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Dinamica dei Fluidi
Esistono vari modelli per descrivere il
comportamento di un fluido.
Noi distinguiamo:
Fluido ideale Fluido reale (viscoso)
• Il volume è indipendente dalla pressione: liquido incomprimibile (i.e. ρ costante,
indipendente da p, v, T, h, ...);
•è trascurabile la sua struttura molecolare, cioè la massa liquida può essere
considerata un continuo anche su porzioni infinitamente piccole;
• lo scorrimento delle molecole le une rispetto alle altre avviene senza perdita di
energia per attrito interno ed il liquido è infinitamente deformabile viscosità nulla
(«attrito» nullo);
•la velocità attraverso una sezione trasversale del condotto è uguale in ogni punto;
•Il fluido si muove secondo un modello “laminare”: la velocità in un punto fissato non
cambia nel tempo né in modulo né in direzione. Le linee di flusso non si intersecano
mai.
Fluido ideale Fluido reale (viscoso e vorticoso)
Fluidi ideali
Ipotesi:
Definizione: PORTATA = Q =V
t(m3/s)
E’ il volume di fluido che, al secondo, attraversa la sezione di condotto.
Es.: la portata media di un fiume, d’estate, è minore rispetto all’inverno
Es.: la portata di un grosso vaso è maggiore di quella di un piccolo vaso
Portata di un fluido
Portata di un fluido
Consideriamo un condotto di sezione S attraversato da un fluido che si muove
con velocità v uguale in tutti i punti della sezione
Per flusso stazionario si intende che il moto e in particolare la velocità delle
particelle o del volume infinitesimo del fluido è indipendente dal tempo.
Ipotesi:
In un fluido ideale dove il moto è stazionario la portata Q è costante
Nell’intervallo di tempo Δt:
Δx1 = v1 Δt
Δx2 = v2 Δt
Δm1 = ρ1 S1 Δx1 = ρ1 S1 v1 Δt
Δm2 = ρ2 S2 Δx2 = ρ2 S2 v2 Δt
La massa si conserva ⇒Δm1 = Δm2 ρ1 S1 v1 = ρ2 S2 v2
La quantità di fluido che entra da una estremità del tubo è uguale alla quantità
di fluido che esce nello stesso intervallo di tempo ⇒ La portata Q è costante
Il fluido è incomprimibile ⇒r1 = r2 S1 v1 = S2 v2
Equazione di continuità
=> Q =V
t= costante, lungo il condotto
«La quantità di fluido che entra da un’estremità deve
uscire dall’altra estremità, nello stesso tempo t»
Equazione di continuità
Consideriamo un volumetto V di fluido ideale che
si muove nel tempo Δt.
Sia Δm la massa del volumetto ( Δm = ρΔV)
Calcoliamo fra i punti 1 e 2:
• la variazione di energia cinetica ΔEk
• il lavoro delle forze di pressione L12p
• il lavoro della forza peso L12g
Legge di Bernoulli
ΔEk = ½ Δm v22 –½Δm v1
2
h1
h2
Dal teorema dell’energia cinetica: ΔEk = L12g +L12p ⇒
½ Δm v22 –½Δm v1
2 = Δm g h1 – Δm g h2 + p1 Δm/ρ–p2 Δm/ρ
p1 + ½ ρ v12 + ρ g h1 = p2 + ½ ρ v2
2 + ρ g h2 = costante
L12g = Δm g h1 – Δm g h2
L12p = F1 x1 –F2 x2 = p1 S1 x1 –p2 S2 x2=(p1 –p2 ) Δm/ρ
Se A = costante (SEZIONE COSTANTE) allora: v = cost. e anche p = cost.
Teorema di Bernulli
P1 + ½ r v12 + r g y1 = P2 + ½ r v2
2 + r g y2
Se A diminuisce allora v aumenta e p diminuisce
Effetto VenturiDal teorema di Bernoulli:
p1 + r g h1 + 1/2 r v12 = p2 + r g h2 + 1/2 r v2
2
h1 = h2 : p1 + 1/2 r v12 = p2 + 1/2 r v2
2
da cui: p1 = p2 + 1/2 r (v22 - v1
2)
Poichè S2v2 =S1v1 v2>v1
Il fenomeno può essere visualizzato applicando al condotto due canne
manometriche: la differenza di altezza del liquido nei due tubicini è proporzionale
alla differenza di pressione. Infatti applicando la legge di Stevino al fluido in
equilibrio contenuto nelle due canne si trova che:
p1 - p2 = r g h
e quindi p1 > p2.
A sezione maggiore corrisponde pressione maggiore e viceversa. Ovvero:
quando in un condotto c’è una strozzatura si verifica una caduta di pressione.
1
2
P + ½ r v2 + r g y = costante
Se A = cost
allora anche v=cost
P + r g y = costante
I punti piu’ alti hanno pressione piu’ bassa
Teorema di Bernulli
Legge di Torricelli
Liquido che esce da un foro in un recipiente.
Qual è la velocità del getto d’acqua ?
p + ρgh +½ ρ v2 = cost (eq. Bernoulli)
patt + ρgy1 =patt +½ ρ v22
v2=(2gy1)1/2
Sistema cardiovascolare
p + ½ ρ v2 + ρ g h =K
S1 v1 = S2 v2 v1 = v2
p = cost.
ANEURISMA
S1 v1 = S2 v2 v1 > v2
p1 + ½ ρ v12= p2 + ½ ρ v2
2 p2>p1
STENOSI
S1 v1 = S2 v2 v1 < v2
p1 + ½ ρ v12= p2 + ½ ρ v2
2 p2<p1
Fluido ideale, moto stazionario, pareti rigide
• Nei fluidi reali esistono forze che tendono a opporsi al moto relativo
delle particelle che li costituiscono.
• La capacità di trasmettere tali forze viene definita viscosità.
• Nel moto relativo di due strati di fluido, le forze che contrastano tale
moto sono parallele alla superficie di separazione degli strati e
quindi sono forze tangenziali rispetto alla superficie.
Fluidi reali
p = 0
Fluido ideale
Q=cost
S2v2 =S1v1 v2=v1
e quindi
Fluido reale viscoso
p = 0
Fluidi reali
p1 + ½ ρ v12 + ρ g h1 = p2 + ½ ρ v2
2 + ρ g h2 = costante
Fluidi viscosi: regimi laminare e turbolento
All’aumentare della velocita’ del fluido nel condotto, provocata ad esempio
dall’aumento della pressione ai suoi capi si ha il passaggio dal regime di
moto laminare al regime di moto vorticoso o turbolento.
r
Fluidi reali
Flusso laminare
L’andamento della velocità di scorrimento (MODULO) aumenta dai bordi (v=0) al
centro dove raggiunge il valore massimo (v=vMAX).
Il profilo della velocità è di tipo PARABOLICO (v è proporzionale al QUADRATO
della distanza dal bordo).
In fluidodinamica si parla di flusso laminare o di regime laminare quando il moto
del fluido avviene con scorrimento di strati infinitesimi gli uni sugli altri senza alcun
tipo di rimescolamento di fluido, neanche su scala microscopica.
Il flusso è governato dalle forze viscose ed è costante nel tempo.
v = velocità tangenziale
sforzo di taglio (“quanta forza applico per metro quadro”)
( )AF= (legge di Newton)
F
Aη
v
y=
Viscosità
H O (T = 20 C) =1.005 10 Pa sSangue (T = 37 C) = 2.084 10 Pa sOlio Ricino (T = 20 C) = 0.986 Pa sAria (T = 20 C) =1.81 10 Pa s
2
-3
-3
-5
REGIME LAMINARE
η coefficiente di viscosità
A area
v→ = velocità relativa
vAF A −=
C.G.S. g s–1 cm–1 = poise
FORZE DI ATTRITO
Fluidi viscosi regime laminare
La viscosità dipende fortemente dalla temperatura !!!
Nei gas aumenta con la temperatura
T
(aumenta il moto termico delle molecole)
Nei liquidi diminuisce con la temperatura (le forze di attrazione
intermolecolari decrescono con il crescere di T).
Viscosità
Liquido Newtoniano
F
Aη
v
y=
Liquido NON Newtoniano!
η
y
vη NON dipende da
y
vη dipende da
Il sangue….
https://www.youtube.com/watch?v=bLiNHqwgWaQ
Viscosità
Fluidi viscosi regime laminare
In presenza di attrito bisogna applicare una pressione per far scorrere un
liquido entro un condotto orizzontale con velocità costante.
Per ottenere una portata Q in un condotto dalle pareti rigide è allora necessario
applicare la differenza di pressione p.
R
pQ
=
R resistenza del condotto
forza viscosa risultante = forza di pressione
Legge di Poiseuille
1. Diminuisce al crescere della viscosità (η)2. Diminuisce al crescere della lunghezza del condotto (L)3. Aumenta al crescere della differenza di pressione fra le estremità del condotto4. Aumenta per condotti con sezione maggiore
pl
rQ =
8
4
Legge di POISEUILLE Nel caso di un condotto cilindrico
η = coefficiente di viscosità
l = lunghezza del condotto
r = raggio del condotto
La legge di Poiseuille può essere interpretata come legge di proporzionalità tra
la "causa" = P che provoca il flusso e l'effetto = Qv che ne segue, secondo una
costante di proporzionalità R che dipende dalle caratteristiche geometriche del
condotto e dalla viscosità del fluido:
Resistenza idraulica (R) del condotto.
Resistenza idraulica
Legge di Poiseuille
Qr
lp
4
8
=
La legge di Poiseuille è analoga alla legge di Ohm:
Differenza di potenziale = (resistenza elettrica) · (corrente elettrica)
Differenza di pressione = (resistenza idraulica) · (portata)
Corrente elettrica = carica elettrica per unità di tempoPortata = massa di fluido per unità di tempo
Legge di Poiseuille
La dipendenza dal raggio è secondo la QUARTA potenza di r:
per “piccole” variazioni del raggio posso avere “grandi” variazioni di portata!!! grande importanza in fisiologia!!
Legge di Poiseuille
pl
rQ =
8
4
Q= portataRelative radius = r / R
vaso visto frontalmente, di raggio variabile (raggio max = R)
r
RFisiologicamente un vaso puo’ variare il suo raggio ?
Legge di Poiseuille
Credit: R. Nave
Legge di Poiseuille
pl
rQ =
8
4
Fluidi viscosi regime laminare
pl
rQ =
8
4
Legge di POISEUILLE
Profilo della velocità parabolico
Moto silenzioso
Fluidi viscosi regime turbolento
All’aumentare della velocita’ del fluido nel condotto la formula di
Poiseuille cessa di valere e si ha il passaggio dal regime di moto
laminare al regime di moto vorticoso o turbolento.
r crvR
2=
ℜ = numero di Reynolds (adimensionale)
=viscosità
r=densità del fluido
condotto rettilineo uniforme : ℜ < 2000 regime laminare
ℜ > 3000 regime turbolento
r
Fluidi viscosi regime turbolento
Aumentano le forze di attrito
Aumenta la RESISTENZA del condotto
pQ
Linee di velocità vortici
Moto rumoroso
Q
pR
=
Ma se il moto è turbolento si osserva che kQR =
kQ = Δp/Q KQ2 = Δp
(k fattore di attrito)
Nel regime turbolento per raddoppiare la portata
occorre quadruplicare la differenza di pressione
Viscosità del sangue
Il sangue è formato da una parte liquida e da una parte corpuscolata , costituita da
cellule o frammenti di cellule.
La parte liquida si chiama plasma ed è composta per il 90% da acqua e per il
restante 10% da sostanze organiche e Sali.
Le cellule del sangue si dividono in:
globuli rossi o eritrociti;
globuli bianchi
piastrine
1 mm3∼ 5 106
5 ÷ 8 103
250 ÷ 300 103
Le proprietà del moto sono fortemente influenzate dalla complessa
composizione del sangue, in particolare dalla presenza in sospensione del
globuli rossi. Il plasma da solo si comporta in buona approx. come un
fluido viscoso normale per il quale vale la legge di Poisseuille.
Se la velocità non è troppo bassa e se la sezione del vaso >100 mm si può
assumere che il sangue abbia un comportamento viscoso analogo a quello
di un fluido omogeneo.
Viscosità del sangue
= volume % occupato da eritrociti
Anemia →basso valore di ematocrito → bassa viscosità → portata aumentata
pl
rQ =
8
4