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5. PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA - VAC

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MODELOS CONTÍNUO

� Uniforme

� Exponencial� Normal

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5.1 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME

� Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme de probabilidade no intervalo [a, b] se sua f.d.p. é dada por;

><≤≤

=bxouaxse

bxasekxf

,0

,)(

K???4

5.1 Distribuição Uniforme

abkkdx

b

a −=⇒=∫

11

><

≤≤−=

bxouaxse

bxaseabxf

,0

,1

)(

Função de distribuição acumulada – F(x)

≥

<<−−

≤

=

bxse

bxaseab

ax

axse

xF

,1

,

,0

)(

5

5.1 Distribuição Uniforme

2)(

abXE

+=

( )12

)(2ab

XV−=

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5.1 Distribuição Uniforme

� Exemplo 1: Um ponto é escolhido ao acaso no intervalo [0, 2]. Qual a probabilidade de que esteja entre 1 e 1,5?

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5.1 Distribuição Uniforme

� Exemplo 2: A dureza H de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [50, 70] da escala de Rockwel. Calcular a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60.

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5.2 Distribuição Exponencial

� Uma v.a.c. X tem distribuição exponencial de probabilidade se a sua fdp é dada por:

<>≥

=−

0,0

0,0,)(

xse

xseexf

x λλ λ

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5.2 Distribuição Exponencial

� Função de distribuição acumulada – F(x)

≤>−

=−

0,0

0,1)(

xse

xseexF

xλ

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5.2 Distribuição Exponencial

λ1

)( =XE

2

1)(

λ=XV

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5.2 Distribuição Exponencial

� Exemplo 1: Uma v.a.c. X tem fpd dada por:

� a) Calcular o valor de k

� b) determinar F(x)� c) determinar a mediana da distribuição

<

≥=

−

0,0

0,2)(

xse

xseek

xfx

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5.3 Distribuição Normal

� Uma v.a.c. X tem distribuição Normal de probabilidade se a sua f.d.p é dada por:

+∞<<∞−

−−= xx

xf 2

1exp

2

1)(

2

σµ

σπ

),(~ 2σµNX

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5.3 Distribuição Normal

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5.3 Distribuição Normal -Características

� O ponto de máximo de f(x) é o ponto X=µ;

� Os pontos de inflexão são: X=µ+σ e X=µ-σ;� A curva é simétrica com relação a µ;

� A área total da curva corresponde a 100%;� E(X)=µ e V(X)= σ2

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5.3 Distribuição Normal

� Cálculo da probabilidade P(a<X<b)?

∫−−

=<<b

a

x

dxebXaP2

2

2

)(

2

1)( σ

µ

πσ

Como a Integral de função Normal não tem solução analítica devemos utilizar uma transformação da V.A.X para uma V.A. Z com distribuição Normal com uma média µ=0 e uma variância σ2=1, a qual chamaremos de distribuição Normal Padrão.

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA

� Tem como objetivo solucionar a complexidade da f(x) através da mudança de variável, f(z).

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA

)1,0(~ NZx

Zσ

µ−=

z = número de desvios padrões a contar da média;x = valor arbitrário;µ = média da distribuição normal;σ= desvio padrão da distribuição normal.

Estas probabilidades estão tabeladas e este caso particular é chamado de Forma Padrão da Distribuição Normal

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EXEMPLO DO USO DA TABELA

� 1) Seja X:N(100; 25). Calcular:

� a) P(100≤ X≤106)� b) P(89≤ X≤107)

� c) P(112≤ X≤116)� d) P( X>108)

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EXEMPLO DO USO DA TABELA

� 2) Sendo x:N(50, 16), determinar Xα

tal que:

� a) P(X>Xα

)=0,05� b) P(X ≤ X

α)=0,99

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� Exemplo 1: Um fabricante de baterias sabe, por experiência passada, que as baterias de sua fabricação têm vida média de 600 dias e desvio padrão de 100 dias, sendo que a duração tem aproximadamente distribuição normal. Oferece uma garantia de 312 dias, isto é, troca as baterias que apresentarem falhas nesse período. Fabrica 10000 baterias mensalmente. Quantas deverá trocar pelo uso da garantia, mensalmente?

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� Exemplo 2: Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação tem duração normal com média de 150000km e desvio padrão de 5000km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure:

� a) menos de 170000 km?� b) entre 140000km e 165000km?� c) se a fábrica substituir o motor que apresenta

duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja inferior a 0,2%?