,

introduziremos uma base teórica necessária à apresentação de tais métodos.

Método de Gauss.O método de Gauss consiste em operar transformações elementares

sobre as equações de um sistema Ax = b até que, depois de n−1 passos, se obtenha um

sistema triangular superior, Ux = c. equivalente ao sistema dado, sistema esse que é

resolvido,retroativas.

A resolução deste sistema pelo método de Gauss envolve duas fases distintas. A

primeira, chamada de fase de eliminação, consiste em transformar o sistema dado em

um sistema triangular superior. A segunda, chamada de fase de substituição, consiste

em resolver o sistema triangular superior através de substituições retroativas. Para

aplicar a primeira fase, utilizemos o quadro abaixo, onde cada grupo de linhas re-

presenta um passo (ou estágio) da obtenção do sistema triangular superior.

Trabalharemos com 3 dígitos com arredondamento na apresentação em ponto flutuante.

Ao realizar os cálculos propostos nesta atividade prática supervisionada (atps),

concluindo as etapas 1,2, 3 e 4, chegamos aos números do código de barras:

Etapa 1 = 11101

Etapa 2 = 000

Etapa 3 = 011

Etapa 4 = 101001

Então podemos afirmar que o Código de barras da etapa 1 a 4 completos

é:11101000011101001

Código de Barras Linear Palíndromo:

1110100001110100110010111000010111

12

CONCLUSÃO

Conforme os desenvolvimentos foram voltados aos passos das etapas e os cálculos

desenvolvidas as situações proposta nos desafios foram de extrema importância para

encontramos os códigos de barras que é objetivo principal do nosso trabalho assim

viemos a encontrar a Resolução: O código de barras linear palíndromo completo com os

últimos 17 algarismos: ( 1110110001110010110100111000110111 ).

Por fim foi elaborado nesta Atps, um relatório sobre Soluções numéricas de

sistema de equações lineares parte 1 e parte 2 , como também algumas resoluções de

cálculos, onde foram usadas diversas ferramentas, para calcular e justificar todas etapas,

dando conclusão final de todos os desafios do código de barras entre as mesmas e

concluindo.

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REFERENCIA BIBIOGRAFICA

HATTORI, M. T. H. & QUEIROZ, B. C. N. Métodos e Software Numéricos.

Departamento de Sistemas e Computação, Universidade Federal de campina Grande,

Campina Grande, 1995.

RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e

computacionais. 2.ed. São Paulo, Makron, 1997

Franco, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª ed. São Paulo.

Ruggiero, Marcia G. Cálculo Numérico, Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª ed.

São Paulo.

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