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Nivelamento em Matematica Basica
Profa. Juliana Castanon Xavier e Profa. Simone Alves da Silva
Monitores: Joao Fernando da Silva Costa e Jaqueline Elisabete Savoia
Departamento Academico de Matematica
Nucleo de Acompanhamento Psicopedagogico e Assistencia Estudantil
Universidade Tecnologica Federal do Parana
Sumario
1 Conjuntos 5
1.1 Conjuntos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Intervalos Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2 Expressoes Numericas e Algebricas em R . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Fracoes 23
2.1 Classificacao de Fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Simplificacao de fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Operacoes com fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Operacoes no conjuntos dos R 35
3.1 Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Radiciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3
4
3.3 Produtos notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Fatoracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Equacoes algebricas de 1o e 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.1 Equacoes do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.2 Equacoes do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 Inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.1 Inequacoes do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.2 Inequacao do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7 Polinomios em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Capıtulo 1
Conjuntos
Nesse capıtulo, vamos tratar da nocao de conjuntos. Iniciamos dando uma ideia geral sobre
conjuntos, suas relacoes, propriedades e operacoes. Na sequencia, tratamos da classificacao
e divisao de numeros nos conjuntos numericos dos naturais, inteiros, racionais, irracionais
e reais, tratando tambem de propriedades de suas operacoes numericas, relacoes entre esses
conjuntos e representacao de numeros atraves de intervalos de numeros reais.
A ideia de conjunto decorre de uma nocao primitiva, sem definicao propria, podendo um
conjunto ser considerado como uma colecao qualquer de objetos. Os objetos que compoem
essa colecao sao chamados de elementos do conjunto. Normalmente, indicamos os conjuntos
por letras maiusculas e os elementos por minusculas.
Recebe o nome de relacao de pertinencia, a relacao existente entre elementos e conjuntos.
Para indicarmos que um objeto x e elemento do conjunto A, escrevemos x ∈ A (le-se x
pertence a A), e se x nao for elemento de A, escrevemos x /∈ A (le-se x nao pertence a A).
Para descrever os elementos de um conjunto, podemos utilizar os seguintes recursos:
1. Enumeracao: quando os elementos do conjunto sao descritos, separados por vırgulas e
5
6
entre chaves. Exemplo: A = {1, 3, 5, 7}.
2. Compreensao: quando e escrita entre chaves a caracterıstica comum a todos os ele-
mentos do conjunto. Exemplo: A = {x e natural e tal que 1 ≤ x ≤ 7 e x e ımpar}.
3. Diagramas de Venn: o conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, 6} fica representado nessa forma pelo
esquema representado na Figura 1.1.
Figura 1.1: Diagrama de Venn.
Se todo elemento de um conjunto A for tambem elemento de um conjunto B, entao
podemos dizer que A e subconjunto de B. Para indicar que A e subconjunto de B, escrevemos
A ⊂ B (le-se A esta contido em B) ou B ⊃ A (le-se B contem A). Se A nao for subconjunto
de B escreve-se A 6⊂ B.
Algumas observacoes importantes.
1. Todo conjunto e subconjunto dele mesmo, ou seja, A ⊂ A.
2. ∅ representa o conjunto vazio, ou seja, o conjunto que nao apresenta nenhum elemento.
Esse conjunto e subconjunto de qualquer conjunto.
3. O total de subconjuntos que se podem formar a partir de um conjunto A que tem n
elementos e 2n; denotamos #A = 2n.
4. A ⊂ B e B ⊂ A se, e somente se, A = B.
7
5. A e chamado de subconjunto proprio de B se, e somente se, A ⊂ B e A 6= B.
6. Dado um conjunto A, chamamos de conjunto das partes de A, denotado por P (A), o
conjunto formado por todos os subconjuntos de A.
Exemplo 1.0.0.1. Se A = {1, 3, 5, 7}, entao: P (A) = {∅, {1}, {3}, {5}, {7}, {1, 3}, {1, 5},
{1, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {3, 5, 7}, {1, 3, 5, 7}}
Operacoes entre conjuntos:
1. Uniao O conjunto P e a uniao dos conjuntos A e B, se todos os elementos de A e B,
e apenas estes, estiverem presentes em P . De outra maneira,
P = A ∪B = {x/x ∈ A ou x ∈ B} .
Figura 1.2: Possibilidades da uniao de dois conjuntos.
2. Intersecao O conjunto P e a intersecao dos conjuntos A e B, se ele for formado por
todos os elementos comuns a A e B. De outra maneira,
P = A ∩B = {x/x ∈ A e x ∈ B} .
8
Figura 1.3: Possibilidades da intersecao de dois conjuntos.
3. Diferenca O conjunto P e a diferenca dos conjuntos A e B, se ele for formado pelos
elementos de A que nao sao elementos de B. De outra maneira,
P = A−B = {x/x ∈ A e x /∈ B} .
Figura 1.4: Possibilidades da diferenca de dois conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B, definimos o complementar de A com relacao a B, e deno-
tamos por CBA , como o conjunto B − A.
Ja o complementar de um conjunto A, aqui denotado por A′, e definido como a diferenca
entre o conjunto universo, U , e o conjunto A. De outra maneira,
A′ = U − A.
Observe que estamos definindo como conjunto universo U , o conjunto especificado que
contem todos os elementos de interesse para um determinado problema. Com respeito a
essas operacoes, valem as seguintes propriedades:
9
1. A ∪ A = A
2. A ∪ ∅ = A
3. A ∪B = B ∪ A
4. A ∪ U = U
5. A ∩ A = A
6. A ∩ ∅ = ∅
7. A ∩B = B ∩ A
8. A ∩ U = A
9. A− A = ∅
10. A− ∅ = A
11. A−B 6= B − A, em geral.
12. U − A = A′
13. (A′)′ = A
14. ∅′ = U
15. U ′ = ∅
16. (A ∪B)′ = A′ ∩B′
17. (A ∩B)′ = A′ ∪B′
1.1 Conjuntos Numericos
Numeros Naturais (N): e o conjunto representado por N = {0, 1, 2, 3, . . . } ou N∗ =
{1, 2, 3, . . . } quando o zero nao esta incluıdo.
Os numeros naturais tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a contagem de ob-
jetos, comecando com o numero dois, e aı por diante. Uma abstracao seguinte foi identificar
o numero um.
O avanco seguinte na abstracao foi o uso de numerais para representar os numeros. Isto
permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes numeros. Por
exemplo, os babilonicos desenvolveram um sistema de atribuicao de valor baseado essencial-
mente nos numerais de 1 a 10. Os egıpcios antigos possuıam um sistema de numerais com
hieroglifos distintos para 1, 10, e todas as potencias de 10 ate um milhao. Uma gravacao em
pedra encontrada em Karnak, datando de cerca de 1500 a.C. e atualmente no Louvre, em
10
Paris, representa 276 como 2 centenas, 7 dezenas e 6 unidades; e uma representacao similar
para o numero 4622.
Um avanco muito posterior na abstracao foi o desenvolvimento da ideia do zero como um
numero com seu proprio numeral. Um dıgito zero tem sido utilizado como notacao de posicao
desde cerca de 700 a.C. pelos babilonicos, porem ele nunca foi utilizado como elemento final.
Os olmecas e a civilizacao maia utilizaram o zero como um numero separado desde o seculo
I a. C., aparentemente desenvolvido independentemente, porem seu uso nao se difundiu
na Mesoamerica. O conceito da forma como ele e utilizado atualmente se originou com o
matematico indiano Brahmagupta em 628. Contudo, o zero foi utilizado como um numero
por todos os computus (calculadoras da idade media) comecando com Dionysius Exiguus em
525, mesmo que no geral nenhum numeral romano tenha sido utilizado para escreve-lo. Ao
inves disto, a palavra latina para ”nenhum”, ”nullae”, foi empregada.
O primeiro estudo esquematico dos numeros como abstracao (ou seja, como entidades
abstratas) e comumente atribuıdo aos filosofos gregos Pitagoras e Arquimedes. Entretanto,
estudos independentes tambem ocorreram por volta do mesmo perıodo na India, China, e
Mesoamerica.
No seculo XIX, uma definicao do conjunto teorico dos numeros naturais foi desenvolvida.
Com esta definicao, era mais conveniente incluir o zero (correspondente ao conjunto vazio)
como um numero natural. Esta convencao e seguida pelos teorizadores de conjuntos, logi-
cistas, e cientistas da computacao. Outros matematicos, principalmente os teorizadores dos
numeros, comumente preferem seguir a tradicao antiga e excluir o zero dos numeros naturais.
Uma construcao consistente do Conjunto dos Numeros Naturais (N) foi desenvolvida no
seculo XIX por Giuseppe Peano. Essa construcao, comumente chamada de Axiomas de
Peano, e uma estrutura simples e elegante, servindo como um bom exemplo, de construcao
de conjuntos numericos.
Exemplo 1.1.0.1. Exemplos de situacoes que envolvem contagem.
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• Quantos alunos ha em classe?
• Quantos habitantes tem uma cidade?
• Quantas pecas de roupa existem numa determinada loja?
O conjunto dos numeros naturais equipado com as operacoes de adicao (+) e multi-
plicacao (∗), satisfaz as seguintes propriedades:
1. Fecho: se a, b ∈ N, entao a+ b ∈ N e a ∗ b ∈ N.
2. Associatividade:
a+ (b+ c) = (a+ b) + c, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.
3. Comutatividade:
a+ b = b+ a, a ∗ b = b ∗ a.
4. Existencia do Elemento Neutro:
a+ 0 = a, a ∗ 1 = a,
ou seja, o numero zero e o elemento neutro da adicao e o numero 1 e o elemento neutro
da multiplicacao.
5. Distributividade:
a ∗ (b+ c) = (a ∗ b) + (a ∗ c).
6. Nao existe nenhum divisor de zero, ou seja, se a ∗ b = 0, entao ou a = 0 ou b = 0 ou
ambos sao iguais a zero.
Observe que nao podemos verificar essas propriedades para as operacoes de subtracao
e divisao, pois nem sempre essas operacoes estao estao definidas em N. Por exemplo: nao
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existe nenhum numero natural que represente o resultado de 3− 7 ou 100− 1000; da mesma
maneira, nao existe nenhum numero natural que represente o resultado de 1÷ 2 ou 10÷ 3.
Como consequencia desse problema, foram definidos mais dois conjuntos numericos: o
conjunto dos numeros inteiros e o conjunto dos numeros racionais.
Numeros Inteiros (Z): e o conjunto representado por Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }
ou Z∗ = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3, . . . } quando o zero nao esta incluıdo.
Observe que, como consequencia da sua propria construcao, todo numero natural e
tambem um numero inteiro, razao pela qual escrevemos que N ⊂ Z.
O conjunto dos numeros inteiros equipado com as operacoes de adicao (+) e multiplicacao
(∗), satisfaz as seguintes propriedades:
1. Fecho: se a, b ∈ Z, entao a+ b ∈ Z e a ∗ b ∈ Z.
2. Associatividade:
a+ (b+ c) = (a+ b) + c, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.
3. Comutatividade:
a+ b = b+ a, a ∗ b = b ∗ a.
4. Existencia do Elemento Neutro:
a+ 0 = a, a ∗ 1 = a,
ou seja, o numero zero e o elemento neutro da adicao e o numero 1 e o elemento neutro
da multiplicacao.
5. Distributividade:
a ∗ (b+ c) = (a ∗ b) + (a ∗ c).
13
6. Nao existe nenhum divisor de zero, ou seja, se a ∗ b = 0, entao ou a = 0 ou b = 0 ou
ambos sao iguais a zero.
7. Existencia de Inverso na Adicao: existe a′ ∈ Z tal que a+ a
′= 0.
Observe que ainda nao podemos verificar essas propriedades para a operacao de divisao,
pois nem sempre essa operacao esta esta definida em Z. Por exemplo: nao existe nenhum
numero inteiro que represente o resultado de −3÷ 7 ou 100÷ 1000.
Sendo assim, foi preciso definir mais um conjuntos numerico, como mencionado anteri-
ormente: o conjunto dos numeros racionais.
Numeros Racionais (Q): e o conjunto representado por Q ={ab, a ∈ Z e b ∈ Z∗
}ou
Q ={ab, a ∈ Z∗ e b ∈ Z∗
}quando o zero nao esta incluıdo.
Em outras palavras, um numero racional e todo numero que pode ser representado por
uma razao entre dois numeros inteiros, com o segundo nao nulo (diferente de zero).
Observe que, como podemos escrever qualquer a ∈ Z comoa
1= a ∈ Z, temos que todos
os numeros inteiros estao contidos em Q, isto e, Z ⊂ Q. Alem disso, como N ⊂ Z, obtemos
que N ⊂ Q. Portanto, N ⊂ Z ⊂ Q.
Ha quatro formas de se apresentarem os numeros racionais: fracoes, numeros mistos,
numeros decimais finitos e as dızimas periodicas, que sao numeros decimais infinitos que, a
partir de um certo algarismo, se repetem em grupos (denominados perıodos) de um ou mais
algarismos, ordenados sempre na mesma disposicao.
Exemplo 1.1.0.2. Fracao:7
5;
Numero misto: 53
2;
Numeros decimais finitos: 8, 35;
Dızimas periodicas: 8, 232323...; 1, 235555...; 7, 23965965965...; 33, 333....
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Existem porem, alguns (muitos!) numeros que nao podem ser representados como di-
visoes de dois numeros inteiros. Dentre esses numeros, destacamos as dızimas nao periodicas,
raızes n-esimas nao exatas (que tambem podem ser vistas como dızimas nao periodicas), etc.
Tais numeros compoem o conjunto que vamos definir a seguir.
Numeros Irracionais (I): e o conjunto de todos os numeros que nao sao racionais, ou seja,
I = {x / x /∈ Q}.
O conjunto dos numeros irracionais e formado, essencialmente por dızimas nao periodicas,
que sao numeros decimais infinitos que nao apresentam nenhum grupo de algarismos que se
repetem.
A primeira descoberta de um numero irracional e geralmente atribuıda a Hipaso de Me-
taponto, um seguidor de Pitagoras. Ele teria produzido uma demonstracao (provavelmente
geometrica) de que a raiz de 2 e irracional.
No entanto, Pitagoras considerava que a raiz de 2 ”manchava”a perfeicao dos numeros,
e portanto nao poderia existir. Mas ele nao conseguiu refutar os argumentos de Hipaso com
a logica, e a lenda diz que Pitagoras condenou seu seguidor ao afogamento.
A partir daı, os numeros irracionais entraram na obscuridade, e foi so com Eudoxo de
Cnido que eles voltaram a ser estudados pelos gregos. O decimo livro da serie Os elementos
de Euclides e dedicado a classificacao de numeros irracionais.
Foi so em 1872 que o matematico alemao Dedekind (de 1831 a 1916) fez entrar na
Aritmetica, em termos rigorosos, os numeros irracionais que a geometria sugerira havia mais
de vinte seculos.
Sao exemplos de numeros irracionais: π = 3, 1415926536...,√
2 = 1, 4142135624...,√
5 = 2, 2360679775, etc.
15
Por fim, definimos o conjunto dos numeros reais (R) como a uniao dos conjuntos dos
numeros racionais Q e dos numeros irracionais I. Isto e,
R = {x, x ∈ Q ou I} , R∗ = {x, x 6= 0 e x ∈ Q ou I}
O conjunto dos numeros reais com as operacoes de adicao e multiplicacao e com a relacao
natural de ordem formam o que chamamos de um corpo ordenado.
As relacoes de continencia entre esses conjuntos pode ser observada na Figura 1.5.
Figura 1.5: Relacao entre os conjuntos N,Z,Q e I.
1.1.1 Intervalos Reais
Podemos representar conjuntos de numeros reais atraves de intervalos. Sendo a e b dois
numeros reais tal que a < b, chamamos os seguintes subconjuntos de R de intervalos.
1. Intervalo fechado nos extremos a e b: [a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} .
2. Intervalo fechado em a e aberto em b: [a, b) = {x ∈ R/a ≤ x < b} .
3. Intervalo aberto em a e fechado em b: (a, b] = {x ∈ R/a < x ≤ b} .
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4. Intervalo aberto nos extremos a e b: (a, b) = {x ∈ R/a < x < b} .
Podemos representar ainda os intervalos:
1. [a,+∞) = {x ∈ R/x ≥ a} .
2. (a,+∞) = {x ∈ R/x > a} .
3. (−∞, b] = {x ∈ R/x ≤ b} .
4. (−∞, b) = {x ∈ R/x < b} .
5. (−∞,+∞) = {x ∈ R} = R.
1.1.2 Expressoes Numericas e Algebricas em R
Uma expressao numerica em R e uma sequencia composta por numeros reais operados entre
si. Durante a resolucao de uma expressao numerica, seguimos a seguinte ordem de prioridade
para realizacao dessas operacoes:
• Potenciacao e radiciacao;
• Multiplicacao e divisao;
• Adicao e subtracao.
Tambem e importante observar que no caso da expressao numerica apresentar parenteses
e/ou colchetes [ ] e/ou chaves { }, as operacoes dentro dessa estrutura tem que ser resolvidas
primeiro, seguindo a ordem de prioridade estabelecida acima.
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Exemplo 1.1.2.1.
5{4 + [6.5–10 + (22–3)]} =
5{4 + [6.5–10 + (4–3)]} =
5{4 + [6.5–10 + 1]} =
5{4 + [30–10 + 1]} =
5{4 + 21} =
5{25} = 125.
Por outro lado, uma expressao algebrica e aquela composta por numeros e letras, onde
essas letras sao tambem chamadas de variaveis ou incognitas.
Exemplo 1.1.2.2.
4a+ 6b+ 8c, x2 + 2xy + y2.
1.2 Exercıcios
1. Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12, 15} e C = {0, 5, 10, 15, 20},
determine o que se pede.
(a) A ∩B ∩ C
(b) A ∩ (B ∪ C)
2. Em uma cidade ha 1000 famılias, das quais:
• 470 assinam o jornal A;
• 420 assinam o jornal B;
• 315 assinam o jornal C;
• 140 assinam os jornais B e C;
• 220 assinam os jornais A e C;
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• 75 assinam os jornais A, B e C.
Sendo assim, determinar:
(a) Quantas famılias nao assinam nenhum jornal?
(b) Quantas famılias assinam apenas um dos jornais?
(c) Quantas famılias assinam apenas dois jornais?
(d) Quantas famılias assinam pelo menos dois jornais?
(e) Quantas famılias assinam no maximo dois jornais?
3. Complete o quadro a seguir.
Antecessor Numero Sucessor
5.098
300.000
2.345.700
4. Responda as perguntas abaixo.
(a) Qual e o menor numero natural?
(b) Qual e o sucessor de zero?
(c) Quantos numeros naturais existem?
5. Ordene os numerais abaixo, do menor para o maior, na item (a) e do maior para o menor,
no item (b).
(a) 89; 67; 34; 62; 56; 43; 13; 78; 81; 72
(b) 19; 87; 65; 22; 80; 29; 42; 92; 74; 36
6. Uma empresa teve um prejuızo de 56 mil reais no mes passado e, neste mes, o prejuızo ja
esta em 13 mil reais. Qual o prejuızo da empresa ate agora?
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7. Sr. Douglas teve um lucro de 500 reais na venda de seu computador, mas sua esposa bateu o
carro e teve um prejuızo de 800 reais. Qual o resultado financeiro desses dois acontecimentos?
8. Durante uma experiencia, a temperatura foi medida e estava marcando -3oC. O professor
pediu para baixar 5oC essa temperatura. Qual sera a nova temperatura registrada?
9. Dados os numeros:
x = −5 + 5− 5
y = −5− 5− 5
z = 10− 10 + 10
w = 10− 10− 10
(a) Qual e o menor?
(b) Qual e o maior?
(c) Coloque em ordem crescente.
10. Arquimedes, matematico e fısico grego, nasceu em Siracusa(Sicılia) em 287 a.C. Octavio
Augusto, primeiro imperador romano, nasceu em 63 a.C. Responda:
(a) Quem nasceu primeiro Arquimedes ou Octavio Augusto?
(b) Se Octavio Augusto morreu em 14 d.C., quantos anos ele viveu?
(c) Arquimedes viveu 75 anos, em que ano ele morreu?
(d) Quantos anos se passaram entre a morte de Arquimedes e o nascimento de Augusto?
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11. Coloque os numeros em ordem crescente.
(a) -9,-3,-7,+1,0
(b) -2, -6, -5, -3, -8
(c) 5,-3,1,0,-1,20
(d) 25,-3,-18,+15,+8,-9
(e) +60,-21,-34,-105,-90
(f) -400,+620,-840,+1000,-100
12. Coloque os numeros em ordem decrescente.
(a) +3,-1,-6,+5,0
(b) -4,0,+4,+6,-2
(c) -5,1,-3,4,8
(d) +10,+6,-3,-4,-9,+1
(e) -18,+83,0,-172, -64
(f) -286,-740, +827,0,+904
13. Considerando A = [1, 7] e B = [3, 9), determine os conjuntos abaixo.
(a) A ∪B
(b) A ∩B
(c) A−B
(d) B −A
(e) CBA
(f) CAB
14. Regra dos sinais: quando ocorre a presenca de parenteses nas operacoes entre os numeros
inteiros, devemos elimina-los, utilizando o jogo do sinal indicado na figura a seguir. Utilizando
essa regra, resolva as expressoes algebricas abaixo.
(a) (+8 + 9)–(+5–6)–(9 + 1)
(b) – {–[(2 + 3)–(7–8) + (–6–4)]}
(c) –[–(2 + 4)–(–4–13)]
(d) 60–(14–4 + 6)–16–6
(e) (140 + 20–10)–63–(18–10–8)
(f) 135–35 + (13–8 + 4)–7 + 20
(g) 500 + 36–(8 + 12–6) + 21–(80 + 123)
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15. Escolha uma letra para representar o numero desconhecido, e escreva uma expressao algebrica
para representar as situacoes abaixo.
(a) A soma de 10 com um numero desconhecido.
(b) A diferenca entre 15 e um numero desconhecido.
(c) A diferenca entre um numero desconhecido e 15.
(d) A soma de um numero desconhecido com 42 e igual a 76.
(e) A diferenca entre um numero desconhecido e 18 e igual a 63.
(f) A diferenca entre 128 e um numero desconhecido e igual a 84.
16. Calcule o numero desconhecido nos itens (d), (e) e (f) do exercıcio anterior.
17. Resolva as expressoes algebricas a seguir.
(a) 3x2 + 5x + 7, com x = 3.
(b) a2 + 2ab + 5b, para a = 2 e b = −1.
(c) x4 + 2x1/2 + 9y + y2, para x = 4 e y = 6.
22
Capıtulo 2
Fracoes
Uma fracao e uma representacao de uma parte ou um pedaco de um inteiro.
Utilizamos o conceito de fracao em diversos momentos do nosso dia a dia, como por
exemplo:
• Ao dividir uma pizza;
• Ao dividir um bolo;
• Ao dividir um pedaco de tecido, etc.
Representamos uma fracao atraves de uma divisao, denotada pora
b, em que b 6= 0 indica
o total de partes que compoem o inteiro considerado, e a indica quantas dessas partes estao
sendo consideradas, como pode ser observado na Figura 2.1.
Em toda fracao, a e chamado de numerador e b e chamado de denominador.
23
24
Figura 2.1: Exemplo de fracoes.
2.1 Classificacao de Fracoes
Podemos classificar as fracoes da seguinte maneira:
• Fracao propria: nesse tipo de fracao o numerador e menor que o denominador. Por
exemplo,8
32,
3
5,
9
10.
• Fracao impropria: nesse tipo de fracao o numerador e maior que o denominador. Por
exemplo,8
5,
12
9,
7
4.
• Fracao aparente: nesse tipo de fracao o numerador e multiplo do denominador. Por
exemplo,8
4= 2,
12
2= 6,
7
7= 1.
25
• Fracoes equivalentes: sao fracoes que mesmo representadas de maneira diferente, re-
presentam a mesma parte do inteiro. Por exemplo,
Figura 2.2: Fracoes equivalentes.
Na Figura 2.2, todas essas fracoes estao representando a mesma porcao de um inteiro,
independente se o inteiro e o mesmo.
Tambem podemos compor numeros inteiros com fracoes. A esse tipo de numero damos
o nome de numero misto.
Figura 2.3: Numero misto.
26
Na figura 2.3 temos representado o numero misto 21
2. O numero 2 representa a parte
inteira desse numero misto, e a fracao 12
representa a parte fracionaria desse numero misto.
Um numero misto pode ser escrito na forma apenas de fracao a partir do procedimento
ilustrado a seguir:
(i) 11
16=
16
16+
1
16=
17
16,
(ii) 26
10=
10
10+
10
10+
6
10=
26
10.
2.2 Simplificacao de fracoes
Quanto menor e o denominador de uma fracao, mais simples se torna sua representacao e a
realizacao de calculos com ela.
Uma fracao na sua forma simplificada e chamada de fracao irredutıvel.
Para simplificar uma fracao, ou deixa-la em sua forma irredutıvel, fazemos uso de divisoes
sucessivas do numerador e denominador por um mesmo valor, ate que nao seja mais possıvel
determinar um divisor comum para o numerador e o denominador.
Ilustramos esse procedimento no exemplo a seguir.
Exemplo 2.2.0.1. Para deixar a fracao 1624
na sua forma irredutıvel, e necessario fazer 3
divisoes consecutivas por 2 do numerador e denominador, ate obter a fracao 23.
16
24=
8
12=
4
6=
2
3.
27
2.3 Operacoes com fracoes
Vamos tratar das operacoes de adicao, subtracao, multiplicacao e divisao atraves de exem-
plos.
Adicao e Subtracao: Carlos comprou uma barra de chocolate de 6 pedacos e so comeu 2.
Maria comprou a mesma barra, mas ela so comeu um pedaco. Juntando as duas barras,
quantos pedacos sobraram? E qual fracao eles tem juntos?
Carlos comeu dois pedacos de um total de seis, isto e,2
6; sobraram
4
6, ou seja, 4 pedacos.
Maria comeu um pedaco de um total de seis, isto e,1
6; sobraram
5
6, ou seja, 5 pedacos.
Juntos, o que sobrou das barras de chocolate e representado por:
4
6+
5
6=
9
6.
Como podemos observar, para somar duas ou mais fracoes de mesmo denominador, basta
somar os numeradores e repetir o denominador.
Quando os denominadores sao diferentes, precisamos reduzir as fracoes ao mesmo deno-
minador. Essa reducao e feita atraves do calculo do mınimo multiplo comum (mmc).
O mmc de dois numeros a e b e o menor inteiro positivo que e multiplo simultaneamente
de a e de b. A determinacao do mmc permite que seja possıvel obter fracoes equivalentes as
que estao sendo somadas (ou subtraıdas), todas com o mesmo denominador. Representando
a soma de fracoes, por uma soma de fracoes de mesmo denominador, podemos aplicar a regra
mencionada anteriormente, de apenas somar os numeradores.
Exemplo 2.3.0.1.3
5+
1
2=
6
10+
5
10=
11
10, pois o mmc (5, 2) = 10.
28
De fato,
5 − 2 2
5 − 1 5
1 − 1 �10
Tudo que vale para a soma, vale de maneira analoga para subtracao.
Exemplo 2.3.0.2.3
5− 1
2=
6
10− 5
10=
1
10, pois o mmc (5, 2) = 10, como calculado no
exemplo anterior.
Multiplicacao: para multiplicar duas ou mais fracoes, multiplicamos numerador por nume-
rador e denominador por denominador, como no exemplo a seguir.
Exemplo 2.3.0.3.1
3− 1
5=
1
15
Exemplo 2.3.0.4.1
3− 4
5=
4
15
Divisao: para dividir duas fracoes, repetimos a primeira fracao e multiplicamos (como de-
finido anteriormente) pelo inverso da segunda fracao. Esse procedimento esta ilustrado no
exemplo a seguir.
Exemplo 2.3.0.5.
1
41
8
=1
4× 8
1=
8
4= 2
2.4 Exercıcios
1. Simplifique as fracoes abaixo, tornando-as irredutıveis.
(a)8
12
(b)42
63
29
(c)36
18
(d)75
100
2. Efetue as seguintes operacoes com fracoes.
(a)7
6− 1
(b)5
2− 7
4
(c)5
8:
1
3
(d)14
12× 24
7
(e) 3− 5
4
3. Vanı ganha um salario de R$ 1200,00 mensais. Ela gasta1
5com alimentacao e
2
5com
aluguel. Qual o total de gastos de Vanı em reais? Qual o valor que sobra do salario de
Vanı?
4. Qual o valor da expressao3
5− 1
5×(
2
3− 1
2
)5. Comprei um apartamento por R$ 420000,00. Paguei
2
3de entrada e o resto em 10
parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
6. Gasto2
5do meu salario com aluguel da casa, e
1
2dele com outras despesas. Fico ainda
com R$ 200,00 no final do mes. Qual e o valor do meu salario?
7. Um copo cheio de agua pesa 325 gramas. Se jogarmos metade da agua fora, seu peso
cai para 180 gramas. Qual o peso do copo vazio?
8. Alan, Cassio e Luciano fizeram compras para fazer um churrasco gastando um total
de R$ 96,00. Alan pagou1
2do valor total, e Cassio pagou
1
3do valor total. Quanto
Luciano pagou?
30
9. Um turista fez uma viagem de 3600 km. Considerando que3
4do percurso foi feito
de trem,2
9foi feito de onibus e o restante de carro, quantos quilometros cada turista
percorreu de carro?
10. Joao comprou 60 balas. Maria comeu a metade e Andre comeu metade do que sobrou.
Qual foi o numero de balas comidas?
11. Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litros poderao ser cheias?
12. Adriano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderao ser
feitos com 18 metros de couro?
13. Qual e o numero tal que 4/5 equivalem a 108?
14. Distribuıram-se 3 12
quilogramas de bombons entre varios meninos. Cada um recebeu
1/4 de quilograma. Quantos eram os meninos?
15. Para ladrilhar 2/3 de um patio empregaram-se 5456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do
mesmo patio, quantos ladrilhos seriam necessarios?
16. Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse
terreno?
17. Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aviao; 2/5 do que sobra de trem,
e 3/8 do que sobra de automovel, e os demais quilometros a cavalo. Calcular quantos
quilometros percorreu a cavalo?
18. A terca parte de um numero adicionado a seus 3/5 e igual a 28. Calcule a metade
desse numero ?
19. Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importancia. Quanto sobrou?
20. Que numero e necessario somar a um e tres quartos para se obter cinco e quatro
setimos?
31
21. A soma de dois numeros e 850. Um vale 12/5 do outro. Quais sao eles?
22. Se dos 2/3 de um numero subtrairmos 3/7, ficaremos com 45. Qual e o numero?
23. A soma de tres numeros e 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos
3/5 do terceiro. Calcular o produto destes tres numeros.
24. Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual e o valor de 5/48 do mesmo terreno?
25. Qual e o numero que se subtrairmos 8 unidades da sua metade ficaremos com 1/3 dele
mesmo?
26. Da terca parte de um numero subtraindo-se 12, obtem-se com 1/6 do mesmo numero.
Que numero e esse?
27. Qual e o numero que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava
parte ?
28. A diferenca entre dois numeros e 90; um e 3/13 do outro. Calcule esses numeros.
29. A soma de dois numeros e 345; um e 12/11 do outro. Calcule-os.
30. Seu Aureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuıa, ficou com 1/3 dessa quantia mais
R$ 164,00. Quanto tinha Aureo?
31. Divida R$ 1590,00 em tres partes de modo que a primeira seja 3/4 da segunda e esta,
por sua vez, seja 4/5 da terceira.
32. Se eu tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25,00. teria R$ 58,00. Quanto eu
tenho?
33. A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 e igual a R$ 32,50. Quanto possuo?
34. Jose Augusto perdeu o inverso de 8/3 de seu dinheiro e ficou com a metade mais R$
4,30. Quanto ele possuıa?
32
35. Reparta 153 cards em tres montes, de forma que o primeiro contenha 2/3 do segundo,
que por sua vez devera ter 3/4 do terceiro.
36. Distribuia 3.717 tijolos em tres depositos de maneira que o primeiro tenha 3/4 do
segundo, e este por sua vez contenha 5/6 do terceiro.
37. O diretor de um colegio quer distribuir os 105 alunos da 4a serie em tres turmas de
modo que: a 1a comporte a terca parte do efetivo; a 2a, 6/5 da 1a, menos 8 estudantes,
e a 3a, 18/17 da 2a. Quantos alunos havera em cada turma?
38. Dividiu-se uma certa quantia entre tres pessoas. A primeira recebeu 3/5 da quantia,
menos R$ 100,00; a segunda, 1/4 mais R$ 30,00, e a terceira, R$ 160,00. Qual era a
quantia inicial?
39. Um numero e tal que, se de seus 2/3 subtrairmos 1.036, ficaremos com 4/9 do mesmo.
Que numero e esse?
40. Das laranjas de uma caixa foram retirados 4/9, depois 3/5 do resto, e sobraram 24
delas. Quantas eram as laranjas?
41. Marcela tinha R$ 240,00. Gastou um quinto dessa quantia, e depois, a terca parte do
resto. Com quanto ficou?
42. Repartir R$ 671,00 entre tres pessoas de modo que a primeira seja contemplada com
2/5 do que receber a segunda e esta, 3/8 do receber a terceira.
43. Dividir R$ 480,00 por tres pessoas, de modo que as partes da primeira e da segunda
sejam, respectivamente, 1/3 e 4/5 da parte a ser recebida pela terceira
44. Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu 2/5 menos R$ 6,00; depois a terca parte do
resto, mais R$ 18,00. Quanto sobrou?
33
45. Um reservatorio e alimentado por duas torneiras. A primeira pode enche-lo em 15
horas e a segunda, em 12 horas. Que fracao do reservatorio encherao em uma hora, as
duas juntas?
46. Uma torneira enche um reservatorio em 2 horas e outra em 3 horas. Em quanto tempo
essas duas torneiras juntas encherao esse reservatorio?
47. Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 da hora e uma valvula o esvazia em 1/4 da
hora. Ambas abertas, em que tempo o reservatorio ficara completamente cheio?
48. Uma torneira enche um deposito de agua em 1/14 da hora enquanto uma valvula pode
esvazia-lo em 1/9 da hora. Trabalhando juntas, em quanto tempo o lıquido contido no
deposito atingira seus 5/6?
49. Um reservatorio e alimentado por duas torneiras. A primeira pode enche-lo em 15
horas e a segunda, em 10 horas. A primeira e conservada aberta durante 2/3 da hora
e a segunda durante 1/2 hora. Que fracao do reservatorio ficara cheia?
34
Capıtulo 3
Operacoes no conjuntos dos R
Nesse capıtulo, vamos definir operacoes importantes entre numeros reais, tais como poten-
ciacao e radiciacao. Alem disso, vamos falar de fatoracao e produtos notaveis, importantes
ferramentas para o estudo de funcoes em Calculo I. Definidas essas operacoes, mostraremos
suas aplicacoes no contexto de resolucao de equacoes e inequacoes dos primeiro e segundo
graus.
3.1 Potenciacao
Potenciacao ou exponenciacao e a operacao definida como a multiplicacao de um numero
por ele mesmo. A esse numero real damos o numero de base (vamos designar a base pela
letra a), e a quantidade de vezes que ele e multiplicado por ele mesmo, digamos x vezes, e
chamado de potencia. Denotamos por ax.
Exemplo 3.1.0.1. 32 = 3 × 3 = 9 (le-se: “tres elevado ao quadrado”, ou “tres elevado a
segunda potencia” ou ainda “tres elevado a dois”).
Valem as seguintes propriedades:
35
36
• a1 = a
• a0 = 1, a 6= 0.
A princıpio, o expoente x pode ser qualquer numero real. Vamos analisar tres possibili-
dades para esse valor, entendendo o que cada uma delas significa.
1. Potencia de expoente natural: dados um numero real a e um numero natural n,
com n ≥ 2, chamamos de potencia de base a e expoente n o numero an, obtida pela
multiplicacao de a por ele mesmo n vezes, ou ainda, o produto de n fatores iguais a a.
an = a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸n vezes
.
Valem as seguintes propriedades:
(a) am × an = am+n
(b)am
an= am−n
(c) (a× b)n = an × bn
(d) (am)n = am×n
(e)(ab
)n=an
bn
2. Potencia de expoente inteiro negativo: dado um numero real a 6= 0 e um numero
natural n, chamamos de potencia de base a e expoente –n, e denotamos por a−n, o
numero que e calculado como o inverso multiplicativo de an, ou seja,
a−n =1
an.
Nesse caso, as mesmas propriedades do caso de potencias de expoente naturais se
aplicam.
37
3. Potencia de expoente racional: dados um numero real a > 0, um numero inteiro
p e um numero natural q ≥ 1, chamamos de potencia de base a e expoente p/q, e
denotamos por apq a raiz q-esima de ap, ou seja,
apq = q√ap.
Nesse caso valem as mesmas propriedades do caso de potencia de expoentes naturais.
3.2 Radiciacao
A radiciacao e uma operacao matematica que e equivalente a se representar a potenciacao
com expoente fracionario, como observado na secao anterior. A radiciacao e a operacao
inversa da potenciacao.
Para um numero real a, a expressao n√a representa o unico numero real x que verifica
xn = a, e tem o mesmo sinal que a, se esse numero existe. A esse numero damos o nome de
raiz enesima de a.
Quando nenhum n especıfico aparece na notacao da raiz, significa que n = 2 e o sımbolo
de radical refere-se a raiz quadrada. O sımbolo√
e chamado de radical, n e chamado de
ındice e a de radicando e x de raiz.
Sendo essa operacao a operacao inversa da potenciacao, como indicado na secao anterior
pela relacao
apq = q√ap,
suas propriedades se reduzem as mesmas do caso de potencias de expoente natural, ja expli-
citadas na secao anterior.
38
3.3 Produtos notaveis
Antes de iniciarmos o estudo de produtos notaveis, vamos recordar a propriedade distributiva
da multiplicacao entre numeros reais.
(a+ b)× (a+ b) = a · a+ a · b+ a · b+ b · b = a2 + 2ab+ b2,
(a− b)× (a− b) = a · a− a · b− a · b+ b · b = a2 − 2ab+ b2,
(a+ b+ c)× (a+ b+ c) = a · a+ a · b+ a · c+ a · b+ b · b+ b · c+ a · c+ b · c+ c · c
= a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2bc+ 2ac,
e assim por diante. Note que ao aplicar a propriedade distributiva, multiplicamos todos os
termos, levando em conta seus sinais, e somamos os termos semelhantes a fim de simplificar
a expressao final.
Como no calculo algebrico algumas expressoes representadas por produtos de expressoes
algebricas, como esses ilustrados acima, aparecem com muita frequencia, com o objetivo de
nao ter que efetuar a multiplicacao termo a termo como fizemos anteriormente, utilizamos
as expressoes que recebem o nome de produtos notaveis.
Os produtos notaveis tem uma grande importancia no calculo algebrico, e sao utilizados
principalmente como ferramentas de fatoracao de equacoes algebricas, de polinomios e etc,
com o objetivo de tornar mais direta a resolucao de problemas dessa natureza. Vamos tratar
desse assunto com mais profundidade na sequencia. A seguir, ilustramos algumas igualdades
em produtos notaveis, que podem ser verificadas utilizando a propriedade distributiva da
multiplicacao.
1. Produto da soma pela diferenca de dois numeros: quadrado do primeiro menos
o quadrado do segundo, ou seja,
(a+ b).(a–b) = a2 − b2.
2. Quadrado da soma de dois numeros: quadrado do primeiro, mais duas vezes o
39
primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo, ou ainda
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2.
3. Quadrado da diferenca de dois numeros: quadrado do primeiro, menos duas vezes
o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo, ou seja,
(a–b)2 = a2 − 2ab+ b2.
4. Cubo da soma de dois numeros: cubo do primeiro, mais 3 vezes o quadrado do
primeiro pelo segundo, mais tres vezes o primeiro pelo quadrado do segundo, mais o
cubo do segundo, ou ainda,
(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3.
5. Cubo da diferenca de dois numeros: cubo do primeiro, mais 3 vezes o quadrado
do primeiro pelo segundo, mais tres vezes o primeiro pelo quadrado do segundo, menos
o cubo do segundo, ou ainda,
(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3.
Exemplo 3.3.0.1. Considerando a = x e b = 3 temos:
(x+ 3)2 = x2 + 6x+ 9,
(x− 3)2 = x2 − 6x+ 9,
(x+ 3)(x− 3) = x2 − 9,
(x+ 3)3 = x3 + 9x2 + 27x+ 27,
(x− 3)3 = x3 − 9x2 + 27x− 27.
3.4 Fatoracao
Fatoracao e o termo usado na algebra para designar a decomposicao que se faz de cada um
dos elementos que integram um produto, ou seja, o resultado de uma multiplicacao. Assim
40
como parcela e cada uma das partes que integram uma adicao, o fator e como se chama cada
elemento que integra um produto.
Com a fatoracao busca-se a simplificacao das formulas matematicas em que ocorre a
multiplicacao, especialmente das chamadas equacoes. Ha centenas de aplicacoes e problemas
relacionados: a fatoracao de numeros (ou decomposicao de numeros em seus fatores primos)
e amplamente aplicada em areas como criptografia e seguranca na internet; ja a fatoracao
de polinomios tem grande aplicabilidade na determinacao de raızes de equacoes de graus
maiores que dois, estudo de limite de funcoes ( assunto abordado no curso Calculo I), etc.
Nesses casos, o objetivo e transformar um polinomio em um produto de polinomios de graus
menores, ou mais simples, de modo a facilitar a resolucao do problema estudado.
De forma mais generica, a fatoracao e o ato de se representar um elemento de um monoide
sobre o qual esta definida uma operacao multiplicativa como um produto de elementos do
grupo.
Exemplo 3.4.0.1 (Fatoracao de numeros). O numero 630 pode ser decomposto (ou escrito)
como: 630 = 2 × 32 × 5 × 7. O processo para a determinacao desses fatores primos esta
ilustrada na Figura 3.1.
Figura 3.1: Decomposicao de um numero em seus fatores primos.
Para a fatoracao de expressoes algebricas, destacamos os seguintes casos:
41
1. Fatoracao por fator comum: ax+ bx = x(a+ b).
2. Fatoracao por agrupamento: ax+bx+ay+by = x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y).
3. Fatoracao da diferenca de dois quadrados: a2 − b2 = (a+ b)(a− b).
4. Fatoracao de trinomio quadrado perfeito:
(a) Soma: a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2.
(b) Diferenca: a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2.
Observe que os casos 3 e 4 descritos acima, estao diretamente relacionados com as
formulas de produtos notaveis fornecidas na secao anterior.
Exemplo 3.4.0.2. Fator comum: 15x+ 5y = 5(3x+ y).
Agrupamento: 4x+ 6x+ 4y + 6y = (4 + 6)(x+ y).
3.5 Equacoes algebricas de 1o e 2o grau
Equacao e qualquer igualdade que so e satisfeita para alguns valores. Por exemplo, a
expressao algebrica 2x–5 = 3 e satisfeita apenas quando o valor desconhecido x e igual a 4.
De fato, 2 · 4− 5 = 8− 5 = 3.
Note que sem conhecer o valor da incognita x, nao podemos afirmar se essa igualdade
e verdadeira ou falsa. O conjunto de valores que satisfaz um determinada equacao forma o
que chamamos de conjunto solucao da equacao. Esse conjunto pode ser vazio (no caso da
equacao nao ter solucao), pode ser unitario (no caso de existir apenas uma solucao, como
no exemplo anterior), ou pode ter n elementos, em que n vai depender da caracterıstica da
equacao que estaremos resolvendo.
42
3.5.1 Equacoes do 1o grau
Uma equacao do 1o grau na incognita x e toda equacao que pode ser escrita na forma ax+
b = 0, sendo a e b numeros reais, com a diferente de zero. Para determinar o conjunto solucao
de uma equacao desse tipo, devemos manipular a equacao original, usando as propriedades
das operacoes fundamentais de numeros reais de modo a isolar a incognita em um dos lados
da igualdade.
Exemplo 3.5.1.1. Para determinar o valor dex tal que 2x–8 = 10, fazemos:
2x–8 = 10 ⇒ 2x− 8 +8 = 10 +8 ⇒ 2x = 18,
1
2· 2x =
1
2· 18 ⇒ x = 9.
Exemplo 3.5.1.2. Para determinar o valor de x tal que 3–7 · (1− 2x) = 5–(x+ 9) fazemos:
3–7 · (1− 2x) = 5–(x+ 9)
3− 7 + 14x = 5− x− 9 (distributividade)
−4 + 14x = −x− 4 (soma de semelhantes)
−4 + 14x + 4 + x = −x− 4 + 4 + x (soma de oposto aditivo)
15x = 0 (soma de semelhantes)
x = 0.
3.5.2 Equacoes do 2o grau
Uma equacao do 2o grau, ou equacao quadratica na incognita x, e toda equacao que pode
ser escrita na forma ax2 + bx+ c = 0, em que a, b e c sao numeros reais e a 6= 0. Neste tipo
de equacao, dizemos que a e o coeficiente do termo x2; b e o coeficiente do termo x e c e o
termo independente.
43
Uma equacao do 2o grau e dita completa se b e c sao diferentes de zero. Caso contrario,
dizemos que a equacao e incompleta.
Para determinar o conjunto solucao de uma equacao do 2o fazemos uso da fatoracao,
como pode ser observado a seguir.
ax2 + bx+ c = 0⇔ ax2 + bx = −c1
a· (ax2 + bx) =
1
a· (−c) ⇔ x2 +
b
ax =−ca
x2 +b
ax +
b
4a2︸ ︷︷ ︸ =−ca
+b
4a2︸ ︷︷ ︸(x+
b
2a
)2
=−4ac+ b2
4a2∣∣∣∣x+b
2a
∣∣∣∣ =
√−4ac+ b2
4a2⇔ x =
−b2a
+
√b2 − 4ac
2|a|,
e, observando que |a| = ±a e
∣∣∣∣x+b
2a
∣∣∣∣ = ±(x+
b
2a
), concluımos que:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a,
que nos fornece duas solucoes para a equacao em questao:
x1 =−b+
√b2 − 4ac
2a, e x2 =
−b−√b2 − 4ac
2a.
Os valores x1 e x2 tambem sao chamados de raızes da equacao do 2o grau.
Vamos denotar o valor calculado dentro do radical acima por ∆ = b2 − 4ac, ou ainda
discriminante (ou delta). Por meio do valor discriminante podemos chegar a seguintes con-
clusoes referentes a quantidade de solucoes da equacao de 2o grau:
• Se ∆ < 0, a equacao nao tem solucoes reais, sendo portanto o conjunto solucao vazio:
S = {∅}.
• Se ∆ = 0, a equacao tem duas solucoes reais iguais, sendo portanto o conjunto solucao
nesse caso, unitario: S = {x1} (ou S = {x2}).
44
• Se ∆ > 0, a equacao tem duas solucoes reais distintas, sendo portanto o conjunto
solucao nesse caso com dois elementos: S = {x1, x2}.
Considerando a equacao de 2o grau ax2 + bx+ c = 0, com a 6= 0, temos que:
1. A soma das raızes da equacao satisfaz:
x1 + x2 =−b2a.
2. O produto das raızes da equacao satisfaz:
x1 · x2 =c
a.
3.6 Inequacoes
As inequacoes sao expressoes (ou relacoes) matematicas que utilizam na sua formatacao, os
seguintes sinais de desigualdades:
• >: maior que
• <: menor que
• ≥: maior ou igual
• ≤: menor ou igual
• 6=: diferente
3.6.1 Inequacoes do 1o grau
As inequacoes do 1o grau com uma variavel podem ser escritas numa das seguintes formas:
ax+ b > 0, ax+ b < 0, ax+ b ≤ 0, ax+ b ≥ 0,
45
com a, b ∈ R e a 6= 0.
Para resolver uma inequacao do 1o grau, procedemos como no caso de equacao do primeiro
grau, com a diferenca de que o conjunto solucao ao inves de apresentar uma quantidade finita
de valores, caso eles existam, vai ser representado por um intervalo de valores que satisfaca
a inequacao.
Exemplo 3.6.1.1. Para resolver a inequacao a seguir, fazemos:
2x− 7 ≥ 0 ⇔ 2x− 7 + 7 ≥ 0 + 7 ⇔ 2x ≥ 7 ⇔ 1
2· 2x ≥ 1
2· 7,
o que resulta em x ≥ 7
2. Ou seja, expressamos o conjunto solucao nesse caso como
S =
{x ∈ R/x ≥ 7
2
}(ou ainda x ∈
[72,∞]).
Exemplo 3.6.1.2. Para resolver a inequacao a seguir, fazemos:
2x− 1
2≤ 0 ⇔ 2x− 1
2+
1
2≤ 0 +
1
2⇔ 2x ≤ 1
2⇔ 1
2· 2x ≤ 1
2· 1
2,
o que resulta em x ≥ 1
4. Ou seja, expressamos o conjunto solucao nesse caso como
S =
{x ∈ R/x ≤ 1
4
}(ou ainda x ∈
[−∞, 1
4,]).
3.6.2 Inequacao do 2o grau
As inequacoes do 2o grau com uma variavel podem ser escritas numa das seguintes formas:
ax2 + bx+ c > 0, ax2 + bx+ c < 0, ax2 + bx+ c ≥ 0, ax2 + bx+ c ≤ 0,
com a, b e c ∈ R e a 6= 0.
Para resolver uma inequacao desse tipo, devemos seguir os seguintes passos:
1. Igualar a equacao do 2o grau a zero e determinar as solucoes (ou raızes) dessa equacao.
46
2. Localizar as raızes reais (caso elas existam) da equacao no eixo x.
3. Estudar o sinal da equacao do 2o grau em cada um dos intervalos determinados no
eixo x. Dividimos a analise desse passo em dois casos, ilustrados nas Figuras 3.2 e 3.3.
Figura 3.2: Caso a > 0. Figura 3.3: Caso a < 0.
Exemplo 3.6.2.1. Para resolver a inequacao 3x2 + 10x + 7 < 0, observamos que como
∆ = 102− 4 · 3 · 7 = 100− 84 = 16 > 0, temos duas raızes reais distintas, x1 e x2 dadas por:
x1 =−10 +
√16
2 · 3=−6
6= −1 e x2 =
−10−√
16
2 · 3=−14
6=−7
3.
Marcando essas duas raızes no eixo x, para estudarmos o sinal da equacao em cada um
dos tres intervalos resultantes, observamos que:
• −3 <−7
3e 3(−3)2+10(−3)+7 > 0. Logo o sinal no intervalo
(−∞, −7
3
)e positivo.
• −7
3< −1.5 < −1 e 3(−1.5)2+10(−1.5)+7 < 0. Logo o sinal no intervalo
(−7
3,−1
)e
negativo.
47
• −1 < 0 e 3(0)2 + 10(0) + 7 > 0. Logo o sinal no intervalo (−1,∞) e positivo.
• Nos pontos x =−7
3e −1 temos 3
(−7
3
)2
+ 10
(−7
3
)+ 7 = 3(−1)2 + 10(−1) + 7 = 0,
respectivamente.
Observando a Figura 3.4, concluımos entao que, como o objetivo era determinar o inter-
valo de valores de x tal que 3x2 + 10x + 7 < 0, o conjunto solucao dessa inequacao e dado
por:
S =
{x ∈ R /
−7
3< x < −1
}.
Figura 3.4: Estudo do sinal da inequacao 3x2 + 10x+ 7 < 0.
Exemplo 3.6.2.2. Para resolver a inequacao x2 − 6x + 9 > 0, observamos que como ∆ =
(−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36− 36 = 0, temos duas raızes reais iguais, x1 e x2 dadas por:
x1 = x2 =6 +√
0
2 · 1=
6
2= 3.
Marcando essa raiz no eixo x, para estudarmos o sinal da equacao nos dois intervalos
resultantes, observamos que:
• 0 < 3 e 02 − 6 · 0 + 9 > 0. Logo o sinal no intervalo (−∞, 3) e positivo.
• 3 < 4 e 42 − 6 · 4 + 9 > 0. Logo o sinal no intervalo (3,∞) e positivo.
• No ponto x = 3 temos 32 − 6 · 3 + 9 = 0.
48
Observando a Figura 3.5, concluımos entao que, como o objetivo era determinar o intervalo
de valores de x tal que x2 − 6x+ 9 > 0, o conjunto solucao dessa inequacao e dado por:
S = {x ∈ R / x < 3 e x > 3} .
Figura 3.5: Estudo do sinal da inequacao x2 − 6x+ 9 > 0.
3.7 Polinomios em R
Sejam an, an−1, an−2, · · · , a2, a1, a0 numeros reais, e considere igualdade P (x) = anxn +
an−1xn−1 + · · ·+ a2x
2 + a1x1 + a0x
0.
A funcao P = P (x) e denominada funcao polinomial ou polinomio na variavel x.
Os numeros reais an, an−1, an−2, · · · , a2, a1, a0 sao chamados de coeficientes do polinomio.
Observe que um polinomio representa a soma algebrica de monomios na variavel x. Sao
exemplos de polinomios:
F (x) = 3x2 + 2x–5, onde a2 = 3, a1 = 2, a0 = −5;
G(x) = −8x3 − 1, onde a3 = −8, a2 = 0, a1 = 0, a0 = −1.
Observacao: Nao representam polinomios, por exemplo, as funcoes F (x) = x + x1/2 + 2,
devido ao expoente fracionario; G(x) = −3 + 4x+ x−2, devido ao expoente negativo.
49
Definimos o grau de um polinomio P (x) como o maximo grau observado entre os graus de
seus monomios. Alem disso o coeficiente do monomio de grau maximo e chamado coeficiente
dominante do polinomio. Seja α ∈ R. Quando P (α) = 0, dizemos que α e raiz do polinomio
P (x).
As operacoes de adicao, subtracao e multiplicacao de polinomios seguem os procedimentos
de algebra simples bem como as propriedades dessas operacoes, levando em conta de que
termos semelhantes podem e devem ser operados de maneira conjunta.
Ja a divisao de dois polinomios quaisquer e feita atraves do metodo da chave, ilustrado
no exemplo da Figura 3.6.
Figura 3.6: Divisao de x3 − 6x2 − x+ 12 por x− 2.
Dados dois polinomios, P (x) (dividendo) e Q(x) (divisor) tal que Q(x) 6= 0, dividir P (x)
por Q(x) e determinar outros dois polinomio, o quociente q(x) e o resto r(x), tais que:
1. P (x) = Q(x).q(x) + r(x);
2. Grau de r(x) menor que grau de Q(x), ou equivalentemente, r(x) = 0.
Observacao: No caso dos coeficientes an, an−1, an−2, · · · , a2, a1, a0 serem complexos, teremos
polinomios complexos, ou em C. As raızes desses polinomios irao estar localizadas, de
maneira mais generica, em C
50
3.8 Exercıcios
1. Calcule:
(a) (3 + x)2
(b) (x+ 5)2
(c) (x+ y)2
(d) (−3x+ 5)2
(e) (a+ ab)2
(f) (2x+ xy)2
(g) (a2 + 1)2
(h) (y3 + 3)3
2. Calcule:
(a) (5–x)2
(b) (y–3)2
(c) (x–y)2
(d) (3x–2y)2
(e) (2x–b)2
(f) (5x2 − 1)2
3. Calcule:
(a) (x+ y) · (x− y)
(b) (y–7) · (y + 7)
(c) (x+ 3) · (x–3)
(d) (2x+ 5) · (2x–5)
(e) (3x–2) · (3x+ 2)
(f) (5x+ 4) · (5x–4)
(g) (3x+ y) · (3x–y)
(h) (1–5x) · (1 + 5x)
4. Calcule:
(a) (x+ y)3
(b) (x–y)3
(c) (m+ 3)3
(d) (a–1)3
(e) (5–x)3
(f) (−a− b)3
(g) (x+ 2y)3
(h) (2x–y)3
51
5. Calcule
(a) (2x+ y) · (4x2–2xy + y2)
(b) (2x− y) · (4x2 + 2xy + y2)
(c) (3x2 − 5y3) · (9x4 + 15x2y3 + 25y6)
6. Simplifique as expressoes.
(a) (x+ 5)2–(x–5)2
(b) (x+ y)2–x2–y2
(c) (2x− y)2 − 4x · (x− y)
(d) (x+ 2) · (x− 7) + (x− 5)(x+ 3)
7. Sabendo que A =3x + 3−x
2e B =
3x − 3−x
2, calcule A+B.
8. Simplifique.
(a)√
72 +√
18− 2√
50
(b)3√
16 + 3√
543√
125
9. Calcule.
(a)(1−√
2)2
(b)(√
10− 1) (√
10 + 1)
10. Existem tres numeros inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que numeros sao
esses?
11. Resolva as equacoes a seguir.
(a) 18x− 43 = 65 (b) 23x− 16 = 14− 17x
52
(c) 10y − 5(1 + y) = 3(2y − 2)− 20
(d) x(x+ 4) + x(x+ 2) = 2x2 + 12
(e)x− 5
10+
1− 2x
5=
3− x4
(f) 4x · (x+ 6)− x2 = 5x2
12. Determine um numero real a tal que
3a+ 6
8=
2a+ 10
6.
13. Resolva as seguintes equacoes na incognita x.
(a)5
x− 2 =
1
4, com x 6= 0.
(b) 3bx+ 6bc = 7bx+ 3bc
14. A soma de um numero inteiro positivo com o quadrado de seu sucessor e igual a 41.
Qual e o produto deste numero pelo seu antecessor?
15. Uma pessoa, em seu antigo emprego, trabalhava uma quantidade de x horas por se-
mana e ganhava R$ 60,00 pela semana trabalhada. Em seu novo emprego, essa pessoa
continua ganhando os mesmos R$ 60,00 por semana trabalhada, porem trabalha 4 ho-
ras a mais por semana e recebe R$ 4,00 a menos por hora trabalhada. Determine o
valor de x.
16. Na divisao dos lucros com seus 20 acionistas, uma empresa distribuiu R$600,00 entre
os preferenciais e R$600,00 entre os ordinarios. Sabe-se que cada acionista preferen-
cial recebeu R$80,00 a menos do que cada acionista ordinario. Determine quantos
acionistas preferenciais esta empresa possui.
17. A equacao do segundo grau 2x2 + 4x+m− 1 = 0, m ∈ R. Determine os valores de m
tais que a equacao admite raızes reais.
18. Considere a equacao do segundo grau x2 + mx + m − 1 = 0 , onde m e um numero
real. Se para um determinado valor de m essa equacao admite raızes reais iguais, entao
determine essas raızes.
53
19. Resolva as seguintes inequacoes a seguir.
(a) 2x+ 1 ≤ x+ 6
(b) 6x+ 3 < 3x+ 18
(c) 8(x+ 3) > 12(1− x)
(d) (3x–1)(x+ 1) ≥ 0
(e) (x+ 4)(x− 4) < 0
20. Sabendo que x = 1 e raiz de p(x) = x3–mx2 + 2, determine o valor de m.
21. Determine o valor numerico do polinomio q(x) = x3 − x2 + 1 para x = 2 e x = −1/2.
22. Os polinomios p(x) = −2x+ a e q(x) = x+ b sao tais que p(x) · q(x) = −2x2− 3x− 1.
Determine o valor de a e b.
23. Divida o polinomio f(x) = 6x4–x3 + 3x2 − x + 1 por g(x) = 2x2 + x–3 utilizando o
metodo da chave.
24. Mostre que a divisao de f(x) = x3 − 1 por g(x) = x–1 e exata, ou seja, r(x) = 0.
25. Descubra para quais valores de p e de q o polinomio f(x) = 4x3 + px + q e divisıvel
por g(x) = 2x2 − x+ 1.
26. Dividindo um polinomio f(x) por x2 + x + 1, obtemos quociente q(x) = x2 − x e o
resto r(x) = −x+ 13. Determine f(x).
27. Dados f(x) = 2x3 + ax+ 3b, a e b constantes reais, e g(x) = x2 − 3x+ 9, determine:
(a) O quociente de f(x) por g(x).
(b) Os valores de a e b para que a divisao desses polinomios seja exata.
