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Revista de Ciências Exatas e da Terra UNIGRAN, v2, n.2, 2013

DINÂMICA DO MODELO FERMIÔNICO AUTO-INTERAGENTE

SOB A INTERAÇÃO DE UM CAMPO MAGNÉTICO

CARLONI, R. S.1; AGUIAR PINTO, A. C.

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RESUMO. A dinâmica do modelo fermiônico de um único sítio auto-interagente na

presença de um campo magnético pode ser obtida de forma exata e algébrica. Diversos

sais orgânicos possuem a parte eletrônica descrita por modelos fermiônicos com

pouquíssimos graus de liberdade. Nesse trabalho, escrevemos a representação matricial

da hamiltoniana do modelo fermiônico, além de calcular seus autovalores (energia) e

seus autovetores (autoestados instantâneos) para dois casos de representação de um

campo magnético externo: (i) o campo magnético é constante em módulo e direção e (ii)

o campo depende harmonicamente no tempo e tem direção fixa no espaço.

PALAVRAS-CHAVE: Férmions, Autovalores e Autovetores, Mecânica Quântica.

DYNAMICS OF SELF-INTERACTING FERMIONIC MODEL UNDER THE

INTERACTION OF A MAGNETIC FIELD

ABSTRACT: The dynamic model of a single fermionic self-interacting site in the

presence of a magnetic field can be obtained accurately and algebraic. Several organic

salts have the electronics described by fermionic models with very few degrees of

freedom. In this paper, we write the matrix representation of the Hamiltonian of the

fermionic model, and calculate its eigenvalues (energy) and its eigenvectors

(eigenstates) for two cases of representation of an external magnetic field: (i) the

magnetic field is constant modulus and direction and (ii) the field harmonically depends

on time and has fixed direction in space.

KEYWORDS: Fermions, Eigenvalues and Eigenvectors, Quantum Mechanics.

INTRODUÇÃO

É sempre possível calcular a dinâmica exata de sistemas fermiônicos com

poucos graus de liberdade sob qualquer condição inicial, pois os férmions, tais como o

elétron, obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, tornando finita a dimensão de sua

base. Na literatura é possível encontrar a aplicabilidade dos modelos fermiônicos. O

modelo fermiônico com dois ou três sítios espaciais tem sido usado para descrever as

1 Aluno do Curso de Engenharia Física, Bolsista de IC da UEMS. E-mail:

[email protected] 2 Professor Adjunto da UEMS na área de Física. E-mail: [email protected]. 1,2

Curso de Engenharia Física – Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul -

Rodovia Itahum-Dourados, km 12, Caixa Postal: 351 – Cidade Universitária de

Dourados - CEP 79804-970 – Dourados – MS.

mailto:[email protected]

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propriedades eletrônicas e/ou óticas de certos sais orgânicos que possuem transferência

de carga elétrica, por exemplo, veja as referências (RICE, 1979; RICE; YARTSEV;

JACOBSEN, 1980; LIEBSCH; ISHIDA; MERINO, 2009; MERINO et al., 2008).

Em modelos fermiônicos com férmions auto-interagentes dotados com graus de

liberdade de spin e com interação entre os sítios espaciais, a vida média de um elétron

em um sítio é inversamente proporcional ao módulo da constante de transferência,

caracterizada pela constante ¯t, veja a referência (COSTA JUNIOR; THOMAZ, 1997).

Quando essa constante ¯t que caracteriza o deslocamento do elétron para o sítio vizinho,

ou seja, a transferência de carga, é muito pequena, em primeira ordem, podemos

aproximar esse modelo por dois ou três modelos fermiônicos de um sítio espacial com

férmions auto-interagentes independentes. Esta aproximação justifica o interesse de

estudar o modelo fermiônico com apenas um sítio espacial, levando em conta a auto-

interacão dos férmions, representada pela interação coulombiana. Este é o modelo mais

simples na Mecânica quântica em que ocorre a auto-interação dos férmions.

O sistema fermiônico de um sítio auto-interagente (GIRARDEAU, 1980) na

presença de um campo magnético externo dependente do tempo descrito pela

hamiltoniana:

(1)

onde e são os operadores de criação e destruição de spin , respectivamente, que

satisfazem as relações de anticomutação,

e (2)

e , , representa o operador número de férmions com componente de

spin . A hamiltoniana (1) tem somente graus de liberdade fermiônicos internos e U(>0)

pode ser pensado como representando a interação repulsiva entre os férmions no mesmo

sítio espacial. Na hamiltoniana (1) utilizamos o acoplamento Zeeman para levar em

conta a interação entre o sistema e o campo magnético externo. Temos que ,

onde g é o fator de Landé, é o magnéton de Bohr e B(t) representa o campo

magnético externo. Adotamos que a direção do vetor campo magnético é paralela ao

eixo z.

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METODOLOGIA

Para obter a dinâmica exata desse modelo fermiônico auto-interagente sob a

interação de um campo magnético externo, inicialmente, escrevemos a representação

matricial da hamiltoniana (1) na base completa do operador número total de férmions N,

onde

(3)

Seja { }, com i = 0, 1, 2 e 3, uma base completa dos autoestados desse

operador número total de férmions,

(4)

onde representa o estado sem a partícula fermiônica com spin , ,

e .

Nessa base, escrevemos a representação matricial da hamiltoniana e calculamos

as energias desse sistema e seus respectivos autoestados , com i = 1, ..., 4.

Ao obter os autoestados instantâneos da hamiltoniana (1), podemos escrever a

representação de um vetor de estado físico na base completa desses autoestados

(BERRY, 1984; DITTRICH; REUTER, 1994):

(5)

onde é um autoestado da hamiltoniana (1) com energia . Os coeficientes

representam a amplitude de probabilidade de, ao realizar uma medida de energia,

encontrar o sistema com energia e são determinados pela condição de que o vetor

de estado que descreve esse sistema quântico satisfaz a equação de Schrodinger:

(6)

Ao substituir a equação (5) na equação (6), após alguma álgebra, podemos

encontrar as equações diferencias acopladas ou não para cada coeficiente , j = 1, ...,

4.

É fácil demonstrar que a hamiltoniana (1) comuta com o operador número total

de férmions N. Portanto, a dinâmica dos sistemas não mistura estados pertencentes a

diferentes sub-espaços de Fock (espaços vetoriais com número bem definido de

partículas). Por conseguinte, podemos calcular, independentemente, a dependência no

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tempo dos coeficientes dos vetores de estados da eq.(5) pertencentes a diferentes

sub-espaços de Fock.

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Revisão sobre o procedimento matemático na Mecânica Quântica

Na Mecânica Quântica, o estado de um sistema pode ser representado por uma

função de onda complexa da posição ou momento das partículas que constitui esse

sistema. Existe também outra representação criada por Paul Adrien Maurice Dirac, onde

formula-se a Mecânica Quântica em termos de um espaço vetorial complexo, em geral

de dimensões infinita, esta é comumente chamada de notação de Dirac.

Vetor Ket e vetor Bra

Um vetor do espaço dos estados é descrito por um , denominado vetor ket.

Um elemento do espaço dual desse espaço é denotado por e denominado vetor bra.

O produto escalar dos estados e é chamado bracket e denotado por:

(7)

A correspondência é antilinear entre kets e bras denominada de conjugação

hermitiana (COHEN-TANNOUDJI; DIU; LALOË, 1977). Considerando

um ket formado pela combinação linear dos e , a

correspondência desse ket com o seu bra é:

(8)

onde é o complexo conjugado de . Algumas propriedades do produto escalar desses

vetores estão listadas abaixo:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

35


Um vetor físico é um vetor ket que contém toda a informação do estado

quântico. Esse vetor físico pode ser representado através de uma base vetorial formado

por vetores escolhidos convenientemente que, em geral, são ortonormais entre si. A

escolha da base depende do problema em questão. Pode-se utilizar, por exemplo, a base

dos autoestados de energia, de momentum angular, etc (COHEN-TANNOUDJI; DIU;

LALOË, 1977).

Considerando a base { } formada por vetores discretos e ortonormais, onde a

condição de ortonormalização é,

(16)

Onde é a delta de Kronecker, que se comporta de tal maneira,

(17)

Assim é possível escrever o ket qualquer pertencente ao espaço como uma

expansão em { }.

(18)

Onde é a projeção de na base { }, ou seja,

(19)

A representação matricial do ket vetor é formada pelo conjunto de números

onde cada linha da matriz coluna representa a projeção do ket em um dos vetores dessa

base,

(20)

Considerando a mesma base discreta { }, podemos escrever um bra vetor :

(21)

onde é é o complexo conjugado de , este que é a projeção do na base ,

assim

(22)

Da mesma maneira que o ket, podemos representar o bra na forma matricial, ele

é descrito por uma matriz linha:

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(23)

Operadores Hermitianos

O formalismo de Dirac faz uso de operadores matemáticos. Estes são

extremamente importantes para o formalismo, pois estabelecem uma relação funcional

entre dois espaços vetoriais, sendo essa relação funcional chamada de transformação

linear.

Consideremos um operador linear de modo que o resultado de sua operação

em um ket genérico é

(24)

O ket é formado pelo conjunto de suas componentes em casa base de acordo

com a (18), o operador atua igualmente em casa uma das bases. Para isso ser garantido o

operador deve ser linear e a condição de linearidade é:

(25)

O mesmo deve acontece para o bra vetor, pois se para todo ket temos um

correspondente. Então, atuando um operador em um bra, tem-se

(26)

O é denominado operador adjunto do operador .

A correspondência entre um ket e um bra e entre um operador e o seu adjunto é

nomeada conjugação hermitiana, sendo expressa por,

(27)

Esses operadores apresentam algumas relações, sendo elas:

(28)

(29)

(30)

(31)

O operador pode ser representado na forma matricial. Considerando uma base

vetorial discreta { } podemos escrever o elemento:

37


(32)

Assim, temos a representação matricial do operador :

O índice i corresponde a linha e o j corresponde a coluna.

O operador hermitiano é definido quando o operador é igual a seu adjunto,

assim

(33)

Admitindo que seja um operador hermitiano e utilizando a (32), temos que,

(34)

assim temos que a diagonal principal, quando i = j, é formada apenas por números reais.

Consideremos um vetor que seja ortonormalizado, definido um operador:

(35)

onde é chamado de operador projetor.

Aplicando o projetor num ket vetor qualquer obtemos,

(36)

Notemos que o termo é a projeção na base de , se for considerado

um subespaço formado pelos vetores , , ... ortonormalizado, o projetor

torna-se:

(37)

O projetor é um exemplo de operador hermitiano, a (37) é denominada relação

de completeza, ela atua num ket gerando o próprio ket.

Autovalor e Autoestado de Operadores Hermitianos

Um ket é autoestado de um operador qualquer quando o resultado da

operação de no ket é um número que pode ser complexo, e o próprio ket, ou seja,

(38)

38


O número é o autovalor do operador .

Atuando o operador no, ortonormalizado, e fazendo o produto escalar com

o bra podemos escrever,

(39)

Logo:

(40)

Isso implica que é um número real, assim o autovalor de um operador

hermitiano é sempre um número real. Isso indica que é possível medi-lo. Essa

propriedade faz com que o operador hermitiano seja utilizado no estudo de sistemas

quânticos caracterizado-o como um observável.

Para sabermos os autovalores de um operador, é necessário conhecer a estrutura

do operador. Vamos considerar uma base discreta { }, a projeção do ket nessa

base, fazendo uso da eq. (38), é dada por

(41)

Aplicando a relação de completeza (37) na (41) obtemos,

(42)

com e , assim manipulando a expressão temos,

(43)

Substituindo as (42), (43) na (41), temos

(44)

O sistema descrito pela (44) possuirá solução não trivial, isto é, quando

(COHEN-TANNOUDJI; DIU; LALOË, 1977),

(45)

com A sendo uma matriz quadrada com elementos , é o autovalor do operador e I é

a matriz identidade. Essa equação é denominada equação característica e fornece uma

equação de ordem igual a N e suas raízes são os autovalores do operador .

O vetor de estado do modelo fermiônico

39


Nessa seção, escreveremos o vetor de estado (5) para o modelo representado

pela hamiltoniana (1) nos dois casos de configuração do campo magnético externo.

Para encontrarmos os autovalores (energias), aplicamos a Hamiltoniana (1)

(1)

Na base finita de estado de número de partículas bem definido:

, , e ,

e usando as propriedades dos operadores de criação e de destruição, obtemos que

Vendo o resultado acima, observamos que, independente da forma do campo

magnético, os autoestados do operador número, também são autoestados da

hamiltoniana (1). Dessa forma, as energias (os autovalores) da hamiltoniana são:

Os respectivos autoestados são

Tendo obtido os autoestados e autovalores da hamiltoniana, podemos escrever o

vetor de estado (5) que carrega toda a informação do sistema fermiônico

(BERRY, 1984; DITTRICH; REUTER, 1994).

Para o caso em que o campo magnético é constante, , temos que o vetor

de estado :

40


(46)

Para o caso em que o campo depende harmonicamente no tempo e tem direção

fixa no espaço na forma , onde e são constantes, temos

(47)

Obtenção dos coeficientes do vetor de estado do modelo

Utilizando a equação de Schrodinger (6), temos ao substituir o vetor de estado

(46):

(48)

Após alguma álgebra:

Aplicando os BRA ; ; e podemos encontrar as

equações diferenciais para cada coeficiente , j = 0, ..., 3.

Portanto, a amplitude de probabilidade de um sistema permanecerá sempre

constante. Logo, não há evolução temporal dos coeficientes.

41


No caso do vetor de estado com campo magnético dependente harmonicamente

no tempo (47) aplicando na equação de Schrodinger e após um pouco de álgebra temos:

(49)

Aplicando os BRA ; ; e encontramos as equações

diferenciais:

Vemos que, como no caso anterior, a probabilidade também permanece

constante.

AGRADECIMENTOS.

Os autores agradecem a UEMS pelo suporte técnico. CARLONI agradece a

Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul (UEMS) e a Fundação de Apoio ao

Desenvolvimento do Ensino, Ciência e Tecnologia do Estado de Mato Grosso do Sul

(FUNDECT) pela bolsa concedida, através do Programa Institucional de Bolsas de

Iniciação Científica (PIBIC).

REFERÊNCIAS

BERRY, M. V. Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes. Proceedings

Of Royal Society A, v. 392, n. 1802, p. 45-57, 1984.

COHEN-TANNOUDJI, C.; DIU, B.; LALOË, F. Quantum Mechanics. New York-

EUA: Ed. John Wiley & Sons, 1977. v. I. 914p.

COSTA JÚNIOR, A. T.; THOMAZ, M. T. Dynamics of the Electronic States of

Organic Charge-Transfer Salts in in-Phase Mode. Modern Physics Letters B, v. 11, n.

20, p. 877-888, 1997.

DITTRICH, W.; REUTER, M. Classical and Quantum Dynamics- from Classical

Paths to Path Integrals. Second Corrected and Enlarged Edition. Berlin: Ed. Springer-

Verlag, 1994. 385p.

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GIRARDEAU, M. D. Fock - Tani representation for composite particles in a soluble

model. Journal of Mathematical Physics, v. 21, n. 9, p. 2365-2375, 1980. LIEBSCH, A.; ISHIDA, H.; MERINO, J. Mott transition in two-dimensional frustrated

compounds. Physical Review B, v. 79, n. 19, p. 195108-1-4, 2009.

MERINO, J. et al. Quasiparticles at the Verge of Localization near the Mott Metal-

Insulator Transition in a Two-Dimensional Material. Physical Review Letters, v. 100,

n. 8, p. 086404-1-4, 2008.

RICE, M. J. Towards the experimental determination of the fundamental microscopic

parameters of organic ion-radical compounds. Solid State Communications, v. 31, n.

2, p. 93-98, 1979.

______. ; YARTSEV, V. M.; JACOBSEN, C. S. Investigation of the nature of the

unpaired electron states in the organic semiconductor N-methyl- N-ethylmorpholinium-

tetracyanoquinodimethane. Physical Review B Condensed Matter, v. 21, n. 8, p.

3437-3446, 1980.

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