Dissertação de Mestrado Comportamento Estrutural de Lajes ...livros01.livrosgratis.com.br/cp061356.pdf · Por meio do estudo paramétrico das lajes nervuradas de concreto armado

FEN/UERJ

Dissertação de Mestrado

Comportamento Estrutural de Lajes Nervuradas de Concreto Armado com Base no Emprego do Programa ANSYS

Autor: Wisner Coimbra de Paula

Orientador: Maria Elizabeth da Nóbrega Tavares

Co-orientador: José Guilherme Santos da Silva

Centro de Tecnologia e Ciências

Faculdade de Engenharia

PGECIV – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil

Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Março de 2007

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Ficha Catalográfica

C679 COIMBRA, WISNER DE PAULA Comportamento Estrutural de Lajes Nervuradas de Concreto Armado com Base no Emprego do Programa ANSYS [Rio de Janeiro] 2007. xxiv , 189 p.: il., 29,7 cm (FEN/UERJ, Mestrado, PGECIV - Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil - Área de Concentração: Estruturas, 2007). Dissertação - Universidade do Estado do Rio de Janeiro – UERJ.

1. Lajes Nervuradas 2. Analogia de Grelha 3. Concreto Armado

I. FEN/UERJ II. Título (série) CDU 624.073

Dedico esta dissertação à minha mãe, Rosângela Coimbra, pelo incentivo, paciência e amor incomensuráveis. Sempre exemplo de dignidade e força...

Agradecimentos

À FAPERJ – Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro - pela ajuda

financeira.

Aos professores José Guilherme e Maria Elizabeth pela orientação e incentivo ao longo do

desenvolvimento deste trabalho.

Aos colegas Bruno Lima, Mariana e Damásia pelo companheirismo, apoio e carinho a mim

dedicados durante este período.

Aos meus irmãos, Cássio e Marlon, e meus grandes amigos, Igor e Edivandro (também

irmãos) pelo amor e apoio incondicionais.

À minha mãe, Rosângela Coimbra, por todo carinho e força que me deu desde o início deste

caminho de conhecimento.

À todas as pessoas que, de alguma maneria, contribuíram na execução deste trabalho.

Resumo

Coimbra, Wisner de Paula; Tavares, Maria Elizabeth da Nóbrega (Orientadora); Silva, José Guilherme Santos da (Co-orientador). Comportamento Estrutural de Lajes Nervuradas de Concreto Armado com Base no Emprego do Programa ANSYS. Rio de Janeiro, 2007. 189 p. Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade do Estado do Rio de Janeiro.

A utilização de lajes nervuradas nas edificações em geral vem crescendo no Brasil,

pois, com o desenvolvimento da computação, a modelagem destas estruturas tornou-se

mais acessível aos projetistas e as vantagens inerentes ao sistema tornaram-se visíveis. Por

esta razão, vários trabalhos foram publicados nos últimos anos tendo como finalidade a

análise deste tipo de laje, sempre utilizando e comparando diferentes métodos de análise,

dentre os quais pode-se destacar: analogia de grelha e método dos elementos finitos. Uma

das razões para isto é a utilização da analogia de grelha pelos principais programas

comerciais de cálculo de concreto armado.

Este trabalho faz uma análise paramétrica de um modelo de laje nervurada de

concreto armado denominada REDUZCON e determina a influência de diversos parâmetros

relevantes na análise elástico-linear destas lajes. O sistema de laje REDUZCON é um

sistema de laje nervurada que utiliza cubas cilíndricas invertidas metálicas denominadas

BRC (barrote redutor de concreto).

Por meio do estudo paramétrico das lajes nervuradas de concreto armado do tipo

REDUZCON são abordados fatores importantes para o modelo de analogia de grelha, como

a condição do apoio (deslocável ou indeslocável) e o momento de inércia à torção. Também

é estudada a influência da relação entre os vãos e do número de nervuras para uma laje

cuja quantidade de nervuras é diferente nos dois sentidos. Investiga-se, ainda, a freqüência

fundamental de algumas destas lajes, para comparação com os valores recomendados pela

NBR-6118 (2003).

Os resultados obtidos ao longo do estudo indicam claramente, que os parâmetros

mais relevantes na analogia de grelha, tais como momento de inércia à torção e condição de

apoio das lajes, modificam substancialmente os resultados de deslocamento e esforços do

sistema estrutural.

Palavras-chave Lajes Nervuradas, Analogia de Grelha, Concreto Armado, Freqüência Fundamental

em Lajes.

Abstract

Coimbra, Wisner de Paula; Tavares, Maria Elizabeth da Nóbrega (Advisor); Silva, José Guilherme Santos da (Co-advisor). Structural Behavior of Reinforced Concrete Ribbed Slabs Using Ansys Program. Rio de Janeiro, 2007. 189 p. MsC. Dissertation – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade do Estado do Rio de Janeiro.

The use of ribbed slabs in the constructions in general is growing in Brazil, because,

with the development of the computation, the modelling of these structures became more

accessible to the designers and the inherent advantages to the system became visible. For

this reason, several works were published in the last years having as purpose the analysis of

this slabs type, always using and comparing different methods, among them, grillage analogy

are the most used, since it is also used in the main commercial programs of reinforced

concrete.

In this work a parametric analyzes of a model of ribbed slabs of reinforced concrete

called REDUZCON is made and it determines the influence of several relevant parameters in

the elastic-lineal analysis of these slabs. This system makes use of inverse cylinder metallic

cap named BRC (reduced concrete cap).

Through the parametric analysis of the ribbed slabs REDUZCON, important factors

are approached for the model of grillage analogy, as the boundary conditions, torsional

inertia of the system (ribs and board beams), geometry of the edge beams, and the number

of transversal ribbings. It is also studied the influence of the sides ratio. Finally is also

investigated the natural frequency of some of these slabs and compared with the values

recommended in the design codes.

The results obtained along the study indicate clearly, that the most relevant

parameters in the grillage analogy, such as torsional inertia and condition of support of the

slabs, they modify the displacement results and efforts of the structural system substantially.

Key-words Ribbed slabs, Grillage Analogy, Reinforced Concrete, Natural Frequencies in slabs.

Sumário

1. Introdução ........................................................................................................................ 24

1.1. Generalidades............................................................................................................................... 24

1.2. Estado da Arte na Análise de Lajes Nervuradas de Concreto Armado.................................. 28

1.3. Objetivos e Motivação ................................................................................................................. 34

1.4. Escopo do Trabalho..................................................................................................................... 35

2. Aspectos Teóricos e Modelagem de Lajes Nervuradas............................................... 36

2.1. Generalidades............................................................................................................................... 36

2.2. Aspectos Teóricos ....................................................................................................................... 36

2.2.1. Teoria das Placas.................................................................................................................... 36 2.2.2. Teoria das Grelhas.................................................................................................................. 41

2.3. Lajes Nervuradas de Concreto Armado – Normas e Recomendações .................................. 46

2.4. Modelagem Computacional......................................................................................................... 48

2.4.1. Generalidades sobre o Método dos Elementos Finitos .......................................................... 48 2.4.2. Analogia de Grelha para as Lajes Nervuradas ....................................................................... 50

2.4.2.1. Características Geométricas dos Elementos de Grelha .................................................. 53

3. Descrição do Sistema Estrutural Estudado .................................................................. 60

3.1. Generalidades............................................................................................................................... 60

3.2. Analogia de Grelha para Lajes do Tipo REDUZCON ................................................................ 60

3.3. Modelo Computacional Desenvolvido ....................................................................................... 64

3.4. Descrição do Sistema Estrutural Estudado .............................................................................. 66

3.5. Propriedades Físicas e Geométricas ......................................................................................... 71

3.5.1.1. Inércia à Flexão das Barras da Grelha ............................................................................ 72 3.5.1.2. Inércia à Flexão das Vigas de Bordo ............................................................................... 72 3.5.1.3. Inércia à Torção das Barras da Grelha ............................................................................ 72 3.5.1.4. Inércia à Torção das Vigas de Bordo............................................................................... 72

3.6. Carregamentos Adotados ........................................................................................................... 73

3.7. Modelos Estruturais Analisados ................................................................................................ 74

3.7.1. Modelo I................................................................................................................................... 74 3.7.2. Modelo II.................................................................................................................................. 78 3.7.3. Modelo III................................................................................................................................. 80 3.7.4. Modelo IV ................................................................................................................................ 83 3.7.5. Modelo V ................................................................................................................................. 85 3.7.6. Modelo VI ................................................................................................................................ 87 3.7.7. Modelo VII ............................................................................................................................... 89

4. Avaliação dos Resultados .............................................................................................. 92

4.1. Introdução..................................................................................................................................... 92

4.2. Validação dos Modelos Numéricos............................................................................................ 92

4.2.1. Análise de uma Laje Maciça sem a Consideração das Vigas do Contorno ........................... 92 4.2.2. Análise de uma Laje Nervurada sem a Consideração das Vigas do Contorno...................... 97 4.2.3. Análise de uma Laje Maciça Considerando as Vigas do Contorno...................................... 100

4.3. Análises das Lajes Nervuradas Estudadas............................................................................. 103

4.3.1. Estudo sobre a Influência das Condições de Contorno........................................................ 103 4.3.2. Resultados das Análises das Lajes Nervuradas Quadradas (Lx/Ly = 1)............................... 107

4.3.2.1. Influência do Momento de Inércia à Torção das Faixas da Grelha ............................... 111 4.3.2.2. Influência do Momento de Inércia à Torção das Vigas de Bordo .................................. 115 4.3.2.3. Comparação entre os Modelos Computacionais Desenvolvidos com e sem Vigas de

Bordo para as Lajes Quadradas (Lx/Ly = 1) ................................................................................ 118 4.3.3. Resultados das Análises das Lajes Nervuradas com Lx/Ly = 1,5 ......................................... 122


Bordo para as Lajes Retangulares (Lx/Ly = 1,5).......................................................................... 132 4.3.4. Resultados das Análises das Lajes Nervuradas com Lx/Ly = 2 ............................................ 136


Bordo para as Lajes Retangulares (Lx/Ly = 2)............................................................................. 145 4.3.5. Comparação entre os Resultados para as Diferentes Dimensões das Lajes Nervuradas... 149

4.4. Comparação com Modelos que Discretizam a Mesa das Faixas como Placa..................... 152

4.4.1. Modelo Numérico “Viga – Placa” .......................................................................................... 152

5. Freqüências Fundamentais e Modos de Vibração das Lajes REDUZCON .............. 156

5.1. Introdução................................................................................................................................... 156

5.2. Análise de Autovalores e Autovetores .................................................................................... 156

6. Considerações Finais.................................................................................................... 161

6.1. Introdução................................................................................................................................... 161

6.2. Conclusões ................................................................................................................................. 161

6.3. Sugestões para Trabalhos Futuros.......................................................................................... 164

Anexo A - Resultados das Lajes Nervuradas de 13 cm de Altura ................................ 169

A.1. Laje Nervurada Quadrada......................................................................................................... 169

A.2. Laje Nervurada Retangular (Lx/Ly = 1,5) .................................................................................. 173

A.3. Laje Nervurada Retangular (Lx/Ly = 2) ..................................................................................... 177

Anexo B - Resultados das Lajes Nervuradas de 26 de Altura....................................... 181

B.1. Laje Nervurada Quadrada......................................................................................................... 181

B.2. Laje Nervurada Retangular (Lx/Ly = 1,5) .................................................................................. 184

B.3. Laje Nervurada Retangular (Lx/Ly = 2) ..................................................................................... 187

Lista de Figuras

Figura 1.1 - Laje nervurada de uma residência, Barueri-SP............................................................. 25 Figura 1.2 – Laje nervurada bidirecional [2].......................................................................................... 25 Figura 1.3 - Vigotas pré-moldadas........................................................................................................ 27 Figura 1.4 – Laje pré-moldada com elemento de enchimento.............................................................. 27 Figura 1.5 – Bloco de EPS usado em lajes nervuradas ....................................................................... 28 Figura 1.6 – Formas plásticas da empresa ATEX DO BRASIL ............................................................ 29 Figura 1.7 – Transformação de uma laje nervurada em maciça equivalente [5].................................. 30 Figura 1.8 – Modelo laminar para laje maciça de concreto armado [9,10]........................................... 31 Figura 2.1 – Sistema de coordenada de um elemento de placa .......................................................... 38 Figura 2.2 – Esforços internos solicitantes em um elemento de estrutura espacial [24]...................... 42 Figura 2.3 – Esforços internos solicitantes em um elemento de grelha [24] ........................................ 42 Figura 2.4 - Grelha plana ...................................................................................................................... 43 Figura 2.5 – Graus de liberdade de uma barra de grelha..................................................................... 43 Figura 2.6 – Eixos globais da estrutura em relação ao elemento de grelha......................................... 44 Figura 2.7 – Seção típica e dimensões mínimas de uma laje nervurada ............................................. 47 Figura 2.8 – Representação da laje nervurada na analogia de grelha................................................. 50 Figura 2.9 – Carregamentos nos nós (carga nodal P) e carregamento distribuído (carga

uniformemente distribuída q)......................................................................................................... 51 Figura 2.10 – Geometria de uma laje nervurada com os eixos de referência [30] ............................... 54 Figura 2.11 – Seção transversal de seção T da laje nervurada ........................................................... 55 Figura 2.12 – Subdivisões da seção transversal considerada na laje nervurada [30].......................... 57 Figura 3.1 – Lajes nervuradas do tipo REDUZCON ............................................................................. 60 Figura 3.2 – Esquema estrutural de laje REDUZCON [21]................................................................... 61 Figura 3.3 – Formas semicilíndricas de lajes REDUZCON .................................................................. 61 Figura 3.4 – Esquema estrutural de escoramento................................................................................ 62 Figura 3.5 – Sistema de laje nervurada com trechos de laje maciça ................................................... 62 Figura 3.6 – Esquema de laje REDUZCON [21]................................................................................... 63 Figura 3.7 - Elemento BEAM44 [19] ..................................................................................................... 64 Figura 3.8 – Visualização da excentricidade existente entre a viga de bordo e a laje nervurada........ 65 Figura 3.9 – Malha de elementos finitos [19] ........................................................................................ 65 Figura 3.10 – Esquema de montagem da laje nervurada do tipo REDUZCON [21] (17 formas

formando 16 nervuras principais – cota em cm) ........................................................................... 66 Figura 3.11 – Detalhes do corte A-A..................................................................................................... 67 Figura 3.12 – Laje nervurada do tipo REDUZCON [21] com 26 cm de altura (13 formas formando 12

nervuras principais – cota em cm) ................................................................................................ 67 Figura 3.13 – Laje nervurada do tipo REDUZCON [21] com 13 cm de altura e a relação entre os vãos

igual a 1,5 (25 formas BRC100 formando 24 nervuras principais – cota em cm) ........................ 69

Figura 3.14 – Laje nervurada do tipo REDUZCON [21] com 26 cm de altura e a relação entre os vãos

igual a 1,5 (20 formas BRC210 formando 19 nervuras principais – cota em cm) ........................ 69 Figura 3.15 - Seção do tipo “T” adotada para as nervuras principais das lajes com 13 cm de altura

(BRC100 - cotas em cm)............................................................................................................... 70 Figura 3.16 - Seção do tipo “T” adotada para as nervuras principais das lajes com 17 cm de altura

(BRC130 - cotas em cm)............................................................................................................... 70 Figura 3.17 - Seção do tipo “T” adotada para as nervuras principais das lajes com 26 cm de altura

(BRC210 - cotas em cm)............................................................................................................... 71 Figura 3.18 – Carga uniformemente distribuída sobre as nervuras [23]............................................... 73 Figura 3.19 – Área considerada no cálculo do peso próprio das nervuras .......................................... 74 Figura 3.20 – Laje do tipo REDUZCON [21]com 2 nervuras secundárias (cotas em cm).................... 75 Figura 3.21 – Seções transversais (cotas em cm)................................................................................ 75 Figura 3.22 – Representação da grelha com 2 nervuras secundárias (cotas em cm). ........................ 76 Figura 3.23 - Laje do tipo REDUZCON [21] com 3 nervuras secundárias (cotas em cm). .................. 78 Figura 3.24 – Representação da grelha com 3 nervuras secundárias (cotas em cm). ........................ 79 Figura 3.25 – Modelo estrutural com 5 nervuras secundárias baseado nas lajes do tipo REDUZCON

[21] (cotas em cm)......................................................................................................................... 81 Figura 3.26 - Seções transversais (cotas em cm)................................................................................. 81 Figura 3.27 – Representação da grelha com 5 nervuras secundárias (cotas em cm). ........................ 82 Figura 3.28 - Modelo estrutural com 7 nervuras secundárias baseado nas lajes do tipo REDUZCON

[21] (cotas em cm)......................................................................................................................... 83 Figura 3.29 - Seções transversais (cotas em cm)................................................................................. 83 Figura 3.30 – Representação da grelha com 7 nervuras secundárias (cotas em cm). ........................ 84 Figura 3.31 - Modelo estrutural com 10 nervuras secundárias baseado nas lajes do tipo REDUZCON

[21] (cotas em cm)......................................................................................................................... 85 Figura 3.32 - Seções transversais (cotas em cm)................................................................................. 85 Figura 3.33 – Representação da grelha com 10 nervuras secundárias (cotas em cm). ...................... 86 Figura 3.34 - Modelo estrutural com 13 nervuras secundárias baseado nas lajes do tipo REDUZCON

[21] (cotas em cm)......................................................................................................................... 87 Figura 3.35 - Seções transversais (cotas em cm)................................................................................. 87 Figura 3.36 – Representação da grelha com 13 nervuras secundárias - distância entre os eixos dos

elementos (cotas em cm). ............................................................................................................. 88 Figura 3.37 - Modelo estrutural com 16 nervuras secundárias baseado nas lajes do tipo REDUZCON

[21] (cotas em cm)......................................................................................................................... 89 Figura 3.38 - Seções transversais (cotas em cm)................................................................................. 89 Figura 3.39 – Representação da grelha com 16 nervuras secundárias (cotas em cm). ...................... 90 Figura 4.1 – Grelha de vigas com malha de 80 x 80 cm (cotas em cm)............................................... 93 Figura 4.2 – Deslocamento da grelha (m)............................................................................................. 94 Figura 4.3 – Diagrama de momentos fletores da grelha (Nm).............................................................. 94 Figura 4.4 – Diagrama de momentos torçores da grelha (Nm) ............................................................ 95

Figura 4.5 – Deslocamento da grelha sem rigidez à torção (m) ........................................................... 95 Figura 4.6 – Diagrama de momentos fletores da grelha, desprezando a rigidez à torção desta (Nm) 96 Figura 4.7 – Diagrama de momentos torçores da grelha, desprezando a rigidez à torção desta (Nm)97 Figura 4.8 – Laje nervurada do exemplo 4, análise 1, STRAMANDINOLI [7] (cotas em cm) .............. 98 Figura 4.9 – Seção considerada para as barras da grelha do exemplo 4, STRAMANDINOLI [7] (cotas

em cm)........................................................................................................................................... 98 Figura 4.10 – Deslocamento da grelha (m)........................................................................................... 99 Figura 4.11 – Diagrama de momentos fletores da grelha (Nm)............................................................ 99 Figura 4.12 – Diagrama de momentos torçores da grelha (Nm) .......................................................... 99 Figura 4.13 – Laje maciça apoiada em vigas consideradas deformáveis verticalmente [37]............. 100 Figura 4.14 – Deslocamento da grelha (m)......................................................................................... 101 Figura 4.15 – Diagramas de momentos fletores da grelha (Nm)........................................................ 102 Figura 4.16 – Diagramas de momentos torçores da grelha (Nm)....................................................... 102 Figura 4.17 – Posicionamento das faixas da grelha para a laje com 7 nervuras secundárias........... 104 Figura 4.18 – Influência das vigas de bordo na analogia de grelha ................................................... 106 Figura 4.19 – Posicionamento das primeiras faixas que discretizam a laje nervurada...................... 107 Figura 4.20 – Deslocamentos em função da inércia à torção das faixas da grelha ........................... 112 Figura 4.21 – Momentos fletores em função da inércia à torção das faixas da grelha ...................... 113 Figura 4.22 – Momentos torçores em função da inércia à torção das faixas da grelha ..................... 114 Figura 4.23 – Deslocamentos em função da inércia à torção das vigas de bordo ............................. 115 Figura 4.24 – Momentos fletores em função da inércia à torção das vigas de bordo ........................ 116 Figura 4.25 – Momentos torçores em função da inércia à torção das vigas de bordo....................... 117 Figura 4.26 – Deslocamentos em função da inércia à torção dos elementos .................................... 119 Figura 4.27 – Momentos fletores em função da inércia à torção dos elementos ............................... 120 Figura 4.28 – Momentos torçores em função da inércia à torção dos elementos .............................. 121 Figura 4.29 – Deslocamentos em função da inércia à torção das faixas da grelha ........................... 126 Figura 4.30 – Momentos fletores em função da inércia à torção das faixas da grelha ...................... 127 Figura 4.31 – Momentos torçores em função da inércia à torção das faixas da grelha ..................... 128 Figura 4.32 – Deslocamentos em função da inércia à torção das vigas de bordo ............................. 129 Figura 4.33 – Momentos fletores em função da inércia à torção das vigas de bordo ........................ 130 Figura 4.34 – Momentos torçores em função da inércia à torção das vigas de bordo....................... 131 Figura 4.35 – Deslocamentos em função da inércia à torção dos elementos .................................... 133 Figura 4.36 – Deslocamento da faixa da grelha com a consideração de apoios rígidos ................... 133 Figura 4.37 – Momentos fletores em função da inércia à torção dos elementos ............................... 134 Figura 4.38 – Momentos torçores em função da inércia à torção dos elementos .............................. 135 Figura 4.39 – Deslocamentos em função da inércia à torção das faixas da grelha ........................... 140 Figura 4.40 – Momentos fletores em função da inércia à torção das faixas da grelha ...................... 141 Figura 4.41 – Momentos torçores em função da inércia à torção das faixas da grelha ..................... 142 Figura 4.42 – Deslocamentos em função da inércia à torção das vigas de bordo ............................. 143 Figura 4.43 – Momentos fletores em função da inércia à torção das vigas de bordo ........................ 144

Figura 4.44 – Momentos torçores em função da inércia à torção das vigas de bordo....................... 145 Figura 4.45 – Deslocamentos em função da inércia à torção dos elementos .................................... 146 Figura 4.46 – Momentos fletores em função da inércia à torção dos elementos ............................... 147 Figura 4.47 – Momentos torçores em função da inércia à torção dos elementos .............................. 148 Figura 4.48 – Deslocamentos nas lajes nervuradas com diferentes relações entre os comprimentos

dos vãos ...................................................................................................................................... 149 Figura 4.49 – Esforços nas lajes nervuradas com diferentes relações entre os comprimentos dos vãos

..................................................................................................................................................... 151 Figura 4.51 – Discretização das nervuras no modelo numérico “viga-placa”..................................... 152 Figura 4.52 – Elemento SHELL63 [19] ............................................................................................... 153 Figura 5.1 – 1º modo de vibração referente às lajes com 3 nervuras secundárias (Lx/Ly = 1) ........... 158 Figura 5.2 – 1º modo de vibração referente às lajes com 3 nervuras secundárias (Lx/Ly = 1,5) ........ 158 Figura 5.3 – 1º modo de vibração referente às lajes com 3 nervuras secundárias (Lx/Ly = 2) ........... 159 Figura 5.4 – 1º modo de vibração referente às lajes com 2 nervuras secundárias (Lx/Ly = 1) ........... 159 Figura 5.5 – 1º modo de vibração referente às lajes com 2 nervuras secundárias (Lx/Ly = 1,5) ........ 160 Figura 5.6 – 1º modo de vibração referente às lajes com 2 nervuras secundárias (Lx/Ly = 2) ........... 160

Lista de Tabelas Tabela 3.1 – Composição estrutural nas modalidades dos barrotes.................................................... 63 Tabela 3.2 - Variação do número de nervuras secundárias dos modelos estruturais obtidos com as

formas BRC100 e BRC130 ........................................................................................................... 68 Tabela 3.3 - Variação do número de nervuras secundárias dos modelos estruturais obtidos com a

forma BRC210............................................................................................................................... 68 Tabela 3.4 – Características das barras da grelha que representam a laje nervurada com 2 nervuras

secundárias ................................................................................................................................... 76 Tabela 3.5 – Características das barras da grelha que representam a laje nervurada com 5 nervuras

secundárias ................................................................................................................................... 81 Tabela 3.6 – Carregamentos atuantes na laje nervurada e nas barras da grelha equivalente............ 82 Tabela 3.7 – Características das barras da grelha que representam a laje nervurada com 7 nervuras

secundárias ................................................................................................................................... 84 Tabela 3.8 – Carregamentos atuantes na laje nervurada e nas barras da grelha equivalente............ 84 Tabela 3.9 – Características das barras da grelha que representam a laje nervurada com 10 nervuras

secundárias ................................................................................................................................... 86 Tabela 3.10 – Carregamentos atuantes na laje nervurada e nas barras da grelha equivalente.......... 86 Tabela 3.11 – Características das barras da grelha que representam a laje nervurada com 13

nervuras secundárias .................................................................................................................... 88 Tabela 3.12 – Carregamentos atuantes na laje nervurada e nas barras da grelha equivalente.......... 88 Tabela 3.13 – Características das barras da grelha que representam a laje nervurada com 16

nervuras secundárias .................................................................................................................... 90 Tabela 3.14 – Carregamentos atuantes na laje nervurada e nas barras da grelha equivalente.......... 90 Tabela 3.15 – Características físicas e geométricas das vigas de bordo............................................. 91 Tabela 4.1 – Comparação entre os resultados fornecidos pelo programa Ansys [19] e o programa

AltoQI [36]...................................................................................................................................... 93 Tabela 4.2 – Comparação entre os resultados fornecidos pelo programa Ansys [19] e o programa

AltoQI [36]...................................................................................................................................... 97 Tabela 4.3 – Comparação entre os resultados obtidos pelo programa Ansys [19] e pelos resultados de

STRAMANDINOLI [7] .................................................................................................................. 100 Tabela 4.4 – Comparação entre os resultados obtidos pelo programa Ansys e pelos resultados de

SILVA [37] ................................................................................................................................... 103 Tabela 4.5 - Resultados das análises da laje nervurada quadrada de 13 cm de altura feitas sem a

consideração de vigas de bordo, apenas com apoios rígidos .................................................... 104 Tabela 4.6 - Resultados da análise da laje nervurada quadrada de 13 cm de altura, com 7 nervuras

secundárias, feitas considerando as vigas de bordo (15 x 40 cm) ............................................. 105 Tabela 4.7 - Resultados das análises da laje nervurada quadrada de 17 cm de altura: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I .................... 108

Tabela 4.8 - Resultados das análises da laje nervurada quadrada de 17 cm de altura: 1% do

momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I ............ 109 Tabela 4.9 - Resultados das análises da laje nervurada quadrada de 17 cm de altura: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ................... 109 Tabela 4.10 - Resultados das análises da laje nervurada quadrada de 17 cm de altura: 1% do

momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ........... 110 Tabela 4.11 - Resultados das análises da laje nervurada quadrada de 17 cm de altura: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo .................. 110 Tabela 4.12 - Resultados das análises da laje nervurada quadrada de 17 cm de altura: 1% do

momento de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo.......... 111 Tabela 4.13 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 17 cm de altura, apoiada

em apoios indeslocáveis: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha ............... 118 Tabela 4.14 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 17 cm de altura, apoiada

em apoios indeslocáveis: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha................. 119 Tabela 4.15 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I .................... 123 Tabela 4.16 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, Lx/Ly = 1,5: 1% do momento de

inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I ................................. 123 Tabela 4.17 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ................... 124 Tabela 4.18 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ........................... 124 Tabela 4.19 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo .................. 125 Tabela 4.20 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5,: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo.......................... 125 Tabela 4.21 - Resultados das análises das lajes nervuradas de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5,

apoiada em apoios indeslocáveis: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha . 132 Tabela 4.22 - Resultado das análises das lajes nervuradas de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5,

apoiada em apoios indeslocáveis: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha... 132 Tabela 4.23 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I .................... 136 Tabela 4.24 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I ............................ 137 Tabela 4.25 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ................... 137 Tabela 4.26 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ........................... 138 Tabela 4.27 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo .................. 138

Tabela 4.28 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo.......................... 139 Tabela 4.29 - Resultados das análises das lajes nervuradas de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2,

apoiada em apoios indeslocáveis: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha . 146 Tabela 4.30 - Resultado das análises das lajes nervuradas de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2, apoiada

em apoios indeslocáveis: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha................. 146 Tabela 4.31 – Comparação entre os modelos de analogia de grelha e viga-placa............................ 154 Tabela 5.1 Freqüência crítica para alguns casos especiais de estruturas [1]. ................................... 157 Tabela 5.2 – Freqüência natural das lajes analisadas pela analogia de grelha. ................................ 157

Tabela A.1 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 13 cm de altura, apoiada

em apoios indeslocáveis: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha ............... 169 Tabela A.2 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 13 cm de altura, apoiada

em apoios indeslocáveis: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha................. 169 Tabela A.3 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 13 cm de altura: momento

de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I ............... 169 Tabela A.4 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradaa de 13 cm de altura: 1% do

momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I ............ 170 Tabela A.5 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 13 cm de altura: momento

de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II .............. 170 Tabela A.6 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 13 cm de altura: 1 % do

momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ........... 171 Tabela A.7 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 13 cm de altura: momento

de inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo............. 171 Tabela A.8 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 13 cm de altura: 1%

domomento de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo...... 172 Tabela A.9 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I .................... 173 Tabela A.10 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I ............................ 174 Tabela A.11 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ................... 174 Tabela A.12 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ........................... 175 Tabela A.13 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo .................. 175 Tabela A.14 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo.......................... 176 Tabela A.15 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I .................... 177

Tabela A.16 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I ............................ 178 Tabela A.17 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ................... 178 Tabela A.18 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ........................... 179 Tabela A.19 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo .................. 179 Tabela A.20 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo.......................... 180 Tabela B.1 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 26 cm de altura: momento

de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I ............... 181 Tabela B.2 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 26 cm de altura: 1% do

momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I ............ 181 Tabela B.3 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 26 cm de altura: momento

de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II .............. 182 Tabela B.4 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 26 cm de altura: 1% do

momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ........... 182 Tabela B.5 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 26 cm de altura: momento

de inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo............. 183 Tabela B.6 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 26 cm de altura: 1% do

momento de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo.......... 183 Tabela B.7 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I .................... 184 Tabela B.8 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I ............................ 184 Tabela B.9 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ................... 185 Tabela B.10 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ........................... 185 Tabela B.11 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo .................. 186 Tabela B.12 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo.......................... 186 Tabela B.13 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I .................... 187 Tabela B.14 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I ............................ 187

Tabela B.15 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ................... 188 Tabela B.16 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II ........................... 188 Tabela B.17 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de

inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo .................. 189 Tabela B.18 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento

de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo.......................... 189

Lista de Símbolos

Ai área da porção i da seção transversal

B rigidez equivalente à torção de uma laje ortotrópica

Bw largura da nervura da seção T

bi largura da porção i da seção transversal

bf largura da mesa da seção T

D rigidez da placa à flexão

Di distância do centro de gravidade da porção i ao centro de gravidade da seção

Dx, Dy rigidezes à flexão nas direções dos eixos coordenados x e y, respectivamente

Dxy, Dyx rigidezes à torção nas direções dos eixos coordenados x e y, respectivamente

D1, D2 contribuição da flexão na torção da placa enrijecida

E, Ec módulo de elasticidade (deformação) longitudinal, MPa

Ecs módulo de elasticidade longitudinal secante, MPa

ex, ey distância do topo da laje à linha neutra nas direções x e y, respectivamente

Fx, Fy,

Fz forças aplicadas nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente

f freqüência natural da estrutura

fck resistência característica do concreto à compressão

fcrít freqüência crítica

G, Gc módulo de elasticidade transversal, MPa

(g + q) ação devida ao peso próprio e aos carregamentos externos aplicada

perpendicularmente ao plano da placa no interior da placa

h altura da laje

hi altura da porção i da seção transversal

hf altura da mesa da seção T

I momento de inércia à flexão da barra

Ix momento de inércia à torção

Iy , Iz momentos de inércia à flexão em torno do eixo y e z, respectivamente

Isx momento de inércia nas seções das nervuras de acordo com o eixo x

Isy momento de inércia nas seções das nervuras de acordo com o eixo y

J momento de inércia à torção da barra

J1 momento de inércia à torção relativo à mesa de uma seção T

J2 momento de inércia à torção relativo à nervura de uma seção T

L comprimento da barra

Lx comprimento da laje no sentido de x (maior dimensão)

Ly comprimento da barra no sentido de y (menor dimensão)

Mox, Moy,

Moz momentos fletores aplicados nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente

Mx momento fletor na nervura principal

My momento fletor na nervura secundária

Mxy momento torçor na nervura secundária

Myx momento torçor na nervura principal

mx momento por unidade de comprimento

NP nervura principal

NS nervura secundária

Sm matriz de rigidez do elemento de grelha

Smd matriz de rigidez associada aos eixos globais da estrutura

Sx e Sy espaçamento das nervuras na direção do eixo x

Sx e Sy espaçamento das nervuras na direção do eixo y

VB viga de bordo

xm, ym,

zm eixos coordenados locais do elemento de grelha

ycg ordenada do centróide da seção T, medido a partir da face superior da nervura

w deslocamento medido perpendicularmente ao plano da laje, cm

αx, αy espaçamento das nervuras nas direções x e y, respectivamente

β constante usual de torção para seções retangulares

γc peso específico para o concreto armado

ν coeficiente de Poisson do concreto

{d} vetor dos deslocamentos de cada barra da estrutura

{F} vetor coluna de cargas externas

{F0} vetor coluna dos esforços de imobilização dos nós da estrutura

2H soma das rigidezes à torção nas direções x e y

[K] matriz de rigidez da estrutura

[r] matriz de rigidez no sistema global

{S} esforços solicitantes nas extremidades das barras no sistema global

{S0} vetor de esforços de imobilização dos nós de cada barra no sistema global

[T] matriz de transformação do eixo local para o eixo global

[δ] matriz coluna dos deslocamentos

Lista de Abreviaturas

NBR-6118 Norma Brasileira para Estruturas de Concreto Armado

EPS Poliestireno Expandido

ACI-435 American Concrete Institute

Eurocode European Committee for Standardisation

REDUZCON sistema de lajes nervuradas

BRC barrote redutor de concreto

"Não sabendo que era impossível, ele foi lá e fez."

Jean Cocteau

1. Introdução

1.1. Generalidades

A análise estrutural de lajes por meio de métodos numéricos constitui-se, atualmente,

em rotina nos escritórios de projeto. O cálculo e detalhamento com o auxílio de softwares

são praticamente imprescindíveis, devido principalmente ao ritmo imposto pelos

contratantes do projeto e à necessidade de avaliar as diversas possibilidades de sistemas

estruturais distintos procurando, dessa forma, a de melhor viabilidade econômica.

A escolha do tipo de laje a ser utilizada nas construções cabe ao projetista, o que é,

em geral, feita em função de sua experiência profissional, de tal forma que satisfaça

plenamente os critérios arquitetônicos, de segurança e de economia.

Após definido o tipo de laje a ser utilizada, a determinação da espessura é feita

baseando-se nos critérios dos estados limites de utilização, ou seja, de forma a se evitar

grandes deformações ou que elas vibrem excessivamente, ocasionando sensação de

desconforto.

Nas edificações, as lajes são responsáveis por elevada parcela do consumo de

concreto. Utilizando-se lajes maciças nos pavimentos, esta parcela chega usualmente a

quase dois terços do volume total da estrutura, sendo que a espessura das lajes maciças

pode atingir valores tão elevados com o aumento dos vãos livres a serem vencidos que

grande parte de sua capacidade resistente passa a ser utilizada para combater as

solicitações devidas ao peso próprio, tornando a estrutura antieconômica.

Assim sendo, faz-se necessário o estudo dos critérios de escolha dos tipos de lajes a

serem empregados tendo em vista a obtenção de soluções técnicas e econômicas, ou seja,

procura-se reduzir o volume de concreto empregado nesses sistemas estruturais, o que

pode ser feito suprimindo-se uma parte do concreto que não trabalha, na zona tracionada da

laje, e agrupando-se as armaduras de tração em faixas, chamadas de nervuras, como

mostrado na Figura 1.1.

A principal finalidade da nervura é a de proteger a armadura tracionada e fazer com

que a estrutura trabalhe monoliticamente, pois o concreto na zona de tração (nervuras) tem

sua resistência desprezada no dimensionamento.

Segundo a norma brasileira para estruturas de concreto armado, NBR-6118 [1], lajes

nervuradas são definidas como lajes cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as

25

quais podem ser colocados materiais inertes com a finalidade de tornar plana a superfície

externa.

Figura 1.1 - Laje nervurada de uma residência, Barueri-SP

No espaço entre as nervuras, costuma-se colocar materiais inertes, de peso próprio

reduzido em comparação com o do concreto, com a finalidade de permitir um acabamento

plano ao teto e, dependendo do material, de servir de fôrmas para as nervuras, como

ilustrado na Figura 1.2. Estes materiais inertes podem ser tijolos de argila, caixas de fibro-

cimento ou papelão, placas de gesso, blocos de poliestireno expandido (EPS), etc.

Figura 1.2 – Laje nervurada bidirecional [2]

Portanto, segundo SOUZA & CUNHA [3], a economia que se obtém é função do

alívio de peso próprio e da diferença de custos entre o concreto e o material inerte que o

substitui, incluindo-se aí a diferença de custos de execução entre as duas soluções.

26

Entre as vantagens das lajes nervuradas, pode-se citar:

• Obtenção de estruturas mais leves para lajes que vencem grandes vãos;

• O material de enchimento, quando existente, normalmente é melhor isolante

térmico que o concreto e, em alguns casos, é também incombustível;

• O isolamento acústico oferecido pelo material de enchimento, quando existente, é

superior ao do concreto;

• A estrutura, para grandes vãos, é normalmente mais econômica que as lajes

maciças ou as lajes cogumelo.

As lajes nervuradas podem apresentar as seguintes desvantagens e/ou exigir

cuidados especiais na execução:

• Quando são utilizados tijolos, se os mesmos não forem suficientemente

molhados antes da concretagem, há absorção da água do concreto, tornando

mais difícil o adensamento. A falta desta molhagem, se ocorrer, muitas vezes

leva ao acréscimo de água no concreto (por falta de orientação adequada)

durante a execução, aumentando seu fator água-cimento e, conseqüentemente,

diminuindo a resistência do concreto;

• A distribuição das cargas concentradas não é feita de forma tão eficiente quanto

nas lajes maciças;

• Em virtude de a laje nervurada ser menos monolítica que a maciça, certas

reservas de segurança existentes nesta última (embora não computadas no

cálculo) ocorrem com menor intensidade na laje nervurada.

As lajes nervuradas podem ser moldadas no local ou ser executadas com nervuras

pré-moldadas. Quando são moldadas no local, exigem todas as etapas de execução, ou

seja, é necessário o uso de escoramentos, além do material de enchimento ou de fôrmas

que os substituem.

Na alternativa, as nervuras são compostas de vigotas pré-moldadas, que dispensam

o uso do tabuleiro da forma tradicional, de acordo com a Figura 1.3. Essas vigotas são

capazes de suportar seu peso próprio e as ações de construção, necessitando apenas de

cimbramentos intermediários.

27

Figura 1.3 - Vigotas pré-moldadas

Além das vigotas, essas lajes são constituídas por elementos de enchimento, que

são colocados sobre os elementos pré-moldados, e também de concreto moldado no local,

como mostrado na Figura 1.4.

Figura 1.4 – Laje pré-moldada com elemento de enchimento

Pelas razões acima expostas, percebe-se a grande vantagem em se utilizar lajes

nervuradas, as quais não necessariamente precisam ter o mesmo número de nervuras nas

duas direções e vê-se, então, a necessidade de um claro entendimento das diversas

possibilidades de disposição estrutural, ou seja, do comportamento destas lajes quando se

varia o número de nervuras.

O método adotado para tal investigação é o da analogia de grelha, por ser facilmente

assimilado pelos projetistas e representar bem a estrutura em estudo, onde a malha

utilizada no processo apresenta todas as barras do modelo coincidindo com o centro das

nervuras.

28

1.2. Estado da Arte na Análise de Lajes Nervuradas de Concreto Armado

As lajes em geral têm dupla função estrutural: de placa e de chapa. Elas recebem as

ações verticais, perpendiculares à superfície média, e as transmitem para os apoios. Esta

situação se refere ao comportamento de placa.

A outra função de uma laje, com comportamento de chapa (com as ações atuando

ao longo de seu plano), é atuar como diafragma horizontal rígido, distribuindo as ações

horizontais entre os diversos pilares da estrutura.

O comportamento de chapa é fundamental para a estabilidade global da estrutura,

principalmente nos edifícios altos. É através das lajes que os pilares contraventados se

apóiam nos elementos de contraventamento, garantindo a segurança da estrutura em

relação às ações laterais.

Com o desenvolvimento e as exigências das edificações de concreto armado, as

lajes nervuradas passaram a ser uma solução interessante. Embora atualmente seja um

sistema amplamente utilizado, as lajes nervuradas foram, desde o início, objeto de

questionamento tanto pelo meio técnico, como pelo meio executivo. Tal fato ocorreu em

virtude do alto consumo de formas necessárias à sua execução, principalmente com relação

às lajes bidirecionais.

Nos dias de hoje, porém, este panorama está totalmente modificado. O

desenvolvimento tecnológico que levou à criação de novos materiais, como as armaduras

treliçadas, os blocos leves de EPS mostrados na Figura 1.5 e as formas plásticas aplicadas

especialmente à produção de lajes nervuradas bidirecionais, ilustradas na Figura 1.6, tornou

o emprego dessas lajes uma solução bastante utilizada atualmente nas estruturas de

edifícios de múltiplos pisos.

Figura 1.5 – Bloco de EPS usado em lajes nervuradas

29

Figura 1.6 – Formas plásticas da empresa ATEX DO BRASIL

O sistema nervurado, conforme citado em FRANCA & FUSCO [2], é uma evolução

natural das lajes maciças, pois resulta da eliminação da maior parte do concreto abaixo da

linha neutra, o que permite o aumento econômico da espessura total das lajes pela criação

de vazios em um padrão rítmico de arranjo ou com a utilização de material inerte, que não

colabora com a resistência da laje. Com isto, têm-se um alívio do peso próprio da estrutura e

um aproveitamento mais eficiente dos materiais, aço e concreto, já que a mesa de concreto

resiste aos esforços de compressão e a armadura, os de tração, sendo que a nervura de

concreto faz a ligação mesa-alma.

A estrutura convencional com lajes nervuradas é um sistema articulado plano,

formado pelo cruzamento de pequenas vigotas, com afastamento menor que 1,10 m,

levando em consideração o piso como colaborante na resistência à flexão das vigas,

denominadas nervuras, com objetivo de obter maiores distâncias entre os eixos dos pilares.

A evolução dos programas computacionais passou a permitir, na análise estrutural,

um grau de sofisticação jamais visto. Além da precisão da análise, a integração das

informações permitiu passar da análise ao projeto (dimensionamento, detalhamento e

desenho) de uma forma rápida e precisa. Graças a esses sistemas, hoje é possível se fazer

a análise do pavimento de um edifício permitindo tratar o conjunto de lajes nervuradas e

vigas como uma única estrutura em grelha, eliminando-se assim as restrições decorrentes

do uso de modelos simplificados para análise destas estruturas.

Diversos métodos para análise e dimensionamento de lajes de concreto armado de

pavimentos de edifícios têm sido propostos e usados ao longo dos anos, como, por

exemplo, o método dos elementos finitos, charneiras plásticas, analogia de grelha, etc.

Esses métodos são usados para analisar os deslocamentos, os esforços internos, os

elementos de apoio e a capacidade de carga das lajes.

Conhecendo-se a distribuição dos esforços atuantes, tais como momentos fletores,

momentos de torção e esforços cortantes, é possível verificar as tensões e calcular as

armaduras necessárias nesse tipo de sistema estrutural.

30

Segunto o Código ACI-435 [4], Marsh, em 1904, substituiu uma laje maciça

uniformemente carregada por uma malha de vigas que se cruzavam. Contudo, em sua

modelagem, negligenciou os momentos torçores da placa, gerando assim um erro de 25%

nos momentos fletores para uma placa simplesmente apoiada.

Posteriormente, de acordo com SOUZA & CUNHA [3], a teoria foi modificada numa

tentativa de levar em conta os momentos torçores desprezados por Marsh. Dessa forma,

introduziu fatores de modificação no cálculo dos momentos fletores e deslocamentos,

relacionando condições de vinculação e características geométricas.

Conforme a NBR-6118 [1], mesmo considerando as lajes nervuradas como

elementos estruturais complexos, estas podem ser calculadas como elementos de placa

dando-lhes, assim, o mesmo tratamento das lajes maciças.

Neste sentido, foi feito um estudo por BARBIRATO [5], no qual a laje nervurada foi

transformada numa laje maciça, de acordo com a Figura 1.7, de espessura constante,

correspondente em comportamento à laje nervurada através de uma equivalência da inércia

à flexão.

Figura 1.7 – Transformação de uma laje nervurada em maciça equivalente [5]

Nesse trabalho [5], não se considera a rigidez à torção da laje, sendo o módulo de

deformação transversal do concreto, G, correspondente a 1% do valor calculado pela

equação obtida através da teoria clássica da elasticidade.

Existem alguns estudos comparando os resultados obtidos por grelha e por

elementos finitos (placa equivalente). Dentre eles, citam-se BOCCHI JR [6], onde se

31

considerou apenas 20% da rigidez à torção integral da seção T, e BARBIRATO [5], sendo

que ambos concluem que o modelo que melhor representa essa tipologia de pavimento é a

analogia de grelha.

No intuito de se fazer um estudo comparativo dos resultados obtidos pelo método de

analogia de grelha, pelo método tridimensional em elementos finitos e pelo procedimento

preconizado pela norma brasileira (laje equivalente), STRAMANDINOLI [7] chega a

resultados insatisfatórios com a substituição de lajes nervuradas por placas elásticas, onde

os momentos elásticos e as flechas foram menores do que os obtidos por analogia de grelha

e por elementos finitos. Stramandinoli [7] recomenda que só sejam assim calculadas as lajes

nervuradas se os esforços forem obtidos sem a consideração da rigidez à torção.

De acordo com ARAÚJO [8,9,10], para se analisar uma laje maciça ou nervurada,

pode-se dividí-la em diversas lâminas ou camadas de pequena espessura, Figura 1.8. Este

método é baseado na teoria das placas de Mindlin, como citado em ARAÚJO [8,9,10], e a

análise estrutural é realizada com o emprego do método dos elementos finitos,

considerando-se a não-linearidade física do concreto em compressão e a colaboração do

concreto tracionado entre fissuras.

Figura 1.8 – Modelo laminar para laje maciça de concreto armado [9,10]

No método laminar [8,9,10], admite-se que a laje nervurada de concreto armado seja

tratada como uma laje maciça com propriedades equivalentes para as camadas de concreto

situadas na região das nervuras. Ou seja, deve-se trabalhar com propriedades equivalentes

do concreto, para que o modelo seja capaz de representar os vazios deixados na estrutura

pela eliminação de parte do concreto da zona tracionada. Quando os vazios forem

permanentemente preenchidos com blocos de um material inerte (aquele com peso próprio

reduzido em comparação com o concreto), esse efeito favorável poderá ser considerado,

adotando-se propriedades equivalentes para esse material. As armaduras também podem

ser consideradas, substituindo-as por uma lâmina contínua.

32

Em seus trabalhos, o autor [8,9,10] conclui que as lajes nervuradas de concreto

armado apresentam um comportamento muito semelhante ao das lajes maciças, o que

permite que o cálculo seja feito como uma laje maciça equivalente com rigidez à torção igual

à rigidez à flexão. Ainda que as nervuras sejam diferentes nas duas direções, ARAÚJO

[8,9,10] recomenda o cálculo como placa ortotrópica, porém com uma rigidez à torção

equivalente. Segundo esse mesmo autor, os eventuais desvios da solução elástica

equivalente em relação à resposta não-linear (e experimental) devem-se à fissuração do

concreto, não sendo conseqüência de uma possível redução da rigidez à torção da laje

nervurada.

COELHO & LORIGGIO [11] desenvolveram estudos de lajes através dos métodos

dos elementos finitos, solução de Navier e analogia de grelha e concluíram que esta última é

uma ferramenta útil na análise e dimensionamento de lajes de concreto armado, pois

consegue simulá-las adequadamente e de maneira prática fornecendo resultados muito

próximos da teoria das placas delgadas em regime elástico.

A fim de contribuir para o aprimoramento da análise estrutural de lajes nervuradas,

DIAS et al [12] estudaram modelos nos quais se considera, de forma simplificada e realista,

a excentricidade existente entre os eixos das nervuras e o plano médio da capa,

procedendo-se às análises numéricas por meio do método dos elementos finitos. Os

modelos simplificados adotados foram os de grelha, utilizando apenas elementos finitos de

barra, e laje maciça equivalente em flexão, utilizando apenas elementos finitos de casca

plana. Ambos os modelos simplificados consideraram uma seção “T” formada pela nervura

mais a largura colaborante da capa da laje nervurada. O modelo mais realista simula a capa

por elementos finitos de casca plana e as nervuras por elementos de barra tridimensional

que permitem a criação de offsets rígidos para definir a localização exata do centróide da

seção em relação à localização do nó do elemento no modelo. Verifica-se que o modelo da

consideração da excentricidade pelo offset rígido apresenta os melhores resultados na fase

elástica do material.

BARBOZA [13] mostra, comparando-se os resultados obtidos com a analogia de

grelha e com o método dos elementos finitos, que a analogia oferece resultados satisfatórios

para lajes maciças. Assim, esperam-se resultados ainda melhores com a análise de lajes

nervuradas em um modelo tridimensional de analogia de grelha, devido à maior semelhança

geométrica entre ambos; estrutura real e modelo computacional.

No entanto, de acordo com SHEIKH & MUKHOPADHYAY [14], a modelagem de

placas enrijecidas através de sistemas de grelhas têm fracassado na evolução de uma

solução genérica satisfatória.

Com um estudo experimental e numérico de deformações em uma laje nervurada,

SELISTRE & KLEIN [15], realizaram análises numéricas de dois modelos computacionais,

33

sendo um gerado com elementos finitos de placa no SAP90 [16], baseado no conceito de

rigidez equivalente à flexão na região nervurada considerando a rigidez à torção da laje, e

outro com elementos de grelha no GRELHA-TQS [17], o qual desprezou a influência da

torção.

Um modelo reduzido foi confeccionado em microconcreto armado na escala 1:7,5

para a realização da análise experimental. Os carregamentos previstos para a laje foram

simulados através de uma altura equivalente de coluna d’água. Foram feitos ensaios de

curta e longa duração. Inicialmente, com o ensaio foi de curta duração, atingia-se o nível

d’água desejado, aguardavam-se alguns minutos e, uma vez realizadas as leituras dos

instrumentos, passava-se, imediatamente, à etapa de carga seguinte. Seguiu-se um ciclo de

15 etapas de carga do ensaio de curta duração. Logo após, foi iniciado o ensaio de longa

duração, que consistiu em acompanhar a evolução dos deslocamentos verticais do modelo

submetido à carga de 7,5 kN/m2 (75 cm de coluna d’água) durante 76 dias e, depois de

descarregado, durante mais 14 dias.

Das análises dos resultados, os autores [15] concluem que o cálculo que melhor

simula o comportamento elástico-linear da estrutura é o que utiliza elementos finitos de

placa, sendo o mais rígido, discretizado pelo SAP90 [16]. Entretanto, à medida que a

fissuração da laje evolui durante o ensaio reduzindo, assim, sua rigidez, o seu

comportamento se aproxima do previsto pelo modelo numérico menos rígido, gerado com

elementos de grelha no GRELHA – TQS [17]. Nos últimos estágios de carga, a fissuração

do microconcreto provoca um comportamento o qual nenhum dos dois modelos numéricos é

capaz de reproduzir seu desempenho elasto-plástico.

MELO & FONTE [18] também desenvolveram um estudo comparando modelos

numéricos, através do método dos elementos finitos e da analogia de grelha, e um modelo

experimental de uma laje nervurada sem vigas, apoiada diretamente sobre pilares. A melhor

representação obtida para os momentos foi a de elementos de barra para as nervuras e

elementos de placa para o capeamento, as faixas sólidas e os ábacos; sendo a região dos

pilares composta por placas de grande rigidez. No modelo de elementos finitos com placas

de espessura equivalente representando as nervuras, os resultados, principalmente nas

faixas dos pilares, foram menos satisfatórios que os do modelo anterior. Foram verificados

bons resultados nas regiões das nervuras através do modelo da analogia de grelha, porém,

em regiões de ábacos e faixas sólidas, seus resultados de momentos não foram muito

adequados. Quanto aos deslocamentos, os dois modelos apresentaram bom desempenho.

A modelagem computacional, como ferramenta numérica, permite nos dias atuais

que os novos sistemas de pisos, e também aqueles analisados pelos pesquisadores no

passado, sejam substituídos por modelos numéricos que podem expressar uma realidade

bem aproximada dos modelos criados em laboratório. Esta ferramenta numérica, baseada

34

no método dos elementos finitos, facilita a adoção de critérios de projeto e a avaliação do

comportamento dos pisos a serem adotados nas construções atuais. Seu papel é

fundamental para evitar o custo adicional e o tempo duradouro empregados na realização

das pesquisas de caráter experimental.

1.3. Objetivos e Motivação

Com a utilização crescente de lajes nervuradas em edifícios residenciais, comerciais

e industriais, e até mesmo residências, motivada pela sua simples e rápida execução, aliada

à um bom desempenho funcional da estrutura e pela relativa facilidade na elaboração de

projetos, graças ao desenvolvimento de programas avançados de análise estrutural, vê-se a

necessidade de contribuir com informações e conclusões que possam ser adotadas como

parâmetros de projeto e/ou nortear projetistas quanto ao uso adequado destas lajes.

Considerando-se a relevância do assunto, este trabalho tem como objetivo principal

estudar o comportamento de lajes nervuradas com relação à variação do número de

nervuras secundárias conjuntamente ao estudo da variação da rigidez à torção das nervuras

e das vigas de apoio em diferentes relações entre os lados de uma laje retangular. Este

estudo é realizado à luz dos resultados obtidos através de modelagem numérica

computacional com o auxílio do programa ANSYS [19].

Os resultados obtidos pela analogia de grelha são comparados com os obtidos por

modelos de elementos finitos de placa e viga, representando, respectivamente, a mesa e as

nervuras da laje. Também são refeitas algumas análises numéricas com base no emprego

da analogia de grelha para que se pudesse validar os modelos desenvolvidos nesta

dissertação.

Este trabalho é dividido em duas etapas distintas. Em uma primeira etapa é realizado

um estudo paramétrico do comportamento estático das lajes nervuradas e, em uma segunda

etapa, são realizadas análises do comportamento das frequências dessas lajes.

Pretende-se, portanto, abordar assuntos importantes a respeito desse sistema

estrutural de tal forma que se possam ter subsídios para estudos e trabalhos futuros com

outros parâmetros físicos e geométricos. As metodologias de análise desenvolvidas são

descritas e discutidas em detalhe.

35

1.4. Escopo do Trabalho

O presente capítulo apresentou a motivação para o desenvolvimento deste trabalho,

um breve resumo do estado da arte para as lajes nervuradas, especificou os seus principais

objetivos além de uma pequena descrição do conteúdo de cada capítulo conforme pode ser

observado a seguir.

No Capítulo 2 são apresentados os aspectos teóricos da teoria das grelhas e da

teoria das placas. Tem-se, também, neste capítulo, algumas normas e recomendações para

a análise e projeto de lajes nervuradas.

O Capítulo 3 expõe algumas considerações acerca das peculiaridades da laje

nervurada do tipo REDUZCON [21], empresa que fabrica os moldes para estas lajes e que

as constrói. Ainda neste mesmo capítulo, é apresentada a sua modelagem computacional

para o sistema estrutural analisado, bem como o detalhamento do método da analogia de

grelha para o estudo realizado. Incluem-se, também neste capítulo, as propriedades físicas

e geométricas e os carregamentos adotados para o estudo paramétrico.

No Capítulo 4 são apresentados os resultados das análises das lajes nervuradas,

analisando-se separadamente a influência dos diversos parâmetros considerados. Também

é feita uma análise com elementos finitos de viga para representar as nervuras e placa para

as mesas, utilizados para discretizar as lajes nervuradas. Esta análise é comparada à

anteriormente realizada pelo método da analogia de grelha.

O Capítulo 5 contém o estudo das freqüências fundamentais das lajes REDUZCON

[21] e uma comparação destes resultados com aqueles preconizados pela Norma Brasileira

de Concreto Armado, NBR-6118 [1]. Apresentam-se, também, os modos fundamentais de

vibração destas lajes.

Finalmente, no capítulo 6, são apresentadas as considerações finais e algumas

sugestões para trabalhos futuros de forma a contribuir para o avanço desta linha de

pesquisa.

36

2. Aspectos Teóricos e Modelagem de Lajes Nervuradas

2.1. Generalidades

Neste capítulo são apresentados conceitos importantes associados às teorias para

análise de lajes em geral. Também são discutidos alguns procedimentos usuais

preconizados em normas e adotados na prática corrente de projetos de lajes nervuradas.

Finalmente, é feita uma abordagem geral sobre a analogia de grelha para lajes nervuradas,

demonstrando os conceitos e parâmetros mais importantes.

2.2. Aspectos Teóricos

As placas delgadas encontram-se submetidas, essencialmente, aos esforços de

flexão, enquanto que as chapas estão submetidas a cargas aplicadas em seu plano médio.

As placas variam de acordo com sua forma, seu apoio e sua carga aplicada. Quanto à

forma, podem ser poligonal ou circular, maciças ou com espaços vasados. Podem estar

apoiadas em seu contorno, estarem em balanço e serem contínuas em uma ou duas

direções, apresentando apoio pontual ou linear, simples ou engastado. Além disso, as

placas podem estar submetida a cargas do tipo pontual, uniforme, triangular, etc.

Os métodos tradicionais para a determinação da distribuição de momentos em uma

laje têm sido feito através dos modelos elásticos, os quais se baseiam na solução da

equação diferencial que rege o comportamento de uma placa. Essas soluções limitam-se,

contudo, a casos nos quais se tenham condições de contorno simples que levem a soluções

exatas.

2.2.1.Teoria das Placas

A Teoria da Elasticidade, segundo TIMOSHENKO & WOINOWSKI – KRIEGER [20],

é uma teoria cujas hipóteses básicas variam de acordo com o tipo de placa considerada.

Para placas de pouca espessura, como a maioria das lajes de edifícios, tem-se as seguintes

hipóteses básicas:

• O material da placa é elástico, homogêneo e isotrópico;

37

• A espessura da placa é pequena em relação às outras dimensões (da ordem de

1/10);

• As deformações angulares da superfície média são pequenas comparadas à

unidade;

• Os deslocamentos dos pontos da superfície média são pequenos comparados

com a espessura da placa (inferiores a 1/10, para que se possam considerar

pequenas deformações);

• As cargas dinâmicas ou estáticas são aplicadas perpendicularmente à superfície

da placa;

• A configuração deformada da placa é tal que linhas retas inicialmente

perpendiculares à superfície média permanecem retas e perpendiculares;

• As deformações devidas ao cisalhamento são desprezadas;

• A deformação da placa é produzida por deslocamentos dos pontos da superfície

média perpendicular ao plano indeformado;

• As tensões normais à superfície média são desprezíveis em relação às tensões

no mesmo plano.

A resolução de um tipo de placa com essas condicionantes é feita através da

integração da equação diferencial de equilíbrio proposta por Lagrange (eq. 2.1), a qual

possibilita o cálculo dos esforços solicitantes e dos deslocamentos para um ponto qualquer

no interior da placa isotrópica.

D

qgyww

xw )(

yx2 4

4

22

4

4

4 +=

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

( 2.1 )

onde:

)1(12 2

3

ν−=

EhD ( 2.2 )

D: rigidez da placa à flexão;

E: módulo de deformação longitudinal do material;

h: altura da laje;

ν: coeficiente de Poisson do material;

(g + q): ação devida ao peso próprio e aos carregamentos externos aplicada

perpendicularmente ao plano da placa no interior da placa;

w: deslocamento medido perpendiculamente ao plano da laje;

38

x, y: eixo de coordenadas ortogonais para o plano médio da placa.

A equação 2.1 também pode ser escrita na forma Laplaciana:

D

qgw )(4 +=∇ ( 2.3 )

onde:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∇ 2

2

2

22

yx ( 2.4 )

O sistema de coordenadas adotado é esquematizado na Figura 2.1:

Figura 2.1 – Sistema de coordenada de um elemento de placa

A resolução do problema também depende da determinação das condições de

contorno. Estas condições variam com o tipo de vinculação, ou seja, para bordas

simplesmente apoiadas, perpendiculares ao eixo Ox, como na Figura 2.1, tem-se que os

deslocamentos w serão nulos e, se não houver momentos prescritos, mx também será nulo.

Portanto:

0=w e 02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yw

xw ν ( 2.5 )

39

Para bordas com engastamento perfeito, perpendiculares ao eixo Ox, os

deslocamentos w serão nulos e o rotação θx, não sendo prescrito, também será nulo ao

longo dessa borda, de acordo com a Figura 2.1:

0=w e 0==∂∂ x

xw θ ( 2.6 )

Com relação às bordas livres, perpendiculares ao eixo Ox, como ilustrado na Figura

2.1, tem-se que os esforços cortantes rx e os momentos fletores mx ao longo desse apoio

deverão ser nulos:

0)2( 2

3

3

3

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂∂

−+∂∂

=axyxw

xw ν ( 2.7 )

02

2

2

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

=axyw

xw ν ( 2.8 )

Para as bordas perpendiculares ao eixo Oy, de acordo com a Figura 2.1, as

equações são as mesmas acima demonstradas, apenas alterando-se as variáveis x e y.

Com a integração da equação diferencial, obtém-se o deslocamento ortogonal ao

plano em qualquer ponto da placa e, com este, utilizando-se de combinações de derivadas

da função de deslocamentos, os momentos, os esforços cortantes e as reações. As tensões

podem ser calculadas através de momentos e esforços cortantes.

Um artifício para o cálculo das lajes nervuradas, através da equação de Lagrange, é

utilizar uma laje maciça equivalente em inércia à nervurada.

As lajes nervuradas cujas nervuras têm diferentes espaçamentos nas duas direções

perpendiculares são transformadas em maciça equivalente ortotrópica para o cálculo dos

deslocamentos, momentos e cortantes. De acordo com TIMOSHENKO & WOINOWSKI –

KRIEGER [20], para a resolução desta laje equivalente, conhecidos o seu carregamento e

suas condições de contorno, integra-se a seguinte equação diferencial:

),(2 4

4

22

4

4

4

yxPywD

yxwH

xwD yx =

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ ( 2.9 )

sendo:

Dx e Dy: rigidezes à flexão nas duas direções ortogonais;

40

2H: rigidez total à torção; soma das rigidezes à torção nas direções x e y, ou seja, Dxy e Dyx,

e as rigidezes acopladas D1 e D2, que representam a contribuição da flexão para a torção da

placa. Portanto, tem-se:

)(2 21 DDDDH yxxy +++= ( 2.10 )

onde:

Dxy e Dyx: rigidezes à torção nas direções x e y, tendo-se:

12

3GhDD yxxy == ( 2.11 )

D1 e D2: contribuição da flexão na torção da placa enrijecida:

)1(12 2

3

21 νν

−==

hEDD cs ( 2.12 )

Como mencionado em BARES & MASSONNET [22] apud DIAS [23], o termo de

rigidez 2H também pode ser escrito na forma:

yxDDH α22 = ( 2.13 )

sendo que:

yx

yxxy

DD

DDDD

221 +++

=α ( 2.14 )

O coeficiente α tem seu valor entre 0 e 1. Para o caso de uma placa estritamente

isotrópica, α = 1, sendo que H = Dx = Dy. Para uma grelha com elementos desprovidos de

rigidez à torção, α = 0, portanto, H = 0.

No intuito de resoluções de ordem prática, segundo BARES & MASSONNET [22]

apud DIAS [23], tem-se:

41

x

sxx S

EID = ( 2.15 )

y

syy S

EID = ( 2.16 )

sendo:

Isx e Isy: momentos de inércia nas seções das nervuras de acordo com os eixos x e y,

respectivamente;

Sx e Sy: espaçamento das nervuras.

A equação de Lagrange descreve um problema com poucas soluções exatas,

restringindo-se, somente, a casos comuns de geometria da placa e do carregamento, como,

por exemplo, lajes circulares e retangulares simplesmente apoiadas com carregamento

uniformemente distribuído.

A solução do problema de placas pelo caminho clássico é, portanto, limitada a um

número relativamente pequeno de geometrias, de carregamentos e condições de contorno,

o que, para casos mais complexos, torna a análise impraticável, especialmente quando os

efeitos das deformações dos elementos de apoio precisam ser levados em consideração.

Portanto, o cálculo de placas, em termos de projetos de engenharia, é feito através

de métodos numéricos com programas computacionais, os quais vêm sendo cada vez mais

utilizados, principalmente para lajes com características especiais.

2.2.2.Teoria das Grelhas

Grelhas são as estruturas planas formadas por barras coplanares rigidamente ligadas

entre si, que são solicitadas por carregamento perpendicular ao plano da estrutura.

Considerando-se elementos associados a estruturas espaciais, sabe-se que existem

6 esforços solicitantes atuantes nesses elementos, conforme indicado na Figura 2.2.

42

Figura 2.2 – Esforços internos solicitantes em um elemento de estrutura espacial [24]

Para elementos de grelha, devido à ausência de carregamento no plano da estrutura,

somente 3 esforços solicitam esta barra: esforço cortante, momento fletor e momento torçor,

tal como indicado na Figura 2.3.

Figura 2.3 – Esforços internos solicitantes em um elemento de grelha [24]

Para os corpos rígidos, têm-se as seguintes equações de equilíbrio da mecânica:

∑ = 0Fx ∑ = 0Fy ∑ = 0Fz ( 2.17 )

∑ = 0Mox ∑ = 0Moy ∑ = 0Moz ( 2.18 )

No caso das grelhas, estas equações se resumem à apenas 3, devido à ausência de

cargas horizontais:

∑ = 0Fz ∑ = 0Mox ∑ = 0Moy ( 2.19 )

43

A equação 2.19 fornece 3 condições de equilíbrio (somatório de forças verticais e de

momentos em torno de dois eixos nulos) o que, para uma grelha internamente isostática ser

considerada isostática, precisa apresentar no mínimo 3 vínculos externos que ofereçam as

condições necessárias para o equilíbrio.

Geralmente, consideram-se os efeitos de flexão nas grelhas predominantes, sendo

os efeitos de torção secundários na análise destas. No estudo de uma estrutura de grelha,

os eixos coordenados são tomados como na Figura 2.4:

Figura 2.4 - Grelha plana

A estrutura existe no plano x-y, sendo que todas as forças aplicadas atuam paralelas

ao eixo z, como já mencionado. Os deslocamentos dos nós são as rotações nos sentidos de

x e y e as translações na direção de z, sendo mostrado os seus 6 deslocamentos possíveis

do elemento i, como ilustrado na Figura 2.5.

Figura 2.5 – Graus de liberdade de uma barra de grelha

44

Esses seis deslocamentos de extremidade mostrados são as rotações nos sentidos

de xm e ym e a translação na direção de zm nas extremidades j e k, respectivamente; onde

xm, ym e zm são os eixos coordenados locais do elemento. Sendo assim, podem ser

provocados deslocamentos unitários desses seis tipos de deslocamentos nas extremidades

do elemento, um de cada vez, para que se possa formar a matriz de rigidez do elemento Sm

para os eixos do elemento (Figura 2.5), sendo esta apresentada na Equação 2.20.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−−−

−

−

=

3232

22

3232

22

.12.60

.12.60

.6.40

.6.20

00.00.

.12.60

.12.60

.6.20

.6.40

00.00.

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LJG

LJG

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LJG

LJG

S

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

m ( 2.20 )

Obtida a matriz de rigidez em relação aos eixos locais dos elementos (Equação

2.20), deve-se fazer a transformação desta para a matriz de rigidez associada aos eixos

globais da estrutura, representada pelo elemento mostrado na Figura 2.6.

Figura 2.6 – Eixos globais da estrutura em relação ao elemento de grelha

45

Desta forma, obtém-se a matriz de rigidez do elemento Smd para os eixos da

estrutura, indicada na Equação 2.21.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

−−−

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

322322

222

222

222

222

322322

222

222

222

222

.12.6.6.12.6.6

.6.4..

.4..6.2..

.2.

.6.

.4..4..6.

.2..2.

.12.6.6.12.6.6

.6.2..

.2..6.4..

.4.

.6.

.2..2..6.

.4..4.

L

IEC

L

IEC

L

IE

L

IEC

L

IEC

L

IE

CL

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LIE

CLJG

CCLIE

LJG

CL

IEC

LIE

CLJG

CCLIE

LJG

CL

IECC

LIE

LJG

CLIE

CLJG

CL

IECC

LIE

LJG

CLIE

CLJG

L

IEC

L

IEC

L

IE

L

IEC

L

IEC

L

IE

CL

IEC

LIE

CLJG

CCLIE

LJG

CL

IEC

LIE

CLJG

CCLIE

LJG

CL

IECC

LIE

LJG

CLIE

CLJG

CL

IECC

LIE

LJG

CLJE

CLJG

S

yx

yy

yyx

yy

y

xy

xy

yyxy

xy

xy

yyxy

yy

yxy

yy

xyy

yxy

yy

x

yx

yy

yyx

yy

y

xy

xy

yyxy

xy

xy

yyxy

yy

yxy

yy

xyy

yxy

yx

md

( 2.21 )

sendo:

γcos=xC ( 2.22 )

γsenCy = ( 2.23 )

Sendo conhecida a matriz de rigidez Smd, faz-se a análise da estrutura submetida ao

carregamento.

Utilizando-se do método dos deslocamentos (ou rigidez), formam-se os vetores

associados às cargas aplicadas sobre a grelha. As cargas externas aplicadas nos nós e as

reações de apoio constituem a matriz coluna das ações atuantes na estrutura, ou seja,

constituem o vetor {F} da equação 2.24. As cargas que atuam ao longo da barra da grelha

são substituídas por ações localizadas nas extremidades da barra restringida, que

constituem o vetor de imobilização dos nós da estrutura, {F0}.

[ ][ ] { } { }0FFK −=δ ( 2.24 )

onde:

[K]: matriz de rigidez da estrutura;

[δ]: matriz coluna dos deslocamentos.

46

A resolução da equação 2.24 fornece os deslocamentos nodais e as reações de

apoio. Determinados, inicialmente, os deslocamentos, define-se, através destes, os

esforços. Assim sendo, as ações nas extremidades das barras para o sistema global, são

obtidas pela equação 2.25 e transformadas para o eixo local pela equação 2.26.

{ } [ ]{ } { }0SdrS += ( 2.25 )

{ } [ ]{ }STS = ( 2.26 )

sendo:

{S}: esforços solicitantes nas extremidades das barras no sistema global;

[r]:matriz de rigidez no sistema global;

{d}: vetor dos deslocamentos de cada barra da estrutura;

{S0}: vetor de esforços de imobilização dos nós de cada barra no sistema global;

{S}: vetor de esforços de imobilização dos nós de cada barra no sistema local;

[T]: matriz de transformação do eixo local para o eixo global.

2.3. Lajes Nervuradas de Concreto Armado – Normas e Recomendações

De acordo com a NBR 6118 [1], lajes nervuradas são lajes moldadas no local ou com

nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração para momentos positivos está localizada nas

nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte, de modo a tornar plana a

superfície externa, como já mencionado.

O item 13.2.4.2 da referida norma trata das dimensões e das considerações de

projeto para lajes nervuradas, as quais são apresentadas abaixo.

A espessura da mesa, quando não houver tubulações horizontais embutidas, deve

ser maior ou igual a 1/15 da distância entre nervuras e não menor que 3 cm. O valor mínimo

absoluto deve ser 4 cm, quando existirem tubulações embutidas de diâmetro máximo 12,5

mm.

A espessura das nervuras não deve ser inferior a 5 cm e aquelas com espessura

menor que 8 cm não devem conter armadura de compressão. A Figura 2.7, abaixo, ilustra

uma seção típica de laje nervurada e suas dimensões mínimas.

Com relação aos estribos, quando necessários, não devem ter espaçamento entre si

superior a 20 cm.

47

Figura 2.7 – Seção típica e dimensões mínimas de uma laje nervurada

Os critérios de projeto dependem do espaçamento entre os eixos das nervuras. Em

lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser

dispensada a verificação da flexão da mesa e, para a verificação do cisalhamento da região

das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de laje, através do item 19.4.1 [1]. Se,

através deste item, for verificada a necessidade de armadura transversal, deve-se aplicar os

critérios estabelecidos no item 19.4.2 [1].

Se o espaçamento entre eixos de nervuras tiver entre 65 e 110 cm, exige-se a

verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como

vigas. Deve-se, neste caso, ser colocada uma armadura perpendicular à nervura, na mesa,

por toda sua largura útil, com área mínima de 1,5 cm²/m.

A verificação da flexão da mesa também deve ser feita se existirem cargas

concentradas entre nervuras.

Permite-se a verificação ao cisalhamento das nervuras como lajes se o espaçamento

entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das nervuras for maior que 12 cm.

Para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm,

a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os

seus limites mínimos de espessura.

Para a determinação dos esforços resistentes das seções de lajes, no estado limite

último, submetidas a esforços normais e momentos fletores, devem ser usados os mesmos

princípios estabelecidos nesta norma para seções de vigas, pilares e tirantes em 17.2.1 a

17.2.3 da norma brasileira [1].

Nas regiões de apoio das lajes devem ser garantidas boas condições de ductilidade,

segundo o item 14.6.4.3 [1].

⎜⎜⎝

⎛≥

)(85

compressãodearmaduracmcm

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≤

−≥

)5,12

(43

15/

mm

comçõestubulacm

cma

φ

48

Quando, na seção crítica adotada para dimensionamento, a direção das armaduras

diferir das direções das tensões principais em mais de 15°, este fato deve ser considerado

no cálculo estrutural.

Para a verificação da flecha em lajes, no estado limite de deformação, devem ser

usados os critérios dados em 17.3.2 [1], considerando a possibilidade de deformação

(estádio II). Este item estabelece limites para flechas segundo a Tabela 13.2 da referida

norma, levando-se em consideração as combinações de ações conforme o item 11.8.3.1 [1].

O cálculo da flecha é feito utilizando-se processos analíticos estabelecidos pela

própria norma, item 17.3.2 [1], que divide o cálculo em duas parcelas: flecha imediata e

flecha diferida, de acordo com o que segue:

• A flecha imediata, aquela referente ao deslocamento imediato após a aplicação

dos carregamentos, é abordada no item 17.3.2.1.1 [1];

• A flecha diferida é a parcela decorrente das cargas de longa duração, em função

da fluência, e é abordada no item 17.3.2.1.2 [1];

Para os estados limites de fissuração e de descompressão ou de formação de

fissuras, são usados os critérios dos itens 17.3.3 e 17.3.4 [1].

Outras normas internacionais também tratam do assunto, como, por exemplo, o

EUROCODE 2 [25], na qual relata que uma laje nervurada pode ser tratada como laje

maciça quando:

• As nervuras possuírem rigidez suficiente à torção;

• A distância entre as nervuras não ultrapassarem 150 cm;

• A espessura da mesa for maior ou igual a 5 cm ou 4 cm (quando existir bloco de

fechamento permanente entre as nervuras), ou maior de 1/10 da distância livre

entre nervuras.

2.4. Modelagem Computacional

2.4.1.Generalidades sobre o Método dos Elementos Finitos

O método dos elementos finitos, MEF, teve suas origens na análise estrutural. Com o

surgimento dos primeiros computadores digitais na década de 50, os métodos matriciais

para análise estrutural tiveram um grande desenvolvimento. As primeiras aplicações

envolviam apenas estruturas reticuladas, mas a crescente demanda por estruturas mais

leves, tais como as encontradas na indústria aeronáutica, conduziu ao desenvolvimento de

49

métodos numéricos que pudessem ser utilizados nas análises de problemas mais

complexos.

Entre os trabalhos pioneiros nesta linha, pode-se citar os trabalhos de Turner, M. R.

(1956) e Argyris, J. H. (1960). Zienkiewicz [26], em seu histórico artigo “The Finite Element

Method: From Intuition Generality”, apresenta uma descrição mais detalhada da evolução do

MEF nesta fase inicial. Na década de 70, o MEF teve suas aplicações estendidas a

problemas de mecânica dos fluidos e, desde então, vem consolidando-se como um método

mais geral de solução de equações diferenciais parciais.

Este método consiste não apenas em transformar o sólido contínuo em uma

associação de elementos discretos e escrever as equações de compatibilidade e equilíbrio

entre eles, mas admitir funções contínuas que representam, por exemplo, o campo de

deslocamentos no domínio de um elemento e, a partir daí, obter o estado de deformações

correspondente que, associado às relações constitutivas do material, permite definir o

estado de tensões em todo o elemento. Este estado de tensões é transformado em esforços

internos que têm de estar em equilíbrio com as ações externas.

O processamento de uma estrutura através de um software baseado na teoria do

MEF possui, basicamente, a seqüência abaixo:

• Modelagem: consiste no desenho em CAD da estrutura a ser calculada. Pode ser

executado no próprio programa ou importado de outros via desenho ou texto;

• Malha de elementos finitos: consiste na discretização da estrutura, ou seja, a sua

divisão em elementos conectados por nós;

• Condições de contorno:

o Restrições: definem como a estrutura se relaciona com o meio ambiente

(engastamentos);

o Carregamentos: definem as solicitações as quais a estrutura está

submetida (forças nodais, pressões, momentos, carga térmica, etc.);

• Propriedades do material: definição das características físicas do material a ser

utilizado na estrutura (módulo de elasticidade, densidade, coeficiente de

Poisson);

• Processamento: montagem da matriz de rigidez e cálculo dos deslocamentos

nodais e tensões;

• Deslocamentos: a estrutura pode ser visualizada deformada e também podem-se

conhecer os deslocamentos individuais de cada nó;

• Tensões: as tensões podem ser visualizadas (na forma de mapas de cores) nas

direções principais, os valores máximos e mínimos principais ou de acordo com

50

os critérios de resistência. Em alguns casos, ao invés de tensões, são fornecidos

os esforços solicitantes.

Algumas das análises que podem ser executadas pelo método dos elementos finitos

e suas áreas de aplicação:

• Estática linear de tensões e deformações (edifícios, pontes, torres, componentes

mecânicos em geral, tubulações industriais, etc.);

• Dinâmica (modos de vibração e freqüências naturais);

• Térmica (transmissão de calor em regime permanente e transiente);

• Escoamento de fluidos (aerodinâmica e hidrodinâmica);

• Campos elétricos (condutores, isolantes, eletrodeposição e corrosão) e

magnéticos.

Os engenheiros civis foram os primeiros a utilizar a análise por elementos finitos,

conhecida como “Método de Análise Matricial de Estruturas”, onde a estrutura real é

transformada matematicamente numa série de elementos.

2.4.2.Analogia de Grelha para as Lajes Nervuradas

A substituição de uma laje por uma série ortogonal de vigas se cruzando, formando

uma grelha, é uma das mais antigas propostas de solução. Dividindo-se as lajes em um

número adequado de faixas, onde os elementos de barra da grelha equivalente passam a

representar os elementos estruturais do pavimento (lajes e vigas), é possível reproduzir o

comportamento estrutural de pavimentos em concreto armado com praticamente qualquer

geometria e em diferentes situações de esquema estrutural, como ilustrado na Figura 2.8.

Esta é a base do processo de analogia de grelha, o qual possibilita que se faça o cálculo

integrado de um pavimento, considerando não só a laje, mas também suas vigas de apoio

na análise.

Figura 2.8 – Representação da laje nervurada na analogia de grelha

51

Há que se considerar alguns cuidados quando se efetua a modelagem, para que os

resultados obtidos possam ter o significado desejado. É necessário decidir quantos são os

elementos de grelha que se devem considerar na análise e qual sua localização, para o

caso de lajes maciças. No estudo de lajes nervuradas, geralmente, os elementos da grelha

coincidem com os eixos das nervuras.

Torna-se necessário, ainda, determinar quais características geométricas atribuir aos

elementos de grelha de tal forma que a modelagem conduza a resultados o mais próximo

possível do que ocorre na laje real. É preciso definir quais os tipos de apoio que devem ser

considerados nos nós pertencentes a bordos apoiados da laje e quais as cargas a se

considerar na modelagem do carregamento atuante.

Segundo CARVALHO & FIGUEIREDO FILHO [27], considera-se que as cargas

distribuídas atuantes no pavimento se dividem entre as barras da grelha equivalente de

acordo com a área de influência de cada uma. As cargas podem ser consideradas

uniformemente distribuídas ao longo das barras da grelha ou concentradas diretamente nos

seus nós, como mostrado na Figura 2.9.

Figura 2.9 – Carregamentos nos nós (carga nodal P) e carregamento distribuído (carga uniformemente distribuída q)

Tendo em vista que esta forma de modelagem de lajes (analogia de grelha) apenas

permite uma solução aproximada, não faz sentido, do ponto de vista prático, sofisticar em

demasia o processo de determinação da distribuição de cargas pelas barras da estrutura.

Poder-se-ia pensar em aplicar em cada elemento de grelha um carregamento

trapezoidal, correspondente à forma como as lajes “descarregam” em cada uma das vigas

52

fictícias. Esta forma de definição do carregamento tem como desvantagem o volume de

cálculos envolvido na determinação dos correspondentes valores para cada uma das barras.

Considera-se, geralmente, o carregamento constituído por uma carga uniformemente

distribuída aplicado em toda a laje, o qual é distribuído uniformemente nas faixas da grelha

ou concentrado nos nós da grelha, como já mencionado anteriormente.

Os valores do módulo de deformação longitudinal à compressão do concreto (Ec), do

módulo de deformação transversal do concreto (Gc) e do coeficiente de Poisson (ν) relativos

às deformações elásticas podem ser determinados à partir das recomendações da norma

brasileira de concreto armado [1].

No que se refere às condições de apoio no método da analogia de grelha, têm-se

que cada escolha altera o campo de deformações da laje e, portanto, os esforços internos e

as reações de apoio. Para simular a situação real da laje, pode-se considerar:

• Bordos engastados: todos os nós que estiverem sobre um bordo engastado, são

considerados como nós engastados, onde todos os deslocamentos se encontram

impedidos;

• Bordos simplesmente apoiados: para os nós existentes sobre esses bordos

devem-se restringir o deslocamento transversal e as rotações em torno da normal

exterior ao bordo em questão. Isto corresponde à existência de apoios cilíndricos

em cada um destes nós, nos quais o eixo do cilindro é coincidente com o bordo

da laje;

• Bordos de continuidade: quando se considera a existência de um apoio de rigidez

infinita (por exemplo, uma parede sob a laje), tem-se que todos os nós existentes

sobre este eixo estão sujeitos a um apoio cilíndrico;

• Apoios elásticos: em condições reais, os elementos estruturais apóiam-se em

elementos deformáveis (vigas, pilares, paredes de rigidez finita), o que faz com

que as condições de fronteira sejam alteradas para se considerar este efeito.

No caso de um painel de lajes contínuas de um edifício de concreto armado, as lajes

são apoiadas em paredes rígidas ou em vigas que não são totalmente rígidas. A flexibilidade

destas vigas pode influenciar bastante o resultado dos deslocamentos e dos esforços.

A variação da flexibilidade dos apoios de lajes intermediárias, por exemplo, mostra

que, para apoios muito rígidos, estas se comportarão como se fossem isoladas, com os

lados externos simplesmente apoiados e os lados contíguos às lajes contínuas, engastados.

Diminuindo-se a rigidez da viga intermediária, pode-se chegar ao caso extremo no qual as

lajes se comportam como se fossem uma única laje simplesmente apoiada no contorno [28].

Quanto à existência de pilares, é necessário que se garanta que neste ponto passe

um nó da grelha para que seja possível a correta definição das condições de apoio

correspondentes.

53

2.4.2.1. Características Geométricas dos Elementos de Grelha

Uma laje nervurada é formada por um conjunto da vigas (ou nervuras) solidarizadas

entre si pela mesa, portanto, o seu comportamento estático é intermediário entre uma placa

e uma grelha. Quando se definem os elementos de grelha com os quais se pretende simular

o comportamento da laje, é necessário atribuir-lhes uma dada rigidez à flexão, EI, e uma

dada rigidez à torção, GJ, onde E é o módulo de elasticidade; I, o momento de inércia à

flexão; G, módulo de elasticidade transversal e J o momento de inércia à torção.

Destaca-se que a consideração direta do efeito do momento de torção dificulta a

tarefa de dimensionamento e construção das lajes nervuradas. É freqüente que nas grelhas

se despreze o valor da rigidez à torção, assumindo então que GJ = 0, embora o cálculo

possa ser feito considerando-a. Essa consideração, GJ = 0, está do lado da segurança, uma

vez que o carregamento será equilibrado apenas com a distribuição de momentos fletores

(COELHO [29]).

Baseando-se na Figura 2.10 e nas considerações feitas nos itens 2.2.1 e 2.2.2 deste

trabalho, as rigidezes à flexão Dx e Dy, assim como as rigidezes acopladas D1 e D2, de uma

seção não fissurada, podem ser expressas por:

x

xx

xEI

heEhDD

αν

'

2

2

12 +

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= ( 2.27 )

y

yy

y

EIheEh

DDαν

'

2

2

12 +

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= ( 2.28 )

'1 xDD ν= ( 2.29 )

'2 yDD ν= ( 2.30 )

onde:

D: rigidez à flexão da mesa com relação ao seu plano médio (Eq. 2.2);

h: espessura da mesa;

αx (αy): espaçamento das nervuras nas direções x e y, respectivamente;

ex (ey): distância do topo da laje à linha neutra nas direções x e y, respectivamente;

I’x (I’y): momento de inércia das nervuras nas direções x e y, respectivamente;

54

D’x (D’y): rigidez à flexão da mesa em relação à linha neutra nas direções x e y,

respectivamente.

Figura 2.10 – Geometria de uma laje nervurada com os eixos de referência [30]

Para as lajes nervuradas, o momento de inércia à flexão das barras da grelha é,

normalmente, adotada como a inércia de uma seção T, considerando-se a largura

colaborante da laje. Desta forma, obtém-se:

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

n

iii

ii dAhb

I1

23

12 ( 2.31 )

onde:

bi: largura da porção i da seção transversal;

hi: altura da porção i da seção transversal;

Ai: área da porção i da seção transversal;

di: distância do centro de gravidade da porção i ao centro de gravidade da seção.

No intuito de melhor quantificar esta propriedade geométrica, KENNEDY & BALI [30]

propuseram uma modificação na maneira de calcular o momento de inércia desse tipo de

seção. Sendo que a mesa da seção T da barra (Figura 2.11) está, na verdade,

..NL

yαyb ..NL

xαh

yd

ye

xb

xd

h ye

x

yz

W

s

55

representando uma porção da capa da laje, a área da mesa deve ser majorada pelo fator

( )211 ν− para levar em consideração a influência do coeficiente de Poisson. Portanto:

23

2

2

2

3

)2

(12)1(

)2

(

)1(12 CGfww

fCGff

ff yhhhbhb

hyhbhb

I −+++−

−+

−=

νν ( 2.32 )

Figura 2.11 – Seção transversal de seção T da laje nervurada

onde:

)1(

)1(2)

2(

2

2

2

ν

ν

−+

−++

=ff

w

fffw

CG hbhb

hbhhhby ( 2.33 )

ycg: é a ordenada do centróide da seção T, medido a partir da face superior da nervura.

Outra propriedade de importante consideração na análise de lajes em geral, e em

especial as nervuradas, é o momento de inércia à torção.

Para a analogia de grelha, assim como é feito com a inércia à flexão, também adota-

se a inércia à torção como aquela de uma seção T, considerando-se a largura colaborante

da laje.

A consideração da rigidez à torção e da resistência do concreto ao momento torçor

no cálculo de lajes de concreto armado, além de reproduzir melhor a distribuição dos

56

esforços (e, conseqüentemente a distribuição de armaduras), pode diminuir de maneira

criteriosa e segura a quantidade de aço necessária para o detalhamento das lajes em

comparação com uma modelagem simplificada. Diminui, também, o valor da flecha devido à

consideração da rigidez à torção.

O parâmetro de rigidez à torção, GJ, é composto pelo módulo de elasticidade

transversal, G, do material, que pode ser medido ou calculado, em função do módulo de

elasticidade longitudinal, Ec, e pelo momento de inércia à torção da seção transversal da

barra.

Segundo a lei de Hooke, para materiais isotrópicos e homogêneos, tem-se:

)1(2 ν+

=EG

( 2.34 )

Sendo que, para aplicações em concreto armado, tem-se o valor do coeficiente de

Poisson igual a 0,2 [1].

De acordo com ARAÚJO [8], as lajes nervuradas unidirecionais devem ser

calculadas segundo a direção das nervuras desprezadas a rigidez transversal e a rigidez à

torção. As lajes com nervuras pré-moldadas funcionam como lajes armadas em uma

direção. O cálculo pode ser feito como viga, na direção das nervuras principais. Nas lajes

moldadas no local, quando a relação entre os vãos é maior do que 2, o cálculo também é

feito como viga, segundo a direção do vão menor. Segundo este autor, nesses dois casos, a

rigidez à torção não tem influência nos resultados, já que a análise é feita como viga.

Em outros trabalhos do mesmo autor, [9,10], cita-se que as lajes nervuradas

bidirecionais podem ser calculadas, para efeito de esforços solicitantes, como lajes maciças,

portanto, os resultados são muito dependentes da rigidez à torção da laje.

Desde que sejam atendidas algumas exigências das normas de projeto quanto as

dimensões das lajes nervuradas bidimensionais, a mesma pode ser calculada como lajes

maciças [1]. Se as dimensões das nervuras e seus espaçamentos são os mesmo nas duas

direções, a placa é isotrópica. Em caso contrário, a placa é ortotrópica, com rigidez à flexão

Dx e Dy nas direções x e y, respectivamente, e é determinada considerando-se os momentos

de inércia centroidais das seções T de cada direção. A rigidez à torção da laje, conforme

Araújo [9,10] será:

yx DDB += ( 2.35 )

57

De acordo com KENNEDY & BALI [30], a inércia à torção de uma seção não

fissurada de uma laje nervurada de concreto armado deve ser calculado considerando-se a

seção T, como mostrado na Figura 2.12.

Figura 2.12 – Subdivisões da seção transversal considerada na laje nervurada [30]

A inércia à torção das seções retangulares 1 e 2 são calculadas e somadas para

resultar na inércia à torção final J. Portanto, para uma seção normal ao eixo y:

21 JJJ += ( 2.36 )

onde J1 e J2 são relativas às contribuições das áreas 1 e 2 respectivamente, definidas por:

31 2

1 hJ yβα= ( 2.37 )

32 yybdJ β= para yy bd ≥ ( 2.38 )

32 yydbJ β= para yy db ≥ ( 2.39 )

onde β é a constante usual de torção para seções retangulares mostrado na Equação 2.44.

( )xy αα

( )xy dd

h

( )xy bb

58

O fator de redução 0,5, utilizado no cálculo de J1 é devido ao fato da mesa estar

representando uma laje, que é diferente de uma seção T isolada, ou seja, a inércia à torção

de uma laje é a metade da obtida para uma viga.

Além disso, quando se está analisando uma laje nervurada com nervuras em duas

direções ortogonais, justifica-se fazer uma modificação no cálculo de J1, pois neste caso a

inércia à torção J1 da laje em uma direção é aumentada devido ao enrijecimento

proporcionado pela nervura na direção ortogonal. Esse aumento na rigidez à torção pode

ser calculado considerando uma seção normal ao eixo x, mostrada na Figura 2.10. A

presença da nervura transversal W irá aumentar a rigidez à torção da laje S para um valor

denotado por (Js+ Jw). Portanto o novo valor de J1 para a área hachurada (normal ao eixo y)

da referida figura será:

s

wsificado J

JJJJ

)()( 1mod1

+= ( 2.40 )

ou seja,

21 JJJ += ( 2.41 )

Desta forma, a rigidez à torção Dyx pode ser calculado por:

y

yxGJDα

=

( 2.42 )

A rigidez à torção Dxy de uma seção normal ao eixo x pode ser calculada apenas

trocando os eixos utilizados.

LEONHARDT [31] afirma que a rigidez à torção das barras da nervura deve ser

desprezada, devido à baixa resistência à torção destas, além da pequena largura das

mesmas impedir a colocação de armaduras para absorver os esforços oriundos da torção.

Segundo GERE & WEAVER [32], para uma barra de seção transversal T, o momento

de inércia de torção integral desse tipo de seção pode ser calculado da seguinte forma:

∑=

=n

iii hbJ

1

3β ( 2.43 )

59

onde:

bi: menor dimensão da seção transversal;

hi: maior dimensão da seção transversal.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= 4

4

12121,0

31

hb

hbβ ( 2.44 )

Portanto, a modelagem de lajes nervuradas utilizando o processo de analogia de

grelhas (através do cruzamento de faixas com seção T) é muito mais realista do que o um

processo simplificado, como o de Marcus, por exemplo. Todavia, também introduz algum

erro, contra a economia, quando se considera a capa de concreto da laje como parte da viga

T, ou seja, desconectadas entre si. Isto permite um deslocamento relativo que não

corresponde bem à realidade, levando a resultados superiores ao da laje real, porém, a

favor da segurança.

3. Descrição do Sistema Estrutural Estudado

3.1. Generalidades

Neste item, são expostos as peculiaridades inerentes ao sistema REDUZCON de

lajes nervuradas, assim como o modelo computacional desenvolvido. A descrição das

propriedades físicas e geométricas utilizadas na analogia de grelha para o estudo dessas

lajes também fazem parte desta seção.

3.2. Analogia de Grelha para Lajes do Tipo REDUZCON

O esquema estrutural utlilizado neste estudo baseia-se no sistema de lajes

nervuradas do modelo REDUZCON, mostrado na Figura 3.1.

Trata-se de um sistema de construção de lajes nervuradas de baixa espessura, com

o uso de fôrmas ou cubas cilíndricas invertidas metálicas. Estas lajes apresentam distâncias

diferentes entre eixos de nervuras nas duas direções, ou seja, entre nervuras principais e

secundárias. As lajes nervuradas REDUZCON variam de 13 a 26 cm de altura com capas

de concreto (espessuras das mesas) na faixa de 3 a 5 cm.

Figura 3.1 – Lajes nervuradas do tipo REDUZCON

A peculiaridade deste sistema consiste no formato de arco existente entre as

nervuras principais, ou seja, entre aquelas menos espaçadas e paralelas ao menor vão,

como pode ser observado na Figura 3.2.

61

Figura 3.2 – Esquema estrutural de laje REDUZCON [21]

As formas semicilíndricas deste tipo de laje, apresentadas na Figura 3.3, são

dispostas de tal forma que, estando cada uma destas peças apoiadas em dois pontos,

formam um conjunto estável de barrotes (BRC – barrotes redutores de concreto). Este

conjunto cria uma estrutura capaz de absorver o peso do concreto e, depois da desforma,

geram uma laje nervurada.

Figura 3.3 – Formas semicilíndricas de lajes REDUZCON

Estes barrotes redutores de concreto (BRC) são projetados para ser o assoalho e a

estrutura horizontal de resistência da forma.

Como pode ser visto na Figura 3.4, o princípio de montagem do conjunto consiste em

se justapor as peças sobre linhas de escoramentos a cada 1 m aproximadamente (esquema

usual de apoio nas lajes maciças), sem assoalhar os barrotes. Já que estes barrotes são

todos colocados lado a lado, não há vãos entre eles, não sendo, portanto, necessário

colocar o assoalho entre as peças (compensado, tábuas, etc).

62

Figura 3.4 – Esquema estrutural de escoramento

Nos trechos em que o barrote não é aplicado, pode-se usar o sistema convencional

com sarrafo de madeira e compensado para fazer os complementos do assoalho, tendo-se

assim um trecho com a laje maciça, como é ilustrado na Figura 3.5.

Figura 3.5 – Sistema de laje nervurada com trechos de laje maciça

Segundo o fabricante [21], com este sistema de lajes nervuradas pode-se obter

grandes reduções de concreto e aço, o que reduz peso próprio da estrutura. Estes números

variam dependendo do projeto, mas pode-se admitir cerca de 40% para o concreto, 30%

para o aço e 10% nas cargas das fundações (comparando com uma laje maciça de menor

espessura). Com isto os ganhos podem ser de cerca de 10% no custo total da

superestrutura, composta de pilares, vigas e lajes [21].

Na Figura 3.6, apresenta-se um esquema associado à geometria da laje nervurada

do tipo REDUZCON.

Na sequência do texto, a Tabela 3.1 contem as dimensões comerciais para a

construção civil do referido sistema estrutural. Ressalta-se que essas dimensões, adotadas

correntemente na construção civil, são empregadas ao longo da presente investigação na

análise estrutural dos modelos.

63

Figura 3.6 – Esquema de laje REDUZCON [21]

onde:

l: distância inter-eixos da nervura principal;

L: distância inter-eixos da nervura secundária;

D: altura total da laje nervurada;

Ds: espessura mínima da capa;

Dj: altura máxima do molde;

b: largura mínima da nervura primária;

B: largura mínima da nervura secundária.

Tabela 3.1 – Composição estrutural nas modalidades dos barrotes

BRC 100 – capa 3 cm

l (cm) L (cm) Ds (cm) Dj (cm) D (cm) b (cm) B (cm)

26 112 3 10 13 6 12



26 112 4 13 17 6 12



33 116 5 21 26 8 16

Para que se tenha um modelo de grelha que expresse tanto o comportamento da

estrutura (laje nervurada) quanto do material (concreto armado) algumas considerações

B

Ds Dj

b l

D

L

64

também devem ser feitas na concepção da grelha quanto às propriedades geométricas da

seção e aos parâmetros do concreto. Estes são mostrados nos itens subseqüentes.

3.3. Modelo Computacional Desenvolvido

Para a análise dos modelos executados neste trabalho, é utilizado o programa

computacional ANSYS [19], considerando-se um comportamento elástico-linear para o

material concreto armado. O programa ANSYS [19] é um software baseado no método dos

elementos finitos, possuindo uma vasta biblioteca de elementos permitindo, assim, diversos

tipos de análises.

Na investigação através do método da analogia de grelha, é utilizado um elemento

elástico de viga tridimensional, elemento BEAM44 [19], de forma a simular os modelos

estruturais. O BEAM44 [19] é um elemento uniaxial, linear com capacidades de atuar na

tração, compressão, torção e flexão. Este elemento possui seis graus de liberdade em cada

nó, ou seja: 3 translações referentes às direções x, y e z, além de 3 rotações em torno dos

eixos cartesianos, Figura 3.7.

Figura 3.7 - Elemento BEAM44 [19]

Uma das vantagens deste elemento é a possibilidade de permitir que seus nós sejam

posicionados de forma a considerar as diferenças existentes entre as distâncias dos eixos

dos centróides das barras, visto que a laje e as vigas não estão posicionadas no mesmo

Centro de

cisalhamento

65

eixo, como ilustrado na Figura 3.8. Tal excentricidade deve ser considerada na modelagem

computacional, pois apresenta, como era de se esperar, influência significativa nos

resultados obtidos.

Figura 3.8 – Visualização da excentricidade existente entre a viga de bordo e a laje nervurada

Na Figura 3.9 pode ser visualizado um dos modelos estruturais de laje nervurada

adotados, com 3 nervuras secundárias e 24 principais, discretizado em elementos finitos,

com o auxílo do programa ANSYS [19].

Figura 3.9 – Malha de elementos finitos [19]

Com o intuito de relatar as experiências adquiridas acerca do desempenho

computacional obtido durante o presente trabalho, são apresentados os tempos médios de

66

processamento necessário para obtenção dos resultados numéricos dos modelos de lajes

nervuradas.

As análises computacionais foram realizadas em um microcomputador com

processador PENTIUM IV, com 1GB de memória RAM e disco rígido com 160 GB. O

software utilizado nas análises foi o ANSYS [19] na versão 10.0, rodando sobre sistema

operacional Windows XP Professional.

O tempo gasto para obtenção dos resultados das análises estática para os modelos

de laje nervurada com vãos variando de 4,5 por 4,5 m a 4,5 por 9 m foi inferior a 10 s.

3.4. Descrição do Sistema Estrutural Estudado

Neste estudo, é considerada a variação do número de nervuras secundárias, apenas

com o cunho didático, para que se possa observar o comportamento da laje na transição

entre uma estrutura com geometria aproximadamente isotrópica para um modelo estrutural

geometricamente ortotrópico. Ressalta-se que, na prática, a quantidade de nervuras

secundárias das lajes nervuradas do tipo REDUZCON [21] é definido pelo vão livre e pela

forma utilizada.

Tem-se que, para os exemplos com lajes de 13 e 17 cm de altura, onde a distância

entre nervuras principais é de 26 cm, torna-se possível utilizar 17 formas do tipo BRC100 e

BRC130 [21] para o vão livre estudado (igual a 4,5 m), como mostrado nas Figura 3.10 e

Figura 3.11. Desta forma, obtém-se 16 nervuras principais no sistema estrutural final.

Figura 3.10 – Esquema de montagem da laje nervurada do tipo REDUZCON [21] (17 formas formando 16 nervuras principais – cota em cm)

67

Figura 3.11 – Detalhes do corte A-A

Já para as lajes de 26 cm de altura, obtidas com a utilização da forma BRC210 (33

cm de distância entre nervuras principais), têm-se, neste mesmo vão livre, 13 formas, as

quais formarão 12 nervuras principais, tal como é mostrado na Figura 3.12.

Figura 3.12 – Laje nervurada do tipo REDUZCON [21] com 26 cm de altura (13 formas formando 12 nervuras principais – cota em cm)

Na seqüência, tem-se variado o número de nervuras secundárias a partir de 16 até 2

nervuras para BRC100 e 130 e de 12 até 2 para BRC210, mantendo-se fixo o número de

nervuras principais, igual a 16 e 12, repectivamente. Estes números inicias de nervuras

secundárias (16 e 12) são escolhidos no intuito de se observar o comportamento da laje

nervurada com a mesma quantidade de nervuras nas duas direções, pois esta é a

quantidade de nervuras principais para as lajes quadradas (16 para BRC100 e 130 e 12

para BRC210). Observa-se que não se pode considerar isotrópica a laje cujo número de

68

nervuras é igual nas duas direções, visto que as nervuras secundárias têm a largura da

alma um pouco maior do que aquela das nervuras principais.

A Tabela 3.2 apresenta os dados referentes à geometria do modelo estrutural, ou

seja, o número de nervuras secundárias e a distância entre estas nervuras para as formas

BRC100 e 130, e a Tabela 3.3, para BRC210.

Tabela 3.2 - Variação do número de nervuras secundárias dos modelos estruturais obtidos com as formas BRC100 e BRC130

Exemplo N0 de Nervuras Distância (cm)

1 16 26,0 2 13 32,1 3 10 40,9 4 7 56,2 5 5 75,0 6 3 112* 7 2 112*

Tabela 3.3 - Variação do número de nervuras secundárias dos modelos estruturais obtidos com a forma BRC210

Exemplo N0 de Nervuras Distância (cm)

8 12 33,0 9 10 40,9

10 7 56,2 11 5 75,0 12 3 112 13 2 116*

Obs.: Somente as dimensões de nervuras assinaladas com (*) são obtidas nas lajes

REDUZCON. Todas as outras dimensões foram utilizadas apenas com o objetivo de

investigar o comportamento estrutural do sistema de modo mais didático.

Para todos estes exemplos, são feitas análises com a relação entre os lados das

lajes, Lx/Ly, igual a 1, 1,5 e 2, sendo que Lx é o lado perpendicular às nervuras principais e

Ly, o paralelo à estas.

Para as lajes com relação entre os vãos igual a 1,5, obtiveram-se 24 nervuras

principais para BRC100 e BRC130 e 19 para BRC210, conforme mostrado na Figura 3.13 e

Figura 3.14. Para Lx/Ly = 2, 33 e 25, respectivamente. Observa-se que foram mantidas os

mesmos números de nervuras secundárias, ou seja, aqueles apresentados nas tabelas

acima.

69

Figura 3.13 – Laje nervurada do tipo REDUZCON [21] com 13 cm de altura e a relação entre os vãos igual a 1,5 (25 formas BRC100 formando 24 nervuras principais – cota em cm)

Figura 3.14 – Laje nervurada do tipo REDUZCON [21] com 26 cm de altura e a relação entre os vãos igual a 1,5 (20 formas BRC210 formando 19 nervuras principais – cota em cm)

Na direção das nervuras principais, a seção transversal possui a forma de arco.

Adota-se para as lajes analisadas REDUZCON [21] uma seção equivalente [34], como

representado na Figura 3.15 associada ao modelo BRC100, a qual tem, aproximadamente,

a mesma área e o mesmo momento de inércia da seção real. Ressalta-se que a seção

transversal das nervuras secundárias têm formas retas, o que dispensa a utilização de uma

seção equivalente, e sua nervura tem 12 cm de largura, tanto para a forma BRC100 quanto

para BRC130.

70

Figura 3.15 - Seção do tipo “T” adotada para as nervuras principais das lajes com 13 cm de altura (BRC100 - cotas em cm)

Da mesma forma, são obtidas as seções equivalentes para as lajes com 17 e 26 cm

de altura, de acordo com a Figura 3.16 e a Figura 3.17, respectivamente, representadas a

seguir. Para a seção equivalente da forma BRC130, a diferença numérica da área em

relação à seção real foi de 4,86% e em relação à inércia à flexão, 7,28%. Quanto àquela

utilizada para representar a forma BRC210, a diferença numérica em relação à área real foi

de 5,51%, já para a inércia, encontrou-se 7,07% de diferença.

Seção real: A = 224,92 cm² I = 4620,48 cm4

Seção adotada: A = 214 cm² I = 4956,73 cm4


71

Seção real: A = 400,06 cm² I =21043,8 cm4

Seção adotada: A = 378 cm² I = 22531,59 cm4


Assim como para as lajes com 13 e 17 cm de altura, a seção transversal das

nervuras secundárias das lajes com 26 cm de altura têm formas retas, dispensando, desta

maneira, a aproximação para uma seção equivalente. Sua nervura tem 16 cm de largura.

As características físicas e geométricas das lajes nervuradas com 17 cm de altura

(aquelas feitas com o molde BRC130), assim como as ações atuantes, são expostas nos

itens subseqüentes.

Posteriormente, são apresentadas no Item 3.7, as lajes REDUZCON com 17 cm de

altura (forma BRC130) com a variação do número de nervuras secundárias analisadas e,

bem como, as respectivas seções transversais das faixas da grelha no sentido das nervuras

principais e secundárias.

3.5. Propriedades Físicas e Geométricas

As barras da grelha na análise de uma laje nervurada representam uma nervura

conjuntamente com uma faixa da mesa da laje à ela conectada. Sendo assim, as

propriedades destas barras são as de uma viga “T”, como é descrito a seguir.

Em todas as análises, o concreto é considerado com resistência característica à

compressão (fck), aos 28 dias, de 20 MPa e o coeficiente de Poisson (ν) igual a 0.2, adotado

de acordo com a NBR 6118 [1].

Para o módulo de elasticidade longitudinal secante (Ecs), referente a este concreto,

tem-se um valor igual a 2,129x107 kN/m2, já que:

72

ckcs fE 560085,0 ×= ( 3.1 )

3.5.1.1. Inércia à Flexão das Barras da Grelha

Considera-se a seção integral de concreto em um cálculo elástico. Sua inércia à

flexão é calculada como demonstrado na Equação 2.31.

3.5.1.2. Inércia à Flexão das Vigas de Bordo

São consideradas no estudo três seções transversais de vigas de bordo, 15 x 40 cm,

15 x 70 cm , e 15 x 100 cm, sendo a inércia à flexão calculada com a utilização da mesma

equação empregada no cálculo para as barras da grelha, evidentemente considerando na

Equação 2.31 a distância “di“ nula, o que resulta na expressão clássica da mecânica técnica,

mostrada abaixo.

12

3iihb

I = ( 3.2 )

3.5.1.3. Inércia à Torção das Barras da Grelha

Os níveis de torção que ocorrem na maioria das grelhas são esforços advindos da

compatibilidade de deformações, haja visto que, à medida que se reduz a rigidez à torção da

barra de grelha, os momentos de torção também são reduzidos até que, para um limite

teórico de rigidez nula à torção, tem-se também momentos de torção nulos. Dessa forma,

geralmente, nos pisos de edifícios em grelha surgem esforços de torção meramente

oriundos da compatibilidade das deformações. Verifica-se também ser possível a ocorrência

de uma situação em que há equilíbrio com torção nula, no caso de baixa rigidez à torção ou

no caso de tolerar-se plastificações, conforme SUSSEKIND [35].

Neste sentido, faz-se, primeiramente, a análise considerando a inércia à torção de

uma seção T, de acordo com a Equação 2.43. Uma outra análise é feita considerando

apenas 1% do valor anteriormente calculado, ou seja, praticamente se desprezando o valor

da inércia à torção.

3.5.1.4. Inércia à Torção das Vigas de Bordo

Geralmente, a rigidez à torção das vigas do contorno das lajes é desprezada,

considerando-se nula a sua inércia à torção. Isto se faz devido ao inconveniente relacionado

73

à necessidade de verificação da viga no que tange à sua resistência aos esforços oriundos

da torção, além de ter que armá-la para suportar tais esforços.

São feitas análises desconsiderando sua inércia à torção, acima justificado. Porém,

afim de se avaliar a influência deste parâmetro, também são feitas análises considerando a

inércia à torção da seção bruta e da seção fissurada.

Para a inércia da viga no estádio I (não fissurado), desconsidera-se o segundo termo

de β, da Equação 2.44, considerando a viga como retangular sem levar em conta a

contribuição da laje adjacente. Desta forma, obtem-se:

3

3hbJ = ( 3.3 )

Assim como indica CARVALHO [33], no estádio II (fissurado), pode-se considerar o

valor da inércia à torção do elemento de viga como sendo 10% daquele dado pela equação

anterior.

3.6. Carregamentos Adotados

Nesta investigação, as cargas são consideradas uniformemente distribuídas ao longo

das barras da grelha, de acordo com a Figura 3.18. Pois, como mencionado em DIAS [23],

assim representa-se melhor a forma dos diagramas de momentos fletores das nervuras.

Figura 3.18 – Carga uniformemente distribuída sobre as nervuras [23]

74

Os modelos estruturais analisados neste trabalho estão submetidos aos seguintes

carregamentos: peso próprio (calculado com γc = 25 kN/m³), peso de alvenaria igual a 1,5

kN/m², de revestimento igual a 1 kN/m² e de sobrecarga igual a 1,5 kN/m2.

Para o cálculo do peso próprio das nervuras, considera-se a área formada pelo

cruzamento de uma faixa de seção “T” relativa à nervura principal e uma relativa à nervura

secundária, conforme Figura 3.19. Assim sendo, o peso próprio das nervuras principais e

secundárias inscrito nesta área (kN/m²) é somado ao peso próprio da mesa (kN/m²).

Figura 3.19 – Área considerada no cálculo do peso próprio das nervuras

3.7. Modelos Estruturais Analisados

3.7.1.Modelo I

Este modelo estrutural consiste em uma laje quadrada de 4,5 por 4,5 m de vão livre

com 2 nervuras secundárias e 16 nervuras principais, conforme Figura 3.20. Na Figura 3.21,

tem-se as seções transversais que representam as nervuras principais e secundárias

adotadas no processo de analogia de grelha para este modelo.

A distância livre entre nervuras secundárias é de 1 m e entre as principais, 0,19 m,

porém se o estudo fosse realizado com a seção real ao invés da equivalente para as

nervuras principais, esta distância seria de 0,2 m, já que a seção equivalente da nervura

principal é 1 cm menor que a seção real.

75

Figura 3.20 – Laje do tipo REDUZCON [21]com 2 nervuras secundárias (cotas em cm)

Figura 3.21 – Seções transversais (cotas em cm)

Na seqüência, a Tabela 3.4 apresenta os valores dos momentos de inércia

associados à flexão (I) e à torção (J) no que tange às nervuras principais e secundárias.

Ressalta-se que para os demais modelos estruturais analisados nesta seção (Item 3.7), a

geometria (seção transversal) das nervuras principais não é modificada, portanto, não é

mais apresentada. Todavia, a seção transversal das nervuras secundárias dos diversos

modelos é variada de acordo com cada modelo estudado.

76

Tabela 3.4 – Características das barras da grelha que representam a laje nervurada com 2 nervuras secundárias

Nervuras principais Nervuras secundárias

I (m4) J (m4) I (m4) J (m4)

7,67x10-5 1,82x10-5 5,87x10-3 7,46x10-5

Como a distância do eixo da viga de bordo ao eixo da primeira nervura da laje é um

pouco maior do que as distâncias entre eixos das demais nervuras, de acordo com a Figura

3.22, as ações atuantes nas barras da grelha que representam a laje nervurada são

diferentes para aquelas mais externas e internas.

Figura 3.22 – Representação da grelha com 2 nervuras secundárias (cotas em cm).

Considerando-se a estratégia do Item 3.6, têm-se as seguintes ações atuantes:

Peso próprio da mesa: 25,1255,0 =× kN/m²

Peso próprio das nervuras: ( )[ ] 043,1

26,012,112,007,026,012,012,012,107,025

=×

×−+××× kN/m²

77

Alvenaria: 1,5 kN/m²

Revestimento: 1 kN/m²

Sobrecarga de utilização: 1,5 kN/m²

Total das ações atuantes: 6,293 kN/m²

Este carregamento distribuído por m² tem que ser transformado em um carregamento

linear, para que possa ser aplicado sobre os elementos do modelo estrutural mostrado na

Figura 3.22, ou seja, as barras que representam as faixas da grelha. O valor numérico

destas cargas foi determinado a partir da área de influência das barras, conforme ilustrado

na Figura 3.18, como indicado a seguir:

Para as barras correspondentes às nervuras principais externas:

353,112,12

226,012,1

12,123,012,1293,6 =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×

×+

××

× kN/m

Para as barras correspondentes às nervuras principais internas:

818,012,12

226,012,1

2293,6 =⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×

××× kN/m

Para as barras correspondentes às nervuras secundárias:

079,726,02

212,126,0

26,0269,126,0293,6 =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×

×+

××

× kN/m

78

3.7.2.Modelo II

Este modelo estrutural consiste em laje quadrada de 4,5 por 4,5 m de vão livre com 3

nervuras secundárias e 16 nervuras principais, conforme Figura 3.23. A distância livre entre

nervuras secundárias é de 1 m e entre as principais, 0,19 m.

Figura 3.23 - Laje do tipo REDUZCON [21] com 3 nervuras secundárias (cotas em cm).

Como as seções transversais das barras da grelha são as mesmas que as do

exemplo anterior, os momentos de inércias também serão. Porém, os carregamentos

mudam, já que a área de influência de cada barra da grelha é diferente daquela do exemplo

1, pois as distâncias entre as barras mudam, como pode ser visto na Figura 3.24.

79


Da mesma forma como no modelo anterior, tem-se:

Peso próprio da mesa: 25,1255,0 =× kN/m²

Peso próprio das nervuras: ( )[ ] 043,1

26,012,112,007,026,012,012,012,107,025

=×

×−+××× kN/m²

Alvenaria: 1,5 kN/m²

Revestimento: 1 kN/m²

Sobrecarga de utilização: 1,5 kN/m²

Total das ações atuantes: 6,293 kN/m²

Sendo assim, têm-se os seguintes carregamentos lineares distribuídos aplicados nas

barras da grelha:

80

Para as barras correspondentes às nervuras principais externas:

353,112,12

226,012,1

12,123,012,1293,6 =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×

×+

××

× kN/m

Para as barras correspondentes às nervuras principais internas:

818,012,12

226,012,1

2293,6 =⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×

××× kN/m

Para as barras correspondentes às nervuras secundárias externas:

318,526,02

212,126,0

26,0213,126,0293,6 =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×

×+

××

× kN/m

Para as barras correspondentes às nervuras secundárias internas:

524,326,02

212,126,0

2293,6 =⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×

××× kN/m

3.7.3.Modelo III


com 5 nervuras secundárias e 16 nervuras principais, conforme Figura 3.25. A distância livre

entre nervuras secundárias é de 0,63 m e entre as principais, 0,19 m.

Na Figura 3.26, tem-se as seções transversais que representam as nervuras

secundárias e principais adotadas no processo de analogia de grelha para este modelo.

81

Figura 3.25 – Modelo estrutural com 5 nervuras secundárias baseado nas lajes do tipo REDUZCON [21] (cotas em cm)

Figura 3.26 - Seções transversais (cotas em cm)

Na Tabela 3.5, têm-se os momentos de inércia da seção transversal das barras da

grelha que representam as nervuras secundárias para este modelo.


Nervuras secundárias

I (m4) J (m4)

1,775x10-3 5,914x10-5

82

De acordo com a Figura 3.27, têm-se, na Tabela 3.6, as seguintes cargas aplicadas

nas barras da grelha:


Tabela 3.6 – Carregamentos atuantes na laje nervurada e nas barras da grelha equivalente

Carregamento distribuído na laje nervurada deste exemplo (kN/m²)

Peso próprio

da mesa

Peso próprio

das nervuras Alvenaria Revestimento Sobrecarga Total

1,25 1,158 1,5 1 1,5 6,408

Carregamento distribuído nas barras da grelha equivalente (kN/m)

Nervuras principais

externas

Nervuras principais

internas

Nervuras

secundárias externas

Nervuras

secundárias internas

1,378 0,833 3,605 2,403

83

3.7.4.Modelo IV


com 7 nervuras secundárias e 16 nervuras principais, conforme Figura 3.28. A distância livre

entre nervuras secundárias é de 0,442 m e entre as principais, 0,19 m.

Figura 3.28 - Modelo estrutural com 7 nervuras secundárias baseado nas lajes do tipo REDUZCON [21] (cotas em cm)

Na Figura 3.29, estão representadas as seções transversais das nervuras principais

e secundárias adotadas no processo de analogia de grelha para este modelo.




84



I (m4) J (m4)

7,57x10-4 5,131x10-5

Baseando-se na disposição das barras da grelha da Figura 3.30, têm-se, na Tabela

3.8, as seguintes cargas aplicadas nestas barras:




Peso próprio

da mesa

Peso próprio


1,25 1,276 1,5 1 1,5 6,526


Nervuras principais

externas

Nervuras principais

internas

Nervuras


Nervuras


1,403 0,848 2,751 1,834

85

3.7.5.Modelo V


com 10 nervuras secundárias e 16 nervuras principais, conforme Figura 3.31. A distância

livre entre nervuras secundárias é de 0,289 m e entre as principais, 0,19 m.


A seguir, estão representadas, na Figura 3.32, as seções transversais das nervuras

principais e secundárias adotadas na analogia de grelha para este modelo.




86



I (m4) J (m4)

3,02x10-4 4,493x10-5






Peso próprio

da mesa

Peso próprio


1,25 1,451 1,5 1 1,5 6,701


Nervuras principais

externas

Nervuras principais

internas

Nervuras


Nervuras


1,441 0,871 2,056 1,37

87

3.7.6.Modelo VI










88



I (m4) J (m4)

1,55x10-4 4,127x10-5



Figura 3.36 – Representação da grelha com 13 nervuras secundárias - distância entre os eixos dos elementos (cotas em cm).



Peso próprio da mesa

Peso próprio das nervuras Alvenaria Revestimento Sobrecarga Total

1,25 1,627 1,5 1 1,5 6,877


Nervuras principais externas

Nervuras principais internas

Nervuras secundárias externas

Nervuras secundárias internas

1,479 0,894 1,666 1,104

89

3.7.7.Modelo VII










90



I (m4) J (m4)

9,05x10-5 3,872x10-5






Peso próprio

da mesa

Peso próprio


1,25 1,82 1,5 1 1,5 7,07


Nervuras principais

externas

Nervuras principais

internas

Nervuras


Nervuras


1,52 0,919 1,52 0,919

91

Para as vigas de bordo das lajes nervuradas analisadas, têm-se a Tabela 3.15 com

os momentos de inércia à flexão (I) e à torção (J) das seções transversais.

Tabela 3.15 – Características físicas e geométricas das vigas de bordo

Viga de Bordo (m) I (m4) J (m4)

0,15 x 0,4 8x10-4 4,5x10-4 0,15 x 0,7 4,288x10-3 7,875x10-4 0,15 x 1 1,25x10-2 1,125x10-3

4. Avaliação dos Resultados

4.1. Introdução

Neste capítulo, são mostradas as análises que foram realizadas com a utilização do

programa Ansys [19] com o intuito de testar, no âmbito deste programa, a eficiência e a

confiabilidade do modelo numérico utilizado neste trabalho para o estudo de lajes

nervuradas através da analogia de grelha. Posteriormente, são apresentados os resultados

obtidos no estudo paramétrico baseado nas lajes nervuradas REDUZCON [21].

4.2. Validação dos Modelos Numéricos

4.2.1.Análise de uma Laje Maciça sem a Consideração das Vigas do Contorno

A primeira etapa do presente estudo consiste na validação do modelo numérico

desenvolvido utilizando o programa computacional Ansys [19] para a análise de lajes pelo

método da analogia de grelha.

Procede-se à reprodução de um caso típico (hipotético) de análise de uma laje

maciça por tal método, sendo simplesmente apoiada nas extremidades, onde o apoio está

livre para a rotação segundo o eixo perpendicular ao da barra da grelha, porém com a

rotação impedida segundo o eixo da mesma. Este exemplo de aplicação de analogia de

grelha para lajes está contido no artigo sobre o programa computacional AltoQI [36].

A grelha representa uma laje maciça quadrada de 4 m, ilustrada na Figura 4.1, e as

barras desta estão espaçadas de 80 cm entre si, ou seja, 10 vigas de seção transversal de

10 x 80 cm. O carregamento distribuído uniformemente nas barras é de 4 kN/m, exceto nas

oito barras do canto, o qual é de 3 kN/m.

Os demais parâmetros da seção transversal das faixas da grelha (10 x 80 cm)

empregados na análise são:

• Área: 0,08 m²;

• Módulo de elasticidade longitudinal: Ecs = 2,1x107 kN/m²;

• Momento de inércia à torção das barras da grelha: Ix = 2,4567x10-4 m4;

• Momento de inércia à flexão das barras da grelha em torno do eixo z: Iz = 4,267x10-3 m4;

• Momento de inércia à flexão das barras da grelha em torno do eixo y: Iy = 6,667x10-5 m4.

93

Figura 4.1 – Grelha de vigas com malha de 80 x 80 cm (cotas em cm)

Este exemplo mostrado na Figura 4.1 foi selecionado de forma a reduzir o número de

variáveis e permitir um estudo detalhado de alguns aspectos significativos do

comportamento das grelhas para representarem as lajes, principalmente, as lajes

REDUZCON [21].

Os resultados fornecidos pelo referido artigo [36] são o deslocamento da viga central

da grelha, viga V3, de 0,49cm; o momento fletor na mesma viga de 4,66 kNm e o momento

torçor na extremidade da viga V1 de 6,04 kNm.

Na Tabela 4.1, pode-se observar os valores obtidos com a utilização do programa

computacional Ansys [19] na análise dessa laje através do modelo numérico desenvolvido e

a diferença percentual encontrada em relação ao referido artigo.

Tabela 4.1 – Comparação entre os resultados fornecidos pelo programa Ansys [19] e o programa AltoQI [36]

Programa

computacional

utilizado

Deslocamento

(cm)

Momento fletor

(kNm)

Momento torçor

(kNm)

AltoQI [36] 0,49 4,66 6,04

Ansys [19] 0,4967 4,779 6,511

Diferença (%) 1,37 2,55 7,8

94

A seguir, é mostrado, na Figura 4.2, o deslocamento obtido via programa Ansys [19],

onde o diagrama com a deformada da viga central, V3, representa a maior deformada da

grelha, correspondente ao seu nó central.

Figura 4.2 – Deslocamento da grelha (m)

Nos diagramas de momentos fletores é importante observar duas características

peculiares das grelhas, a descontinuidade no gráfico devido aos momentos de torção e o

fato de o momento fletor máximo nem sempre se encontrar no meio da grelha.

Na Figura 4.3, os pontos de descontinuidade correspondem aos nós da grelha e a

diferença entre os valores em cada descontinuidade é exatamente igual ao momento de

torção concentrado aplicado como reação à deformação à torção da viga neste ponto. Tal

conclusão também é encontrada pela referência [36]. O momento fletor máximo na viga V3,

que também é o máximo da grelha, está situado no final da segunda barra.

Figura 4.3 – Diagrama de momentos fletores da grelha (Nm)

95

Com relação ao diagrama de momento torçor, Figura 4.4, tem-se no primeiro nó com

descontinuidade da viga V3 a diferença entre os valores dos momentos fletores de 0,33

kNm, que corresponde ao momento de torção no meio da viga V1 (0,165 + 0,165), sendo

este mesmo quadro também é encontrado por outros autores em outra investigação [36]. O

valor máximo do momento de torção desta grelha é encontrado na extremidade da viga V1

Figura 4.4 – Diagrama de momentos torçores da grelha (Nm)

Este mesmo exemplo foi refeito com uma redução de 95% do valor do momento de

inércia à torção das barras, ou seja, considerando a grelha com barras praticamente sem

rigidez à torção. Esta redução proporcionou um aumento significativo dos deslocamentos

nodais, como pode ser observado na Figura 4.5.

Figura 4.5 – Deslocamento da grelha sem rigidez à torção (m)

96

Observa-se, no diagrama de momentos fletores, um aumento nestes valores para a

grelha, Figura 4.6, quando comparado àqueles obtidos sem a redução do momento de

inércia à torção.

Figura 4.6 – Diagrama de momentos fletores da grelha, desprezando a rigidez à torção desta (Nm)

Esta redução da inércia à torção promove uma diminuição dos momentos torçores,

fazendo com que as descontinuidades no diagrama dos momentos fletores se tornem

bastante reduzidas. Desta forma, tem-se o momento fletor máximo no centro da grelha, no

nó central da viga V3.

Porém, espera-se que os momentos torçores diminuam para praticamente zero

quando se faz esta redução da inércia à torção das barras, segundo o artigo que contém

este exemplo [36]. Como pode ser observado na Figura 4.7, este comportamento da grelha

não acontece de forma tão satisfatória quanto para os outros parâmetros analisados

(deslocamento e momento fletor).

97

Figura 4.7 – Diagrama de momentos torçores da grelha, desprezando a rigidez à torção desta (Nm)

A Tabela 4.2 fornece uma comparação destas análises para os momentos fletor,

torçor e deslocamento:

Tabela 4.2 – Comparação entre os resultados fornecidos pelo programa Ansys [19] e o programa AltoQI [36]

Programa

computacional

utilizado

Deslocamento

(cm)

Momento fletor

(kNm)

Momento torçor

(kNm)

AltoQI [36] 1,11 9,182 0,612

Ansys [19] 1,1312 9,273 0,747744

Diferença (%) 1,91 0,0099 22,18

4.2.2.Análise de uma Laje Nervurada sem a Consideração das Vigas do Contorno

Para um caso de analogia de grelha para lajes nervuradas, tem-se um exemplo

retirado da dissertação de STRAMANDINOLI [7], exemplo 4, análise 1. Este exemplo,

mostrado na Figura 4.8, consiste em uma laje nervurada quadrada, com vão livre de 5 m,

simplesmente apoiada em apoios sem deslocamentos verticais e sem rotação em volta do

eixo perpendicular ao apoio, porém com a rotação ao redor do eixo do apoio liberado.

98

Figura 4.8 – Laje nervurada do exemplo 4, análise 1, STRAMANDINOLI [7] (cotas em cm)

Esta laje é discretizada em 10 vigas T, com seção transversal demonstrada na Figura

4.9, considerando o momento de inércia à torção da seção T integral (I e J calculados pelas

equações 2.31 e 2.43, respectivamente).

Figura 4.9 – Seção considerada para as barras da grelha do exemplo 4, STRAMANDINOLI [7] (cotas em cm)

Os resultados obtidos através da utilização do programa Ansys [19] são mostrados à

seguir através dos diagramas de deslocamento e momentos fletores e torçores, Figura 4.10,

Figura 4.11 e Figura 4.12, respectivamente.

99


Figura 4.11 – Diagrama de momentos fletores da grelha (Nm)

Figura 4.12 – Diagrama de momentos torçores da grelha (Nm)

100

Estes resultados podem melhor ser visualizados e comparados aos encontrados em

STRAMANDINOLI [7] através da Tabela 4.3. Por esta, vê-se que a forma como é feita a

discretização da laje nesta dissertação representa bem o seu comportamento, pois as

diferenças encontradas não são significativas.

Tabela 4.3 – Comparação entre os resultados obtidos pelo programa Ansys [19] e pelos resultados de STRAMANDINOLI [7]

Fonte Deslocamento (cm) Momento fletor (kNm) Momento torçor (kNm)

STRAMANDINOLI [7] 1,85 9,27 2

Ansys [19] 1,9575 9,032 2,028

Diferença (%) 5,81 2,57 1,4

4.2.3.Análise de uma Laje Maciça Considerando as Vigas do Contorno

Um exemplo considerando a flexibilidade das vigas de bordo na análise de uma laje

através da analogia de grelha também é reproduzido com o emprego do programa Ansys

[19].

Em seu trabalho, SILVA [37] analisa uma laje maciça quadrada de 3 m de vão, com 8

cm de espessura, como a da Figura 4.13, apoiadas em vigas de seção transversal de 0,2 x

0,3 m. Não é levada em conta a contribuição da laje adjacente.

Figura 4.13 – Laje maciça apoiada em vigas consideradas deformáveis verticalmente [37]

101

As inércias à flexão e à torção são calculadas pelas equações 2.31 e 2.43,

respectivamente, e a malha utilizada no processo de analogia de grelha tem barras de

seção transversal de 8 x 15 cm.

As cargas são consideradas uniformemente distribuídas nos elementos da grelha

equivalente e iguais a 2,25 e 4,5 kN/m para as barras do contorno e do centro,

respectivamente. Ressalta-se que o carregamento total da laje é de 6 kN/m², sendo

composto pelo peso próprio, 2 kN/m², carga permanente, 1 kN/m², e sobrecarga de

utilização, 3 kN/m².

Através do método de analogia de grelha, obteve-se o deslocamento para esta laje,

mostrado na Figura 4.14, sendo representada pela deformação da grelha equivalente.


Pode-se notar, através da Figura 4.15 (b), a influência do momento de inércia à

torção das vigas de bordo. Sendo este momento de inércia elevado, com a mesma ordem

de grandeza que o momento de inércia à flexão das mesmas, nos nós correspondentes ao

encontro dos elementos de grelha que representam a laje com os elementos de grelha das

vigas de bordo, surgem momentos fletores negativos elevados. Isto contribui para que

ocorra uma redução no momento fletor positivo e da flecha no centro da placa.

102

a) Diagrama de momentos fletores da grelha, considerando os elementos de laje e vigas de bordo (Nm)

b) Diagrama de momentos fletores da grelha, considerando somente os elementos que discretizam a laje (Nm)

Figura 4.15 – Diagramas de momentos fletores da grelha (Nm)

Embora o referido artigo [37] não comente sobre os momentos torçores desta placa,

apenas com finalidade de elucidar ao leitor, são mostrados, na Figura 4.16, os diagramas

fornecidos pelo programa Ansys [19].

c) Diagrama de momentos torçores da grelha, considerando os elementos de laje e vigas de bordo (Nm)

d) Diagrama de momentos torçores da grelha, considerando somente os elementos que discretizam a laje (Nm)

Figura 4.16 – Diagramas de momentos torçores da grelha (Nm)

103

A Tabela 4.4 apresenta os resultados desta comparação entre a análise feita no

referido artigo e a reproduzida nesta dissertação.

Tabela 4.4 – Comparação entre os resultados obtidos pelo programa Ansys e pelos resultados de SILVA [37]

Fonte Deslocamento (cm) Momento fletor (kNm)

SILVA [37] 1,576 2,5395

Ansys [19] 1,5648 2,528

Diferença (%) 0,71 0,45

Cabe destacar que na maior parte dos casos refeitos, tanto os deslocamentos quanto

os esforços fornecidos pelo programa Ansys [19] apresentaram valores um pouco

superiores aos dos exemplos comparados.

4.3. Análises das Lajes Nervuradas Estudadas

4.3.1.Estudo sobre a Influência das Condições de Contorno

Nesta seção da dissertação, é analisada uma laje nervurada baseada naquelas do

tipo REDUZCON [21], correspondente ao modelo com 13 cm de altura, de acordo com a

Figura 3.10. Para a execução desta laje na prática, emprega-se o molde BRC100, já

discutido anteriormente no Capítulo 3, como ilustrado na Figura 3.15. Inicialmente, as lajes

nervuradas são modeladas considerando-se as mesmas simplesmente apoiadas em apoios

rígidos, sem deslocamentos verticais, com restrição nestes apoios à rotação segundo o eixo

das barras da grelha e sem esta restrição segundo o eixo perpendicular às mesmas. Esta

condição de contorno (apoios rígidos) é empregada nos modelos objetivando demonstrar a

influência do emprego (ou não) das vigas contorno das lajes, quando se considera a

analogia de grelha.

As características consideradas para o concreto, assim como as características

físicas e geométricas das faixas da grelha e os carregamentos são adotadas conforme os

Itens 3.5 e 3.6, respectivamente.

Na seqüência do texto, a Tabela 4.5 apresenta uma análise bastante extensa, com

base na variação do número de nervuras secundárias do modelo em estudo.

104

Observa-se, claramente, que os valores máximos de momentos fletores ocorrem nas

faixas centrais dos modelos. No que se refere aos momentos torçores, os valores máximos

surgem nas faixas do canto, sendo o posicionamento destas faixas mostrado na Figura 4.17.

Figura 4.17 – Posicionamento das faixas da grelha para a laje com 7 nervuras secundárias

Tabela 4.5 - Resultados das análises da laje nervurada quadrada de 13 cm de altura feitas sem a consideração de vigas de bordo, apenas com apoios rígidos

Momento de inércia à torção das faixas da grelha: integral

Momentos fletores da faixa do canto (kNm)

Momentos fletores da faixa central (kNm)

Momentos torçores (1ª e 2ª faixas da grelha - kNm)

Myx (nerv. princ.) Mxy (nerv. sec.) Nerv. sec. VB Flecha

(cm) Mx (nerv. princ.)

My (nerv. sec.)

Mx (nerv. princ.)

My (nerv. sec.) 1ª 2ª 1ª 2ª

16 0,67 0,32 0,43 1,57 2,05 0,39 0,35 0,65 0,59 15 0,69 0,33 0,49 1,60 2,15 0,39 0,36 0,67 0,60 14 0,70 0,33 0,56 1,63 2,23 0,40 0,37 0,69 0,61 13 0,72 0,34 0,58 1,67 2,35 0,41 0,37 0,72 0,63 12 0,74 0,35 0,63 1,73 2,40 0,42 0,38 0,76 0,65 11 0,74 0,36 0,72 1,73 2,57 0,42 0,38 0,77 0,65 10 0,75 0,36 0,83 1,77 2,68 0,43 0,39 0,80 0,65 9 0,78 0,37 0,94 1,82 2,87 0,44 0,40 0,84 0,67 8 0,80 0,38 1,12 1,89 3,03 0,45 0,41 0,89 0,67 7 0,84 0,39 1,33 1,96 3,30 0,46 0,42 0,94 0,67 6 0,87 0,40 1,62 2,05 3,50 0,48 0,44 1,01 0,64 5 0,92 0,41 2,05 2,17 3,93 0,50 0,45 1,09 0,57 4 0,98 0,42 2,63 2,30 4,17 0,52 0,47 1,18 0,41 3

Apo

io in

desl

ocáv

el

1,06 0,43 3,52 2,54 5,00 0,54 0,49 1,28 0,00

105

Para exemplificar o comportamento de uma grelha quando se considera as vigas de

bordo na análise, têm-se, na Tabela 4.6, os resultados obtidos com o mesmo modelo de laje

nervurada quadrada (vão livre de 4,5 m, 13 cm de altura – BRC100) e 7 nervuras

secundárias. São apresentados valores de momento torçor nas nervuras principais no

encontro com a viga de bordo, momento fletor no mesmo ponto e no centro da faixa

(nervura principal).

Neste estudo, considera-se a inércia à torção integral das seções T das faixas da

grelha que discretizam a laje nervurada, assim como a inércia à torção integral das faixas

relativas às vigas de bordo, sendo que estas têm seção transversal de 15 x 40 cm. Estas

características fisicas e geométricas e o carregamento também foram calculadas de acordo

com os Itens 3.5 e 3.6.

Tabela 4.6 - Resultados da análise da laje nervurada quadrada de 13 cm de altura, com 7 nervuras secundárias, feitas considerando as vigas de bordo (15 x 40 cm)

Número da nervura principal

Momento torçor, Myx, nas nervuras

principais (kNm)

Momento fletor, Mx, no encontro das nervuras

principais com a viga de bordo (kNm)

Momento fletor, Mx, no centro das faixas

(nervuras principais) (kNm)

1ª 1,40 0,86 3,17 2ª 1,31 0,09 2,71 3ª 1,10 -0,19 2,29 4ª 0,89 -0,35 2,00 5ª 0,68 -0,47 1,86 6ª 0,48 -0,57 1,80 7ª 0,28 -0,63 1,79

8ª (meio do vão) 0,09 -0,66 1,79

Como o momento fletor no encontro com a viga de bordo é positivo nas faixas do

canto, ele também é, no centro da mesma faixa, maior do que aquele no centro de uma

faixa central, visto que nas faixas centrais existe um momento negativo nesse encontro com

a viga de bordo, o qual diminui o momento fletor no centro desta faixa.

Este comportamento da grelha pode melhor ser observado através da Figura 4.18

(a), onde se compara o momento fletor de cada faixa da grelha no encontro com a viga de

bordo e no centro da mesma, desde a primeira faixa até a faixa central.

Como é esperado, os momentos torçores são maiores no canto da laje, como pode

ser observado na Figura 4.18 (b).

106

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª


Myx

(kN

m)

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª


Mx

(kN

m)

Mx - encontro da faixa com a viga de bordoMx - centro da faixa da grelha

a) Relação entre os momentos fletores nas nervuras principais no centro destas e no encontro com a viga de bordo

b) Variação de momentos torçores da primeira nervura até a nervura principal central (kNm)

Figura 4.18 – Influência das vigas de bordo na analogia de grelha

Observa-se, também, que discretizando a laje com vigas de bordo, o deslocamento

tende a diminuir, mesmo que estas tenham pequena altura, como no caso citado acima.

Quando a laje é discretizada considerando o apoio indeslocável, o deslocamento obtido para

o caso com 7 nervuras secundárias é de 0,84 cm. Já para as análises nas quais é levada

em conta a deslocabilidade das vigas de bordo, este deslocamento caiu para 0,6; 0,32 e

0,25 cm para os vigas do contorno com seção transversal de 15 x 40, 15 x 70 e 15 x 100

cm, respectivamente, como pode ser observado nas tabelas com os resultados das análises

das lajes nervuradas com 13 cm de altura, Anexo A -.

Para os casos analisados a seguir, a deslocabilidade do apoio é considerada e sua

influência desloca os momentos fletores máximos das faixas centrais na maior parte dos

casos, como pode ser observado nas tabelas subseqüentes. Também são feitas análises de

lajes nervuradas com apenas 3 e 2 nervuras secundárias, que são as lajes nervuradas

REDUZCON [21] reais obtidas na prática para este vão livre, considerando apoiadas em

apoios indeslocáveis.

São expostos, nos próximos itens deste capítulo, os resultados das análises dos

modelos apresentados no Item 3.7, sumarizados na Tabela 4.7 a Tabela 4.30, segundo as

características físicas e geométricas e os carregamentos calculados de acordo com os Itens

3.5 e 3.6 para os vãos livres de 4,5 x 4,5 m; 4,5 x 6,75 m e 4,5 x 9 m.

107

4.3.2.Resultados das Análises das Lajes Nervuradas Quadradas (Lx/Ly = 1)

São apresentadas, a seguir, as tabelas com os resultados obtidos nas análises feitas

com a consideração da deslocabilidade e do momento de inércia à torção das vigas de

bordo das lajes nervuradas, além da influência da variação do número de nervuras

secundárias e do momento de inércia à torção das faixas da grelha.

As análises são feitas utilizando os resultados de momentos fletores obtidos na faixa

central, embora nas tabelas sejam apresentados estes e aqueles observados na faixa do

canto, ou seja, na 1ª faixa da grelha que discretiza a laje nervurada, como é mostrado na

Figura 4.19 para a laje com 7 nervuras secundárias. Quanto aos momentos torçores,

também serão analisados aqueles obtidos na primeira faixa da grelha.

Figura 4.19 – Posicionamento das primeiras faixas que discretizam a laje nervurada

Isto se justifica devido ao fato de que estes esforços obtidos fora das faixas centrais,

para momentos fletores, e fora da primeira faixa da grelha, para torçores, quando se analisa

a laje com as vigas de bordo, provavelmente, são influenciados pela rigidez desta.

Observa-se que, quando as análises são feitas considerando as vigas de bordo, os

esforços máximos são sempre obtidos nos nós centrais das faixas da grelha, embora não

necessariamente na faixa central da grelha.

Provavelmente isto acontece devido à influência da rigidez das vigas de bordo ser

muito maior do que a das faixas (seções T que representam as nervuras e uma parte da

mesa da laje nervurada). Quando não se tem estas vigas de bordo, a posição dos valores

108

máximos para os esforços é dependente somente da inércia à torção das faixas; se esta é

considerada, estes valores se deslocam dos nós centrais.

No caso de um estudo feito sem a consideração de vigas de apoio, ou seja, com a

laje descarregando em apoios indeslocáveis, como por exemplo, a análise do Item 4.2.1,

esses valores podem se deslocar para outros nós das faixas, mas se encontram sempre nas

faixas centrais da grelha.

Tem-se que, para tornar as tabelas a seguir mais compactas, as expressões “nervura

secundária”, “nervura principal” e “viga de bordo” são substituídas por NS, NP e VB.

Tabela 4.7 - Resultados das análises da laje nervurada quadrada de 17 cm de altura: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I

Momentos Fletores Faixa do canto Faixa central

Momentos Torçores (1ª e 2ª faixas da grelha)

Myx – NP Mxy - NS NS VB

(m) Flecha(cm) Mx – NP

(kNm) My – NS(kNm)

Mx – NP(kNm)

My – NS(kNm) 1ª 2ª 1ª 2ª

16 0,49 4,13 3,78 2,68 3,25 2,52 2,12 2,38 1,9713 0,50 4,05 4,53 2,67 3,71 2,33 2,02 2,96 2,2310 0,51 4,05 5,67 2,59 4,31 2,06 1,84 3,68 2,447 0,55 4,11 7,34 2,48 5,14 1,67 1,49 4,43 2,445 0,60 4,26 8,41 2,36 5,99 1,26 1,10 4,88 1,983 0,70 4,36 9,42 2,30 7,42 0,71 0,60 5,41 0**2

0,15

x 0

,4

0,84 5,69 9,24* 2,88 9,24* 0,28 0,19 4,93 -***16 0,24 4,33 4,20 2,72 3,17 2,50 2,94 2,55 2,8113 0,24 4,23 5,00 2,68 3,64 2,28 2,72 3,41 3,2410 0,25 4,19 6,16 2,54 4,22 1,98 2,39 4,52 3,587 0,26 4,04 7,71 2,33 5,05 1,60 1,86 5,68 3,575 0,29 3,96 8,54 2,16 5,86 1,26 1,37 6,22 2,843 0,34 3,89 9,30 2,04 7,06 0,80 0,80 6,26 0**2

0,15

x 0

,7

0,42 5,20 8,86* 2,46 8,86* 0,37 0,33 5,75 -***16 0,17 4,78 4,71 2,81 3,23 1,85 3,22 2,12 3,2113 0,17 4,59 5,59 2,77 3,71 1,73 2,94 3,12 3,8210 0,18 4,44 6,84 2,62 4,33 1,57 2,55 4,52 4,327 0,19 4,06 8,47 2,41 5,25 1,35 1,97 6,15 4,355 0,21 3,79 9,56 2,21 6,25 1,15 1,49 7,09 3,543 0,25 3,41 10,30 2,15 7,71 0,79 0,92 6,81 0**2

0,15

x 1

0,31 4,61 9,94* 2,41 9,94* 0,42 0,44 6,24 -***

Obs.:

• (*) Tem-se que, para as lajes com apenas duas nervuras secundárias, a faixa que é

considerada do canto é a mesma central. Portanto, o momento fletor na faixa central

será igual ao do canto, já que se trata da mesma nervura.

• (**) Nas lajes com três nervuras secundárias, o momento torçor, Mxy, na segunda

faixa da grelha corresponde ao momento na nervura secundária central e, para esta,

o momento torçor é nulo.

• (***) Como a laje tem somente duas nervuras secundárias, não existe uma segunda

faixa antes do centro da laje para que se possa tomar o valor de momento torçor.

109

Tabela 4.8 - Resultados das análises da laje nervurada quadrada de 17 cm de altura: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


16 0,50 4,10 3,72 2,76 3,35 2,56 2,17 2,50 2,1213 0,51 4,01 4,48 2,75 3,83 2,38 2,08 3,11 2,3810 0,52 4,01 5,65 2,67 4,44 2,12 1,90 3,85 2,617 0,56 4,05 7,35 2,57 5,29 1,74 1,58 4,66 2,605 0,61 4,19 8,47 2,46 6,17 1,35 1,20 5,17 2,123 0,71 4,25 9,58 2,41 7,65 0,83 0,72 5,81 0,002

0,15

x 0

,4

0,86 5,59 9,48 2,94 9,48 0,42 0,34 5,23 -16 0,25 4,34 4,16 2,83 3,32 2,51 3,02 2,68 3,0113 0,25 4,22 4,99 2,78 3,80 2,30 2,81 3,57 3,4510 0,26 4,16 6,19 2,65 4,40 2,03 2,48 4,71 3,807 0,27 3,99 7,80 2,45 5,25 1,68 1,97 5,93 3,775 0,30 3,90 8,70 2,28 6,11 1,37 1,50 6,51 3,003 0,35 3,82 9,58 2,17 7,37 0,93 0,96 6,62 0,002

0,15

x 0

,7

0,43 5,11 9,18 2,52 9,18 0,52 0,51 6,02 -16 0,18 4,82 4,71 2,92 3,37 1,81 3,29 2,19 3,3913 0,18 4,62 5,62 2,87 3,87 1,72 3,02 3,22 4,0110 0,19 4,45 6,92 2,73 4,51 1,59 2,63 4,67 4,527 0,20 4,04 8,62 2,51 5,45 1,41 2,08 6,36 4,545 0,22 3,76 9,78 2,32 6,50 1,24 1,61 7,34 3,873 0,26 3,40 10,63 2,27 8,02 0,91 1,06 7,13 0,002

0,15

x 1

0,32 4,60 10,28 2,46 10,28 0,55 0,60 6,54 -

Tabela 4.9 - Resultados das análises da laje nervurada quadrada de 17 cm de altura: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


16 0,52 4,12 3,72 2,82 3,46 2,24 2,04 2,08 1,8713 0,53 4,02 4,51 2,83 3,96 2,05 1,94 2,64 2,1410 0,55 3,99 5,74 2,78 4,62 1,81 1,75 3,35 2,387 0,59 3,95 7,56 2,72 5,59 1,47 1,43 4,11 2,385 0,65 4,00 8,87 2,69 6,59 1,12 1,05 4,51 1,903 0,77 3,94 10,42 2,78 8,42 0,61 0,56 4,69 0,002

0,15

x 0

,4

0,95 5,09 10,81 3,43 10,81 0,18 0,14 4,28 -16 0,29 4,69 4,55 3,08 3,64 1,62 3,00 1,70 2,8713 0,29 4,51 5,58 3,07 4,19 1,50 2,78 2,69 3,4710 0,30 4,33 7,10 2,98 4,90 1,36 2,45 4,11 3,997 0,32 3,89 9,22 2,85 6,00 1,23 1,96 5,77 4,115 0,35 3,53 10,67 2,80 7,20 1,10 1,52 6,62 3,323 0,42 3,07 12,42 2,96 9,31 0,79 0,98 6,33 0,002

0,15

x 0

,7

0,55 4,16 12,67 3,29 12,67 0,37 0,46 5,75 -16 0,20 5,58 5,59 3,28 3,76 0,81 3,50 1,12 3,5113 0,21 5,24 6,80 3,27 4,33 0,85 3,19 2,39 4,4110 0,21 4,86 8,52 3,16 5,07 0,92 2,77 4,32 5,187 0,22 4,08 10,87 3,01 6,25 1,02 2,21 6,78 5,345 0,24 3,48 12,66 2,93 7,66 1,06 1,77 8,34 4,403 0,30 2,68 14,32 3,15 10,26 0,86 1,21 8,23 0,002

0,15

x 1

0,39 3,72 14,77 3,32 14,77 0,51 0,68 7,74 -

110

Tabela 4.10 - Resultados das análises da laje nervurada quadrada de 17 cm de altura: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


16 0,54 4,08 3,63 2,96 3,65 2,25 2,11 2,25 2,1013 0,55 3,97 4,45 2,97 4,17 2,09 2,02 2,85 2,3910 0,57 3,91 5,71 2,93 4,86 1,87 1,86 3,60 2,657 0,61 3,84 7,62 2,89 5,87 1,58 1,56 4,45 2,665 0,67 3,86 9,04 2,88 6,94 1,27 1,22 4,95 2,153 0,80 3,70 10,79 3,02 8,90 0,83 0,78 5,27 0,002

0,15

x 0

,4

0,98 4,87 11,33 3,59 11,33 0,47 0,39 4,67 -16 0,32 4,75 4,56 3,27 3,90 1,54 3,14 1,83 3,2113 0,32 4,55 5,65 3,25 4,46 1,46 2,93 2,88 3,8410 0,32 4,32 7,24 3,16 5,20 1,38 2,60 4,39 4,387 0,34 3,81 9,50 3,04 6,35 1,33 2,14 6,17 4,485 0,37 3,41 11,08 3,01 7,63 1,26 1,72 7,12 3,623 0,45 2,88 13,04 3,22 9,90 1,01 1,23 6,92 0,002

0,15

x 0

,7

0,58 3,94 13,37 3,45 13,37 0,65 0,74 6,17 -16 0,22 5,72 5,67 3,45 3,98 0,68 3,63 1,16 3,7913 0,22 5,34 6,94 3,43 4,56 0,78 3,32 2,50 4,7210 0,22 4,68 8,73 3,32 5,33 0,92 2,91 4,53 5,527 0,23 4,05 11,20 3,17 6,55 1,09 2,37 7,10 5,655 0,25 3,43 13,11 3,10 8,04 1,17 1,94 8,75 4,653 0,31 2,59 14,94 3,36 10,78 1,02 1,42 8,73 0,002

0,15

x 1

0,41 3,62 15,43 3,45 15,43 0,71 0,91 8,17 -

Tabela 4.11 - Resultados das análises da laje nervurada quadrada de 17 cm de altura: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


16 0,53 4,12 3,71 2,85 3,51 2,17 2,02 2,01 1,8513 0,54 4,01 4,51 2,87 4,02 1,99 1,92 2,57 2,1210 0,56 3,97 5,75 2,82 4,70 1,75 1,74 3,27 2,367 0,60 3,91 7,61 2,78 5,69 1,43 1,41 4,03 2,365 0,66 3,93 8,98 2,77 6,75 1,08 1,05 4,42 1,883 0,79 3,82 10,67 2,91 8,68 0,59 0,56 4,52 0,002

0,15

x 0

,4

0,98 4,91 11,22 3,59 11,22 0,15 0,13 4,12 -16 0,30 4,76 4,63 3,16 3,75 1,42 3,01 1,51 2,8813 0,30 4,57 5,72 3,16 4,31 1,31 2,79 2,52 3,5210 0,31 4,36 7,31 3,08 5,05 1,21 2,45 4,01 4,087 0,33 3,85 9,59 2,96 6,21 1,14 1,98 5,79 4,225 0,36 3,42 11,20 2,96 7,50 1,05 1,55 6,73 3,423 0,45 2,85 13,23 3,21 9,88 0,78 1,03 6,40 0,002

0,15

x 0

,7

0,59 3,86 13,74 3,52 13,74 0,37 0,50 5,81 -16 0,21 5,74 5,78 3,38 3,87 0,59 3,55 0,92 3,5713 0,21 5,37 7,06 3,37 4,45 0,66 3,24 2,24 4,5210 0,21 4,93 8,88 3,27 5,22 0,78 2,81 4,29 5,357 0,22 4,07 11,39 3,13 6,45 0,95 2,26 6,93 5,545 0,25 3,41 13,34 3,08 7,94 1,03 1,83 8,63 4,573 0,31 2,50 15,24 3,39 10,81 0,86 1,28 8,62 0,002

0,15

x 1

0,41 3,48 16,00 3,57 16,00 0,52 0,74 8,21 -

111

Tabela 4.12 - Resultados das análises da laje nervurada quadrada de 17 cm de altura: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


16 0,55 4,07 3,61 3,00 3,72 2,18 2,10 2,19 2,0913 0,56 3,95 4,44 3,02 4,26 2,02 2,01 2,78 2,3910 0,58 3,88 5,72 3,00 4,96 1,81 1,85 3,54 2,667 0,63 3,78 7,68 2,97 6,02 1,54 1,56 4,40 2,675 0,69 3,76 9,18 2,99 7,15 1,24 1,23 4,90 2,163 0,82 3,52 11,12 3,19 9,24 0,83 0,80 5,14 0,002

0,15

x 0

,4

1,01 4,65 11,84 3,79 11,84 0,44 0,41 4,55 -16 0,33 4,84 4,65 3,37 4,03 1,30 3,16 1,62 3,2513 0,33 4,62 5,80 3,36 4,61 1,26 2,95 2,71 3,9210 0,33 4,35 7,50 3,28 5,38 1,22 2,63 4,31 4,507 0,35 3,76 9,92 3,18 6,61 1,24 2,17 6,24 4,635 0,39 3,28 11,69 3,20 8,00 1,23 1,78 7,30 3,763 0,48 2,62 13,96 3,50 10,57 1,03 1,31 7,07 0,002

0,15

x 0

,7

0,63 3,59 14,58 3,71 14,58 0,68 0,81 6,27 -16 0,23 5,91 5,88 3,56 4,11 0,43 3,69 0,94 3,8713 0,23 5,48 7,22 3,54 4,70 0,57 3,38 2,34 4,8710 0,23 4,98 9,13 3,45 5,49 0,77 2,96 4,50 5,727 0,24 4,05 11,77 3,31 6,77 1,01 2,42 7,27 5,875 0,26 3,36 13,85 3,27 8,34 1,15 2,01 9,08 4,853 0,33 2,40 15,93 3,61 11,38 1,04 1,50 9,18 0,002

0,15

x 1

0,43 3,35 16,75 3,72 16,75 0,75 0,99 8,68 -

4.3.2.1. Influência do Momento de Inércia à Torção das Faixas da Grelha

Nesta seção, faz-se uma comparação entre os resultados obtidos considerando a

inércia à torção das faixas da grelha integral e apenas 1% desta, considerando sempre a

inércia à torção das vigas de bordo nula.

Nos gráficos a seguir, estão os valores de deslocamento e esforços obtidos para cada

modelo com o número de nervuras secundárias considerado. Estes valores são ligados por

retas (relação linear), visto que não há como estimar com precisão, de outra forma, os

resultados para situações intermediárias não analisadas, conforme definido no Item 3.7.

Observa-se que, como é esperado, diminuindo a inércia à torção das faixas da

grelha, o deslocamento da laje nervurada aumenta, como mostrado no gráfico para as lajes

com viga de contorno de 15 x 40 cm, Figura 4.20 (a).

Outro comportamento também esperado e verificado na Figura 4.20 (b) e (c), as

quais representam os deslocamentos das lajes com vigas de bordo de seção de 15 x 70 e

15 x 100 cm, respectivamente, é que aumentando a rigidez à flexão da viga de bordo,

através do aumento da altura da seção transversal desta, o deslocamento diminui.

112

Tem-se, também, que com a diminuição do número de nervuras secundárias, o

deslocamento aumenta. Isto também é esperado, já que a rigidez do sistema estrutural

diminui quando o número de nervuras é reduzido.

0,400,500,600,700,800,901,001,10

2 4 6 8 10 12 14 16

N ervuras secund árias

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

2 4 6 8 10 12 14 16N ervuras secund árias

a) Flechas (VB 15 x 40 cm) b) Flechas (VB 15 x 70 cm)

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

2 4 6 8 10 12 14 16


c) Flechas (VB 15 x 100 cm)

Inércia à torção da faixa da grelha integral 1% da inércia à torção da faixa da grelha

Figura 4.20 – Deslocamentos em função da inércia à torção das faixas da grelha

O comportamento da laje nervurada com relação ao momentos fletores nas nervuras

principais, Mx, e secundárias, My, também ficou dentro do esperado, ou seja, diminuindo-se

a inércia à torção das faixas da grelha, obteve-se um aumento no valor desses esforços,

como pode ser observado na Figura 4.21.

Porém, devido à influência das vigas de bordo, os momentos torçores nas nervuras

principais e secundárias, Figura 4.22, não se reduzem à valores insignificantes quando a

inércia à torção das faixas da grelha é praticamente desprezada (1% do valor total). Mesmo

não se considerando a inércia à torção das vigas do contorno das lajes, a inércia à flexão

destas é muito maior do que a das faixas da grelha e esta influência é determinante no

comportamento à torção da laje.

Observa-se que para os momentos fletores nas nervuras principais, Mx, os valores

mínimos são obtidos utilizando-se 5 nervuras secundárias. Já para os momentos fletores

nas nervuras secundárias, My, a laje bidirecional com a mesma quantidade de nervuras nas

duas direções apresenta os menores valores, para todas as seções trasversais de vigas de

bordo estudadas.

113

2,602,803,003,203,403,603,804,00

2 4 6 8 10 12 14 16


2,80

3,00

3,20

3,40

3,60

3,80


a) Mom. Fletores nas NP (VB 15 x 40 cm) b) Mom. Fletores nas NP (VB 15 x 70 cm)

3,003,103,203,303,403,503,603,703,80


3,004,005,006,007,008,009,00

10,0011,0012,0013,00


c) Mom. Fletores nas NP (VB 15 x 100 cm) d) Mom. Fletores nas NS (VB 15 x 40 cm)

3,00

5,00

7,00

9,00

11,00

13,00

15,00


2,004,006,008,00

10,0012,0014,0016,0018,00


e) Mom. Fletores nas NS (VB 15 x 70 cm) f) Mom. Fletores nas NS (VB 15 x 100 cm)


Figura 4.21 – Momentos fletores em função da inércia à torção das faixas da grelha

Tem-se, na Figura 4.22 (a) a (c), novamente demonstrada a influência da

consideração da viga de bordo na análise. A variação da sua rigidez, através do aumento da

altura da seção transversal, modifica o ponto onde o valor do momento torçor na nervura

principal, Myx, aproxima-se nas duas análises (considerando o momento de inércia à torção

das faixas que discretizam a laje nervurada integral e apenas 1% deste valor).

Os momentos torçores nas nervuras secundárias, Mxy, Figura 4.22 (d) a (f),

aproximam-se nas duas análises (considerando o momento de inércia à torção das faixas

que discretizam a laje nervurada integral e apenas 1% deste valor) à medida que aumenta a

altura da viga de bordo, principalmente nos modelos com maior número de nervuras

114

secundárias. Ou seja, a influência da rigidez das vigas de apoio da laje é muito maior do que

a influência causada pela rigidez das faixas que discretizam as nervuras secundárias.

No entanto, como já mencionado, a análise que considera a inércia à torção integral

das faixas da grelha não apresenta os maiores valores de momentos torçores.

Provavelmente, este fato se deve à influência causada pela consideração das vigas do

contorno na análise da laje nervurada.

0,000,300,600,901,201,501,802,102,40


0,30

0,50

0,70

0,90

1,10

1,30

1,50


a) Mom. Torçores nas NP (VB 15 x 40 cm) b) Mom. Torçores nas NP (VB 15 x 70 cm)

0,350,450,550,650,750,850,951,051,151,25


1,502,002,503,003,504,004,505,005,50


c) Mom. Torçores nas NP (VB 15 x 100 cm) d) Mom. Torçores nas NS (VB 15 x 40 cm)

1,002,003,004,005,006,007,008,00

2 4 6 8 10 12 14 16


0,001,002,003,004,005,006,007,008,009,00

10,00


e) Mom. Torçores nas NS (VB 15 x 70 cm) f) Mom. Torçores nas NS (VB 15 x 100 cm)


Figura 4.22 – Momentos torçores em função da inércia à torção das faixas da grelha

115

4.3.2.2. Influência do Momento de Inércia à Torção das Vigas de Bordo

No intuito de se verificar o comportamento destas lajes frente à variação de inércia à

torção para as diversas seções de vigas de bordo adotadas no estudo, faz-se uma

comparação entre as análises que consideram a inércia à torção das vigas do contorno das

lajes nervuradas no estádio I (não fissurado), no estádio II (fissurado) e nula. Para isto,

adotam-se os valores obtidos nas análises com a inércia à torção das faixas da grelha

integral.

Como pode ser visto na Figura 4.23, as flechas das lajes nervuradas aumentam com

a diminuição da inércia à torção das vigas de bordo, sendo este o comportamento esperado.

Tem-se, também, que aumentando a altura da viga de apoio ou o número de nervuras

secundárias da laje nervurada, o deslocamento da laje nervurada diminui.

0,400,500,600,70

0,800,901,001,10


0,20,250,3

0,350,4

0,450,5

0,550,6

0,65

2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00N ervuras secund árias


0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

2 4 6 8 10 12 14 16


c) Flechas (VB 15 x 100 cm)Inércia à torção da vida de bordo no estádio IInércia à torção da viga de bordo no estádio IIInércia à toção da viga de bordo desprezada

Figura 4.23 – Deslocamentos em função da inércia à torção das vigas de bordo

Com relação aos momentos fletores nas nervuras principais e secundárias, Mx e My,

respectivamente, mostrados na Figura 4.24, tem-se a mesma conclusão que para as

flechas, já que com o aumento do deslocamento causado pela diminuição da inércia à

torção das vigas de bordo, tem-se aumentados os momentos fletores.

Para a análise com as vigas de bordo no estádio I com relação à inércia à torção, os

valores mínimos de momento fletor na nervura principal, Mx, são obtidos com apenas 3

116

nervuras secundárias na laje nervurada. Quando se considera as vigas de bordo no estádio

II ou se despreza o valor de seu momento de inércia à torção, este menor valor de momento

fletor na nervura principal é obtido na laje com 5 nervuras secundárias

Percebe-se, principalmente para os momentos fletores nas nervuras secundárias, My,

na Figura 4.24 (d) a (f), que não existe grande diferença nas análises feitas considerando a

viga de bordo no estádio II ou simplesmente considerando nula a sua inércia à torção. Isto é

um comportamento razoável, já que a viga no estádio II tem somente 10% do valor integral

de sua inércia à torção.

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00


1,902,102,302,502,702,903,103,303,503,70



2,002,202,402,602,803,003,203,403,603,80


2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00



2,004,006,008,00

10,0012,0014,0016,00


2,004,006,008,00

10,0012,0014,0016,0018,00

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16N ervuras secund árias


Inércia à torção da vida de bordo no estádio IInércia à torção da viga de bordo no estádio IIInércia à toção da viga de bordo desprezada

Figura 4.24 – Momentos fletores em função da inércia à torção das vigas de bordo

117

Para os momentos torçores, têm-se os valores máximos quando se considera a viga

de contorno da laje no estádio I, com relação à inércia à torção. Estes valores diminuem

quando se considera-as no estádio II e obtém-se os valores mínimos para a análise com

inércia à torção nula para as vigas de bordo, tal como ilustrado na Figura 4.25. Isto se deve

à redistribuição de esforços da laje, já que o inverso ocorre para os momentos fletores nas

duas direções, ou seja, para a condição de rigidez à torção da viga de bordo na qual

apresenta os maiores valores de momentos fletores na laje, esta mesma condição

determinará os menores valores de momentos torçores para que se mantenha o equilíbrio

dos esforços do sistema.

0,000,300,600,901,201,501,802,102,402,703,00


0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00



0,200,400,600,801,001,201,401,601,802,00


1,502,002,503,003,504,004,505,005,506,00



1,002,003,004,005,006,007,008,00


0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00




Figura 4.25 – Momentos torçores em função da inércia à torção das vigas de bordo

118

Porém, nota-se uma inversão do comportamento do momento torçor quando se

aumenta a altura da viga e, simultaneamente, diminui-se o número de nervuras secundárias.

Esta inversão passa por uma transição quando se considera as viga do contorno da laje

nervurada com seção transversal de 15 x 70 cm e é bastante nítida para as de seção

transversal de 15 x 100 cm.

4.3.2.3. Comparação entre os Modelos Computacionais Desenvolvidos com e sem Vigas de Bordo para as Lajes Quadradas (Lx/Ly = 1)

Afim de se demonstrar a diferença nos resultados entre as análises onde se

consideram a deslocabilidade e a rigidez à torção das vigas de bordo e aquelas nas quais as

lajes nervuradas são consideradas apoiadas em apoios rígidos, é mostrado, neste item, os

valores para deslocamentos e momentos fletores e torçores para estas distintas formas de

se considerar a condição de contorno do sistema estrutural.

Ressalta-se que esta avaliação somente é feita para as lajes nervuradas do tipo

REDUZCON [21] reais que são analizadas neste trabalho, ou seja, aquelas que podem ser

construídas para o vão livre perpendicular às nervuras secundárias de 4,5 m utilizando a

forma BRC130. Portanto, lajes com apenas 2 e 3 nervuras secundárias.

A seguir, são apresentados, nas Tabela 4.13 e Tabela 4.14, os resultados das

análises das lajes sem a consideração das vigas de apoio. Isto quer dizer que cada faixa da

grelha equivalente é simplesmente apoiada nas extremidades em apoios indeslocáveis,

onde o apoio está livre para a rotação segundo o eixo perpendicular ao da barra da grelha,

porém com a rotação impedida segundo o eixo da mesma.

Tabela 4.13 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 17 cm de altura, apoiada em apoios indeslocáveis: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha



Myx - NP Mxy - NS NS Flecha

(cm) Mx – NP (kNm)

My – NS(kNm)

Mx – NP(kNm)


3 0,68 0,56 5,07 3,31 7,18 0,51 0,46 1,54 0,002 0,81 0,66 7,80 4,06 7,80 0,52 0,48 0,93 -

119

Tabela 4.14 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 17 cm de altura, apoiada em apoios indeslocáveis: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha





My – NS(kNm)

Mx – NP(kNm)


3 0,76 0,65 5,77 3,79 8,19 0,01 0,01 0,02 0,002 0,89 0,71 8,65 4,38 8,65 0,01 0,01 0,01 -

A seguir, as Figura 4.26 a Figura 4.28 apresentam os deslocamentos e os esforços

encontrados para os diversos casos analisados.

0,650,700,750,800,850,900,951,001,05

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral

(3 NS)Inércia à t o rção d as f aixas d a g relha

0,250,350,450,550,650,750,850,95

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



0,000,20

0,400,60

0,801,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



Inércia à torção das vigas de bordo no estádio I Inércia à torção das vigas de bordo no estádio II

Inércia à torção das vigas de bordo desprezada Sem vigas de bordo (apoios rígidos)

Figura 4.26 – Deslocamentos em função da inércia à torção dos elementos

Como pode ser visto na Figura 4.26, as flechas das lajes nervuradas analisadas são

muito dependentes da condição de apoio. Quando o estudo é realizado com vigas de bordo

de seção transversal de 15 x 40 cm, os deslocamentos obtidos nas lajes são maiores do que

aqueles da análise com apoios rígidos, como mostrado na Figura 4.26 (a). Porém, para as

outras seções de vigas de bordo, 15 x 70 e 15 x 100 cm, Figura 4.26 (b) e (c),

respectivamente, este deslocamento é consideravelmente menor do que o obtido com

apoios rígidos, ainda que se despreze o momento de inércia à torção dessas vigas.

120

Isto se deve ao fato de que com o apoio rígido, as faixas da grelha estão livres para

rotacionar neste apoio, ou seja, em torno do eixo perpendicular ao eixo da faixa. Porém,

quando se considera a deslocabilidade da viga de apoio da laje, surge um engaste no

encontro da faixa da grelha que discretiza a laje nervurada com a que discretiza a viga de

bordo, o que faz com que o deslocamento do sistema estrutural seja menor quanto maior a

rigidez à flexão e à torção desta viga.

Com relação aos momentos fletores nas nervuras principais, Mx, mostrados na

Figura 4.27 (a) a (c), tem-se os maiores valores na análise com apoios rígidos (sem viga de

bordo). O comportamento inverso é observado para os momentos fletores nas nervuras

secundárias, My, ilustrado na Figura 4.27 (d) a (f).

2,002,503,003,504,004,505,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


1,752,252,753,253,754,254,75

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



1,752,252,753,253,754,254,75

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


6,507,508,509,50

10,5011,5012,50

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



6,507,508,509,50

10,5011,5012,5013,5014,5015,50

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


6,007,509,0010,5012,0013,5015,0016,5018,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


e) Mom. Fletores nas NS (VB 15 x 70 cm) f) Mom. Fletores nas NS (VB 15 x 100 cm)Inércia à torção das vigas de bordo no estádio I Inércia à torção das vigas de bordo no estádio II


Figura 4.27 – Momentos fletores em função da inércia à torção dos elementos

121

Na análise com apoios rígidos, a diminuição da rigidez à torção das faixas das grelha

através da diminuição de seu momento de inércia à torção faz com que os momentos

torçores diminuam e, consequentemente, os momentos fletores nas duas direções e a

flecha aumentem para que seja mantido o equilíbrio do sistema. Isto não é sentido nas

análises com vigas de bordo, pois existe uma interferência da rigidez destas vigas neste

comportamento, como pode ser observado nas figuras relativas aos momentos torçores,

Figura 4.28.

0,000,200,40

0,600,801,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


0,000,200,400,600,801,001,20

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



0,000,200,400,600,801,001,20

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


0,001,002,003,004,005,006,007,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



0,001,002,003,004,005,006,007,008,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


0,002,004,00

6,008,00

10,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


e) Mom. Torçores nas NS (VB 15 x 70 cm) f) Mom. Torçores nas NS (VB 15 x 100 cm)Inércia à torção das vigas de bordo no estádio I Inércia à torção das vigas de bordo no estádio II


Figura 4.28 – Momentos torçores em função da inércia à torção dos elementos

122

O comportamento da laje nervurada apoiada em apoios rígidos no que tange aos

momentos torçores nas nervuras principais, Myx, e também nas nervuras secundárias, Mxy,

Figura 4.28, é didaticamente mais elucidativo do que aquele na qual a laje se apóia em

vigas de bordo com deslocabilidade. Para a análise com apoios rígidos, a inércia à torção

das faixas da grelha é o único parâmetro determinante para o comportamento dos

momentos torçores, já que a diminuição deste parâmetro das faixas da grelha faz com que

os momentos torçores caiam à praticamente zero quando este parâmetro é desprezado. O

mesmo não acontece quando se considera esta mesma grelha apoiada em vigas com

deslocabilidade, ou seja, com rigidez à flexão e à torção, já que estas rigidezes interferem

nos esforços e deslocamentos do sistema estrutural.

Percebe-se, claramente, para praticamente todas as análises de momentos torçores,

que o estudo realizado com a consideração de apoios rígidos fornecem valores inferiores

àqueles realizados com vigas de bordo, devido à influência que a rigidez das vigas causam

no sistema.

Ressalta-se que, seja qual for a condição de contorno da laje considerada nas

análises feitas neste trabalho, os momentos fletores nas nervuras secundárias são muito

superiores àqueles das nervuras principais. Isto já é esperado, pois tendo menor número de

nervuras, o momento fletor que deve ser resistido pelas secundárias é maior do que aquele

resistido pelas principais, sendo que estas estão em maior número e sua redistribuição

diminui o valor do momento fletor em cada nervura principal.

4.3.3.Resultados das Análises das Lajes Nervuradas com Lx/Ly = 1,5

Neste item são apresentados os resultados das análises feitas com os mesmos

parâmetros do Item 4.3.2 (características físicas e geométricas e carregamentos), porém

com a relação entre os vãos das lajes, Lx/Ly, igual a 1,5.

A seguir, nas Tabela 4.15 a Tabela 4.20, são apresentados os resultados obtidos

para as lajes nervuradas com a relação entre os vãos igual a 1,5.

123

Tabela 4.15 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


16 1,50 3,80 9,24 3,92 6,18 4,72 3,79 3,58 2,7913 1,52 3,71 10,88 3,96 7,11 4,42 3,68 4,52 3,1910 1,56 3,74 13,48 3,93 8,36 3,99 3,45 5,69 3,537 1,66 3,91 17,58 3,88 9,85 3,33 2,98 6,95 3,485 1,82 4,18 20,57 3,82 11,21 2,64 2,35 7,55 2,703 2,12 4,47 22,10 3,83 13,40 1,66 1,48 7,74 0,002

0,15

x 0

,4

2,55 6,04 18,22 4,20 18,22 0,72 0,60 6,42 -16 0,64 3,90 9,68 4,43 5,48 5,47 5,24 4,04 3,9913 0,64 3,98 11,29 4,38 6,34 5,01 4,91 5,31 4,6510 0,64 4,12 13,77 4,22 7,42 4,38 4,41 6,97 5,197 0,67 4,17 17,42 4,02 8,51 3,54 3,61 8,76 5,115 0,72 4,18 19,51 3,86 9,32 2,78 2,77 9,43 3,903 0,82 4,19 19,51 3,76 10,34 1,76 1,70 8,93 0,002

0,15

x 0

,7

0,99 5,72 14,56 4,03 14,56 0,82 0,75 7,47 -16 0,43 4,87 10,25 4,41 5,65 4,96 5,70 3,41 4,5513 0,43 4,90 12,00 4,36 6,55 4,58 5,30 4,79 5,5010 0,44 4,92 14,67 4,21 7,67 4,07 4,71 6,77 6,337 0,45 4,66 18,52 4,00 8,81 3,36 3,82 9,15 6,365 0,48 4,39 21,25 3,82 9,86 2,73 2,99 10,54 5,013 0,54 3,95 21,12 3,68 11,09 1,81 1,89 9,82 0,002

0,15

x 1

0,66 5,39 16,39 3,89 16,39 0,93 0,94 8,35 -

Tabela 4.16 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, Lx/Ly = 1,5: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


16 1,51 3,66 9,22 4,06 6,26 4,79 3,87 3,72 2,9413 1,53 3,60 10,87 4,09 7,19 4,49 3,77 4,68 3,3510 1,57 3,63 13,48 4,06 8,44 4,07 3,55 5,88 3,707 1,68 3,78 17,62 4,00 9,95 3,43 3,09 7,18 3,655 1,84 4,05 20,64 3,94 11,31 2,75 2,50 7,83 2,843 2,14 4,32 22,21 3,96 13,52 1,79 1,62 8,13 0,002

0,15

x 0

,4

2,57 5,89 18,36 4,32 18,36 0,88 0,77 6,72 -16 0,67 3,83 9,69 4,64 5,61 5,55 5,39 4,24 4,2513 0,67 3,89 11,33 4,58 6,48 5,10 5,07 5,52 4,9110 0,67 4,00 13,86 4,41 7,57 4,49 4,57 7,21 5,447 0,70 4,04 17,58 4,21 8,68 3,68 3,78 9,02 5,335 0,75 4,04 19,74 4,04 9,50 2,94 2,96 9,74 4,063 0,85 4,08 19,80 3,94 10,55 1,95 1,91 9,30 0,002

0,15

x 0

,7

1,01 5,57 14,82 4,20 14,82 1,02 0,98 7,75 -16 0,46 4,86 10,32 4,61 5,80 5,00 5,85 3,52 4,7813 0,46 4,87 12,12 4,55 6,71 4,65 5,45 4,92 5,7310 0,46 4,84 14,85 4,40 7,84 4,17 4,87 6,92 6,567 0,47 4,57 18,80 4,18 9,00 3,49 4,00 9,35 6,575 0,50 4,31 21,62 3,99 10,07 2,88 3,18 10,81 5,163 0,56 3,91 21,55 3,85 11,31 1,98 2,10 10,17 0,002

0,15

x 1

0,68 5,35 16,72 4,06 16,72 1,12 1,15 8,66 -

124

Tabela 4.17 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


16 1,54 3,65 9,24 4,16 6,29 4,47 3,73 3,29 2,6413 1,56 3,57 10,90 4,21 7,24 4,16 3,61 4,17 3,0310 1,60 3,56 13,53 4,20 8,52 3,74 3,37 5,30 3,387 1,71 3,63 17,70 4,17 10,08 3,14 2,91 6,51 3,345 1,88 3,80 20,79 4,14 11,52 2,50 2,32 7,04 2,553 2,19 3,94 22,54 4,23 13,88 1,56 1,44 6,84 0,002

0,15

x 0

,4

2,65 5,23 18,89 4,72 18,89 0,62 0,56 5,56 -16 0,75 4,42 9,89 4,98 5,97 4,48 5,25 3,13 3,9413 0,75 4,43 11,69 4,95 6,94 4,11 4,90 4,47 4,7810 0,75 4,39 14,50 4,81 8,18 3,64 4,38 6,37 5,557 0,78 4,01 18,74 4,63 9,60 3,07 3,60 8,57 5,665 0,84 3,60 21,53 4,51 10,82 2,54 2,84 9,49 4,393 0,96 3,06 22,59 4,54 12,71 1,71 1,84 8,50 0,002

0,15

x 0

,7

1,18 4,30 18,18 4,99 18,18 0,81 0,86 6,96 -16 0,52 6,33 11,09 5,00 6,52 3,54 5,87 2,39 4,9313 0,52 6,18 13,29 4,99 7,60 3,35 5,43 4,02 6,2510 0,53 5,81 16,68 4,89 8,98 3,13 4,83 6,55 7,487 0,54 4,85 21,76 4,75 10,58 2,84 3,99 9,81 7,735 0,57 4,02 25,81 4,62 12,22 2,55 3,26 11,85 6,213 0,66 2,88 27,23 4,61 14,86 1,88 2,23 11,20 0,002

0,15

x 1

0,83 4,17 23,26 5,01 23,26 1,05 1,22 9,77 -

Tabela 4.18 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II



Myx – NP Mxy - NS NS VB (m)

Flecha(cm) Mx – NP


Mx – NP(kNm)


16 1,57 3,49 9,21 4,39 6,40 4,52 3,85 3,48 2,8813 1,59 3,40 10,89 4,44 7,36 4,23 3,74 4,39 3,2910 1,63 3,37 13,55 4,42 8,65 3,84 3,51 5,55 3,667 1,74 3,42 17,77 4,38 10,23 3,27 3,06 6,84 3,625 1,90 3,57 20,90 4,34 11,68 2,66 2,49 7,44 2,793 2,22 3,64 22,73 4,45 14,08 1,77 1,65 7,38 0,002

0,15

x 0

,4

2,67 4,96 19,12 4,93 19,12 0,88 0,81 5,93 -16 0,80 4,39 9,95 5,33 6,20 4,48 5,47 3,38 4,3813 0,80 4,37 11,81 5,27 7,18 4,16 5,12 4,77 5,2510 0,80 4,27 14,71 5,12 8,45 3,75 4,62 6,74 6,017 0,82 3,82 19,09 4,93 9,90 3,24 3,85 9,02 6,075 0,88 3,37 22,01 4,80 11,17 2,76 3,11 10,02 4,703 1,00 2,79 23,19 4,83 13,14 1,99 2,15 9,11 0,002

0,15

x 0

,7

1,22 4,01 18,72 5,27 18,72 1,13 1,19 7,39 -16 0,56 6,47 11,28 5,30 6,79 3,47 6,09 2,51 5,3313 0,56 6,24 13,57 5,28 7,88 3,35 5,65 4,20 6,6810 0,56 5,78 17,08 5,18 9,26 3,20 5,06 6,81 7,917 0,58 4,74 22,36 5,03 10,94 2,99 4,24 10,17 8,115 0,60 3,88 26,58 4,89 12,61 2,76 3,52 12,30 6,493 0,70 2,74 28,12 4,89 15,33 2,13 2,52 11,75 0,002

0,15

x 1

0,86 4,01 23,98 5,28 23,98 1,33 1,53 10,23 -

125

Tabela 4.19 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo



Myx – NP Mxy - NS NS VB (m)



Mx – NP(kNm)


16 1,54 3,62 9,23 4,20 6,31 4,42 3,72 3,24 2,6113 1,57 3,54 10,90 4,27 7,26 4,11 3,60 4,10 3,0010 1,61 3,52 13,54 4,25 8,55 3,69 3,36 5,21 3,357 1,72 3,57 17,72 4,23 10,12 3,10 2,89 6,42 3,315 1,89 3,71 20,82 4,20 11,57 2,47 2,31 6,93 2,523 2,21 3,81 22,61 4,32 13,96 1,54 1,43 6,65 0,002

0,15

x 0

,4

2,67 5,03 18,99 4,84 18,99 0,60 0,55 5,38 -16 0,77 4,53 9,92 5,09 6,07 4,27 5,24 2,93 3,9213 0,77 4,53 11,76 5,06 7,06 3,91 4,89 4,28 4,8110 0,78 4,45 14,63 4,92 8,34 3,48 4,37 6,24 5,617 0,80 3,98 19,00 4,75 9,82 2,96 3,60 8,54 5,755 0,86 3,47 21,94 4,64 11,13 2,48 2,86 9,54 4,483 0,99 2,80 23,22 4,70 13,23 1,70 1,87 8,45 0,002

0,15

x 0

,7

1,22 3,95 18,97 5,19 18,97 0,80 0,88 6,88 -16 0,54 6,65 11,26 5,12 6,70 3,23 5,89 2,19 5,0113 0,54 6,45 13,55 5,12 7,81 3,07 5,45 3,88 6,4010 0,54 5,99 17,08 5,03 9,25 2,91 4,84 6,53 7,707 0,56 4,89 22,42 4,90 10,93 2,71 4,01 9,99 7,995 0,59 3,94 26,75 4,78 12,68 2,50 3,30 12,17 6,443 0,69 2,65 28,53 4,81 15,64 1,88 2,29 11,58 0,002

0,15

x 1

0,87 3,88 24,82 5,26 24,82 1,07 1,28 10,19 -

Tabela 4.20 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5,: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


16 1,58 3,45 9,21 4,54 6,42 4,46 3,85 3,43 2,8613 1,60 3,35 10,89 4,51 7,39 4,18 3,73 4,33 3,2810 1,65 3,32 13,56 4,50 8,68 3,79 3,50 5,48 3,647 1,75 3,34 17,79 4,46 10,28 3,23 3,06 6,77 3,615 1,92 3,46 20,94 4,43 11,75 2,64 2,50 7,37 2,773 2,24 3,47 22,82 4,56 14,17 1,76 1,66 7,22 0,002

0,15

x 0

,4

2,70 4,73 19,23 5,06 19,23 0,88 0,82 5,77 -16 0,83 4,52 9,99 5,48 6,33 4,24 5,48 3,18 4,4013 0,83 4,48 11,90 5,42 7,33 3,95 5,13 4,60 5,3110 0,83 4,33 14,86 5,26 8,64 3,58 4,62 6,64 6,127 0,85 3,78 19,39 5,08 10,16 3,13 3,87 9,05 6,225 0,91 3,22 22,48 4,96 11,51 2,72 3,15 10,12 4,833 1,04 2,48 23,91 5,02 13,71 2,00 2,20 9,13 0,002

0,15

x 0

,7

1,27 3,62 19,58 5,49 19,58 1,16 1,25 7,36 -16 0,59 6,82 11,48 5,44 6,99 3,13 6,12 2,30 5,4413 0,58 6,54 13,87 5,42 8,12 3,05 5,68 4,06 6,8710 0,58 5,98 17,54 5,34 9,59 2,97 5,08 6,81 8,197 0,60 4,77 23,10 5,21 11,33 2,86 4,27 10,39 8,415 0,63 3,79 27,62 5,08 13,12 2,71 3,58 12,66 6,753 0,72 2,47 29,53 5,11 16,18 2,14 2,60 12,18 0,002

0,15

x 1

0,90 3,69 25,64 5,55 25,64 1,36 1,61 10,70 -

126


Faz-se neste item, assim como é feito no Item 4.3.2.1, uma comparação entre os

resultados obtidos considerando a inércia à torção das faixas da grelha integral e apenas

1% desta, considerando sempre a inércia à torção das vigas de bordo nula. Porém, as lajes

aqui consideradas são retangulares com a relação entre os vãos, Lx/Ly, igual a 1,5.

Na seqüência do texto, tem-se, nas Figura 4.29 a Figura 4.31, apresentados os

gráficos de deslocamentos e esforços obtidos para estas lajes nervuradas.

1,401,601,802,00

2,202,402,602,80


0,650,750,850,95

1,051,151,251,35



0,500,550,600,650,700,750,800,850,900,95





Como ilustrado na Figura 4.29 (a), o decréscimo do momento de inércia à torção das

faixas da grelha acarreta o aumento do deslocamento da laje nervurada, como também

aconteceu para as lajes quadradas. No entanto, é quase imperceptível este aumento para

as lajes apoiadas em vigas de 15 x 40 cm. Já para aquelas apoiadas em vigas de 15 x 70 e

15 x 100 cm, Figura 4.29 (b) e (c), respectivamente, a diferença entre esses deslocamentos

devidos à diminuição da inércia à torção das faixas da grelha é mais acentuado.

Assim como acontece para as lajes quadradas, o deslocamento das lajes

retangulares diminui com o aumento da rigidez à flexão da viga de bordo, através do

aumento da altura da seção transversal desta e, com a diminuição do número de nervuras

secundárias, tem-se seu deslocamento aumentado.

127

4,00

4,20

4,40

4,60

4,80

5,00

5,20


4,50

4,70

4,90

5,10

5,30

5,50

5,70



4,60

4,80

5,00

5,20

5,40

5,60


5,007,009,0011,0013,0015,0017,0019,0021,00



5,007,009,0011,0013,0015,0017,0019,0021,00


5,007,009,0011,0013,0015,0017,0019,0021,0023,0025,0027,00





Observa-se que com a diminuição da inércia à torção das faixas da grelha, obteve-se

um aumento no valor dos momentos fletores nas nervuras principais, Mx, e secundárias, My,

das lajes nervuradas, Figura 4.30.

Para os momentos fletores nas nervuras secundárias, Figura 4.30 (d) a (f), não há

influência significativa do momento de inércia à torção das faixas da grelha que representam

a laje nervurada, já que praticamente são obtidos os mesmos valores quando se considera

ou não o seu valor na análise.

128

0,000,501,001,50

2,002,503,003,504,004,505,00


0,000,501,001,50

2,002,503,003,504,004,50



0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50


2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00



2,503,504,505,506,507,508,509,50

10,50


0,002,004,006,008,00

10,0012,0014,00





Assim como acontece para as lajes quadradas, para as retangulares com a relação

entre os comprimentos dos lados igual a 1,5 também ocorre a grande influência das vigas

de bordo, que faz com que os momentos torçores nas nervuras principais e secundárias não

se reduzam à valores insignificantes quando a inércia à torção das faixas da grelha é

praticamente desprezada (1% do valor total), Figura 4.31. Mesmo não se considerando a

inércia à torção das vigas do contorno das lajes, a inércia à flexão destas é muito maior do

que a das faixas da grelha e esta influência é determinante no comportamento à torção da

laje. Porém, para os momentos torçores nas nervuras principais, Myx, Figura 4.31 (a) a (c),

percebe-se que esta influência da viga de bordo não é mais observada à medida que se

aumenta a altura da viga de bordo, ou seja, a sua rigidez, e, simultaneamente, o número de

129

nervuras secundárias do sistema estrutural. Tem-se, desta forma, a laje comportando da

maneira esperada, onde o descréscimo do momento de inércia à torção das faixas da grelha

proporciona uma aproximação entre os valores das duas análises, Figura 4.31 (a) e (b), e

um decréscimo no valor de momento torçor na análise com 1% da inércia à torção, Figura

4.31 (c).


Neste item, é feita uma comparação entre as análises das lajes nervuradas

retangulares com relação entre os vãos igual a 1,5, considerando a inércia à torção das

vigas do bordo das lajes no estádio I (não fissurado), no estádio II (fissurado) e

considerando nula o seu valor, mantendo-se o momento de inércia à torção das faixas da

grelha integral. Na sequência do texto, as Figura 4.32 a Figura 4.34 apresentam todas

comparações e análises pertinentes a esta situação específica.

1,401,601,802,002,202,402,602,80

2 4 6 8 10 12 14 16


0,500,600,700,800,901,001,101,201,30



0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90





Como é ilustrado na Figura 4.32 (a), a diferença entre a análise com viga de bordo de

seção tranversal de 15 x 40 cm considerando a inércia à torção da viga de bordo no estádio

130

II e aquela na qual este parâmetro é desconsiderado é insignificante. Mesmo para a análise

feita com a consideração da inércia total à torção, não se verifica grande diferença desta

para as demais considerações de inércia à torção. Para as outras seções de viga, Figura

4.32 (b) e (c), tem-se um pequeno aumento nesta diferença.

Assim como para as lajes anteriormente estudadas (as quadradas), as flechas das

lajes nervuradas aumentam com a diminuição da inércia à torção das vigas de bordo e

diminuem com o aumento da altura da viga de apoio ou o número de nervuras secundárias.

3,603,804,004,204,404,604,805,00


3,503,703,904,104,304,504,704,905,105,30



3,503,754,004,254,504,755,005,255,50

2 4 6 8 10 12 14 16


4,006,008,00

10,0012,0014,0016,0018,0020,00



4,006,008,00

10,0012,0014,0016,0018,0020,00


4,006,008,00

10,0012,0014,0016,0018,0020,0022,0024,0026,00





131

Também para os momentos fletores não há grande diferença nos resultados

apresentados quando se utiliza o momento de inércia à torção das vigas de bordo no

estádio II ou nulo. Como pode ser visto na Figura 4.33 (d), para as vigas de bordo de 15 x

40 cm, os momentos fletores na nervura secundária, My, não se distinguem quando se varia

a inércia à torção das vigas de bordo. Para as outras vigas de bordo, Figura 4.33 (e) e (f),

essa diferença aumenta, porém de forma bem inexpressiva.

0,000,501,001,50

2,002,503,003,504,004,505,00


0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00



0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00


3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00



2,003,004,005,006,007,008,009,00

10,0011,00


0,002,004,006,008,00

10,0012,0014,00





Os momentos torçores têm-se seu comportamento similar àquele das lajes

nervuradas quadradas, onde os valores máximos são para a análise com a viga de contorno

132

da laje no estádio I, com relação à inércia à torção. Obtêm-se valores intermediários quando

se considera as vigas no estádio II e os valores míninos são para a análise com inércia à

torção nula, embora haja pontos onde os valores de momento torçor praticamente se

igualem para os três casos ou se invertam, como acontece por exemplo, na Figura 4.34 (b)

e (f), respectivamente.

4.3.3.3. Comparação entre os Modelos Computacionais Desenvolvidos com e sem Vigas de Bordo para as Lajes Retangulares (Lx/Ly = 1,5)

São apresentados, nas Tabela 4.21 e Tabela 4.22, os resultados das análises sem a

consideração das vigas de apoio para as lajes nervuradas do tipo REDUZCON [21] com 2 e

3 nervuras secundárias.

A seguir, apresentam-se na Figura 4.35, Figura 4.37 e Figura 4.38, os gráficos

comparativos com estes resultados de lajes com apoios indeslocáveis e aqueles obtidos

com a consideração da deslocabilidade das vigas de apoio, para as diversas condições de

rigidezes consideradas no estudo.

Tabela 4.21 - Resultados das análises das lajes nervuradas de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5, apoiada em apoios indeslocáveis: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha





My – NS(kNm)

Mx – NP(kNm)


3 1,02 0,85 3,67 4,99 5,01 0,55 0,51 1,68 0,002 1,15 0,96 5,60 5,60 5,60 0,54 0,50 0,99 -

Tabela 4.22 - Resultado das análises das lajes nervuradas de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5, apoiada em apoios indeslocáveis: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha





My – NS(kNm)

Mx – NP(kNm)


3 1,10 0,92 3,75 5,42 5,20 0,01 0,01 0,02 0,002 1,22 0,97 5,62 5,90 5,62 0,01 0,01 0,01 -

133

0,801,101,401,70

2,002,302,602,90

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


0,800,901,00

1,101,201,30

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



0,500,600,700,800,901,001,101,201,30

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral






É possível observar, nas figuras que apresentam o comportamento das flechas para

as distintas maneiras de se considerar o apoio da laje, Figura 4.35, a transição dos valores

para os deslocamentos da análise com apoios rígidos quando comparada àquela na qual se

considera a deslocabilidade das vigas de bordo. Para a viga de 15 x 40cm, Figura 4.35 (a), a

sua rigidez à flexão e à torção é muito baixa, permitindo um deslocamento do sistema

estrutural muito maior do que aquele apresentado pelos apoios rígidos. Estes apoios rígidos

permitem uma rotação da faixa da grelha perpendicular ao seu eixo, porém tem-se impedido

totalmente o deslocamento vertical, como na Figura 4.36, justificando, desta maneira, o

deslocamento maior do que para as vigas de maior rigidez, 15 x 70 e 15 x 100 cm.

Figura 4.36 – Deslocamento da faixa da grelha com a consideração de apoios rígidos

134

Com relação aos momentos fletores, é observado um comportamento semelhante ao

das lajes quadradas, onde os momentos fletores nas nervuras principais, Mx, são maiores

para a análise com apoios rígidos, Figura 4.37 (a) a (c), e menores para estes esforços nas

nervuras secundárias, My, como apresentado na Figura 4.37 (d) a (f).

Os momentos fletores nas nervuras principais apresentaram os maiores valores

quando a laje é analisada apoiada em apoios rígidos. Provavelmente, isto se deve ao fato

da viga de bordo absorver uma parte dos momentos que, quando consideram-se apoios

rígidos, são resistidos apenas pela laje.

3,504,004,505,005,506,006,50

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral

(3 NS)

Inércia à t o rção d as f aixas d a g relha

3,504,004,505,005,506,006,50

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



3,003,504,004,505,005,506,006,50

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


4,006,008,00

10,0012,0014,0016,0018,0020,0022,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



4,006,008,00

10,0012,0014,0016,0018,0020,0022,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


4,007,00

10,0013,0016,0019,0022,0025,0028,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral






135

Nas lajes nervuradas retangulares, assim como nas quadradas, a desconsideração

do momento de inércia a torção das faixas da grelha que se apóiam em apoios rígidos faz

com que os momentos torçores caiam à praticamente zero, como verifica-se na Figura 4.38.

Este comportamento também não se verifica para as lajes retangulares quando se considera

esta mesma grelha apoiada em vigas com deslocabilidade, pois as rigidezes destas vigas de

bordo interferem nos esforços e deslocamentos do sistema estrutural.

0,000,250,500,751,001,251,501,75

2,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


0,000,250,500,751,001,251,501,75

2,002,25

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



0,000,300,600,901,201,501,802,102,40

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


0,002,00

4,006,00

8,0010,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



0,002,004,00

6,008,00

10,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


0,002,004,006,008,00

10,0012,0014,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


e) Mom. Torçores nas NS (VB 15 x 70 cm) f) Mom. Torçores nas Ns (VB 15 x 100 cm)




136

4.3.4.Resultados das Análises das Lajes Nervuradas com Lx/Ly = 2

Neste item são apresentados os resultados das lajes analisadas com os mesmos

parâmetros do Item 4.3.2, porém com a relação entre os comprimentos dos vãos da lajes

nervuradas, Lx/Ly, igual a 2.

Tabela 4.23 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


16 3,69 2,77 15,38 4,71 10,99 6,09 5,55 5,14 3,8713 3,72 2,53 18,15 4,76 12,75 5,77 5,40 6,40 4,3510 3,80 2,43 22,63 4,73 15,22 5,32 5,13 7,99 4,787 4,01 2,56 30,30 4,65 18,34 4,69 4,58 9,75 4,775 4,37 2,91 37,23 4,54 21,15 4,00 3,88 10,58 3,723 5,09 3,54 43,04 4,50 25,20 2,86 2,74 10,24 0,002

0,15

x 0

,4

6,25 5,57 34,79 4,74 34,79 1,43 1,33 8,61 -16 1,24 2,29 15,59 5,71 9,45 6,87 7,48 5,64 5,4613 1,24 2,29 18,20 5,61 11,02 6,36 7,01 7,33 6,2210 1,25 2,43 22,37 5,39 13,07 5,70 6,35 9,56 6,847 1,29 2,64 29,05 5,11 15,21 4,85 5,34 11,99 6,745 1,38 2,89 34,03 4,85 16,69 4,04 4,31 12,94 5,143 1,56 3,39 35,86 4,66 18,10 2,81 2,87 11,73 0,002

0,15

x 0

,7

1,87 5,44 25,06 4,80 25,06 1,40 1,38 9,79 -16 0,75 3,79 15,92 5,62 9,50 5,90 7,81 4,37 6,1813 0,74 3,68 18,59 5,51 11,07 5,54 7,24 6,23 7,3310 0,75 3,67 22,78 5,30 13,09 5,07 6,47 8,89 8,317 0,76 3,55 29,36 5,01 15,14 4,41 5,37 12,14 8,315 0,79 3,51 34,88 4,74 16,89 3,76 4,34 14,12 6,553 0,89 3,50 35,87 4,51 18,12 2,65 2,89 12,85 0,002

0,15

x 1

1,06 5,39 25,89 4,61 25,89 1,40 1,47 10,86 -

137

Tabela 4.24 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


16 3,71 2,59 15,38 4,85 11,02 6,15 5,64 5,26 4,0013 3,74 2,35 18,15 4,89 12,78 5,84 5,50 6,53 4,4910 3,81 2,25 22,64 4,85 15,25 5,40 5,23 8,15 4,927 4,03 2,38 30,33 4,76 18,37 4,77 4,69 9,94 4,915 4,38 2,74 37,27 4,65 21,17 4,09 4,00 10,82 3,843 5,11 3,36 43,08 4,59 25,21 2,97 2,87 10,57 0,002

0,15

x 0

,4

6,26 5,39 34,82 4,83 34,82 1,57 1,49 8,88 -16 1,28 2,07 15,63 5,95 9,52 6,94 7,65 5,79 5,6913 1,27 2,07 18,25 5,82 11,09 6,44 7,18 7,49 6,4410 1,27 2,20 22,45 5,59 13,14 5,80 6,52 9,73 7,047 1,32 2,42 29,17 5,28 15,28 4,97 5,51 12,17 6,895 1,40 2,69 34,19 5,01 16,76 4,19 4,49 13,14 5,243 1,58 3,25 36,04 4,80 18,15 2,98 3,08 11,98 0,002

0,15

x 0

,7

1,89 5,25 25,18 4,92 25,18 1,59 1,60 10,00 -16 0,78 3,65 16,01 5,84 9,59 5,92 7,96 4,40 6,3613 0,77 3,53 18,71 5,72 11,16 5,59 7,39 6,28 7,5110 0,77 3,50 22,95 5,49 13,19 5,15 6,63 8,95 8,487 0,78 3,38 29,60 5,17 15,25 4,52 5,54 12,22 8,455 0,81 3,36 35,18 4,89 16,99 3,90 4,52 14,27 6,633 0,91 3,43 36,19 4,65 18,22 2,81 3,09 13,08 0,002

0,15

x 1

1,08 5,30 26,10 4,73 26,10 1,57 1,69 11,10 -

Tabela 4.25 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


16 3,73 2,52 15,39 4,94 11,02 5,85 5,50 4,83 3,7213 3,76 2,25 18,16 5,00 12,79 5,52 5,34 6,03 4,1910 3,84 2,11 22,65 4,97 15,27 5,08 5,05 7,58 4,637 4,05 2,17 30,34 4,89 18,42 4,50 4,52 9,33 4,645 4,41 2,46 37,29 4,79 21,26 3,86 3,84 10,15 3,593 5,14 2,98 43,13 4,76 25,36 2,76 2,71 9,55 0,002

0,15

x 0

,4

6,31 4,72 34,93 5,08 34,93 1,34 1,29 7,86 -16 1,37 2,38 15,66 6,29 9,71 5,59 7,38 4,38 5,2513 1,36 2,28 18,35 6,17 11,35 5,21 6,87 6,14 6,1910 1,36 2,23 22,67 5,95 13,52 4,74 6,18 8,60 7,017 1,40 2,10 29,69 5,66 15,89 4,20 5,20 11,45 7,105 1,49 1,96 35,10 5,41 17,68 3,65 4,25 12,70 5,513 1,68 2,01 37,63 5,26 19,74 2,63 2,90 11,24 0,002

0,15

x 0

,7

2,03 3,62 27,35 5,54 27,35 1,30 1,42 9,08 -16 0,87 4,97 16,38 6,22 10,15 3,73 7,62 2,79 6,3613 0,86 4,56 19,36 6,14 11,88 3,63 7,00 4,91 7,8810 0,86 4,11 24,08 5,96 14,17 3,54 6,21 8,13 9,227 0,88 3,28 31,64 5,70 16,68 3,44 5,19 12,24 9,455 0,92 2,71 38,33 5,46 18,99 3,26 4,32 14,85 7,583 1,03 2,06 40,84 5,28 21,47 2,49 3,02 13,85 0,002

0,15

x 1

1,25 3,62 31,71 5,53 31,71 1,37 1,63 11,80 -

138

Tabela 4.26 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


16 3,76 2,26 15,39 5,15 11,05 5,89 5,62 4,98 3,9213 3,78 1,99 18,17 5,20 12,82 5,58 5,47 6,20 4,4210 3,86 1,84 22,67 5,16 15,30 5,17 5,19 7,79 4,867 4,07 1,90 30,37 5,06 18,44 4,61 4,66 9,60 4,875 4,43 2,20 37,33 4,93 21,28 3,99 4,00 10,50 3,793 5,15 2,67 43,17 4,89 25,37 2,93 2,89 10,02 0,002

0,15

x 0

,4

6,32 4,45 34,94 5,19 34,94 1,55 1,51 8,21 -16 1,42 2,12 15,71 6,64 9,81 5,57 7,59 4,56 5,6213 1,41 2,01 18,44 6,49 11,46 5,24 7,09 6,35 6,5710 1,41 1,94 22,81 6,23 13,64 4,83 6,40 8,86 7,377 1,44 1,74 29,90 5,91 16,02 4,34 5,43 11,75 7,405 1,52 1,65 35,38 5,64 17,82 3,84 4,49 13,05 5,733 1,71 1,70 37,96 5,46 19,90 2,87 3,18 11,66 0,002

0,15

x 0

,7

2,05 3,29 27,59 5,72 27,59 1,59 1,73 9,39 -16 0,92 4,88 16,54 6,54 10,31 3,60 7,80 2,79 6,6813 0,91 4,43 19,59 6,44 12,06 3,57 7,17 4,96 8,2110 0,90 3,92 24,40 6,27 14,36 3,57 6,40 8,24 9,547 0,92 3,04 32,10 5,96 16,91 3,55 5,40 12,41 9,695 0,95 2,48 38,92 5,70 19,24 3,42 4,55 15,09 7,753 1,06 1,88 40,75 5,50 21,74 2,70 3,28 14,19 0,002

0,15

x 1

1,27 3,40 32,18 5,72 32,18 1,62 1,91 12,12 -

Tabela 4.27 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


16 3,73 2,48 15,39 4,98 11,02 5,81 5,50 4,78 3,6913 3,76 2,20 18,16 5,04 12,79 5,47 5,33 5,96 4,1710 3,85 2,05 22,65 5,01 15,27 5,04 5,04 7,50 4,607 4,06 2,10 30,34 4,93 18,42 4,47 4,51 9,26 4,615 4,41 2,37 37,28 4,83 21,27 3,84 3,83 10,10 3,573 5,14 2,86 43,12 4,80 25,38 2,75 2,71 9,45 0,002

0,15

x 0

,4

6,32 4,54 34,91 5,13 34,91 1,32 1,29 7,75 -16 1,39 2,41 15,66 6,39 9,75 5,35 7,36 4,13 5,2113 1,38 2,30 18,36 6,27 11,40 4,98 6,85 5,91 6,1810 1,38 2,21 22,70 6,04 13,59 4,55 6,15 8,42 7,037 1,42 1,96 29,77 5,75 16,01 4,07 5,18 11,37 7,175 1,51 1,79 35,26 5,51 17,85 3,58 4,25 12,71 5,593 1,70 1,73 37,90 5,35 20,05 2,60 2,91 11,24 0,002

0,15

x 0

,7

2,05 3,23 27,73 5,65 27,73 1,28 1,43 9,02 -16 0,89 5,22 16,45 6,33 10,27 3,31 7,58 2,49 6,4013 0,89 4,75 19,48 6,25 12,03 3,25 6,94 4,68 7,9810 0,89 4,21 24,30 6,08 14,36 3,23 6,14 8,02 9,397 0,90 3,23 32,04 5,82 16,96 3,24 5,14 12,31 9,645 0,94 2,56 38,95 5,59 19,38 3,14 4,31 15,06 7,773 1,05 1,78 41,76 5,42 22,10 2,44 3,03 14,15 0,002

0,15

x 1

1,28 3,25 32,85 5,68 32,85 1,35 1,65 12,12 -

139

Tabela 4.28 - Resultados das análises das lajes de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


16 3,76 2,20 15,39 5,21 11,06 5,85 5,62 4,93 3,9113 3,79 1,92 18,17 5,25 12,82 5,53 5,46 6,14 4,4110 3,87 1,77 22,67 5,21 15,30 5,12 5,18 7,72 4,867 4,08 1,81 30,37 5,11 18,44 4,57 4,66 9,55 4,875 4,44 2,09 37,32 4,98 21,28 3,97 4,00 10,47 3,793 5,16 2,51 43,16 4,94 25,37 2,92 2,90 9,97 0,002

0,15

x 0

,4

6,33 4,25 34,90 5,25 34,90 1,55 1,52 8,13 -16 1,45 2,15 15,72 6,76 9,86 5,30 7,58 4,31 5,6113 1,43 2,02 18,45 6,60 11,52 5,00 7,07 6,12 6,5910 1,43 1,91 22,84 6,34 13,72 4,63 6,37 8,69 7,437 1,46 1,62 30,00 6,01 16,15 4,21 5,41 11,70 7,495 1,54 1,46 35,55 5,75 18,01 3,77 4,50 13,09 5,823 1,73 1,38 38,25 5,57 20,24 2,84 3,20 11,71 0,002

0,15

x 0

,7

2,08 2,86 27,99 5,84 27,99 1,59 1,76 9,36 -16 0,94 5,15 16,63 6,67 10,45 3,14 7,76 2,48 6,7413 0,93 4,62 19,73 6,57 12,22 3,16 7,12 4,72 8,3510 0,93 4,01 24,66 6,38 14,58 3,24 6,33 8,14 9,747 0,94 2,98 32,55 6,10 17,21 3,34 5,36 12,51 9,925 0,97 2,32 39,60 5,84 19,66 3,31 4,55 15,32 7,953 1,08 1,57 42,48 5,65 22,41 2,66 3,31 14,52 0,002

0,15

x 1

1,31 3,00 33,38 5,89 33,38 1,62 1,95 12,47 -


Assim como para as lajes quadradas e retangulares com relação entre os

comprimentos dos vãos igual a 2, faz-se, neste item, um estudo comparativo entre os

resultados obtidos da consideração da inércia total à torção das faixas da grelha e apenas

1% deste valor, sempre desprezando este parâmetro para as vigas de bordo.

Na sequência do texto, as Figura 4.39 a Figura 4.41 apresentam todas comparações

e análises pertinentes a esta situação específica.

140

3,50

4,00

4,50

5,00

5,50

6,00

6,50


1,301,401,501,601,701,801,902,002,102,20



0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40





Pelos gráficos apresentados na Figura 4.39, pode-se perceber a pouca influência do

momento de inércia à torção das faixas da grelha que representam a laje nervurada com a

relação entre os vãos igual a 2. Com exceção dos momentos fletores das nervuras

principais, todos os outros esforços e o deslocamento não apresentaram diferença

significativa com esta variação de inércia. Este comportamento é mais acentuado para as

vigas com menor rigidez, como a de seção transversal de 15 x 40 cm.

Percebe-se, através da Figura 4.40 (a) a (c), que as nervuras principais são as mais

susceptíveis à variação de inércia à torção das faixas que discretizam a laje nervurada, pois,

para estas nervuras, as duas curvas referentes à este parâmetro estão mais distanciadas.

141

4,70

4,80

4,90

5,00

5,10

5,20

5,30


5,205,405,605,806,006,206,406,606,807,00



5,205,405,605,806,006,206,406,606,80


10,0013,0016,0019,0022,0025,0028,0031,0034,0037,00



8,0010,0012,0014,0016,0018,0020,0022,0024,0026,0028,0030,00


7,0010,0013,0016,0019,0022,0025,0028,0031,0034,0037,00


e) Mom. Fletores nas NS (VB 15 x 70 cm) h) Mom. Fletores nas NS (VB 15 x 100 cm)



142

0,001,002,003,004,005,006,007,00


0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00



1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50


4,005,006,007,008,009,00

10,0011,00



2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00


1,003,005,007,009,0011,0013,0015,0017,00






No intuito de se comparar o comportamento das lajes nervuradas retangulares com

relação entre os vãos igual a 2, tem-se neste item as análises que consideram a inércia à

torção das vigas do bordo das lajes no estádio I (não fissurado), no estádio II (fissurado) e

nula, tendo sempre o momento de inércia à torção das faixas da grelha integral.

143

3,50

4,00

4,50

5,00

5,50

6,00

6,50


1,15

1,35

1,55

1,75

1,95

2,15



0,650,750,850,95

1,051,151,251,35





Para as lajes com vigas de bordo de 15 x 40 cm, o deslocamento praticamente não se

altera com a modificação da inércia à torção destas, como é ilustrado na Figura 4.42 (a).

Assim como para as lajes retangulares com Lx/Ly = 1,5, quando se aumenta a rigidez das

vigas de bordo, ocorre um distanciamento entre as curvas dos gráficos, Figura 4.42 (b) e (c),

embora este seja bem reduzido entre a análise que considera a viga no estádio II e aquele

que desconsidera a inércia à torção.

Para todas as análises anteriormente apresentadas (laje com Lx/Ly = 1 e 1,5), assim

como para esta, o comportamento da laje nervurada, com relação à flecha, é semelhante,

pois quando se diminui o momento de inércia à torção das vigas de bordo ou o número de

nervuras secundárias tem-se o deslocamento do centro da laje aumentado.

144

4,404,504,604,704,804,905,005,105,20


4,504,755,005,255,505,75

6,006,256,50



4,254,504,755,005,255,505,75

6,006,256,50


10,0013,0016,0019,0022,0025,0028,0031,0034,0037,00



8,0010,0012,0014,0016,0018,0020,0022,0024,0026,0028,0030,00


8,0011,0014,0017,00

20,0023,0026,0029,0032,0035,00





Os momentos fletores nas nervuras principais e secundárias, Mx e My, Figura 4.43,

assim como os torçores, Myx e Mxy, Figura 4.44, têm o comportamento parecido com o das

lajes com outras relações de vãos estudadas. A diferença mais relevante está nos valores

obtidos, sendo que estes aumentam à medida que se aumenta a relação entre os

comprimentos dos vãos (Lx/Ly = 1, 1,5 e 2).

145

0,001,002,003,004,005,006,007,00


0,001,002,003,004,005,006,007,008,00



0,001,002,003,004,005,006,007,00


4,005,006,007,008,009,00

10,0011,00



3,004,005,006,007,008,009,00

10,0011,0012,0013,0014,00


1,003,005,007,009,0011,0013,0015,0017,00





4.3.4.3. Comparação entre os Modelos Computacionais Desenvolvidos com e sem Vigas de Bordo para as Lajes Retangulares (Lx/Ly = 2)

As Tabela 4.29 e Tabela 4.30 apresentam os valores de esforços e deslocamentos

(flechas) obtidos nas análises das lajes nervuradas do tipo REDUZCON [21] com 2 e 3

nervuras secundárias cujas condições de apoio são os apoios rígidos.

Posteriormente, apresentam-se nas Figura 4.45, Figura 4.46 e Figura 4.47 os

resultados destas análises acima citadas comparadas com os obtidos com a consideração

da deslocabilidade das vigas de apoio, para as diversas condições de rigidezes

consideradas no estudo.

146

Tabela 4.29 - Resultados das análises das lajes nervuradas de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2, apoiada em apoios indeslocáveis: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha





My – NS(kNm)

Mx – NP(kNm)


3 1,06 0,66 3,42 5,25 4,62 0,53 0,50 1,61 0,002 1,18 0,75 5,30 5,73 5,30 0,53 0,49 0,94 -

Tabela 4.30 - Resultado das análises das lajes nervuradas de 17 cm de altura, com Lx/Ly = 2, apoiada em apoios indeslocáveis: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha





My – NS(kNm)

Mx – NP(kNm)


3 1,11 0,71 3,50 5,50 4,48 0,01 0,01 0,02 0,002 1,22 0,75 5,36 5,90 5,36 0,01 0,01 0,01 -

Na sequência, as Figura 4.45 a Figura 4.47 apresentam todas comparações e

análises pertinentes a este item.

0,801,802,803,804,805,806,80

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


1,001,201,401,601,802,002,20

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



0,800,901,001,101,201,301,40

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral






147

Nestas análises, onde as lajes têm 4,5 x 9 m de vão livre, os deslocamentos

apresentados com o estudo feito com apoios rígidos são consideravelmente menores

quando comparados àqueles com vigas de bordo, principalmente com as vigas de seções

transversais de 15 x 40 e 15 x 70 cm, Figura 4.45 (a) e (b), respectivamente. Percebe-se,

portanto, que para os deslocamentos, a modelagem da laje nervurada com apoios

indeslocáveis tem comportamento similar àquela feita com apoios deslocáveis com seção

tranversal de 15 x 100 cm, mostrado na Figura 4.45 (c), pois o comportamento observado na

análise com apoios rígidos é próximo daquele obtido para vigas de bordo de seção

transversal de 15 x 100 cm.

4,404,604,805,005,205,405,605,806,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


4,604,805,005,205,405,605,806,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



4,404,604,805,005,205,405,605,806,006,20

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


0,005,00

10,0015,00

20,0025,0030,0035,0040,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



0,005,00

10,0015,00

20,0025,0030,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


0,005,00

10,0015,00

20,0025,0030,0035,0040,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral






Diferentemente do que acontece nas outras lajes anteriormente analisadas (laje

nervurada quadrada e retangular com relação entre os vãos igual a 1,5), os momentos

148

fletores nas nervuras principais, Mx, para a análise com apoios rígidos, nem sempre têm os

maiores valores quando comparados àqueles obtidos com a consideração de vigas de

bordo, como pode ser observado na Figura 4.46 (a) a (c).

Para os momentos fletores nas nervuras secundárias, My, observa-se, na análise

com vigas de seção transversal de 15 x 40 cm, Figura 4.46 (d), que a variação do momento

de inércia à torção destas vigas não implica nenhuma diferença significativa nos valores.

Porém, comparando aos resultados das lajes nervuradas com apoios rígidos, tem-se uma

grande diferença entre os valores fornecidos pelas duas formas de se considerar a condição

de apoio. Ainda com relação ao momento fletor nas nervuras secundárias, percebe-se o

distanciamento entre as curvas que representam as vigas de bordo nos diferentes valores

de momento de inércia à torção quando se aumenta a sua rigidez, ou seja, para as seções

de 15 x 70 e 15 x 100 cm, ilustrado nas Figura 4.46 (e) e (f).

0,000,400,801,201,602,002,402,803,20

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


0,000,400,801,201,602,002,402,803,20

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



0,000,501,001,50

2,002,503,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


0,002,004,006,008,00

10,0012,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral



0,002,004,006,008,00

10,0012,0014,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral


0,002,004,006,008,00

10,0012,0014,0016,00

Integral (2 NS)

1% do valorintegral

(2 NS)

Integral (3 NS)

1% do valorintegral






149

Com relação aos momentos torçores na duas direções, Myx e Mxy, ilustrados na

Figura 4.47, a laje com Lx/Ly = 2 tem comportamento similar à retangular com a relação igual

a 1,5, sendo a principal diferença o fato de que as lajes com relação entre os vãos igual a 2

apresenta valores significativamente maiores.

4.3.5.Comparação entre os Resultados para as Diferentes Dimensões das Lajes Nervuradas

Afim de se demonstrar as diferenças existentes entre as lajes nervuradas com as

relações entre os comprimentos dos vãos (Lx/Ly) iguais a 1, 1,5 e 2, é feita, neste item, uma

comparação entre os deslocamentos e esforços (momentos fletores e torçores) encontrados

nas análises para as lajes REDUZCON [21]. Apresentam-se somente os resultados

daquelas lajes com 2 e 3 nervuras secundárias, que são aquelas reais utilizadas na prática

para estes vãos livres.

Ressalta-se que, nas análises, é considerado somente 1% do momento de inércia à

torção das faixas e o das vigas de bordo é desconsiderado. Estes e os demais parâmetros

utilizados na investigação são os mesmos considerados na Capítulo 4, ou seja, para as

características físicas e geométricas e para os carregamentos, os cálculos são feitos de

acordo com os Itens 3.5 e 3.6 e os vãos livres das lajes considerados são de 4,5 x 4,5 m;

4,5 x 6,75 m e 4,5 x 9 m (Tabela 4.12, Tabela 4.14, Tabela 4.20, Tabela 4.22, Tabela 4.28 e

Tabela 4.30).

A seguir, são expostos nas Figura 4.48 a Figura 4.50 os gráficos de deslocamentos e

esforços nas lajes com 2 e 3 nervuras secundárias.

0,001,002,003,004,005,006,007,00

1 1,5 2Lx / Ly

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

1 1,5 2

Lx / Ly

a) Flechas: modelo 2 com NS b) Flechas: modelo 3 com NS

2 nervuras secundárias - V.B. 15 x 40 cm 2 nervuras secundárias - V.B. 15 x 70 cm2 nervuras secundárias - V.B. 15 x 100 cm 2 nervuras secundárias - apoios indeslocáveis3 nervuras secundárias - V.B. 15 x 40 cm 3 nervuras secundárias - V.B. 15 x 70 cm3 nervuras secundárias - V.B. 15 x 100 cm 3 nervuras secundárias - apoios indeslocáveis

Figura 4.48 – Deslocamentos nas lajes nervuradas com diferentes relações entre os comprimentos dos vãos

150

Os deslocamentos das lajes, Figura 4.48, apresentam comportamento semelhante

tanto para as lajes com 2 quanto para as com 3 nervuras secundárias, apenas apresentando

valores ligeiramente maiores para aquelas com o menor número de nervuras (considerando

lajes com a mesma relação Lx/Ly). Porém, quando se analisa a relação entre os

comprimentos dos vãos das lajes, observa-se uma grande influência deste parâmetro, já

que o aumento de Lx/Ly acarreta num acréscimo nos valores de flechas das lajes.

3,50

4,00

4,50

5,00

5,50

6,00

1 1,5 2Lx / Ly

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

5,50

6,00

1 1,5 2Lx / Ly

a) Mx na NP: modelo 2 com NS b) Mx na NP: modelo 3 com NS

0,005,00

10,0015,00

20,0025,0030,0035,0040,00

1 1,5 2Lx / Ly

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

1 1,5 2Lx / Ly

c) My na NS: modelo 2 com NS d) My na NS: modelo 3 com NS


Figura 4.49 –Momentos fletores nas lajes nervuradas com diferentes relações entre os comprimentos dos vãos

Os momentos fletores nas nervuras principais e secundárias, Mx e My, representados

na Figura 4.50, têm comportamento similar entre si, ou seja, aumentando-se a relação Lx/Ly,

os valores de momentos também aumentam. É observado, no entanto, que os valores de

momentos fletores nas nervuras secundárias obtidos na análise com apoios rígidos têm

comportamento inverso àquele da análise com vigas de bordo deslocáveis, ou seja,

aumentando-se Lx/Ly, os valores encontrados decrescem. Isto acontece devido à

redistribuição de esforços para o equilíbrio do sistema estrutural, pois enquanto os momento

fletores nas nervuras principais aumentam com o aumento de Lx/Ly, aqueles observados nas

nervuras secundárias diminuem. Para as análises das lajes com vigas de bordo, mesmo

151

quando se desconsidera a rigidez à torção dos elementos da grelha, isto não

necessariamente ocorre, já que estas apresentam momentos torçores que também

influenciam nesta redistribuição de esforços.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

1 1,5 2

Lx / Ly

0,000,501,001,50

2,002,503,003,50

1 1,5 2Lx / Ly

a) Myx na NP: modelo 2 com NS b) Myx na NP: modelo 3 com NS

0,002,004,006,008,00

10,0012,0014,00

1 1,5 2Lx / Ly

0,002,004,006,008,00

10,0012,0014,0016,00

1 1,5 2Lx / Ly

c) Mxy na NS: modelo 2 com NS d) Mxy na NS: modelo 3 com NS


Figura 4.50 – Momentos torçores nas lajes nervuradas com diferentes relações entre os comprimentos dos vãos

Para os momentos torçores nas nervuras principais e secundárias, Myx e Mxy, Figura

4.50, tem-se que aumentando a relação Lx/Ly, aumenta-se os valores destes esforços.

Observa-se, ainda, que para o estudo com apoios rígidos, os momentos torçores

encontrados quando se despreza o momento de inércia à torção dos elementos da grelha é

praticamente nulo. Já para o mesmo estudo, porém com vigas de bordo deslocáveis como

condição de contorno, existe momento torçor de valor considerável causado, provavelmente,

pela rigidez destas vigas, como já mencionado anteriormente.

152

4.4. Comparação com Modelos que Discretizam a Mesa das Faixas como Placa

Para se comparar os resultados obtidos através do método de analogia de grelha à

uma outra forma de discretização destas lajes, faz-se um modelo intermediário entre a

grelha e a laje inteiramente discretizada por elementos finitos, o qual se discretiza as

nervuras da laje nervurada como elementos de vigas retangulares e a mesa como

elementos finitos de placa. Esta estratégia de análise foi implementada apenas para o

modelo estrutural BRC130.

4.4.1.Modelo Numérico “Viga – Placa”

Este novo modelo numérico utilizado para discretizar as lajes nervuradas, como já

mencionado anteriormente, consiste em representar as almas das faixas das grelhas (seção

T) através de elementos de viga com seções transversais retangulares e as mesas, através

de elementos de placa, como mostrado na Figura 4.51.

Figura 4.51 – Discretização das nervuras no modelo numérico “viga-placa”

Os elementos de viga são os mesmos utilizados na analogia de grelha, BEAM44

[19], comentado no Item 3.3, Figura 3.7.

O elemento de placa que discretiza as mesas das vigas T das faixas da grelha que

representam a laje nervurada é o SHELL63 [19] e está representado na Figura 4.52.

153

Figura 4.52 – Elemento SHELL63 [19]

Este elemento finito é definido por quatro nós, sendo que cada um destes podem ter

uma espessura distina. Além disto, considera efeitos de membrana e/ou flexão. O elemento

tem seis graus de liberdade por nó, sendo três translações e três rotações nas direções x, y

e z, e admite a utilização de cargas normais e no plano.

São feitas análises de lajes quadradas com 4,5 m de vão de livre com 16, 3 e 2

nervuras secundárias. Estas lajes são idealizadas com o molde BRC130, ou seja, com 17

cm de altura, conforme explicitado no Capítulo 3, Figura 3.16. Também são utilizados os

carregamentos e as características físicas e geométricas descritas neste mesmo capítulo,

Itens 3.6 e 3.5, respectivamente, para a discretização destas lajes nervuradas como grelha

ou como o modelo numérico de viga-placa.

Para as lajes nervuradas analisadas neste item, para a condição de contorno tem-se

a consideração de apoios rígidos (indeslocáveis) e para momento de inércia à torção das

faixas da grelha tem-se apenas 1% de seu valor integral.

Na seqüência, na Tabela 4.31 estão apresentados os resultados de deslocamento e

esforços (momentos fletores e torçores) comparados para estas duas formas de

discretização de uma laje nervurada.

154

Tabela 4.31 – Comparação entre os modelos de analogia de grelha e viga-placa

Momentos Fletores (kNm) Momentos Torçores (kNm) Modelo de análise NS Flecha

(cm) Mx (NP) My (NS) Mx (NP) My (NS) Analogia de

grelha 16 0,38 1,85 2,60 0,003 0,006

Viga e placa 16 0,37 2,00 3,00 0,022 0,087

Diferença (%) 2,63 8,11 15,4 - -

Analogia de grelha 3 0,76 3,79 8,15 0,005 0,017

Viga e placa 3 0,57 3,10 6,00 0,031 0,090

Diferença (%) 25 18,2 26,4 - -

Analogia de grelha 2 0,88 4,3 8,65 0,005 0,009

Viga e placa 2 0,60 3,0 6,00 0,028 0,025

Diferença (%) 31,8 30,2 30,6 - -

Obs.: Ressalta-se que, para tornar as tabelas a seguir mais compactas, as expressões

“nervura secundária” e “nervura principal” são substituídas por NS e NP.

Ressalta-se que a diferença numérica entre os modelos para os momentos torçores

não deve ser considerada, pois para a analogia de grelha estes valores são praticamente

zero e para o modelo de viga-placa têm-se um pouco aumentado estes valores. Portanto,

para qualquer número ligeiramente maior do que zero já é obtida uma diferença percentual

muito grande.

Observa-se que à medida que se diminui o número de nervuras secundárias do

sistema estrutural, a diferença percentual entre os diferentes métodos de análise aumenta

sensivelmente.

Tal fato, muito provavelmente é motivado pela ortrotopia do sistema, pois quando

este se aproxima de uma laje nervurada isotrópica, não são verificadas diferenças tão

significativas quanto para as lajes com poucas nervuras secundárias, nitidamente

ortotrópicas.

Observa-se que, mesmo tendo o mesmo número de nervuras nas duas direções, o

sistema não pode ser considerado isotrópico, visto que a largura das nervuras secundárias

são maiores do que a das principais. Não é feita uma análise com uma laje com nervuras de

larguras iguais nas duas direções, no entanto, imagina-se que a diferença entre a análise

por grelha e por viga-placa fique ainda menor para este caso isotrópico.

155

Convém ressaltar o fato de que estas análises numéricas necessitam, também, de

uma calibração experimental, mesmo considerando-se que os modelos computacionais

desenvolvidos nesta dissertação foram devidamente calibrados com base nos resultados

obtidos por outros autores [7,36,37].

5. Freqüências Fundamentais e Modos de Vibração das Lajes REDUZCON

5.1. Introdução

Nesta seção, a análise de vibração livre é realizada com o intuito de se obter as

freqüências fundamentais e os modos fundamentais de vibração em alguns dos sistemas

estruturais estudados.

Os resultados destas análises são comparados aos valores limites de freqüências

nestas estruturas recomendados pela norma brasileira de concreto armado, NBR-6118 [1].

Isto é feito para que seja garantida a condição conforto, segurança e estética para os

usuários das edificações nas quais são empregadas as lajes nervuradas do tipo

REDUZCON [21].

5.2. Análise de Autovalores e Autovetores

Os modelos estruturais apresentados nesta seção são para as lajes nervuradas

REDUZCON [21] reais para os vãos neste estudo adotados, portanto, aquelas com apenas

3 e 2 nervuras secundárias e altura total de 17 cm, ou seja, feitas com os moldes BRC130,

representados pela Figura 3.16 e com as características dos Itens 3.5 e 3.6.

Para estas análises, são feitos exemplos para as 3 relações de comprimentos de e

vãos consideradas nesta dissertação (1; 1,5 e 2) e para as 3 alturas de vigas de apoio

também consideradas nas outras análises (15 x 40; 15 x 70 e 15 x 100 cm), além da

condição de contorno de apoios rígidos.

Segundo a NBR6118 [1], o comportamento dinâmico da estrutura é considerado

satisfatório quando a seguinte relação é verificada:

crítff 2,101 > ( 5.1 )

onde f01 é a freqüência fundamental da estrutura e fcrít é a freqüência crítica que depende da

destinação da estrutura associada à freqüência de excitação.

A tabela a seguir, Tabela 5.1 [1], mostra as freqüências críticas para alguns casos

especiais de estruturas submetidas a vibrações pela ação de pessoas.

157

Tabela 5.1 Freqüência crítica para alguns casos especiais de estruturas [1].

Caso fcrít (Hz)

Ginásio de esportes 8,0

Salas de dança ou de concerto sem cadeiras fixas 7,0

Escritórios 3,0 a 4,0

Salas de concerto com cadeiras fixas 3,4

Passarelas de pedestres ou ciclistas 1,6 a 4,5

Observa-se que, para a destinação dessas lajes nervuradas, considerando o caso de

escritórios na tabela anterior, a freqüência fundamental mínima ideal para a sua utilização é

de 3,6 Hz para que se evite o efeito de vibração excessiva e ressonância.

A seguir, é apresentado na Tabela 5.2 as freqüências fundamentais das lajes

analisadas neste tópico através do método da analogia de grelha.

Tabela 5.2 – Freqüência natural das lajes analisadas pela analogia de grelha.

3 nervuras secundárias

2 nervuras secundárias Condição de

contorno Lx / Ly f01 (Hz) Lx / Ly f01 (Hz) 1 10,37 1 9,95

1,5 5,45 1,5 5,20 15 x 40 cm 2 3,40 2 3,15 1 18,57 1 17,30

1,5 10,36 1,5 9,87 15 x 70 cm 2 6,58 2 6,22 1 24,66 1 22,20

1,5 15,02 1,5 14,14 15 x 100 cm 2 9,90 2 9,41 1 17,90 1 14,30

1,5 13,72 1,5 11,17 Apoios indeslocáveis

2 12,00 2 10,15

Portanto, somente para a laje nervurada com vigas de bordo de seção transversal de

15 x 40 cm e com relação entre os comprimentos dos vãos igual a 2 que se tem a

freqüência não satisfeita.

Na seqüência, apresentam-se, nas Figura 5.1 a Figura 5.6, os modos de vibração

referentes à freqüência fundamental das lajes nervuradas com 3 e 2 nervuras secundárias,

respectivamente. Observa-se que, para estas lajes, o modo fundamental de vibração é

predominantemente associado à flexão, como ilustrado nas Figura 5.1 a Figura 5.6.

158

a) VB 15 x 40 cm b) VB 15 x 70 cm c) VB 15 x 100 cm d) Apoios rígidos

Figura 5.1 – 1º modo de vibração referente às lajes com 3 nervuras secundárias (Lx/Ly = 1)

a) VB de 15 x 40 cm b) VB de 15 x 70 cm

c) VB de 15 x 100 cm d) Apoios rígidos

Figura 5.2 – 1º modo de vibração referente às lajes com 3 nervuras secundárias (Lx/Ly = 1,5)

159

a) V.B. de 15 x 40 cm b) V.B. de 15 x 70 cm

c) V.B. de 15 x 100 cm d) Apoios rígidos


a) VB 15 x 40 cm b) VB 15 x 70 cm c) VB 15 x 100 cm d) Apoios rígidos


160


d) V.B. de 15 x 100 cm d) Apoios rígidos

Figura 5.5 – 1º modo de vibração referente às lajes com 2 nervuras secundárias (Lx/Ly = 1,5)


c) V.B. de 15 x 100 cm d) Apoios rígidos


6. Considerações Finais

6.1. Introdução

Esta dissertação teve como objetivo o estudo do comportamento estático de lajes

nervuradas baseadas no modelo REDUZCON [21] analisadas predominantemente pelo

método da analogia de grelha via o programa computacional Ansys [19].

Este comportamento elástico-linear das lajes foi obtido considerando uma análise

paramétrica na qual se estudou a influência das condições de contorno das lajes utilizando

desde de vigas de bordo bastante flexíveis (seção transversal de 15 x 40 cm) até apoios

rígidos. Também se verificou a importância da consideração do momento de inércia à torção

das faixas da grelha que representam a laje nervurada, assim como das faixas que

discretizam as vigas de bordo. O número de nervuras secundárias da laje e a relação entre

os comprimentos dos vãos também foram objeto de estudo desta dissertação.

Este trabalho foi dividido em duas fases distintas. Em uma primeira etapa foram

realizadas análises do comportamento estático para diversas lajes nervuradas baseadas

naquelas do tipo REDUZCON [21], variando as suas dimensões de 4,5 x 4,5 m até 4,5 x 9

m. Em uma segunda etapa, realizou-se um estudo acerca das freqüências naturais das lajes

nervuradas REDUZCON [21] reais obtidas para os vãos considerados. Estes valores foram,

então, comparados aos limites impostos pelas normas de projeto.

6.2. Conclusões

Na seqüência do texto, são apresentadas conclusões parciais obtidos com os

estudos realizados nesta dissertação. De modo a consolidá-las, essas conclusões são aqui

apresentadas de forma itemizada, em que cada item representa um aspecto ou parâmetro

utilizado para a análise do comportamento da estrutura.

a) Modelagem computacional

Com base na vasta literatura técnica disponível e nas várias análises e

comparações de resultados realizadas ao longo do presente trabalho, pode-se

afirmar que os modelos computacionais desenvolvidos apresentaram resultados

coerentes e confiáveis.

162

A análise das lajes nervuradas através do modelo mais refinado, no qual se

discretizou as nervuras com elementos de viga tridimensionais e a mesa com

elementos de placa, forneceu resultados divergentes daqueles obtidos pela analogia

de grelha, principalmente quando se considerou um número reduzido de nervuras

secundárias. Este comportamento para a análise com elementos de viga e placa,

provavelmente, é motivado pela ortotropia do sistema estrutural, visto que, para o

sistema aproximadamente isotrópico, não se observou divergência significativa entre

os resultados de esforços e deslocamentos dos modelos de grelha e “viga-placa”.

No entanto, torna-se importante ressaltar que, embora os modelos de grelha

tenham sido ajustados com base em resultados encontrados por outros autores

[7,36,37], seria interessante que o mesmo se fizesse com os modelos de “viga-placa”

sob a luz de resultados experimentais.

b) Parâmetros Estáticos Analisados

• Número de nervuras secundárias: com a diminuição do número de nervuras

secundárias do sistema estrutural, a rigidez à flexão e à torção deste também

diminui. Assim, aumenta-se a flecha da laje e o momento fletor nestas nervuras. O

inverso ocorre para o momento fletor na nervura principal, generalizando. Há casos

em que os momentos fletores nas nervuras principais não sofrem grande influência

com o aumento do número de nervuras secundárias, como, por exemplo, a laje

nervurada quadrada com viga de bordo de 15 x 40 cm.

Ressalta-se, ainda, que os momentos fletores nas nervuras principais sofrem

um aumento nos seus valores quando se diminui muito o número de nervuras

secundárias, especialmente quando o modelo estrutural passa de 3 para 2 nervuras,

invertendo-se, assim, o comportamento acima citado.

Quanto aos momentos torçores, a redução do número de nervuras

secundárias faz com que os valores destes esforços nas nervuras principais

diminuam, sobretudo nos estudos feitos com vigas de 15 x 40 e 15 x 70 cm. Já para

os momentos torçores nas secundárias, tem-se verificado o comportamento

contrário, obtendo-se os valores máximos com poucas nervuras secundárias na laje

nervurada.

• Momento de inércia à torção das faixas da grelha que representam a laje: percebe-

se grande influência deste parâmetro nas lajes nervuradas quadradas. Porém, à

medida que se aumenta a relação entre os vãos das lajes, esta influência já não é

tão significativa nas análises que consideram apoios deslocáveis. Isto se verifica,

163

principalmente, para o momento fletor nas nervuras secundárias e os momentos

torçores, onde as curvas que consideram a inércia à torção integral e apenas 1%

deste valor são praticamente coincidentes.

Quanto aos deslocamentos, tem-se a diminuição deste parâmetro

acarretando no aumento das flechas das lajes. Com relação aos momentos fletores

máximos, estes também são obtidos com os menores valores desta inércia.

Na consideração de apoios rígidos como condição de contorno das lajes, os

momentos torçores caem praticamente a zero quando o parâmetro em questão é

desconsiderado na análise, fazendo com que os deslocamentos e os momentos

fletores aumentem para que seja mantido o equilíbrio do sistema. Este

comportamento não é observado quando se considera vigas deslocáveis na análise,

já que ocorre uma influência destas vigas sobre o sistema estrutural. Tal fato é

explicado, provavelmente, devido à rigidez à flexão dessas vigas.

• Momento de inércia à torção das faixas da grelha que representam as vigas de

bordo: observa-se a influência deste parâmetro no sistema estrutural, pois à medida

que se diminui o momento de inércia à torção, as flechas e os momentos fletores das

lajes aumentam. O inverso ocorre para os momentos torçores, onde a diminuição da

inércia à torção da viga provoca a diminuição destes esforços. Esta diminuição

nestes valores de esforços é justificada pelo equilíbrio do sistema, já que,

simultaneamente, tem-se aumentando os outros esforços (momentos fletores) e

deslocamentos, como já mencionado.

Observa-se que em muitas análises não há diferença significativa entre a

consideração das vigas de bordo no estádio II e a desconsideração do momento de

inércia à torção das mesmas, o que é aceitável, já que o estádio II corresponde

somente a 10% do valor integral deste parâmetro.

• Relação entre os comprimentos dos vãos: os deslocamentos das lajes são

diretamente dependentes do comprimento de seus vãos, sendo que para a laje com

4,5 x 9 m têm-se os maiores deslocamentos, assim como os valores dos demais

esforços, momentos fletores e torçores.

c) Parâmetros Dinâmicos Analisados

A freqüência fundamental das lajes REDUZCON [21] foi analisada e

comparada ao valor crítico de freqüência preconizado pela NBR-6118 [1], supondo

que a laje seja associada a um escritório.

164

Observou-se um bom comportamento de vibração livre para praticamente

todas as lajes estudadas, exceto aquelas com vigas de bordo de seção transversal

de 15 x 40 cm e Lx/Ly = 2, seja para a laje nervurada com 2 ou 3 nervuras

secundárias. Como foi visto, para as lajes nervuradas com outras vigas de bordo

estudadas, a freqüência fundamental obtida foi sempre superior à freqüência crítica

da norma [1].

Com relação ao modo fundamental de vibração, ressalta-se que todas as

lajes analisadas neste trabalho têm seu modo predominantemente de flexão.

6.3. Sugestões para Trabalhos Futuros

A seguir, relacionam-se algumas sugestões para a continuidade e desenvolvimento

de trabalhos futuros sobre os temas aqui tratados e outros correlatos.

• Realizar estudos com os outros modelos de formas disponíveis utilizadas na

execução das lajes REDUZCON [21], como por exemplo, a meia forma BRC130,

modelando lajes somente com estas formas e mistas com as formas que foram

consideradas neste trabalho;

• Realizar as análises destas lajes nervuradas como laje maciça equivalente, já

que a norma brasileira de concreto armado, NBR-6118 [1], assim permite que

seja feito o dimensionamento deste tipo de laje e comparar estes resultados aos

obtidos pela analogia de grelha e pelo método dos elementos finitos;

• Avaliar o comportamento estrutural destas lajes em vãos maiores e para lajes

apoiadas diretamente sobre os pilares, com efeitos de protensão e/ou modelos

com mais panos de lajes por pavimento;

• Dar continuidade ao estudo deste trabalho considerando-se uma análise não-

linear no processo de analogia de grelha para as lajes nervuradas e fazer a

verificação experimental dos resultados obtidos.

Referências Bibliográficas

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edição, Rio de Janeiro. EdUFF – EdUERJ, 1998.

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Universidade de São Paulo, São Carlos.

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de São Paulo, São Carlos.

7 STRAMANDINOLI, J. S. B., Contribuições à Análise de Lajes Nervuradas por Analogia de Grelha. 2003. Dissertação de Mestrado – Universidade Federal de Santa

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9 ARAÚJO, J. M., Análise Não-Linear de Lajes Maciças e Lajes Nervuradas de Concreto Armado. Revista Portuguesa de Engenharia de Estruturas, nº 52, Lisboa,

Portugal, p. 43-52, 2003.

166

10 ARAÚJO, J. M., Avaliação dos Procedimentos de Projeto das Lajes Nervuradas de Concreto Armado. Teoria e Prática na Engenharia Civil, nº 3, Lisboa, Portugal, p. 31-

42, 2003.

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12 DIAS, R. H.; GIONGO, J. S.; PAIVA, J. B., Modelos simplificados e Realistas na Consideração da Excentricidade Entre Nervuras e Capa em Lajes Nervuradas. 44º

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13 BARBOSA, A. S. R., Contribuição à Análise Estrutural de Sistemas Lajes-Vigas de Concreto Armado Mediante Analogia de Grelha. 1992. 130 f. Dissertação de

Mestrado – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São

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14 SHEIKH, A. H.; MUKHOPADHYAY, M., Analysis of Stiffened Plate with Arbitray Planform by the General Spline Finite Strip Method. Computers and Structures, v.

42, nº 1, p. 53-67, 1992.

15 SELISTRE, S. L. C.; KLEIN, D. L., Análise Teórica-Experimental do Modelo Reduzido de uma Laje Nervurada em Microconcreto Armado. XXIX Jornadas

Sudamericanas de Ingenieria Estructural, Punta Del Este, Uruguay, 2000.

16 SAP90 – Structural Analysis Programs, User’s Manual, California, USA, 1992.

17 TQS, User’s Manual, 1995.

18 MELO, F. A. P.; FONTE, O. A. C.; HOROWITZ, B., Análise Estrutural de Lajes

Planas sob Ação de Carregamento Vertical, Comparando Modelos Numéricos com Experimentais. XXIX Jornadas Sudamericanas de Ingenieria Estructural, Punta

Del Este, Uruguay, 2000.

167

19 ANSYS 10.0, User’s Manual, 2001.

20 TIMOSHENKO, S. P.; WOINOWSKY-KRIEGER, S., Theory of Plates and Shells. 2rd

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21 SISTEMA DE LAJES REDUZCON, Disponível em: http://www.reduzcon.com.br (acesso

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22 BARES, R.; MASSONNET, C., Analysis of Beam Grids and Orthotropic Plates. New

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23 DIAS, R. H., Análise Numérica de Pavimentos de Edifícios em Lajes Nervuradas. 2003. 455 f. Dissertação de Mestrado – Escola de Engenharia de São Carlos,

Universidade de São Paulo, São Carlos, 2003.

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25 EUROCODE 2 (1992). Design of Concrete Structures – Part 1: General Rules and Rules for Buildings. Brussels, CEN, 253p. (ENV. 1992-1-1).

26 ZIENKIEWICZ, O. C., The Finite Element Method from Intuition to Generality Appl.

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27 CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R., Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado. São Carlos. EdUFSCar, 2004. 308 p.

28 COELHO, J. A., Análise de Lajes de Concreto Armado – Parte VIII: Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelha – Influência da Flexibilidade dos Apoios. 2002. 8 f. Artigo Técnico para Empresa AltoQI Tecnologia Ltda.,

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29 COELHO, J. A., Análise de Lajes de Concreto Armado – Parte IX: Análise de Lajes Nervuradas por Analogia de Grelha. 2002. 4 f. Artigo Técnico para Empresa AltoQI

Tecnologia Ltda., Florianópolis, Santa Catarina. 2002.

168

30 KENNEDY, J. B.; BALI, S. K., Rigities of Concrete Waffle-Type Slab Structure. In:

Canadian Journal of Civil Engineering, v. 6, nº 1, março, 1979.

31 LEONHARDT, F., Construções de Concreto. Vol. 3. Interciência, Rio de Janeiro,

1978.

32 GERE, J. M.; WEAVER JR, W.; Análise de Estruturas Reticuladas. Ed. Guanabara

Dois S. A., Rio de Janeiro, 1981.

33 CARVALHO, R. C., Análise Não-Linear de Pavimentos de Edifícios de Concreto Através da Analogia de Grelha. 1994. Tese de Doutorado – Programa de Pós-

Graduação em Engenharia de Estruturas de São Carlos, Universidade de São Paulo,

São Carlos, 1994.

34 GUIMARÃES, G. B., Comportamento das Lajes REDUZCON. Relatório Técnico.

Departamento de Engenharia Civil, PUC/RIO. Rio de Janeiro, 2004.

35 SUSSEKIND, J. C., Curso de Concreto Armado. 1ª edição, Porto Alegre, Editora

Globo. 1985.

36 Modelagem de Lajes de Concreto Armado por Analogia de Grelha – Conceitos Iniciais,

Disponível em: http://www.altoqi.com.br (acesso em maio 2004).

37 SILVA, M. A. F.; FIGUEIREDO FILHO, J. R.; CARVALHO, R. C., A Utilização da Analogia de Grelha para Análise de Pavimentos de Edifícios em Concreto Armado. 2003. 16 f. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto, São Paulo, S.

P. 2003.

Anexo A - Resultados das Lajes Nervuradas de 13 cm de Altura

A.1. Laje Nervurada Quadrada

Tabela A.1 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 13 cm de altura, apoiada em apoios indeslocáveis: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha

Momentos FletoresFaixa do canto Faixa central


Myx - NP Mxy - NSNS Flecha (cm) Mx – NP


Mx – NP(kNm)


3 1,0644 0,42817 3,5226 2,5414 4,9969 0,53618 0,48946 1,2817 02 1,2699 0,51172 5,4323 3,1213 5,4323 0,55091 0,50355 0,77939 -

Tabela A.2 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 13 cm de altura, apoiada em apoios indeslocáveis: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha



Myx - NP Mxy - NSNS Flecha (cm) Mx – NP

(kNm) My – NS (kNm)

Mx – NP(kNm)


3 1,2433 0,51985 4,1641 2,4143 5,9211 0,0061548 0,0056667 0,01593 02 1,4418 0,57736 6,2471 3,4817 6,2471 0,006176 0,0056927 0,0086178 -

Tabela A.3 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 13 cm de altura: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


16 0,5344 3,1488 3,0085 2,0308 2,3102 2,2019 1,9565 2,1477 1,855113 0,547 3,1287 3,6027 2,0331 2,6682 2,0345 1,8613 2,7241 2,106310 0,5527 3,1148 4,4117 1,9194 3,0545 1,7513 1,6459 3,351 2,26277 0,5937 3,1652 5,5911 1,7938 3,6071 1,3996 1,3105 4,0184 2,2355 0,6514 3,2937 6,2262 1,6643 4,1247 1,0542 0,95245 4,3775 1,80183 0,7547 3,3869 6,4942 1,5255 4,8412 0,5929 0,49935 4,6998 02

0,15

x 0

,4

0,9143 4,5118 6,029 1,6116 6,029 0,23047 0,14963 4,3327 -16 0,2821 3,3974 3,3592 2,0495 2,2765 1,8648 2,368 1,9686 2,330913 0,2901 3,3459 3,9894 2,0388 2,6478 1,7249 2,201 2,6933 2,727610 0,2928 3,2687 4,8022 1,8998 3,0484 1,4854 1,891 3,5794 2,98387 0,3151 3,1365 5,9289 1,7307 3,6476 1,2027 1,4624 4,5793 2,96245 0,3452 3,0606 6,4866 1,575 4,2264 0,94682 1,0656 5,0592 2,35313 0,405 2,9593 6,8469 1,4239 4,9949 0,59503 0,61094 4,9968 02

0,15

x 0

,7

0,5002 3,9663 6,3268 1,4079 6,3268 0,27274 0,24601 4,5938 -16 0,2193 3,7037 3,6599 2,1155 2,3483 1,2892 2,4415 1,5347 2,494913 0,227 3,5858 4,3551 2,112 2,7316 1,2585 2,2555 2,2987 3,021810 0,2303 3,4136 5,2319 1,9812 3,1485 1,1571 1,9303 3,3328 3,4017 0,2496 3,1142 6,4485 1,8225 3,8037 1,0126 1,5009 4,6264 3,42955 0,2736 2,8828 7,0922 1,6779 4,4872 0,84646 1,1138 5,3582 2,72973 0,322 2,5898 7,6378 1,5521 5,5292 0,58111 0,67983 5,2098 02

0,15

x 1

0,3995 3,504 7,2515 1,5069 7,2515 0,29584 0,31486 4,8574 -

170

Tabela A.4 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradaa de 13 cm de altura: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


16 0,5569 3,1212 2,9605 2,1163 2,4145 2,2498 2,0196 2,2622 1,987113 0,5695 3,0964 3,5683 2,1152 2,7827 2,0915 1,9335 2,8536 2,243410 0,5743 3,0705 4,4 2,0053 3,1783 1,8179 1,7272 3,4972 2,39797 0,6159 3,1115 5,6195 1,8831 3,7572 1,4826 1,4069 4,1933 2,36135 0,6747 3,2335 6,2413 1,762 4,3007 1,1552 1,0666 4,5848 1,90293 0,7811 3,3172 6,6998 1,6372 5,0692 0,71809 0,63996 4,968 02

0,15

x 0

,4

0,9407 4,4147 6,2633 1,7373 6,2633 0,37237 0,30885 4,5272 -16 0,3022 3,4064 3,3422 2,1424 2,389 1,867 2,4326 2,0391 2,458713 0,3101 3,3461 3,9945 2,1272 2,7719 1,7449 2,2735 2,7824 2,86410 0,3121 3,2493 4,8401 1,9922 3,1844 1,5261 1,9724 3,6925 3,12017 0,3352 3,1052 6,022 1,8254 3,8153 1,2704 1,56 4,726 3,08775 0,3665 3,0229 6,5513 1,6763 4,4268 1,0378 1,1818 5,2375 2,44953 0,4292 2,9445 7,0865 1,532 5,2487 0,71069 0,75248 5,2329 02

0,15

x 0

,7

0,5246 3,9387 6,6047 1,5317 6,6047 0,40378 0,40408 4,8075 -16 0,236 3,7417 3,668 2,2087 2,4623 1,2572 2,4993 1,5684 2,607513 0,2438 3,6115 4,3893 2,2023 2,8577 1,2511 2,3209 2,3522 3,14810 0,2468 3,4157 5,304 2,0757 3,2874 1,1785 2,0053 3,4156 3,5337 0,267 3,1038 6,5838 1,9183 3,9752 1,0676 1,5931 4,7517 3,55525 0,2923 2,8684 7,1806 1,7776 4,6929 0,92638 1,224 5,5247 2,82833 0,3432 2,6186 7,9185 1,6509 5,7877 0,68436 0,8131 5,4581 02

0,15

x 1

0,4207 3,5644 7,5515 1,6217 7,5515 0,41225 0,46205 5,1377 -

Tabela A.5 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 13 cm de altura: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


16 0,6266 3,2223 3,0458 2,2578 2,6083 1,6812 1,8803 1,6193 1,758213 0,6438 3,1734 3,7422 2,2846 3,0199 1,5457 1,7827 2,2025 2,069710 0,6506 3,0852 4,7099 2,2018 3,4799 1,3413 1,5741 2,9125 2,2997 0,6995 2,978 6,175 2,1369 4,1995 1,1132 1,2642 3,7089 2,33095 0,7731 2,9413 7,0904 2,0981 4,9402 0,87591 0,93857 4,097 1,8633 0,9179 2,8388 8,0449 2,1331 6,1123 0,49447 0,50477 4,0406 02

0,15

x 0

,4

1,1519 3,7674 8,0352 2,3769 8,0352 0,12819 0,12258 3,7308 -16 0,3566 4,0109 4,0019 2,4584 2,7336 0,9355 2,5715 1,0658 2,541513 0,3631 3,8469 4,9214 2,4752 3,1848 0,91376 2,3829 1,9894 3,179310 0,3614 3,5694 6,126 2,3656 3,6983 0,88053 2,0546 3,3146 3,66127 0,3843 3,0927 7,8833 2,2572 4,5528 0,8753 1,6428 4,9764 3,77265 0,4237 2,715 9,0435 2,2115 5,5035 0,83142 1,2837 5,929 3,053 0,5135 2,2486 10,204 2,2239 7,1823 0,62899 0,84145 5,7616 02

0,15

x 0

,7

0,6733 3,1084 10,21 2,4838 10,21 0,32061 0,41683 5,3415 -16 0,2573 4,6879 4,6717 2,5851 2,8537 0,34391 2,79 0,6445 2,876213 0,263 4,3634 5,7248 2,614 3,3038 0,49107 2,5728 1,6519 3,705710 0,2633 3,9041 7,0699 2,517 3,8097 0,66197 2,2264 3,192 4,35367 0,2826 3,1987 9,002 2,4212 4,6766 0,83611 1,8148 5,273 4,49965 0,3112 2,6691 10,228 2,3733 5,6996 0,86361 1,4464 6,681 3,63373 0,375 2,0279 11,425 2,4516 7,7255 0,70485 0,99355 6,8715 02

0,15

x 1

0,487 2,8679 11,652 2,6432 11,652 0,40994 0,554 6,7986 -

171

Tabela A.6 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 13 cm de altura: 1 % do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


16 0,6795 3,205 2,9867 2,4184 2,8169 1,6957 2,004 1,7699 2,013813 0,6962 3,1382 3,7226 2,4486 3,2483 1,5909 1,9223 2,3913 2,348910 0,7005 3,0203 4,7502 2,3729 3,7288 1,424 1,7285 3,1523 2,58777 0,7503 2,8632 6,3184 2,3207 4,5054 1,2496 1,4451 4,0267 2,61475 0,8269 2,7904 7,347 2,3058 5,3082 1,0644 1,1521 4,484 2,09573 0,9809 2,6204 8,5575 2,3856 6,6126 0,74557 0,7654 4,4797 02

0,15

x 0

,4

1,2205 3,5249 8,6201 2,6595 8,6201 0,42359 0,41562 4,0017 -16 0,392 4,1084 4,058 2,6155 2,9294 0,85559 2,7112 1,1043 2,788613 0,3971 3,9086 5,0319 2,6312 3,3974 0,88032 2,5277 2,0853 3,459910 0,393 3,5811 6,3091 2,5238 3,9303 0,90273 2,2043 3,4899 3,95147 0,4161 3,0468 8,1843 2,4194 4,8389 0,96332 1,8098 5,2505 4,04345 0,4575 2,6352 9,3136 2,3892 5,8557 0,97146 1,475 6,2763 3,26213 0,5536 2,1391 10,787 2,5012 7,6743 0,82157 1,0684 6,1669 02

0,15

x 0

,7

0,7185 2,9751 10,849 2,7232 10,849 0,55379 0,67034 5,664 -16 0,2799 4,8216 4,7598 2,7223 3,0241 0,23945 2,8999 0,638 3,067613 0,2849 4,456 5,8641 2,7506 3,4881 0,43663 2,6869 1,6918 3,929310 0,2842 3,9438 7,2782 2,6568 4,0098 0,66587 2,3473 3,2998 4,59037 0,3044 3,1909 9,3232 2,5637 4,9221 0,90282 1,9541 5,4693 4,72135 0,3346 2,6377 10,461 2,5243 6,002 0,97229 1,6058 6,9496 3,8053 0,4026 2,0111 11,978 2,6143 8,1425 0,85038 1,1792 7,2265 02

0,15

x 1

0,5169 2,8679 12,229 2,835 12,229 0,58006 0,75551 7,1651 -

Tabela A.7 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 13 cm de altura: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


16 0,6532 3,2355 3,051 2,3211 2,6943 1,5178 1,8523 1,456 1,725113 0,6726 3,1789 3,7764 2,3581 3,1238 1,389 1,7534 2,0368 2,050710 0,6807 3,0691 4,7937 2,2873 3,6086 1,2075 1,5476 2,7694 2,29737 0,7337 2,9122 6,357 2,2456 4,3847 1,0179 1,2489 3,6077 2,34725 0,8144 2,8181 7,4724 2,243 5,2007 0,81508 0,93684 4,0128 1,87613 0,9776 2,6234 8,6348 2,3547 6,5617 0,45844 0,51061 3,8294 02

0,15

x 0

,4

1,2464 3,4592 8,7928 2,6768 8,7928 0,08719 0,11437 3,5256 -16 0,3768 4,0949 4,1887 2,5694 2,8574 0,66854 2,6186 0,80981 2,592613 0,383 3,9781 5,1905 2,596 3,3296 0,67651 2,4237 1,7909 3,295510 0,3802 3,6423 6,5083 2,4957 3,8716 0,69959 2,091 3,246 3,83457 0,4035 3,0703 8,4575 2,4068 4,7907 0,77177 1,687 5,1075 3,97685 0,4461 2,6083 9,8191 2,3998 5,8444 0,78754 1,3427 6,2201 3,23243 0,5472 2,0143 11,264 2,5761 7,838 0,62845 0,91012 6,0971 02

0,15

x 0

,7

0,7359 2,7818 11,599 2,8933 11,599 0,32764 0,47453 5,7045 -16 0,2661 4,7915 4,9219 2,6947 2,9699 0,12114 2,8665 0,43162 2,959613 0,2712 4,5372 6,0607 2,7323 3,4327 0,30788 2,6406 1,501 3,858810 0,2708 4,0055 7,5175 2,6439 3,9546 0,54166 2,2891 3,1658 4,56427 0,2901 3,2061 9,6244 2,565 4,8629 0,78983 1,8834 5,4375 4,73035 0,32 2,6099 11,003 2,5446 5,9603 0,86202 1,5217 7,0205 3,8313 0,3882 1,88 12,389 2,6876 8,2431 0,72809 1,0686 7,368 02

0,15

x 1

0,5122 2,6706 12,913 2,9926 12,913 0,43248 0,61733 7,4733 -

172

Tabela A.8 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 13 cm de altura: 1% domomento de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


16 0,7182 3,222 2,9884 2,5126 2,9444 1,5045 1,991 1,602 2,014913 0,7373 3,1426 3,764 2,5555 3,3988 1,4157 1,9109 2,2294 2,371310 0,7426 2,9952 4,8574 2,4943 3,9104 1,2846 1,7234 3,0275 2,63277 0,7971 2,7705 6,5537 2,4712 4,7587 1,1665 1,4577 3,9654 2,68135 0,8824 2,6257 7,7432 2,5021 5,6615 1,0322 1,1863 4,4569 2,15313 1,059 2,3266 9,2541 2,6783 7,2006 0,7573 0,81851 4,3229 02

0,15

x 0

,4

1,3383 3,1343 9,5672 3,0436 9,5672 0,44627 0,46325 3,8121 -16 0,4174 4,306 4,2757 2,7508 3,0823 0,5526 2,7809 0,82645 2,874413 0,4217 4,0627 5,3436 2,7762 3,5731 0,61747 2,5898 1,8801 3,620410 0,4159 3,665 6,7477 2,6773 4,1365 0,70925 2,2606 3,4369 4,1737 0,4392 3,0191 8,8373 2,5932 5,1172 0,86152 1,8744 5,4236 4,29365 0,4842 2,5136 10,1736 2,6058 6,2495 0,93991 1,557 6,629 3,48283 0,5934 1,8643 11,984 2,8239 8,4257 0,84487 1,1656 6,5768 02

0,15

x 0

,7

0,7903 2,5946 12,405 3,1877 12,405 0,59917 0,76453 6,0829 -16 0,2901 5,0781 5,0352 2,8452 3,1559 0,00451 2,9901 0,41073 3,170413 0,2945 4,6483 6,2318 2,8819 3,6327 0,23928 2,7669 1,5347 4,107210 0,2928 4,055 7,7656 2,7963 4,1707 0,53955 2,4212 3,279 4,82767 0,313 3,1984 9,9981 2,7203 5,1274 0,85842 2,0343 5,6528 4,97645 0,3446 2,5737 11,279 2,7101 6,2852 0,97714 1,6935 7,3188 4,02143 0,4176 1,8484 13,021 2,8698 8,706 0,88409 1,268 7,7612 02

0,15

x 1

0,5447 2,6457 13,583 3,2121 13,583 0,6183 0,83494 7,877 -

173

A.2. Laje Nervurada Retangular (Lx/Ly = 1,5)

Tabela A.9 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


16 1,823 3,1432 8,5233 3,8259 4,9867 5,0285 4,1507 3,85 3,115913 1,8434 3,156 10,006 3,8269 5,7867 4,6684 3,9859 4,8948 3,563510 1,8874 3,3235 12,331 3,7416 6,8256 4,1501 3,6833 6,202 3,92767 2,0083 3,5809 15,888 3,6277 7,8854 3,4084 3,1101 7,5446 3,84625 2,1916 3,8882 18,123 3,5156 8,6833 2,6626 2,4246 8,0925 2,94843 2,5321 4,2607 18,313 3,4459 9,7209 1,6398 1,4616 8,1146 0 2

0,15

x 0

,4

3,0182 5,8716 13,523 3,6924 13,523 0,69302 0,56475 6,7983 - 16 0,8403 3,8315 8,9072 3,8735 4,7798 5,0667 4,9934 3,6167 3,930413 0,848 3,8743 10,395 3,8378 5,5695 4,6668 4,6854 4,8376 4,642710 0,8614 4,045 12,67 3,7007 6,556 4,1 4,2054 6,5021 5,24127 0,9019 4,1142 15,86 3,5174 7,4656 3,3103 3,4246 8,3826 5,188 5 0,9637 4,1308 17,781 3,3403 8,1075 2,577 2,6158 9,2151 3,968 3 1,0886 4,1139 17,616 3,1948 8,8638 1,6382 1,6032 8,8393 0 2

0,15

x 0

,7

1,305 5,5696 12,832 3,3633 12,832 0,76879 0,70898 7,4502 - 16 0,614 4,5158 9,4063 3,8751 4,9511 4,479 5,2357 2,6878 4,099913 0,6209 4,4633 11,046 3,8559 5,7706 4,2162 4,9009 3,8743 5,042310 0,6305 4,509 13,515 3,7318 6,7868 3,8134 4,3943 5,6473 5,92257 0,6572 4,3681 16,941 3,5484 7,7606 3,1829 3,5963 7,9482 6,03725 0,6958 4,1329 19,121 3,3546 8,529 2,5373 2,782 9,3149 4,68383 0,7773 3,7955 19,421 3,1797 9,7146 1,6895 1,7793 9,1772 0 2

0,15

x 1

0,9358 5,1683 14,947 3,3025 14,947 0,87112 0,88107 7,9853 -

174

Tabela A.10 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


16 1,8759 3,0145 8,5047 4,0124 5,0821 5,1484 4,2936 4,0301 3,30813 1,8942 3,0233 10,004 4,0072 5,8866 4,7956 4,1363 5,0851 3,75410 1,9354 3,1763 12,354 3,9163 6,9301 4,2853 3,8419 6,405 4,10867 2,0537 3,4561 15,868 3,7945 7,9991 3,5566 3,2813 7,7695 4,00335 2,2352 3,7381 18,235 3,6782 8,8044 2,8268 2,6116 8,3481 3,06863 2,5755 4,1222 18,475 3,6109 9,8578 1,8322 1,6775 8,4413 02

0,15

x 0

,4

3,0602 5,6901 13,697 3,8522 13,697 0,90745 0,80219 7,0311 -16 0,8907 3,7651 8,9439 4,0662 4,9022 5,1625 5,1504 3,7289 4,115613 0,8959 3,7955 10,466 4,025 5,6993 4,7782 4,8488 4,9606 4,830910 0,9066 3,9385 12,79 3,8847 6,6876 4,23 4,3778 6,6428 5,42327 0,9449 4,0294 16,06 3,6961 7,6191 3,4636 3,6126 8,5535 5,34185 1,0056 4,019 18,054 3,5161 8,27 2,7499 2,8217 9,4253 4,07793 1,1302 4,0658 17,941 3,3708 9,0368 1,8352 1,8351 9,1422 02

0,15

x 0

,7

1,3452 5,5081 13,103 3,5346 13,103 0,98136 0,95651 7,719 -16 0,655 4,482 9,5071 4,0611 5,0831 4,5474 5,3871 2,7124 4,244413 0,6602 4,4117 11,193 4,0386 5,9122 4,3084 5,0596 3,9101 5,199610 0,6678 4,4254 13,729 3,9132 6,9412 3,9337 4,564 5,7065 6,08697 0,693 4,2773 17,386 3,725 7,9291 3,3332 3,7833 8,0536 6,18545 0,7307 4,0544 19,521 3,5271 8,7039 2,7058 2,9849 9,4825 4,79123 0,8117 3,8174 19,86 3,3493 9,8925 1,8746 2,0014 9,4881 02

0,15

x 1

0,9688 5,248 15,28 3,4672 15,28 1,0639 1,1117 8,3306 -

Tabela A.11 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


16 2,0212 3,0987 8,5754 4,3122 5,2294 4,364 4,046 3,133 2,856313 2,046 3,0734 10,132 4,3309 6,078 4,0404 3,8616 4,1269 3,360110 2,0907 3,1436 12,582 4,2584 7,2012 3,6021 3,5459 5,4451 3,80817 2,2138 3,197 16,292 4,1588 8,4345 3,0084 2,9895 6,8517 3,81665 2,4078 3,2283 18,919 4,0796 9,4499 2,3993 2,3471 7,3762 2,90763 2,7897 3,2933 19,681 4,1222 10,904 1,4874 1,4255 6,8119 02

0,15

x 0

,4

3,3688 4,5383 15,249 4,5238 15,249 0,5529 0,51286 5,5786 -16 1,0655 5,1168 9,5514 4,4935 5,5687 3,6936 5,1313 2,505 4,172513 1,0716 4,9672 11,431 4,4962 6,5276 3,4511 4,7874 3,9166 5,228510 1,0816 4,7936 14,342 4,4097 7,7723 3,139 4,2823 6,047 6,21247 1,1248 4,213 18,629 4,2882 9,1605 2,7461 3,5402 8,6961 6,41475 1,203 3,6014 21,772 4,1772 10,394 2,3508 2,8267 10,093 5,03833 1,3815 2,8713 23,179 4,1634 12,476 1,6656 1,884 9,4937 02

0,15

x 0

,7

1,7118 4,1055 19,025 4,5114 19,025 0,83695 0,93223 8,0655 -16 0,7634 6,5505 11,054 4,5876 6,0924 2,8391 5,5572 1,4953 4,740613 0,7715 6,0972 13,411 4,654 7,1414 2,8699 5,21 2,9585 6,175510 0,7828 5,5861 17,001 4,6353 8,5107 2,9066 4,7319 5,3631 7,58717 0,8175 4,5708 22,224 4,5562 10,027 2,8603 4,0455 8,7387 7,97855 0,8721 3,7098 26,222 4,4391 11,457 2,6148 3,3443 11,081 6,33383 0,9972 3,6969 28,403 4,3709 14,314 1,9928 2,3676 11,502 02

0,15

x 1

1,2441 4,0133 24,53 4,6835 24,53 1,1466 1,3367 10,72 -

175

Tabela A.12 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


16 2,135 2,9107 8,5726 4,6677 5,3999 4,4711 4,2829 3,4019 3,217513 2,1542 2,8671 10,165 4,6723 6,2585 4,1804 4,1105 4,4267 3,734910 2,1913 2,9059 12,67 4,5847 7,396 3,7796 3,8067 5,7821 4,18277 2,3074 2,9151 16,469 4,467 8,6593 3,2348 3,2692 7,2458 4,16055 2,4971 2,9172 19,194 4,3783 9,7048 2,6727 2,6536 7,8265 3,17793 2,8796 2,9384 20,072 4,4273 11,218 1,8248 1,7782 7,3215 02

0,15

x 0

,4

3,4592 4,1599 15,649 4,8216 15,649 0,9447 0,90354 5,8995 -16 1,1618 5,1829 9,7061 4,8271 5,8202 3,6965 5,4005 2,6393 4,561613 1,162 4,9709 11,672 4,8218 6,7999 3,5098 5,0604 4,1021 5,648710 1,1657 4,7132 14,708 4,7312 8,0757 3,2638 4,5629 6,3082 6,6377 1,2043 4,0447 19,186 4,6035 9,5129 2,949 3,8409 9,0489 6,78265 1,2809 3,3942 22,513 4,4901 10,791 2,613 3,155 10,517 5,30343 1,4618 2,663 24,065 4,481 12,957 1,9848 2,2499 10,005 02

0,15

x 0

,7

1,794 3,8756 19,775 4,8286 19,775 1,1979 1,3217 8,4735 -16 0,8282 6,6637 11,353 4,8831 6,3499 2,8079 5,8001 1,4771 5,026913 0,8336 6,1338 13,82 4,9508 7,4231 2,9071 5,4615 2,98 6,501910 0,842 5,5304 17,57 4,9369 8,8283 3,0246 5,0001 5,4527 7,93457 0,8752 4,4415 23,029 4,857 10,389 3,0639 4,3424 8,927 8,28765 0,9295 3,563 27,228 4,7374 11,855 2,867 3,664 11,365 6,55073 1,057 2,6287 29,523 4,668 14,774 2,2763 2,7072 11,946 02

0,15

x 1

1,3057 3,9816 25,419 4,9836 25,419 1,4424 1,6781 11,18 -

Tabela A.13 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


16 2,0706 3,0832 8,5783 4,4354 5,2838 4,1858 4,0154 2,937 2,785213 2,0971 3,0494 10,148 4,4598 6,1437 3,8691 3,825 3,9181 3,299610 2,1426 3,0945 12,622 4,3909 7,2866 3,451 3,5065 5,2358 3,76347 2,2669 3,0848 16,383 4,2949 8,5654 2,8982 2,9585 6,6641 3,79355 2,4643 3,0439 19,087 4,2265 9,6321 2,3271 2,3315 7,1888 2,88793 2,8585 2,9974 19,985 4,3051 11,198 1,4448 1,4227 6,4467 02

0,15

x 0

,4

3,4664 4,1137 15,638 4,7544 15,638 0,50955 0,50197 5,2143 -16 1,1229 5,4871 9,6985 4,6485 5,7731 3,2988 5,1513 2,2048 4,229213 1,1285 5,2811 11,677 4,6608 6,7755 3,0925 4,7949 3,6802 5,376710 1,1373 5,0042 14,753 4,5867 8,088 2,8442 4,2809 5,9601 6,45487 1,1808 4,2295 19,329 4,4783 9,6109 2,5588 3,5522 8,8467 6,71075 1,2638 3,4567 22,829 4,3888 10,983 2,2592 2,8699 10,414 5,29833 1,4583 2,508 24,697 4,4154 13,471 1,6498 1,9549 9,8019 02

0,15

x 0

,7

1,8272 3,6402 20,857 4,8214 20,857 0,83941 0,99494 8,3685 -16 0,7982 7,0741 11,455 4,758 6,3646 2,3905 5,603 1,2297 4,900213 0,8066 6,5084 13,988 4,8465 7,466 2,486 5,2476 2,7789 6,454310 0,8182 5,8435 17,851 4,8548 8,917 2,6271 4,7741 5,363 7,98247 0,8546 4,6015 23,496 4,7962 10,585 2,7318 4,1221 9,0266 8,42245 0,9134 3,5958 27,985 4,7112 12,146 2,591 3,4533 11,606 6,70213 1,0504 2,4122 30,69 4,6833 15,432 2,0359 2,4943 12,218 02

0,15

x 1

1,325 3,6821 27,18 5,0795 27,18 1,1916 1,4431 11,653 -

176

Tabela A.14 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


16 2,2046 2,8783 8,5787 4,847 5,4772 4,2736 4,2732 3,216 3,187613 2,2246 2,8219 10,19 4,8549 6,3485 4,0005 4,0973 4,2322 3,721410 2,2609 2,8292 12,727 4,7677 7,5087 3,6322 3,7931 5,601 4,18927 2,3764 2,7601 16,592 4,6497 8,823 3,1433 3,268 7,102 4,18895 2,5689 2,6784 19,411 4,5704 9,9278 2,632 2,673 7,6948 3,2023 2,9639 2,5563 20,442 4,6569 11,567 1,8287 1,8183 7,0124 02

0,15

x 0

,4

3,5733 3,6593 16,102 5,097 16,102 0,9627 0,94305 5,5574 -16 1,2341 5,613 9,8918 5,0268 6,0683 3,2525 5,4482 2,3323 4,677613 1,2325 5,325 11,975 5,0299 7,0957 3,1161 5,0942 3,8767 5,868210 1,2336 4,9416 15,202 4,951 8,4454 2,9511 4,5868 6,2582 6,95577 1,2715 4,0495 20,008 4,8363 10,024 2,7643 3,8797 9,2635 7,14615 1,3527 3,2222 23,729 4,744 11,458 2,5399 3,2295 10,917 5,61463 1,5506 2,2388 25,775 4,7773 14,064 2,002 2,3579 10,399 02

0,15

x 0

,7

1,9234 3,3408 21,782 5,1854 21,782 1,2481 1,428 8,8367 -16 0,8696 7,2413 11,814 5,0844 6,6592 2,3172 5,8656 1,1976 5,227513 0,8749 6,579 14,476 5,1757 7,7887 2,4943 5,5185 2,7978 6,830710 0,8834 5,8013 18,528 5,1907 9,2814 2,7328 5,0632 5,4669 8,38427 0,9181 4,465 24,453 5,1343 11,015 2,9407 4,4429 9,2465 8,77755 0,9769 3,4315 29,176 5,0459 12,606 2,8603 3,8008 11,934 6,95273 1,1173 2,3136 32,019 5,0186 15,981 2,3434 2,8637 12,714 02

0,15

x 1

1,3951 3,6058 28,256 5,4227 28,256 1,5164 1,8149 12,159 -

177

A.3. Laje Nervurada Retangular (Lx/Ly = 2)

Tabela A.15 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


16 4,1457 1,7372 13,949 4,8076 8,9483 6,4391 6,0672 5,4795 4,29813 4,1653 1,6829 16,452 4,7866 10,492 6,0388 5,8263 6,8715 4,819410 4,2411 1,7963 20,495 4,6792 12,589 5,4902 5,4333 8,6192 5,25297 4,4648 2,1216 27,254 4,516 14,961 4,7458 4,742 10,467 5,18935 4,8473 2,5831 32,857 4,3473 16,799 3,989 3,9291 11,219 3,99853 5,6132 3,3658 36,107 4,2184 18,843 2,7895 2,6788 10,601 02

0,15

x 0

,4

6,8072 5,4919 26,135 4,3501 26,135 1,3567 1,2465 8,9704 -16 1,5202 2,7039 14,136 4,9402 8,4064 6,2978 7,0487 4,9187 5,440213 1,5212 2,7196 16,535 4,8626 9,8543 5,8721 6,6076 6,5763 6,307310 1,536 2,8821 20,321 4,6856 11,729 5,2851 5,9752 8,8431 7,01957 1,5897 3,0912 26,316 4,4356 13,606 4,4821 5,0007 11,464 6,94365 1,6871 3,322 30,659 4,1948 14,831 3,7032 3,9955 12,677 5,31253 1,8894 3,7301 32,084 3,9869 15,877 2,5578 2,6374 11,761 02

0,15

x 0

,7

2,2544 5,7062 22,164 4,0306 22,164 1,2814 1,2623 9,9088 -16 0,9954 3,8526 14,4 4,7985 8,522 5,3125 7,1192 3,0838 5,605813 0,9959 3,7519 16,887 4,7327 9,9836 5,0922 6,6481 4,7006 6,828310 1,0019 3,7688 20,761 4,5641 11,869 4,7465 5,9959 7,1521 7,94747 1,0265 3,707 26,808 4,3113 13,751 4,1644 5,0199 10,421 8,09515 1,0734 3,6929 31,195 4,0589 15,045 3,4926 4,0179 12,467 6,28253 1,1785 3,7098 33,069 3,9825 16,523 2,4646 2,694 12,206 02

0,15

x 1

1,4035 5,5071 24,194 3,8406 24,194 1,315 1,3832 10,579 -

178

Tabela A.16 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


16 4,2054 1,487 13,957 5,0092 8,9847 6,5646 6,235 5,6382 4,46913 4,2209 1,4417 16,47 4,9741 10,526 6,1698 5,9984 7,0329 4,981410 4,2918 1,5546 20,527 4,8504 12,62 5,6263 5,6096 8,7824 5,39597 4,5098 1,8964 27,307 4,668 14,984 4,8893 4,9248 10,634 5,29925 4,8875 2,371 32,926 4,4841 16,813 4,1416 4,1213 11,4 4,07443 5,6487 3,1953 36,177 4,3412 18,844 2,9628 2,8925 10,827 02

0,15

x 0

,4

6,8405 5,2614 26,18 4,4616 26,18 1,5551 1,4822 9,1437 -16 1,5786 2,5169 14,191 5,146 8,4668 6,3909 7,2243 4,9703 5,587213 1,5749 2,5347 16,613 5,0544 9,9163 5,9814 6,7864 6,6304 6,449510 1,5846 2,6845 20,433 4,8622 11,794 5,4122 6,1597 8,9034 7,14517 1,6329 2,908 26,479 4,5947 13,669 4,6284 5,1971 11,539 7,0325 1,7264 3,151 30,866 4,3404 14,89 3,864 4,2065 12,781 5,3633 1,9248 3,6501 32,309 4,12 15,923 2,739 2,8722 11,951 02

0,15

x 0

,7

2,2877 5,5938 22,315 4,1491 22,315 1,4823 1,5151 10,11 -16 1,0421 3,7147 14,513 4,9869 8,6006 5,3692 7,2774 3,0083 5,699513 1,0389 3,61 17,034 4,9101 10,068 5,1753 6,812 4,6308 6,931910 1,041 3,6093 20,958 4,7289 11,964 4,859 6,1701 7,0999 8,05357 1,0615 3,5633 27,083 4,4601 13,852 4,3055 5,2115 10,412 8,18085 1,1052 3,5659 31,534 4,195 15,145 3,6496 4,2253 12,522 6,3343 1,207 3,7082 33,435 3,9569 16,61 2,6367 2,9211 12,417 02

0,15

x 1

1,4303 5,5453 24,439 3,9477 24,439 1,4975 1,6207 10,875 -

Tabela A.17 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


16 4,3547 1,3087 13,979 5,3341 9,0437 5,6482 5,9304 4,555 3,940413 4,3749 1,2143 16,506 5,3107 10,612 5,2991 5,6673 5,8864 4,516610 4,4469 1,2363 20,595 5,1905 12,756 4,8506 5,2603 7,6447 5,03417 4,6632 1,3708 27,455 5,0091 15,227 4,2796 4,5909 9,593 5,07525 5,0419 1,6445 33,196 4,8373 17,197 3,6733 3,8271 10,405 3,91393 5,8199 2,1943 36,723 4,739 19,505 2,5947 2,623 9,3714 02

0,15

x 0

,4

7,072 3,8624 27 4,9928 27 1,1913 1,1842 7,6786 -16 1,8144 3,5348 14,466 5,6171 8,9655 4,2493 6,8939 3,2151 5,461213 1,8124 3,3123 17,115 5,5576 10,556 4,0445 6,3952 5,0593 6,663810 1,8222 3,086 21,337 5,404 12,67 3,8036 5,7288 7,7911 7,73757 1,8729 2,6026 28,17 5,1813 14,98 3,5247 4,8178 11,162 7,92415 1,9777 2,2761 33,509 4,9738 16,744 3,1763 3,9548 12,963 6,21993 2,2161 2,04 36,387 4,8225 18,952 2,3684 2,7344 12,062 02

0,15

x 0

,7

2,679 3,5843 27,282 5,0382 27,282 1,213 1,3745 10,054 -16 1,2409 5,7162 15,637 5,5515 9,5881 2,3677 6,8175 0,97453 6,064713 1,2445 5,1098 18,744 5,5579 11,322 2,5704 6,319 2,8873 7,819210 1,2538 4,4545 23,642 5,4703 13,659 2,8568 5,7215 6,0267 9,48347 1,2855 3,4141 31,535 5,2855 16,264 3,1398 4,9622 10,434 9,92495 1,3461 2,7397 37,932 5,0793 18,378 3,0996 4,2084 13,521 7,8733 1,492 2,0999 42,308 4,8996 21,559 2,4988 3,06 14,063 02

0,15

x 1

1,8159 3,6281 34,253 5,074 34,253 1,4329 1,7117 12,832 -

179

Tabela A.18 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


16 4,4634 0,91808 13,999 5,6749 9,0977 5,7527 6,1789 4,7698 4,25513 4,4755 0,8303 16,54 5,625 10,666 5,4339 5,9227 6,1187 4,833410 4,5377 0,84985 20,652 5,4746 12,811 5,0172 5,5212 7,8993 5,33637 4,7428 0,98223 27,548 5,2589 15,281 4,4822 4,8602 9,8764 5,33495 5,1125 1,2631 33,32 5,0613 17,251 3,9067 4,1107 10,721 4,11153 5,8823 1,8124 36,862 4,9391 19,554 2,8753 2,9392 9,7389 02

0,15

x 0

,4

7,1305 3,4441 27,095 5,1728 27,095 1,536 1,5436 7,9099 -16 1,9218 3,3614 14,592 5,9615 9,1022 4,2033 7,1372 3,2413 5,771813 1,9113 3,1028 17,296 5,8823 10,706 4,0611 6,639 5,1228 6,985610 1,9121 2,8232 21,602 5,7086 12,842 3,8904 5,9784 7,9034 8,03917 1,9538 2,3039 28,567 5,4619 15,178 3,6882 5,0865 11,322 8,15425 2,0522 1,9728 34,021 5,235 16,963 3,3937 4,2501 13,166 6,3683 2,2855 1,7831 36,98 5,0626 19,197 2,6392 3,0685 12,353 02

0,15

x 0

,7

2,746 3,2849 27,732 5,2563 27,732 1,5378 1,7432 10,309 -16 1,3218 5,6359 15,916 5,8683 9,7751 2,2432 7,0092 0,78392 6,26913 1,3204 4,9729 19,115 5,8657 11,534 2,53 6,5211 2,7281 8,053710 1,3243 4,2486 24,148 5,7673 13,909 2,9123 5,946 5,9222 9,72537 1,3503 3,1765 32,247 5,5637 16,557 3,2939 5,2253 10,412 10,1215 1,4067 2,506 38,813 5,3395 18,699 3,3105 4,5036 13,589 7,99243 1,5493 1,9833 43,29 5,1398 21,899 2,7476 3,3838 14,304 02

0,15

x 1

1,8727 3,5262 34,977 5,2924 34,977 1,7041 2,046 13,153 -

Tabela A.19 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


16 4,3964 1,2212 13,982 5,4427 9,0514 5,4637 5,8998 4,3304 3,859913 4,4167 1,1192 16,508 5,4181 10,622 5,1238 5,631 5,6471 4,447410 4,4878 1,1204 20,597 5,2936 12,773 4,6975 5,2217 7,4136 4,98197 4,7021 1,2081 27,463 5,1065 15,262 4,1681 4,5615 9,4058 5,04985 5,0796 1,4312 33,217 4,9328 17,261 3,5977 3,8129 10,262 3,90333 5,8587 1,8953 36,775 4,8394 19,631 2,5454 2,6203 9,1496 02

0,15

x 0

,4

7,1209 3,4223 27,087 5,117 27,087 1,1445 1,1746 7,4122 -16 1,8771 3,7897 14,509 5,7526 9,0869 3,7426 6,8525 2,8058 5,464113 1,8743 3,502 17,207 5,6964 10,71 3,5809 6,3345 4,7136 6,74910 1,8827 3,1692 21,522 5,5478 12,877 3,4144 5,6545 7,5908 7,90157 1,9326 2,5075 28,541 5,3315 15,286 3,2582 4,7569 11,181 8,13615 2,039 2,0425 34,112 5,1308 17,176 3,017 3,9314 13,149 6,42133 2,2855 1,6243 37,331 4,9877 19,697 2,2966 2,7502 12,304 02

0,15

x 0

,7

2,7716 3,0239 28,497 5,2343 28,497 1,1752 1,3993 10,261 -16 1,2927 6,203 15,904 5,7108 9,822 1,6404 6,7134 0,54712 6,182613 1,2971 5,462 19,154 5,7357 11,616 1,9252 6,1986 2,5555 8,057410 1,3075 4,632 24,288 5,6691 14,052 2,3465 5,6064 5,889 9,82957 1,341 3,3565 32,605 5,502 16,818 2,8296 4,897 10,585 10,3085 1,4049 2,532 39,471 5,3073 19,117 2,9468 4,2076 13,907 8,1973 1,5606 1,7357 44,448 5,1392 22,702 2,461 3,1122 14,654 02

0,15

x 1

1,9101 3,1782 36,72 5,3545 36,72 1,4228 1,766 13,605 -

180

Tabela A.20 - Resultados das análises das lajes de 13 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


16 4,5171 0,79805 14,004 5,8182 9,1049 5,553 6,1656 4,5475 4,207313 4,5282 0,7019 16,544 5,7635 10,676 5,2521 5,9053 5,8875 4,801610 4,5881 0,69911 20,655 5,6043 12,828 4,8674 5,5029 7,6857 5,32437 4,7896 0,77716 27,557 5,3784 15,318 4,3846 4,8531 9,7196 5,355 5,1568 1,0044 33,343 5,1754 17,316 3,853 4,1215 10,622 4,13713 5,9261 1,4385 36,913 5,0539 19,681 2,8582 2,9666 9,5747 02

0,15

x 0

,4

7,1832 2,9411 27,168 5,3059 27,168 1,5376 1,5727 7,6681 -16 1,9972 3,6384 14,648 6,1306 9,2439 3,6421 7,1081 2,815 5,817213 1,9848 3,3 17,413 6,0532 10,883 3,5568 6,5889 4,7751 7,120410 1,983 2,8984 21,825 5,8833 13,077 3,4766 5,9139 7,7202 8,25297 2,0229 2,1823 29 5,6418 15,521 3,4159 5,0376 11,375 8,40675 2,1224 1,7074 34,707 5,4201 17,441 3,2425 4,243 13,392 6,59913 2,3633 1,3121 38,023 5,2531 20,003 2,5885 3,1069 12,643 02

0,15

x 0

,7

2,8467 2,6616 29,031 5,474 29,031 1,5369 1,7993 10,545 -16 1,3822 6,153 16,228 6,0595 10,038 1,4508 6,9047 0,32809 6,418413 1,3812 5,3372 19,588 6,0767 11,861 1,8356 6,4007 2,3783 8,329910 1,3857 4,4207 24,88 6,0004 14,344 2,372 5,834 5,7809 10,1117 1,4133 3,0976 33,441 5,8144 17,164 2,9755 5,17 10,573 10,5355 1,4729 2,2731 40,508 5,6007 19,5 3,1638 4,5186 13,991 8,33723 1,6255 1,5856 45,606 5,4107 23,118 2,7255 3,4559 14,914 02

0,15

x 1

1,975 3,0296 37,586 5,6042 37,586 1,7163 2,1228 13,939 -

181

Anexo B - Resultados das Lajes Nervuradas de 26 de Altura

B.1. Laje Nervurada Quadrada

Tabela B.1 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 26 cm de altura: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I



Myx – NP Mxy - NSNS VB (m)



Mx – NP(kNm)


12 0,353 7,1772 7,0765 4,2099 4,8188 2,296 1,5487 2,4392 1,810110 0,3477 6,9126 8,063 4,1245 5,4768 2,2731 1,5579 2,7357 1,93757 0,361 6,8182 10,061 3,9811 6,9381 1,9788 1,4073 3,4014 1,96825 0,3853 6,9146 11,926 3,8527 8,6689 1,5353 1,15 3,9595 1,64963 0,4393 7,0119 14,595 3,8241 12,107 0,93334 0,71317 4,6556 02

0,15

x 0

,4

0,5239 8,2306 16,151 4,4648 16,151 0,50093 0,35562 3,9285 -12 0,1522 6,3201 5,9205 4,283 5,2833 3,845 2,9599 3,6218 2,700410 0,1511 6,1472 6,9416 4,1898 5,8987 3,6708 2,8851 4,1035 3,00297 0,1584 5,9731 8,8775 4,0088 7,1162 2,9766 2,4084 5,1328 3,06225 0,1708 5,9022 10,337 3,8376 8,3109 2,2696 1,8358 5,7057 2,46933 0,1988 5,7784 12,097 3,7529 10,379 1,3225 1,0487 6,0222 02

0,15

x 0

,7

0,2399 7,085 12,872 4,4384 12,872 0,62844 0,45183 5,2569 -12 0,0994 6,8429 6,6503 4,4734 5,3661 4,2238 3,8855 4,1917 3,628410 0,0986 6,6603 7,7472 4,3249 6,0181 3,9469 3,7456 4,7854 4,0767 0,1029 6,2623 9,757 4,0739 7,277 3,1942 3,0856 6,2914 4,19785 0,1109 5,8571 11,241 3,855 8,5038 2,5001 2,3681 7,071 3,37173 0,1312 5,2675 12,93 3,7662 10,572 1,5913 1,4502 6,9853 02

0,15

x 1

0,1622 6,5087 13,5 4,1795 13,5 0,86082 0,74737 6,0258 -

Tabela B.2 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 26 cm de altura: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I



Myx – NP Mxy - NSNS VB (m)



Mx – NP(kNm)


12 0,3506 7,2808 7,2322 3,9791 4,5323 2,1686 1,4315 1,9573 1,39110 0,3455 7,0017 8,1908 3,9349 5,2133 2,1563 1,4507 2,3048 1,58077 0,359 6,9003 10,118 3,8318 6,6893 1,8245 1,2965 3,0346 1,70425 0,3836 6,9911 11,916 3,7259 8,4321 1,4085 1,0379 3,6766 1,48723 0,438 7,0147 14,503 3,7354 11,9 0,82783 0,61851 4,6061 02

0,15

x 0

,4

0,5231 8,3353 16,035 4,4383 16,035 0,42702 0,2876 4,0219 -12 0,157 6,3195 5,8742 4,4434 5,4991 3,9092 3,0483 3,9386 3,026910 0,1558 6,1357 6,9093 4,3472 6,1304 3,7421 2,9814 4,4405 3,33987 0,1628 5,9337 8,8812 4,1631 7,3709 3,0816 2,5266 5,5256 3,37875 0,1751 5,8397 10,454 3,9943 8,591 2,4062 1,9749 6,1547 2,71953 0,2033 5,6682 12,348 3,9264 10,722 1,5015 1,2205 6,5359 02

0,15

x 0

,7

0,2442 6,9889 13,207 4,5167 13,207 0,83472 0,64617 5,6437 -12 0,1046 6,9145 6,6571 4,6646 5,6244 4,2951 4,0159 4,5522 4,028310 0,1036 6,709 7,7783 4,5059 6,2877 4,021 3,8787 5,1571 4,4777 0,1073 6,2638 9,8765 4,2411 7,5695 3,3094 3,2343 6,7223 4,55975 0,1152 5,8237 11,444 4,025 8,8251 2,6509 2,5336 7,5519 3,64693 0,1356 5,1934 13,261 3,9489 10,962 1,7836 1,6435 7,505 02

0,15

x 1

0,1665 6,4231 13,891 4,2565 13,891 1,0782 0,95928 6,4173 -

182

Tabela B.3 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 26 cm de altura: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


12 0,3517 7,2628 7,2265 4,0112 4,5337 2,4943 1,647 2,7486 1,987810 0,346 6,8864 8,2028 3,9333 5,1806 2,4566 1,6497 3,0431 2,09617 0,3588 6,9283 10,139 3,77 6,5771 2,0934 1,4902 3,7107 2,0975 0,3827 7,0498 11,889 3,6211 8,277 1,6428 1,2184 4,2644 1,74163 0,4364 7,1486 14,342 3,5978 11,651 0,99455 0,75582 4,9106 02

0,15

x 0

,4

0,5213 8,3675 15,799 4,2943 15,799 0,53556 0,38111 4,0436 -12 0,1607 6,3836 5,9614 4,4935 5,5977 3,6307 2,9355 3,3718 2,636510 0,1604 6,2007 7,0216 4,4235 6,2728 3,4393 2,8594 3,8228 2,95367 0,1691 5,9527 9,1408 4,3149 7,6238 2,8097 2,4009 4,8723 3,03985 0,1837 5,764 10,946 4,2378 8,9977 2,1757 1,8541 5,4411 2,44433 0,2172 5,4361 13,339 4,3653 11,512 1,2996 1,0938 5,5468 02

0,15

x 0

,7

0,2672 6,6077 14,75 5,1197 14,75 0,61204 0,48794 4,8014 -12 0,1108 7,2036 7,0583 4,8618 5,8704 3,9578 4,0477 3,9137 3,750810 0,1101 6,9953 8,2657 4,7218 6,6012 3,6527 3,9054 4,5202 4,27327 0,115 6,4269 10,739 4,5476 8,0441 3,0363 3,2711 6,2742 4,48655 0,1248 5,7861 12,763 4,4527 9,5332 2,479 2,5873 7,245 3,63413 0,1509 4,8035 15,347 4,6605 12,292 1,6928 1,6936 7,0203 02

0,15

x 1

0,193 5,9132 16,669 5,0461 16,669 0,97327 0,9526 6,0124 -

Tabela B.4 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 26 cm de altura: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


12 0,3481 7,419 7,4644 3,6565 4,0862 2,3384 1,4993 2,0931 1,442610 0,3426 7,1354 8,4002 3,637 4,7635 2,3107 1,5131 2,4525 1,63157 0,3556 7,0591 10,225 3,5277 6,1756 1,9259 1,3435 3,2028 1,75185 0,3799 7,1761 11,861 3,4096 7,8622 1,4645 1,0657 3,8637 1,5273 0,4342 7,1825 14,179 3,4453 11,317 0,84176 0,62446 4,8047 02

0,15

x 0

,4

0,52 8,5162 15,609 4,2401 15,609 0,42963 0,28801 4,1313 -12 0,168 6,398 5,9126 4,72 5,907 3,692 3,051 3,7703 3,060210 0,1676 6,1989 6,9953 4,648 6,6076 3,5103 2,9863 4,2494 3,39497 0,176 5,9017 9,2272 4,5373 7,9959 2,9384 2,5595 5,3816 3,46055 0,1904 5,6699 11,157 4,474 9,4129 2,3569 2,043 6,031 2,78063 0,2244 5,254 13,76 4,637 12,035 1,5477 1,3286 6,2112 02

0,15

x 0

,7

0,2745 6,4602 15,296 5,2692 15,296 0,90258 0,75306 5,2953 -12 0,1184 7,3411 7,1125 5,1297 6,2323 4,0302 4,2352 4,3652 4,282210 0,1172 7,0971 8,3578 4,9752 6,9799 3,7278 4,0951 4,9911 4,81217 0,1214 6,4445 10,966 4,7856 8,4545 3,1783 3,4783 6,844 4,97865 0,1309 5,7403 13,117 4,6988 9,9874 2,6769 2,8143 7,8954 4,01223 0,1575 4,6626 15,889 4,9376 12,866 1,9542 1,9554 7,7246 02

0,15

x 1

0,1998 5,7767 17,299 5,1953 17,299 1,2758 1,2386 6,543 -

183

Tabela B.5 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 26 cm de altura: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


12 0,3515 7,2779 7,2533 3,9777 4,4848 2,5297 1,6645 2,8035 2,017610 0,3457 7,0144 8,2283 3,9007 5,1293 2,4896 1,6662 3,0982 2,12297 0,3584 6,9484 10,156 3,7327 6,5129 2,1196 1,5053 3,7668 2,11865 0,3823 7,0751 11,886 3,5788 8,1723 1,6626 1,2312 4,3201 1,7573 0,4359 7,1734 14,299 3,5548 11,567 1,0062 0,76417 4,9574 02

0,15

x 0

,4

0,5208 8,397 15,735 4,2615 15,735 0,54237 0,38636 4,0631 -12 0,1621 6,3917 5,9663 4,5272 5,6484 3,5952 2,9301 3,3305 2,624610 0,1619 6,2073 7,0326 4,4612 6,3336 3,4006 2,8537 3,7758 2,94357 0,171 5,9474 9,1885 4,3651 7,7084 2,7817 2,3988 4,8273 3,03345 0,1859 5,7389 11,048 4,3055 9,1147 2,1601 1,8572 5,3949 2,4383 0,2205 5,3719 13,556 4,4738 11,712 1,2963 1,1025 5,4639 02

0,15

x 0

,7

0,2722 6,5192 15,089 5,2444 15,089 0,6098 0,49521 4,7225 -12 0,1126 7,2583 7,1239 4,924 5,9509 3,9128 4,0716 3,8678 3,76810 0,112 7,0465 8,3495 4,7857 6,6948 3,603 3,9291 4,4762 4,30197 0,117 6,4513 10,902 4,625 8,1685 3,0094 3,3007 6,271 4,52935 0,1271 5,7719 13,022 4,5524 9,7026 2,4755 2,6244 7,2755 3,67413 0,1544 4,7186 15,77 4,8166 12,589 1,7107 1,7373 7,0342 02

0,15

x 1

0,1987 5,8009 17,336 5,2027 17,336 0,994 0,99124 6,0193 -

Tabela B.6 - Resultados das análises das lajes nervuradas quadradas de 26 cm de altura: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


16 0,3477 7,4447 7,508 3,5988 4,0049 2,3701 1,5128 2,1187 1,453310 0,3421 7,1605 8,4402 3,5831 4,6812 2,3396 1,5257 2,4807 1,6427 0,355 7,0893 10,248 3,4712 6,0796 1,9448 1,3531 3,2357 1,76155 0,3792 7,2119 11,856 3,3493 7,7542 1,475 1,0716 3,901 1,53483 0,4335 7,2125 14,122 3,3882 11,206 0,84451 0,62608 4,8451 02

0,15

x 0

,4

0,5194 8,5586 15,528 4,201 15,528 0,43032 0,28856 4,154 -16 0,1698 6,4085 5,9169 4,7658 5,9751 3,6547 3,0496 3,7414 3,063710 0,1696 6,207 7,0073 4,6983 6,6879 3,4703 2,9852 4,2162 3,40137 0,1782 5,8942 9,284 4,6012 8,1032 2,9139 2,5642 5,3554 3,47095 0,1931 5,6386 11,277 4,5579 9,5568 2,349 2,055 6,0082 2,78853 0,2283 5,1748 14,012 4,7657 12,273 1,5571 1,349 6,1542 02

0,15

x 0

,7

0,2801 6,3608 15,68 5,409 15,68 0,91621 0,77375 5,2355 -16 0,1206 7,4076 7,1874 5,2059 6,3317 3,9842 4,2687 4,3332 4,32110 0,1195 7,1579 8,4535 5,0524 7,0934 3,6772 4,1284 4,9626 4,86367 0,1238 6,4719 11,15 4,8763 8,6008 3,1555 3,5181 6,8641 5,04325 0,1336 5,7238 13,405 4,8131 10,182 2,6813 2,8624 7,9554 4,06983 0,1614 4,5642 16,355 5,1126 13,199 1,9844 2,0119 7,7725 02

0,15

x 1

0,206 5,6532 17,932 5,3671 17,932 1,3127 1,2915 6,577 -

184

B.2. Laje Nervurada Retangular (Lx/Ly = 1,5)

Tabela B.7 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


12 1,0721 9,4885 15,584 3,5171 12,268 3,7176 2,811 4,1349 2,993210 1,0733 8,9475 17,828 3,6287 13,866 3,7116 2,8583 4,6185 3,18917 1,1426 8,5906 22,963 3,7636 17,497 3,3581 2,727 5,7579 3,23355 1,2488 8,5885 28,465 3,8621 21,667 2,8607 2,4124 6,7098 2,67773 1,4772 8,6504 36,455 4,0914 29,686 2,0038 1,7344 7,6285 02

0,15

x 0

,4

1,8203 10,238 39,947 4,7191 39,947 1,1714 0,98475 6,2703 -12 0,4338 5,68 14,253 6,6131 9,3086 6,5412 5,7799 6,066 4,083610 0,4281 5,4363 16,42 6,5174 10,425 6,2612 5,6171 6,7814 4,48417 0,4423 5,289 20,653 6,3784 12,465 5,2781 4,8245 8,3436 4,48055 0,4719 5,3443 24,075 6,2306 14,312 4,2604 3,8839 9,106 3,50463 0,5393 5,5689 26,129 6,2261 17,176 2,7338 2,4556 8,9844 02

0,15

x 0

,7

0,6424 7,2469 22,955 6,6905 22,955 1,3826 1,1903 7,4313 -12 0,2623 6,3208 14,944 7,238 8,8541 7,0673 7,1703 6,8755 5,490810 0,258 6,1237 17,131 7,0101 9,9718 6,6053 6,8543 7,727 6,08457 0,2629 5,7637 21,288 6,731 11,874 5,4953 5,7255 9,9072 6,12945 0,277 5,4553 24,372 6,4848 13,474 4,4629 4,5384 10,896 4,78663 0,3134 5,1083 25,622 6,3843 15,772 2,9643 2,8999 10,205 02

0,15

x 1

0,3753 6,7067 21,715 6,7733 21,715 1,607 1,5209 8,3817 -

Tabela B.8 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


12 1,0683 10,009 15,687 2,9484 12,026 3,4535 2,542 3,2343 2,216810 1,0694 9,3816 17,907 3,1659 13,648 3,4672 2,6119 3,8056 2,52277 1,139 8,9368 22,984 3,4207 17,31 3,1089 2,4881 5,0716 2,74775 1,2457 8,8797 28,436 3,5902 21,501 2,6104 2,1785 6,1729 2,37913 1,4747 8,7869 36,366 3,8959 29,541 1,7797 1,5258 7,4475 02

0,15

x 0

,4

1,8185 10,507 39,836 4,5788 39,836 0,98817 0,81131 6,3412 -12 0,4428 5,4996 14,258 6,9134 9,4597 6,6337 5,9262 6,4379 4,463910 0,4368 5,2517 16,438 6,8006 10,583 6,3614 5,7707 7,1671 4,86387 0,4498 5,0984 20,721 6,624 12,629 5,4099 4,9928 8,7654 4,81735 0,4786 5,1697 24,194 6,4516 14,481 4,4206 4,0668 9,564 3,75933 0,5454 5,3538 26,313 6,4288 17,363 2,9326 2,6643 9,4836 02

0,15

x 0

,7

0,648 7,0416 23,163 6,885 23,163 1,6123 1,4226 7,8036 -12 0,2736 6,2125 15,025 7,5986 9,0732 7,1708 7,3818 7,3159 5,985110 0,2683 5,998 17,236 7,3408 10,197 6,7116 7,064 8,1656 6,56017 0,2716 5,6063 21,478 7,0167 12,111 5,6483 5,9443 10,379 6,5275 0,2847 5,2785 24,639 6,7438 13,723 4,6543 4,7703 11,394 5,07043 0,3203 4,9255 25,965 6,6212 16,047 3,1969 3,1548 10,716 02

0,15

x 1

0,3817 6,5 22,042 7,002 22,042 1,8671 1,7937 8,7601 -

185

Tabela B.9 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


12 1,0726 9,9196 15,629 3,0421 12,134 4,0684 2,9717 4,7108 3,336210 1,0727 9,3596 17,864 3,1881 13,737 4,0369 3,0088 5,1977 3,50297 1,1412 9,0292 22,981 3,333 17,363 3,6129 2,8632 6,3449 3,4945 1,2471 9,0612 28,451 3,4376 21,528 3,0535 2,5281 7,3032 2,86813 1,475 9,1221 36,362 3,6915 29,54 2,1245 1,8142 8,189 02

0,15

x 0

,4

1,8175 10,726 39,772 4,3755 39,772 1,2521 1,0407 6,5967 -12 0,4473 5,5578 14,293 6,9626 9,4731 6,2527 5,7372 5,6863 3,941610 0,4423 5,2887 16,481 6,8806 10,616 5,9541 5,5692 6,3534 4,34747 0,4572 5,0431 20,81 6,7457 12,724 5,0412 4,7836 7,9093 4,375 0,4877 4,9824 24,37 6,6444 14,659 4,104 3,8654 8,6491 3,4073 0,5582 4,9664 26,705 6,7236 17,707 2,6606 2,4683 8,2827 02

0,15

x 0

,7

0,6682 6,4103 23,758 7,3146 23,758 1,3323 1,206 6,7376 -12 0,2848 6,5805 15,217 7,7825 9,2865 6,528 7,238 6,3208 5,514510 0,2802 6,3284 17,488 7,5454 10,471 6,0313 6,9087 7,1735 6,18847 0,285 5,707 22,006 7,2874 12,565 5,0978 5,7945 9,5943 6,34885 0,3 5,0755 25,552 7,0774 14,42 4,2535 4,6521 10,756 5,00543 0,3409 4,2386 27,566 7,0805 17,28 2,9391 3,0666 9,8452 02

0,15

x 1

0,4131 5,5927 24,138 7,6358 24,138 1,637 1,6757 7,9355 -

Tabela B.10 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


12 1,0679 10,673 15,761 2,2192 11,811 3,7438 2,6364 3,5185 2,350910 1,0677 9,9927 17,964 2,5136 13,448 3,7315 2,6993 4,1161 2,65887 1,1366 9,5435 23,005 2,8266 17,116 3,2834 2,5561 5,4294 2,8825 1,243 9,501 28,41 3,0337 21,309 2,7122 2,2222 6,5818 2,49223 1,4716 9,3575 36,242 3,4013 29,352 1,8132 1,5381 7,9216 02

0,15

x 0

,4

1,8151 11,112 39,623 4,1717 39,623 0,99889 0,81246 6,6597 -12 0,4599 5,332 14,309 7,3652 9,6671 6,3371 5,914 6,1366 4,424210 0,4544 5,055 16,514 7,2608 10,819 6,0502 5,7558 6,823 4,83317 0,4676 4,7894 20,91 7,0947 12,936 5,1924 4,991 8,4345 4,8075 0,4969 4,7138 24,537 6,9414 14,881 4,3023 4,0933 9,2263 3,74143 0,5666 4,6497 26,958 6,9967 17,956 2,9178 2,7308 8,903 02

0,15

x 0

,7

0,6762 6,1304 24,04 7,5745 24,04 1,6355 1,4991 7,1911 -12 0,3005 6,4928 15,349 8,2624 9,5824 6,6092 7,5067 6,8623 6,167910 0,2945 6,2093 17,653 7,9835 10,776 6,1175 7,1735 7,7203 6,82487 0,2969 5,517 22,292 7,665 12,89 5,2657 6,0696 10,211 6,88915 0,3106 4,8411 25,947 7,419 14,767 4,4862 4,944 11,42 5,39563 0,3504 3,9504 28,068 7,3934 17,677 3,2374 3,3877 10,526 02

0,15

x 1

0,4221 5,305 24,614 7,9368 24,614 1,9797 2,0198 8,4338 -

186

Tabela B.11 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


12 1,0728 9,9891 15,635 2,9655 12,117 4,1289 2,9995 4,8087 3,39110 1,0727 9,4266 17,868 3,1166 13,721 4,0932 3,035 5,297 3,5537 1,1412 9,1016 22,983 3,2615 17,347 3,6572 2,8872 6,4457 3,53515 1,247 9,1412 28,45 3,3662 21,513 3,0872 2,5486 7,4046 2,89753 1,4749 9,2005 36,35 3,6219 29,523 2,1461 1,829 8,2839 02

0,15

x 0

,4

1,8173 10,817 39,75 4,3161 39,75 1,2667 1,0514 6,6478 -12 0,4493 5,5377 14,297 7,0152 9,4963 6,2086 5,73 5,6278 3,918910 0,4444 5,2648 16,487 6,9356 10,642 5,907 5,561 6,2869 4,32477 0,4594 5,003 20,826 6,8224 12,762 5,0052 4,7775 7,8415 4,35085 0,4901 4,9216 24,408 6,708 14,708 4,0805 3,8634 8,5781 3,39023 0,5611 4,8655 26,774 6,7992 17,78 2,6504 2,4722 8,1752 02

0,15

x 0

,7

0,6723 6,2724 23,86 7,4127 23,86 1,3253 1,21 6,632 -12 0,2882 6,6194 15,253 7,8643 9,3511 6,4441 7,2465 6,2337 5,514910 0,2835 6,3594 17,536 7,6257 10,545 5,9419 6,9155 7,0868 6,20047 0,2883 5,6962 22,102 7,3683 12,676 5,0362 5,8053 9,547 6,3785 0,3035 5,0152 25,725 7,1662 14,565 4,2211 4,6713 10,738 5,03563 0,3452 4,0942 27,846 7,1809 17,529 2,9361 3,096 9,801 02

0,15

x 1

0,4191 5,4063 24,503 7,7672 24,503 1,6426 1,7032 7,8749 -

Tabela B.12 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 1,5: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


16 1,068 10,785 15,771 2,0963 11,781 3,7952 2,6548 3,569 2,375910 1,0675 10,096 17,971 2,4033 13,421 3,7783 2,7165 4,1718 2,6847 1,1363 9,6472 23,009 2,724 17,09 3,3139 2,5695 5,4946 2,90645 1,2426 9,609 28,408 2,9372 21,287 2,7292 2,2309 6,6567 2,51213 1,4714 9,4518 36,225 3,3123 29,328 1,8191 1,5412 8,0091 02

0,15

x 0

,4

1,8147 11,232 39,594 4,0996 39,594 1,0009 0,8135 6,7182 -16 0,4625 5,3041 14,315 7,4351 9,6972 6,2908 5,911 6,0889 4,416210 0,4571 5,0227 16,523 7,3322 10,853 6,0014 5,7523 6,7682 4,82597 0,4704 4,7386 20,932 7,1667 12,982 5,1591 4,9908 8,3818 4,80245 0,4998 4,6405 24,583 7,018 14,938 4,2849 4,0985 9,1735 3,73653 0,5699 4,5303 27,039 7,0837 18,039 2,9172 2,7435 8,8147 02

0,15

x 0

,7

0,6806 5,9796 24,153 7,6833 24,153 1,6409 1,5133 7,0991 -16 0,3046 6,5358 15,393 8,3641 9,6599 6,5201 7,524 6,7892 6,192710 0,2986 6,242 17,711 8,0818 10,864 6,0233 7,1888 7,6492 6,86177 0,3008 5,5011 22,405 7,7614 13,014 5,2056 6,0893 10,186 6,94045 0,3146 4,7712 26,142 7,5217 14,928 4,4601 4,9728 11,429 5,44263 0,3551 3,787 28,375 7,5062 17,945 3,245 3,428 10,51 02

0,15

x 1

0,4287 5,104 25,012 8,0821 25,012 1,9996 2,0595 8,3947 -

187

B.3. Laje Nervurada Retangular (Lx/Ly = 2)

Tabela B.13 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


12 2,868 10,973 26,495 3,1476 23,03 5,4811 4,1014 5,3013 3,945910 2,8849 10,225 30,34 3,3726 26,024 5,525 4,2157 5,9876 4,23757 3,0833 9,5694 39,694 3,6981 32,953 5,1344 4,2027 7,645 4,4145 3,3709 9,3994 50,527 3,9288 40,828 4,5436 3,9224 9,1545 3,74333 3,9966 9,4463 67,593 4,2521 55,571 3,4391 3,0986 10,684 02

0,15

x 0

,4

5,005 11,181 74,834 4,7647 74,834 2,1362 1,9073 8,5602 -12 1,0164 3,1642 24,146 8,3167 16,061 10,485 8,8852 7,6847 5,19210 0,9962 3,0869 27,747 8,1458 18,142 10,109 8,653 8,7765 5,77277 1,0192 3,4294 35,442 7,8458 22,072 8,6743 7,6898 11,159 5,97145 1,0804 3,827 42,616 7,5579 25,611 7,1818 6,4838 12,526 4,78373 1,2304 4,5268 48,219 7,3337 30,543 4,8909 4,4528 12,42 02

0,15

x 0

,7

1,4745 6,3851 40,732 7,5955 40,732 2,6329 2,3651 9,6615 -12 0,5175 3,5467 24,416 9,3526 14,765 11,853 10,738 8,7058 6,722410 0,5056 3,7968 27,909 8,9756 16,745 11,209 10,272 9,9496 7,51567 0,5108 4,0877 35,028 8,477 20,158 9,3588 8,8099 12,938 7,75625 0,5347 4,2143 41,05 8,0412 22,872 7,6098 7,2161 14,468 6,13523 0,5983 4,3061 44,055 7,6784 26,017 5,1171 4,8239 13,543 02

0,15

x 1

0,7096 6,0764 34,733 7,864 34,733 2,7899 2,5959 10,408 -

Tabela B.14 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio I






Mx – NP(kNm)


12 2,8678 11,781 26,486 2,5105 22,991 5,0973 3,6986 3,9211 2,75710 2,8837 10,896 30,323 2,862 26 5,1687 3,8477 4,7223 3,20127 3,0818 10,088 39,669 3,3415 32,958 4,7703 3,8513 6,5361 3,64095 3,3694 9,8231 50,507 3,6618 40,847 4,1772 3,5813 8,2283 3,25463 3,9953 9,6948 67,586 4,0658 55,594 3,1012 2,7843 10,201 02

0,15

x 0

,4

5,004 11,542 74,828 4,6241 74,828 1,8401 1,6307 8,4399 -12 1,0249 2,9364 24,162 8,593 16,123 10,596 9,0454 8,0291 5,541110 1,0042 2,9592 27,771 8,381 18,202 10,228 8,8184 9,1337 6,12287 1,0258 3,2168 35,488 8,0544 22,124 8,8143 7,8611 11,539 6,28185 1,0858 3,6266 42,678 7,7308 25,654 7,3404 6,6616 12,934 5,02023 1,2347 4,3396 48,284 7,4713 30,573 5,0778 4,6471 12,88 02

0,15

x 0

,7

1,4782 6,2049 40,784 7,7137 40,784 2,8484 2,5794 10,019 -12 0,5293 3,3605 24,485 9,7082 14,874 12,001 10,966 9,1715 7,210310 0,5162 3,4607 27,993 9,295 16,853 11,357 10,495 10,405 7,97777 0,5193 3,8882 35,159 8,7372 20,263 9,5358 9,0346 13,394 8,13345 0,5417 4,0163 41,218 8,2609 22,974 7,8111 7,448 14,932 6,40223 0,6041 4,1392 44,241 7,8576 26,114 5,3491 5,0734 14,031 02

0,15

x 1

0,7146 5,8873 34,879 8,0197 34,879 3,0495 2,8635 10,785 -

188

Tabela B.15 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


12 2,8759 11,653 26,442 2,6328 23,089 5,9298 4,298 6,0547 4,423310 2,891 10,869 30,282 2,9055 26,101 5,9448 4,4014 6,7492 4,68017 3,0885 10,226 39,66 3,2744 33,08 5,4635 4,3708 8,4196 4,78695 3,3758 10,089 50,547 3,5368 40,999 4,7916 4,065 9,9472 4,01993 4,0012 10,172 67,708 3,8994 55,794 3,5973 3,1984 11,489 02

0,15

x 0

,4

5,0089 11,874 74,998 4,4361 74,998 2,2486 1,9804 9,0797 -12 1,027 3,0364 24,157 8,6024 16,109 10,285 8,8761 7,397 5,072410 1,0072 3,0434 27,763 8,4159 18,194 9,8886 8,6301 8,4393 5,657 1,03 3,2308 35,475 8,1299 22,141 8,4991 7,6496 10,792 5,85975 1,0909 3,538 42,671 7,8355 25,699 7,0676 6,4521 12,125 4,68113 1,241 4,1091 48,319 7,6228 30,657 4,8421 4,4472 11,812 02

0,15

x 0

,7

1,488 5,7528 40,844 7,9452 40,844 2,6029 2,3715 9,0835 -12 0,5387 3,8453 24,47 9,8175 14,993 11,495 10,813 8,27 6,713710 0,5262 4,0567 27,99 9,4253 17,011 10,814 10,321 9,4934 7,56527 0,5304 4,131 35,263 8,9127 20,542 9,074 8,8382 12,617 7,89285 0,5537 3,9672 41,511 8,475 23,412 7,4553 7,2678 14,24 6,26783 0,6186 3,6381 44,945 8,1342 26,892 5,1007 4,9254 13,11 02

0,15

x 1

0,7353 5,2103 35,935 8,4141 35,935 2,8234 2,7073 9,9516 -

Tabela B.16 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e o das vigas de bordo no estádio II






Mx – NP(kNm)


12 2,878 12,747 26,398 1,7902 23,097 5,463 3,8065 4,2368 2,923210 2,8914 11,782 30,231 2,2293 26,131 5,5054 3,9494 5,0747 3,37437 3,088 10,94 39,619 2,8034 33,149 4,9917 3,9296 6,948 3,81635 3,3751 10,677 50,533 3,1878 41,09 4,3048 3,63 8,7088 3,40613 4,0005 10,549 67,738 3,6614 55,891 3,1423 2,7983 10,808 02

0,15

x 0

,4

5,0083 12,341 75,035 4,2623 75,035 1,8529 1,6275 8,8751 -12 1,0376 2,7735 24,178 8,9406 16,175 10,398 9,0618 7,8113 5,505910 1,0172 2,7805 27,791 8,7285 18,259 10,013 8,8222 8,8708 6,08747 1,0382 2,9763 35,526 8,3828 22,198 8,6586 7,8494 11,257 6,2525 1,0975 3,2905 42,739 8,0433 25,745 7,2562 6,6608 12,626 4,98253 1,2462 3,8639 48,387 7,7859 30,685 5,0709 4,6769 12,367 02

0,15

x 0

,7

1,4924 5,5352 40,889 8,0819 40,889 2,8719 2,6272 9,5105 -12 0,5535 3,6745 24,554 10,252 15,129 11,643 11,083 8,842 7,336210 0,5396 3,8679 28,092 9,8143 17,146 10,964 10,585 10,057 8,16047 0,5411 3,9096 35,425 9,2279 20,68 9,2707 9,1021 13,195 8,38435 0,5625 3,7306 41,723 8,7399 23,55 7,6896 7,5395 14,835 6,6183 0,6257 3,4011 45,183 8,348 27,03 5,3796 5,2182 13,733 02

0,15

x 1

0,7414 4,9776 36,121 8,5966 36,121 3,143 3,0229 10,434 -

189

Tabela B.17 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 2: momento de inércia à torção integral das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


12 2,8773 11,76 26,43 2,5562 23,105 6,0051 4,3317 6,1808 4,498710 2,8921 10,971 30,269 2,8359 26,121 6,0156 4,4355 6,8774 4,757 3,0895 10,333 39,653 3,2109 33,109 5,5193 4,4 8,5494 4,8455 3,3769 10,202 50,551 3,4781 41,039 4,8339 4,0897 10,08 4,06213 4,0026 10,294 67,734 3,8442 55,846 3,6247 3,216 11,622 02

0,15

x 0

,4

5,01 11,992 75,041 4,387 75,041 2,2682 1,9934 9,1623 -12 1,0285 3,0185 24,158 8,642 16,113 10,257 8,8749 7,3557 5,055610 1,0087 3,0237 27,764 8,4562 18,199 9,8571 8,6264 8,3901 5,63227 1,0315 3,2034 35,476 8,1694 22,147 8,474 7,6432 10,738 5,84225 1,0923 3,4973 42,673 7,874 25,706 7,0517 6,4473 12,064 4,66473 1,2425 4,047 48,313 7,6597 30,669 4,8363 4,4472 11,72 02

0,15

x 0

,7

1,4897 5,6581 40,836 7,9922 40,836 2,5996 2,3732 8,9965 -12 0,5416 3,8932 24,471 9,8811 15,023 11,444 10,823 8,2062 6,71210 0,5291 4,0997 27,994 9,4865 17,045 10,758 10,328 9,4269 7,57177 0,5331 4,1425 35,286 8,9716 20,593 9,0339 8,8428 12,572 7,9115 0,5564 3,9351 41,563 8,5333 23,484 7,4345 7,2771 14,212 6,28593 0,6213 3,5383 45,04 8,1916 27,035 5,101 4,944 13,057 02

0,15

x 1

0,7388 5,0803 36,081 8,4861 36,081 2,831 2,7274 9,894 -

Tabela B.18 - Resultados das análises das lajes de 26 cm de altura, com Lx/Ly = 2: 1% do momento de inércia à torção das faixas da grelha e desprezando o das vigas de bordo






Mx – NP(kNm)


16 2,8799 12,905 26,379 1,6799 23,125 5,5261 3,8283 4,2902 2,952610 2,8929 11,927 30,211 2,1325 26,164 5,5636 3,9699 5,1348 3,40487 3,0893 11,081 39,608 2,7211 33,194 5,0295 3,945 7,0191 3,84685 3,3764 10,82 50,539 3,1157 41,147 4,3261 3,6395 8,7921 3,43163 4,0021 10,692 67,773 3,5967 55,961 3,149 2,8008 10,913 02

0,15

x 0

,4

5,0095 12,482 75,089 4,208 75,089 1,8549 1,6274 8,9485 -16 1,0393 2,7505 24,179 8,9895 16,18 10,371 9,0641 7,7801 5,501410 1,019 2,7556 27,793 8,7774 18,263 9,9818 8,8221 8,8324 6,08237 1,0399 2,9427 35,528 8,4288 22,203 8,6364 7,8472 11,215 6,24665 1,0991 3,2427 42,741 8,0868 25,751 7,245 6,6608 12,58 4,97583 1,2477 3,7926 48,38 7,8255 30,694 5,072 4,6826 12,291 02

0,15

x 0

,7

1,4942 5,4348 40,877 8,1307 40,877 2,8776 2,6357 9,4348 -16 0,5569 3,7263 24,557 10,327 15,162 11,592 11,1 8,7936 7,354510 0,5429 3,9131 28,098 9,8857 17,185 10,908 10,598 10,006 8,18687 0,5441 3,9187 35,452 9,2947 20,735 9,2335 9,1126 13,169 8,41985 0,5654 3,6932 41,781 8,8047 23,627 7,6738 7,555 14,828 6,64883 0,6285 3,2899 45,286 8,4096 27,178 5,3874 5,2437 13,703 02

0,15

x 1

0,7451 4,8405 36,274 8,6723 36,274 3,1606 3,0508 10,395 -

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Dissertação de Mestrado Comportamento Estrutural de Lajes ...livros01.livrosgratis.com.br/cp061356.pdf · Por meio do estudo paramétrico das lajes nervuradas de concreto armado