Dissertação baêta neves

MINISTÉRIO DA DEFESA

EXÉRCITO BRASILEIRO

SECRETARIA DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA

Cap ALESSANDRO PICCAGLIA BAÊTA NEVES

EFEITO DAS DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS NO

COMPORTAMENTO TERMOMECÂNICO DAS LIGAS COM

MEMÓRIA DE FORMA

Rio de Janeiro

2002



EFEITO DAS DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS NO COMPORTAMENTO

TERMOMECÂNICO DAS LIGAS COM MEMÓRIA DE FORMA

Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de

Mestrado em Engenharia Mecânica do Instituto

Militar de Engenharia, como requisito parcial para a

obtenção do título de Mestre em Ciências em

Engenharia Mecânica.

Orientador: Prof. Marcelo Amorim Savi – D.Sc.

Rio de Janeiro

2002

2

C2002


Praça General Tibúrcio, 80 – Praia Vermelha

Rio de Janeiro – RJ CEP: 22290-270

Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-

lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer

forma de arquivamento.

É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre

bibliotecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que

esteja ou venha a ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações,

desde que sem finalidade comercial e que seja feita a referência bibliográfica

completa.

Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor e do

orientador.

Baêta Neves, Alessandro Piccaglia Efeito das deformações plásticas no comportamento termomecânico das ligas com memória de forma / Alessandro Piccaglia Baêta Neves. - Rio de Janeiro : Instituto Militar de Engenharia, 2002.

90 f. : il., graf., tab. : - cm. Dissertação (mestrado) - Instituto Militar de Engenharia, 2002. 1. Formação.

3



EFEITO DAS DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS NO COMPORTAMENTO

TERMOMECÂNICO DAS LIGAS COM MEMÓRIA DE FORMA

Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia

Mecânica do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para a obtenção

do título de Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica.

Orientador: Prof. Marcelo Amorim Savi – D.Sc.

Aprovada em 21 de fevereiro de 2002 pela seguinte Banca Examinadora: ____________________________________________________________

Prof. Marcelo Amorim Savi – D.Sc. do IME – Presidente

____________________________________________________________ Prof. Arnaldo Ferreira – Ph.D. do IME

____________________________________________________________ Prof. Raul Rosas e Silva – Ph.D. da PUC-Rio

____________________________________________________________ Prof. Pedro Manuel Calas Lopes Pacheco – D.Sc. do CEFET-RJ

Rio de Janeiro

2002

4

Este trabalho é dedicado à memória de meu Pai,

cujo respeito, amizade, integridade, competência profissional e, sobretudo, carinho, amor e dedicação à família representam a verdadeira orientação que carrego para toda a minha vida.

5

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, agradeço a Deus por ter me dado forças para superar todas as dificuldades

que surgiram durante este curso.

Agradeço, em especial, à minha família que compartilhou de todas as minhas alegrias e

tristezas, sempre me confortando e estimulando para a concretização deste trabalho.

Aos professores do curso de Mestrado em Engenharia Mecânica do IME, pela excelência

das aulas e pela seriedade com que conduzem suas atividades acadêmicas.

Ao professor Pedro Manuel Calas Lopes Pacheco e ao companheiro Eng. Alberto Paiva

por terem colaborado e contribuído de forma relevante para a conclusão deste trabalho.

Aos colegas de curso, em especial ao Cap Eduardo e ao Eng. Luciano, pelo apoio

prestado.

Aos funcionários civis e militares do DE/4 pela dedicação com que realizam suas

funções.

E, finalmente, agradecimento especial ao professor Marcelo Amorim Savi, pelas

orientações objetivas, claras e seguras, pela forma estimulante de conduzir uma atividade de

pesquisa, pela dedicação ao trabalho e, principalmente, pela amizade.

6

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES ......................................................................................8

LISTA DE TABELAS ................................................................................................12

LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS ........................................................13

LISTA DE SIGLAS ....................................................................................................16

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................19

1.1 Organização do Trabalho ...............................................................................22

2 COMPORTAMENTO TERMOMECÂNICO,

APLICAÇÕES E MODELAGEM CONSTITUTIVA .............................24

2.1 Comportamento Termomecânico...................................................................24

2.1.1 Efeito Memória de Forma (SME – Shape Memory Effect) ...........................24

2.1.2 Efeito Pseudoelástico .....................................................................................25

2.1.3 Efeito Memória de Forma Reversível............................................................26

2.2 Aplicações......................................................................................................28

2.3 Equações Constitutivas ..................................................................................30

3 MODELO CONSTITUTIVO PARA MEMÓRIA DE

FORMA COM PLASTICIDADE ...............................................................34

3.1 Efeito das Deformações Plásticas ..................................................................34

3.2 Equações Constitutivas ..................................................................................35

3.3 Procedimento Numérico ................................................................................42

3.4 Simulações Numéricas...................................................................................44

3.5 Considerações Finais .....................................................................................59

4 AJUSTES QUANTITATIVOS ...................................................................61

4.1 Alongamento horizontal do laço de histerese ................................................61

4.2 Parâmetro de Transformação de Fase (L) variável ........................................67

4.3 Parâmetro de Dissipação Interna (η) variável................................................70

4.4 Simulações Numéricas...................................................................................71

7

4.5 Considerações Finais .....................................................................................79

5 CONCLUSÕES............................................................................................82

5.1 Sugestões para Trabalhos Futuros ................................................................83

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................84

8

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIG.2.1: Efeito Memória de Forma ........................................................................... 25

FIG.2.2: Efeito Pseudoelástico .................................................................................. 26

FIG.2.3: Efeito Memória da Forma Reversível (TWSME ) ...................................... 27

FIG.2.4: Aparelhos ortodônticos: pseudoelasticidade............................................... 28

FIG.2.5: Micromanipulador: TWSME ...................................................................... 29

FIG.2.6: Antenas de telefones celulares: pseudoelasticidade .................................... 29

FIG.2.7: Dispositivo de liberação não-pirotécnico: memória de forma .................... 30

FIG.3.1: Tetraedro de restrições. ............................................................................... 38

FIG.3.2: Representação gráfica das subdiferenciais .................................................. 43

FIG.3.3: Representação gráfica do algoritmo de mapeamento de retorno ................ 43

FIG.3.4: Curva de variação da tensão de escoamento em função da

temperatura.................................................................................................. 44

FIG.3.5: Carregamento de tensão prescrita com temperatura constante

T = 333 K > TA............................................................................................. 46

FIG.3.6: Tensão-deformação para pseudoelasticidade sem deformações

plásticas ....................................................................................................... 46

FIG.3.7: Evolução das frações volumétricas para pseudoelasticidade sem

deformações plásticas.................................................................................. 46

FIG.3.8 Carregamento termomecânico para memória de forma sem


FIG.3.9 Tensão-deformação para memória de forma sem


FIG.3.10 Evolução das frações volumétricas para memória de forma sem


FIG.3.11 Carregamento térmico (TM = 291,4 K)........................................................ 49

FIG.3.12 Deformação-temperatura para expansão térmica (TM = 291,4 K)............... 49

FIG.3.13 Evolução das frações volumétricas para expansão térmica

(TM = 291,4 K)............................................................................................. 50

9

FIG.3.14 Carregamento térmico (TM = 307,5 K)........................................................ 50

FIG.3.15 Deformação-temperatura para expansão térmica (TM = 307,5 K)............... 51

FIG.3.16 Carregamento isotérmico (T = 333 K > TA) para pseudoelasticidade

com deformações plásticas.......................................................................... 51

FIG.3.17 Tensão-deformação para pseudoelasticidade com


FIG.3.18 Evolução das frações volumétricas para pseudoelasticidade com


FIG.3.19 Carregamento termomecânico para memória de forma com


FIG.3.20 Tensão-deformação para memória de forma com


FIG.3.21 Evolução das frações volumétricas para memória de forma com


FIG.3.22 Carregamento termomecânico para memória de forma reversível ............. 54

FIG.3.23 Tensão-deformação para memória de forma reversível .............................. 55

FIG.3.24 Deformação-temperatura para memória de forma reversível...................... 56

FIG.3.25 Deformação-temperatura para memória de forma reversível

sem acoplamento ......................................................................................... 57

FIG.3.26 Comparação entre as curvas de evolução das frações volumétricas ........... 57

FIG.3.27 Efeito dos parâmetros de acoplamento para memória

de forma reversível ...................................................................................... 58

FIG.3.28 Efeito dos parâmetros de acoplamento para pseudoelasticidade................. 59

FIG.4.1 Curva experimental tensão-deformação (Efeito Pseudoelástico)................ 61

FIG.4.2 Tensão-deformação para pseudoelasticidade sem deformações

plásticas, com laço de histerese alongado ................................................... 66


plásticas (comparação entre o modelo com laço de histerese alongado

e o modelo sem alongamento)..................................................................... 66


plásticas (parâmetro de transformação de fase ajustado para

L = 26,75 MPa)............................................................................................ 67

10


plásticas (parâmetro de transformação de fase variável)............................. 68

FIG.4.6 Evolução da fração volumétrica austenítica (influência do parâmetro

de transformação de fase variável) .............................................................. 69

FIG.4.7 Evolução da fração volumétrica austenítica (influência do parâmetro

de dissipação interna variável) .................................................................... 71


plásticas (modelo alongado e ajustado)....................................................... 72

FIG.4.9 Carregamento termomecânico para memória de forma sem

deformações plásticas (modelo alongado e ajustado)................................. 73

FIG.4.10 Tensão-deformação para memória de forma sem


FIG.4.11 Evolução das frações volumétricas para memória de forma sem


FIG.4.12 Tensão-deformação para pseudoelasticidade com


FIG.4.13 Evolução das frações volumétricas para pseudoelasticidade com


FIG.4.14 Carregamento termomecânico para memória de forma com


FIG.4.15 Tensão-deformação para memória de forma com


FIG.4.16 Evolução das frações volumétricas para memória de forma com


FIG.4.17 Carregamento termomecânico para memória de forma reversível

(SIMT ) ........................................................................................................ 77

FIG.4.18 Tensão-deformação para memória de forma reversível

(SIMT ) ........................................................................................................ 78

FIG.4.19 Evolução das frações volumétricas para memória de forma reversível

(SIMT ) ........................................................................................................ 78

FIG.4.20 Deformação-temperatura para memória de forma reversível

(SIMT ) ........................................................................................................ 79

11

FIG.4.21 Carregamento de deformação prescrita com temperatura constante

T = 333 K > TA............................................................................................. 80

FIG.4.22 Comparação entre tensão e deformação prescritas para

pseudoelasticidade sem deformações plásticas ........................................... 81

12

LISTA DE TABELAS

TAB.3.1: Propriedades termomecânicas ..................................................................... 45

TAB.4.1: Propriedades termomecânicas para o modelo alongado.............................. 72

13

LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS

A Fase austenítica.

fA Temperatura de fim de formação de austenita.

sA Temperatura de início de formação de austenita.

B Conjunto de forças termodinâmicas associadas às transformações de fase.

Bi Forças termodinâmicas associadas às variáveis internas.

E Módulo de elasticidade.

AE Módulo de elasticidade associado à fase austenítica.

ME Módulo de elasticidade associado à fase martensítica.

) , , ( ZYXf Função de escoamento.

) ( f µγσ ,, Função de escoamento.

F Conjunto de forças termodinâmicas associadas à plasticidade.

H Módulo de endurecimento cinemático.

HA Módulo de endurecimento cinemático associado à fase austenítica.

HM Módulo de endurecimento cinemático associado à fase martensítica.

If Função indicatriz relativa à superfície de escoamento.

) ( ˆ iJ β Função indicatriz para o modelo com restrições internas.

) ( iJ β Função indicatriz para o modelo com restrições internas.

K Módulo de plasticidade.

KA Módulo de plasticidade associado à fase austenítica.

KM Módulo de plasticidade associado à fase martensítica.

L Propriedade do material associada à transformação de fase.

AL Propriedade do material associada à transformação de fase austenítica.

ML Propriedade do material associada à transformação de fase martensítica.

Al Constante de transformação de fase austenítica.

Ml Constante de transformação de fase martensítica.

M Fase martensítica maclada (twinned).

M − Fase martensítica não-maclada (detwinned) associada à compressão.

M + Fase martensítica não-maclada (detwinned) associada à tração.

14

fM Temperatura de fim de formação de martensita.

sM Temperatura de início de formação de martensita.

ℜ Conjunto dos números reais.

s Entropia específica.

t Tempo.

T Temperatura.

CT Temperatura crítica.

AT Temperatura de início de formação de austenita.

MT Temperatura de início de formação de martensita.

0T Temperatura de referência.

ut Unidade de tempo.

V Conjunto de variáveis internas associadas à plasticidade.

X Força termodinâmica relacionada à deformação plástica.

Y Força termodinâmica relacionada ao endurecimento isotrópico.

Z Força termodinâmica relacionada ao endurecimento cinemático.

α Parâmetro associado à transformação de fase.

Hα Parâmetro associado ao alongamento horizontal do laço de histerese.

iβ Frações volumétricas.

γ Variável associada ao endurecimento isotrópico.

ε Deformação axial.

SMAε Deformação recuperável associada às transformações de fase.

pε Deformação plástica.

Rε Deformação residual máxima.

η Parâmetro associado à dissipação interna do material.

ηci Parâmetro de acoplamento isotrópico.

ηck Parâmetro de acoplamento cinemático.

Cη Parâmetro de dissipação interna durante o carregamento.

Dη Parâmetro de dissipação interna durante o descarregamento.

λ Multiplicador de Lagrange (taxa de deformação plástica, pε& ).

µ Variável associada ao endurecimento cinemático.

15

π Conjunto de restrições internas.

ρ Massa específica.

σ Tensão axial.

Rσ Parcela reversível da tensão.

Iσ Parcela irreversível da tensão.

CRITσ Tensão crítica para início da transformação martensítica.

Yσ Tensão de escoamento.

AYσ Tensão de escoamento associado à fase austenítica.

MYσ Tensão de escoamento associado à fase martensítica.

τ Conjunto de restrições internas.

φ Potencial de dissipação.

∗φ Potencial dual de dissipação.

ψ Energia livre de Helmholtz.

iψ Potenciais parciais de energia livre.

Aθ Coeficiente de dilatação térmica associado à fase austenítica.

Mθ Coeficiente de dilatação térmica associado à fase martensítica.

AΩ Coeficiente de expansão térmica associado à fase austenítica.

MΩ Coeficiente de expansão térmica associado à fase martensítica.

16

LISTA DE SIGLAS

SMA: Shape Memory Alloy (Liga com memória de forma)

SME: Shape Memory Effect (Efeito memória de forma)

TWSME : Two-Way Shape Memory Effect (Efeito memória de forma reversível)

SMET: Shape Memory Effect Training (Treinamento com ciclos de efeito memória de

forma)

SIMT : Stress Induced Martensite Training (Treinamento com ciclos de martensita

induzida por tensão)

NOL : Naval Ordnance Laboratory (Laboratório de material bélico naval)

17

RESUMO

As ligas com memória de forma (SMAs) vêm motivando diversas aplicações em diferentes áreas do conhecimento. Os efeitos de memória de forma, pseudoelasticidade, expansão térmica e memória de forma reversível são fenômenos associados às transformações de fase martensíticas presentes nessas ligas. O comportamento termomecânico das SMAs pode ser modelado do ponto de vista microscópico ou macroscópico. O primeiro, microscópico, considera aspectos metalúrgicos, enquanto o segundo, macroscópico, descreve os aspectos fenomenológicos. Este trabalho apresenta um modelo constitutivo unidimensional, com restrições internas, para descrever o comportamento termomecânico das SMAs levando em consideração o efeito das deformações plásticas. A modelagem proposta contempla quatro fases: três variantes martensíticas e uma fase austenítica. Dois módulos elásticos distintos são associados às fases martensítica e austenítica. Uma nova restrição permite a descrição do fenômeno da expansão térmica. O efeito das deformações plásticas é analisado a partir da hipótese da decomposição aditiva, utilizando critério de escoamento linear e formulações lineares para endurecimento cinemático e isotrópico. Um acoplamento plástico-transformação de fase é incorporado ao modelo e permite a descrição do fenômeno da memória de forma reversível. Utiliza-se um procedimento numérico baseado na partição do operador acoplado aos algoritmos de projeção ortogonal e mapeamento de retorno. Ajustes quantitativos são efetuados e os resultados encontrados mostram que o modelo é capaz de descrever o comportamento termomecânico das SMAs.

18

ABSTRACT Shape memory alloys (SMAs) have been motivating different applications in many areas. Shape memory, pseudoelasticity, thermal expansion and two-way shape memory effect are phenomena associated with martensitic phase transformations, which occur in these alloys. The thermomechanical behavior of SMAs may be modeled either by microscopic or macroscopic point of view. On the first microscopic approach, metallurgical aspects are considered. On the other hand, the second approach, macroscopic, phenomenological aspects are focused. This contribution presents a one-dimensional constitutive model, with internal constraint, to describe the thermomechanical behavior of SMAs considering plastic deformations. The proposed theory contemplates four phases: three variants of martensite and an austenitic phase. Two different elastic moduli for austenitic and martensitic phases are considered. A new constraint is employed for a correct description of thermal expansion phenomenon. The plasticity model employs a linear yield criterion and also linear kinematics and isotropic hardening. Additive decomposition hypothesis is assumed. A plastic-phase transformation coupling is incorporated into the model and allows the description of the two-way shape memory effect. A numerical procedure based on operator split technique coupled with orthogonal projection and return mapping algorithms is employed. Quantitative adjustments are developed and numerical results show that the proposed model is capable to describe shape memory alloys thermomechanical behavior.

19

1 INTRODUÇÃO

A expressão LIGAS COM MEMÓRIA DE FORMA (SMAs - Shape Memory Alloys) é

aplicada a uma família de materiais metálicos que, mesmo após serem deformados,

demonstram a habilidade de retornar a uma forma previamente definida, desde que

submetidos a um processo termomecânico apropriado. Esta habilidade é conhecida como

efeito memória de forma (Shape Memory Effect – SME).

As SMAs sofrem transformações de fase martensíticas que podem ser induzidas por um

campo de tensão, temperatura ou pela combinação de ambos.

Para melhor entender a maneira como se processa o efeito memória de forma é

interessante compreender a estrutura cristalográfica de uma SMA. Basicamente, duas fases

estão presentes nestas ligas: austenita (existente nas mais altas temperaturas) e martensita

(existente nas mais baixas temperaturas). Quando uma amostra de SMA é submetida a um

carregamento em uma temperatura onde a fase austenítica é estável, verifica-se o

aparecimento de deformações inelásticas, observadas quando o carregamento ultrapassa uma

determinada tensão crítica. Cessado o carregamento, estas deformações inelásticas são

completamente recuperadas. Em baixas temperaturas, quando a martensita é estável, esta

mesma amostra de SMA apresenta uma deformação residual após um processo de

carregamento e descarregamento. Esta deformação residual pode ser recuperada com o

aquecimento da amostra. No primeiro caso, tem-se o fenômeno da pseudoelasticidade ou

superelasticidade. No segundo caso, o fenômeno recebe a denominação de efeito memória de

forma. Tanto para pseudoelasticidade quanto para memória de forma, existe um limite para a

recuperação das deformações. Este limite é definido pela tensão de escoamento do material, a

partir da qual a amostra passa a se comportar plasticamente, sofrendo deformações

irreversíveis. Um outro fenômeno, igualmente interessante, considera a possibilidade de uma

amostra de SMA mudar de forma dependendo da temperatura. Este fenômeno é denominado

de memória de forma reversível (Two-Way Shape Memory Effect – TWSME ). A associação

de diferentes formas em função de diferentes temperaturas requer um treinamento específico

do material, que pode ser através de ciclos de efeito memória de forma (Shape Memory Effect

Training – SMET) ou ciclos de martensita induzida por tensão (Stress Induced Martensite

Training – SIMT ). Em geral, os ciclos de treinamento consideram níveis de tensão onde são

produzidas deformações plásticas.

20

Em razão de propriedades tão peculiares, as SMAs despertam grande interesse nos

projetistas para o desenvolvimento de aplicações nas mais variadas áreas da indústria, tais

como: mecânica, automotiva, aeroespacial, biomédica, civil e etc. Inúmeros são os produtos

existentes atualmente no mercado que exploram os fenômenos da pseudoelasticidade, da

memória de forma e da memória de forma reversível. Entretanto, a falta de modelos

confiáveis impõe limitações ao crescimento do número de aplicações.

Do ponto de vista metalúrgico, nas SMAs existem 24 variantes martensíticas possíveis,

que estão arranjadas em 6 grupos, com 4 variantes por grupo (ZHANG et al., 1991). Para o

caso unidimensional, é possível considerar somente três variantes de martensita: a martensita

maclada (twinned), que é estável na ausência de tensões e as fases martensíticas não-macladas

(detwinned), induzidas por tensão de tração ou compressão.

O comportamento termomecânico das SMAs pode ser modelado sob a ótica microscópica

ou macroscópica. Os modelos constitutivos consideram os aspectos fenomenológicos deste

comportamento (BIRMAN, 1997). Neste trabalho, a modelagem constitutiva é desenvolvida

sob a ótica macroscópica. Dentro deste princípio, pode-se considerar a seguinte classificação

para os modelos constitutivos das SMAs: modelos polinomiais, modelos baseados em

plasticidade, modelos com cinética de transformação de fase assumida e modelos com

restrições internas.

O modelo polinomial foi proposto por FALK (1980) e é baseado na teoria de Devonshire.

Esse modelo é unidimensional e consegue descrever os comportamentos de memória de

forma e pseudoelasticidade, de uma maneira bem simples, através da definição de um

funcional de energia livre de Helmholtz na forma polinomial (MULLER & XU, 1991).

Os modelos baseados em plasticidade exploram os princípios bem estabelecidos da teoria

da plasticidade. BERTRAM (1982) propôs um modelo tridimensional utilizando conceitos de

endurecimento isotrópico e cinemático. Mamiya e co-autores (SILVA, 1995; SOUZA et al.,

1998; MOTTA et al., 1999) apresentaram modelos capazes de descrever os comportamentos

de memória de forma e pseudoelasticidade utilizando a teoria da plasticidade. Auricchio e co-

autores também apresentaram modelos utilizando essas idéias. Inicialmente para um contexto

unidimensional (AURICCHIO & LUBLINER, 1997; AURICCHIO & SACCO, 1997),

posteriormente, o modelo foi extrapolado para um contexto tridimensional (AURICCHIO et

al., 1997). LECLERQ et al. (1995), GOVINDJEE & KASPER (1997) e GOVINDJEE &

HALL (2000) são outras referências que também exploram a teoria da plasticidade.

21

Os modelos com cinética de transformação de fase assumida consideram que a

transformação de fase é regida por uma função conhecida, que é determinada através de

valores correntes de temperatura e tensão. TANAKA & NAGAKI (1982) foram os primeiros

a apresentar um modelo com esta formulação. Esta teoria deu origem a outros modelos que

apresentam alterações na cinética de transformação, como LIANG & ROGERS (1990),

BRINSON (1993), IVSHIN & PENCE (1994), BOYD & LAGOUDAS (1994), entre outros.

Talvez, pela disponibilidade de um número maior de comprovações experimentais, os

modelos com cinética de transformação de fase assumida sejam os de maior popularidade,

ocupando um importante espaço na modelagem das SMAs.

Os modelos com restrições internas consideram variáveis internas para descrever as

frações volumétricas do material e restrições que estabelecem de que forma as frações

poderão coexistir. Nesse contexto, FREMOND (1987, 1996) desenvolveu um modelo

tridimensional que considera três fases distintas: duas variantes de martensita e uma fase

austenítica. Limitações dessa teoria foram discutidas por SAVI & BRAGA (1993).

ABEYARATNE et al. (1994) descreve a cinética das transformações de fase com o auxílio de

algumas restrições baseadas nas regras de admissibilidade termodinâmicas. O modelo de

Auricchio e co-autores também pode ser incluído nesta classificação. Outras referências

consideradas, são: ACHENBACH & MULLER (1982), BERVEILLER et al. (1991),

GRAESSER & COZZARELLI (1994), BARRET (1995), TERRIAULT et al. (1997) e

PAGANO & ALART (1999).

Em boa parte dos modelos constitutivos disponíveis na literatura, as deformações

plásticas passaram a ser incluídas na formulação, na intenção de poder permitir que se

avaliem os efeitos destas deformações irreversíveis nas transformações de fase e também na

descrição do fenômeno da memória de forma reversível (BO & LAGOUDAS, 1999;

GOVINDJEE & HALL, 2000; DOBOVSEK, 2000; ZHANG & McCORMICK, 2000, I e II;

LEXCELLENT et al., 2000 e MILLER & LAGOUDAS, 2000).

O objetivo deste trabalho é propor um modelo constitutivo unidimensional, com

restrições internas, para descrição do comportamento de uma SMA incorporando os efeitos

associados às deformações plásticas. O modelo proposto é baseado no modelo original de

Fremond e considera quatro fases do material na formulação: três variantes de martensita e

uma fase austenítica (PAIVA, 2000). A terceira variante incluída na formulação corresponde

à martensita maclada (twinned) e permite descrever uma fase estável quando o material está

em baixas temperaturas e livre de tensões. Uma outra importante característica do modelo

22

proposto é a consideração de módulos elásticos distintos para as fases austenítica e

martensítica.

Além disso, são incorporados novos funcionais e novas restrições que permitem

descrever o fenômeno da expansão térmica e avaliar os efeitos das deformações plásticas nas

SMAs. Em plasticidade, é utilizada uma formulação linear para descrição da superfície de

escoamento e o efeito do endurecimento é representado por uma combinação de

endurecimento isotrópico com endurecimento cinemático, também utilizando formulações

lineares. Um acoplamento plástico-transformação de fase é incorporado ao modelo.

Desenvolve-se um procedimento numérico iterativo baseado na técnica de partição do

operador (ORTIZ et al., 1983), com algoritmo de projeção (SAVI & BRAGA, 1993) e

mapeamento de retorno (SIMO & TAYLOR, 1986; SIMO & HUGHES, 1998). Os resultados

obtidos mostram que o modelo proposto é capaz de descrever, qualitativamente, as principais

características do comportamento termomecânico das ligas com memória de forma.

1.1 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Este trabalho está organizado em cinco capítulos. Neste primeiro capítulo é apresentada

uma pequena introdução sobre o tema a ser desenvolvido, incluindo uma motivação à sua

execução e seus principais objetivos.

No segundo capítulo, o comportamento termomecânico é explorado em um nível maior de

detalhamento. As aplicações são apresentadas de uma forma mais ilustrativa, buscando uma

associação com os fenômenos característicos das SMAs. Finalmente, apresenta-se a

formulação do problema através do formalismo dos Materiais Padrão Generalizados.

No terceiro capítulo, é proposto um novo modelo constitutivo para memória de forma com

plasticidade. Inicialmente, são apresentadas as razões que justificam o estudo do efeito das

deformações plásticas nas SMAs. Na seqüência, são formuladas as equações constitutivas,

discutido o procedimento numérico e efetuadas as simulações numéricas.

O capítulo quatro é reservado para ajustes quantitativos. Primeiramente, é proposta uma

nova forma para a energia livre de Helmholtz de modo que o modelo seja capaz de admitir

maiores deformações residuais. Dentro deste contexto, modificações associadas aos

parâmetros de transformação de fase e de dissipação interna do material são introduzidas e os

resultados das simulações numéricas mostram uma maior coerência com os resultados

experimentais disponíveis na literatura.

23

O quinto capítulo é destinado a conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

24

2 COMPORTAMENTO TERMOMECÂNICO, APLICAÇÕES E MODELAG EM

CONSTITUTIVA

Este capítulo tem como objetivo descrever as principais características do comportamento

termomecânico das ligas com memória de forma. Algumas aplicações são apresentadas e as

ilustrações exemplificam que tipo de fenômeno macroscópico está sendo explorado. Por fim,

é apresentado o formalismo dos Materiais Padrão Generalizados, adotado para a formulação

das equações constitutivas.

2.1 COMPORTAMENTO TERMOMECÂNICO

As transformações de fase podem ser induzidas pela imposição de um campo de tensões,

de temperatura ou ainda, através da combinação de ambos. Esta natureza de acoplamento

tensão/temperatura proporciona o aparecimento de alguns fenômenos macroscópicos que

dependem das quantidades presentes de cada fase e do nível de tensão e/ou temperatura

aplicados ao material, são eles: memória de forma, pseudoelasticidade, memória de forma

reversível, entre outros.

A descrição destes fenômenos macroscópicos requer a definição das temperaturas que

caracterizam as transformações de fase, são elas:fM - Temperatura de fim de formação de

martensita, sM - Temperatura de início de formação de martensita, sA - Temperatura de início

de formação de austenita efA - Temperatura de fim de formação de austenita. A seguir são

descritos os principais fenômenos associados às SMAs.

2.1.1 Efeito Memória de Forma (SME – Shape Memory Effect)

Considere uma amostra de SMA a uma temperatura abaixo da temperatura final de

formação da martensita ( fMT < ). Após um processo de carregamento e descarregamento

(mantendo fMT < ) a liga apresenta uma deformação residual que pode ser recuperada

através do aquecimento da amostra a uma temperatura acima da temperatura final de

formação da austenita ( fAT > ). A FIG.2.1 representa a curva tensão-deformação para esta

amostra. O ponto A corresponde à tensão crítica para transformação de fase e marca o início

25

do processo de reorientação da martensita, que passa da variante maclada (twinned) para a

não-maclada (detwinned). A partir do ponto B, a amostra volta a apresentar uma resposta

elástica na variante não-maclada. Cessado o carregamento mecânico, o material apresenta

uma deformação residual (ponto C) que pode ser eliminada com um carregamento térmico

(trecho CO).

FIG.2.1 Efeito Memória de Forma.

O exemplo anterior também é conhecido como efeito memória de forma de uma via (One

Way Shape Memory Effect), assim denominado porque a amostra consegue recuperar sua

forma original mediante um aquecimento adequado. Um resfriamento posterior, no entanto,

não é capaz de recuperar o estado deformado da amostra.

2.1.2 Efeito Pseudoelástico

Considere uma amostra de SMA a uma temperatura acima da temperatura final de

formação da austenita ( fAT > ). Com a aplicação de um carregamento a amostra experimenta

uma transformação de fase da austenita para a martensita induzida por tensão, representada

pelo trecho AB da FIG.2.2. Ao descarregar (sempre mantendo fAT > ), a amostra

experimenta uma transformação inversa (trecho CD), e continua descarregando até que a

deformação se anule (trecho DO).

É importante destacar o aparecimento de um laço de histerese, região compreendida entre

os pontos A, B, C e D da FIG.2.2. Caso a amostra se encontrasse numa faixa de temperatura

fs ATA << , esta recuperação não se processaria de forma completa, restando assim, uma

A

T > 0

σ

ε

εR

B

σCRIT

C O

26

FIG.2.2 Efeito Pseudoelástico.

pequena deformação residual. Este comportamento é conhecido como pseudoelasticidade

parcial e a deformação residual pode ser recuperada através do aquecimento da amostra acima

de fA , analogamente ao efeito de memória de forma.

2.1.3 Efeito Memória de Forma Reversível

O efeito de memória de forma reversível (Two-Way Shape Memory Effect – TWSME ) é

conseguido após submeter o material a um processo de treinamento que permite associar uma

forma para cada fase, em função da variação de temperatura.

Existem dois processos de treinamento para obtenção do efeito memória de forma

reversível: Processo SMET e processo SIMT .

No processo SMET a liga é submetida a uma série de ciclos de resfriamento-deformação-

aquecimento, cuja repetição é capaz de induzir a reorientação da martensita após o

resfriamento.

Conforme observado na FIG.2.3, durante o primeiro ciclo, uma amostra de SMA é

submetida a um carregamento até que o limite de escoamento da fase produto Yσ (ponto A)

seja superado, para uma temperatura constante fMT < , gerando um campo de tensões

residuais. Cessado o carregamento (ponto B) a amostra é aquecida até uma temperatura

fAT > (ponto C) e, em seguida, resfriada até a temperatura inicial fMT < (ponto D). A

repetição desse processo diversas vezes, induz a reorientação da martensita após o

resfriamento (trecho CD), conferindo à amostra a propriedade de assumir uma forma

associada à fase austenítica (ponto C) quando for aquecida e uma forma associada à fase

A

σ

ε

B

σCRIT

D C

O

27

FIG.2.3 Efeito Memória de Forma Reversível (TWSME ).

martensítica maclada (ponto D) quando for resfriada.

O processo SIMT (Stress-Induced Martensite Training) explora o fenômeno da

pseudoelasticidade. O efeito memória de forma reversível é conferido à liga mediante o

aparecimento da martensita não-maclada (detwinned). Quando uma amostra de SMA é

repetidamente deformada sob condições de carregamento acima do limite de escoamento da

fase produto Yσ , para uma temperatura fAT > , obtém-se martensita induzida por tensão ou

martensita não-maclada (detwinned). Cessado o carregamento, existe uma fração de

martensita não-maclada que não é convertida em austenita durante a transformação inversa,

obtendo-se a forma associada à fase matriz austenítica. Através do resfriamento da amostra a

uma temperatura fMT < , obtém-se outra forma associada à martensita maclada e o efeito

memória de forma reversível pode ser controlado para ambas as formas através do

aquecimento e do resfriamento adequado da amostra.

Independentemente do processo de treinamento utilizado, o fenômeno da memória de

forma reversível pressupõe deformações plásticas no material. A evolução das deformações

plásticas afeta a reversibilidade do efeito memória, diminuindo significativamente a parcela

recuperável da deformação (MILLER & LAGOUDAS, 2000).

A

σ

ε B

σY

D

C

σCRIT 2º ciclo

1º ciclo

T < Mf

T

Mf Ms

As Af

28

2.2 APLICAÇÕES

As SMAs possuem aplicações nos mais variados ramos industriais. Dentre as mais

utilizadas, pode-se destacar as ligas de Níquel-Titânio, também denominadas de Nitinol, em

razão de terem sido desenvolvidas pelo Naval Ordnance Laboratory – NOL , na década de

sessenta (BUEHLER & WILEY, 1965). Com grande parte das aplicações concentradas na

área biomédica, a ampla utilização das ligas de Níquel-Titânio talvez se explique pela

excelente biocompatibilidade que elas possuem.

A complexidade do comportamento termomecânico, aliada à dificuldade de definição de

determinadas propriedades materiais destas ligas, fortemente influenciadas por variações de

composição química, tratamento térmico, trabalho mecânico, etc., contribuem para restringir

as principais aplicações na forma unidimensional, através de fios, fibras, arames ou mesmo

barras de memória de forma.

Dispositivos para controle estático e dinâmico de vibrações que, em geral, utilizam fibras

de memória de forma embebidas em uma matriz de material compósito (ROGERS et al.,

1991; BIRMAN et al., 1996; BIRMAN, 1997; CHEN & LEVY, 1999; CHOI et al., 1999;

LEE et al., 1999 e PIETRZAKOWSKI, 2000), atuadores termosensíveis, atuadores robóticos

que tentam reproduzir os movimentos dos músculos humanos (ROGERS, 1995; FUJITA &

TOSHIYOSHI, 1998; WEBB et al., 2000 e GARNER et al., 2001), arames para armações de

óculos, diversos instrumentos cirúrgicos e odontológicos, arames para aparelhos ortodônticos,

conforme a FIG. 2.4, e outras aplicações biomédicas (STICE, 1990; AIROLDI & RIVA,

FIG.2.4 Aparelhos ortodônticos: pseudoelasticidade.

29

1996; LAGOUDAS et al., 1999 e DUERIG et al., 1999) , micromanipuladores, conforme a

FIG.2.5, que exploram o fenômeno da memória de forma reversível, antenas de telefones

celulares, conforme a FIG.2.6, dispositivos de liberação não-pirotécnicos para a indústria

aeroespacial (BUSCH et al., 1992 e PACHECO & SAVI, 2000), conforme a FIG.2.7,

válvulas termosensíveis (Frangivalves), entre outros, são alguns exemplos de utilização das

SMAs em aplicações de diferentes áreas.

FIG.2.5 Micromanipulador: TWSME .

FIG.2.6 Antenas de telefones celulares: pseudoelasticidade.

30

FIG.2.7 Dispositivo de liberação não-pirotécnico: memória de forma.

2.3 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS

As equações constitutivas que descrevem de forma termodinamicamente consistente o

comportamento de um determinado material podem ser formuladas segundo o formalismo

adotado para Materiais Padrão Generalizados.

O estado termodinâmico de um material num dado instante pode ser plenamente definido

conhecendo-se os valores de um determinado número de variáveis, denominadas variáveis de

estado. O conjunto de variáveis de estado é composto pelas variáveis observáveis e pelas

variáveis internas.

Em fenômenos reversíveis, como a elasticidade, o estado do material depende, a cada

instante, unicamente das variáveis observáveis. São adotadas como variáveis observáveis a

temperatura e a deformação.

Em fenômenos dissipativos, é necessário considerar variáveis internas que representem

modificações ocorridas no estado termodinâmico do material. Estas variáveis levam em

consideração a história do comportamento do material, tal como deformação plástica, índice

de dano, fração volumétrica de um microconstituinte, índice de encruamento, entre outros

(LEMAITRE & CHABOCHE, 1990).

31

Considere a desigualdade de Clausius-Duhem, na forma unidimensional, sem fluxo ou

geração de calor, onde σ é a tensão, ε é a deformação, ρ é a massa específica, ψ é a Energia

livre de Helmholtz, T é temperatura e s é a entropia específica.

( ) 0≥+− sT&&& ψρεσ (2.1)

Como hipótese, admite-se a energia livre com a seguinte forma ) , , ,( VT βεψψ = , onde

β e V representam conjuntos de variáveis internas que auxiliam na descrição dos fenômenos.

β está associado às frações volumétricas das diferentes fases do material e V está associado à

deformação plástica e ao endurecimento. Entende-se por endurecimento, a maneira pela qual

as deformações plásticas afetam a superfície de escoamento do material. O fenômeno pode ser

modelado combinando efeitos de endurecimento isotrópico com endurecimento cinemático.

No primeiro ocorre uma expansão da superfície de escoamento, enquanto que no segundo

observa-se uma translação desta mesma superfície.

Tomando a taxa de variação da energia livre ) ψ&( e substituindo em (2.1) obtêm-se as

forças termodinâmicas associadas:

∂∂=

εψρσ

R (2.2)

∂∂−=

βψρB (2.3)

Ts

∂∂−= ψ

(2.4)

∂∂−=

VF

ψρ (2.5)

onde Rσ é a parcela reversível da tensão e B e F são conjuntos de forças termodinâmicas

associadas, respectivamente, aos conjuntos de variáveis internas β e V.

32

Como os fenômenos são dissipativos, é necessário o uso das equações complementares.

Para isso, admite-se, também por hipótese, o potencial de dissipação com a seguinte forma:

) ,,( V&&& βεφφ = . Desta maneira, são definidos os fluxos termodinâmicos associados:

εφσ&

∂∂=I (2.6)

∂∂−=

∂∂=

βψρ

βφ

&

B (2.7)

∂∂−=

∂∂=

VVF

ψρφ

&

(2.8)

onde Iσ é a parcela irreversível da tensão.

Com isso, tem-se o conjunto de equações constitutivas para completa descrição do

comportamento de um material com memória de forma e plasticidade:

εφ

εψρσ

&

∂∂+

∂∂= (2.9)

∂∂−=

∂∂=

βψρ

βφ

&

B (2.10)

∂∂−=

∂∂=

VVF

ψρφ

&

(2.11)

Ts

∂∂−= ψ

(2.12)

Alternativamente, é possível definir o potencial dual de dissipação, na seguinte forma:

) , ,( FBIσφφ ∗∗ = . O que resulta nas seguintes relações: Iσ

φε∂∂=

∗ & ,

B∂∂=

∗φβ & e

FV

∂∂=

∗φ & .

33

Para que a Segunda Lei da Termodinâmica seja automaticamente satisfeita, os potenciais

de dissipação devem ser definidos como funções positivas, convexas e nulas na origem

(ROCKAFELLAR, 1970 e LEMAITRE & CHABOCHE, 1990).

34

3 MODELO CONSTITUTIVO PARA MEMÓRIA DE FORMA COM

PLASTICIDADE

Este capítulo é destinado à apresentação de um novo modelo para descrição do

comportamento de uma SMA, considerando os efeitos das deformações plásticas.

Primeiramente, são discutidas as razões que justificam o interesse em incluir na modelagem

constitutiva das SMAs o fenômeno da plasticidade. Em seguida, são formuladas as equações

constitutivas, discutido os algoritmos empregados para solução numérica e, por fim, são

efetuadas as simulações numéricas e comentados os resultados obtidos.

3.1 EFEITO DAS DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS

A análise do efeito das deformações plásticas nas transformações de fase martensíticas

pode contribuir para uma correta compreensão do comportamento termomecânico das SMAs.

Neste sentido, relacionar as leis de evolução da plasticidade com a memória de forma possui

grande interesse. MILLER & LAGOUDAS (2000) comentam que atuadores SMA podem

apresentar sensíveis perdas da capacidade de atuação, através do desenvolvimento de

deformações plásticas durante sua vida útil. Consideram-se como principais efeitos das

deformações plásticas a redução das temperaturas de transformação, a obtenção de menores

deformações reversíveis, o aumento da tensão de escoamento da fase martensítica e o

endurecimento.

A rotina de treinamento para obtenção do fenômeno da memória de forma reversível

admite a existência de deformações plásticas. Assim, a união entre memória de forma e

plasticidade também é importante na modelagem do fenômeno TWSME (BO &

LAGOUDAS, 1999; DOBOVSEK, 2000; GOVINDJEE & HALL, 2000 e ZHANG &

McCORMICK, 2000).

Entende-se como deformação Two-Way, a deformação desenvolvida durante a

transformação de fase da austenita para a martensita, sob um ciclo térmico livre de tensões

(MILLER & LAGOUDAS, 2000). A deformação Two-Way é resultado de discordâncias que

orientam a formação preferencial de uma determinada variante martensítica. Esta preferência

é responsável pelas variações macroscópicas de forma do material. O fenômeno existe

enquanto as discordâncias não desaparecerem (LEXCELLENT et al., 2000).

35

As deformações plásticas produzidas pelo ciclo de tensões aplicado no treinamento de

uma SMA interferem nas transformações de fase, principalmente impedindo que elas sejam

completas. As transformações de fase incompletas podem produzir um fenômeno conhecido

como perda de memória. A quantidade de memória perdida é função da deformação plástica

do material (GOVINDJEE & KASPER, 1997).

3.2 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS

O modelo apresentado por FREMOND (1987, 1996) é um modelo tridimensional para

resposta termomecânica de SMAs, onde as transformações martensíticas são descritas com o

auxílio de duas variáveis internas. Estas variáveis representam as frações volumétricas de

duas variantes martensíticas (M+ e M−) e devem satisfazer restrições relativas à coexistência

de três fases distintas, sendo a terceira a fase matriz austenítica (A). Foi observado que o

modelo de Fremond pode não apresentar bons resultados em problemas tridimensionais

(SAVI & BRAGA, 1993a). Entretanto, em problemas unidimensionais, o modelo consegue

apresentar bons resultados, do ponto de vista qualitativo.

Neste trabalho, o modelo utilizado é derivado do modelo original de Fremond, com a

inclusão de uma nova variante associada à martensita maclada (twinned) e a consideração de

módulos elásticos distintos para as diferentes fases do material (PAIVA, 2000). Como

contribuição, para estudo do efeito das deformações plásticas, considera-se na formulação dos

funcionais de energia livre do material, a inclusão de expressões associadas aos fenômenos da

expansão térmica (PAIVA et al., 2001) e da plasticidade. Um acoplamento entre

transformação de fase e plasticidade também é incorporado e sua principal contribuição é

permitir a modelagem do fenômeno da memória de forma reversível.

A modelagem constitutiva segue o formalismo dos Materiais Padrão Generalizados,

garantindo que o modelo adotado seja termodinamicamente consistente (LEMAITRE &

CHABOCHE, 1990). Com esta hipótese, o comportamento termomecânico pode ser descrito

pela Energia Livre de Helmholtz, ψ, e o potencial dual de dissipação, ∗φ . O estado

termodinâmico é completamente definido por um número finito de variáveis de estado:

deformação, ε, temperatura, T, frações volumétricas das variantes martensíticas, β1 e β2, que

estão associadas às variantes martensíticas não-macladas (detwinned), induzidas por tensão de

tração e compressão (M+ e M−, respectivamente), β3, que está associada à fase austenítica (A)

e a quarta fase (M), que está associada à martensita maclada (twinned), cuja fração

36

volumétrica é β4. O fenômeno da plasticidade é descrito por um conjunto de variáveis V =

] , , [ µγε pV , onde pε é a deformação plástica, γ é a variável associada ao endurecimento

isotrópico e µ é a variável associada ao endurecimento cinemático. O efeito do endurecimento

é representado por uma combinação de efeitos associados à translação e expansão da

superfície de escoamento do material, respectivamente endurecimento cinemático e

isotrópico. Admite-se a decomposição aditiva, e a deformação total, ε, pode ser dividida em

uma parcela recuperável, relativa à transformação de fase, SMAε , normalmente considerada na

descrição do comportamento das SMAs e uma parcela plástica, pε .

pSMA εεε += (3.1)

Assumindo-se as hipóteses estabelecidas, são considerados os seguintes funcionais de

energia livre para cada uma das fases do material:

M+ : 220

21 2

1

21

)( )()()(21 µγεεΩεεαεεψρ

MM

pM

ppM H

KTTE ++−−−−−−= (3.2)

M− : 220

22 2

1

2

1)( )()()(

2

1 µγεεΩεεαεεψρM

Mp

Mpp

M HKTTE ++−−−−+−= (3.3)

A : 220

23 2

1

2

1)( )()()(

2

1 µγεεΩεεψρA

Ap

AMM

ApA H

KTTTTT

LE ++−−−−−−= (3.4)

M : 220

24 2

1

2

1)( )()()(

2

1 µγεεΩεεψρM

Mp

MMM

MpM H

KTTTTT

LE ++−−−−+−= (3.5)

onde α, LM=LM(T) e LA=LA(T) são parâmetros do material que descrevem as transformações

martensíticas; EM e EA representam os módulos de elasticidade para as fases martensítica e

austenítica; ΩM e ΩA representam os coeficientes de expansão térmica para as fases

martensítica e austenítica; KM e KA são os módulos de plasticidade para as fases martensítica e

austenítica, enquanto HM e HA são os módulos de endurecimento cinemático para as fases

martensítica e austenítica, respectivamente; TM é a temperatura de início de formação da

37

martensita, enquanto T0 é a temperatura de referência e ρ é a massa específica. A energia livre

total da mistura pode ser obtida por um somatório, da seguinte forma:

)(ˆ),,,,(),,,,,(ˆ4

1i

i

pii

pi TT βµγεεψβρµγεβεψρ J+= ∑

=

(3.6)

onde as frações volumétricas devem satisfazer restrições relativas à coexistência de quatro

fases distintas do material:

10 ≤≤ iβ (i=1,2,3,4) ; 14321 =+++ ββββ (3.7)

As variantes martensíticas não-macladas (detwinned), M+ e M−, somente são induzidas

por um campo de tensões. A fim de incluir este aspecto físico, uma nova restrição deve ser

escrita:

0 e 0se0 2121 ===== SS ββσββ (3.8)

onde S1β e S

2β fornecem informações a respeito da história do carregamento e correspondem,

respectivamente, aos valores de β1 e β2 quando se inicia o processo de transformação de fase.

Com estas considerações, J é a função indicatriz do conjunto convexo τ (ROCKAFELLAR,

1970):

( )

=====

=+++=≤≤ℜ∈=

0 e 0se0

1; ; 4 3, 2, 1, 10

2121

4321

SS

ii

i ββσββ

ββββββτ (3.9)

Utilizando-se as restrições apresentadas e substituindo-se na EQ.3.6, a fração

correspondente à β4 pode ser eliminada e a energia livre pode ser reescrita da seguinte forma:

),,() , , , , , , , (~) , , , , , , , ( 321321321 βββµγεβββεψρµγεβββεψρ J+= pp TT (3.10)

38

onde,

+

−−−+

−−−−= ) ( )( ) ( )( ~ 21 M

M

MpM

M

Mp TTT

LTT

T

L εεαβεεαβψρ

( ) ( ) +

−−−−−+−−−+ )()()(

)( ) (

21

0 2

3p

MAMM

MApMA TTTT

T

LLEE εεΩΩεεβ

+

−+−+ 22

2

1

2

1) (

2

1 µγMA

MA HHKK

220

2

21

21

)( )( ) ( )( 21 µγεεΩεε

MM

pMM

M

MpM H

KTTTTT

LE ++−−−−+−+ (3.11)

Agora, J representa a função indicatriz do conjunto π, cujo domínio é dado pelo tetraedro

representado na FIG.3.1.

FIG.3.1 Tetraedro de restrições.

( )

=====

≤++=≤≤ℜ∈=

0 e 0se0

1; ; 3 , 2 , 1 10

2121

321

SSi

ii

ββσββ

βββββπ (3.12)

1

1

1

M M +

β1

M –

β2

β3 A

39

As equações de estado são obtidas a partir da energia livre de Helmholtz:

( ) )()( 012 TTE p −−−+−== Ωββαεε∂ε∂ψρσ (3.13)

)()( 11

1 JTTT

LB M

M

Mp ∂−−+−=−∈ εεα∂β∂ψρ (3.14)

)()( 22

2 JTTT

LB M

M

Mp ∂−−+−−=−∈ εεα∂β∂ψρ (3.15)

JHH

KKTT

TTT

LLEEB

MA

MAp

MA

MM

MApMA

32

20

2

33

21

21

)(21

))()((

)())((21

∂−

−−

−−−−−−+

+−++−−−=∂∂−∈

µ

γεεΩΩ

εεβψρ

(3.16)

σΩββαεεεψρ =−−−+−=

∂∂−= )( ) ( )( 012 TTEX p

p (3.17)

γγψρ KY −=

∂∂−= (3.18)

µµψρ

HZ

1−=∂∂−= (3.19)

onde Bi são as forças termodinâmicas relacionadas com as transformações de fase do material;

σ representa a tensão uniaxial; X, Y e Z compõem o conjunto de forças termodinâmicas

],,[ ZYXFF = relacionadas com o fenômeno da plasticidade e i∂ são as subdiferenciais da

função indicatriz J em relação às variáveis βi (ROCKAFELLAR, 1970). Os multiplicadores

de Lagrange constituem uma boa alternativa para representar as subdiferenciais de uma

função indicatriz (SAVI & BRAGA, 1993b). Complementando, as seguintes definições foram

consideradas:

)(3 AMM EEEE −−= β (3.20)

40

)(3 AMM ΩΩβΩΩ −−= (3.21)

)(3 AMM KKKK −−= β (3.22)

−−=

AMM HHHH

11113β (3.23)

Admitindo-se o acoplamento entre plasticidade e transformação de fase, assume-se a

seguinte formulação para o potencial dual de dissipação:

[ ] fckcickcickci IZYBZYBZYB +−−++++++= 23

22

21

* )()()(21 ηηηηηηη

φ (3.24)

onde If é a função indicatriz relativa à superfície de escoamento, definida pela função:

)( YHZXf Y −−+= σ (3.25)

O parâmetro η está associado à dissipação interna do material, enquanto ηci e ηck são

parâmetros relacionados com o acoplamento plástico-transformação de fase. O parâmetro ηci

está associado ao efeito do endurecimento isotrópico e o parâmetro ηck está associado ao

efeito do endurecimento cinemático. Desta forma, são obtidas as seguintes equações

complementares:

H

KB

ZYB ckcickci

B

µη

ηγηη

ηηη

ηη

ηφβ −−=++=∂∈ 11*

1 1

& (3.26)

H

KB

ZYB ckcickci

B

µη

ηγη

ηηη

ηη

ηη

φβ −−=++=∂∈ 22*2

2

& (3.27)

H

KB

ZYB ckcickci

B

µη

ηγηη

ηηη

ηη

ηφβ ++=−−=∂∈ 33*

3 3

& (3.28)

)(sign)(sign * µσλλφε −=+=∂∈ HZXXp& (3.29)

41

)()( 321321* βββηεβββηλφγ &&&&&&&& −++=−++=∂∈ ci

pciY (3.30)

)()()(sign 321321* βββηεβββηλφµ &&&&&&&& −++=−+++=∂∈ ck

pckZ HZHXH (3.31)

onde λ são os multiplicadores de Lagrange (plastic multiplier). A natureza irreversível do

fluxo plástico é representada através das condições de Kuhn-Tucker. Uma outra restrição deve

ser satisfeita quando 0),,( =µγσf . Esta restrição é denominada de Condição de Consistência

e corresponde a um requisito físico para que a tensão permaneça na superfície de escoamento.

Estas condições podem ser agrupadas sob a seguinte forma (SIMO & HUGHES, 1998):

0≥λ ; 0) , , ( ≤µγσf ; 0) , , ( =µγσλ f ;

0) , , ( =µγσλ f& se 0) , , ( =µγσf (3.32)

As equações apresentadas formam um conjunto completo de equações constitutivas para

a modelagem de uma liga com memória de forma sob efeito de deformações plásticas. Uma

vez que potencial dual de dissipação é convexo, positivo e nulo na origem, a desigualdade de

Clausius-Duhen é automaticamente satisfeita se a entropia específica for definida como

Ts ∂−∂= /ψ (ERINGEN, 1967) .

Os parâmetros de transformação de fase LM=LM(T) e LA=LA(T) são obtidos assumindo-se

01 =β& e Rεε = em uma temperatura crítica, TC, abaixo da qual não existe mais variação da

deformação residual com a temperatura. O parâmetro Rε representa a maior deformação

residual presente na liga, decorrente de um processo de carregamento termomecânico. Com

estas hipóteses, substituindo-se nas EQ.3.13, 3.14 e 3.26, obtêm-se:

[ ]

MMMM

MMMR TEL

TT L

ΩαΩαε

+−+= )( 0 (3.33)

+−+=MMMM

MMMMC TEL

TELTT

ΩααΩα )( 0 (3.34)

42

A partir da temperatura crítica, deseja-se limitar o deslocamento do laço de histerese, para

CTT < . Para isso, define-se LM(T) de forma que o termo ( )MM

M TTT

TL −)( existente nas

EQ.3.14 e 3.15 permaneça constante para CTT < . Definindo-se LTLTL AM 2)()( =+ , para

qualquer temperatura, obtêm-se:

( )( )

se ,

se ,

)(

<−−=

≥==

CM

MCM

CM

M TTTT

TTLL

TTLL

TL (3.35)

( )( )

se , 2

se ,

)(

<

−−−=

≥=

=C

M

MCA

A

A TTTT

TTLLL

TTLL

TL

C

(3.36)

onde L pode ser calculado da seguinte forma:

−

+=12

)( 2

M

A

RMA

T

T

EEL

ε (3.37)

sendo AT a temperatura de início de formação da austenita (PAIVA, 2000).

3.3 PROCEDIMENTO NUMÉRICO

Para lidar com as não-linearidades existentes na formulação do problema, a solução do

conjunto de equações constitutivas emprega a técnica de partição do operador (ORTIZ et al.,

1983) associada a um algoritmo de projeção ortogonal (SAVI & BRAGA, 1993b).

Inicialmente, o procedimento isola as subdiferenciais e utiliza o método de Euler implícito

para calcular as frações volumétricas. Caso os valores calculados não atendam às restrições

representadas pelo tetraedro da FIG.3.1, as projeções ortogonais, que representam as

subdiferenciais da função indicatriz J, se encarregam de projetar as variáveis até o ponto mais

próximo da superfície do tetraedro, garantindo que as frações volumétricas calculadas

obedeçam às restrições internas impostas pelo modelo (FIG.3.2).

43

FIG.3.2 Representação gráfica das subdiferenciais.

O comportamento elasto-plástico é simulado utilizando-se o algoritmo de mapeamento de

retorno (return mapping), proposto por SIMO & TAYLOR (1986), representado graficamente

na FIG.3.3. Neste algoritmo, define-se um estado tentativo, através de um passo preditor

elástico, utilizando-se o método de Euler implícito nas equações de evolução. Se 01 ≤+teste

nf ,

significa que o estado tentativo é verdadeiro e o material permanece na região elástica. Por

outro lado, se 01 >+teste

nf , o estado tentativo é falso, ou seja, o material se encontra fora da

região elástica, fazendo-se necessária uma correção plástica. Esta correção corresponde a uma

projeção denominada de mapeamento de retorno (SIMO & TAYLOR, 1986; SIMO &

HUGHES, 1998).

FIG.3.3 Representação gráfica do algoritmo de mapeamento de retorno.

mapeamento de retorno

εn+1

∆εn

σn

σn+1

σn+1 teste

εn+1 p

ε

σ

O

1

1

1

M M + β1

M –

β2

β3

A

44

3.4 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

Este item considera simulações para os casos de pseudoelasticidade e de memória de

forma, na presença ou não de deformações plásticas; expansão térmica e memória de forma

reversível. Para os casos de pseudoelasticidade plástica e memória de forma reversível são

consideradas simulações para avaliação do acoplamento plástico-transformação de fase.

Em todas as simulações são admitidas variações da tensão limite de escoamento do

material em função da temperatura, conforme apresentado na FIG.3.4. Esta consideração é

importante face à grande variação da tensão de escoamento entre as diferentes fases do

material. Admite-se para MTT < que MYY σσ = . Para as demais regiões,

MA

MiA

YAMY

YAM TT

TTTTTTT

−−+−=⇒≤< )()(

,σσσ (3.38)

AF

AfA

YFiA

YYFA TT

TTTTTTT

−−+−=⇒≤< )()(

,, σσσ (3.39)

sendo fAY

,σ definido em uma temperatura FT = 423 K (150°C) tal que, na condição T = 393 K

(120°C), Yσ seja igual a 370 MPa, conforme resultado experimental apresentado por

MILLER & LAGOUDAS (2000).

FIG.3.4 Curva de variação da tensão de escoamento em função da temperatura.

250 300 350 4000

100

200

300

400

500

600

700

TF

MσY

A,f

A,i

σY

σY

TA

σY = 370 MPa

T = 393 K (120oC)

TM

σ Y (

MP

a)

T (K)

45

Considera-se uma amostra de SMA com propriedades típicas de uma liga de Ni-Ti

(TAB.3.1). Esta amostra é submetida a diferentes carregamentos termomecânicos com tensão

e/ou temperatura prescritas.

TAB.3.1 Propriedades Termomecânicas.

AE (GPa) ME (GPa) α (MPa) η (MPa⋅s) AT (K)

67 26,3 89,42 0,07 307,5

MT (K) 0T (K) AΩ (MPa/K) MΩ (MPa/K) MYσ (MPa)

291,4 298 0,74 0,17 200

iAY

,σ (MPa) fAY

,σ (MPa) AK (GPa) MK (GPa) AH (GPa) MH (GPa)

690 257,72 1,4 0,4 0,4 0,11

BRINSON, 1993; MILLER & LAGOUDAS, 2000 e www.sma-inc.com.

De posse das propriedades apresentadas na TAB.3.1 e utilizando-se as EQ.3.33, 3.34,

3.35 e 3.37, calculam-se as seguintes variáveis: Rε = 0,0033; CT = 282,04 K (9,04°C) e L =

9,18 MPa.

Na FIG.3.5, observa-se um carregamento isotérmico, em uma temperatura ATT > de 333

K (60°C), onde a máxima tensão prescrita é inferior à tensão de escoamento da amostra.

Nesta condição, o carregamento não produz deformações plásticas. A curva tensão-

deformação, apresentada na FIG.3.6, contempla o fenômeno da pseudoelasticidade. É

importante notar a distinção entre os módulos de elasticidade das fases austenítica e

martensítica. A FIG.3.7 representa a evolução das frações volumétricas durante o

carregamento. Quando a amostra está livre de tensões, a fase matriz austenítica (A) é estável.

Durante o carregamento em tensão positiva, observa-se a transformação da fase matriz

austenítica para a fase produto martensítica não-maclada, induzida por tensão de tração (M+).

Cessado o carregamento, ocorre a transformação inversa (M+ → A). Comportamento análogo

é observado durante o carregamento em tensão negativa, com a transformação da austenita

(A) em martensita não-maclada, induzida por tensão de compressão (M−), e também para a

46

transformação inversa ao fim do carregamento. É interessante observar que, na ausência de

tensões, a amostra sempre retorna à fase austenítica estável.

FIG.3.5 Carregamento de tensão prescrita com temperatura constante T = 333 K > TA.

FIG.3.6 Tensão-deformação para pseudoelasticidade sem deformações plásticas.

FIG.3.7 Evolução das frações volumétricas para pseudoelasticidade sem deformações

plásticas.

-0,03 -0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,03-6E+8

-4E+8

-2E+8

0E+8

2E+8

4E+8

6E+8

T = 333 K

σ (P

a)

ε

0 2 4 6 8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

A M

M+ M-

Fra

ções

Vol

umét

ricas

t

0 2 4 6 8-6E+8

-4E+8

-2E+8

0E+0

2E+8

4E+8

6E+8

σ (P

a)

t

47

Para um processo de carregamento e descarregamento de tensão prescrita, conforme

apresentado na FIG.3.8(a), desenvolvido em uma temperatura T = 263 K (-10°C) < TM, onde a

fase martensítica é estável, a amostra admite uma deformação residual que pode ser eliminada

com um subseqüente carregamento térmico, conforme FIG.3.8(b). Nestas condições, não são

produzidas deformações plásticas, pois a máxima tensão prescrita do carregamento mecânico

é inferior à tensão de escoamento, para a condição de temperatura em que ele é desenvolvido.

A FIG.3.9 apresenta o efeito memória de forma e o carregamento térmico recupera a

deformação residual produzida após o carregamento mecânico. No detalhe, pode-se observar

o comportamento não-linear do material, referente ao fenômeno da expansão térmica

associada à transformação da martensita maclada em austenita. A curva de evolução das

frações volumétricas (FIG.3.10) mostra que, inicialmente, para um estado livre de tensões, a

amostra se encontra na fase martensítica estável (M). O processo de carregamento induz a

formação da variante não-maclada (M+). Cessado o carregamento, como T < TM, a amostra

permanece na fase M+ . Com o aquecimento, verifica-se primeiramente a transformação M+

→ M, eliminando a deformação residual e, em seguida, quando a temperatura prescrita

ultrapassa TM, ocorre a transformação da fase martensítica maclada (M) para a fase austenítica

(A), mostrado no detalhe.

(a) (b)

FIG.3.8 Carregamento termomecânico para memória de forma sem deformações plásticas.

(a) Tensão prescrita.

(b) Temperatura prescrita.

0 2 4 6 80E+0

0,5E+8

1,0E+8

1,5E+8

2,0E+8

σ (P

a)

t0 2 4 6 8

260

270

280

290

300

310

320

T (

K)

t

48

FIG.3.9 Tensão-deformação para memória de forma sem deformações plásticas.

FIG.3.10 Evolução das frações volumétricas para memória de forma sem deformações

plásticas.

O comportamento associado à expansão térmica é analisado considerando-se um

carregamento térmico, livre de tensões, conforme a FIG.3.11. A curva deformação-

temperatura (FIG.3.12) contempla o fenômeno da expansão térmica. TM define a posição para

o aparecimento do laço de histerese, característico das transformações de fase; Aθ e Mθ são

310300

290280

270260 -0,002

0,0000,002

0,0040,006

0,0080,010

0,0120,0E+0

0,2E+8

0,4E+8

0,6E+8

0,8E+8

1,0E+8

1,2E+8

1,4E+8

1,6E+8

1,8E+8

2,0E+8

σ (P

a)

εT (K)

0 2 4 6 8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2 A M

M+ M-

Fra

ções

Vol

umét

ricas

t

49

os coeficientes de dilatação linear para as fases austenítica e martensítica, respectivamente. Os

resultados experimentais apresentados por JACKSON et al. (1972) mostram uma curva

semelhante, indicando que o modelo proposto é capaz de descrever o acoplamento entre os

fenômenos de transformação de fase e expansão térmica. A FIG.3.13 representa a evolução

das frações volumétricas e mostra a conversão entre a martensita maclada (M) e a austenita

(A).

FIG.3.11 Carregamento térmico (TM = 291,4 K).

FIG.3.12 Deformação-temperatura para expansão térmica (TM = 291,4 K).

É importante observar, pela FIG.3.12, que a amostra experimenta uma dilatação durante o

resfriamento e uma contração durante o aquecimento. Este comportamento está associado às

transformações de fase.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

270

280

290

300

310

320

σ = 0

T (

K)

t

270 280 290 300 310 320-0,00020

-0,00015

-0,00010

-0,00005

0,00000

0,00005

0,00010

0,00015

0,00020

TM = 291,4 K

ΩΜ = EM θΜ

ΩΑ = EA θΑ

ε

T (K)

50

FIG.3.13 Evolução das frações volumétricas para expansão térmica (TM = 291,4 K).

Nesta situação, a deformação Two-Way, que é definida como sendo a deformação

desenvolvida durante um ciclo térmico livre de tensões, é positiva. Contrariando as previsões

teóricas, MILLER & LAGOUDAS (2000) apresentaram resultados experimentais onde a

deformação Two-Way é negativa. Este resultado pode ser explicado em razão da amostra ter

sido tratada termicamente antes do procedimento experimental. Para reproduzir o

comportamento observado por Miller e Lagoudas, uma outra amostra de SMA é agora

submetida a um novo carregamento térmico, conforme FIG.3.14. O efeito do tratamento

térmico pode ser considerado alterando TM = 307,5 K (34,5°C), TANG & SANDSTRÖM

(1995). Uma nova curva deformação-temperatura (FIG.3.15) mostra que é possível o

aparecimento de uma deformação Two-Way negativa, pois o tratamento térmico altera a

posição do laço de histerese.

FIG.3.14 Carregamento térmico (TM = 307,5 K).

0 2 4 6 8 10 12 14 16

270

280

290

300

310

320

330

σ = 0

T (

K)

t

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2 A M

M+ M-

Fra

ções

Vol

umét

ricas

t

51

FIG.3.15 Deformação-temperatura para expansão térmica (TM = 307,5 K).

Considera-se, agora, um carregamento isotérmico, com T = 333 K > TA, cuja máxima

tensão prescrita é superior à tensão de escoamento da amostra (FIG.3.16). Os efeitos das

deformações plásticas são analisados admitindo-se um acoplamento plástico-transformação de

fase com 02,0== ckci ηη . A curva tensão-deformação, representada pela FIG. 3.17,

FIG.3.16 Carregamento isotérmico (T = 333 K > TA) para pseudoelasticidade com

deformações plásticas.

contempla o fenômeno da pseudoelasticidade na presença de deformações plásticas. Durante

o processo de carregamento, após a transformação da fase austenítica para a martensítica não-

maclada, induzida por tensão de tração (A → M+), ultrapassa-se a tensão de escoamento e são

produzidas deformações plásticas. Cessado o carregamento, após a transformação inversa

270 280 290 300 310 320 330

-0,0002

-0,0001

0,0000

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

TM = 307,5 K

ΩM = EM θM

ΩA = EA θA

ε

T (K)

0 1 2 3 40E+0

1E+8

2E+8

3E+8

4E+8

5E+8

6E+8

σ (P

a)

t

52

(M+ → A), a amostra apresenta uma deformação residual irreversível ( pε ), que está

associada à plastificação. A FIG.3.18 representa a evolução das frações volumétricas e mostra

as transformações de fase relacionadas ao fenômeno da pseudoelasticidade com deformações

plásticas para o carregamento considerado.

FIG.3.17 Tensão-deformação para pseudoelasticidade com deformações plásticas.

FIG.3.18 Evolução das frações volumétricas para pseudoelasticidade com deformações

plásticas.

O efeito memória de forma com deformações plásticas é analisado considerando-se a

amostra submetida a um carregamento termomecânico, conforme a FIG.3.19. Novamente, os

fenômenos associados às transformações de fase e à plasticidade estão acoplados com

02,0== ckci ηη . A curva tensão-deformação (FIG.3.20) mostra que, após a transformação da

0 1 2 3 4 5

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2 A M

M+ M-

Fra

ções

Vol

umét

ricas

t

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350E+0

1E+8

2E+8

3E+8

4E+8

5E+8

6E+8

ε p

T = 333 K

σ (P

a)

ε

53

martensita maclada em martensita não-maclada (M → M+), o carregamento ultrapassa a

tensão de escoamento e são produzidas deformações plásticas. Cessado o carregamento,

obtém-se uma deformação residual composta por uma parcela irreversível (pε ), associada à

plastificação, e uma parcela reversível, associada ao fenômeno da transformação de fase. O

carregamento térmico, desenvolvido após o carregamento mecânico, consegue recuperar,

através da transformação de fase M+ → M, somente a parcela associada à transformação de

fase. A curva de evolução das frações volumétricas (FIG.3.21) representa as transformações

de fase e mostra que, ao final do carregamento térmico, a amostra se encontra na fase

austenítica estável (A).

(a) (b)

FIG.3.19 Carregamento termomecânico para memória de forma com deformações plásticas.

(a) Tensão prescrita.

(b) Temperatura prescrita.

FIG.3.20 Tensão-deformação para memória de forma com deformações plásticas.

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,0160E+0

0,5E+8

1,0E+8

1,5E+8

2,0E+8

ε p

σ (P

a)

ε

0 2 4 6 80E+0

0,5E+8

1,0E+8

1,5E+8

2,0E+8 σ = 202 MPa > σY

σ (P

a)

t0 2 4 6 8

260

270

280

290

300

310

320

T (

K)

t

54

FIG.3.21 Evolução das frações volumétricas para memória de forma com deformações

plásticas.

Para memória de forma reversível, utiliza-se um carregamento termomecânico, composto

de nove ciclos, representado pela FIG.3.22. O carregamento mecânico de cada ciclo é

desenvolvido dentro da região de deformação plástica da fase austenítica, ou seja, em uma

temperatura onde a fase austenítica é estável (A) e as deformações plásticas são produzidas

antes que ocorram transformações de fase. Após o carregamento mecânico, aplica-se um

FIG.3.22 Carregamento termomecânico para memória de forma reversível.

1E+8

2E+8

3E+8

4E+8

5E+8

6E+8

7E+8

1o Ciclo

σ (P

a)

0 50 100 150 200 250 300 350200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

T (

K)

t

0 2 4 6 8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2 A M

M+ M-

Fra

ções

Vol

umét

ricas

t

55

carregamento térmico cujo objetivo é promover as transformações de fase e avaliar de que

forma a deformação Two-Way obtida é afetada pelas deformações plásticas desenvolvidas ao

longo dos nove ciclos. Considera-se um acoplamento plástico-transformação de fase com

02,0== ckci ηη . A curva tensão-deformação, representada pela FIG.3.23, caracteriza a

resposta elasto-plástica da amostra na fase austenítica estável (A).

FIG.3.23 Tensão-deformação para memória de forma reversível.

A deformação Two-Way, que aparece nos detalhes da curva deformação-temperatura

(FIG.3.24), é afetada pelas deformações plásticas nos seguintes aspectos: crescimento do laço

de histerese e diminuição das temperaturas de transformação de fase. É interessante observar

que, durante os dois últimos ciclos, não são percebidas transformações de fase para a faixa de

temperatura considerada. Ou seja, as deformações plásticas atingiram um determinado nível

onde é verificada perda de memória para esta faixa de temperatura.

Os resultados encontrados estão de acordo com os resultados experimentais apresentados

por MILLER & LAGOUDAS (2000), exceto pela deformação Two-Way positiva, que é

decorrente da utilização de TM = 291,4 K.

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,180E+0

1E+8

2E+8

3E+8

4E+8

5E+8

6E+8

7E+8

σ (

Pa)

ε

56

FIG.3.24 Deformação-temperatura para memória de forma reversível.

O acoplamento plástico-transformação de fase é determinante para a avaliação dos efeitos

das deformações plásticas nas ligas com memória de forma. Os efeitos relacionados com as

variações dos parâmetros de acoplamento podem ser observados nas FIG.3.25, 3.26, 3.27 e

3.28. Na FIG.3.25, é apresentada a curva deformação-temperatura para a simulação de

memória de forma reversível, com nove ciclos de carregamento, sendo 0== ckci ηη (sem

acoplamento). Nesta situação, as deformações plásticas não afetam as transformações de fase,

pois não são observadas variações no laço de histerese nem nas temperaturas de

transformação. O pequeno crescimento do laço de histerese, observado nos detalhes da

FIG.3.25, é resultado da diferença entre os módulos de plasticidade (KM e KA) e, também,

entre os módulos de endurecimento cinemático (HM e HA), para as fases martensítica e

austenítica. Uma comparação entre as curvas de evolução das frações volumétricas, para os

casos com acoplamento e sem acoplamento, é apresentada na FIG.3.26. Observa-se que,

durante o resfriamento, o acoplamento retarda o início da transformação A → M, sem, no

entanto, alterar o início da transformação inversa M → A. Outra importante observação reside

220 240 260 280 300 320 340 360 380 4000,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

ε

T (K)

57

na ausência de transformação de fase para os dois últimos ciclos, também quando considerado

o acoplamento plástico-transformação de fase. Pelo detalhe da FIG.3.27, para os três

primeiros ciclos do carregamento de nove ciclos, observa-se que uma variação crescente dos

parâmetros de acoplamento ηc i e ηc k produz um crescimento do laço de histerese e uma

redução das temperaturas de transformação de fase. Estas alterações, conseqüentes do

acoplamento, contribuem para a compreensão do fenômeno da perda de memória, para uma

mesma faixa de temperatura (diminuição progressiva da reversibilidade em decorrência das

deformações plásticas).

FIG.3.25 Deformação-temperatura para memória de forma reversível sem acoplamento.

FIG.3.26 Comparação entre as curvas de evolução das frações volumétricas.

M A M- M+

Frações V

olumétricas

200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

ε

T (K)

Considerando

o acoplamento (ηc i = ηc k = 0,02)

Não considerando

o acoplamento (ηc i = ηc k = 0)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

M+ M- A M

Fra

ções

Vol

umét

ricas

0 50 100 150 200 250 300 350

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Fra

ções

Vol

umét

ricas

t

58

FIG.3.27 Efeito dos parâmetros de acoplamento para memória de forma reversível.

Em pseudoelasticidade, o acoplamento plástico-transformação de fase é avaliado para um

carregamento isotérmico, conforme a FIG.3.16. A curva tensão-deformação, representada

pela FIG.3.28, mostra que as deformações plásticas antecipam a transformação da martensita

não-maclada em austenita.

200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 4000,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

ηci = η

ck = 0

ηci = ηck = 0,02 ηci = ηck = 0,05

ε

T (K)

240 280

0,0518

0,0525

0,0532

0,0539

ηci = ηck = 0 η

ci = η

ck = 0,02

ηci = ηck = 0,05

ε

T (K)

59

FIG.3.28 Efeito dos parâmetros de acoplamento para pseudoelasticidade.

3.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O modelo proposto consegue descrever qualitativamente os efeitos das deformações

plásticas nas ligas com memória de forma. Esta descrição é resultado da inclusão de termos

associados aos fenômenos da plasticidade e da expansão térmica nos funcionais de energia

livre de um modelo unidimensional com restrições internas para memória de forma.

O modelo utilizado para memória de forma é derivado do modelo de Fremond (1987) e

considera a existência de uma quarta fase do material, associada à variante martensítica

maclada (twinned), estável quando em baixas temperaturas e livre de tensões. Outra

consideração importante é a distinção entre os módulos de elasticidade das fases austenítica e

martensítica (PAIVA, 2000).

Uma nova formulação, que considera a inclusão dos termos associados ao fenômeno da

expansão térmica, aliada à restrição de que a martensita não-maclada (detwinned) só é

induzida por um campo de tensões ( 0 e 0 se 0 S2

S121 ===== ββσββ ), permite que o

modelo contemple o fenômeno da expansão térmica.

O fenômeno da plasticidade é incorporado assumindo-se a hipótese da decomposição

aditiva ( pSMA εεε += ) e do endurecimento. São utilizadas formulações lineares para a

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350E+0

1E+8

2E+8

3E+8

4E+8

5E+8

6E+8

ε p

T = 333 K

ηci = ηck = 0 ηci = ηck = 0,05 ηci = ηck = 0,1 ηci = ηck = 0,2

σ (P

a)

ε

60

superfície de escoamento e para os efeitos combinados de endurecimento cinemático e

isotrópico.

O procedimento numérico utiliza, para o cálculo das frações volumétricas, a técnica de

partição do operador associada a um algoritmo de projeção. O comportamento elasto-plástico

é simulado pelo algoritmo de mapeamento de retorno.

O acoplamento plástico-transformação de fase permite descrever os efeitos das

deformações plásticas nas SMAs. Para memória de forma reversível, observa-se o

crescimento do laço de histerese e a diminuição das temperaturas de transformação. Estes

rseultados estão de acordo com os resultados experimentais fornecidos por MILLER &

LAGOUDAS (2000) e caracterizam o fenômeno da perda de memória, para um determinado

intervalo de temperatura, em decorrência das deformações plásticas. Para pseudoelasticidade,

o acoplamento mostra que as deformações plásticas tendem a antecipar a transformação da

martensita não-maclada em austenita.

É importante destacar a capacidade do modelo em conseguir obter deformações Two-Way

positivas ou negativas, dependendo da temperatura TM. Esta característica permite ao modelo

avaliar os efeitos das deformações plásticas em ligas que tenham sido tratadas termicamente.

61

4 AJUSTES QUANTITATIVOS

Neste capítulo são discutidas as principais discrepâncias quantitativas entre o modelo

proposto e os dados experimentais. Visando reduzir estas discrepâncias, apresenta-se uma

nova formulação para a energia livre de Helmholtz, aumentando o comprimento horizontal do

laço de histerese, o que permite a obtenção de maiores deformações residuais. Além disso,

alguns parâmetros do modelo são ajustados, buscando resultados mais coerentes para a

descrição do comportamento termomecânico das SMAs.

4.1 ALONGAMENTO HORIZONTAL DO LAÇO DE HISTERESE

Uma das principais características das SMAs é a capacidade de recuperar grandes

deformações (entre 6% e 8%) devido às transformações de fase martensíticas. Muitas das

aplicações exploram esta propriedade, seja para recuperar uma determinada forma ou para

utilizar os elevados campos de tensão que são produzidos quando se restringe a recuperação

dessas deformações.

Na FIG.4.1, é apresentada uma curva experimental típica para descrição do

comportamento pseudoelástico de uma liga com memória de forma (MULLER & XU, 1991).

Nela, também são mostrados os sublaços internos devido às transformações de fase

incompletas.

FIG.4.1 Curva experimental tensão-deformação (Efeito Pseudoelástico)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

70

80

90

100

110

120

130

140

σ (M

Pa)

ε (%)

62

Observações acerca do laço de histerese, mostrado na FIG.4.1, caracterizam-no por

apresentar uma forma consideravelmente alongada na direção horizontal e relativamente

estreita na direção vertical, o que significa grandes deformações para pequenas diferenças

entre as tensões críticas de transformação de fase, respectivamente.

A deformação residual calculada no capítulo 3 ( %33,0=Rε ) é muito inferior à

deformação residual típica de uma SMA. O aspecto da curva tensão-deformação, para

pseudoelasticidade, apresentado na FIG.3.6, mostra um laço de histerese alongado na direção

vertical e estreito na direção horizontal, representando características exatamente opostas à de

um laço de histerese típico para o comportamento pseudoelástico de uma SMA.

Como proposição para correção desta discrepância quantitativa entre os resultados

experimentais e o modelo, considera-se uma nova formulação da energia livre de Helmholtz,

para descrição do comportamento de uma SMA, incorporando os efeitos das deformações

plásticas, na seguinte forma:

+

−−−+−−= ) ( )( )( ~ 211 M

M

MH

p TTT

Lββααεεαβψρ

+

−−−−−+ ) ( )( )( 212 M

M

MH

p TTT

Lββααεεαβ

( ) ( )

−−+−−−−−+ 2

213

)]()([ ) ( 21

MM

MAH

pMA TT

T

LLEE ββαεεβ

+−+−−−−Ω−Ω− 2210 )(

21

)]()[()()( γββαεε MAHp

MA KKTT

+−−−+

−+ 2

212 )]()[(

21

21

21 ββαεεµ H

pM

MA

EHH

+−−−−Ω−−+ )]()([ )( ) ( 210 ββαεε Hp

MMM

M TTTTT

L

22

2

1

2

1 µγM

M HK ++ (4.1)

onde Hα é um novo parâmetro de transformação de fase, associado ao comprimento

horizontal do laço de histerese, que permite a obtenção de maiores deformações residuais.

63

A nova modelagem constitutiva também segue o formalismo dos Materiais Padrão

Generalizados. Mantendo-se a mesma restrição estabelecida na EQ.3.12, do capítulo 3,

obtêm-se as seguintes equações de estado:

)( )( )()( 012 TTEE Hp −−−++−== Ωββααεε

∂ε∂ψρσ (4.2)

[ )( )2()()()( 121

1 −−++−+−+−=−∈ ββααεεαεεα∂β∂ψρ H

pHM

M

Mp EETTT

LB

] JTT 10)( ∂−−− Ω (4.3)

[ )( )2()()()( 122

2 −−++−−−+−−=−∈ ββααεεαεεα∂β∂ψρ H

pHM

M

Mp EETTT

LB

] JTT 20)( ∂−−− Ω (4.4)

+−++−−−−−=−∈ )()(

)]()[()(2

1 221

33 M

M

AMH

pMA TT

T

LLEEB ββαεε

∂β∂ψρ

−−−−−−+ )]()[())(( 210 ββαεεΩΩ Hp

MA TT

JHH

KKMA

MA 322

2

1

2

1 )(

2

1 ∂−

−−−− µγ (4.5)

σΩββααεεεψρ =−−−++−=

∂∂−= )( ) ( )()( 012 TTEEX H

pp

(4.6)

γγψρ KY −=

∂∂−= (4.7)

µµψρ

HZ

1−=∂∂−= (4.8)

Consideram-se iguais as definições, as hipóteses e as restrições estabelecidas desde a

EQ.3.20 até a EQ.3.32.

64

Uma vez que potencial dual de dissipação é convexo, positivo e nulo na origem, a

desigualdade de Clausius-Duhen é automaticamente satisfeita se a entropia específica for

definida como Ts ∂−∂= /ψ (ERINGEN, 1967).

Assim, assumindo-se 01 =β& e Rεε = em uma temperatura crítica, TC, abaixo da qual não

existe mais variação da deformação residual com a temperatura, obtêm-se:

+−+=MMMM

MMMMC TEL

TELTT

ΩααΩα )( 0 (4.9)

)( MCM

MRH TT

T

L −+=α

εα (4.10)

Nota-se que a expressão encontrada para o cálculo da temperatura crítica é a mesma obtida

no capítulo 3 (EQ.3.34). As EQ.3.35 e 3.36, que limitam o deslocamento do laço de histerese

para CTT < , também continuam válidas para esta nova formulação.

Uma comparação entre as novas equações para o modelo alongado e as equações

apresentadas no capítulo 3, mostra diferenças na relação constitutiva tensão-deformação

(EQ.3.13 e EQ.4.2) e nas equações das forças termodinâmicas B1, B2 e B3 (EQ.3.14 e EQ.4.3;

EQ.3.15 e EQ.4.4 e EQ.3.16 e EQ.4.5, respectivamente). Pela EQ.4.5, observa-se que para as

transformações de fase produzidas por carregamentos térmicos livres de tensão (A→M ou

M→A), como 021 == ββ , o modelo alongado se comporta da mesma forma que o modelo

utilizado no capítulo 3, uma vez que a EQ.4.5 se reduz para a EQ.3.16. Isto significa que o

modelo alongado elimina discrepâncias quantitativas para os casos onde as transformações de

fase são induzidas por tensão, como por exemplo: pseudoelasticidade, memória de forma e

memória de forma reversível (considerando ciclos de treinamento do tipo SIMT ), sem alterar

os resultados coerentes obtidos para a descrição do fenômeno da expansão térmica.

O procedimento numérico continua empregando a técnica da partição do operador

associada a um algoritmo de projeção, para o cálculo das frações volumétricas, e o algoritmo

de mapeamento de retorno (return mapping), para a descrição do comportamento elasto-

plástico.

As condições de variação da tensão de escoamento, em função da temperatura, conforme

apresentado na FIG.3.4, também foram mantidas.

65

Ao analisar as propriedades termomecânicas listadas na TAB.3.1, observa-se que alguns

parâmetros estão bem definidos e são encontrados com facilidade na literatura. Parâmetros

como α e η seguem a descrição do modelo original de Fremond (1987).

No capítulo 3, a deformação residual (εR) e o parâmetro de transformação de fase (L) são

calculados utilizando-se as EQ.3.33 e EQ.3.37, respectivamente. Nota-se que o parâmetro L,

que também segue a descrição do modelo original de Fremond, é calculado em função de TA e

de εR.

Para a nova formulação, com laço de histerese alongado, a deformação residual (εR) e o

parâmetro de transformação de fase (L) são considerados propriedades do material. Isto

significa que o parâmetro αH é calculado em função da deformação residual (εR), utilizando-se

a EQ.4.10. Para uma amostra de SMA qualquer, cuja deformação residual máxima é εR =

0,33%, obtém-se αH = 0. Desta forma, o modelo com laço de histerese alongado repete o

comportamento do modelo proposto, utilizado no capítulo 3.

Para uma liga de Ni-Ti, considera-se a deformação residual máxima %7,6=Rε

(BRINSON, 1993). Assim, para esse valor de deformação residual %7,6=Rε ; L = 9,18 MPa

e demais propriedades termomecânicas conforme a TAB.3.1, utilizando-se as EQ.4.9 e 4.10,

obtêm-se TC = 282,04 K (9,04°C) e 0637,0=Hα , respectivamente.

Nestas condições, admite-se uma amostra de SMA com propriedades típicas de uma liga

de Ni-Ti, submetida a um carregamento de tensão prescrita com tração e compressão, sem

produzir deformações plásticas, conforme apresentado na FIG.3.5. A FIG.4.2 mostra a curva

tensão-deformação obtida para o novo modelo com laço de histerese alongado.

Uma superposição das curvas tensão-deformação previstas pelos dois modelos (FIG.4.3),

mostra as alterações promovidas com a nova formulação. Além do alongamento horizontal do

laço de histerese, o valor absoluto da tensão crítica para o início da transformação de fase

(A→M+ ou A→M−) é muito inferior ao valor absoluto da tensão crítica do modelo sem

alongamento (curva em azul).

Outros ajustes são propostos e envolvem variações na geometria do laço de histerese

(alongado na direção horizontal e estreito na direção vertical), nos valores das tensões críticas

para início da transformação de fase (a tensão crítica para o modelo alongado deve ser da

mesma ordem de grandeza da tensão crítica para o modelo sem alongamento) e nas

velocidades das transformações de fase (a velocidade da transformação A→M+ ou M− ou

M→M+ ou M− deve ser da mesma ordem de grandeza da velocidade da transformação M+

66

ou M−→A ou M+ ou M−→M). Para isso, são consideradas variações nos parâmetros L e η,

tratadas a seguir.

FIG.4.2 Tensão-deformação para pseudoelasticidade sem deformações plásticas, com laço de

histerese alongado.

FIG.4.3 Tensão-deformação para pseudoelasticidade sem deformações plásticas (comparação

entre o modelo com laço de histerese alongado e o modelo sem alongamento).

-0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08-6E+8

-4E+8

-2E+8

0E+8

2E+8

4E+8

6E+8

T = 333 K

σ (P

a)

ε

-0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08-6E+8

-4E+8

-2E+8

0E+8

2E+8

4E+8

6E+8

Sem alongamento Alongado

T = 333 K

σ (P

a)

ε

67

4.2 PARÂMETRO DE TRANSFORMAÇÃO DE FASE (L) VARIÁVEL

Inicialmente, considera-se uma variação do parâmetro de transformação de fase (L), de

modo que as tensões críticas para início da transformação de fase do modelo alongado sejam

da mesma ordem de grandeza das tensões críticas do modelo sem alongamento.

Em um primeiro ajuste, para o mesmo carregamento de tensão prescrita, com tração e

compressão, apresentado na FIG.3.5, considera-se L = 26,75 MPa (em vez de L = 9,18 MPa;

do caso anterior) ; α = 89,42 MPa e η = 0,07 MPa⋅s. Nestas condições, utilizando-se as

EQ.4.9 e 4.10, obtêm-se K 15,288=CT (15,15°C) e 0637,0=Hα , respectivamente.

Na FIG.4.4, a curva em verde representa o gráfico tensão-deformação do modelo

alongado, com o parâmetro de transformação ajustado para L = 26,75 MPa. Os resultados

mostram que as tensões críticas para início da transformação de fase do modelo alongado são

da mesma ordem de grandeza das tensões críticas do modelo sem alongamento (curva em

azul).

Outra observação, que também pode ser extraída da FIG.4.4, relaciona o alongamento do

laço de histerese, na direção vertical, em função do aumento do parâmetro L.

FIG.4.4 Tensão-deformação para pseudoelasticidade sem deformações plásticas (parâmetro

de transformação de fase ajustado para L = 26,75 MPa).

O próximo passo do ajuste quantitativo consiste em controlar o tamanho vertical do laço

de histerese, alongado em conseqüência do aumento do parâmetro de transformação de fase L.

-0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08-6E+8

-4E+8

-2E+8

0E+8

2E+8

4E+8

6E+8

T = 333 K

Sem alongamento L = 9,18 MPa L = 26,75 MPa

σ (P

a)

ε

68

Para isso, considere, agora, que as transformações de fase são regidas por uma função

)( 3βLL = , da seguinte forma:

)(3 AMM lllL −−= β (4.11)

onde lM e lA são constantes que representam os valores de L para as fases martensítica e

austenítica, respectivamente.

A formulação de um parâmetro de transformação de fase (L) variável, do tipo

apresentado pela EQ.4.11, foi inspirada na formulação dos parâmetros E, K, H e Ω, obtidos

como uma combinação linear entre as fases martensítica e austenítica.

Ainda para o carregamento de tensão prescrita, com tração e compressão, considerado na

FIG.3.5, admitindo-se porém, um parâmetro L variável em função de β3, com lM = 56,75

MPa; lA = 26,75 MPa; e ainda α = 89,42 MPa; η = 0,07 MPa⋅s e, novamente, utilizando-se as

EQ.4.9 e 4.10, obtêm-se K 86,289=CT (16,86°C) e 0637,0=Hα , respectivamente.

A FIG.4.5 apresenta uma comparação entre o resultado obtido com a formulação de um

parâmetro de transformação de fase (L) constante (curva em vermelho) e o resultado obtido

com a formulação de um parâmetro L variável (curva em azul).

FIG.4.5 Tensão-deformação para pseudoelasticidade sem deformações plásticas (parâmetro

de transformação de fase variável).

-0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08-6E+8

-4E+8

-2E+8

0E+8

2E+8

4E+8

6E+8

L = 26,75 MPa (Cte.)

T = 333 K

L = L (β3) ; variável lA = 26,75 MPa lM = 56,75 MPa

σ (P

a)

ε

69

O novo ajuste obtido, representado em azul na curva tensão-deformação da FIG.4.5,

mostra que o laço de histerese pode ser controlado na direção vertical através da hipótese de

um parâmetro de transformação de fase (L) variável. A curva em vermelho corresponde ao

primeiro resultado ajustado, (linha verde, na FIG.4.4) obtido quando o parâmetro L é

constante e igual a 26,75 MPa.

No modelo original de Fremond, a altura do laço de histerese corresponde ao parâmetro

α, definido como sendo a diferença entre as tensões críticas de transformação de fase. Para o

modelo alongado, não foram observadas alterações na altura do laço de histerese em função

de variações no parâmetro α. Isto significa que, para o modelo alongado, o parâmetro L tem

mais influência do que o parâmetro α, na questão do controle vertical do laço de histerese.

Apesar da formulação de um parâmetro de transformação de fase variável )( 3βLL =

apresentar resultados interessantes, vale destacar que esta variação acarreta em diferentes

velocidades para as transformações de fase. Pela FIG.4.6, observa-se que durante a

transformação A→M+ , como lM > lA, o parâmetro L aumenta e o processo de transformação

de fase é desacelerado. Em contrapartida, durante a transformação inversa M+→A, o

parâmetro L diminui (pois lM > lA) e a transformação de fase é antecipada. As comparações

apresentadas pelas FIG.4.5 e 4.6 servem para avaliar as alterações produzidas na geometria do

laço de histerese e nas velocidades das transformações de fase, como conseqüência da

formulação de um parâmetro L variável.

FIG.4.6 Evolução da fração volumétrica austenítica (influência do parâmetro de

transformação de fase variável).

0 1 2 3 4

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

L = 26,75 MPa (Cte.)

L = L (β3) ; variável lA = 26,75 MPa lM = 56,75 MPa

β 3

t

70

Formulações diferentes, para o parâmetro L, podem atenuar os efeitos da variação entre

lM e lA nas velocidades das transformações de fase.

A última consideração do ajuste quantitativo consiste na eliminação das distorções

encontradas para as velocidades das transformações de fase, resultantes da formulação de um

parâmetro L variável. Para isso, considera-se um ajuste no parâmetro de dissipação interna do

material (η).

4.3 PARÂMETRO DE DISSIPAÇÃO INTERNA ( ηηηη) VARIÁVEL

Com o objetivo de controlar as velocidades das transformações de fase, admite-se, por

hipótese, que o parâmetro de dissipação interna do material (η) varie, em função das

condições do carregamento aplicado. Desta forma, considera-se:

<=

>=

0 se

0 se

εηη

εηη

&

&

D

C

(4.12)

onde ηC e ηD são os parâmetros de dissipação interna do material, em condições de

carregamento e descarregamento, respectivamente.

Em complemento aos ajustes anteriores (lA = 26,75 MPa e lM = 56,75 MPa), admite-se

agora, uma dissipação interna variável com ηC = 0,07 MPa⋅s e ηD = 0,1225 MPa⋅s. Nestas

condições, a FIG.4.7 mostra que, como ηD > ηC , a transformação inversa é retardada e

desacelerada (a curva em vermelho ficou levemente inclinada para a direita). A consideração

de um parâmetro de dissipação interna (η) variável pode permitir que o processo de

transformação de fase tenha sua velocidade controlada.

71

FIG.4.7 Evolução da fração volumétrica austenítica (influência do parâmetro de dissipação

interna variável).

4.4 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

Visando mostrar os resultados obtidos com os parâmetros ajustados, esta seção apresenta

novas simulações numéricas realizadas para os efeitos de pseudoelasticidade sem

deformações plásticas, memória de forma sem deformações plásticas, pseudoelasticidade com

deformações plásticas, memória de forma com deformações plásticas e memória de forma

reversível, com ciclo de treinamento utilizando o processo SIMT .

Considera-se uma amostra de SMA com propriedades termomecânicas típicas de uma

liga de Ni-Ti, conforme a TAB.4.1, que foram ajustadas ao longo deste capítulo. Admite-se

uma variação da tensão de escoamento, em função da temperatura, conforme a FIG.3.4.

Entretanto, após os ajustes efetuados, define-se MYσ = 70 MPa (www.sma-inc.com fornece

MYσ variável entre 70 e 140 MPa).

0 1 2 3 4

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

ηC = ηD = 0,07 MPa.s ηC = 0,07 MPa.s e

ηD = 0,1225 MPa.sβ 3

t

72

TAB. 4.1 Propriedades Termomecânicas para o modelo alongado.

AE (GPa) ME (GPa) α (MPa) AT (K) MT (K)

67 26,3 89,42 307,5 291,4

0T (K) Rε AΩ (MPa/K) MΩ (MPa/K) AK (GPa) MK (GPa)

298 0,067 0,74 0,17 1,4 0,4

AH (GPa) MH (GPa) Al (MPa) Ml (MPa) Cη (MPa⋅s) Dη (MPa⋅s)

0,4 0,11 26,75 56,75 0,07 0,1225

BRINSON, 1993; MILLER & LAGOUDAS, 2000 e www.sma-inc.com.

A resposta pseudoelástica de uma amostra desta liga, para o carregamento de tensão

prescrita com tração e compressão, considerado na FIG.3.5, está representada na FIG.4.8.

FIG.4.8 Tensão-deformação para pseudoelasticidade sem deformações plásticas (modelo

alongado e ajustado).

Para as condições de carregamento termomecânico apresentadas na FIG.4.9, obtém-se a

descrição do fenômeno da memória de forma sem deformações plásticas, uma vez que a

-0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08-6E+8

-4E+8

-2E+8

0E+8

2E+8

4E+8

6E+8

T = 333 K

σ (P

a)

ε

73

máxima tensão prescrita é inferior à tensão de escoamento da amostra. A FIG.4.10 representa

a curva tensão-deformação, em função da temperatura. Observa-se que o carregamento

térmico consegue recuperar a deformação residual obtida pelo carregamento mecânico. Uma

comparação entre as curvas de evolução das frações volumétricas do modelo alongado

(FIG.4.11) e do modelo sem alongamento (FIG.3.10) revela que os ajustes efetuados nos

parâmetros L e η foram satisfatórios para que as velocidades das transformações de fase não

fossem diferentes entre eles.

(a) (b)

FIG.4.9 Carregamento termomecânico para memória de forma sem deformações plásticas

(modelo alongado e ajustado).

(a) Tensão prescrita, (b) Temperatura prescrita.

FIG.4.10 Tensão-deformação para memória de forma sem deformações plásticas


0 2 4 6 80

10

20

30

40

50

60

70

80

σ (M

Pa)

t0 2 4 6 8

260

270

280

290

300

310

320

T (

K)

t

74

FIG.4.11 Evolução das frações volumétricas para memória de forma sem deformações

plásticas (modelo alongado e ajustado).

Do ponto de vista qualitativo, o modelo alongado obteve para descrição do fenômeno da

memória de forma sem deformações plásticas, os mesmos resultados que o modelo sem

alongamento, utilizado no capítulo 3. Do ponto de vista quantitativo, a principal contribuição

do novo modelo foi a obtenção de uma deformação residual compatível com os resultados

experimentais disponíveis na literatura. Por outro lado, para os ajustes efetuados, houve uma

significativa redução da tensão crítica para transformação de fase M→M+ .

Para o carregamento de tensão de tração prescrita, considerado na FIG.3.16, o modelo

alongado descreve o comportamento pseudoelástico, na presença de deformações plásticas.

Admite-se que os fenômenos de transformação de fase e plasticidade estão acoplados com

02,0== ckci ηη . A FIG.4.12 representa a curva tensão-deformação obtida e mostra que, da

mesma forma que no modelo sem alongamento, a transformação inversa não elimina a

deformação residual plástica, proveniente de um carregamento acima da tensão de

escoamento. Para a curva de evolução das frações volumétricas (FIG.4.13), observa-se que os

ajustes efetuados fazem com que a transformação de fase A→M+ ocorra mais lentamente que

no modelo sem alongamento (FIG.3.18) e também que a transformação inversa M+→A seja

antecipada.

0 2 4 6 8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

M+ M-

A M

Fra

ções

Vol

umét

ricas

t

75

FIG.4.12 Tensão-deformação para pseudoelasticidade com deformações plásticas (modelo


FIG.4.13 Evolução das frações volumétricas para pseudoelasticidade com deformações


O fenômeno da memória de forma com deformações plásticas é obtido através do

carregamento termomecânico apresentado na FIG.4.14. Para estas condições, com um

acoplamento plástico-transformação de fase 02,0== ckci ηη , a curva tensão-deformação,

representada na FIG.4.15, mostra que o carregamento térmico só é capaz de recuperar a

parcela da deformação que está associada à transformação de fase. A curva de evolução das

frações volumétricas (FIG.4.16) repete o comportamento apresentado no capítulo 3

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,100E+8

1E+8

2E+8

3E+8

4E+8

5E+8

6E+8

ε p

T = 333 K

σ (P

a)

ε

0 1 2 3 4

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

M+ M-

A M

Fra

ções

Vol

umét

ricas

t

76

(FIG.3.21), exceto pela rapidez com que é realizada a transformação de fase M→M+ , em

razão do baixo valor da tensão crítica para o início desta transformação.

(a) (b)

FIG.4.14 Carregamento termomecânico para memória de forma com deformações plásticas


(a) Tensão prescrita, (b) Temperatura prescrita.

FIG.4.15 Tensão-deformação para memória de forma com deformações plásticas (modelo


FIG.4.16 Evolução das frações volumétricas para memória de forma com deformações


0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,080

10

20

30

40

50

60

70

80

ε p

σ (M

Pa)

ε

0 2 4 6 8

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

M+ M-

A M

Fra

ções

Vol

umét

ricas

t

0 2 4 6 80

10

20

30

40

50

60

70

80

σ = 72 MPa > σY

σ

(MP

a)

t0 2 4 6 8

260

270

280

290

300

310

320

T (

K)

t

77

O fenômeno da memória de forma reversível é analisado a partir de um processo de

treinamento para obtenção da variante martensítica não-maclada (SIMT ). A FIG.4.17

representa o carregamento termomecânico utilizado. Na parte superior, tem-se um

carregamento mecânico isotérmico (T = 333 K), onde são observados cinco ciclos de tensão

prescrita com picos crescentes de tensão acima da tensão de escoamento, de maneira que a

cada ciclo sejam produzidas deformações plásticas. Ao final do carregamento mecânico, a

amostra é submetida a um ciclo térmico sob tensão constante (σ = 100 MPa), que está

representado na parte inferior da FIG.4.17.

FIG.4.17 Carregamento termomecânico para memória de forma reversível (SIMT ).

Os fenômenos de plasticidade e transformação de fase estão acoplados com

05,0== ckci ηη . A curva tensão-deformação, apresentada na FIG.4.18, revela que as

deformações plásticas produzidas ao longo dos ciclos do carregamento mecânico

proporcionam um aumento da tensão crítica para transformação de fase A→M+ . A FIG.4.19

representa a curva de evolução das frações volumétricas. Em t = 20 ut, inicia-se o ciclo

térmico sob tensão constante. Durante este ciclo, verificam-se as transformações de fase

0E+0

1E+8

2E+8

3E+8

4E+8

5E+8

6E+8

7E+8

σ (P

a)

0 5 10 15 20 25

280

290

300

310

320

330

T (

K)

t

78

A→M+ (resfriamento) e M+→A (aquecimento). O fenômeno da memória de forma reversível

(TWSME ) está associado a estas transformações de fase. A FIG.4.20 representa a curva

deformação-temperatura e contempla o fenômeno da memória de forma reversível. Por esta

figura, observa-se que a amostra admite duas formas distintas, que podem ser controladas por

variação da temperatura. Uma forma é associada à fase A (altas temperaturas) e outra é

associada à fase M+ (baixas temperaturas).

FIG.4.18 Tensão-deformação para memória de forma reversível (SIMT ).

FIG.4.19 Evolução das frações volumétricas para memória de forma reversível (SIMT ).

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,120E+8

1E+8

2E+8

3E+8

4E+8

5E+8

6E+8

ciclo térmico

σ (P

a)

ε

0 5 10 15 20 25

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

M+ M-

A M

Fra

ções

Vol

umét

ricas

t

79

FIG.4.20 Deformação-temperatura para memória de forma reversível (SIMT ).

4.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A inclusão de um novo parâmetro de transformação de fase ( Hα ) permite a obtenção de

maiores deformações residuais e representa uma contribuição importante para o ajuste do

modelo constitutivo proposto. Com a obtenção de maiores deformações residuais,

determinados parâmetros do modelo, como L e η, podem ser apropriadamente ajustados, em

função de resultados experimentais.

Os critérios qualitativos adotados (geometria do laço de histerese, tensões críticas para

início da transformação de fase e velocidades das transformações) não constituem regra

rígida. Eles foram usados, fundamentalmente, como balizadores para a obtenção dos

parâmetros ajustados, visando uma comparação entre o modelo alongado com o modelo sem

alongamento (Capítulo 3). Isto significa que, para comparação com resultados experimentais,

outros critérios poderão ser adotados.

Do ponto de vista qualitativo, os resultados obtidos para o modelo alongado são

semelhantes aos resultados obtidos para o modelo sem alongamento, utilizado no capítulo 3.

Do ponto de vista quantitativo, o laço de histerese passou a ser mais alongado na direção

horizontal (grandes deformações) e mais estreito na direção vertical. Para memória de forma,

verificou-se um crescimento da deformação residual acompanhado de uma redução da tensão

crítica para início da transformação de fase M→M+ .

280 290 300 310 320 330 3400,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

Fase A

Fase M+

ε

T (K)

80

Os comportamentos associados aos fenômenos da expansão térmica, da memória de

forma reversível (deformação Two-Way, desenvolvida em ciclos térmicos com σ = 0) e aos

efeitos dos parâmetros do acoplamento plástico-transformação de fase são rigorosamente

iguais para os dois modelos considerados.

Para o fenômeno da memória de forma reversível (TWSME ), utilizando-se um processo

de treinamento do tipo SIMT , o modelo alongado apresenta uma descrição mais coerente para

o comportamento termomecânico das SMAs, do que o modelo sem alongamento.

Mesmo com o alongamento horizontal do laço de histerese e os ajustes efetuados, o

modelo proposto ainda apresenta discrepâncias qualitativas quanto ao amolecimento e ao

endurecimento em deformação prescrita e na descrição dos sublaços internos devidos às

transformações de fase incompletas.

A questão do amolecimento e do endurecimento pode ser observada admitindo-se um

carregamento de deformação prescrita (FIG.4.21), de tal modo que a curva tensão-deformação

obtida seja idêntica à curva encontrada para o caso de um carregamento em tensão prescrita

com tração e compressão (FIG.4.8).

FIG.4.21 Carregamento de deformação prescrita com temperatura constante T = 333 K > TA.

A FIG.4.22 apresenta uma comparação entre as curvas tensão-deformação obtidas para as

condições de carregamento em deformação prescrita (azul) e em tensão prescrita (vermelho).

0 2 4 6 8

-0,10

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

ε

t

81

FIG.4.22 Comparação entre tensão e deformação prescritas para pseudoelasticidade sem

deformações plásticas.

Para deformação prescrita, a resposta pseudoelástica sem deformações plásticas,

apresentada na FIG.4.22, revela discrepâncias de amolecimento, quando ε& > 0 e σ& < 0, e

de endurecimento, quando ε& < 0 e σ& > 0. Desta forma, pode-se considerar como uma nova

restrição, a equação:

0 ≥εσ && (4.13)

A solução do problema, para uma dada deformação, é obtida pela união entre o conjunto

das projeções β1, β2, β3, β4 e a tensão. Em deformação prescrita, o problema do

amolecimento/endurecimento acontece porque o conjunto das projeções obtido atende

somente a restrição imposta pelo tetraedro da FIG.3.1. Uma possível solução para a

eliminação do amolecimento/endurecimento utiliza, além das restrições estabelecidas, uma

nova restrição ( 0 ≥εσ && ), que é representada pela EQ.4.13.

-0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08-6E+8

-4E+8

-2E+8

0E+8

2E+8

4E+8

6E+8

T = 333 K

Tensão prescrita Deformação prescrita

σ (P

a)

ε

82

5 CONCLUSÕES

Este trabalho apresenta uma nova modelagem constitutiva unidimensional, com restrições

internas, para descrição do comportamento termomecânico de ligas com memória de forma,

incorporando os efeitos das deformações plásticas.

O modelo proposto considera a existência da fase martensítica maclada (twinned) na

formulação e, como conseqüência, exibe uma fase estável quando o material está em baixas

temperaturas e livre de tensões. A distinção entre os módulos de elasticidade das fases

martensítica e austenítica é, também, uma importante característica da modelagem utilizada.

Os termos de expansão térmica, incluídos na formulação, e a restrição que estabelece que a

martensita não-maclada (detwinned) somente é induzida por um campo de tensões, permitem

que o modelo descreva as transformações de fase sob condições de carregamento térmico. Os

resultados obtidos para o fenômeno da expansão térmica, através da modificação da

temperatura de transformação de fase TM, mostram que o modelo é capaz de descrever os

efeitos dos tratamentos térmicos nas SMAs (deformação Two-Way negativa).

Os efeitos das deformações plásticas são analisados através de formulações lineares para

descrição da superfície de escoamento e para modelagem do fenômeno do endurecimento.

Este último é representado por uma combinação de endurecimento cinemático com

endurecimento isotrópico. O procedimento numérico emprega a técnica da partição do

operador associada a um algoritmo de projeção (para o cálculo das frações volumétricas) e o

algoritmo de mapeamento de retorno (para descrição do comportamento elasto-plástico).

Visando descrever de forma consistente os efeitos das deformações plásticas nas

transformações de fase, um acoplamento plástico-transformação de fase é proposto na

formulação do potencial dual de dissipação. Fenômenos como pseudoelasticidade e memória

de forma, na presença de deformações plásticas, revelam que as transformações de fase não

são capazes de recuperar as deformações irreversíveis, obtidas com carregamentos acima da

tensão de escoamento do material. Em memória de forma reversível (deformação Two-Way),

a redução das temperaturas de transformação de fase e o crescimento do laço de histerese são

os principais efeitos das deformações plásticas, verificados através do acoplamento. Em

pseudoelasticidade e memória de forma, o acoplamento permite concluir que as deformações

plásticas antecipam as transformações inversas (M+ ou M−→A) o que, de uma maneira geral,

está associado à perda da capacidade de atuação.

83

Visando obter alterações que eliminem as discrepâncias entre os resultados numéricos e

os resultados experimentais, alguns ajustes são efetuados no modelo proposto. O alongamento

horizontal do laço de histerese, tem como principal contribuição a obtenção de maiores

deformações residuais. Novos resultados obtidos mostram que os ajustes quantitativos,

quando baseados em comparações com resultados experimentais, podem permitir uma

descrição mais coerente do comportamento termomecânico das SMAs. As formulações de

parâmetros variáveis de transformação de fase (L) e de dissipação interna do material (η)

permitem, respectivamente, controlar a altura do laço de histerese e as velocidades das

transformações de fase. O fenômeno da memória de forma reversível (TWSME ), utilizando o

processo de treinamento do tipo SIMT (Stress-Induced Martensite Training), embora também

contemplado no modelo sem alongamento, tem sua descrição mais coerente com o

alongamento horizontal do laço de histerese. O aumento da tensão crítica para transformação

de fase, em função do crescimento da deformação plástica, é uma outra importante

observação extraída da curva tensão-deformação para memória de forma reversível.

Embora o alongamento horizontal do laço de histerese tenha contribuído para melhorar a

resposta do modelo, do ponto de vista quantitativo, algumas discrepâncias qualitativas ainda

persistem, como é o caso do amolecimento e do endurecimento em deformação prescrita e dos

sublaços internos devidos às transformações de fase incompletas.

5.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Um passo importante para a validação dos modelos constitutivos, que descrevem o

comportamento de um determinado material, é a comparação entre os resultados obtidos nas

simulações e os resultados experimentais. Neste sentido, trabalhos experimentais podem ser

desenvolvidos, em conjunto com novas simulações numéricas, com o intuito de promover

ajustes quantitativos mais eficientes.

Trabalhos experimentais também podem contribuir para validar, segundo aspectos

qualitativos, os resultados simulados que descrevem os efeitos das deformações plásticas nas

SMAs.

Outro ponto a ser explorado em trabalhos futuros diz respeito à modelagem constitutiva.

Novas restrições, que visam eliminar o problema do amolecimento e do endurecimento em

deformação prescrita, podem ser implementadas e a descrição dos sublaços internos devidos

às transformações de fase incompletas pode ser obtida.

84

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