Dimensionamento sísmico de edifícios de betão segundo o EC8-1

Luciano Jacinto

Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Área Departamental de Engenharia Civil

Junho 2014

Índice 1  Introdução ............................................................................................................... 3 

1.1  A acção sísmica ............................................................................................... 3 1.2  Dimensionamento baseado em forças versus deslocamentos ............................ 6 1.3  Situações de projecto ...................................................................................... 7 1.4  Filosofia do EC8 ............................................................................................. 8 

2  Requisitos de desempenho ..................................................................................... 10 

3  Quantificação da acção sísmica .............................................................................. 10 3.1  Zonas sísmicas .............................................................................................. 11 3.2  Tipos de terreno ........................................................................................... 12 3.3  Classes de importância .................................................................................. 14 3.4  Espectros de resposta .................................................................................... 15 

3.4.1  Coeficiente de comportamento ............................................................ 15 3.4.2  Espectro de resposta de cálculo horizontal ......................................... 16 3.4.3  Espectro de resposta de cálculo vertical ............................................. 17 

3.5  Acelerogramas ............................................................................................... 19 

4  Projecto de edifícios ............................................................................................... 19 4.1  Princípios básicos de concepção .................................................................... 19 4.2  Elementos sísmicos primários e secundários .................................................. 20 4.3  Critérios de regularidade estrutural .............................................................. 21 

4.3.1  Critérios de regularidade em planta .................................................... 22 4.3.2  Critérios de regularidade em altura .................................................... 24 

4.4  Massas presentes na combinação sísmica ...................................................... 25 4.5  Modelação estrutural .................................................................................... 26 4.6  Efeitos acidentais da torção .......................................................................... 27 4.7  Métodos de análise ........................................................................................ 28 

4.7.1  Método de análise por forças laterais .................................................. 28 4.7.2  Análise modal por espectros de resposta ............................................. 30 4.7.3  Métodos não lineares .......................................................................... 31 

2

4.8  Combinação direccional ................................................................................ 31 4.9  Cálculo dos deslocamentos ............................................................................ 34 4.10  Efeitos de 2.ª ordem ...................................................................................... 34 4.11  Elementos não estruturais ............................................................................. 35 4.12  Enchimentos de alvenaria ............................................................................. 35 4.13  Verificação da segurança ............................................................................... 37 

4.13.1 Estado limite último ........................................................................... 37 4.13.2  Limitação de danos ............................................................................. 41 

5  Regras específicas para edifícios de betão .............................................................. 42 5.1  Disposições gerais.......................................................................................... 42 

5.1.1  Definições ........................................................................................... 42 5.1.2  Classificação da estrutura ................................................................... 43 5.1.3  Classes de ductilidade ......................................................................... 44 5.1.4  Materiais e Verificação da segurança .................................................. 44 

5.2  Coeficiente de comportamento ...................................................................... 45 5.3  Factor de ductilidade em curvatura requerido .............................................. 47 5.4  Projecto para a classe DCM ......................................................................... 48 

5.4.1  Limitações geométricas ....................................................................... 48 5.4.2  Esforços de cálculo .............................................................................. 49 5.4.3  Disposições construtivas ..................................................................... 55 

5.5  Projecto para a classe DCH .......................................................................... 67 5.6  Disposições relativas a amarrações e emendas .............................................. 67 

5.6.1  Amarração de armaduras .................................................................... 67 5.6.2  Emenda dos varões ............................................................................. 68 

5.7  Fundações e seus elementos .......................................................................... 69 5.8  Efeitos locais nos pilares devidos a enchimentos de alvenaria ....................... 70 5.9  Disposições para diafragmas de betão ........................................................... 71 5.10  Estruturas pré-fabricadas .............................................................................. 71 

Anexo A — Aceleração do terreno para períodos de retorno diferentes de 475 anos . 72 

Anexo B — Rotina MATLAB para o traçado dos espectros de resposta ................... 74 

Anexo C — Justificação das expressões do EC8 relativas à ductilidade local ............ 76 C.1  Vigas ............................................................................................................. 76 C.2  Pilares ........................................................................................................... 77 

Créditos das Figuras: Uma boa parte das Figuras foi extraída das apresentações dos colegas Cansado Carvalho e António Costa num seminário realizado em 2011 na Ordem dos Engenheiros, dedicado aos EC8-1, e ainda da lição proferida pelo colega Trancoso Vaz aquando da sua passagem a Professor Coordenador do ISEL.

3

1 Introdução

1.1 A acção sísmica

i Em Portugal ocorrem sismos praticamente todos os dias. Felizmente são de baixa magnitude e a maioria não são sentidos. A título de exemplo mostra-se no mapa seguinte a localização dos epicentros de sismos ocorridos em apenas um mês:

Figura: Sismos ocorridos em apenas um mês (fonte www.ipma.pt)

i Aquando da ocorrência de um sismo, as acelerações do terreno são transmitidas à estrutura, gerando acelerações (e consequentemente forças—chamadas forças de inercia), nas três direcções. Em regiões sísmicas estas forças poderão ser extrema-mente gravosas. De facto, em estruturas de betão armado (que são estruturas rela-tivamente pesadas e portanto mais penalizadas pelos sismos), a acção sísmica é em geral a acção condicionante dos elementos verticais (pilares e paredes).

i Recorda-se de seguida alguns conceitos básicos de dinâmica de estruturas. Conside-re-se o oscilador de 1 gl representado na Figura. A massa está sujeita a 3 tipos de forças:

– força elástica: eF k x= − ;

– Forças de atrito: aF c x= − ;

– Força de excitação exterior: ( )f t

(o coeficiente c designa-se por coeficiente de amortecimento viscoso)

Aplicando a 2.ª Lei de Newton, vem:

m

k

x(t)

f (t)

4

( ) ( ) ( ) ( ) ( )iF m x kx cx f t m x m x t cx t kx t f t= ⇔ − − + = ⇔ + + =∑

i A solução desta equação é dada pelo chamado integral de Duhamel1.

i No caso específico da acção sísmica, não há nenhuma força exterior aplicada na massa (i.é., ( ) 0f t = ). Há sim movimentos do solo (ground), ( )gx t , com as respec-tivas acelerações, ( )gx t :

O deslocamento total é igual a: ( ) ( ) ( )t gx t x t x t= + . Derivando obtêm-se as veloci-dades: ( ) ( ) ( )t gx t x t x t= + , e derivando mais uma vez obtêm-se as acelerações:

( ) ( ) ( )t gx t x t x t= + .

Assim, a equação do movimento devido a uma aceleração ( )gx t na base do oscila-dor, é dada por:

( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )g gm x t x t c x t k x t m x t c x t k x t mx t+ + + = ⇔ + + =− ,

cuja solução, ( )x t , é dada pelo integral Duhamel referido acima, no qual se deve substituir ( )f τ por ( )gm x τ− . Derivando ( )x t , obtêm-se as velocidades ( )x t , e de-rivando as velocidades obtêm-se as acelerações ( )x t .

i Na prática interessa conhecer apenas os valores máximos dessas quantidades (des-locamento, velocidade e aceleração) durante a actuação do sismo (não a sua evolu-ção exacta ao longo do tempo). Chama-se espectro de resposta de aceleração ao va-lor máximo da aceleração da massa m de um oscilador de 1 gl quando sujeito a um sismo. Igualmente se definem espectros de deslocamento e espectros de velocidade2. Mais precisamente, espectro de resposta de aceleração é a função ( )S S T= que dá

1 ( )( )0

(1

( ) ( ) sen )t

w ta

a

x t f e w dmw

tξ ττ τ τ− − −= ∫ ,

em que

/w k m= (frequência angular);

21aw w ξ= − (frequência angular amortecida)

/ cc cξ = ; (coeficiente de amortecimento)

2cc m w= (coeficiente de amortecimento crítico)

Em estruturas de betão: 5%ξ = ; em estruturas metálicas: 3%ξ = . 2 Quando se fala em espectros de resposta e não se especifica de que tipo é, subentende-se de que se trata de espectros de aceleração

m

k

x (t)g x(t)t

x (t)gAcelerograma

5

a aceleração máxima maxS x= de um oscilador de 1 gl com período T durante a ocorrência de um dado sismo.

i Os espectros de resposta são, por definição, referidos a um oscilador com compor-tamento elástico, e são representados no EC8-1 por ( )eS T . A configuração típica dos espectros do EC8-1 é a seguinte:

Verifica-se que a gama de períodos para as quais os efeitos dos sismos são maiores (fenómeno de ressonância3) situa-se no intervalo 0.1–0.6s (ou, em termos de fre-quências, no intervalo 1.6–10 Hz).

i A resposta de uma estrutura à acção dos sismos (traduzida nos espectros de res-posta) depende fundamentalmente de:

– características dos acelerogramas ( )gx t , que por sua vez dependem de:

- localização geográfica da estrutura (sismicidade do local);

- magnitude e distância focal do sismo;

- tipo de terreno;

– características da estrutura:

- períodos de vibração. Os períodos dependem, por sua vez, da massa e rigidez da estrutura;

- coeficiente de amortecimento viscoso;

- ductilidade.

i A ductilidade de uma estrutura afecta de forma substancial a resposta de uma es-trutura à acção dos sismos. Está relacionada com a capacidade da estrutura se de-formar em regime não linear, sem deterioração significativa da sua capacidade re-sistente. Quanto maior for essa capacidade, maior é a quantidade de energia que a estrutura consegue dissipar (fenómeno de histerese). Este fenómeno traduz-se numa diminuição dos esforços gerados pela acção sísmica, em relação aos esforços que a estrutura teria se permanecesse em regime linear durante o sismo.

i As características do terreno têm também uma influência importante na resposta da estrutura aos sismos. Os terrenos maus tendem a provocar uma amplificação das ondas sísmicas, agravando os efeitos por elas causados. Em geral quanto piores forem os terrenos de fundação, maiores serão os esforços devidos ao sismo.

3 Ressonância é um fenómeno de amplificação de efeitos quando a estrutura possui frequências de vi-bração próximas das frequências da fonte excitadora (neste caso o sismo).

Se

TTB TC TD

TB = 0.1 s

TC =

TD = 2.0 s

TC (Tipo de sismo e tipo de terreno)

Zona de máxima ressonânciaentre a estrutura e o sismo

6

1.2 Dimensionamento baseado em forças versus deslocamentos

i Considere-se os dois osciladores representados na Figura, um com comportamento elástico linear até ao infinito e outro com comportamento elasto-plástico, supor-tando uma força máxima yF . Admita-se que os osciladores possuem idêntica rigi-dez, idêntica massa e idêntico amortecimento.

i Sujeitando os osciladores a um sismo idêntico, constata-se que o deslocamento má-ximo dos osciladores são idênticos, embora a força envolvida no primeiro oscilador seja bastante superior. Esta constatação é conhecida como regra de igualdade de deslocamentos de Newmark (Costa, 2013).

Figura: Regra da igualdade de deslocamentos de Newmark.

Conclui-se assim que, mesmo que uma estrutura plastifique durante um sismo, o deslocamento máximo a que ficará sujeita pode ser estimado assumindo compor-tamento elástico linear para a estrutura.

i Chama-se coeficiente de comportamento q à relação:

e

y

Fq

F= .

i Define-se factor de ductilidade em deslocamento, δμ , à relação:

max

yδ

δμ

δ= .

Para uma estrutura com comportamento elasto-plástico, da Figura resulta imedia-tamente que:

qδμ = .

i Em geral as estruturas de betão armado (e também as estruturas metálicas) possu-em comportamento semelhante ao comportamento elasto-plástico. De acordo com as considerações acima, podemos identificar dois métodos de dimensionamento des-sas estruturas. O primeiro baseia-se em forças e consiste basicamente em:

1. Determinar as forças devidas ao sismo assumindo comportamento elástico line-ar e dividir essas forças por um coeficiente de comportamento q, estrategica-

1

δmax,1

2

δmax,2

1

2

F

δ

δmax,1 δmax,2= δmax=δmax

Fy

Fe

δy

xg xg

~ ~

7

mente escolhido em função do grau em que se pretende explorar a ductilidade da estrutura. Quanto maior for o coeficiente de comportamento escolhido, maior é a redução das forças envolvidas, mas maiores serão as exigências em termos de ductilidade.

2. Dimensionar e pormenorizar a estrutura de forma a garantir que a sua ductili-dade é compatível com o coeficiente de comportamento usado.

Este é o método base previsto no EC8-1, que especifica o valor máximo do coefici-ente de comportamento a usar e contém uma série de medidas prescritivas com o objectivo de garantir que a ductilidade δμ da estrutura garanta o coeficiente de comportamento q.

Note-se que quanto maior é o coeficiente de comportamento maiores vão ser os deslocamentos em fase não elástica e portanto maiores serão em princípio os danos assumidos na estrutura. Em particular, dimensionar uma estrutura para um coefi-ciente de comportamento unitário equivale a assumir que a estrutura permanece em regime elástico durante o sismo, ou seja, sobrevive ao sismo com danos míni-mos.

i O segundo método baseia-se em deslocamentos e consiste basicamente em:

1. Efectuar uma análise elástica linear e determinar os deslocamentos máximos da estrutura durante o sismo, maxδ , deslocamentos estes que poderão ser conside-rados iguais aos deslocamentos que a estrutura vai sofrer em caso de sismo.

2. Determinar os deslocamentos associados ao colapso da estrutura, uδ , procu-rando garantir que max uδ δ≤ .

Esta condição pode ser expressa em termos de ductilidade, bastando dividir ambos os membros da inequação por yδ : neste caso a condição a garantir é:

ductilidade exigida ≤ ductilidade disponível.

Refira-se que este método é mais apropriado que o anterior para estruturas exis-tentes, e é o método base previsto no EC8-3.

1.3 Situações de projecto

i Nos edifícios de betão armado localizados em regiões sísmicas, as acções principais são: (1) cargas permanentes, g, (2) sobrecarga q e (3) sismo E. A Figura seguinte ilustra os diagramas de momentos num pórtico típico devido a essas acções:

i O dimensionamento deve ser efectuado para as SP persistente e sísmica:

g, qE(+) E(-)

8

– SP persistente: 1.35 1.5g q+ ;

– SP sísmica: 2g E qψ+ + .

i Frequentemente a 1.ª combinação condiciona ape-nas o momento na secção de 1/2 vão das vigas.

Obervação: Note-se que não faz muito sentido con-siderar a combinação g E+ , pois a resposta da es-trutura à acção sísmica é determinada consideran-do as massas associadas a 2 qψ .

1.4 Filosofia do EC8

i O EC8-1 tem por finalidade básica assegurar que, em caso de ocorrência de sismo:

1. as vidas humanas são protegidas;

2. os danos são limitados;

3. as estruturas importantes para a protecção civil se mantêm operacionais.

i Em caso de ocorrência de sismos intensos admite-se que a estrutura possa sofrer danos graves, mas não deve colapsar, a fim de reduzir ao mínimo o risco de perdas de vidas humanas. O cumprimento deste requisito (não colapso) obriga a explorar o comportamento não linear dos materiais e dos elementos estruturais, procurando-se que a energia transmitida pelos sismos seja em boa parte dissipada por histerese em zonas previamente seleccionadas, denominadas zonas críticas, ou zonas dissipa-tivas.

i Os edifícios de betão resistentes aos sismos devem assim ser projectados de forma a garantir uma capacidade de dissipação de energia e um comportamento dúctil ade-quados. Para este efeito, os modos dúcteis de rotura (por exemplo, por flexão, com formação de rótulas plásticas) deverão preceder, com suficiente fiabilidade, os mo-dos de rotura frágeis (por exemplo, por esforço transverso).

i Todos os elementos estruturais ligadas nas zonas críticas (zonas onde se formarão rótulas plásticas, que garantem a referida dissipação de energia) devem ser capazes de resistir aos momentos desenvolvidos nessas rótulas. É o caso das fundações por exemplo, que deverão ser dimensionadas para resistir ao momento plástico na base do pilar. O dimensionamento baseado nesta ideia designa-se por capacity design, ou dimensionamento pela capacidade real. O objectivo é garantir que nenhum ele-mento estrutural entra em ruina antes da formação das rótulas plásticas.

i O momento plástico pM é obtido a partir do momento resistente de cálculo, RdM , aplicando o chamado factor de sobreresistência, Rdγ , isto é:

p Rd RdM Mγ= .

O factor de sobreresistência, que evidentemente é maior que 1.00, pretender ter em conta:

1. o facto do momento resistente de cálculo ser avaliado a partir de valores de calculo das propriedades dos materiais (inferiores aos valores médios);

1.35g + 1.5q

g + E + ψ2

q

9

2. o aumento da resistência do betão por confinamento.

3. o aumento de momento resistente devido ao endurecimento dos aços.

i O EC8 compõe-se das seguintes partes:

– EN 1998-1: Regras gerais e regras para edifícios;

– EN 1998-2: Disposições específicas relativas a pontes;

– EN 1998-3: Avaliação sísmica para a reabilitação de edifícios existentes;

– EN 1998-4: Disposições relativas a silos, reservatórios e condutas;

– EN 1998-5: Disposições relativas a fundações, a estruturas de suporte;

– EN 1998-6: Disposições relativas a torres, mastros e chaminés.

O presente resumo descreve as disposições essenciais da parte 1, adiante referenci-ada pela sigla EC8-1, ou simplesmente por EC8 quando daí não resultar ambigui-dade.

i Visão geral do conteúdo do EC8-1:

1. Generalidades

2. Requisitos de desempenho

3. Condições do terreno e acção sísmica

4. Projecto de edifícios

5. Regras específicas para edifícios de betão

6. Regras específicas para edifícios de aço

7. Regras específicas para edifícios mistos aço-betão

8. Regras específicas para edifícios de madeira

9. Regras específicas para edifícios de alvenaria

10. Isolamento de base

i Principais diferenças entre o EC8-1 e o RSA:

– O Sismo do RSA tem um período de retorno de 975 anos, para todas as estru-turas, enquanto que no EC8, o período é de 475 anos para a generalidade das estruturas (embora possa ser superior para estruturas de certa importância)

– O EC8-1 prevê a consideração de um sismo (por vezes chamado sismo de ser-viço, ou ainda sismo frequente) na verificação da satisfação do requisito de li-mitação de danos (estado limite de utilização) enquanto que no RSA o sismo é apenas considerado na verificação da segurança aos estados limites últimos.

– No RSA a acção sísmica é considerada com um coeficiente de segurança de 1.5 (como nas acções variáveis) enquanto que nos eurocódigos a acção sísmica não é majorada.

– No RSA, os sismos são considerados actuando separadamente em cada direcção considerada. No EC8-1, as 3 componentes do sismo (x, y e z) são consideradas actuando simultaneamente.

10

2 Requisitos de desempenho i Para atingir os objectivos estabelecidos4, o EC8-1 fixa 2 requisitos fundamentais a

satisfazer pelas estruturas em regiões sísmicas:

1. Requisito de não colapso (estado limite último): Nos casos correntes, as estru-turas devem ser capazes de resistir a um sismo com uma probabilidade de 10% de ser excedido em 50 anos5, sem colapso local ou global, mantendo assim a sua integridade estrutural e uma capacidade resistente residual depois do sis-mo.

2. Requisito de limitação de dados (estado limite de utilização): As estruturas devem ser capazes de resistir a um sismo com uma probabilidade de 10% de ser excedido em 10 anos6, sem a ocorrência de danos susceptíveis de limitar a sua utilização.

i O sismo mencionado acima para o requisito do não colapso (sismo com um período de retorno de 475 anos) aplica-se a estruturas correntes — estruturas pertencentes à classe de importância II. A classe de importância está relacionada com as conse-quências de um eventual colapso em caso de sismo. Para estruturas pertencentes a outras classes de importância, o período de retorno da acção sísmica a considerar é ajustado em conformidade. Por exemplo para estruturas cuja operacionalidade seja essencial garantir em caso de ocorrência de sismo intenso (quarteis de bombeiros, hospitais, etc.), o período de retorno a considerar é de cerca de 1300 anos.

3 Quantificação da acção sísmica i No dimensionamento das estruturas em Portugal devem ser considerados dois tipos

de sismo:

– sismo tipo 1;

– sismo tipo 2.

O Anexo Nacional contém a seguinte nota explicativa (NA.4.2b, p. 216):

«A necessidade de, em Portugal, considerar dois tipos de acção sísmica decorre do facto de haver dois cenários de geração dos sismos que podem afectar Portugal:

– um cenário designado de “afastado” referente, em geral, aos sismos com epi-centro na região Atlântica e que corresponde à Acção sísmica Tipo 1;

– um cenário designado de “próximo” referente, em geral, aos sismos com epi-centro no território Continental, ou no Arquipélago dos Açores, e que corres-ponde à Acção sísmica Tipo 2».7

i O sismo tipo 1 (mais distante) é rico em baixas frequências e o sismo tipo 2 (mais próximo) é rico em altas frequências. Daí que, para uma estrutura particular não

4 Protecção de vidas humanas, limitação de danos e garantia de que estruturas importantes para a protecção civil se mantêm operacionais em caso de sismo intenso. 5 Equivalente a um período de retorno de 475 anos. 6 Equivalente a um período de retorno de 95 anos. 7 O sismo tipo 1 corresponde ao sismo tipo 2 do RSA e o sismo tipo 2 ao sismo tipo 1 do RSA.

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i Visto que a cada classe de importância corresponde um valor da aceleração à su-perfície do terreno, podemos associar a cada classe de importância um período de retorno da acção sísmica a considerar. Os períodos de retorno implícitos no EC8-1 são os seguintes (p. 212):

Classe de importância Período de retorno

I 243 anos

II 475 anos

III 821 anos

IV 1303 anos

3.4 Espectros de resposta

i O EC8 apresenta espectros de resposta elástica, ( )eS T , e espectros de resposta de cálculo, ( )dS T . Apresentam-se de seguida apenas os segundos, pois são os mais uti-lizados.

i A capacidade das estruturas de resistir às acções sísmicas no domínio não linear permite efectuar o seu cálculo para resistirem a forças sísmicas inferiores às que corresponderiam a uma resposta elástica linear. A fim de evitar uma análise estru-tural não elástica explícita, a capacidade de dissipação de energia da estrutura (devida principalmente ao comportamento dúctil dos seus elementos e/ou de ou-tros mecanismos) é tida em conta, efectuando-se uma análise elástica baseada num espectro de resposta reduzido em relação ao de resposta elástica, designado por es-pectro de cálculo.

i Esta redução é efectuada introduzindo o coeficiente de comportamento q (Cl. 3.2.2.5 (1) e (2), p. 42).

3.4.1 Coeficiente de comportamento

i O coeficiente de comportamento q é uma aproximação da razão entre as forças sísmicas eF a que a estrutura ficaria sujeita se a sua resposta fosse completamente elástica, com 5 % de amortecimento viscoso, e as forças sísmicas yF que poderão ser adoptadas no projecto, isto é:

e

y

Fq

F=

i Os valores do coeficiente de comportamento são dados nas partes da EN 1998 para vários materiais e sistemas estruturais, tendo em conta as classes de ductilidade aplicáveis. Tais valores já incluem a influência de amortecimentos viscosos diferen-tes de 5 %.

3.4.2 E

i Paradado

(dS T

β =

i Valoa) A

Notaobtid

i O va

S =

i No Ade es

Sma

S

Espectro de

a as compoo por:

)

g

g

g

g

a S

a ST

a S

a S

⎧⎪⎪⎪ ⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⋅⎪⎪⎪= ⎨⎪⎪ ⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⋅⎪⎪⎪⎩

0.20

ores dos paAcção sísmi

a: Para os dos por est

alor do par

axm

max

1

S

SS

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪ −⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Anexo B dspectros de

1

ax

S

1

e resposta d

onentes ho

2

232.5

,

2.5

2.5

B

C

C D

TS

T

Sq

TS

q TT T

Sq T

⎡ ⎛⎜⎢⋅ + ⎜⎢ ⎜⎜⎝⎢⎣

⋅

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛⎜⋅ ⎜⎜⎜⎝

arâmetros Tca tipo 1

terrenos dtudos espec

râmetro S

(max 13

gS

a−

deste docume resposta

de cálculo h

orizontais d

2.5 2,

3

,

,

g

Dg

q

a

a

β

β

⎤⎛ ⎞⎟⎥⎟− ⎟⎥⎟⎝ ⎠⎥⎦

≥

⎞⎟⎟ ≥⎟⎟⎠

TB, TC, TD

dos tipos Sciais.

(coeficiente

) 1 m1 /

g

g

a

a

≤

≥

−

mento apr de cálculo

4 ag

16

orizontal

da acção s

0

B

C

D

T

T T

T T

T T

≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

≤

e Smax : b)

1 e S2, os

e de solo) é

2

2

2

1 m/s

/s

4 m/s

ga

≤

< <

≥

resenta-se u horizontal

sísmica, o e

B

C

D

T

T

T

≤

≤

) Acção sísm

valores de

é determin

24 m/s

uma rotinal.

Sd

T

espectro d

mica tipo 2

e TB, TC, T

nado por (p

a MATLA

TB TC

de cálculo

2

TD e S deve

p. 210):

AB para o

TD

ag S 2.5q

( )dS T é

erão ser

traçado

T

3.4.3 E

i Relasões

i Devecoefi

i O va

Exemsísm

Reso

Cálc

I =

K =

f =

Acel

Lisb

Clas

Espectro de

ativamente acima sub

erá adoptaiciente de c

alor de S se

mplo: Detemica:

olução:

culo do per

3 /0.4 0.4×

3

3 3EI

L= =

12

Kmπ

= =

leração má

oa ⇒ gRa

se de impo

0.

e resposta d

à componbstituindo

ar-se para t comportam

erá tomado

erminar os

ríodo de vib

/ 12 0.00=

6

3

3 30 10

5

× ×

1 15362 300π

=

áxima do os

1.5 m/

1.7 m/

⎧⎪⎪⎪= ⎨⎪⎪⎪⎩

ortância II

m

4x0.4

de cálculo ve

nente verti

ga por vga

todos os mmento q não

o com valo

esforços n

bração

40213 m ;

6

3

0.00213×

60001.14

000=

scilador

2

2

/s sismo

/s sismo

⇒ ga =

5.00

17

ertical

cal, o espe:

materiais e o superior

or igual a 1

na base do

1536 kN=

4 Hz ; T

tipo 1

tipo 2

gRa ;

Localiz

Terren

Classe

Coefic

m = 30

E = 30

ectro de cá

para todos a 1.5.

1,0.

o seguinte

N/m ;

1 /T f= =

zação: Lisboa

no tipo C

e de importânc

iente de comp

0 ton

0 GPa

álculo é ob

s os sistem

reservatór

0.88 s= ;

cia: II

portamento: 1

btido pelas

mas estrutu

rio devido

.5

expres-

urais um

à acção

18

Sismo tipo 1, terreno tipo C:

max 1.6S = ; ( )1.6 11.6 1.5 1 1.5

3S

−= − − = ;

22.5 0.61.5 1.5 2.56 m/s

1.5 0.88dS = × =

Sismo tipo 2, terreno tipo C:

max 1.6S = ; ( )1.6 11.6 1.7 1 1.46

3S

−= − − = ;

22.5 0.251.7 1.46 1.175 m/s

1.5 0.88dS = × =

2max(2.56,1.175) 2.56 m/sdS = = (a acção sísmica tipo 1 é condicionante)

Força sísmica

30 2.56 76.8 kNdF mS= = × = ;

Esforços na base

76.8 kNEdV = ;

76.8 5 384 kNmEdM = × = ;

Notas: 1. Analisamos apenas o sismo numa das direcções. Como a

estrutura é simétrica, o sismo na outra direcção produz idênticos efeitos. O EC8 estabelece que as duas compo-nentes da acção sísmica devem ser consideradas como ac-tuando simultaneamente. Como veremos este critério é materializado recorrendo a uma combinação quadrática das 2 componentes da acção sísmica. Para o caso do es-forço transverso na base, tem-se:

276.8 76.80 kNxV += = ;

20 76.8 76.8 kNyV = + = .

2. A título de referência, mostra-se a seguir os espectros de resposta de cálculo para a estrutura em questão:

76.8 kN

76.8

kN

19

Figura: Espectros de resposta do problema em questão (Cidade de Lisboa, terreno tipo C, γI = 1.00; q = 1.50).

3. O conceito de coeficiente sísmico /dS gβ = , utilizado no RSA, não é utilizado no EC8. No presente exemplo, tem o seguinte valor:

2.56 / 9.8 0.26β = = .

3.5 Acelerogramas

i Em alternativa ao uso de espectros de resposta, a análise sísmica pode ser feita recorrendo a uma análise dinâmica directamente a partir de acelerogramas. Exis-tem dois tipos de acelerogramas:

1. Acelerogramas artificiais

2. Acelerogramas registados a partir de sismos reais.

i A Cl. 3.2.3 (p. 44) contém regras gerais para o uso de acelerogramas.

4 Projecto de edifícios

4.1 Princípios básicos de concepção

i A fase de concepção é a fase mais importante no projecto de qualquer estrutura. Em regiões sísmicas este aspecto assume particular importância, dado o caracter marcadamente aleatório e imprevisível da acção sísmica.

i A rigidez da estrutura não deve ser muito alta nem muito baixa. Por um lado as estruturas devem ser flexíveis (frequências fundamentais inferiores a 1 Hz) a fim de reduzir a sua sensibilidade aos sismos. Por outro lado, não devem ser demasiado

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

T [s]

S d [m

/s2 ]

Sismo tipo 1

Sismo tipo 2

20

flexíveis, pois isso agrava efeitos de 2.ª ordem. Normalmente frequências funda-mentais superiores a 0.5 Hz conduzem a efeitos de 2.ª ordem moderados.

i O EC8-1 refere os seguintes princípios básicos de concepção:

Simplicidade estrutural: A simplicidade estrutural caracteriza-se pela existência de trajectórias claras das forças sísmicas. Permite uma previsão mais fiável do comportamento sísmico.

Uniformidade, simetria e redundância da estrutura: O princípio da uniformidade (ou regularidade) aplica-se tanto em planta como em altura. Permite evitar ro-turas locais prematuras. A simetria em planta reduz os efeitos de torção. O princípio da redundância também é importante: quando mais redundante for a estrutura (ou mais hiperstática) maior será o número de ligações a plastificar até ao colapso, reduzindo-se assim a probabilidade de colapso.

Resistência e rigidez nas duas direcções: visto que a acção sísmica pode actuar em qualquer direcção, as estruturas devem possuir rigidez e resistência em ambas as direcções.

Resistência e rigidez à torção: O efeito da torção induz um acréscimo (que se pode evitar) de forças de inercia, com maior relevância nos elementos resistentes mais afastado do centro de rotação. São claramente vantajosas as disposições em que os principais elementos de contraventamento são distribuídos perto da periferia do edifício.

Acção de diafragma ao nível dos pisos: e efeito de diafragma exercido pelos pisos (se possuírem rigidez adequada no seu plano) é importante na distribuição das forças sísmicas pelos elementos verticais resistentes, graças ao efeito e compa-tibilização de deslocamentos.

Fundação adequada: As fundações desempenham um papel importante no compor-tamento global dos edifícios aos sismos. As acelerações do terreno são transmi-tidas pelas fundações e as forças de inércia sísmicas têm de ser resistidas pelas próprias fundações.

Devem-se evitar fundações de natureza diferente no mesmo edifício (cl. 2.2.4.2 (2), p. 35).

As sapatas ou maciços de encabeçamento de estacas devem ser ligadas entre si (por vigas de travamento ou lajes de fundação) a fim de evitar que se movam independentemente, assegurando assim uma excitação sísmica uniforme de to-do o edifício (Costa, 2013). A adopção de vigas de fundação é boa prática também porque resistem a uma boa parte dos momentos transmitidos pelos pi-lares, reduzindo assim os momentos nas sapatas e consequentemente as tensões transmitidas ao terreno.

4.2 Elementos sísmicos primários e secundários

i Poderá escolher-se um certo número de elementos estruturais (por exemplo, vigas e/ou pilares) como elementos sísmicos “secundários”, isto é, que não fazem parte do sistema do edifício resistente às acções sísmicas. A resistência e a rigidez desses elementos às acções sísmicas é então desprezada. Não é necessário que obedeçam aos requisitos estipulados nas secções 5 a 9 do EC8-1. No entanto, esses elementos

e as funçà sitrão t(1),

i A conão 4.2.2

Obsementrais cado

4.3 C

i Paradas e

i Algu

Em

1. R

2. R

–

–

i A re

i Obseplancomutas equer

suas ligação de supouação de p

ter-se em p. 47)

ontribuição deverá ser2 (4), p. 48

ervação: Ctos sísmico que por raos nas secçõ

ritérios de

a efeitos do em regular

umas das c

resumo:

Regularida

Regularida

Possibilid

Obrigatorturas irre

edução do c

ervação: Cnta é obrigum utilizarestruturas r verificaçã

ões devemorte das foprojecto sís consideraç

o para a rr superior 8).

Como exemos secundáazões arquiões 5 a 9 d

e regularid

o projecto res e não re

consequênc

ade em pla

ade em altu

dade de usa

riedade de egulares.

coeficiente

Como mostar à elaborem-se mo serão clasão explícita

ser dimenorças gravítsmica maisção os efeit

rigidez late a 15 % da

mplos de eleários temostectónicas

do EC8-1.

dade estru

sismo-resiegulares, q

ias dessa c

nta ⇒ Po

ura ⇒

ar método

reduzir o

de compor

tra o Quaoração de uodelos tridisificadas à

a dos critér

21

nsionados eticas quans desfavorátos de segu

eral de toda de todos

ementos qs os pilare não cump

utural

istente, as quer em pla

classificação

ossibilidade

estático eq

coeficiente

rtamento é

adro 4.1, um modeloimensionaisà partida crios de regu

e pormenorndo sujeitosável. No cáunda ordem

dos os elem os elemen

que poderãoes fungiformpram os req

estruturasanta quer e

o constam

e de se adop

quivalente.

e de compo

é de 20%.

a consequo tridimenss, mesmo ecomo irreguularidade e

rizados de s aos desloálculo dessem (efeitos

mentos sísmntos sísmic

o ser classimes e os equisitos geo

s dos edifícem perfil.

no Quadro

ptar model

ortamento

ência da isional. Com

em estrutuulares em em planta.

modo a mocamentos es elemento -P Δ ). (C

micos secucos primári

ificados coelementos eométricos e

cios são cl

o 4.1 (p. 48

los planos.

no caso d

irregularidmo hoje emuras simple planta, sem

manter a devidos os deve-Cl. 4.2.2

undários ios. (Cl.

omo ele-estrutu-

especifi-

assifica-

8):

de estru-

dade em m dia é es, mui-m qual-

22

4.3.1 Critérios de regularidade em planta

i Os critérios de regularidade em planta utilizam os conceitos de centro de massa e centro de rigidez dos pisos. O centro de massa (CM) é o centro de gravidade do pi-so, e deve incluir todos os elementos, estruturais e não estruturais (incluindo o próprio piso). O centro de rigidez (CR), também chamado centro de rotação, deve apenas incluir os elementos estruturais primários. Por definição, o CR é o ponto do piso por onde deve passar uma força horizontal de modo a gerar apenas translação do piso. As coordenadas do CR podem ser calculadas simplificadamente pelas ex-pressões:

( )xi

CRx

i

x I

xI

=∑

∑;

( )yi

CRy

i

y I

yI

=∑

∑

Observação: Chama-se a atenção para o uso correcto das inércias. Segue um exem-plo:

0 0 8 80.89

8 8CR

I I L I L Ix L

I I I I+ + +

= =+ + +

0 04 40.5

4 4CR

I LI I L Iy L

I I I I+ + +

= =+ + +

i Para que um edifício seja classificado como regular em planta, deve satisfazer as condições seguintes (p. 49):

1. No que se refere à rigidez lateral e à distribuição de massas, a estrutura do edi-fício deve ser aproximadamente simétrica em relação a dois eixos ortogonais.

2. A configuração em planta deve ser compacta, isto é, deve ser delimitada, em cada piso, por uma linha poligonal convexa. Se existirem recuos em relação a essa linha (ângulos reentrantes ou bordos recuados), poderá considerar-se que existe regularidade em planta se esses recuos não afectarem a rigidez do piso no plano e se, para cada um deles, a área entre o contorno do piso e a linha poligonal convexa que o envolve não é superior a 5 % da área do piso.

3. A rigidez dos pisos no plano deve ser suficientemente grande em relação à rigi-dez lateral dos elementos estruturais verticais, para que a deformação do piso tenha um efeito reduzido na distribuição das forças entre os elementos. Assim, as formas L, C, H, I e X em planta deverão ser cuidadosamente examinadas, em particular no que diz respeito à rigidez dos ramos laterais salientes, que de-

x

y

(i)CR

x

y

CR

x

y

Ix = Iy = I

Ix = Iy = I

Ix = 8IIy = 4I

L

L

vd

4. A

qd

5. A

c

em

0e

xr

sl

i O ra

xr

O ra

yr =

Notarelaç

i Relament

verá ser codiafragma

A esbeltezaque maxL edo edifício

A cada nív

0e e o raiocadas para

0 0.3xe ≤

x sr l≥

m que:

0x distânci

x raiz quadção y (“ra

raio de g(a) o mocentro de

aio de torçã

(x

x=

∑

aio de torçã

( 2xx I

=∑

∑a: As coorção ao CR.

ativamente te distribu

omparável rígido.

a maxLλ =e minL são, medidas e

vel e para o de torçãoa a direcção

0 xr

a entre o C

drada da reaio de torç

giração da omento pole gravidade

ão segundo

2 2

x

x yx I y I

I

+

∑

ão na direc

)2

y

x yy I

I

+

∑

rdenadas d.

ao raio duída pela ár

à da part

x min/ L do o, respectiv em direcçõ

cada direco r devem vo de cálcul

CR e o CM

elação entrção”).

massa do lar de inére do piso e

o x pode se

)

cção y será

dos elemen

e giração rea do piso

23

te central,

o edifício emvamente, a ões ortogon

cção de cál verificar aslo y):

M, medida s

re a rigidez

piso em prcia da ma (b) a mas

er estimado

á obviamen

ntos resiste

da massa o, podemos

x

y

CR

e0x

, de forma

m planta n maior e a

nais.

lculo x e y,s duas con

segundo a

z de torção

planta (raizassa do pissa do piso)

o pelas exp

nte:

entes vertic

do piso, ses escrever:

CM

x

(i)x

y

a a satisfaz

não deve se menor dim

, a excentrndições segu

direcção x

o e a rigide

z quadradaso em plan).

pressão:

cais devem

e a massa

x

zer a cond

er superior mensão em

ricidade estuintes, (ex

x.

ez lateral n

a da relaçãnta em rel

m ser medi

estiver un

dição de

a 4, em m planta

trutural xemplifi-

na direc-

ão entre ação ao

idas em

niforme-

24

x ys

I Il

A

+=

No caso específico de um edifício com área rectangular a b× tem-se:

2 2

12s

al

b+=

4.3.2 Critérios de regularidade em altura

i Para que um edifício seja classificado como regular em altura, deve satisfazer as condições seguintes (p. 50):

1. Todos os elementos resistentes a acções laterais, tais como núcleos, paredes es-truturais ou pórticos, são contínuos desde a fundação até ao topo do edifício.

2. A rigidez lateral e a massa de cada piso permanecem constantes ou apresentam uma redução gradual, sem alterações bruscas, desde a base até ao topo do edi-fício.

3. Nos edifícios com estrutura porticada, a relação entre a resistência real do piso e a resistência requerida pelo cálculo não deverá variar desproporcionadamente entre pisos adjacentes.

4. Quando a construção apresenta recuos aplicam-se as condições esquematizadas na Figura seguinte:

Figur

4.4 M

i Parapartip. 45

1

m

j

G=∑

em q

ra: Critérios

Massas pre

a efeitos dair das acçõ5 e 4.2.4, p

1

n

jki

G ϕ=

+∑

que ϕ tom

s de regular

esentes na

a quantificões gravíticp. 51):

2i ikQψ

ma os seguin

ridade dos e

a combina

cação da acas present

ntes valore

25

edifícios com

ação sísm

acção sísmites na segu

es:

m recuos.

mica

ica, as masuinte comb

ssas devembinação de

m ser calcu acções (C

uladas a Cl. 3.2.4,

i O cotes e

4.5 M

i Em rigidefeitarmafendde esrigid

Obse1. S

tt

2. Rtl

3. Et

–

–

N

M

oeficiente ϕem toda a e

Modelação

edifícios ddez dos eleo da fendiadura. A nilhados, posforço tran

dez corresp

ervações: Segundo Ftiva, isto étado da fis

Repare-se tivamente lise seja a

Esta dispotos:

um com

outro com

No entanto EI não ahaverá in

EI I

Início d

ϕ têm em estrutura d

estrutura

e betão, emmentos resilhação. Enão ser quoderá consinsverso dosondente do

Fardis et aé, é comumssuração.

que as est baixos, pe correspond

osição obrig

IIEI EI=

m EI EI= em edifícioaltera os esnconvenien

EI II

Início da cedarmaduras

dafissuração d

conta a podurante o s

al

m edifíciossistentes dssa rigidez

ue seja efeciderar-se qs elementosos elemento

l. (2005) am observare

ruturas deelo que é codente ao es

ga em prin

para a com

II para a c

os que não sforços devnte em ela

1R

dência das

do betão

26

ossibilidade sismo.

s mistos açdeverá, em z deverá cctuada umque as props de betão os não fend

IIEI

a relação Eem-se dimi

e betão comompreensívstado II e n

ncípio a ela

mbinação

combinação

sejam misvidos à comaborar um

e de as car

ço-betão e geral, ser

correspondea análise m

priedades d e de alvendilhados. (

0.5 IEI≈

0.5IIEI E=nuições su

meçam a fivel que a rnão ao esta

aborar dois

2g E ψ+ +

o 1.35 1g +

stos aço-bembinação único mo

gas ikQ nã

em edifício avaliada ter ao inícimais rigorode rigidez enaria são igCl. 4.3.1 (6

IEI é consperiores de

issurar parrigidez que ado I.

s modelos

2 q ;

1.5q .

etão, a dim 1.35 1.g +odelo com

ão estarem

os de alve tendo em io da cedêosa dos eleelástica de guais a me6) e (7), p

siderada coe rigidez em

ra momente interessa

estruturais

minuição da5q , pelo q rigidez re

presen-

naria, a conta o ência da ementos flexão e etade da . 53)

onserva-m resul-

tos rela- na aná-

s distin-

a rigidez que não eduzida.

27

Deve-se porem ter presente que os deslocamentos elásticos instantâneos obti-dos para essa combinação são o dobro dos reais.

i Os pisos poderão ser em geral modelados como diafragmas indeformáveis no seu plano.

i Enchimentos de alvenaria: Para sistemas de paredes ou parede-equivalente poderá desprezar-se a interacção com os enchimentos em alvenaria (Cl. 4.3.6.1.(4), p. 66), o que equivale a ignorar a sua presença no cálculo estrutural. No entanto, no caso de sistemas porticados ou equivalentes a pórtico, deve-se levar em conta o seguinte na elaboração do modelos de cálculo (Cl. 4.3.6.3.1, p. 67):

– No caso de grandes irregularidades em planta devidas à disposição assimétrica dos enchimentos (por exemplo, enchimentos localizados principalmente em du-as faces consecutivas do edifício), deverão utilizar-se modelos espaciais na aná-lise da estrutura e os enchimentos deverão ser incluídos no modelo.

– No caso de os enchimentos de alvenaria não estarem distribuídos de forma re-gular, mas não de uma forma que constitua uma irregularidade significativa em planta, essas irregularidades poderão ser consideradas multiplicando por 2,0 os efeitos da excentricidade acidental, descrita na secção seguinte.

Notas: 1. As duas regras acima só são obrigatórias em estruturas da classe DCH, mas o

próprio EC8 recomenda a sua aplicação a estruturas DCL e DCM.

2. Se for necessário modelar as paredes de alvenaria, uma forma de o fazer é re-correr a bielas diagonais. Uma boa descrição destes modelos encontra-se em:

Crisafulli, F. J., Carr, A. J., Park, R. - "Analytical modelling of infilled frames structures - A general review" Bulletin of the New Zealand Society for Earth-quake Engineering, vol. 33, pp. 30-47, 2000.

4.6 Efeitos acidentais da torção

i Para ter em conta a incerteza na localização das massas e na variação espacial do movimento sísmico, o centro de massa calculado em cada piso i deve ser deslocado, em cada direcção, em relação à sua posição nominal de uma excentricidade aciden-tal, dada por (4.3.2 (1)P, p. 53):

0.05ai ie L= ±

em que iL é a dimensão do piso na direcção perpendicular à direcção da acção sísmica.

28

i A excentricidade aie (e bem assim o momento) deve ser aplicada com o mesmo sentido em todos os pisos.

i Como sugerido na Figura, sempre que se utiliza um modelo espacial, os efeitos aci-dentais de torção poderão ser contabilizados aplicando em cada piso i um momento torsor de eixo vertical, dado por (p. 59):

( )0.05ai aii i iM F e F L= = ± ,

em que iF a força sísmica actuante no piso i.

Se o piso for modelado como diafragma indeformável no seu plano, é indiferente o ponto de aplicação dos momentos torsores8.

4.7 Métodos de análise

i Métodos de análise previstos no EC8-1:

a) Análise por forças laterais para os edifícios que satisfaçam as condições indica-das na próxima sub-secção.

b) Análise modal por espectro de resposta, aplicável a todos os tipos de edifícios.

c) Análise estática não linear (pushover).

d) Análise (dinâmica) temporal não linear.

O método de referência é o b).

4.7.1 Método de análise por forças laterais

i Este método, também chamado método estático equivalente, aplica-se aos edifícios que (1) satisfaçam os critérios de regularidade em altura e que (2) tenham períodos de vibração fundamental 1T nas duas direcções principais inferiores a:

8 Recorde-se que o vector momento comporta-se como um vector livre.

eai

CM

Li

eai

CMou

Fi Fi

Piso i Piso i

CM CMou

Fi

Piso i Piso i

Fi

Mi = Fi 0.05 Li( )+ Mi = Fi 0.05 Li( )-

29

1

4

2.0CT

Ts

⎧⎪⎪≤ ⎨⎪⎪⎩

i A força de corte sísmica na base — chamada força de corte basal — deve ser de-terminada, para cada direcção horizontal na qual o edifício é analisado, a partir da seguinte expressão:

1( )b dF S T m λ= ⋅ ⋅

em que:

1( )dS T ordenada do espectro de cálculo para o período 1T ;

1T período de vibração fundamental do edifício na direcção considerada;

m massa total do edifício (presente na combinação sísmica), acima da fundação ou acima do nível superior de uma cave rígida;

λ factor de correcção, cujo valor é igual a:

10.85 2 edifício com mais de dois pisos

1.0 restantes casosCT T

λ⎧⎪ ≤ ∧⎪= ⎨⎪⎪⎩

i A p. 56 contém indicações para o cálculo de 1T .

i Para cada direcção horizontal principal, a força sísmica a aplicar no piso i, iF , pode ser calculada admitindo que os deslocamentos horizontais crescem linearmen-te em altura, isto é:

i ii b

j j

z mF F

z m=

∑

im massa do piso i;

iz altura do piso i acima da fundação ou acima do nível superior de uma cave rígida.

i Em alternativa ao método descrito anteriormente para a determinação dos efeitos de torção, se a rigidez e a massa estiverem simetricamente distribuídas no plano, os efeitos acidentais de torção poderão ser considerados multiplicando os esforços em cada elemento resistente por um coeficiente δ dado por:

1 0.6e

xL

δ = +

onde:

x distância do elemento considerado ao centro de gravidade do edifício em plan-ta, medida perpendicularmente à direcção da acção sísmica considerada;

eL distância entre os dois elementos de contraventamento mais afastados, medida perpendicularmente à direcção da acção sísmica considerada.

Piso iFi

zi

30

4.7.2 Análise modal por espectros de resposta

Número de modos de vibração a considerar

i Os modos de vibração ordenam-se em geral por ordem crescente de frequências: modo 1, 2,..., ,...,i k . O modo 1 (modo de menor frequência, ou de maior período) designa-se por modo fundamental.

i Deve ser considerada a participação de todos os modos que contribuem significati-vamente para a resposta global da estrutura. Tal poderá ser satisfeito se puder ser demonstrada uma das seguintes condições (Cl. 4.3.3.3.1, p. 58):

– a soma das massas modais efectivas para os modos considerados representa pe-lo menos 90 % da massa total da estrutura;

– todos os modos com massas modais efectivas superiores a 5 % da massa total são considerados.

Nota: A massa modal efectiva im , correspondente a um modo i, é determinada de forma a que a força de corte na base biF , actuando na direcção de aplicação da ac-ção sísmica, possa ser expressa por ( ) bi d i iF S T m= ⋅ . Pode demonstrar-se que a soma das massas modais efectivas (para todos os modos e para uma dada direcção) é igual à massa da estrutura.

i Caso os requisitos acima não possam ser satisfeitos (por exemplo, em edifícios com uma contribuição significativa dos modos de torção), deverá considerar-se numa análise espacial um número mínimo de k modos que satisfaçam as duas condições seguintes:

3k n≥

0.2 skT ≤ , ( 5Hzkf ≥ )

onde:

n N.º de pisos acima da fundação ou do nível superior de uma cave rígida.

kT Período de vibração do último modo considerado.

Métodos de combinação modal

i Sempre que todas as respostas modais tidas em conta possam ser consideradas co-mo independentes entre si, o valor máximo EE do efeito da acção sísmica (força, deslocamento, etc.) poderá ser tomado como (SRSS rule):

2

1

k

E Eii

E E=

= ∑

onde EiE é o valor desses efeito associado ao modo i.

Nota: As respostas de dois modos de vibração i e j (incluindo os modos de transla-ção e os de torção) poderão ser consideradas como independentes entre si se os seus períodos satisfizerem a seguinte condição:

0.9j iT T≤

31

i Caso os modos não possam ser considerados independentes, devem adoptar-se mé-todos mais rigorosos para a combinação dos máximos modais, como por exemplo a “Combinação Quadrática Completa” (CQC rule):

1 1

k kE ij Ei Eji j

E E Eρ= =

= ∑ ∑ ,

com,

( )( )

22

22

1

1 4ij

ξ λρ

λ ξ λ

+=

− +; ξ - coeficiente de amortecimento; i

j

TT

λ = .

Observações:

1. Para dois modos de vibração, a expressão acima reduz-se a 2 2

12 1 21 22E E EE EE E E E Eρ= + + .

2. Repare-se que o método CQC, considerado mais rigoroso, transforma-se no mé-todo SRSS no caso de amortecimento nulo. Como o coeficiente de amorteci-mento nas estruturas reais é bastante pequeno, o erro cometido pelo método SRSS é em geral pequeno (considerando evidentemente válida a hipótese de independência dos modos de vibração).

4.7.3 Métodos não lineares

i Ver p. 59 e seguintes.

i O Anexo Nacional contém algumas restrições à utilização de métodos de análise não-linear para o dimensionamento sismo-resistente de edifícios sem isolamento de base (Cl. NA–4.3.3.1(4), p. 212).

4.8 Combinação direccional

i De acordo com a Cl. 4.3.3.5.1(1)P, p. 62, deve considerar-se que as componentes horizontais da acção sísmica, ( )gx t e ( )gy t , actuam simultaneamente. Esta regra obrigaria a considerar, para um determinado efeito E da acção sísmica (força ou deslocamento): X YE E E= + , sendo XE e YE os valores do efeito E devidos às componentes X e Y da aceleração do terreno, respectivamente9. O problema é que

XE e YE representam valores máximos do efeito E durante o intervalo de tempo de ocorrência do sismo e esses máximos não ocorrem simultaneamente. Para resol-ver esta questão (não simultaneidade de ocorrência de máximos), o EC8-1 preconi-za a regra da combinação quadrática:

2 2X YE E E= +

i Em alternativa, é apresentada a seguinte regra, conhecida como regra da combina-ção linear:

9 Quando se faz uma análise dinâmica por espectros de resposta, a análise para cada uma das direcções de aceleração do terreno é feita separadamente, havendo a necessidade de combinar posteriormente os respectivos efeitos.

32

0.30max

0.30X Y

X Y

E EE

E E

⎧⎪ +⎪= ⎨⎪ +⎪⎩

Nota: o factor 0.30 resulta de se ter verificado que o valor médio de um efeito da acção sísmica é sensivelmente 30% do máximo. Assim a combinação linear consiste em adicionar o valor máximo dum efeito devido a um sismo numa dada direcção com o valor médio desse efeito devido ao sismo na outra direcção.

Exemplo: Admita-se que se obtiveram num determinado ponto de uma estrutura os seguintes deslocamentos devidos às componentes X e Y da acção sísmica:

xd [m] yd [m]

XE 0.05 0.02

YE 0.01 0.08

Aplicando a regra da combinação quadrática tem-se:

2 20.05 0.01 0.051 mxd = + =

2 20.080.02 0.082 myd = =+

O deslocamento total poderá ser obtido aplicado o Teorema de Pitágoras:

2 20.0820.051 0.097 md = =+

Aplicando a regra da combinação linear tem-se:

0.05 0.30 0.01 0.053max 0.053 m

0.30 0.05 0.01 0.025xd⎧ ⎫⎪ ⎪+ × =⎪ ⎪⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪× + =⎪ ⎪⎭⎪⎩

0.02 0.30 0.08 0.044max 0.086 m

0.30 0.02 0.08 0.086yd⎧ ⎫⎪ ⎪+ × =⎪ ⎪⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪× + =⎪ ⎪⎭⎪⎩

O deslocamento total poderá ser obtido aplicado o Teorema de Pitágoras:

2 20.0860.053 0.101 md = =+ .

Verifica-se neste exemplo uma diferença entre os dois métodos de cerca de 4%. Constata-se que a diferença entre um e outro método não vai além dos 8%.

i Relativamente à componente vertical da acção sísmica, só precisa ser considerada se vga for superior a 0,25 g (2,5 m/s2) e nos casos indicados a seguir:

– elementos estruturais horizontais ou quase horizontais com vãos iguais ou su-periores a 20 m;

– elementos horizontais ou quase horizontais em consola com mais de 5 m de comprimento;

33

– elementos pré-esforçados horizontais ou quase horizontais;

– vigas que suportam pilares;

– estruturas com isolamento de base.

Observação: Repare-se que o critério de que 22.5 m/svga > só ocorre em zonas de elevada sismicidade e estruturas da classe de importância III ou IV. No entan-to, mesmo em locais onde 22.5 m/svga < deve-se ponderar a consideração da componente vertical do sismo. No sismo de L'Aquila em 2009 a componente vertical foi responsável por muitos danos.

i No caso da componente vertical Z da acção sísmica ser relevante, a Cl. 4.3.3.5.2(4) refere que as regras anteriores são extensíveis a esta componente, isto é:

2 2 2X Y ZE E E E= + + .

Em alternativa, poderá considerar-se:

0.30 0.30

max 0.30 0.30

0.30 0.30

Z

Y

X Y

Z

Z

X Y

X

E E E

E E E E

E E E

⎧⎪ + +⎪⎪⎪= + +⎨⎪⎪ + +⎪⎪⎩

Exemplo: Admita-se que se obtiveram num determinada secção de uma estrutura os seguintes esforços:

xM yM N

XE 50 300 5

YE 400 20 5

ZE 0 0 40

Pela regra da combinação quadrática, vem:

2 240050 403 kNm0xM + += = → 403 kNm± ;

2 220300 301 k m0 NyM + += = → 301 kNm± ;

2 2 25 405 40.6 kNN + += = ; → 40.6 kN± .

Nota: A verificação da segurança deve ser efectuada para a combinação de sinais mais gravosa entre os 3 esforços.

Pela regra da combinação linear, vem:

50 0.30 400 0 170

max 0.30 50 400 0 415 415 kNm

0.3 50 0.30 400 0 135xM

⎧ ⎫⎪ ⎪+ × + =⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= × + + = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪× + × + =⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

→ 415 kNm± ;

34

300 0.30 20 0 306

max 0.30 300 20 0 110 306 kNm

0.30 300 0.30 20 0 96yM

⎧ ⎫⎪ ⎪+ × + =⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= × + + = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪× + × + =⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

→ 306 kNm± ;

5 0.30 5 0.30 40 18.5

max 0.30 5 5 0.30 40 18.5 43 kN

0.3 5 0.30 5 40 43

N

⎧ ⎫⎪ ⎪+ × + × =⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= × + + × = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪× + × + =⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

→ 43 kN± ;

Nota: A verificação da segurança deve ser efectuada para a combinação de sinais mais gravosa entre os 3 esforços.

4.9 Cálculo dos deslocamentos

i Se for efectuada uma análise linear utilizando os espectros de cálculo, os desloca-mentos devidos à acção sísmica, sd , devem ser obtidos a partir dos deslocamentos elásticos obtidos da análise, ed , usando a expressão:

s d ed q d= ,

onde dq representa o coeficiente de comportamento em deslocamento, que se admi-te ser igual a q.

i Se for efectuada uma análise não linear (estática ou dinâmica) os deslocamentos sd são os obtidos directamente da análise, sem modificações.

4.10 Efeitos de 2.ª ordem

i Não é necessário considerar os efeitos de 2.ª ordem se a seguinte condição for satis-feita em todos os pisos (Cl. 4.4.2.2 (2), p. 69):

0.1tot r

tot

P d

V hθ = ≤ ,

em que:

totP Carga gravítica total acima do piso considera-do, na situação de projecto sísmica;

rd valor de cálculo do deslocamento relativo entre pisos, avaliado como a diferença entre os deslo-camentos laterais médios sd no topo e na base do piso considerado: , 1 ,r s i s id d d+= − .

totV força de corte sísmica total no piso considerado;

h altura entre pisos.

dr

h

Vtot

Ptot

i + 1

i

35

Se 0.1 0.2θ< ≤ os efeitos de segunda ordem poderão ser avaliados de modo apro-ximado multiplicando os esforços sísmicos por um factor igual a ( )1 / 1 θ− .

Observação: um bom critério de projecto é conceber a estrutura de modo que 0.20θ ≤ , de modo a evitar ter esforços de 2.ª ordem muito grandes.

i Se 0.2 0.3θ< ≤ é necessário avaliar os efeitos de 2.ª ordem de forma explícita.

i Não são admissíveis valores de 0.3θ > .

4.11 Elementos não estruturais

i Os elementos não estruturais dos edifícios que possam, em caso de colapso, pôr em risco as pessoas ou afectar a estrutura principal do edifício ou as instalações de serviços vitais, devem ser verificados para resistirem à acção sísmica de cálculo.

i Exemplos de elementos não estruturais que se podem enquadrar nessas circunstân-cias:

– parapeitos;

– antenas;

– chaminés;

– paredes (exteriores e interiores);

– elementos de fixação de tectos falsos, etc.

i As regras para a verificação da segurança desses elementos encontram-se na Cl. 4.3.5, p. 64.

4.12 Enchimentos de alvenaria

i Por enchimentos de alvenaria entende-se as paredes de alvenaria (exteriores e inte-riores) sem funções estruturais. Estes enchimentos poderão ser tanto benéficos co-mo prejudiciais. Se adequadamente confinados pelos pórticos e regularmente distri-buídas em planta e altura, poderão apresentar os seguintes efeitos benéficos:

1. Reduzem as deformações globais da estrutura e bem assim os danos em ele-mentos estruturais e elementos não estruturais (canalizações, equipamentos, etc.).

2. A sua resistência ao esforço transverso pode contribuir significativamente para um aumento global da resistência do edifício às forças horizontais sísmicas.

3. Contribuem para a dissipação de energia através do seu comportamento histe-rético.

i No entanto os enchimentos de alvenaria poderão também apresentar efeitos nefas-tos para o comportamento sísmico dos edifícios. Por este motivo, ignoram-se em geral os efeitos positivos, mas, como refere a Cl. 4.3.6.2 (3), «Devem ser tomadas em conta as grandes incertezas devidas ao comportamento dos enchimentos (no-meadamente, a variabilidade das suas propriedades mecânicas e das suas condições de ligação à estrutura confinante, uma sua eventual modificação durante a utiliza-ção do edifício, assim como a variabilidade dos danos sofridos durante o sismo)». Entre os possíveis efeitos negativos dos enchimentos de alvenaria, referimos:

1. Ps

2. St

3. Sp

4. Pt

5. Evb

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Se estiveretos de torç

Se estiverepor soft-sto

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Enchimentvocarem ubém flexão

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Ää ~02

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36

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os efei-

a rotura

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por pro-mas tam-

guinte:

o (efeito

37

(b) Aqui a rotura deu-se por flexão. A presença das paredes de alvenaria provocou uma diminuição do comprimento livre do pilar e um consequente aumento da rotação nas rótulas plásticas para o deslocamento provocado pelo sismo. Estas não tinham ductilidade suficiente para suportar tais rotações e acabaram por degradar.

i Uma forma de combater os efeitos negativos das alvenarias consiste em conceber estruturas com paredes resistentes, cuja rigidez se sobreponha à rigidez introduzida pelas alvenarias. Como refere a Cl. 4.3.6.1(4), p. 66, para sistemas de paredes e ou-tros sistemas devidamente contraventados, «poderá desprezar-se a interacção com panos de alvenaria». Exceptua-se no entanto a necessidade de verificar os efeitos locais associados à biela diagonal dos enchimentos (rotura local por esforço trans-verso), assunto a tratar mais à frente neste resumo.

i Limitação dos danos nos enchimentos: No caso de sistemas porticados e sistemas equivalente a pórtico, deverá levar-se em conta o disposto na Cl. 4.3.6.4 onde se lê: «Deverão tomar-se medidas adequadas para evitar a rotura frágil e a desintegração prematura das paredes de enchimento (em particular dos painéis de alvenaria com aberturas ou constituídos por materiais friáveis), assim como o colapso parcial ou total para fora do seu plano dos painéis de alvenaria esbeltos10. Deverá prestar-se especial atenção aos painéis de alvenaria com um coeficiente de esbelteza (relação entre o menor comprimento ou altura e a espessura) superior a 15».

De acordo com a Cl. acima, algumas medidas incluem:

– redes electrossoldadas ligeiras bem amarradas numa face da parede;

– cintas nas paredes fixas aos pilares e dispostas nas juntas de assentamento da alvenaria;

– montantes e cintas de betão ao longo dos painéis e com a espessura total da parede

Se houver grandes aberturas ou furações em qualquer dos painéis de enchimento, os seus bordos deverão ser cintados por lintéis e montantes.

4.13 Verificação da segurança

4.13.1 Estado limite último

Condição de resistência

i Para todos os elementos estruturais deve garantir-se a condição habitual de segu-rança:

d dE R≤

i Se os efeitos de cálculo das acções dE forem obtidos por um método de análise não linear, para as zonas dissipativas (que são dimensionadas e pormenorizadas para assegurar a ductilidade) a condição segurança deverá ser verificada em termos de

10 Esta é uma causa frequente de perdas de vidas humanas.

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M∑r

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38

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39

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41

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e pilares e arede quan

des de granpormenoriza caracteriura ( wh ), oelástico lim

adas. Parear por vigem pelo meação aos q

mentos na é equilibrao iguais à s

-se como srticado quaos 65 % d é assegurao o sistema

paredes. Dndo a relaçã

ndes dimenzada para iza-se por

o que for mmitado na s

edes acoplagas de ducenos 25 % que seriam

base das ado pelas r soma dos

sistema poando a resa resistêncada por paa não é po

De acor-ão com-

nsões de dissipar ter um menor, e situação

adas são ctilidade a soma obtidos

paredes reacções esforços

orticado, sistência cia hori-aredes, o orticado

43

Os sistemas mistos subdividem-se em sistema misto equivalente a sistema portica-do quando a contribuição dos pórticos é superior à das paredes e sistema misto equivalente a paredes, caso contrário.

Observação: Simplificadamente, esta regra pode ser verificada comparando os es-forços transversos na base dos pilares com os esforços transversos na base das pa-redes, obtidos da análise sísmica.

i Há ainda os chamados:

– sistema torsionalmente flexível: sistema misto ou de paredes que não tem uma rigidez à torsão mínima.

– sistema de pêndulo: sistema no qual 50% ou mais da massa se localiza no terço superior da altura da estrutura, ou no qual a principal dissipação de energia tem lugar na base de um único elemento do edifício.

i Com excepção dos edifícios de betão classificados como sistemas torsionalmente flexíveis, os edifícios de betão poderão ser classificados segundo um tipo numa di-recção horizontal e segundo outro tipo na outra direcção.

5.1.2 Classificação da estrutura

i Os edifícios de betão devem ser classificados num dos seguintes tipos de estrutura, consoante o seu comportamento sob as acções sísmicas horizontais:

a) sistema porticado;

b) sistema misto (equivalente a um sistema porticado ou a um sistema de pare-des);

c) sistema de paredes dúcteis (acopladas ou não acopladas);

d) sistema de paredes de grandes dimensões de betão fracamente armado;

e) sistema de pêndulo invertido;

f) sistema torsionalmente flexível.

i Um sistema de paredes deve ser classificado como sistema de paredes de grandes dimensões de betão fracamente armado se, na direcção horizontal considerada,

– incluir pelo menos duas paredes com uma dimensão horizontal não inferior a 4,0 m ou a 2 / 3wh 12, o que for menor,

– resistam, no seu conjunto, a pelo menos 20 % da carga gravítica total na situa-ção de projecto sísmica, e

– tiver um período fundamental 1T igual ou inferior a 0.5 s, admitindo que na sua base é impedida qualquer rotação.

Se um sistema estrutural não puder ser qualificado como um sistema de paredes de grandes dimensões de betão fracamente armado, todas as suas paredes deverão ser projectadas e pormenorizadas como paredes dúcteis.

i Os primeiros quatro tipos de sistemas (ou seja, porticado, misto e de paredes de ambos os tipos) devem possuir uma rigidez de torção mínima que satisfaça a con-dição, em ambas as direcções:

12 hw — altura da parede.

r ≥

ondemass

Paradistr

Se nclass

Notatorçãduas

5.1.3 C

i Os esua c

– D

– D

– D

i A cl1992seja

Zonapara

Relainfor

i Comdiferdeve

5.1.4 M

i Os m

sl

e r é o raiosas.

a os sistemribuídos em

não for possificados co

a: A condião apresens direcções

Classes de

edifícios de capacidade

DCL (cla

DCM (cla

DCH (cla

lasse DCL 2-1-1, ignor adoptada

as de baixa ambos os

ativamente rmação com

mo veremosrentes diree ser a mes

Materiais e V

materiais a

o de torção

mas porticam planta, p

ssível garanomo torsion

ção acima ntar um pe principais

ductilidade

e betão sãoe de dissipa

sse de duct

sse de duct

sse de duct

corresponrando as d apenas par

xa sismicid tipos de a

à escolhamplementa

s, o valor dcções horima em tod

Verificação

a empregar

o dos difere

ados ou depoderá cons

ntir a rigidnalmente f

considera-eríodo infe do edifício

o classificaação hister

tilidade ba

tilidade mé

tilidade alt

de às estrudisposições ra as estru

ade em Poacção sísmi

das classear constant

do coeficienzontais dadas as direc

da seguran

deverão se

44

entes pisos

e paredes csiderar-se q

dez de torçflexíveis.

-se satisfeierior aos po (Fardis e

ados em 3 rética:

aixa).

édia).

ta).

uturas pro do EC8-1

uturas em z

ortugal sãoca.

es de ductte no nosso

nte de coma estruturacções (Cl.

nça

er das segu

s e sl o rai

cujos eleme que a rigid

ção mínim

ta se o priperíodos doet al., 2005

classes de

ojectadas a1. O EC8-1zonas de ba

o as zonas

tilidade, tro NA (p. 22

mportamenta. No enta3.2.2.5 (3)P

uintes class

o de giraçã

entos vertidez de torçã

ma, tais sist

imeiro modos modos d, Designer'

e ductilida

apenas de a1 recomendaixa sismic

s em que

anscreve-se21):

to q poderáanto a clasP, p. 43).

ses mínima

ão das resp

icais estejaão é suficie

temas deve

do de vibr de transla's Guide).

ade, em fun

acordo comda que estcidade.

0.9ga S⋅ ≤

e de segui

á ser diferesse de duc

as:

pectivas

am bem ente.

erão ser

ração de ação nas

nção da

m a EN a classe

298 m/s

da uma

ente em ctilidade

45

DCL DCM DCH

Classe mínima do betão C12/15 C16/20 C16/20

Classe de ductilidade do aço (*) B ou C B ou C C

Sobre-resistência do aço Sem limite Sem limite ,0.95 1.25yk ykf f≤

(*) EN 1992-1-1:2004, Quadro C.1

i Em Portugal, os coeficientes parciais dos materiais, cγ e sγ , a adoptar na situação de projecto sísmica são os apresentados na NP EN 1992-1-1:2010 para as situações de projecto persistentes e transitórias, isto é:

1.5cγ = ; 1.15sγ = .

5.2 Coeficiente de comportamento

i Ao determinar-se o coeficiente de comportamento q (que é função da ductilidade, e portanto da capacidade de dissipação de energia) deve-se ter presente que os valo-res especificados no EC8 são valores máximos. Para um projecto particular o pro-jectista pode decidir adoptar um valor inferior. Costa (2013) aponta como princi-pais vantagens de uma maior exploração da ductilidade:

– menor nível de esforços e por conseguinte estruturas mais esbeltas e económi-cas;

– menor solicitação dos mecanismos de resistência frágeis, que são objecto de dimensionamento por capacidade real;

– menor solicitação das fundações, também dimensionadas por capacidade real.

As principais desvantagens são:

– maior nível de danos nos elementos estruturais;

– maior nível de danos nos elementos não estruturais, dado que a consideração de coeficientes de comportamento mais elevados conduz a estruturas mais es-beltas e flexíveis, às quais são induzidos maiores deslocamentos entre pisos;

– maiores exigências na construção das estruturas no que se refere à execução das armaduras nas zonas dissipativas, o que requer um controlo de qualidade mais elevado.

i O valor do coeficiente de comportamento q deve ser determinado para cada direc-ção de cálculo da seguinte forma:

0 1.5wq q k= ≥

onde 0q é chamado valor básico do coeficiente de comportamento e wk é um coefi-ciente que reflecte o modo de rotura predominante nos sistemas estruturais de pa-redes.

i No caso de estruturas da classe DCL, o coeficiente de comportamento a utilizar deve ser 1.5q ≤ , independentemente do sistema estrutural e da regularidade em altura (Cl. 5.3.3 (1), p. 82).

i O va

a) P

Nm

b) P2

i Os c

1α vat

uα vmbcn

Em

Figur

i Quanlo exregu

a) si

–

alor básico

Para edifíc

Nota: Os smado estão

Para os ed20%.

coeficientes

valor pelo atingida ptrutura, m

valor pelo mar rótulabilidade glcálculo. O não linear

qualquer c

ra: Ilustraçã

ndo o factoxplícito, poulares em p

istemas por

edifícios d

do coeficie

cios regular

sistemas deo incluídas

difícios não

s 1α e uα

qual a acela primeir

mantendo-se

qual a acas plásticasobal da es coeficient (pushover)

caso /uα α

ão dos coefi

or de majooderão util

planta:

rticados ou

de um só p

ente de com

res em altu

e paredes ds na linha «

o regulares

são definid

ção sísmicra vez a ree constante

ção sísmics num númtrutura, me uα pode) global.

1 1.5α ≤ .

icientes α1 e

oração /uαlizar-se os

u sistemas

piso: /uα α

46

mportamen

ura:

de grandes «Sistema d

em altura

dos da seg

ca horizontesistência es todas as

ca horizontmero de secmantendo-seerá ser ob

e αu.

1/ α não ti seguintes

mistos equ

1 1.1α = ;

nto 0q é da

dimensõesde paredes

, o valor d

uinte form

tal de cálc à flexão ems outras acç

tal de cálcucções sufice constant

btido a par

ver sido av valores ap

uivalentes a

ador por:

s de betão não acopla

de 0q dever

ma:

culo é multm qualqueções de cál

ulo é multiente para es todas asrtir de um

valiado atrproximados

a pórticos:

fracamenteadas».

rá ser redu

tiplicada per elementolculo;

tiplicada p provocar s outras ac

ma análise

ravés de ums para os e

e ar-

uzido de

para ser o da es-

ara for- a insta-cções de estática

m cálcu-edifícios

–

–

b) si

–

–

–

Obseé

i Rela

i Nos podevo, e

5.3 Fa

i Cham

φμ =

onde85 %pós-údentras (

edifícios d

edifícios dcom vário

istemas de

sistemas recção ho

outros sis

sistemas

1/uα α =ervação: Né um proce

ativamente

sistemas de contar coesses sistem

actor de d

ma-se facto

u

y

φφ

= ,

e uφ é a c% do momúltima, e te ao início(Figura ao

de vários p

de vários os tramos:

paredes ou

de paredesorizontal: αstemas de p

mistos eq1.2= .

Note-se que edimento c

ao coeficie

de paredes om uma dimas deverã

ductilidade

or de ducti

urvatura cmento res

yφ a curvao da cedên lado).

pisos, pórtic

pisos, pórt 1/uα α =u sistemas

s unicamen

1/ 1uα α = paredes nã

quivalentes

1/uα α ≥conservativ

ente wk , o

de grandeissipação dão ser proje

e em curv

ilidade em

correspondistente, naatura corre

ncia das arm

47

cos com um

ticos ou si1.3 ;

mistos equ

nte com du1.0 ;

ão acoplada

a parede

1.00≥ , pelovo.

EC8-1 ref

es dimensõede energia ectados com

vatura requ

curvatura

ente a a fase espon-madu-

0

m só tramo

stemas mi

uivalentes

uas paredes

as: 1/uα αes ou siste

o que a con

fere:

es de betão nas rótulamo estrutu

uerido

a à relação:

Mu0.85Mu

My

φ

M

o: 1/uα α =stos equiv

a paredes:

s não acop

1.1= ;

emas de p

nsideração

o fracamenas plásticasras de DC

φy

1.2= ;

valentes a p

pladas em c

paredes aco

de 1/uα α

nte armados e, por estM.

φuφ

pórticos

cada di-

opladas:

1 1.00=

o não se te moti-

φ = 1

R

48

Na prática é usual calcularem-se as curvaturas uφ e yφ recorrendo às seguintes expressões:

yy

IId x

εφ =

−

0.0035u

uxφ =

i O factor de ductilidade em curvatura das zonas críticas deve ser pelo menos igual a:

0 1

10 1

2 para

1 2( ) para

1

1

C

CC

q T T

Tq T T

Tφμ

⎧⎪ ≥⎪⎪⎪−

= ⎨⎪ + <⎪⎪⎪⎩−

onde 1Τ é o período fundamental do edifício na direcção considerada e CT é o pe-ríodo no limite superior da zona de aceleração constante do espectro.

A condição acima aplica-se para aço da classe C da EN 1992-1-1:2004 (Quadro C.1). Para aço da classe B o factor de ductilidade em curvatura φμ deverá ser, pe-lo menos, igual a 1.5 vezes o valor obtido pelas expressões acima.

Observação: O factor φμ vai reflectir-se na armadura de cintagem a adoptar nas zonas críticas dos pilares e na armadura máxima de flexão a adoptar nas vigas.

5.4 Projecto para a classe DCM

5.4.1 Limitações geométricas

Vigas

i A fim de permitir uma transmissão eficaz dos momentos cíclicos de uma viga sísmica primá-ria para o pilar, a excentricidade e do eixo da viga em relação ao eixo do pilar com o qual forma um nó deve ser:

/ 4ce b≤

em que cb é a dimensão da secção transversal do pilar perpendicular ao eixo longitudinal da viga.

i Para aproveitar o efeito favorável da compressão do pilar na aderência dos varões horizontais que atravessam o nó, a largura wb de uma viga sísmica primária deve satisfazer a seguinte expressão:

εy

εcu2 = 0.0035

φuφy

εuk

My

xu

Mu

xII

e

h w

bw

bc

Pilar

49

2w

wc

cbb

b

h⎧⎪≤ ⎨

+⎪⎪⎪⎩

,

onde wh é a altura da viga.

Pilares

i As dimensões da secção transversal de pilares sísmicos primários não deverão ser inferiores a um décimo da maior distância entre o ponto de inflexão e as extremi-dades do pilar, para a flexão num plano paralelo à dimensão considerada do pilar, a menos que 0.1θ ≤ (θ é coeficiente de sensibilidade ao deslocamento ao desloca-mento relativo entre pisos, definido anteriormente)

Paredes

i Relativamente a paredes (dúcteis e de grandes dimensões de betão fracamente ar-mado), a espessura da alma, 0wb , deverá satisfazer a seguinte expressão:

0

0

/ 20

.15m

swb h

⎧⎪⎪≥ ⎨⎪⎪⎩

onde sh é a altura livre do piso (pé-direito).

Vigas que servem de apoio a elementos verticais

i Não se admitem paredes a descarregar em vigas, apenas pilares.

i Se existirem pilares a descarregar em vigas, aplicam-se as seguintes regras:

a) não deve haver excentricidade do eixo do pilar em relação ao eixo da viga;

b) a viga deve ser suportada por pelo menos dois apoios directos, tais como pare-des ou pilares.

5.4.2 Esforços de cálculo

i Os valores de cálculo dos momentos flectores e dos esforços normais devem ser obtidos a partir da análise da estrutura para a situação de projecto sísmica, acres-cidos de efeitos de 2.ª ordem (se não desprezáveis).

i Os valores de cálculo dos esforços transversos de elementos primários deverão ser calculados de acordo com a regra de cálculo pela capacidade real, como indicado nos pontos seguintes. O objectivo é evitar roturas por esforço transverso antes da formação dos mecanismos dúcteis (rótulas plásticas).

h

b 110

h2 =

h20

b

b h10

h

b

PILAR BI-ENCASTRADO PILAR EM CONSOLA

50

Vigas

i Nas vigas sísmicas primárias, os valores de cálculo dos esforços transversos devem ser determinados com base no equilíbrio da viga sob a acção de: a) a carga trans-versal que nela actua na situação de projecto sísmica e b) os momentos plásticos nas extremidades.

i O máximo esforço transverso na extremidade esquerda da viga corresponde ao sis-mo a actuar da direita para a esquerda (extremidade 1), como indicado na Figura:

Figura: Obtenção do esforço transverso de cálculo na situação de sismo da direita para a esquerda — situação condicionante do esforço transverso na extremidade 1.

( ) ,1,2,1 2

12

RbRbEd Rl

cc d

l

M MV g q l

lψ γ

+ −−= + +

em que:

Rdγ coeficiente que tem em conta a possível sobrerresistência por endurecimento do aço, que, no caso das vigas da clase DCM, poderá ser considerado igual a 1,0.

,Rb iM+ Valor de cálculo do momento resistente positivo na extremidade i.

,Rb iM− Valor de cálculo do momento resistente negativo na extremidade i.

g + ψ2q

nónó

lclΣMRc

(+)

(-)

γRd MRb,1

-

1 2

γRd MRb,2

+

(+)

g + ψ2q( ) lcl12

MRb,2+ MRb,1

-−

lcl

γRd

Esforçotransverso naviga

g + ψ2q

1 2

i De irespo

,2EdV

i As evigasvigascient

M

M∑∑onde

tvrs

i No ctoda

Figurc) Pi

gual formaonde ao sis

(212

g= − +

expressões s. Caso as s (que nestte de reduç

Rc

Rb

M

M,

e RcM∑ etentes dos vigas que responder sentido con

cálculo doas as armad

ra: a) Pilar ilar interior

a, o esforçosmo a actu

)2 clq lψ+ +

acima são rótulas plte caso nãoção:

e RbM∑ d pilares e s concorrem aos esforçonsiderado d

os momentduras na la

exterior, co, com viga t

o transversuar das esq

,2RbRd

Mγ

−

o válidas násticas se fo chegam a

designam s soma dos vm no nó, reos normais da acção sí

tos resistenargura efica

om viga tran transversal;

51

so máximoquerda para

,1Rb

cl

M

l

+−

no caso de formem noa desenvolv

soma dos v valores de espectivams do pilar nísmica.

ntes negataz do banz

nsversal; b); d) Pilar in

o na extrema a direita)

as rótulasos pilares, over-se) são

valores de cálculo doente. O vana situação

tivos das zo, como in

) Pilar externterior, sem

midade da ) é dado po

s plásticas os moment afectados

cálculo doos momentalor de ∑o de projec

vigas devendicado na

rior, sem vig viga transv

direita ( qor:

se formartos resisten do seguint

os momentotos resisten

RcM∑ devcto sísmica

erão consid Figura:

ga transverversal.

que cor-

rem nas ntes das te coefi-

os resis-ntes das erá cor-a para o

derar-se

sal;

Pilares

i Comsos dcálcuras meca

i Nos dos partimida

mo referidodeverão serulo pela capor esforçanismos dú

pilares sís esforços trir dos momades, como

o anteriormr calculadoapacidade rço transverúcteis (rótu

micos primransversos mentos pláo indicado n

mente, os eos de acordreal, de morso antes ulas plástic

mários, os v devem seásticos apl na Figura

52

esforços trdo com a rodo a evita

da formaçcas).

valores de er determinlicados nas seguinte:

ransver-regra de ar rotu-ção dos

cálculo nados a s extre-

Figura: Rtransversdamente bos.

Rotura por eso (a evitar) por falta de

esforço ), niti-e estri-

53

Figura: Obtenção do esforço transverso de cálculo nos pilares

,1,2 RcRcRdEd

cl

M MV

lγ

+ −+

−=

,2 ,1Rc RcEd Rd

cl

M MV

lγ

+−−

−=

em que:

Rdγ coeficiente que tem em conta a possível sobrerresistência por en-durecimento do aço e o confina-mento do betão da zona de com-pressão. No caso das vigas de DCM, poderá ser considerado igual a 1.1.

,Rb iM+ Valor de cálculo do momento resistente positivo na extremidade i do pilar, para o esforço normal na situação de projecto sísmica.

,Rb iM− Idem, momento negativo.

Observações: 1. Como os pilares são normalmente

simetricamente armados, as ex-pressões acima dão idênticos valo-res.

2. Os esforços transversos acima são geralmente superiores aos que se obtêm na SP sísmica:

2g q Eψ+ + .

i As expressões acima são válidas no caso de as rótulas plásticas se formarem nos pilares. Caso as rótulas plásticas se formem nas vigas, os momentos resistentes dos pilares (que neste caso não chegam a desenvolver-se) são afectados do seguinte coe-ficiente de redução:

Rb

Rc

M

M∑∑

.

Como é evidente, tomar para este parâmetro o valor unitário é um procedimento conservativo.

nó

nó

lcl

ΣMRc

ΣMRb

γRd MRc,1

-

12

γRd MRc,2

+

Paredes

i O dipareflect

Figurtema

i Deveplastlo dotrans

EdV

i Parados vent

Figur

s dúcteis

iagrama dode deverá ores obtido

ra: Envolveas de parede

e consideratificação naos esforços sversos obt

'1.5 EdV=

a ter em co nos sistemte de cálcul

ra: Envolve

os valores ser determo da anális

ente de cálcues; à direita

ar-se a poa base de u transversotidos da an

onta as incmas mistos lo dos esfor

ente de cálcu

de cálculominado pose e desloca

ulo dos mom: sistemas m

ssibilidade uma paredos deverão nálise, isto

certezas rel contendo rços transv

ulo dos esfo

54

o dos momor uma enado vertica

mentos flectmistos).

e de um aude sísmica p ser aumen é:

lacionadas paredes eversos de a

orços transv

mentos flectnvolvente dalmente (te

tores em pa

umento do primária. Pntados de 5

com os efesbeltas, deacordo com

versos nas p

tores ao lodo diagramension shift

(la =

aredes esbelt

os esforçosPara tal os50 % em re

feitos dos meverá utiliz

m a Figura

aredes de u

ongo da alma dos moft).

( )/ 2 cotgz θ

tas (à esque

s transverss valores delação aos

modos maizar-se uma seguinte:

um sistema m

ltura da omentos

θ

erda: sis-

sos após de cálcu- esforços

is eleva-a envol-

misto

55

Paredes de grandes dimensões de betão fracamente armado

i Para assegurar que a cedência por flexão precede o estado limite último de esforço transverso, deve aumentar-se o esforço transverso '

EdV obtido da análise, de acordo com a seguinte expressão:

' 12

Ed Edq

V V+

= .

Nota: Para evitar uma mudança de um modo de comportamento controlado por flexão para outro controlado por esforço transverso, a quantidade de armadura vertical colocada na secção da parede não deverá exceder, desnecessariamente, a necessária para a verificação do estado limite último de flexão composta e para a integridade do betão (cl. 5.4.3.5.3 (3), p. 97).

i Os esforços normais dinâmicos adicionais desenvolvidos em paredes de grandes dimensões devido ao seu levantamento em relação ao terreno, ou devido à abertura e ao fecho de fendas horizontais, devem ser considerados na verificação da parede em relação ao estado limite último de flexão composta. A não ser que se disponha de resultados de cálculo mais precisos, a componente dinâmica do esforço normal da parede poderá ser considerada como sendo igual a 50 % do esforço normal na parede devido às forças gravíticas presentes na situação de projecto sísmica. Deve-rá considerar-se este esforço com um sinal positivo ou negativo, conforme for mais desfavorável.

Para 2q ≤ este efeito poderá ser ignorado.

5.4.3 Disposições construtivas

Vigas

i Nas zonas críticas das vigas sísmicas primárias deve-se atender ao seguinte:

a) deve ser colocada na zona comprimida uma armadura com área não inferior a metade da área da armadura da zona traccionada, adicional a qualquer arma-dura de compressão necessária à verificação da viga em relação ao estado limi-te último na situação de projecto sísmica. Simplificadamente:

' 0.5s sA A≥

Observação: A presença de armadura de compressão aumenta substancialmen-te a ductilidade da secção.

b) A taxa de armadura ρ na zona traccionada não deve exceder o valor maxρ igual a:

max0.0018

' cd

yd yd

ffφ

ρ ρμ ε

= + ⋅ , ⇔ max0.0018

' cd

yd yd

fA A bd

fφμ ε= + ⋅

As

A's

d

b

56

onde:

'ρ taxa da armadura na zona comprimida ( / ( )sA bdρ = , '' / ( )sA bdρ = );

φμ factor de ductilidade em curvatura;

ydε valor de cálculo da extensão de cedência do aço;

b largura do banzo comprimido;

d altura útil da viga.

Observações: 1. Como se sabe, taxas de armadura elevada fazem aumentar a profundidade da

LN, diminuindo a ductilidade da secção. O objectivo da verificação acima é que a secção transversal nas zona críticas possua um factor de ductilidade em curvatura pelo menos igual a φμ . Ver justificação desta fórmula no Anexo C deste documento.

2. Se, num caso concreto, chegarmos a uma armadura sA superior a maxA , então, observando as expressões acima, medidas possíveis incluem aumentar a arma-dura de compressão ou aumentar a classe do betão.

i Ao longo de todo o comprimento de uma viga sísmica primária, a taxa de armadu-ra da zona traccionada, ρ , não deve ser inferior ao seguinte valor:

min 0.5 ctm

yk

ff

ρ =

Observação: Este valor é sensivelmente o dobro dos valores usuais: ( ),min 0.26 /s ctm yk tA f f b d= .

i Nas zonas críticas de vigas sísmicas primárias devem ser colocadas armaduras de confinamento (cintas) que satisfaçam as seguintes condições:

a) o diâmetro bwd das cintas não deve ser inferior a 6 mm;

b) o espaçamento s das cintas deve ser:

/ 4

24

225mm

8

w

bw

bl

h

ds

d

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤ ⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

em que:

bld diâmetro mínimo dos varões da armadura longitudinal;

wh altura da viga.

c) a primeira armadura de confinamento deve ser colocada a não mais de 50 mm da secção de extremidade da viga:

Figur

Pilares

i Nos

dν =

dν <

Obseaxiaisatis

i A ta

0.01

Nas ρ =

i Deveentre

i O cocas)

crl =

em q

ch m

cll c

Se clzona

i Na zque

ra: Armadu

pilares / (Ed cN A=

0.65<

ervação: Ois que, comsfeita com

axa total de

0.0lρ≤ ≤

secções t'ρ ).

e ser coloce os varões

ompriment poderá ser

max /

0.45

c

cl

h

l

⎧⎪⎪⎪⎪= ⎨⎪⎪⎪⎪⎩

que:

maior dime

comprimen

/ 3c ch < , a crítica e d

zona crític verifique a

uras transve

sísmicos )c cdf deve

O objectivomo se sabe bastante fo

e armadur

04

ransversais

ado ao lons de canto,

to da zona r calculado

/ 6

5m

c

ensão da se

nto livre do

a altura t deve ser ar

ca na basea relação:

ersais nas zo

primário verificar a

o desta coe, fazem diolga.

a longitudi

s simétrica

ngo de cad de forma

crítica (zoo a partir d

ecção trans

o pilar.

total do pirmada com

dos pilare

57

onas críticas

os o vaa relação:

ondição é eiminuir a

inal lρ dev

as deverão

a face do p a assegura

ona potencda seguinte

sversal do

ilar sísmicomo tal (por

es deve-se

s das vigas.

lor do

evitar ter ductilidade

ve verificar

o adoptar-

pilar pelo ar a integri

cial para ae expressão

pilar;

o primário vezes cham

adoptar u

esforço n

níveis eleve. Esta con

r a relação:

-se armad

menos um dade dos n

formação o:

deve ser mado pilar

uma armad

crl h=

normal r

vados de ndição é e

:

duras simé

m varão intnós viga-pi

de rótulas

considerad curto).

dura de ci

wh

reduzido

esforços m geral

tricas (

ermédio lar.

s plásti-

da como

intagem

58

0

30 0.035cwd d yd

bw

bφα μ ν ε≥ − ; 0.08wdw ≥ ;

em que:

wdw taxa mecânica volumétrica de cintas, definida por:

0 0

Volume das cintasvolume do núcleo de betão

styd ydwd

cd cd

A Lf fw

f b h s f= ⋅ = ⋅

φμ valor requerido do factor de ductilidade em curvatura;

dν esforço normal reduzido ( / ( )d Ed c cdN A fν = );

ydε valor de cálculo da extensão de cedência à tracção do aço;

ch altura bruta da secção transversal (paralela à direcção horizontal em que se aplica o valor de φμ utilizado);

cb largura bruta da secção transversal;

0h altura do núcleo confinado (medida ao eixo das cintas);

0b largura do núcleo confinado (em relação ao eixo das cintas);

α coeficiente de eficácia do confinamento, definido nos pontos seguintes;

s afastamento das cintas;

stA área dos varões das cintas;

L comprimento das cintas, em cada nível.

Observações: 1. O objectivo desta condição é aumentar a extensão de rotura do betão (tirando

partido do confinamento realizado pelas cintas) de modo a garantir a ductili-dade φμ exigida (função do coeficiente de comportamento pretendido). Ver justificação desta fórmula no Anexo C deste documento.

2. Nas zonas criticas a armadura de confinamento necessária excede normalmente a armadura necessária para a resistência ao esfoço transverso.

i O factor de confinamento é dado por:

n sα α α=

com:

a) pg

b) prcd

c) pr

i Nas verif

s ≤

em q

0b d

bld d

A diganc

i As apodedo eo va2,0.

i As Fgem

para secçõgulares:

1nα = −

(1sα = −

em que bvarões cpor cintara ao lado

para secçõres com cinconfinado do ao eixo

1nα =

(1sα = −

para secçõres com cin

1nα =

(1sα = −

zonas crítificar:

0

0.17

/

5m

8

2

bl

b

d

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

que:

dimensão m

diâmetro m

istância enchos não de

armaduras erão ser desforço norm

alor do coef

Figuras seg do betão.

ões transve

2

0 06ib

b h∑

)(0/ (2 )s b−

ib é a disconsecutivos ou gancho);

ões transventas circul

de diâmetr das cintas

)20/ (2 )s D−

ões transventas helico

)0/ (2 )s D−

icas dos pi

mínima do

mínimo dos

ntre varõeseve ser sup

transversaeterminadamal reduzificiente de

guintes mo

ersais rect

01 / (2s h−

stância enos abraçadhos (ver Fig

ersais circulares e núcro 0D (mes):

2

ersais circuidais:

ilares sísmi

núcleo de

s varões lon

s longitudiperior a 0.2

ais na zonas como indo para a comportam

stram um

59

an-

)0)

ntre dos gu-

ula-cleo edi-

ula-

Figtão

icos primá

betão (em

ngitudinais

inais conse20.

a crítica nndicado na situação dmento q ut

mau e um

gura: Confino.

rios o espa

m relação ao

s;

ecutivos ab

na base do EN 1992-de projectotilizado no

m bom exem

namento do

açamento,

o eixo das

braçados p

os pilares s1-1:2004, d sísmica se projecto n

mplo relaci

o núcleo de

s, das cint

cintas);

por cintas

sísmicos pr desde que eja inferiornão seja su

ionado com

be-

tas deve

ou por

rimários o valor r a 0,2 e perior a

m cinta-

Figurcidad

FigurNotetão c

Exemdo nportidiâmdera

ra: Exemplode resistente

ra: Exemploe-se a elevadconfinado.

mplo: Consna Figura picada, da

metro das cando um es

o de uma róe residual) n

o de um pilda deformaç

sidere-se opertencente classe DCcintas na zspaçamento

ótula plástic nitidamente

ar com exceção do pilar

pilar repre a uma estCM. Determzona críticao de 10 cm

60

ca totalmene por falta d

elente ducti sem que te

resenta-trutura mine o a consi-

m.

nte degradadde cintagem

ilidade graçenha havido

0.4

0.40

0.3

da (isto é, sm do betão.

as a um con

o deterioraçã

40

0.30

30

sem qualque

nfinamento ão do núcle

C25/30

A500

NEd = 800 k

er capa-

eficaz. o de be-

kN

Reso

q =

nα =

α =

wdw

stAs

=

Nós viga

i A arespepará

i Se exnos tto ddobr

Figur

Paredes

i A pachamsenv

i Nas

dν ≤

i As sser c

olução:

3.0 1.1× =

8 0.1

6 0.

×= −

×

0.67 0.69×

(1 / 0.46=

0.2484

=×

a-pilar

rmadura decificada pa

ágrafo segu

xistirem vi três quartoas armaduro do valor

ra: Necessid

s dúcteis

artir de 4 madas parevolver rótul

paredes sís

0.40≤

secções conconsiderada

3.3= (Quad

2

2

.150.67

.30=

9 0.46=

)6 30 5 0× ×

20.30.30 4× + ×

e confinamara as zonuinte.

igas que ligos da dimeuras de conr especifica

dade de cint

pisos é coedes de conlas plástica

smicas prim

nstituídas pas como se

dro 5.1);

7 ; sα =

dν =

0.30 2.175×

16.70.21 435×

mento horizas críticas

guem aos qensão paralnfinamentodo acima,

tar convenie

onveniente ntraventamas apenas n

márias o va

por almas ecções únic

61

φμ =

0.101

2 0.3

⎛⎜ −⎜⎜⎜ ×⎝

2

800

0.40 16×

3 0.45 10

0.3−×

24.2 cm=

zontal nos n dos pilare

quatro ladlela da seco horizonta mas não d

entemente o

em geral mento. Estana sua base

alor do esf

e banzos as. Para o

2 3.0= × −

0 01

30 2

⎞⎛⎟⎜⎟ −⎜⎟⎜⎟⎜ ×⎠⎝

3

0

.7 10=

×

400.035

30− =

2/m . Ado

nós viga-pies, com ex

os do nó eção transval no nó podeverá ser s

os nós.

conceber pas paredes e.

forço norm

(secções e cálculo da

1 5= ;

0.100

0.30

⎞⎟⎟ =⎟⎟× ⎠

0.30 ;

0.248= ;

opta-se 8φ

ilar não dexcepção do

a sua largversal do pioderá ser asuperior a

paredes res são dimen

al reduzido

m L, T, Ua resistênci

.69 ;

8//0.10 .

everá ser in caso indic

gura seja pilar, o espaaumentado 150 mm.

sistentes, tnsionadas p

o deve ser:

U, I, etc.) ia à flexão

nferior à cado no

pelo me-açamen-o para o

também para de-

deverão , deverá

62

considerar-se que a largura efectiva do banzo, de um e outro lado da alma, se es-tende para além da face da alma no mínimo de:

a) o comprimento real do banzo;

b) metade da distância a uma alma adjacente da parede; e

c) 25 % da altura total da parede acima do nível considerado.

i A altura da zona crítica crh acima da base da parede deverá ser calculada como:

/ 6crw

w

lh

h

⎧⎪⎪≥ ⎨⎪⎪⎩ mas

2

para 6 pisos

2 para 7 pisos

w

s

cr s

l

h nh

h n

⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪ ≤≤ ⎨⎪⎪⎨⎪⎪ ≥⎪⎪⎪⎩⎩

em que:

wl comprimento da secção da parede;

wh altura total da parede acima da secção de encastramento;

sh altura livre do piso (pé-direito) onde se localiza o encastramento da parede.

i Nas zonas críticas das paredes o factor de ductilidade em curvatura, φμ , deve ser pelo menos igual a:

1

11

0

0

2 1 para

1 2 1 para

Ed

Rd

EdC

R

C

C

d

Mq T T

MM T

q T TM T

φμ

⎧⎪⎪ − ≥⎪⎪⎪= ⎨ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜⎪ ⎟+ − <⎜⎪ ⎟⎜⎪ ⎟⎜⎝ ⎠⎪⎩

onde EdM é o momento actuante de cálculo na base da parede, para a combinação sísmica, e RdM é o respectivo momento resistente.

Observação: Repare-se que que considerar Ed RdM M= é um procedimento conser-vativo. Neste caso o valor de φμ é igual ao valor adoptado nos pilares.

i A verificação das disposições seguintes relativas a armadura transversal poderão ser dispensadas (caso em que se aplica apenas a EN 1992-1-1) se for satisfeita uma das seguintes condições (cl. 5.4.3.4.2 (12), p. 96):

a) 0.15dν ≤ ;

b) 0.20dν ≤ ∧ o coeficiente q utilizado na análise é reduzido de 15 %.

i Taxa mecânica volumétrica de armadura de confinamento: Para paredes de sec-ção transversal rectangular, nas zonas de extremidade (bordos13), wdw deve satisfa-zer:

( )0

30 0.035cd vwd yd

bw w

bφα μ ν ε≥ + −

em que vw é a taxa mecânica das armaduras verticais de alma:

13 Os bordos confinados podem ser vistos como pilares embutidos na parede.

vw =

Obsementlidad

Figur

Nota(5),

i O co

cl =

com:

ux =

Cond

cl ≥

i Não de, s

ydsv

w c cd

fAl b f

=

ervação: tatar a extende φμ .

ra: Parede d

a: Para pa p. 94.

ompriment

( 21u cux ε−

:

( )d vwν= +

dição míni

0.15

1.50 w

wl

b

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

é necessárse a espessu

al como nnsão de rot

dúctil com

aredes com

o cl do bor

)2 2,/ cu cε ,

)0

w cl b

b; ε

ma:

rio um elemura e largu

os pilares,tura do bet

secção recta

banzos e

rdo confina

2 0.00cuε =

mento de eura do banz

63

a armadutão para u

angular.

almas (sec

ado é calcu

035 ; cε

extremidadzo ( fb e fl

ura de conm valor qu

cções T, L

ulado como

2, 0.00cu c =

de confinad) verificare

nfinamentoue garanta

, I, U, etc

o segue:

35 0.1 wα+

do nos banem:

o destina-s o factor d

), ver cl. 5

wdw .

nzos de um

se a au-de ducti-

5.4.3.4.2

ma pare-

fb ≥

fl ≥

( sh =

i Nos

– A

– T

– E

– Ap

Notaltjs

i A es

wb ≥

e ain

/ 15sh≥

/ 5sh

= altura d

bordos con

A taxa de

0.00lρ ≥

Taxa mecâ

0.0wdw ≥

Espaçamen

0

0.17

/

8 bl

b

s

d

⎧⎪⎪⎪⎪≤ ⎨⎪⎪⎪⎪⎩A distâncipor gancho

a: Na altlevantes dtransversaijecto sísmise uma tax

spessura wb

200 mm≥ ,

nda o indic

do piso)

nfinados de

armadura

5 ; l bρ =

ânica de ar

08

nto das cin

75m

2

ia entre vaos não é su

ura de parda EN 199is. No entaica, a extenxa mínima

w dos bord

cado na Fig

eve ainda t

longitudin

s

w c

Ab l

.

rmadura de

ntas deve:

arões longuperior a 0.

rede acima92-1-1:2004anto, nas pnsão de co de armadu

os confinad

gura seguin

64

ter-se:

nal:

e confinam

gitudinais c.20.

a da zona c4 relativas partes da sompressão ura vertica

dos deve v

nte:

mento:

consecutivo

crítica, apl a armadusecção em q

cε é superal igual a 0

erificar:

os abraçad

icam-se apuras vertic que, para aior a 0,002,005.

dos por ci

penas as recais, horizo a situação 2, deverá a

ntas ou

egras re-ontais e de pro-adoptar-

( sh =

Paredes

i Os vpostpaça

bwd ≥

bld d

i Os vpostsecçãno prede piso infer

Exem

= altura d

s de grandes

varões verta deverão

amento dev

6 mm

/ 3bld

⎧⎪⎪≥ ⎨⎪⎪⎩;

diâmetro d

varões verta deverão ão transverpiso inferio seja reduz sh . Em torior a 10 m

mplo: Cons

0.200.10

Ø8//0.Ø8//0.1

do piso)

s dimensõe

ticais neces ser abraçavem ser:

1

8s

⎧⎪⎪≤ ⎨⎪⎪⎩da armadur

ticais neces ficar concrsal. O diâr do edifíczido em relodos os ou

mm.

sidere a pa

0.20

9Ø20

Ø8//0.1100

s de betão f

ssários à veados por um

100 mm

8 bld

ra longitud

ssários à vecentrados eâmetro dos io, ou em lação ao doutros pisos,

arede repres

0

65

fracamente

erificação dma cinta o

dinal.

erificação d em elemen varões ver qualquer po piso infer, o diâmet

sentada na

2.00

6Ø12

armado

do estado lou por um

do estado lntos de exrticais não piso em qurior em maro dos var

a Figura.

2

limite últim gancho, cu

limite últimtremidade deverá serue o comprais de um trões vertica

C35/4A500

mo de flexãujo diâmet

mo de flexã nos extrer inferior arimento wl terço da alais não dev

0.23

030

450 NR

ão com-tro e es-

ão com-emos da a 12 mm da pa-ltura do verá ser

0.30

66

Verifique se a parede cumpre as disposições construtivas para estruturas DCM. Considere:

0 3.3q = ; 2500 kNEdN = ; 1 CT T> ;

Resolução

Verificação do esforço normal reduzido

3

25000.18 0.40

2.00 0.30 23.3 10Ed

dc cd

NA f

ν = = = <× × ×

; verifica.

Verificação da armadura de confinamento

2 3.3 1 5.6φμ = × − = ;

46 1.13 10 4350.021

2.00 0.30 23.3vw

−× ×= =

×;

( ) ,0

2.175 0.3030 0.035 30 5.6 (0.18 0.021) 0.035 0.061

1000 0.23sc

d v y db

wbφμ ν ε+ − = × × + − = ;

2 2 22 0.1 4 0.2 2 0.19 0.10 0.101 1 1 0.464

6 0.23 0.53 2 0.23 2 0.53α

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞× + × + × ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟= − − − =⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜ × × × ×⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠;

4

0 0

0.5 10 2.36 4350.192

0.23 0.50 0.10 23.3

st ydwd

cd

A L fw

b h s f

−× ×= = =

× × (> 0.08);

0.464 0.192 0.089wdwα = × = > 0.061; verifica.

Verificação do comprimento do bordo confinado

2.00 0.30(0.18 0.021) 0.524

0.23ux

×= + = m;

2, 0.0035 0.1 0.089 0.0124cu cε = + × = ;

( )0.524 1 0.0035 / 0.0124 0.38 mcl = − = ;

0.15 2.00 0.30

1.5 0.30 0.45cl⎧⎪ × =⎪≥ ⎨⎪ × =⎪⎩

;

0.45 mcl = ; verifica.

Verificação do espaçamento das cintas

0.23 / 2 0.115 m

0.175 m

8 0.02 m 0.16

s

⎧⎪ =⎪⎪⎪≤ ⎨⎪⎪ × =⎪⎪⎩

; verifica

67

Verificação da armadura longitudinal mínima nos bordos confinados

49 3.14 100.019

0.30 0.50lρ

−× ×= =

× > 0.005; verifica.

5.5 Projecto para a classe DCH

(p. 98 e seguintes)

5.6 Disposições relativas a amarrações e emendas

i Aplicam-se as disposições do EC2, com as regras adicionais seguintes.

i Para cintas em vigas, pilares ou paredes, devem utilizar-se estribos fechados com ganchos dobrados a 135° e comprimentos de amarra-ção de 10dbw.

5.6.1 Amarração de armaduras

Pilares

i No cálculo do comprimento de amarração dos varões dos pilares em zonas críticas, deve tomar-se igual a 1 a relação entre a área de ar-madura necessária e a área efectivamente adoptada As,req/As,prov.

Observação: Isto equivale a considerar s ydfσ = na fórmula:

,4

sb req

bdl

f

σ φ=

i Se o esforço axial for de tracção na SP sísmica, os comprimentos de amarração devem ser aumentados de 50%.

Vigas

i Para impedir uma rotura de aderência, o diâmetro dos varões longitudinais das vigas que atravessam os nós viga-pilar, bld , deve ser limitado de acordo com as se-guintes expressões:

a) para nós viga-pilar interiores:

max

1 0.87.51 0.75 '/

dbl ctm

c d DR yd

d fh f k

ν

γ ρ ρ

+≤ ⋅

+

b) para nós viga-pilar exteriores:

( )7.51 0.8bl ctm

dc Rd yd

d fh f

νγ

≤ +

em que:

ch largura do pilar na direcção paralela aos varões;

ctmf valor médio da resistência à tracção do betão;

ydf valor de cálculo da tensão de cedência do aço;

135º

10dbw

dbw

dν n

Dk

'ρ

maxρ8

Rdγ crl

i Se na dimtar-silust

5.6.2 E

i Permde qria.

i O es

s ≤

em q

i A árrá se

esforço nona situação

coeficient

taxa de a

x taxa máx89)

coeficientcias, considra a classelongitudina

não for posmensão, chse uma dasradas na F

Emenda dos

mite-se a eque devidam

spaçamento

/ 4

0.10 m

h⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

que h é a m

rea necessáer calculad

ormal reduo de projec

te igual a 1

armadura d

xima admis

te de incerderado igu DCM (deais da viga

ssível satisf

c , do pilars 3 disposiFigura segu

s varões

menda pormente vali

o s das arm

menor dime

ária de arma a partir

uzido de cácto sísmica

1 para a cla

de compres

ssível de ar

rteza do mal a 1,2 ou

evido à soba).

fazer o disp, paralela ações compluinte:

r meio de aidados por

maduras tra

ensão da se

maduras tra da seguint

68

álculo do pa ( Ed Nν =

asse DCH

ssão da vig

rmadura d

modelo relau a 1,0 respbrerresistên

posto acim aos varõeslementares

acopladore ensaios qu

ansversais

ecção trans

ansversais te expressã

pilar, consi/ ( )Ed c cdA f

e a 2/3 pa

ga que atra

de tracção

ativo ao vapectivamenncia por en

ma em nós , é demasias indicadas

es mecânicoue demons

na zona d

sversal.

/stA s na ão:

derando o );

ra a classe

vessa o nó

(definida e

alor de cálnte para a ndurecimen

viga-pilar ado pequens na cl. 5.6

os nos pilastrem a du

e sobrepos

zona de so

seu valor

e DCM;

ó;

em 5.4.3.1.

lculo das r classe DCnto das arm

exterioresna, poderã6.2.2 (3), p

ares e pareductilidade n

sição deve s

obreposição

mínimo

.2(4), p.

resistên-CH e pa-maduras

porque ão adop-p. 111, e

des des-necessá-

ser:

o, pode-

69

50yldst bl

ywd

fA ds f

= ⋅

em que:

bld diâmetro do varão emendado.

yldf valor de cálculo da tensão de cedência das armaduras longitudinais;

ywdf valor de cálculo da tensão de cedência das armaduras transversais.

5.7 Fundações e seus elementos

i A face inferior das vigas lajes de fundação deve ficar abaixo do nível superior da sapata ou do encabeçamento das estacas. O objectivo é evitar pilares curtos e con-sequentemente o risco de roturas por esforço transverso.

i A largura da secção transversal das vigas de fundação deverá ser, pelo menos, igual a 0.25 m e a altura da secção transversal igual a pelo menos 0.4 m para edifícios até três pisos ou 0.5 m para edifícios com quatro pisos ou mais acima da cave.

Ao longo de todo o seu comprimento, as vigas de fundação deverão ter uma per-centagem de armadura longitudinal pelo menos igual a 0,4 % tanto na face superi-or como na inferior.

i As lajes de fundação projectadas para a ligação horizontal de sapatas separadas ou de encabeçamentos de estacas, deverão ter uma espessura pelo menos igual a 0.2 m e uma percentagem de armadura pelo menos igual a 0,2 % nas faces superior e in-ferior.

i O topo da estaca numa distância da face inferior do seu encabeçamento igual ao dobro da dimensão da secção transversal da estaca, d, assim como as zonas com uma extensão de 2d de cada lado da interface entre dois estratos de solo com rigi-dez de corte acentuadamente diferente (razão entre módulos de distorção superior a 6), devem ser pormenorizados como potenciais zonas de rótulas plásticas. Para esse efeito, devem ser adoptadas armaduras transversais e de confinamento de

0.25

0.40, até 3 pisos0.50, 4 pisos ou mais

ρ, ρ ' 0.4%

acordclass

5.8 Ef

i A alser c

a) p

b) p

c) pp

i Parabielaforçaverso

a) rhctm

b) obdm

A1

i Para

do com asse de ducti

feitos loca

ltura total confinada e

pilares dos

pilares adj

pilares adjpisos, mas

a evitar a a diagonal a da biela,os seguinte

resistência horizontal com base ntransverso mento;

o esforço tbreresistênde sobreremidades do

Ed RV γ=

/ ccl a=

A largura 15% do seu

a enchimen

s regras rellidade ou,

ais nos pi

dos pilaresem conform

s pisos térr

acentes a e

acentes a apenas de

rotura po dos enchim deverá sees:

ao esforç do pain na resistên das junta

transverso ncia ajustadsistência ào comprim

2 RcRD

c

M

l

osθ

a da biela u comprim

ntos parcia

lativas às z pelo meno

lares devi

s deverá semidade) na

eos;

enchimento

enchiment um dos la

r esforço tmentos, o er verificad

ço transvenel, calculncia ao esfoas de assen

calculado do à classeà flexão do

mento de co

diagonal dmento.

is, deverão

70

zonas crítios, para a c

idos a enc

er consideras seguintes

os parciais

tos que se ados do pil

transverso comprimendo em rela

erso lada orço nta-

por capacie de ductilio pilar, Rdγontacto cl .

de enchime

o tomar-se

icas dos piclasse DCM

chimentos

rada como s situações

de alvenar

prolongamar (por exe

nos pilarento de conção ao me

idade real, idade e con

,d Rc iM , se

ento pode s

as seguint

ilares para M.

s de alven

zona crític:

ria;

m em toda emplo, pila

es sob a antacto cl nenor dos do

utilizandonsiderando desenvolv

ser conside

es medidas

a corresp

naria

ca (devend

a altura liares de can

acção do eno qual se ois esforço

o um facto que a cap

ve nas dua

erada da or

s:

ondente

do então

ivre dos nto).

feito de aplica a s trans-

r de so-

pacidade as extre-

rdem de

a) occpemcfpp

b) ad

d

c) ss

5.9 D

(p. 116

5.10 Es

(p. 117

o esforço calculado consideranpilar (altuestá em comentos) e cos calculafactor de spara a claspara a clas

as armadudispostas a

ch (dimensdo pilar em

se o comprso deverá s

isposiçõe

)

struturas

e seguinte

transversopor capac

ndo a altuura do pilontacto co os momeados considsobreresistêsse DCM esse DCH.

uras transvao longo dsão da sec

m contacto

rimento da ser resistid

es para dia

pré-fabric

es)

deverá secidade reaura livre dar que nãm os enchentos plástderando umência de 1e igual a 1

versais parda altura lição transv com os en

a zona livredo por arma

afragmas

cadas

71

er al, do ão hi-ti-m ,1 ,3

ra resistir ivre do pilversal do pnchimentos

e do pilar faduras dia

de betão

a este esfoar e prolon

pilar no plas;

for inferioragonais.

orço transvngadas de ano do enc

a 1.5 ch , o

verso deve um compchimento) n

o esforço tr

erão ser rimento

na zona

ransver-

72

Anexo A — Aceleração do terreno para períodos de retorno diferentes de 475 anos

i De acordo com a Nota 1 da Cl. 2.1(1)P, p. 32, o valor da probabilidade de exce-dência, p , em LT anos de um nível específico da acção sísmica está relacionado com o período de retorno médio, RT , deste nível da acção sísmica pela expressão:

ln(1 )L

RT

Tp

= −−

(1)

Assim, como indica a referida Nota, a acção sísmica poderá ser especificada de forma equivalente através quer do seu período de retorno médio, RT , quer da sua probabilidade de excedência, p, em LT anos.

Nota: A fórmula acima resultou de se assumir que a ocorrência de sismos segue um processo de Poisson. Uma fórmula mais genérica que não necessita de se assumir que a ocorrência de sismos segue um processo de Poisson é a seguinte:

(1/ )

1

1 (1 ) LR T

Tp

=− −

Constata-se que as duas fórmulas dão praticamente o mesmo resultado.

i De acordo com a Nota da Cl. 2.1(4), p. 33, poderá considerar-se que a taxa anual de excedência, ( )gRH a , do valor de referência da aceleração máxima à superfície do terreno, gRa , é dada por:

0( ) kgR gRH a k a−≈ ,

onde k é uma constante, função da sismicidade do local. No texto que segue usa-remos a expressão

0( ) kg gH a k a−≈ ,

visto que gRa , por definição no EC8, refere-se a um período de retorno específico de 475 anos.

i Em Portugal, de acordo com estudos de perigosidade sísmica, adoptam-se os se-guintes valores (NA, p. 212):

Sismo tipo 1 Sismo tipo 2

Continente Açores

k 1.5 2.5 3.6

i O período de retorno RT , em anos, é aproximadamente igual ao inverso da taxa anual de excedência, donde:

73

( )(1/ )

00

1( )

kk

R g g R RT a a T k Tk

= ⇒ = (2)

Em particular para 475 anosRT = , tem-se:

( )(1/ )

0 475k

gRa k= (3)

Dividindo (2) por (3) tem-se:

(1/ )( )

475

kg R R

gR

a T Ta

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠, (4)

expressão esta que nos permite calcular a aceleração do terreno para um período de retorno diferente de 475 anos.

i A expressão acima pode ser útil na verificação da segurança em SP transitórias, em que o período de exposição da estrutura aos sismos é inferior ao período de referên-cia 50anosLT = , previsto no EC8-1. Pode também ter interesse na avaliação de estruturas existentes, caso o período de vida útil remanescente LT seja inferior ao período de referência de 50 anos.

i A título de exemplo, determine-se ( ) /g R gRa T a para diferentes valores do período de referência LT .

Quadro: Valores de ( ) /g R gRa T a para 0.10p =

Quadro: Valores de ( ) /g R gRa T a para 0.05p =

TL TR[anos] [anos] Continente Açores0.25 2.4 0.03 0.12 0.23

0.333333 3.2 0.04 0.13 0.250.5 4.7 0.05 0.16 0.281 9.5 0.07 0.21 0.345 47.5 0.22 0.40 0.5310 94.9 0.34 0.53 0.6430 284.7 0.71 0.81 0.8750 474.6 1.00 1.00 1.00

Sismo tipo 2Sismo tipo 1

TL TR[anos] [anos] Continente Açores0.25 4.9 0.05 0.16 0.28

0.333333 6.5 0.06 0.18 0.300.5 9.7 0.07 0.21 0.341 19.5 0.12 0.28 0.415 97.5 0.35 0.53 0.6410 195.0 0.55 0.70 0.7830 584.9 1.15 1.09 1.0650 974.8 1.61 1.33 1.22

Sismo tipo 2Sismo tipo 1

74

Anexo B — Rotina MATLAB para o traçado dos espectros de resposta % Script file: espectros.m % % Objectivo: Determinação dos espectros de resposta de cálculo horizontais % para Portugal % clear; clc; clf; % % DADOS % zs1 = 1; %Zona sismica para sismos tipo 1. zs2 = 3; %Zona sismica para sismos tipo 2. tt = 3; %Tipo de terreno (1=A, 2=B, etc.). gamai = 1.00; %Coeficiente de importância. q = 2.5; %Coeficiente de comportamento. T = 1.59; %Período para o qual se pretende o espectro. % % CALCULOS % % Definições agr_s1 = [2.5 2.0 1.5 1.0 0.6 0.35]; agr_s2 = [2.5 2.0 1.7 1.1 0.8]; smax = [1.0 1.35 1.6 2.0 1.8]; TB = 0.1; TC1 = [.6 .6 .6 .8 .6]; TC2 = [.25 .25 .25 .3 .25]; TD = 2.0; % % Calculo do espectro para o período pedido ag1 = gamai*agr_s1(zs1); ag2 = gamai*agr_s2(zs2); s1 = coefsolo(smax(tt),ag1); s2 = coefsolo(smax(tt),ag2); sd1_T = spech(ag1,s1,TB,TC1(tt),TD,q,T) sd2_T = spech(ag2,s2,TB,TC2(tt),TD,q,T) % % Gráficos dos espectros % Sismo tipo 1 period1 = [0 TB TC1(tt) .82 .85 .9 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 TD 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0]; for i = 1:length(period1) sd1(i) = spech(ag1,s1,TB,TC1(tt),TD,q,period1(i)); end % Sismo tipo 2 period2 = [0 TB TC2(tt) .32 .35 .4 .6 .8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 TD 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0]; for i = 1:length(period2) sd2(i) = spech(ag2,s2,TB,TC2(tt),TD,q,period2(i)); end % hold on plot(period1,sd1,'LineStyle','-', 'Linewidth',3,'Color','red'); plot(period2,sd2,'LineStyle','-', 'Linewidth',3,'Color','blue'); plot([T T],[0 4],'LineStyle','--', 'Linewidth',2,'Color','blue')

75

set(gca,'FontSize',18,'FontName','Euclid') grid on legend('Sismo tipo 1','Sismo tipo 2') xlabel('{\itT} [s]') ylabel('{\itS_d} [m/s^2]') hold off

function coefsolo = coefsolo(smax,ag) % função para a determinação do coeficiente de solo if ag <= 1 coefsolo = smax; elseif ag > 1 & ag < 4 coefsolo = smax - (1/3)*(smax - 1)*(ag - 1); else coefsolo = 1 end return

function spech = spech(ag,s,TB,TC,TD,q,T) % função para a determinação do espectro de resposta horizontal de calculo if T>=0 & T<=TB spech = ag*s*(2/3 + T/TB*(2.5/q - 2/3)); elseif T>TB & T<=TC spech = ag*s*2.5/q; elseif T>TC & T<=TD spech = ag*s*2.5/q*TC/T; if spech < 0.2*ag; spech = 0.2*ag; end else spech = ag*s*2.5/q*TC*TD/T^2; if spech < 0.2*ag; spech = 0.2*ag; end end return

76

Anexo C — Justificação das expressões do EC8 relativas à ductilidade local (Costa, 2013)

C.1 Vigas

No caso das vigas, a ductilidade local é garantida por se limitar a taxa de armadu-ra ρ na zona traccionada. Seja φμ a ductilidade em curvatura requerida.

Por definição, /u yφμ φ φ= ;

2 0.0035cuu

u ux xε

φ = = ;

1.5 ydyy

IId x d

εεφ = ≈

−;

Por equilíbrio de forças:

( )

( )

'2 1

'

0.8

0.8'

0.8

s c s s yd u cd s yd

s s ydu

cd

ydu

cd

F F F A f x bf A f

A A f dx

bf dd f

xf

ρ ρ

+ = ⇔ + =

−⇔ =

−⇔ =

Tem-se pois:

( )

( ) ( )

max

0.0035 0.0035 0.8/

1.5 1.5 '

0.0018' 0.0018

'

0.0018 0.0018' '

cdu y

u yd yd yd

cdyd yd cd

yd yd

cd cd

yd yd yd yd

d d f

x d f

ff f

f

f ff f

φ φ φ

φ φ

φ φ

μ φ φ μ με ε ρ ρ

μ μ ε ρ ρε ρ ρ

ρ ρ ρ ρμ ε μ ε

= ⇔ = ⇔ =−

⇔ = ⇔ − =−

⇔ − = ⇒ = + ⋅

εy

εcu2 = 0.0035

φuφy

εuk

xuxII

b

d

Fs1

Fs2

Fc

0.8xu fcd

C.2 P

No cde cicom

Expr

σ

Por

uφ =

yφ =

Por

sF +

Tem

hilares

caso dos piintagem qu a ductilida

ressões par

2 / 0.ckfσ =

definição,

2,cu c

ux

εε= =

yd

IId x

ε= ≈

−

equilíbrio

Ed sN F+ =

m-se pois:

bb0

ilares, a duue aumentade requer

ra betão co

.5 wαω

/uφμ φ=

2 0.20cu

ux

ε +

0.45yd

d

ε≈ ≈

de forças:

cF+ ⇔

⇔

⇔

NEd

uctilidade e a extensãida.

onfinado, se

yφ ;

2 / ckfσ=

0.4yd

h

ε;

0.

0.80

0.80

Ed

u

du

N

Nx

bx

ν

=

=

=

εcu2,c

φu

x

77

local é garão de rotu

egundo o E

0.0035 0

ux

+

0

0

0

8

0

0

u cd

Ed

cd

x b f

Nb f

b h

b

xu

0.

rantida poura do betã

EC2:

0.10 wαω;

εuk

.8xu

r se adoptão para um

Fs

Fs

Fc

fcd,c

tar uma arm valor com

rmadura mpatível

78

( ) 0

0.0035 0.10

0.4

0.0035 0.10 0.80

0.4

0.0035 0.100.4

uu y

y

w yd

u

w yd

d

ydw

x h

b

b h h

h

φ φ

φ

φ

φ

φμ φ μ φ

φαω ε

μ

αω εμ

ν

εαω μ

= ⇔ =

+⇔ =

+⇔ =

⇔ + =d b hν

0

0

0.80

30 0.035w d yd

b

bb

φα ω μ ν ε⇔ ≈ −