Dinamica  del  Corpo  Rigido   Fisica   Mattia  Natali    

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Dinamica  del  Corpo  Rigido   Corpo  rigido:  

Sistema  di  punti  materiali  in  cui  le  distanze  (posizioni  relative)  tra  tutti  i  punti  materiali  rimangono  costanti  durante  il  moto  del  sistema  (cioè  indipendentemente  dal  sistema  di  forze  e  di  momenti  

applicato).  Allora  posso  descrivere  il  moto  del  corpo  rigido  utilizzando  il  solo  centro  di  massa.  Inoltre  il  centro  di  massa  gode  di  proprietà  particolari:  

F E( )

= MaCM

 (teorema  del  centro  di  massa).  NB:  il  centro  di  massa  non  deve  necessariamente  

coincidere  con  un  punto  del  corpo  rigido  (si  pensi  ad  una  sfera  cava),  ma  la  sua  traiettoria  sarà  parallela  a  quella  dei  punti  del  corpo  rigido  (per  moto  traslatorio  puro).  

Si  distinguono  allora  due  casi  elementari  di  moto  per  un  CR  (corpo  rigido):   Moto  traslatorio  puro:  tutte  le  particelle  del  corpo  rigido  compiono  traiettorie  tra  loro  

parallele.  

Moto  rotatorio  puro:  tutte  le  particelle  descrivono  orbite  circolari  intorno  al  medesimo  asse.   Ogni  moto  di  un  corpo  rigido  si  potrà  scomporre  in  un  moto  traslatorio  puro  e  in  un  moto  rotatorio  

puro  (istantanei).  

 

Moto  rotatorio  puro  (asse  di  rotazione  fisso):   L’asse  z  rappresenta  il  nostro  asse  di  rotazione  (scelgo  il  sistema  di  riferimento  in  modo  che  z  

coincida  con  l’asse  di  rotazione  fisso  del  corpo  rigido,  ma  z  non  necessariamente  interseca  il  corpo  

rigido  e  O  non  necessariamente  appartiene  al  corpo  rigido  stesso).  

v=ω× r=ωr sinαuϑ =ωduϑ  con   r sinα = d  e   uϑ

 versore  parallelo  a   v  (d  è  la  distanza  del  

punto  dall’asse  z,  α  è  l’angolo  tra  il  vettore   r

e  l’asse  di  rotazione  z).  

EC = EC ,ii=1

n

∑ =12mivi

2

i=1

n

∑  con  un  corpo  rigido  di  n  punti  materiali  questo  vale  per  ogni  sistema  di  

punti  materiali.  In  particolare  poi  per  i  corpi  rigidi  in  moto  rotatorio  puro  varrà  il  vincolo  cinematico  

vi=ωdiuϑ .  

Trovo  quindi  EC =12miω

2di2

i=1

n

∑ =12

midi2

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟ω 2 =

12Iω 2  con   I = midi

2

i=1

n

∑  detto  

momento  di  inerzia  del  corpo  rigido  rispetto  all’asse  di  rotazione  considerato.  

• I  dipende  dalla  massa  del  corpo  rigido  e  dalla  sua  geometria.  

• I  dipende  non  solo  dal  corpo  rigido  in  esame  ma  anche  all’asse  di  rotazione  (z),  o  in  generale  dall’asse  a  cui  è  stato  calcolato.  

• I  è  costante  se  l’asse  di  rotazione  è  fisso,  o  meglio  se  l’asse  è  calcolato  rispetto  ad  un  asse  

fisso  (nell’ipotesi  che  il  corpo  sia  rigido).  

• I  per  un  corpo  rigido  continuo   I = d 2 r

( )ρ r( )dV

C∫∫∫  con   ρ r( )dV  massa  infinitesima  

nel  volumetto   dV  intorno  alla  posizione   r  ove  la  densità  è  

ρ r( ) .  L’integrale  è  triplo  

perché  bisogna  integrare  nelle  3  dimensioni  x, y, z.  

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LO

= LO,i

= ri× mi vi

i=1

n

∑i=1

n

∑  per  un  corpo  rigido  discreto  (formato  da  punti  materiali  finiti).  

LO

= r× vr( )( )ρ r

( )dVC∫∫∫  con  

ρ r( )dV = dm r

( )  per  un  corpo  rigido  continuo  (formato  da  

infiniti  punti  materiali  a  loro  volta  infinitesimi).  

In  generale,  dato  un  corpo  rigido  in  rotazione  intorno  ad  un  asse  fisso  (z)  con  momento  d’inerzia   Iz  

(rispetto  all’asse  z  di  rotazione),  non  è  facile  stabilire  un  legame  tra   LO

 (con  O ∈z )  e   Iz .  In  

generale   LO

 non  è  diretto  lungo  l’asse  z  (asse  di  rotazione).  

LO ·uz = Lz = ri

× mi vi( )

i=1

n

∑ ·uz ,   pi '  è  la  proiezione  di   pi  sull’asse  z     ri= Opi '

+ pi ' pi

Lz = Opi '

× vi( )mi ·uz

i=1

n

∑ + pi ' pi

× vi( )mi

i=1

n

∑ ·uz  ma  

Opi '

× vi( )mi ·uz

i=1

n

∑ = 0  perché   Opi '

 è  

parallelo  a   uz ,  di  conseguenza  il  prodotto  vettoriale  produrrà  un  vettore  perpendicolare  ad   uz

,  

quindi  il  prodotto  scalare  di  due  vettori  perpendicolari  risulta  0.     Lz = midi2( )ω

i=1

n

∑ = Izω .  

Ricorda  che   vi=ω× ri.  

L O( )z = Izω ,  la  componente  assiale  ( Lz )  del  momento  angolare  di  un  corpo  rigido  in  rotazione  

pura  intorno  ad  un  asse  fisso  z  con  una  velocità  angolare  istantanea  ω  è  pari  al  prodotto  del  

momento  d’inerzia  rispetto  all’asse  di  rotazione  z  e  della  velocità  angolare  ω .  

Assi  principali  d’inerzia:  si  può  dimostrare  che  ogni  corpo  rigido  possiede  tre  assi  particolari  detti  assi  principali  per  i  quali  se  il  corpo  rigido  viene  posto  in  rotazione  intorno  ad  uno  di  tali  assi  il  

momento  angolare   La

= Iaω,   Lb

= Ibω,   Lc

= Icω  con  a,  b,  c  tre  direzioni  nello  spazio.   Ia , Ib , Ic  

sono  detti  momenti  principali  d’inerzia.  

Gli  assi  principali  d’inerzia  si  intersecano  nel  centro  di  massa  del  corpo  rigido.  

Se  sono  presenti  assi  di  simmetria  rotazionale  in  un  corpo  rigido  omogeneo  ( ρ r( ) = ρ  

costante),  allora  tali  assi  sono  assi  principali  d’inerzia.  

Ipotesi:  corpo  rigido  omogeneo  ( ρ r( ) = ρ  costante).  

Ix = y2 + z2( )ρdV = ρ y2 + z2( )dVC∫∫∫C∫∫∫

Iy = x2 + z2( )ρdV = ρ x2 + z2( )dVC∫∫∫C∫∫∫

Iz = x2 + y2( )ρdV = ρ x2 + y2( )dVC∫∫∫C∫∫∫

.  

Se  poi  il  corpo  rigido  è  sottile  nella  direzione  z  posso  assumere   z 0  nelle  formule  di   Ix  e   Iy  

  Ix = ρ y2 dVC∫∫∫ ,   Iy = ρ x2 dV

C∫∫∫     Iz = Ix + Iy .  

Teorema  di  Steiner:   Iz = I ′z + Ma2  con  a  la  distanza  del  centro  di  massa  dall’origine  O.  

Dimostrazione:   d  distanza  del  generico  punto  P  del  corpo  rigido  dall’asse  z.   d '  distanza  del  generico  punto  P  del  corpo  rigido  dall’asse   z ' .  

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• d 2 = x '2+ a + y '( )2    

d 2 = x '2+ a2 + 2ay '+ y '2 = x '2+ y '2( ) + a2 + 2ay ' = d '2+ a2 + 2ay ' .  • Iz = ρ d 2 dV

C∫∫∫ = ρd '2 dVC∫∫∫ + a2ρdV

C∫∫∫ + ρ2ay 'dVC∫∫∫    

Iz = Iz ' + Ma2 + 2aM y ' ρdV

MC∫∫∫     y ' ρdVMC∫∫∫ = 0  perché   y 'CM = 0 .  Ricorda  che  

yCM = y 'imi

Mi=1

n

∑ .  

♦ rCM

= r ρ r( )dVMC∫∫∫  per  un  corpo  rigido  continuo.  

♦ rCM

= ri mi

Mi=1

n

∑  per  un  corpo  rigido  discreto.  

τO E( )

=dLO

dtLz = Iω

⎧⎨⎪

⎩⎪  la  prima  equazione  è  di  validità  generale,  la  seconda  è  per  un  corpo  rigido  in  moto  

rotatorio  puro  intorno  ad  un  asse  fisso  τ z =dLzdt

=ddt

Izω( ) = Iz dωdt = Izα    τ = Izα  2^  

equazione  cardinale  della  dinamica  di  un  corpo  rigido.   Note  le  forze  agenti  sul  corpo  rigido,  quindi  noti  i  momenti  delle  forze  agenti  su  di  esso,  

possiamo  determinare  l’accelerazione  angolare  α  del  suo  moto  rotatorio  intorno  ad  un  dato  

asse  z  come  α =τ zIz

.    

Poi  nota  α t( )∀t ∈ t1,t2[ ]    ω t( ) =ω0 + α t '( )dt 't1

t

∫  con   t0 ∈ t1,t2[ ]    

ϑ t( ) = ϑ0 + ω t '( )dt 't0

t

∫ .  

Se  τ z t( ) = 0∀t ∈ t1,t2[ ]    α t( ) = 0∀t ∈ t1,t2[ ]  essendo  α  l’accelerazione  angolare  intorno  

all’asse  z.  Quindi  ω t( ) =ω  costante,  quindi   Lz = Izω  costante.  Conservazione  della  

componente  assiale  del  momento  angolare.  

Più  in  generale  se  τ z t( ) = 0∀t ∈ t1,t2[ ] ,   Lz =  costante  indipendentemente  dal  fatto  che  ω  

sia  costante.   Teorema  dell’impulso  angolare:  

τ z = Izα = Izdωdt

,  integrando   τ z t '( )dt 't1

t2∫ = Iz dωω t1( )

ω t2( )∫ '    

Iτ z t1,t2( ) = Izω t2( ) − Izω t1( ) = Iz∆ω t1,t2( ) = ∆ Lz t1,t2( ) .  

τ z = Izdωdt

 moltiplico  ambo  i  membri  per  lo  spostamento  angolare  dϑ  indotto  nel  tempo  

infinitesimo  dt  da  τ z    τ zdϑ = Izdωdϑdt

.  Integro   τ z dϑ = Izω dωω1

ω2∫ϑ1

ϑ2∫ = Iz12ω 22 −12ω12⎛

⎝⎜⎞⎠⎟  

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 12Izω2

2 −12Izω1

2 = τ z ϑ t( )( )dϑϑ1

ϑ2∫     τ z dϑϑ1

ϑ2∫ = ∆ Ec  ma  deve  valere  il  teorema  delle  forze  

vive  o  dell’energia  cinetica  per  un  sistema  di  punti  materiali    ∆ Ec = LE( )     L E( ) = τ z dϑϑ1

ϑ2∫ .  

dL E( ) = τ zdϑ ,  P E( ) =dL E( )

dt= τ z

dϑdt

= τ zω  con  P =  potenza.  

Se  le  forze  esterne  sono  conservative,  l’energia  meccanica  del  corpo  rigido  in  moto  rotatorio  

intorno  ad  un  asse  sarà  E =12Izω

2 + EP .  

 

Rotolamento  di  un  corpo  rigido  senza  strisciamento:     Ipotesi:  

Rotolamento  senza  strisciamento:  non  c’è  moto  del  punto  di  contatto  con  il  suolo.   Rotolamento  con  strisciamento  (Sgommata  in  partenza).  

Strisciamento  senza  rotolamento  (frenata  senza  ABS).