Dissertação Flavio.pdf

MINISTRIO DA DEFESA

EXRCITO BRASILEIRO

DEPARTAMENTO DE CINCIA E TECNOLOGIA

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA MECNICA

KLEDSON FLVIO SILVEIRA SANTIAGO

ANLISE DA RESOLUO ESPACIAL DE TERMOS DIFUSIVOS

UTILIZANDO ORDEM DE ERRO E ESTABILIDADE

NUMRICA

Rio de Janeiro2012



ANLISE DA RESOLUO ESPACIAL DE TERMOS DIFUSIVOSUTILIZANDO ORDEM DE ERRO E ESTABILIDADE NUMRICA

Dissertao de Mestrado apresentada ao Curso de Mestradoem Engenharia Mecnica do Instituto Militar de Engenha-ria, como requisito parcial para obteno do ttulo de Mestreem Cincias em Engenharia Mecnica.

Orientador: Prof. Leonardo S. de B. Alves, Ph.D.

Rio de Janeiro2012



ANLISE DA RESOLUO ESPACIAL DE TERMOS DIFUSIVOSUTILIZANDO ORDEM DE ERRO E ESTABILIDADE NUMRICA

Dissertao de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Mecnica doInstituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obteno do ttulo de Mestre emCincias em Engenharia Mecnica.

Orientador: Prof. Leonardo S. de B. Alves, Ph.D.

Aprovada em 19 de setembro de 2012 pela seguinte Banca Examinadora:

Prof. Leonardo S. de B. Alves, Ph.D. da UFF - Presidente

Prof. Rodrigo Otvio de Castro Guedes, Ph.D. do IME

Prof. Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. da UFF

Rio de Janeiro2012

2

Aos meus pais Tiago e Zilda, aos meus irmos Fbio ePricila, e minha namorada Thayza.

3

AGRADECIMENTOS

Agradeo primeiramente a meu Deus que esteve ao meu lado no s nesse mestrado, mas

em toda minha vida. Minha famlia por sempre estar comigo e acreditar em mim. A minha

namorada Thayza que esteve ao meu lado dando-me todo apoio e companheirismo que precisei.

Ao meu orientador professor Leonardo por sua ajuda e ateno. Aos meus amigos de laboratrio

Gabriel, Oberdan, Ricardo, Vanessa, e em especial Renan e Eduardo, que passaram um pouco

de sua experincia pra poder ajudar. E ao Instituto Militar de Engenharia pela oportunidade de

realizao do curso de Mestrado em Engenharia Mecnica.

4

"Juntamente com a Assemblia de Westminster e to-dos que a precederam eu creio que o fim principal dohomem glorificar a Deus e apreci-lo para sempre."

JAMES CLERK MAXWELL

5

SUMRIO

LISTA DE ILUSTRAES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

LISTA DE ABREVIATURAS E SMBOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.1 Reviso Bibliogrfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 MODELAGEM MATEMTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1 Equaes de Governo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.1 Equaes de Navier-Stokes Compressvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.2 Equao do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.3 Modelagem do Termo Difusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Resoluo Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Anlises de Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.1 Ordem Terica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.2 Ordem Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Mtodo da Soluo Manufaturada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 Nmero de Onda Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 RESOLUO ESPACIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1 Mtodo de Diferenas Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.1 Formulaes de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.1.1 Formulao No-Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.1.2 Formulao Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.2 Formulaes de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.2.1 Formulao No-Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.2.2 Formulao Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Mtodo dos Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


3.2.1.1 Formulao Conservativa de Volumes Finitos Tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1.2 Formulao Conservativa de Volumes Finitos SA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6


3.2.2.1 Formulao Conservativa de Volumes Finitos de Zingg & Pulliam . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.2.2 Formulao Conservativa de Volumes Finitos SA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1 Ordem de Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61



4.2 Erro e Estabilidade Numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3 Anlise Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5 CONCLUSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7 APNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.1 APNDICE 1: Formulao No-Conservativa de Diferenas Finitas - 2aordem. . . . 89

7.2 APNDICE 2: Formulao Conservativa de Diferenas Finitas - 2aordem . . . . . . . . 98

7.3 APNDICE 3: Formulao de Volumes Finitos Tradicional - 2aordem . . . . . . . . . . . 107

7.4 APNDICE 4: Formulao Conservativa de Volumes Finitos SA 2(0) . . . . . . . . . . . 115



7.7 APNDICE 7: Formulao No-Conservativa de Diferenas Finitas - 4aordem. . . . 139

7.8 APNDICE 8: Formulao Conservativa de Diferenas Finitas - 4aordem . . . . . . . . 148

7.9 APNDICE 9: Formulao de Volumes Finitos de Zingg & Pullian . . . . . . . . . . . . . 157

7.10 APNDICE 10: Formulao Conservativa de Volumes Finitos SA 4(2) . . . . . . . . . . 165



7.13 APNDICE 13: Erro Numrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7

LISTA DE ILUSTRAES

FIG.2.1 Conditividade Trmica para diferentes valores de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

FIG.2.2 Temperatura para diferentes valores de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

FIG.4.1 Ordem numrica com malha de 101, 201 e 401 pontos. Formulao

Conservativa de Diferenas Finitas de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


Conservativa de Diferenas Finitas de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

FIG.4.5 Ordem numrica com malha de 101, 201 e 401 pontos. Formulao SA

2(0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


2(0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


2(1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


2(1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


2(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


2(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


Conservativa de Diferenas Finitas de Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


Conservativa de Diferenas Finitas de Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

FIG.4.13 Ordem numrica com malha de 101, 201 e 401 pontos. Formulao de

Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

FIG.4.14 Ordem numrica com malha de 201, 401 e 801 pontos. Formulao de

Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


4(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8


4(2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75


4(3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


4(3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


4(4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77


4(4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

FIG.4.21 Kx em funo de Kx, para segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

FIG.7.1 Ordem numrica para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos.

Formulao No-Conservativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89






















9











Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
























10









Formulao Conservativa de Volumes Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107


























11







Formulao Modificada 1 de Segunda Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115




























12



































13


































14


Formulao No-Conservativa. Quarta ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
































Formulao Conservativa de Diferenas Finitas. Quarta ordem. . . . . . . . . . . 148

15
































Formulao de Zingg & Pullian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157



16






























Formulao modificada 1. Quarta Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165





17



































18



































19























FIG.7.193 Erro Relativo para = 10 com malha de 101, 201 e 401 pontos. . . . . . . . . . . . . 189












20




FIG.7.208 Erro Relativo para = 100 com malha de 201, 401 e 801 pontos. . . . . . . . . . . . 197

21

LISTA DE TABELAS

TAB.4.1 Ordem de Erro mnima e mdia para malha 101-201-401 pontos, for-

mulao No-Conservativa Analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


mulao No-Conservativa Numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


mulao No-Conservativa Analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


mulao No-Conservativa Numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


mulao No-Conservativa Analtica de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


mulao No-Conservativa Numrica de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


mulao No-Conservativa Analtica de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71


mulao No-Conservativa Numrica de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

TAB.4.9 Erro Relativo Mximo e Mdio, e CFL Mximo, para malha 101-201-

401 pontos. = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


401 pontos. = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


401 pontos. = 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


401 pontos. = 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


401 pontos. = 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


401 pontos. = 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80


801 pontos. = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80


801 pontos. = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

22


801 pontos. = 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


801 pontos. = 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


801 pontos. = 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


801 pontos. = 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82


801 pontos. = 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82


801 pontos. = 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82


801 pontos. = 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


801 pontos. = 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

23

LISTA DE ABREVIATURAS E SMBOLOS

E Energia interna total por unidade de massa

h Coeficiente de transferncia de calor por conveco

L Comprimento do meio

P Presso

q Termo fonte

T Temperatura

T Soluo manufaturada

TL Temperatura do fluido externo

k Condutividade trmica

K Nmero de onda

K Nmero de onda modificado

ui Componentes do vetor velocidade

Viscosidade dinmica

Parmetro de controle dos gradientes, e nmero de pontos na malha espacial

Massa especfica

Cp Capacidade trmica a presso constante

24

RESUMO

O presente estudo apresenta uma extensa investigao numrica sobre o tratamento da difusode energia com propriedades variveis. Para tal, foram realizados testes numricos em umproblema unidimensional transiente de conduo de calor.Testes foram realizados com esquemas centrados para resoluo espacial, inicialmente comsegunda ordem de preciso e, posteriormente, com quarta ordem. Foram empregadas, paraambos os esquemas, as formulaes conservativas e no-conservativas do mtodo de diferenasfinitas. Os mesmos testes foram ainda realizados empregando uma formulao intrinsecamenteconservativa do mtodo de volumes finitos.Visando avaliar a estabilidade numrica dos esquemas espaciais analisados, o impacto destes namarcha temporal foi investigado atravs do passo mximo no tempo obtido com o mtodo deEuler. Tambm foram realizadas anlises de erro, ordem do erro e tambm resoluo espectraldos esquemas estudados.Por fim, foi proposta uma nova formulao para resoluo espacial de termos difusivos compropriedades variveis que tenta agregar as melhores caractersticas de cada esquema analisado.Os resultados obtidos pelo mtodo proposto foram consideravelmente superiores aos demaisesquemas analisados.

25

ABSTRACT

This study presents an extensive numerical investigation on the treatment of diffusive termswith variable properties. In order to accomplish this, several tests were performed on the one-dimensional transient heat conduction problem.Firstly, tests were performed employing a second order accurate centered scheme for spatialresolution, further, fourth order schemes were analyzed as well . For both formulations, conser-vative and non-conservative finite difference methods were employed.Further the same tests were performed using a intrinsically conservative formulation of Fi-nite Volume method. In order to evaluate the influence of the treatment of diffusive terms onnumerical stability of these time-marching schemes, investigations were done considering themaximum time step allowable with the Euler method. Among other numerical features, wereanalyzed the behavior of the error and the order of accuracy produced by these schemes.Finally, we proposed a new formulation for diffusive terms of spatial resolution with variableproperties that combines notable features of each analyzed scheme. The results obtained by theproposed method were considerably better then the other schemes analyzed.

26

1 INTRODUO

Ao longo das ltimas dcadas, o desenvolvimento de novos mtodos numricos para resolu-

o espacial das equaes de governo em fenmenos de transporte concentrou maiores esforos

na construo de aproximaes discretas para seus termos advectivos, dando menor ateno

aos termos difusivos. Isto se deve a maior complexidade do primeiro, quando comparado ao

segundo. Um exemplo est na rea aeroespacial (LANEY, 1998), onde a simulao de escoa-

mentos compressveis de alta velocidade utiliza as equaes de Euler para modelar a propagao

de ondas de choque e expanso, dentre outros fenmenos. O presente trabalho tenta preencher

esta lacuna. Ele est voltado para o estudo de termos difusivos contendo propriedades variveis,

como os existentes nas equaes de Navier-Stokes.

1.1 REVISO BIBLIOGRFICA

Antes de discutir o tratamento numricos dos termos difusivos, preciso distinguir entre as

duas abordagens mais comumente utilizadas na mecnica dos fluidos e transferncia de calor

computacional. Elas so os mtodos de diferenas finitas e volumes finitos (LOMAX et al.,

2001). A primeira abordagem baseada no uso de expanses em srie de Taylor ao redor de

um ponto discreto, aplicadas diretamente forma diferencial das equaes de governo (TAN-

NEHILL et al., 1997). Ela possui duas grandes vantagens, a deduo matemtica rigorosa da

ordem de erro e da estabilidade numrica de seus esquemas discretos e tambm a flexibilidade

na escolha de formulaes conservativas ou no-conservativas para seus esquemas. J a segunda

abordagem baseada na forma integral das equaes de conservao (VERSTEEG e MALA-

LASEKERA, 1995). Ela possui duas grandes vantagens, sua formulao intrinsecamente con-

servativa e sua capacidade de lidar com geometrias irregulares naturalmente. Devido a estas

diferenas entre os mtodos de diferenas e volumes finitos, as principais caractersticas dos

esquemas utilizados para discretizao dos termos difusivos podem variar significativamente.

Termos difusivos no possuem uma direo preferencial de propagao, como ocorre com

os termos advectivos devido ao transporte promovido pelo movimento do fluido. Logo, sua

discretizao mais simples e tradicionalmente feita atravs de aproximaes centradas. Por

esta razo, a maior parte da literatura sobre o assunto est contida em livros, como os citados

acima. Encontrar artigos recentes sobre o assunto no uma tarefa trivial. Desta forma, a revi-

so bibliogrfica desta dissertao se concentrou na discretizao dos termos difusivos utilizada

27

para simulao de escoamentos modelados pelas equaes de Navier-Stokes.

Um destes estudos o trabalho de BASSI e REBAY (1997), que utiliza simulao numrica

para computar o escoamento viscoso compressvel em torno de aeroflios. Os autores utilizam

um mtodo de elementos finitos para soluo numrica das equaes de Navier-Stokes com-

pressveis. O estudo estende uma discretizao descontinua de elementos finitos originalmente

considerada para sistemas hiperblicos, tais como as equaes de Euler, para o caso das equa-

es de Navier-Stokes tratando os termos viscosos com uma formulao mista. As derivadas de

primeira ordem das variveis conservativas conduzem as derivadas de quarta ordem quando se

avalia o divergente dos fluxos viscosos. Entretanto, as derivadas de segunda ordem no podem

ser aplicadas diretamente numa formulao variacional fraca utilizando um espao de funo

descontnua. O mtodo combina diferentes caractersticas comumente associadas a elementos

finitos e mtodos de volumes finitos. Assim como em mtodos clssicos de elementos finitos,

de fato, a preciso obtida por meio de aproximao polinomial de alta ordem dentro de um

elemento, em vez de estncis de largura, como no caso de regimes de volumes finitos. A fsica

de propagao de ondas , no entanto, representada por resolver os problemas (aproximados)

de Riemann, que surgem a partir da representao descontnua da soluo. A este respeito o

mtodo semelhante a de um esquema de volume finito.

Outro trabalho o estudo feito por ZHONG (1998). Em seu estudo ele utiliza simulao

numrica direta para estudar o fenmeno da transio laminar-turbulenta em camadas limites

supersnicas na presena de ondas de choque. Ele utiliza um mtodo de diferenas finitas com

alta ordem de resoluo temporal e espacial. Neste estudo, a condio de contorno a pr-

pria onda de choque para evitar erros numricos causados no tratamento desta descontinuidade.

No que diz respeito ao tratamento do termo difusivo, o autor descreve as duas formulaes

tradicionais em diferenas finitas: conservativa e no-conservativa. A primeira garante conser-

vao dos fluxos difusivos, que so os fluxos condutivos ou viscosos no caso das equaes de

Navier-Stokes. Ela obtida essencialmente aplicando-se a aproximao discreta para a primeira

derivada duas vezes. Isto mais fcil de se implementar, porm leva a um estncil contendo um

maior nmero de pontos. J a formulao no-conservativa expande o operador difusivo, fa-

zendo aparecer a segunda derivada explicitamente. A discretizao desta verso leva ao menor

nmero de pontos possvel no estncil para uma dada ordem de erro. Por esta razo, a estabi-

lidade numrica da formulao no-conservativa maior que a da verso conservativa, porm

ela no garante conservao dos fluxos difusivos.

Em uma sequencia de trabalhos publicados por RANGO e ZINGG (2000), ZINGG (2000)

e RANGO (2001), uma anlise comparativa de diferentes tipos de discretizao espacial para

as equaes de Navier-Stokes apresentada. Eles utilizam o escoamento turbulento, subsnico

28

e transnico ao redor de aeroflios como problema base para comparao das simulaes. O

principal foco destes estudos so os termos advectivos, mas uma nova discretizao dos termos

difusivos tambm apresentada. Como os autores utilizam volumes finitos, a primeira apro-

ximao, relacionada a primeira derivada externa, feita em relao as faces dos volumes. O

termo resultante, que inclui a multiplicao de uma propriedade do fluido e a primeira derivada

interna, ento aproximado usando informaes nos centros dos volumes. Por esta razo, o

nmero de pontos do estncil menor que o utilizado pela formulao conservativa equivalente

do mtodo de diferenas finitas, mas ainda maior que o utilizado pela formulao no- conser-

vativa equivalente deste mtodo. Os autores afirmam que a perda de preciso no significativa,

porm no apresentam resultados pra ordem de erro obtida numericamente.

O trabalho feito por LELE (1992) analisa esquemas compactos de diferenas finitas centra-

das com variadas ordem de erro. Verses parcialmente atrasadas e avanadas tambm so forne-

cidas para uso em problemas com condies de contorno no-peridicas. O autor enfatiza uma

anlise do nmero de onda e velocidade de fase modificados destes esquemas, demonstrando

que esquemas compactos se aproximam mais do ideal espectral do que esquemas explcitos

para um mesmo nmero de pontos no estncil. Desta forma, no h prejuzos significativos

na estabilidade numrica destes esquemas. Frmulas para a primeira e segunda derivadas so

fornecidas, podendo ser utilizadas para termos difusivos.

No estudo de SANDHAM et al. (2002) discutido esquemas de entropia consistentes para

simulao de escoamentos turbulentos complexos. Tratando a preservao de vorticidade como

uma varivel secundria, os desafios inerentes a essa metodologia residem na soluo numrica

das equaes dos sistemas no-lineares com restries no mtodo de discretizao. Os autores

ressaltam que o uso destes esquemas para termos difusivos das equaes de Navier-Stokes no

trivial devido derivao de termos que j contm derivadas. Este procedimento causa uma

desacoplamento par-mpar que deve ser evitado por introduzir oscilaes de alta frequncia na

soluo. Por esta razo, uma formulao no-conservativa recomendada.

NAGARAJAN et al. (2003) apresentam um esquema centrado de alta ordem compacto para

simulao de grandes vrtices dos escoamentos compressveis turbulentos. Os autores com-

param esquemas compactos clssicos de diferenas finitas com suas respectivas verses para

volumes finitos, ou seja, com pontos avaliados na interface em vez do centro das clulas. Estas

duas abordagens tambm so chamadas de colocadas e deslocadas, respectivamente. Utilizando

uma anlise do nmero de onda modificado, eles mostram que a verso deslocada possui com-

portamento muito superior nas regies de alto nmero de onda, tanto para a primeira quanto

para a segunda derivadas. Alm disso, a formulao conservativa deslocada para os termos di-

fusivos apresenta uma degradao muito pequena para altos nmero de onda, ao contrrio da

29

formulao conservativa tradicional destes termos.

de alta ordem em estudos numricos podem reduzir o custo computacional.

J no trabalho desenvolvido por FORTUNE (2004) apresentado um estudo do som emi-

tido por uma camada de mistura temporal usando simulao numrica direta. Eles tambm

utilizaram um mtodo de diferenas finitas com alta ordem de erro na resoluo tanto espacial

quanto temporal. Condies de contorno peridicas e regies de absoro foram utilizadas para

minimizar erro nas fronteiras artificiais. Estes autores mencionam o uso de uma formulao

no-conservativa. Nela, aparecem segundas derivadas nas equaes de conservao de momen-

tum e energia. Isto feito para evitar a perda de preciso causada pela discretizao sucessiva

da primeira derivada. Isto mostra que a perda de estabilidade numrica causada pelo uso da

formulao conservativa vem acompanhada de uma perda de preciso. Contudo, resultados

numricos para a ordem de erro no so apresentados.

SHEN et al. (2007) desenvolveram esquemas robustos de alta ordem para as equaes de

Navier-Stokes compressveis utilizando o mtodo de diferenas finitas com formulaes con-

servativas. Tanto os termos advectivos quanto os difusivos so considerados neste trabalho.

Uma srie de problemas clssicos em escoamentos compressveis so simulados para demons-

trar as caractersticas destes esquemas. Os mtodos desenvolvidos so usados posteriormente

para a simulao de problemas fluido-estrutura (SHEN et al., 2008), sendo o tratamento dos

termos difusivos comparado com o formulado por RANGO e ZINGG (2000). Uma diferena

importante aparece no clculo da primeira derivada interna, que usa uma frmula com maior

ordem de erro sem causar um aumento no nmero de pontos do estncil final. Isto feito para

minimizar o problema da perda de ordem na discretizao dos termos difusivos na presena de

propriedades no constantes, observado pelos autores ao usar o esquema proposto por RANGO

e ZINGG (2000). Vale a pena mencionar que nenhum clculo de ordem de erro ou estabilidade

numrica apresentado nestes estudos.

1.2 OBJETIVO

Este estudo tem por objetivo investigar o tratamento do termo difusivo para propriedades va-

riveis, dando continuidade ao estudo feito por PIMENTEL (2010), focando em ordem de erro

e estabilidade numrica, uma vez que no foram apresentados resultados quantitativos para es-

tes dois critrios nos artigos pesquisados para esse trabalho. Inicialmente iremos nos concentrar

num problema modelo de conduo de calor 1D transiente, pois o modelo mais simplificado

que existe para considerar tal termo difusivo. Consideramos um modelo transiente para avaliar

o impacto do esquema escolhido para resoluo espacial na estabilidade numrica da marcha

30

temporal, que reduz o maior passo no tempo permissvel. O estudo se inicia com uma anlise

de esquemas centrados de segunda-ordem para resoluo espacial, posteriormente avanando

para esquemas de quarta ordem. Formulaes conservativas e no-conservativas do mtodo de

diferenas finitas sero testadas em conjunto com a formulao intrinsecamente conservativa

do mtodo de volumes finitos. Uma vez encerrada a anlise quantitativa das diferentes meto-

dologias existentes na literatura para resoluo espacial de termos difusivos com propriedades

variveis, propomos uma nova formulao que tenta agregar as melhores caractersticas de cada

esquema.

O problema de difuso de calor poder ser utilizado para simular as dificuldades produzidas

na discretizao dos termos difusivos das equaes de Navier-Stokes apenas quando gradiente

elevados de temperatura e condutividade trmica existirem. Podemos gerar este efeito artifici-

almente utilizando o Mtodo da Soluo Manufaturada.

31

2 MODELAGEM MATEMTICA

2.1 EQUAES DE GOVERNO

2.1.1 EQUAES DE NAVIER-STOKES COMPRESSVEL

Como mencionado na introduo, o principal objetivo deste trabalho examinar os dife-

rentes tratamentos numricos utilizados na literatura para aproximao dos termos difusivos

encontrados nas equaes de Navier-Stokes. Este sistema de equaes obtido a partir dos

princpios de conservao de massa,

t+

xj(uj) = 0 , (2.1)

quantidade de movimento linear,

t(ui) +

xj(uiuj + Pi,j) =

i,jxj

, (2.2)

e energia,

t(E) +

xj((E + P )uj) =

xj(i,jui + qj) , (2.3)

escritos na forma conservativa, em conjunto com as relaes constitutivas

i,j =

(ujxi

+uixj

) 2

3

(ukxk

)i,j e qi = k

T

xi, (2.4)

para o tensor tenses viscoso de um fluido Newtoniano e o fluxo de calor por conduo, sendo o

ltimo tambm conhecido como lei de Fourier, alm de uma equao de estado adequada. Neste

conjunto de equaes, representa a massa especfica, ui as componentes do vetor velocidade,

P a presso, E a energia interna total por unidade de massa, T a temperatura, a viscosidade

dinmica e k a condutividade trmica.

2.1.2 EQUAO DO CALOR

No presente trabalho, nosso interesse est voltado para os termos no lado direito das equa-

es (2.2) e (2.3), tambm conhecidos como termos viscosos ou difusivos na literatura voltada

para escoamentos compressveis. Uma anlise comparativa das diferentes metodologias empre-

gadas para o termo difusivo destas equaes pode ser feita se considerarmos um problema teste

mais simples, mas que ainda contm este termo. A equao que modela a conduo de calor

32

uni-dimensional transiente em um meio com condutividade trmica varivel, dada por

CPT

t=

x

(kT

x

)+ q , (2.5)

onde CP a capacidade trmica a presso constante e q um termo fonte. As condies de

contorno escolhidas para este problema so de isolamento trmico

T

x

x=0

= 0 , (2.6)

e troca de calor por conveco

kT

x

x=L

+ hT (x = L, t) = hTL , (2.7)

sendo que uma temperatura prescrita constante e escolhida como condio inicial,

T (x, t = 0) = T0 , (2.8)

onde L o comprimento do meio, h o coeficiente de transferncia de calor por conveco e

TL a temperatura do fluido externo para o qual o meio ganha ou perde calor, dependendo se

T > TL ou T < TL, respectivamente. As expresses escolhidas para condutividade trmica e

termo fonte sero apresentadas posteriormente, aps a anlise a seguir.

2.1.3 MODELAGEM DO TERMO DIFUSIVO

Podemos notar que estes termos difusivos, tanto nas equaes (2.2) a (2.4) quanto na equa-

o (2.5), contm derivadas consecutivas das variveis e/ou parmetros do sistema, na forma

genrica

x

(fg

x

)=f

x

g

x+ f

2g

x2, (2.9)

sendo o lado esquerdo da equao acima escrito na forma conservativa e o lado direito na forma

no-conservativa, onde f e g representam variveis ou parmetros arbitrrios do problema em

questo. Desta forma, podemos nos voltar agora para uma anlise dos esquemas numricos a

serem utilizados.

2.2 RESOLUO TEMPORAL

O objetivo deste trabalho avaliar o desempenho de esquemas para resoluo espacial de

termos difusivos, o que pode ser feito em grande parte apenas com a anlise de equaes em

regime permanente. Contudo, uma caracterstica importante destes esquemas o impacto que

eles tem na estabilidade numrica do mtodo de marcha no tempo escolhido. Para avaliar esta

33

caracterstica, escolhemos o mtodo de Euler explcito, uma vez que este condicionalmente

estvel para problemas de difuso de calor. Como sua verso implcita incondicionalmente

estvel, ela no permitiria uma avaliao de estabilidades numrica.

Neste esquema, a aproximao da derivada temporal da temperatura dada por:

T

t' T

t+O(t) (2.10)

com T = T n+1 T n e T representando o passo no tempo. Quanto mais estvel for oesquema utilizado, maior ser o passo no tempo que ele poder tolerar.

O regime permanente obtido quando a derivada temporal da temperatura reduzida a um

erro arbitrrio estabelecido de forma a tornar o erro temporal menor que o erro proveniente da

resoluo espacial, para que possamos avali-lo.

2.3 ANLISES DE ERRO

Verificao e validao so etapas importantes na construo de um cdigo computacional

confivel (SALARI e KNUPP, 2000; OBERKAMPF e ROY, 2010). A primeira se dedica a

demonstrar que os mtodos numricos sendo utilizados pelo usurio foram implementados de

maneira correta. J a segunda se dedica a demonstrar se o modelo matemtico escolhido pelo

usurio reproduz adequadamente a realidade que pretende estudar. Desta forma, a primeira deve

vir antes da segunda pois, caso contrrio, pode mascarar possveis problemas desta.

A anlise do erro numrico gerado por um mtodo e a ordem de erro deste representam um

rigoroso processo de verificao. A primeira nos permite avaliar se a soluo gerada converge

para um determinado comportamento na medida que as malhas espaciais e temporais so refi-

nadas. J a segunda nos diz se a taxa desta convergncia est condizente com seu valor terico.

Estas tcnicas tornam possvel identificar diversas fontes de erros que possam existir na pro-

gramao do cdigo implementado. Uma fonte comum de erro durante o desenvolvimento de

um cdigo computacional ocorre nos contornos do domnio, devido imposio de condies

equivocadas. Com a anlise de ordem, possvel verificar se as condies de contorno impostas

esto coerentes com a equao simulada, gerando, com isso, uma soluo de mesma ordem em

todo o domnio. Foi por esta razo que a temperatura no foi prescrita nos contornos. Como seu

erro nulo, tal condio afeta beneficamente o erro proveniente da discretizao do domnio,

podendo mascarar a anlise.

A ordem terica de um cdigo definida atravs de anlise da ordem do erro de truncamento

que surge durante a discretizao. J a ordem real do cdigo programado pode ser calculada

por um procedimento prtico. Ambas sero discutidas a seguir.

34

2.3.1 ORDEM TERICA

Uma simples anlise dos diferentes tipos de discretizao utilizados na literatura para

termos difusivos capaz de ilustrar as principais diferenas entre eles. Esta etapa no apenas

justifica o presente estudo, de um ponto de vista puramente terico, como tambm indica o

comportamento que deve ser esperado de cada metodologia.

Diferenas Finitas - Formulao Conservativa

Iremos considerar primeiro a discretizao do termo difusivo na forma descrita no lado es-

querdo da equao (2.9), ou seja, usando uma formulao conservativa, no contexto do Mtodo

de Diferenas Finitas. Discretizando a parte interna deste termo, no ponto i de uma malha

uniforme, com o operador algbrico mi gera

x

(fg

x

)i

' x

(fimi (g)

x+O(xm)

)i

, (2.11)

onde m a ordem do erro de truncamento associado a este operador. Repetindo este processo

no mesmo ponto, porm com a parte externa do termo original, usando o operador algbrico nino termo resultante acima gera

x

(fg

x

)i

' 1x

ni

(fimi (g)

x+O(xm)

)i

+O(xn) , (2.12)

onde n a ordem do erro de truncamento associado ao segundo operador, que pode ser igual ao

primeiro. Esta aproximao discreta toma a forma final

x

(fg

x

)i

' ni

(fi

mi (g)

)x2

+O(xm1,xn) . (2.13)

Duas concluses importantes podem ser extradas da frmula (2.13). A primeira est

implcita na aplicao consecutiva dos operadores para as derivadas interna e externa do termo

difusivo, uma vez que o operador final resultante desta aplicao possui um maior estncil. J a

segunda est explcita no erro de truncamento final, cuja ordem reduzida devido a esta mesma

aplicao consecutiva destes operadores.

Diferenas Finitas - Formulao No-Conservativa

Uma alternativa a formulao anterior vem da forma descrita no lado direito da equao

(2.9), chamada de formulao no-conservativa, ainda no contexto do Mtodo de Diferenas

Finitas. Os operadores da subseo anterior, para a primeira derivada, em conjunto com o

35

operador algbrico oi , para a segunda derivada, geram{f

x

g

x+ f

2g

x2

}i

'(mi (f)

x+O(xm)

)(ni (g)

x+O(xn)

)+ fi

oi (g)

x2+O(xo) , (2.14)

ondeO a ordem do erro de truncamento associado ao operador para a segunda derivada. Desta

forma, esta equao pode ser re-escrita como{f

x

g

x+ f

2g

x2

}i

' mi (f)

ni (g)

x2+ fi

oi (g)

x2+O(xm1, xn1, xo) . (2.15)

Ao contrrio da expresso (2.13), a frmula acima no possui seu estncil aumentado,

uma vez que no h aplicaes consecutivas de um operador. Contudo, ainda observamos a

reduo de ordem no erro de truncamento na expresso (2.15), que agora aparece em maior

escala. Ela est claramente associada ao produto de aproximaes para derivadas. Alm disso,

esta reduo de ordem somente existe em regies onde as propriedades no so constantes.

Esta anlise indica que os erros introduzidos por esta aproximao sero maiores se ambas as

derivadas forem maiores.

Volumes Finitos

Outra abordagem amplamente utilizada para simulao computacional conhecida como

o Mtodo dos Volumes Finitos. Ele recebe destaque aqui por suas aproximaes terem um

carter ligeiramente distinto das geradas pelo Mtodo das Diferenas Finitas. Isso ocorre por

duas razes. Primeiro, este mtodo implicitamente conservativo e, em segundo lugar, avalia

suas variveis e parmetros tanto nas faces quanto nos centros das linhas, reas ou volumes

finitos provenientes da discretizao de equaes uni, bi ou tri-dimensionais, respectivamente.

Neste caso, a equao (2.9) escrita como

h

x

i

' mi (h)

x+O(xm) onde h = f

g

x, (2.16)

mantendo a notao de diferenas finitas usada at o momento, porm com uma importante

diferena. A barra sobre o operador algbrico indica que o mesmo utiliza pontos nas faces, por

exemplo i1/2, e no nos centros, por exemplo i, de cada volume para construir a aproximaodiscreta. Isto nos fora a aproximar os valores de f , que aproximado por , e da derivada de

g nas faces como funo de seus pares no centro dos volumes finitos. Logo,

h

x

i

' 1x

mi

((ni (f) +O(x

n))(oi (g)

x+O(xo)

))+O(xm) , (2.17)

36

onde n a ordem do erro de truncamento associado ao operador para a funo. Desta forma,

podemos escrever o operador final como

h

x

i

' mi

(ni (f)

oi (g)

)x2

+O(xn2, xo1, xm) . (2.18)

Esta simples derivao mostra que a formulao gerada pelo Mtodo dos Volumes Finitos

combina os problemas encontrados nas duas formulaes anteriores geradas pelo Mtodo de

Diferenas Finitas. Tanto a aplicao consecutiva de operadores algbricos quanto a multipli-

cao de aproximaes, aparecendo agora como funo vezes derivada no lugar de derivada

vezes derivada, so encontradas. Como consequncia, existe uma maior queda na ordem da

aproximao final.

2.3.2 ORDEM REAL

Um dos objetivos deste trabalho mensurar a consequncia prtica aparente perda de ordem

na estabilidade numrica e ordem de erro de cada um dos esquemas acima. A estabilidade

numrica determinada pelo maior passo no tempo fsico que o mtodo de marcha escolhido

pode dar ao utilizar cada um dos esquemas acima para resoluo espacial. Por outro lado, a

ordem de erro real pode ser calculada por um mtodo frequentemente empregado para tal. Ele

consiste em executar o cdigo em questo para malhas consecutivamente refinadas, sendo a

soluo obtida com a malha mais refinada considerada como uma soluo de referncia para

obteno do erro absoluto da soluo obtida com a malha menos refinada. Com isso, possvel

calcular o erro de discretizao em funo de x, sendo este parmetro a distncia entre os

pontos na malha para o clculo da ordem espacial.

Portanto, para qualquer mtodo discreto, sabe-se que a ordem do erro da soluo uma

funo de x, ou seja:

E E(h) (2.19)

Sabendo que o erro de truncamento em uma discretizao da ordem de hp, sendo p a ordem

terica da discretizao empregada, para duas malhas consecutivamente refinadas tem-se:

EMalha1 EMalha2 O(hp) (2.20)

EMalha2 EMalha3 O((

h

r

)p)(2.21)

sendo r o refinamento empregado na malha. Dividindo os erros obtemos:

37

EMalha1Malha2EMalha2Malha3

= rp (2.22)

Com isso, a ordem real do cdigo implementado pode ser obtida fazendo:

p =log

(EMalha1Malha2EMalha2Malha3

)log(r)

(2.23)

Quando a ordem calculada menor que a ordem terica do mtodo, deve-se rever a progra-

mao em busca de possveis erros no cdigo. Nos casos em que a ordem real calculada igual

ou aproximadamente igual ordem terica, aps alguns testes com diferentes malhas, significa

que a ordem do cdigo programado foi verificada com sucesso. Um cdigo com ordem real

verificada deve ser, por fim, validado para que seja considerado confivel.

2.4 MTODO DA SOLUO MANUFATURADA

Ele foi originalmente desenvolvido por ROACHE (1998) e pode ser usado para verificar es-

quemas numricos para as equaes de mecnica dos fluidos computacional (ROY et al., 2004)

e suas condies de contorno (BOND et al., 2005). Nesta abordagem de construo, a soluo

assumida como satisfazendo uma equao diferencial parcial de interesse. A ideia principal

do Mtodo da Soluo Manufaturada simplesmente produzir uma soluo exata sem estar

interessado na realidade fsica do problema (ROY, 2005). Uma funo analtica conhecida

inserida no lugar da varivel dependente na equao diferencial parcial, e todas as derivadas

so computadas analiticamente, manualmente ou atravs de algum programa de computao

simblica, como o Mathematica, utilizado nesta dissertao. A equao rearranjada de tal

maneira que todos os termos restantes que no satisfazem equao diferencial parcial original

so agrupados em um termo fonte. Este termo , ento, simplesmente acrescentado equao

diferencial parcial original de forma que a funo satisfaa exatamente nova equao dife-

rencial parcial, ou seja, as equaes diferenciais governantes so modificadas para produzir a

soluo manufaturada pr-estabelecida.

Este procedimento tambm pode ser aplicado a sistemas de equaes, com o termo fonte

gerado separadamente para cada equao. Tanto solues em regime permanente ou transiente

podem ser tratadas. Este mtodo pode ser usado tanto para evitar o crescimento exponencial

da soluo com o tempo quanto para evitar confuses entre instabilidades fsicas e numricas

(SALARI e KNUPP, 2000).

O Mtodo da Soluo Manufaturada pode ser aplicado de melhor forma em malhas refinadas

quando as propriedades de transporte difusivo e causam fluxos difusivos e convectivo de

38

mesma magnitude (BOND et al., 2005). Se o fluxo difusivo for significavelmente menor que

o fluxo convectivo, os erros presentes no cdigo para a equao de quantidade de movimento

linear ou energia podem no ser observveis no Mtodo da Soluo Manufaturada, a no ser

que a malha seja muito fina.

O mtodo, de modo geral, no verifica se o cdigo est correto como um todo, pois nem

todos os erros dos cdigos afetam a preciso. Verifica-se que o procedimento produz uma

soluo numrica correta, mas podem ainda existir erros no cdigo que reduzem a taxa de

convergncia iterativa mesmo que ainda produza a soluo correta; erros que podem causar

uma perda na eficincia e sem perda significativa na preciso (ROY, 2005).

Como foi visto na seo anterior, a perda de ordem na discretizao dos termos difusivos

ocorre devido ao produto entre derivadas da propriedade e do potencial. Desta forma, utilizare-

mos o Mtodo da Soluo Manufaturada para induzir grandes gradientes tanto na condutividade

trmica quanto na temperatura. A funo escolhida para a condutividade trmica tem a forma

(2.24) mostrada na figura 2.1.

k(x) =(kmax + kmin)

2+

[(kmax kmin)

2

]tanh[(x+ 1/2)] (2.24)

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

= 20.0 = 40.0 = 60.0 = 80.0

= 100.0

FIG. 2.1: Conditividade Trmica para diferentes valores de

39

J a funo escolhida para a temperatura tem a forma da equao (2.25), mostrada abaixo

na figura 2.2.

T (x) = TL

(1

2tanh

(

(x

L 1

2

))+

1

2

)(sen

(axL

)+ cos

(axL

))+ TR cos

(xL

)(12 1

2tanh

(

(x

L 1

2

)))(2.25)

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

0 20 40 60 80 100

= 20.0 = 40.0 = 60.0 = 80.0

= 100.0

FIG. 2.2: Temperatura para diferentes valores de

O termo fonte que precisa ser introduzido na equao (2.5) para gerar a soluo (2.25)

obtido de sua verso em regime permanente, ou seja,

q = x

(kT

x

)(2.26)

2.5 NMERO DE ONDA MODIFICADO

Uma anlise importante das diferentes discretizaes espaciais que sero implementadas

consiste na verificao do espectro de onda que elas conseguem reproduzir (LELE, 1992). Isto

pode ser verificado se os diferentes esquemas forem comparados com o mtodo de Fourier, que

gera a soluo mais precisa possvel dentre os mtodos conhecidos na literatura.

Para fazer esta comparao, assumimos

T (x) = ceiKx (2.27)

40

o que faz com que sua segunda derivada assuma a forma

2T

x2= K2ceiKx = K2T (x) (2.28)

ou seja,

1

T (x)

2T

x2= K2 (2.29)

onde K o nmero de onda.

Esta dependncia tambm pode ser estimada ao usarmos mtodos de diferenas finitas. Para

faz-lo, substitumos

Tj1 = ceiK(xjx) (2.30)

na aproximao escolhida, onde definimos

1

T (x)

2T

x2= K2 (2.31)

onde K o nmero de onda modificado.

Para ilustrar o procedimento, vamos considerar a discretizao explcita de segunda ordem

2T

x2

j

' Tj+1 2Tj + Tj1x2

(2.32)

e substituir (2.30) nela para encontrarmos, aps alguma manipulao

K2 = eiKx 2 + eiKx

x2(2.33)

que, escrita na forma trigonomtrica, se torna

(Kx)2 = 2 2 cos(Kx) (2.34)

A fim de verificar a equivalncia entre as derivadas no espao fsico e no espao espectral,

utiliza-se o nmero de onda modificado Kx em vez do nmero de onda Kx. On

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Dissertação Flavio.pdf