Dinâmica_-_Unidade_II

8/14/2019 Dinmica_-_Unidade_II

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Dinmica das Mquinas - Jos A. Riul

UNIDADE 11

11.1 - Equilbrio Esttico eDinmico em Mecanismos Planospelo mtodo do Trabalho Virtual

- Mtodo do Trabalho Virtual paraEquilbrio Esttico de Mecanismos

Considere o deslocamento da

partcula A da figura 1.

A'

A

Fligura 1 - Partcula A


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o trabalho realizado dado por:

!1u = Fl& = (F)( l1r ) cos () ( 1)e, se:

!1u > O; -900 < () < 90

!1u - O; () == +90

!1u < O; 90 < () < 270

(2)

Conforme (2), conclui-se quemuitas foras de um mecanismo oude uma mquina no realizamtrabalho, como:fora perpendicular aodeslocamento, oufora aplicada em um vnculo fixo(mancaO, ou

2


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foras de ao e reao entrepeas, dado que se uma produztrabalho positivo, a outra produzirtrabalho negativo e a soma dosdois nula.

oMtodo do Trabalho Virtual

utiliza um deslocamento pequenoimaginrio do mecanismochamado de deslocamento virtual.

O trabalho realizado pelosdeslocamentos virtuais chamadode trabalho virtual. Se um.mecanismo submetido a ao deforas e conjugados externos, estestaticamente equilibrado, ento o

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trabalho virtual devido aosdeslocamentos virtuais nulo.

Usando a equao (1);

8u = fJF;.8r, + it:.8lJj = O (3)i=l .1=1

onde:- 8u - trabalho virtual (Nm == J);- 8F. - deslocamento linear virtual

1

da i-sima partcula do j-simo

corpo (m);- 8lJj - deslocamento angularvirtual da j -sima pea do corpo(rad);

- F;-fora externa atuante na i-

sima !partcula do j-simo docorpo (N);

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- T. - tbrque externo atuante na j-Jsima pea do corpo (Nm).

Usa-se!. a equao (3) na anliseesttica de mecanismos.

- Mtodo do Trabalho Virtual paraEquilbrio Dinmico deMecanismos

Como 'cada deslocamento virtual

ocorre no' mesmo intervalo detempo dt, a equao (3) pode serdividida por dt, como mostra aequao (4).

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-_ ..... ,."~.,~~~.~~-~-,._'''~_._~"' _-.~~--.",..,..-''''''''"' .-~,_.''''~~.,'''''''," , ... '."',',. . .. . . . ." . . .__. .__. _,, ..____ ._. _,_~._ .. ,..~~_'_"_~""""'"'=, .. ..~ .. , ,, ~_.,,_, . _,,'""~"""-.-....,,;. ",.;..-.---...,','"~~~_.,._.'"...~~__ ~i . .A: ' _'m . _. _. ~ . _ _ _ "._"'~.~.,,"--


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Comio na anlise dinmica,foras e conjugados de inrciadevem 'ser considerados, tem-se daequao (4).

11 -->- ~ rn fll -->-

'LF;.V, + 'LT.{+ 'L~.VG +"I 'I J J 'I J J1= j= j="

it:.{ = O}=1 ) }

(5)

centro de

pea do

onde,- ~. - fora de inrcia da j-sima

pea do!mecanismo;- VG. - velocidade do

massa da j-sima imecanIsmo;

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. ' ' _' ~_ ~T . ' _' " . . _ ~ , ' ," " _" . '~ " " . ~ . , .~ _ _


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Io3z = 0,1 kgm2, F = 5000 N,() = 30, (), =-22, w2 = 20,Ok,-

w3 == -5,0,Ok, Y:3 = 300,07 + 200J,---- : ~ . --... ---.. ,~ = -500,Oi, {ter =.900,Oi - 600 j ,'{tB = 900,07, ti] = -800k.

A

G21 1

Figura 2 - Cursor-manivela

As Figuras 3, 4 e 5 mostram o'sDCLs das peas 4,3 e 2.

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Figura 3 ~ DCL da pea 4

-....

143

Figura 4 - DCL da pea 3

10


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-.U

Figura 5 - DCL da pea 2

Dos DCLs, observa-se que asforas abaixo no realizam

trabalho.

- W4, F14, F34, F43, F23, F32, W2, F12,FI2, e TI2.

Usando (5), sem levarem considerao as foras acima,tem-se:

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F.V + W3Ve + t:.C2 + FI .VB +~ ~ ~ 3 - 4 (l.a)~3 ,v;,3 -h 1;3 ,3 = O

Resolvendo (l.a);

F,VB = (SOOOr).(-soor) =- 2500000Nm / s

W = -m g;~= ~30J~. ~ ,) ~

(1.b)

1f:'V:3 = (-30J).(300r +200J)(1.c)-= -6000Nm / s .

r: .02 = ~TJi).(20k) = 20~ Nm / s(1.d)

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~4 .rS =( -m4s)r;: =

(-1800T).(-500T)=900000 Nm/ s(l.e)

(-2700 +1800J).(3001 +200J)

= -450000 Nm / s

( l.f)J:, = -IG,zri3 = -O.l( -800k) = -80k:l .:l

J:3 .(j)3 = ( -80k).(-50k) = 4000 Nm / s(l.g)

SubstitUindo (l.b) (l.g) em (l.a);

1: = 82350k Nm

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11.2- Balanceamento Esttico eDinmico de Rotores.

- Introduo

No processo de fabricao deelementos mecnicos, surgemimperfeies, que so excesso demassa concentrada em pontosdiferentes das p.eas como mostra a

Figura 6. A massa concentradaquando o rotor entra emmovimento, gera fora centrfuga(fora de inrcia) e

consequentemente esforo nosmancais de apoio. Obalanceamento esttico ou

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dinmico realizado com oobjetivo de eliminar a ao dasforas centrfugas.

z

l-b-l- Largura Eixo

BY

I

A

x

y

Figura 6 - Rotor e massas1'\

exc entrlc as

- Balanceamento Esttico de

Rotores (Balanceamento em umnico plano transversal)

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o balanceamento dito estticoquando as foras centrfugas estoem um nico plano transversal; ou. ~ ..se]a, as massas excentrlcas estoem um nico plano transversal.Este e realizado em rotores de

pequenas larguras.Para realizao do balanceamentoesttico ser colocada uma massade compensao, no mesmo plano

das massas excntricas, em umaposio radial e angular, de talforma que sua fora centrfugaeliminar as foras centrfugas

provocadas .. pelas massasexcntricas. Tem-se ento:

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t~+F:=O. 1 I=


(6)

(8)

Em (7)~ a fora de inrcia FI (foracentrfuga) s depende daacelerao normal, porque osrotores giram. .com velocidadeangular: constante.

P == n1 (()2p == (W / g)m2r =e e e . e

(ai / g)fV.r:

Substituindo (7) e (8) em (6);

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(0)2 / g)(IW;~ + ~r:) = O ~i=l (9)n

~Wf+Wr ==O~Wf ==-2:W,L...J 11 ee ee 11i=1 i=l

~ = ( -J a2 + b2 ) / ':

r: = (a/WJT +(b/WJJ ~

()e = tg+(b / a)

(11)

(11.a)

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- Balanceamento Dinmico deRotores (Balanceamento em maisde um plano transversal)

o balanceamento dito dinmicoquando as foras centrfugas estoem mais de um plano transversal;. " .ou seja, as massas excentrlcasesto em planos transversaisdistintos, como mostra a Figura 7.

Este e realizado em ratores degrandes larguras.Para realizao do balanceamentodinmico sero colocadas massas

de compensao, em no mnimodois planos transversais, emposies radiais e angulares, de tal

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forma queeliminaro

provocadas" .excentrlcas.

suas foras centrfugasas foras centrfugas

. . pelas massas

z

i}CDY....--

-..1"

.. m2-i

_aI

Ib [Largura

Como as lnassas excntricas estoem planos tran.sversais distintos,

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Dinmica das Mquinas - Jos A. Riu!

ento necessrio utilizarequaes de equilbrio de fora ede momento. Como seroutilizados dois planos debalanceamento; planos A e B, temse de (9):

n

WF + 'WF == O =>"e L..J 11i=l

n

WAt: + ~r: + L:W;r; = Oi=l(12)

No possvel resolver (12) dadoo nmero de incgnitas ser maiorque o de equaes. Usando

equao dos momentos em relaoao plano A, tem-se:

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- .~--~- -." ~~ - "~"" "''''~ ."",""'~""""""""'''"''''''''''''''''',''''''~"". - , . , ,, ,. ; , " ", ", "._----, -~ .._.._-:.~~~. _.__...:-';"-;'.:-.:~",:....::,..~~.~.,~~.~~--,. _.-"-' .- -- -~_. ,-~. __ . '.~-""""=~' "" '~~. '" "~ ;' '' '' '' '. '' '' '' '' '' '.-=''''-'''''' '''-')~~. '''''''''-''''''-'~~''-''''',.,,,", ... "'''~~,-.'-.~.~,-


'LMA- O ~(aB+~) X Ws~ +

t((i -+~) X W:~) = O=> (13)i=111

as x Wst: = -:L(i x ~~);=1

De (13), tem-se:

a/i x (WSrBXl + ~rByJ) =

- :L (a.f x (Wr r +Wr ]-;-))=>llX lZV

- ~ (a.Wr )J~+ "(a.Wr )7.J 11 IX L.,.; 1 llY

Resolvendo (14), tem-se:

(14)

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y : ~rBX = (- I(ai~rix))/ aB = C](15)

X: ~rBV = (- I(ai~riv))/ aB = C2-

De (15),

W2 ( 2 2) 2 2+rB =C1 + C2 =>Bx y (16)

Para um valor conhecido de rB ,tem-se de (16);

WB = (-JC]2 + c~) / rB (1 7)

Uma vez determinado W B em (17),tem-se oe (15);

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Usando (18);

(}B = tg -1 (r By / rBJ (19)

Com isto fica determinada a massade compensao e sua posio no

planoB

do rotor. Para o planoA,

tem-se de (12);n

~4~ = -(~~ + I~~) =i=ln n

- (WBfB + ~ W,)T - (WBrB + ~ WF )]-7~ llX V L...J llVi=l . i=l .

=dl +cl2J(20)

De (20);

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WA=(-Jd:

+d:)/ rA e de (20)

t: = (dI VWJI + (d2 /WJJ logo,

BA = tg-l(d2 / dJ

(21)Portanto, para ..um dado rA,atravs de (21) obtm-se: W A e BA

Exemplo 2 - Considere o rotormostrado na Figura 7, faa seubalance'amento segundo os planosA e B,:considerando: m! == 9,0 kg,m2 == 6~Okg, aI == 20 mm, a2 == 25mm, aB == 90 mm, fI == 30 mm, f2 ==

50 mm, 81 = 60, 82 = 210 e que25


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as lTIassas de compensao sejamcolocadas nas posies radiais: fA== 20 mm, fB == 20 mm. Determineas massas mAe mB e suas posiesangulares 8 Ae 8B.

Soluo: De 12);n

W);A + WBrB = -LW:~ (l.a)i=l

e,n

LW:~ - ~fi + W2~ =i=l

(~' cosOI + ~r2 cos02)t + (1.b)

(~' senBI + W2r2 sen02)J

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._,_.---,,--_._-"._...--_ ..,. _-,._.~.~~~' .-.,--~~~-- --~".-.~"""""""'==""""~-' ....~-......, ..,.~..~ .-,-- .''''""'''..-'~,.~''~..- -.--_._. __ ._,------,----~~,---- ----~~,"._~ _._._ ....~~. _-- .. ~ . ,~ ..,-~,,~-~ . . . -~,.~-"'''~ ... '" __ .~


(~'i senB1 + W;r2 senB2)J =

(-1248~1)T + (838,3)J(l.c)

De (13);

IAiA -'- O~( a B + rB) x WBrB +

n

I((ai + r;) x ~r;) = o =>i=l

(l.d)

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Resolvendo (l.d);

WBrBx == -(alwlflcosBl+a2w2f2cosB2)/aB ==

1576,4 N.mm

(l.e)

WBrBy = -(a1w1fj senOj+a2w2f2sen(2)/aB =

563,7 N.mm

(l.f)De (1.e) e (1.f);

WBrB = J1576,42 + 563,72 = 1674,2 N.mn

(l.h)De (l.h~;

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( l.i)

Dinmica das Mquinas - Jos A. Riu/

WB == (1674,2)/rB ==

(1674,2)/20,0 = 83,7 N

De (l.g);

rB = (1576,47 + 563, 7J)IWB => (l.j)(}B = tan~1(563, 7 /1576,4)= 19,7

Substituindo (l.c) e (l.g) em (l.a);

- --328,3i -1402j

De (l.k]);

WArA = ~(-328,3)2 + (-1402)2 = 1440 N.f(I.L)

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(l.m)


De (I.L);

WA = (1674,2)/rA =

(1440)/20,0 = 72 N

De (1.1

()A = tan~1(-1402/- 328,3) = 256,8

(l.n)

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11.3- Equilbrio Dinmico de umCorpo Rgido no espao

Tridimensional: Princpio deD'Alembert

Considere o corpo rgido mostradona Figura 8.

Corpo Rgido

Figura 8 - Corpo Rgido31


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o Equilbrio Dinmico do CorpoRgido mostrado na Figura 8, realizado utilizando-se o Princpiode D' Alembert dado pelasequaes (22) e (23).

n __

IF; =R=Lci==l

(22)

(23)

onde:

F; - foras externas aplicadas aocorpo;

i== 1,2,3,.... ,n;

--+

Lc - \tariao da quantidade demovimento do baricentro do corpo;

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Dinmica das Mquinas - Jos A. Riul. .

:LMe - somatrio dos momentosprovocados pelas foras externas;fi G - variao do momento

angular. do baricentro do corpo;I - I-sima partcula do corpo;I == A., B, C, ...., N;G - baricentro do corpo;o - vetor posio da I-sima

partcula do corpo.

Quando o movimento do corpo no plano (bidimensional) ento,-"-fiG = IGZiJ) = IGZa = IGZak , pormpara o movimento tridimensional,deve-se recalcular R G

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---,~:~~:.~_,~-:,~:,:'.=:':':~::-_-==~'=:==::-=~":==.==:'~""""'::::"2:::~::==::=~.=:::::::::::::::::=~::::~~


35/54


y

p. (dm)

x

Figura 9 -Corpo Rgido emMovimento de Rotao

O momento angular do corpo emrelao a G, dado por:

35


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- -

,.,., .~.~ " ""~._"'_ "'_~., _" '= __ ::::':"':;'~::::'~:':':'::::::'::=: .. :::=~~=~:=~::':':=""'_'_"""'~':::~::=:"'C0 "" _ _ " ,. _ ' . _ ,. ,. _, ", _" " " ,"'--,,c,"_.,._"-=="-"""-"=--:=


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y(ym - XOJ ) ~ Z(X(07 - zm )Y _ X

fxtJJxf z(zOJy- ymz) - x(YJx - xOJ)

x(XOJz - zOJJ - y(zOJy - YOJJ

(27)Substitilindo (27) em (24), e

separando as componentes doseixos x, y e z, tem-se:

onde:

Hx = OJx f(y2 + z2)dm -OJy Jxydm -{j)z Jxzdm(28)

Hy = -OJx fxydm +OJy f(x2 + z2)dm -OJz fyzdm

(29)Hz = -OJx fxzdm -OJy fyzdm +OJz f(x2 + z2)dm

(30)e de (28, (29) e (30);

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H =10] -1 OJ'~I OJ (31)X X xy y xz z

. Hy = -lX),OJx + lyOJy - lyzOJz (32)

Hz = -lixzOJx - I yzOJy + IzOJz (33)

Na forma matricial, tem-se de (31),(32) e (33);

Hx

H -y

H

onde:

I -1 -1x 'xy xz-1 +1 -1

xy y yz

-1 -1 +1xz .yz z

(j)x

Jy

Jz

(35)

38


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H , == I ,'O) - I , ,OJ I - I I~IOJ_, (36)x' x xy Y x"", L,. .

Hy' = -lx'y'OJx' + lyOJy' - ly'z'OJz' (37)

e,

ROr'y'=' = HxT + Hy,T + Hz,r (39)

Derivando (39) em relao aotempo; i.

HoX'y'=' - f(T + fIy'j' + fI)i' (40)-'-"-

onde: HGx.y.z. a variao temporal

do momento angular baricntricoem relao ao . sistema giranteGx'Y'z'.

40


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~

Mas necessita-se obter fIGXY"que

a variao temporal do momentoangula~ baricntrico em relao aosistema] no girante Gxyz. Sabe-seque: -->- --'"-

Qx~ = Qx'Y'z' +Q x Q'}~ (41)

Fazendo Q = H em (41);--"- --"-

fI =fI +QxRxyz x'y'z' .x:vz

(42)

onde:

R - momento angular em relaoxyz

ao sistema Gxyz, no girante;-->-

fI .- va~iao do momento angularyzem rela,o ao sistema Gxyz;

41


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Se os eixos X', y'e z', so os eixosprincipais de inrcia do corpo,ento, Ix'y'= Ix'z'= Iy'z=O e de (36),(37) e (38);

H ==1(0 H =1m H =1mx' x' x" y' y y" z' z' z'

(45).E substituindo (45) em (39);

HGx'y'Z' = HxT + Hy,T + H)i' =

lx,OJxT + (,OJy,T + lz'OJz'k'' .

(46)Derivan~o (46);

--"-

fiGx'y'Z' = (,ax,t + ly,ay,T + lz,a)i'(47)

43


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Exemplo 3 - Um disco fino demassa 1111 = 3,63 kg (Figura 10) giracom velocidade angular constante002 == 12,0 rad/s, em relao aobrao IDA, que,. por sua vez, girauniformemente com velocidade

angular: (01 = 4,0 rad/s, em tomo doeixo y!,. Determine o momentoangular do disco em relao ao seucentro A .

. Soluo: Considere o sistema dereferncia Axyz .fixo . em A, eparalelo ao sistema fixo Oxyz.Sabe-se que os eixos xyzcorrespondem aos eixos principaisde inrcia do disco e desta forma,tem-se de (46):

44


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O,406m---1

Figura 10 - Disco fino

fiA" =Hxl +Hy)+Hzk~ (3.1)

1xJxl + 1yJy) + 1zJ)(

onde:

Ix = Iy = 1/4( mi2,) e Iz = l/2( mr2)45


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{jj ==. WiZ + m J~ + OJ fi =Y z(3.2)

46


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Exemplo 4 Uma hastehomognea delgada AB (Figura11) de massa m e comprimento 2best soldada em seu ponto mdio aum eixo verticalGD. Sabendo-seque o eixo gira com velocidade

angular! constante 0), determine obinrio exercido pelo eixo sobre ahaste AB.

Soluo - Fixando os eixos x', y',z' na haste como mostra a Figura12, e observando-se que estes soos eixos principais de inrcia da

haste tem-se de (46):

47


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A

Figura lI-Haste homognea

fiG .. ,. i Hx,t + Hy'j' + Hz,f' =xy~ . (4.1)--'o.. , ' .-... , ~ ,

lX,OJX,i + ly'OJy.J + lZ,OJZ,kmas,

48


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1 2Ix' = O; Iy' = Iz' = -m(2b) (4.2)12

Jx' == -wsenf3; Wyi = wcos 13; wz' = O(4.3)

Substituindo (4.2) e (4.3) em (4.1);

Z,Z,z'

x,x

Xl

Xl

Figura 12 - Sistemas deReferencias

49


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Em relao ao sistema Gxyz;

FI Gxyz = H Gx'Y'z.senfJT + H Gx.y.z cos fJ](4.5)

x

Xl

Figura [3 - Momento Angular emrelao ao sistema Gxyz

50


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Substituindo (4.4) em (4.5);

FI G =,~ mb2 OJ cos f3senf3T +xyz 3

1 2 ~"3mb OJ, cos f3 cos f3 j

(4.6)

~ ----

Como Gxyz gira com n = OJ j, tem-sede (44):

~ ----. . ~Hc = H G + iJj x H G , (4.7)

llZ ~ nz

onde: GXYZ um sistema dereferencia fixo paralelo a Gxyz' Osistema Gxyz gira com a haste, logousando (4.6);

51


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~ -- 1 2 -'HG . =HG =-mb Jcosf3senf3i

-"YYZ xyz 3

1 1 ~+3 mb"" J cos f3 cos f3 j .

(4.8)Derivando (4.6) em relao aotempo, considerando ) constante;

~

HG =0xyz

(4.9)

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Ho =-~mb2oi cosfJsenJ3k =>XY2 3

-;- '1 2 2 ---HG =: - - mb OJ sen(2fJ)k (4.10)

XYZ 6 .' . .e,

1 7. 2 ~--mb-w sen(2J3)k6

(4.11)

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Lista de Exerccios da Unidade II

Dinmica das Mquinas - "Shigley" - Captulo 16 - 1,2,3, 7, 9 e 10 - Trabalho Virtual

Dinmica das Mquinas - "Mabie" - Captulo 11 - 27, 29 e 30 - Trabalho Virtual

Dinmica das Mquinas - "Mabie" - Captulo 12 - 1 1O- Balanceamento de Rotores

Mecnica Vetorial,para Engenheiros - Cinemtica e Dinmica - "Beer" - Sa (quinta)

edio - Captulo 18 - 1 4,6, 7, 50, 51, 54, 55, 67, 73 79.

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