Matematica - Nivelamento

7/17/2019 Matematica - Nivelamento

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UNIVERSIDADE PARANAENSE

MANTENEDORA Associação Paranaense de Ensino e Cultura – APEC

REITORCarlos Eduardo Garcia

Vice-Reitora ExecutivaNeiva Pavan Machado Garcia

Vice-Reitor ChancelerCandido Garcia

Diretorias Executivas de GestãoAdministrativa

Diretorias Executivas de Gestão Acadêmica

Diretor Executivo de Gestão dos Assuntos ComunitáriosCássio Eugênio Garcia

Diretora Executiva de Gestão da Cultura e da DivulgaçãoInstitucionalCláudia Elaine Garcia Custodio

Diretora Executiva de Gestão e Auditoria de Bens MateriaisPermanentes e de ConsumoRosilamar de Paula Garcia

Diretor Executivo de Gestão dos Recursos FinanceirosRui de Souza Martins

Diretora Executiva de Gestão do Planejamento AcadêmicoSônia Regina da Costa Oliveira

Diretor Executivo de Gestão das Relações TrabalhistasJânio Tramontin Paganini

Diretor Executivo de Gestão dos Assuntos JurídicosLino Massayuki Ito

Diretora Executiva de Gestão do Ensino SuperiorMaria Regina Celi de Oliveira

Diretor Executivo de Gestão da Pesquisa e da Pós-GraduaçãoRégio Marcio Toesca Gimenes

Diretor Executivo de Gestão da Extensão Universitária Adriano Augusto Martins

Diretor Executivo de Gestão da Dinâmica UniversitáriaJosé de Oliveira Filho

Diretorias dos Institutos Superiores dasCiências

Diretora do Instituto Superior de Ciências Exatas, Agrárias,Tecnológicas e Geociências

Giani Andréa Linde ColautoDiretora do Núcleo dos Institutos Superiores de CiênciasHumanas, Linguística, Letras e Artes, Ciências SociaisAplicadas e EducaçãoFernanda Garcia Velásquez

Diretora do Instituto Superior de Ciências Biológicas,Médicas e da SaúdeIrinéia Paulina Baretta

Diretorias das Unidades Universitárias

Diretor da Unidade de Umuarama – SedeNílvio Ourives dos Santos

Diretor da Unidade de ToledoRoberto Ferreira Niero

Diretora da Unidade de GuaíraSandra Regina de Souza Takahashi

Diretora da Unidade de ParanavaíEdwirge Vieira Franco

Diretor da Unidade de CianorteJosé Aparecido de Souza

Diretor da Unidade de CascavelGelson Luiz Uecker

Diretor da Unidade de Francisco BeltrãoClaudemir José de Souza



SEMEAD – SECRETARIA ESPECIAL MULTICAMPI DE EDUCAÇÃO

A DISTÂNCIA

Secretário ExecutivoCarlos Eduardo Garcia

Coordenação Geral de EAD Ana Cristina de Oliveira Cirino Codato

Coordenador do Núcleo de Cursos Superiores das Áreas deEducação, Linguística, Letras e Artes e de Ciências Humanas

Heiji Tanaka

Coordenador do Núcleo de Cursos Superiores da Área deCiências Sociais Aplicadas

Evandro Mendes Aguiar

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da UNIPAR

Revisão de Normas BibliográficasInês Gemelli

Diagramação e CapaSandro Luciano Pavan

* Material de uso exclusivo da Universidade Paranaense – UNIPAR com todos os direitos da edição a elareservados.

U58g UNIPAR - Universidade Paranaense.

Matemática / UNIPAR- Universidade Paranaense. –

Umuarama: Unipar, 2014.

42 f.

ISBN

1. Matemática. 2. Ensino a distância - EAD. I.

Universidade Paranaense. II. Título.

(21 ed.) CDD: 510



SUMÁRIO

MATEMÁTICA

APRESENTAÇÕES .............................................................................................................. 5

INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 9

UNIDADE I ........................................................................................................................... 13

Objetivos da unidade ...................................................................................................... 13

Equações do primeiro grau .......................................................................................... 13

Potência de expoente inteiro ....................................................................................... 13

Expressões numéricas .................................................................................................... 14

Potência de expoente racional, simplificação de radicais e racionalização.........16

Operações com expressões algébricas .................................................................... 17

Adição e subtração ........................................................................................................... 18

Multiplicação e divisão ................................................................................................... 18

Equações do 1º grau ........................................................................................................ 19

Inequações do 1º grau .................................................................................................... 20

UNIDADE II ......................................................................................................................... 22

Equações do segundo grau ........................................................................................... 23

Equações de 2º grau ........................................................................................................ 23

Equação do 2º grau completa e incompleta .......................................................... 23

Fórmula de bháskara ...................................................................................................... 24

Funções ................................................................................................................................. 25

Domínio de uma função ................................................................................................. 27

Aplicação .............................................................................................................................. 28

Representação gráfica de uma função ..................................................................... 30

Zeros da função ou raízes de uma função .............................................................. 31

Respostas ............................................................................................................................. 33

Referências .......................................................................................................................... 40





Apresentação

Diante dos novos desafios trazidos pelo mundo contemporâneo e o surgimento de

um novo paradigma educacional frente às Tecnologias de Informação e

Comunicação disponíveis que favorecem a construção do conhecimento, a

revolução educacional está entre os mais pungentes, levando as universidades a

assumirem a sua missão como instituição formadora, com competência e

comprometimento, optando por uma gestão mais aberta e flexível, democratizando o

conhecimento científico e tecnológico, através da Educação a Distância.

Sendo assim, a Universidade Paranaense - UNIPAR - atenta a este novo cenário e

buscando formar profissionais cada vez mais preparados, autônomos, criativos,

responsáveis, críticos e comprometidos com a formação de uma sociedade mais

democrática, vem oferecer-lhe o Ensino a Distância, como uma opção dinâmica e

acessível estimulando o processo de autoaprendizagem.

Como parte deste processo e dos recursos didático-pedagógicos do programa daEducação a Distância oferecida por esta universidade, este Guia Didático tem como

objetivo oferecer a você, acadêmico(a), meios para que, através do auto estudo,

possa construir o conhecimento e, ao mesmo tempo, refletir sobre a importância

dele em sua formação profissional.

Seja bem-vindo(a) ao Programa de Educação a Distância da UNIPAR.

Carlos Eduardo Garcia

Reitor



Seja bem-vindo caro(a) acadêmico(a),

Os cursos e/ou programas da UNIPAR, ofertados na modalidade de educação a

distância, são compostos de atividades de auto estudo, atividades de tutoria e

atividades presenciais obrigatórias, os quais individualmente e no conjunto são

planejados e organizados de forma a garantir a interatividade e o alcance dos

objetivos pedagógicos estabelecidos em seus respectivos projetos.

As atividades de auto estudo, de caráter individual, compreendem o cumprimento

das atividades propostas pelo professor e pelo tutor mediador, a partir de métodos e

práticas de ensino-aprendizagem que incorporem a mediação de recursos didáticosorganizados em diferentes suportes de informação e comunicação.

As atividades de tutoria, também de caráter individual, compreendem atividades de

comunicação pessoal entre você e o tutor mediador, que está apto a: esclarecer as

dúvidas que, no decorrer deste estudo, venham a surgir; trocar informações sobre

assuntos concernentes à disciplina; auxiliá-lo na execução das atividades propostas

no material didático, conforme calendário estabelecido, enfim, acompanhá-lo e

orientá-lo no que for necessário.

As atividades presenciais, de âmbito coletivo para toda a turma, destinam-se

obrigatoriamente à realização das avaliações oficiais e outras atividades, conforme

dispuser o plano de ensino da disciplina.

Neste contexto, este Guia Didático foi produzido a partir do esforço coletivo de uma

equipe de profissionais multidisciplinares totalmente integrados que se preocupa

com a construção do seu conhecimento, independente da distância geográfica que

você se encontra.

O Programa de Educação a Distância adotado pela UNIPAR prioriza a

interatividade, e respeita a sua autonomia, assegurando que o conhecimento ora

disponibilizado seja construído e apropriado de forma que, progressivamente, novos

comportamentos, novas atitudes e novos valores sejam desenvolvidos por você.

A interatividade será vivenciada principalmente no ambiente virtual de aprendizagem

– AVA, nele serão disponibilizados os materiais de auto estudo e as atividades de



tutoria que possibilitarão o desenvolvimento de competências necessárias para que

você se aproprie do conhecimento.

Recomendo que durante a realização de seu curso, você explore os textossugeridos e as indicações de leituras, resolva às atividades propostas e participe dos

fóruns de discussão, considerando que estas atividades são fundamentais para o

sucesso da sua aprendizagem.

Bons estudos!

e-@braços.

Ana Cristina de Oliveira Cirino Codato

Coordenadora Geral da EAD



Caro(a) acadêmico(a),

Este Guia Didático é composto de informações e exercícios de análise,

interpretação e compreensão dos conteúdos programáticos da disciplina deMatemática do Programa Institucional de Nivelamento (PROIN) que você encontra-

se matriculado.

O Guia Didático foi elaborado por um Professor Conteudista, embasado no plano

de ensino da disciplina, conforme os critérios estabelecidos no Projeto Pedagógico

do Curso. Para que você, caro(a) acadêmico(a), se cientifique da qualificação do

Professor Conteudista responsável pela elaboração deste material, apresentamos,

resumidamente, seu currículo:

Discipl ina : Matemática (PRO-IN)

Autor : Willian Baraviera de Almeida

Graduado em Matemática, pela Universidade Paranaense - UNIPAR em 2009;

Especialista em Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná -

Campo Mourão (2011); Exerce função de professor na UNIPAR nos cursos de

Engenharia Civil, Engenharia Mecânica, Engenharia Agronômica, Sistemas de

Informação e Química Industrial.

Além do professor conteudista, existe uma equipe de professores e tutores

mediadores devidamente preparados para acompanhá-lo e auxiliá-lo, de forma

colaborativa, na construção de seu conhecimento.

Bons momentos de estudos!

e-@braços.

Evandro Mendes Aguiar

Coordenador do Núcleo de Cursos Superiores da Área deCiências Sociais Aplicadas



INTRODUÇÃO

A falta de conhecimento e domínio de conceitos elementares em matemática básica,

tem sido constantemente observado pelos professores que trabalham diariamentecom esta área de conhecimento entre os alunos que ingressam no curso superior.

Visando preencher essa deficiência na formação do estudante, o Curso de

Nivelamento oferecido pela UNIPAR tem como objetivo promover aos alunos o

reforço e a revisão de conteúdos básicos da matemática, de forma que todos

possuam condições equivalentes e necessárias para a sequência dos estudos

específicos de cada graduação.

Basicamente serão abordadas equações de primeiro e segundo grau e suas

operações. Para que se obtenha um bom resultado, o aluno deve resolver a maior

quantidade de exercícios possível, pois matemática é treino. Não desanime, fique

calmo, tenha paciência e seja persistente.









UNIDADE I

OBJETIVOS DA UNIDADE

Caro aluno, quando finalizar essa etapa, você deverá ter recordado alguns assuntos

e conteúdo do estudo da matemática básica ou elementar, desta forma iremos

relembrar e ver novos conceitos utilizando as equações de primeiro grau como:

Potência de expoente inteiro;

Expressões numéricas;

Potência de expoente racional, simplificação de radicais e racionalização;

Operações com expressões algébricas;

Equações do primeiro grau;

Inequações do primeiro grau.

EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO

Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Podemos observar as

seguintes propriedades de potenciação:

1) an = a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a... (n vezes)

2) a0 = 1

3) a1 = a

4)

5) an ∙ am= an+m

6) an ÷ am = an-m

7) (am)n = am∙n

8)



1ª Questão: Calcule agora o valor das expressões abaixo aplicando as propriedades

que vimos acima:

24

=b (- 3)3 =

c - (- 2)5 =

d 3-2 =

e

f

g

=

h

( ) =

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Veremos agora, que para calcular qualquer expressão numérica, é necessário

obedecer algumas prioridades. Então, tenha em mente que deverá realizar os

cálculos na seguinte ordem:

1º) Parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { };

2º) Potência e raízes;

3º) Multiplicação e divisão;4º) Soma e subtração.

Mas lembre-se: caso tenha numa expressão, como no exemplo a seguir: 2 + 2 3 3,observe que temos duas multiplicações, na qual correspondem à mesma ordem de

resolução, neste caso você deverá resolver a multiplicação no sentido esquerda

para a direita, e finalmente após a solução das duas multiplicações, então resolver a

soma.

Alguns detalhes importantes que deverá lembrar quando resolver expressões

matemáticas:

Soma e subtração de frações: deve-se tirar o MMC (Mínimo MúltiploComum) entre os denominadores;

Produto entre frações, ou seja multiplicação de frações: deve-se multiplicar

numerador com numerador e denominador com denominador, exemplo: ;



Para a divisão entre frações: repete o primeiro e multiplica-se pelo segundo

invertido, veja o exemplo: , você ainda poderá simplificar o

resultado da expressão, mas como assim? Observe que tanto o 20 quanto o14 são números divisíveis por 2, iremos então simplificar dividindo por 2,

teremos o novo resultado sendo ;

E claro, não poderíamos esquecer do jogo de sinais, estas regras devem seraplicadas em caso de multiplicação ou divisão onde os elementos possuemsinais:

(+) ∙ (+) = (+) (-) ∙ (-) = (+)

(+)∙ (-) = (-)

(-) ∙ (+) = (-)

Excelente, nosso próximo passo é colocar em prática o que acabamos de relembrar,

mãos à obra!

2ª Questão: Calcule o valor numérico das expressões abaixo:

[-18 + (-6 + 10 -6) -2] + [12 – 7 (-8 + 8)] =

b 17 – [14 – 21 + [-12 – (7 – 10 – 1) – 4)} + 10 =

c -3 + 5 {-3 + 5 [-3 + 5 (-3 + 5)]} =

d 3 {-1 2 5 – 3 (-1 + 10 + 5 5 – 6 (1 – 4)] =

e [(-8) ( -27) – 12 (-7 + 3 16 1 – 7) =

f 148 – [53 – 22 (-2)3 + 3 (25 – 43)] =

g [(-2)7

– (-2)6

– (-2)5

– (-2)4] ÷ [(-2)3

– (-2)2

– (-2)1

– (-2)0] =

h +

i + +

j

=

k 2 =

l 3 5 =

m

[

]

n



POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL, SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS ERACIONALIZAÇÃO

Às vezes nos deparamos com potências da forma e nos perguntamos: “Como

resolver essa expressão?”. Bom, devemos lembrar que a expressão acima simboliza√ .

Portanto: √ 2.

Obser vação : Como trabalhamos apenas com números reais, sóconsideraremos raiz de número negativo se o seu índice for ímpar, poiscaso contrário, seu resultado não será um número real.

Outro fato comum é nos depararmos com um resultado que apresenta uma raiz que

pode ser simplificada. E como proceder para simplifica-la?

1º) Fatore o radicando;

2º) Agrupe os fatores primos achados de acordo com o índice da raiz, porexemplo, se o índice for 2, agrupe-os de dois em dois; se o índice for 3,agrupe-os de três em três; e assim por diante;

3º) Cada grupo formado sai da raiz como um fator apenas e os fatores quenão formarem grupos completos permanecem dentro da raiz; e

4º) Todos os fatores que saírem serão multiplicados assim como os quepermanecerem.

Vamos a um exemplo: Simplifique √ 1 3√ 2.

Podemos ainda chegar a um resultado que apresenta um radical no denominador,

fato este esteticamente incorreto na matemática. Portanto, devemos racionalizar o

resultado. Isso significa que devemos fazer manipulações algébricas para retirar o

radical do denominador. O tipo de racionalização mais simples, que é a que veremos

aqui, é aquela que apresenta somente uma raiz quadrada no denominador, e



conseguimos racionalizar o resultado, multiplicando ambos, numerador e

denominador, pela própria raiz. Vamos para um exemplo:

1√ 2 1√ 2 √ 2√ 2 √ 22

3ª Questão: praticar com os radicais abaixo:√ 576

b √ 300c √ 125d √ 52

e √ 23

f √ 0

g √

h √ 32

4ª Questão: Para testarmos o aprendizado da racionalização:

√ b

√ c

√

d

√ e

√

OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Expressões algébricas são expressões que envolvem letras ou números e letras,

como por exemplo:

a + b

5x + 4

5x 2

+ 2x + 1

5z + 5y

4x 5

y 2

z

2x + 2y

As letras são chamadas de variáveis e os números que as acompanham são

chamados de coeficientes. Podemos fazer operações de adição, subtração,

multiplicação e divisão.



Adição e Subtração

Só podemos adicionar ou subtrair termos semelhantes e, essa operação será feita

sobre os coeficientes, mantendo-se a parte literal. Observe que, se não houvertermo semelhante para operar, ele apenas será repetido.

+ 5 + 3 + 2 2 + 5 2 + 3 + 2 3 + 3 + 5

Multiplicação e Divisão A multiplicação deverá ser feita multiplicando-se primeiro os coeficientes, depois a

parte literal, obedecendo as regras de potenciação e a regra da distributividade e,

por fim, adicionando-se os termos semelhantes.

+ 1 + 3 + 3 + 1 + 1 3 + 3 + + 3

+ + 3

A divisão deverá ser realizada, dividindo-se cada termo do polinômio pelo monômio,

lembrando-se das regras de potenciação.

2 2 + 2 + 1 02 22 22 + 22 + 102 + 5

5ª Questão: Você irá efetuar as operações abaixo:

3 2 + + 3 + 6 b

(2 5 + ) (3 2 + + 3)

c

2 2 + 5 3 2 + d

( + + ) (2 2 + 5)

e

(3 + 2 ) + (3 + ) (

2

2)

f 2 10 1 + g 6 + 5 1 h

+ 3 2



i

( 2) ( + )

j

( 3) ( + 3)

k

6

+ 2 l

(3 + 6 12) (3)

m 5 + 3 2 n

12 16 + 20 6ª Questão: Você deverá utilizar produto notáveis para solução dos problemas

abaixo:

+ 2 b 5+3 c

2+5

d

√ 2 + √ e

5

f

2

g

23

h

i

+ 5 5

j

2 12 + 1

k

2 3 2 + 3

l

(√ + )(√ )

m

(√ + 1 ) (√ 1 )

EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Uma equação que pode ser escrita na forma + 0, onde a e b são números

reais conhecidos, com a ≠ 0, x representa uma incógnita e o expoente de x é 1, é

chamada de equação do 1º grau a uma incógnita. Os números conhecidos são

chamados coeficientes. Um valor que pode ser atribuído à incógnita, tal que torne a

sentença verdadeira é chamado de raiz ou solução da equação. O conjunto das

raízes ou soluções de uma equação é chamado de conjunto solução e pode ser

indicado pela letra S.



Acom panhe o exemplo:

2 2 2 + 2 2 2 6 2 62 3

2 + 73 3 1 2 3 + 7 3 2 3 21 27 2 3 2 7 2 7 + 2 3

7ª Questão: Solucione as equações a seguir:

3 5 2 5

b 2 3

c 3 2 5

d

0

e

+ 1 0 1 6

f + 10

g + 2 + 1 0 32 + 7

h

i 3 6

j 2 + 3 + 2 3 + 5

k

+ 1

3

l + 2

INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

Uma expressão algébrica que apresenta algum sinal de desigualdade em vez do

sinal de igualdade (>,<,≥,≤) é denominada inequação. Resolver uma inequação é

encontrar todos os valores que tornam a desigualdade verdadeira. A inequação do

1º grau, assim como uma equação do primeiro grau, é aquela em que o expoente da

incógnita é 1. A maneira de resolver é semelhante à equação do 1º grau. A diferença

consiste no fato de que, quando o coeficiente do x é negativo, multiplicamos a

inequação por (-1) e invertemos a desigualdade.



Veja um exemp lo: 2 + 7 1 5

O objetivo da inequação acima é definir quais valores que x pode assumir de forma

que 2 + 7 seja maior do que 15.

Agora, acompanhe a solução:

2 1 5 7 2

2

Ou seja, sempre que x for um número maior (>) do que 4, 2+7 será maior do

que 15. Vale lembrar que quando multiplicar a inequação por (-1) o sinal inverterá!

8ª Questão: Solucione as inequações abaixo:

2 1

b 2 6 + 5

c 5 3 + 1

d 32 2 + 1

e 1 3 + 1 10

f 1 0 6 1 5 + 1 + 7

g + 1 0 6 1 3 2

h

i

+ 2

j

1

k 2 3 + 33 2 2 + 1





UNIDADE II

EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

Caro aluno, acabamos a unidade 1 e quando finalizar essa nova etapa, a etapa 2,

você deverá ter recordado mais alguns assuntos e conteúdo do estudo da

matemática básica ou elementar. Iniciaremos alguns assuntos de equações e

funções do segundo grau como:

Equações completas e incompletas;

Fórmula de Bháskara;

Domínio de uma Função;

Representação Gráfica de funções;

Zeros ou raízes de uma função.

EQUAÇÕES DE 2º GRAU

Denomina-se equação do 2o grau, qualquer sentença matemática que possa ser

reduzida à forma + + 0 (obviamente com a = 0, pois se a = 0 a equação

seria do primeiro grau), onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a =

0. A incógnita a, b e c são os coeficientes da equação. Observe que o maior índice

da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo uma

equação do segundo grau.

Equação do 2º Grau Completa e Incompleta

Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do 2º grau completa. A sentença

matemática 2 + 3 5 0 é um exemplo de equação do 2º grau completa, pois

temos b = 3 e c = −5, que são diferentes de zero. Chamamos de equação do 2º grau

incompleta, a equação do tipo

+ + 0 onde b = 0, c = 0 ou b = 0 e c = 0.



Segue alguns exemplos:

1)

+ 7 0 é um exemplo de equação do 2º grau incompleta, pois b = 0.

2) Neste outro exemplo, 3 0 a equação é incompleta, pois c = 0.

3) Veja este último exemplo de equação do 2º grau incompleta, 0, onde tantob, quanto c são iguais a zero.

Para solucionar uma equação de 2º grau, temos a fórmula de Bháskara para facilitar

nossa vida.

Fórmula de Bháskara

Dada uma equação do tipo + + 0, para encontrar os valores que x

pode assumir, de forma que seja satisfeita a igualdade, temos uma importante

relação que é a “Fórmula de Bháskara”.

√

2

Por exemplo: quais os valores de x que satisfazem a equação + 5 + 0?

Inicialmente devemos identificar quais são os coeficientes que estão ocupando os

lugares de a, b e c, pois estes números serão substituídos em suas respectivas

posições na fórmula.

Para

1 2 , logo:

5 √ 5 1 2 1

5 √ 25 162

5 √

2

5 + 32 22 1



5 32 2

Portanto temos x’ = -1 e x’’ = -4, isso significa que tanto o -1 quanto o -4, são as

soluções desta equação, ou seja, tanto o -1 quanto o -4, ao serem substituídos no

lugar de x na equação + 5 + 0, resultarão em zero.

9ª Questão: Encontre as raízes das equações de 2º grau a seguir:

b 3 1 2 0

c 3 + 2 1 0

d 26 0

e

3

f + 5 + 6 0

g

+ 0

h 1 6

i 2 + 6 1 2

j + 1

k + 5 3 2 5

l + 6 + 1 0 0

m 2 3 + 1 0

n

2 + 3 5 1 0

o

+ 3

16

FUNÇÕES

Definimos função como a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida por

uma lei de formação, isto é, uma regra geral. Os elementos de um grupo devem ser

relacionados com os elementos do outro grupo, através dessa lei. Por exemplo,

vamos considerar o conjunto A formado pelos seguintes elementos {-3, -2, 0, 2, 4}

que irão possuir representação no conjunto B de acordo com a seguinte lei de

formação .



3202

3

2

0 0 2 16

016

Aplicada a lei de formação, temos os seguintes pares ordenados: {(-3, 9), (-1, 1),

(0,0), (2, 4), (4, 16)}. Essa relação também pode ser representada com a utilização

de diagramas de flechas, relacionando cada elemento do conjunto A com os

elementos do conjunto B. Observe:

Figura 1: Diagrama de Venn

No diagrama de Venn é possível observar com mais clareza que todos os elementos

de A estão ligados a pelo menos um elemento de B, então podemos dizer que essa

relação é uma função. Dessa forma o domínio é dado pelos elementos do conjunto

A, e a imagem, pelos elementos do conjunto B.

Normalmente, a função é definida utilizando-se uma fórmula matemática, por

exemplo:

É muito comum também, vermos a variável substituindo :

Neste caso,

é chamada variável dependente e

variável independente, pois o

valor de é resultado do emprego da fórmula para um determinado valor de ,ou



seja, o valor de depende do valor de . Logo, se quisermos saber qual o número

que está associado ao número 2 pela fórmula acima, basta fazer:

2 2

Domínio de uma Função

O conjunto de valores para os quais a função poderá ser calculada, é o Domínio da

função. Para determinarmos esse conjunto, é preciso obedecer duas primícias

básicas da matemática, que chamaremos de CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA.

1) Em uma fração o denominador deve ser sempre diferente de zero;

2) Em uma raiz de índice par, o radicando deve ser sempre maior ou igual a zero.

Exemplo:

Determine o domínio das funções abaixo:

3 + 2 5 Não há qualquer restrição, portanto, .

b Neste caso, devemos obedecer a primeira restrição: 2 1 0 2 1 , logo o domínio da função serão todos os números reais com exceção do, ⁄ .

c √ + Agora, basta ficar atento a segunda restrição, + 0 , logo ⁄ (x pode assumir qualquer valor, desde que o mesmo seja maiorou igual a -4).

d

√ Observe que agora temos a raiz quadrada no denominador, logo

+ 0 e

não 0, pois não existe divisão por zero. Logo o domínio dessa função será ⁄ .

10ª Questão: Calcule as funções abaixo, conforme o indicado:

3 + 5 2 1 0 2

b 2 + 1 10 1

c

+ 1 1 2

d 2 0 1

e √ + 2 + 2 0



f + 1 0 1

g 1 5 13

h 2 + 1 + 1 1 3 0 1 3

i { 3 5 + 1 5 5√ 5 } 6 5 0 16

11ª Questão: Encontre o domínio das funções abaixo:

2 + 2 + 5

b

c

d

e

√ 3

f √ 3 +

g √

h √

Aplicação

Numa situação prática, não costumamos usar x e y, mas letras que sugerem as

grandezas em questão, por exemplo, C = custo, q = quantidade, R = receita, L =

lucro, etc.

Exemplo: Suponha que o custo total de fabricação de q unidades de uma certa

mercadoria seja dada pela função 30 + 500 + 200.

Calcule o custo de fabricação de 10 unidades da mercadoria.

O custo de fabricação de 10 unidades é o valor da função custo total quando 10, logo:

10 10 3010 + 500 10 + 200

10 1000 30 100 + 5000 + 20010 1000 3000 + 5000 + 200 10 3200



Portanto, o custo para fabricar 10 unidades da mercadoria é de R$ 3.200,00

b Calcule o custo de fabricação da 10ª unidade da mercadoria.

O custo de fabricação da 10ª unidade é a diferença entre o custo de fabricação de

10 unidades e o custo de fabricação de 9 unidades.

Então, como 3 30 2 + 500 + 200 2, temos que:

10 3200 2 201

Portanto, o custo de fabricação da 10ª unidade da mercadoria é de R$ 201,00.

12ª Questão: Suponha que o custo total para se fabricar q unidades de um certo

produto seja dado pela função 30 + 00 + 500.

Calcule o custo de fabricação de 20 unidades.

b Calcule o custo de fabricação da 20ª unidade.

13ª Questão: Um estudo sobre a eficiência de operários do turno da manhã de uma

certa fábrica indica que um operário médio, que chega ao trabalho às 8 horas da

manhã, monta, x horas depois de iniciado o expediente, + 6 + 15

rádios transistores.

Quantos rádios o operário terá montado às 10 horas da manhã?

b Quantos rádios o operário terá montado entre 9 e 10 horas da manhã?

14ª Questão: Suponha que às t horas do dia, a temperatura em uma certa cidade

seja de:

16 + + 10



Qual era a temperatura às 14 horas?

b De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu, entre 18 e 21 horas?

Representação Gráfica de uma Função

Para representarmos graficamente uma função do tipo 2 + 1, basta

atribuirmos valores aleatoriamente para e o resultado será o valor de formando o

par ordenado (

;

) (onde

representa o número de unidades que se deve deslocar

no eixo e representa o número de unidades que se deve deslocar no eixo ), queé a coordenada do ponto no plano cartesiano .

2101

2

2 + 1 22 + 1 3 21 + 1 1 20 + 1 1 21 + 1 3

22 + 1 5

3113

5

Dando origem ao gráfico:

Fonte: Elaborado pelo autor, 2013

Já a função , tem como gráfico:




Este, foi obtido da mesma maneira que o anterior, apenas atribuindo valores para

e obtendo um , formando a imagem acima.

Vale ressaltar, que toda função de 1º grau possui como “imagem” uma reta e toda

função de 2º grau possui como “imagem” uma parábola, como nos exemplos

anteriores.

15ª Questão: Escolha 3 funções do exercício 9 e 3 funções do exercício 7 e

represente-as graficamente.

Zeros da Função ou Raízes de uma Função

Os “zeros” ou “raízes” de uma função, são os valores que a variável pode assumir

tornando a expressão igual a zero. Por exemplo:

Para encontrar o zero da função, inicialmente iremos igualar a função a zero, logo

isso torna possível o uso da fórmula de Bháskara para encontrarmos os valores que pode assumir para que seja satisfeita a igualdade:

0Como equação é incompleta, pois

0, não é necessário o uso da fórmula de

Bháskara, iremos apenas isolar o :



Extraímos a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade, visando encontrar o

valor de e não de , vejamos:

√

Utilizando as propriedades de potenciação, temos que || 2, então 2.

Isso significa que pode ser tanto -2 quanto 2, pois qualquer um dos dois ao ser

elevado ao quadrado obtém-se 4 como solução.

Graficamente, os zeros da função representam os pontos onde a função intercepta o

eixo , veja:


Perceba que o gráfico passa exatamente pelos pontos –2 e 2.

16ª Questão: Encontre os zeros das funções abaixo e represente graficamente:

5 + 6 0

b + 0

c 0

d 0



RESPOSTAS

Questão 1

16 f 125/7

b -27 g 1/4

c 32 h 10 ou 1000

d 1/9

e 16/9

Questão 2

-17 j -55/4

b 46 k -8

c 157 l -25/2

d 25 m -16/25

e -58 n 3/2

f 87

g 16

h 4/3

i -3/4

Questão 3

24 e √ 3

b)

10√ 3 f)

3√ 10

c 5√ 5 g 7√ 2

d 2√ 13 h 18

Questão 4

√ d 2√ 3

b √ e 3/2

c

√



Questão 5

3 + h 5 + 2 6

b

5 2 3 i

+ 2 2

c + 2 + j + 3 3

d 33 1 k 3 2 +

e 2 + 2 + 3 l 2 +

f 20 36 +15 m

+ 2

g 6 30 + 6 n 3 + 5

Questão 6

+ + h

b 2 5 + 3 0 + i 25

c +20+252 j 1

d

2 + 2 +

k

e 1 0 + 2 5 l x-yf 1 6 1 6 + m x-1

g 12+

Questão 7

a)

1 0 g)

3

b) h)

c 3 i

d 1 5 j sem solução

e 1 2 k todos os números reais

f 1 2 l sem solução



Questão 8

a) 5 g) 10

b)

11 h)

c) 1 i)

d) j) 1

e) 3 k) S=

f) 6

Questão 9

a) 3 i) 2 3

b) 2 j)

c) 0 3 k) 52

d 0 l sem solução

e) 5 m) 1 12f) 2 3 n) 2

g) 2 o) 1 7

h)

Questão 10

f (1) = 6; f (0) = 2; f ( 2) = 0 g 1 1 5 13

b h( 1) = 1; h(0) = 1; h(1) = 27 h h(3)=10;h(1)=6;h(0)=4;h(-3) = 2

c g(-1) = - 2 ; g(1) = 2; g(2) =5/2 i 6 3 5 d f (2) = 2=5; f (0) = 0; f (-1) =-1/2

0 1 16

e) 2 2√ 3 0 2 2√ 3 f) 0 1 1 0 27

Questão 11

3

b 2 f

c

2 1 g

d h



Questão 12

R$4500

b R$371

Questão 13

46 Rádios

b 26 Rádios

Questão 14

33,33ºC

b Diminuiu 7,5ºC

Questão 15

Pessoal

Questão 16

a) Zeros ou raízes: {x=2 ou x=3 }



b) Zeros ou raízes: {x=2}, Gráfico

c) Zeros ou raízes: 2 2

d) Zeros ou raízes 3 3

Caro aluno, para melhor complementar o aprendizado que aqui

tivemos, acrescentando novas fontes de pesquisa e consulta

para seus estudos, recomento o acesso a alguns sites que

possuem materiais explicativos, exemplos e até exercícios!



Acesse em: www.brasilescola.com/matematica

Acesse em: www.somatematica.com.br



Acesse em: www.matematicadidatica.com.br

E não esqueça! Procure sempre resolver os exercícios, o estudo da matemática

necessita de prática. Então vamos lá, acesse agora e comece a praticar! Vale

lembrar que as dúvidas poderão ser postadas no fórum, fale também com o tutor,

você não está sozinho nessa jornada.



REFERÊNCIAS

LEONARDO, Fabio M. (Org.). Projeto Araribá: matemática, 9º ano. 3. ed. SãoPaulo: Moderna, 2010.

GIOVANNI, J. R. et al. A conquista da matemática, 8º ano. 9. ed. São Paulo: FTD,2012.

______. A conquista da matemática, 7º ano. 9. ed. São Paulo: FTD, 2012.

BRASIL escola. Disponível em: <www.brasilescola.com/matematica>. Acesso em:11 dez. 2013.

SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em: 11

dez. 2013.

MATEMÁTICA didática. Disponível em: <www.matematicadidatica.com.br>. Acessoem: 11 dez. 2013.

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Matematica - Nivelamento