DISCIPLINA TOPOGRAFIA B NIVELAMENTO … - topo d/nivelamento... · disciplina topografia b nivelamento trigonomÉtrico dr. carlos aurÉlio nadal professor titular universidade federal

DISCIPLINA TOPOGRAFIA B NIVELAMENTO

TRIGONOMÉTRICO

DR. CARLOS AURÉLIO NADAL

PROFESSOR TITULAR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA

Equipe do USGS - 1902

Prof. Carlos Aurélio Nadal – Disciplina Topografia I

Equipe de nivelamento geométrico de trigonométrico do USGS


PUBLICIDADE DA SELEÇÕES READERS DIGEST -1962 (TEODOLITO TMV-2 VASCONCELOS)


DESNÍVEL OBTIDO POR TAQUEOMETRIA -DIFERENÇA DE ALTURA ENTRE OS PONTOS A e B (hAB)

A

B

hAB

z

I

fs

fi

fm

hAB = I – fm + 50 x (fs-fi) x sen [2 x (90o - z)]

I = altura do instrumento fs = leitura do fio superior fm = leitura do fio médio fi = leitura do fio inferior z = distância zenital medida

MIRA


Z= ângulo zenital D= distância horizontal D’= distância inclinada hs= altura do alvo hi= altura do instrumento Dv = distância vertical

ΔHAB = desnível de A para B

PRINCIPIO DO MÉTODO DE NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO

ΔHAB = D’.cosZ + hi – hs


ERROS SISTEMATICOS: CURVATURA E REFRAÇÃO

R=6372KM (raio da Terra) D=distância horizontal nivelada

K=0,12


Nivelamento trigonométrico erros de curvatura e a refração

T

R

A

B

T '

A'

z

90° - z

B'

dh = AB' = di x cos (90° - z) = di x sen z

dh

T’A’ = TA = I RB = S A'B = hAB

hAB = T 'R + I - s hAB = di x cos z + I - S+E-r

E=dh2/2R

R = 0,12 E


Posição direta da luneta PD Posição inversa da luneta PD

P

Ze F

ZPD

P

Ze F

ZPI

zo zo

Zo = erro de zênite instrumental

Z= ZPD- Zo Z=360°-(ZPI + zo) Z = 360° + ZPD - ZPI

2 Zo = ZPD+ ZPI - 360°

2 0


Z

Z


PRISMA REFLETOR PASSIVO PARA MEDIDA DE DISTÂNCIA E DESNÍVEL


ALTURA DO PRISMA


MEDIDA DA ALTURA DO INSTRUMENTO

Eixo horizontal


Exercício 01 Em 11 de novembro de 1991 foi levantado por taqueometria utilizando-se um teodolito Kern DKM2 um pequeno caminho, através de três seções transversais. Estação: 0=PP, I=1,47m A01= 180°03´51ʺ

Ponto visado

Direção horizontal

Direção vertical

Fio superior

Fio médio

Fio inferior

1 358°02´35ʺ 79°38´35ʺ 1,225 1,198 1,174

1e 347°49´26ʺ 77°48´25ʺ 0,821 0,800 0,769

1d 7°36´01ʺ 89°21´50ʺ 1,228 1,200 1,172

2d 3°57´58ʺ 85°02´09ʺ 1,753 1,700 1,647

2 358°59´49ʺ 81°44´25ʺ 1,152 1,100 1,048

2e 354°52´54ʺ 78°35´49ʺ 0,555 0,500 0,445

3d 3°17´35ʺ 85°39´24ʺ 2,077 2,000 1,923

3 0°00´35ʺ 82°02´28ʺ 1,080 1,000 0,922

3e 355°30´38ʺ 82°09´01ʺ 1,028 0,950 0,872


estação 0=PP azimute grau min seg rad

0->1 180 3 51 3,142713 i= 1,47 m

ponto direção horizontal direção vertical fios estadimétricos

visado grau min seg radiano grau min seg radiano fs fm

1 358 2 35 6,249030 79 38 35 1,390034 1,225 1,198

1e 347 49 26 6,070672 77 48 25 1,357987 0,821 0,800

1d 7 36 1 0,132650 89 21 50 1,559694 1,228 1,200

2d 3 57 58 0,069222 85 2 9 1,484155 1,753 1,700

2 358 59 49 6,265679 81 44 25 1,426637 1,152 1,100

2e 354 52 54 6,193854 78 35 49 1,371775 0,555 0,500

3d 3 17 35 0,057475 85 39 24 1,494991 2,077 2,000

3 0 0 35 0,000170 82 2 28 1,431888 1,080 1,000

3e 355 30 38 6,204830 82 9 1 1,433793 1,028 0,950

cota= 900 m

distância desnível cota

fi m m m

1,174 4,935164 1,173939 901,1739

0,769 4,968038 1,743498 901,7435

1,172 5,59931 0,332167 900,3322

1,647 10,52063 0,683806 900,6838

1,048 10,18536 1,848572 901,8486

0,445 10,57002 3,101877 903,1019

1,923 15,31167 0,632937 900,6329

0,922 15,49708 2,636635 902,6366

0,872 15,30902 2,630611 902,6306

D=100(fs-fi)cos2(90°-z) HAB=I-fm+50(fs-fi)sen2(90°-z)


Exercício 02

Estação A I=1,457m S=2,000m

Ponto visado posição Distância Zenital distância

B PD 85° 12´ 35ʺ 120,456

PI 274° 47´ 23ʺ 120,454

Calcular: a) O desnível de A para B e o erro de zenite instrumental HAB= 9,515m Zo = -1ʺ


Exercício 03 Calcular a altura do edifício (AC), mostrado no croqui, colocando-se a estação total em E e o refletor em C. Estação: E I=1,425m croqui:

Ponto visado Distância zenital

A 78°02´55ʺ

B 89°33´05ʺ S=2,000m

Distância E-B 95,235m

A

B

E

I S

C

Altura do edifício = 21,412m


Posicionamento tridimensional no terreno

X

Y

Z

O

cota

abcissa

ordenada

p

p’ xp

yp

zp


Máquina de medição tridimensional

x

y

z


Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais e coordenadas polares

y

x

z

p

p’

xp

yp

zp

Aop

o

v dop

p”

ângulo vertical

ângulo horizontal (azimute)

distância espacial

abcissa

ordenada

cota


p

o p’

do

p v

v

zp

dh

dh = dop x sen v zp = dop x cos v

Transformação de coordenadas cartesianas em polares

y

x

z

p

p’

xp

yp

zp

Aop o

v do

p

p”


p” yp o

p’

xp

Aop

xp = dh x sen Aop

yp = dh x cos Aop

xp = dop x sen v x sen Aop

yp = dop x sen v x cos Aop

Transformação de coordenadas cartesianas em polares

y

x

z

p

p’

xp

yp

zp

Aop o

v do

p

p”


Uma linha reta no espaço pode agora ser observada como a que liga o ponto P ao ponto Q.

X

Y

Z

P

P´

zp

xp

yp

+20

0

+40

-20

+40

+20 +40 -20 -40

+20

+40

-20

-40

Q

xq

yq

zq

reta no espaço


A distância espacial PQ é fornecida analiticamente pela expressão: d =[(xp - xq) ² + (yp-yq) ² + (zp-zq) ² ]

Assim se ponto P possuí coordenadas em metros P(-40; 20; 40) e o ponto Q possui coordenadas em metros Q( 60;40;-20), a distância espacial entre eles é fornecida da seguinte forma: d =[(-40 - 60) ² + (20-40) ² + (40+20) ² ] d =

d = 8,32m


Exercício: Utilizou-se uma estação total, com um sistema de coordenadas ortogonal tridimensional situado em seu centro óptico, com a seguinte orientação, o eixo y com sentido positivo para o norte geográfico, o eixo x com sentido positivo para leste e o eixo z coincidente com o fio de prumo com sentido positivo para o zenite (ponto situado no infinito acima da estação). Mediu-se as direções horizontais (Aop), direção vertical (V) e a distância inclinada dop ao ponto alvo (P), obtendo-se as seguintes medidas: Aop = 26° 32´ 50”; V = 86° 58´ 15”; dop = 125,632m. Calcular as coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais do alvo neste sistema. Solução:

Y

X

P

P’

o

zp

xp

yp

Z

do

p

Ao

p

P”

V

xp = dop sen V sen Aop

yp = dop sen V cos Aop

zp = dop cos V xp = 125,632 x sen 86° 58´ 15” sen 26° 32´ 50” yp = 125,632 x sen 86° 58´ 15” cos 26° 32´ 50” zp = 125,632 x cos 86° 58´ 15” xp = 56,071m yp = 112,229m zp = 6,639m


X

Y

Z

A

B

V

dAB

AAB

B’

P B”

Q A’

zA

yA

xA

yB

xB

zB

Problema direto do posicionamento tridimensional


PROBLEMA DIRETO DE POSICIONAMENTO TRIDIMENSIONAL Dadas ou conhecidas de um levantamento anterior: coordenadas tridimensionais do ponto A xA, yA , zA

Mede-se: azimute da direção AB = AAB

distância entre A e B = dAB

direção zenital ou distância zenital = V Pede-se: coordenadas tridimensionais do ponto B xB, yB , zB


xB – xA = dAB sen V sen AAB

yB – yA = dAB sen V cos AAB zB – zA = dAB cos V xB = xA + dAB sen V sen AAB yB = yA + dAB sen V cos AAB zB = zA + dAB cos V

Triângulos retângulos APB e A’B’Q

X

Y

Z

A

B

V dAB

AAB

B’

P B”

Q A’

zA

yA

xA

yB

xB

zB

A

B

P

dAB

V

zB – zA = dAB cos V

dAB senV

A’ yB – yA

B’

xB – xA

dAB sen V

AAB

Q

Problema inverso do posicionamento no espaço tridimensional Cálculo da distância espacial entre os pontos A e B dAB = [(xB – xA )

2 + (yB – yA )2 + (zB – zA )

2 ]1/2 Cálculo do ângulo zenital entre A e B zB – zA V = arc cos [(xB – xA )

2 + (yB – yA )2 + (zB – zA )

2 ]1/2 Cálculo do azimute entre os pontos A e B xB – xA AAB = arc tg yB – yA


Exercício: A listagem com o resultado de um rastreio GPS apresenta as coordenadas Tridimensionais geodésicas de dois vértices P01 e P02 fornecidas as seguir: PO1 x1 = 3763803,17745 PO2 x2 = 3761470,79868 y1 = -4366181,98370 y2 = -4367585,08810 z1 = -2722619,51292 z2 = -2723355,20840 Calcular a distância entre os vértices, o azimute do vértice P01 para P02 e a distância zenital de P01 para P02. Solução: Distância P01 – P02 d12 = [(x2 – x1 )

2 + (y2 – y1 )2 + (z2 – z1 )

2 ]1/2

d12 = 3761470,79868- 3763803,17745) 2 +(-4367585,08810 +4366181,98370 ) 2 + (-2723355,20840 +2722619,51292 ) 2

d12 = ,

d12 = 28,6m


Azimute P01 – P02 x2 – x1 A12 = arc tg y2 – y1

3761470,79868 - 3763803,17745 A12 = arc tg -4367585,08810 + 4366181,98370 -2332,379 A12 = arc tg -1403,105 A12 = arc tg 1,66229826 A equação apresenta duas soluções no primeiro quadrante e no terceiro quadrante. Solução no primeiro quadrante: A12 = 58° 58´ 11” No terceiro quadrante: A12 = 58° 58´ 11” + 180 ° A12 = 238° 58´ 11”


Como a solução pode estar no 1° ou no 3 ° Quadrante. A tabela abaixo esclarece a obtenção de quadrantes.

Neste caso, como o denominador e o numerador da divisão resultaram negativos adota-se o 3° Quadrante, assim: A12 = 238° 58´ 11”

Quadrante numerador denominador 1° Q + + 2° Q + - 3° Q - - 4° Q - +


Distância zenital P01 – P02 z2 – z1 V = arc cos [(x2 – x1 )

2 + (y2 – y1 )2 + (z2 – z1 )

2 ]1/2

-2723355,20840 + 2722619,51292

V = arc cos 28,6 -735,696 V = arc cos 28,6

V = arc cos –0,260925355 A solução encontra-se no segundo ou no terceiro quadrante, neste caso adota-se o segundo quadrante pois convenciona-se a distância zenital menor ou igual a 180 °. Solução no primeiro quadrante: V = 74° 52´ 30” Solução no segundo quadrante V = 180° - 74° 52´ 30” V =105 ° 07´ 30” Neste caso a distância zenital vale: V =105 ° 07´ 30”


Exercício proposto: Determinou-se as coordenadas tridimensionais do vértice PO1 obtendo-se: x1 = 3763803,17745 y1 = -4366181,98370 z1 = -2722619,51292 Mediu-se a partir do vértice P01 em direção ao vértice P02 d12 = 28,6m A12 = 238° 58´ 11” V =105 ° 07´ 30” Calcular as coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais do vértice P02. Resposta: x2 = 3761470,79868 y2 = -4367585,08810 z2 = -2723355,20840


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