Distribuições de probabilidades referentes a variáveis contínuas e

suas aplicações

As variáveis contínuas podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo e para estas não é possível enumerar todos os valores possíveis e suas respectivas probabilidades. Para estas distribuições convém elaborar uma função de densidade de probabilidade.

Como existem infinitos pontos cada um com igualprobabilidade, se fossemos usar o mesmo método usado para a variável aleatória discreta, cada ponto teria probabilidade de ocorrência igual a zero.

A densidade de probabilidade de uma variável é comumente chamada de sua Distribuição de Probabilidade.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição Normal.Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócio-econômica correspondem à distribuição normal ou dela se aproximam. Propriedades da distribuição normal :1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade. 

Abraham de Moivre, em 1733, publicou a equação da curva normal:

      

                                                                                    

que permite gerar o seguinte gráfico:

• O gráfico da distribuição normal assemelha-se a um sino e seu formato dependerá dos valores dos parâmetros µ e .

• Notação de uma variável com distribuição normal:

);( 2X

A probabilidade de X assumir qualquer valor X0 é zero, isto é (PX=X0) = 0, logo, são iguais as probabilidades:

P (a < x < b) = P (a ≤ x ≤ b) = à area sob a curva compreendida entre dois pontos.

Distribuição Normal padronizada

Seja X uma variável aleatória com distribuição N(µ;2).

Considere a transformação linear:

ii

XZ

A média de Z é zero e a sua variância é igual a 1, logo a função densidade da variável Z é dada por:

Uso da distribuição normal padronizada

Z 0,00 0,01 ..... 0,07

0,0

0,1

0,2

M

1,1 0,3790

Exemplos do uso de z:  1. Em uma população de indivíduos adultos de

sexo masculino, cuja estatura média é 1,70m e desvio padrão é 0,08m, qual é o intervalo de alturas em que 95% da população está compreendida?

  95% =     ± 1,96    =   1,70 ± 1,96 x 0,08

  = 1,70 + 0,1568 = 1,8568 (maior altura) e = 1,70 - 0,1568 =1,5432 (menor altura).

Assim sendo, 95% da população tem altura entre 1,5432m e 1,8568m. Portanto, será pouco provável encontrar alguém com altura superior a 1,8568m (2,5%) ou abaixo de 1,5432m (2,5%).

2. Na mesma população, qual a probabilidade de um indivíduo ter estatura entre 1,60 e 1,82m?

Calcula-se dois valores de z:  zmin = (1,60 - 1,70) / 0,08 = 1,25     zmax = (1,82 - 1,70) / 0,08 = 1,50

  A área entre z = 0 e z = -1,25 é 39,44 e a área entre z = 0 e z = 1,82 é de  43,32.

  Portanto, a probabilidade de se encontrar alguém com estatura entre 1,60 e 1,82m é   0,3944 +  0, 4332  =  0,8276 =  82,76%