Métodos Estatísticos

5 5 -- DistribuiDistribuiçção Normalão Normal

Referencia: Estatística Aplicada às Ciências Sociais, Cap. 7

Pedro Alberto Barbetta. Ed. UFSC, 5ª Edição, 2002.

Distribuição deProbabilidades

A distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico, indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidadede cada resultado acontecer.

Exemplo(com var. discreta)

Um jogo de azar é realizado da seguinte forma: toma-se um círculo e divide-se-o em duas partes iguais, 1 e 2. Sobre o centro do círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado e anota-se o número do setor onde a ponta do ponteiro parou.

Exemplo

Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.

12

Distribuição deProbabilidades

1 2

0,50 0,50x p(x)

1 0,52 0,5

Total 1

Exemplo(com var. discreta)

Considerar a mesma situação, só que o círculo é dividido em quatro partes iguais. Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.

Exemplo

Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.

12

3 4

Distribuição deProbabilidades

x p(x)

1 0,252 0,253 0,25 4 0,25

Total 1 1 2 3 4

0,250,25

0,250,25

Exemplo 1: com variável aleatória

contínua

Sobre o centro de um círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado. Anota-se o ângulo formado pelo ponteiro com o eixo horizontal, como na figura a seguir.

Exemplo 1

Construir a distribuição de probabilidades para o ângulo (α) obtido nes-te experimento.

α

X = variável aleatória que indica o ângulo formado

f(x)

0o 360ox

Área = 1

1360

Exemplo 1

Qual é a probabilidade de se obter um ângulo entre 30o e 60o?

Exemplo 1

f(x)

0o 360ox

1360

= área = 0,0833

P(30o < X < 60o)

30o 60o

Exemplo 2

Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X a sua altura, em centímetros.

Apresenta-se, a seguir, uma possível distribuição de probabilidades para este caso.

Exemplo 2

130 140 150 160 170 180 190 200 210 x

f(x)

altura (em cm.)

Exemplo 2

Representar:

o evento: “o estudante selecionado ter 180 cm ou mais” (X ≥ 180) e

a probabilidade deste evento, isto é, P(X ≥ 180)

Exemplo 2

130 140 150 160 170 180 190 200 210 x

f(x)

altura (em cm.)X ≥ 180

P(X ≥ 180)

DistribuiçãoNormalf(x)

xµ

f x ex

( )( )

=−

−12

12

2

σ π

µσ

µ: médiaσ: desvio padrão

Características

xµ

Área = 1

Características

A variável aleatória pode assumir valores de - a + .8 8

µ x

Características

Identificada

pela média (µ)e pelo desvio

padrão (σ) .

µ

σ

x

Média e Desvio Padrão

xµ1

mesmo σ e diferentes µ

µ2

Média e Desvio Padrão

µ

σ = 2

σ = 4X

mesmo µ e diferentes σ

Características

Simetria em relação à média.

µ

50%

x

Características

A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a média e aquele ponto.

Distância padronizada - distância expressa em função do número de desvios padrão (distância dividida pelo desvio padrão).

Exemplo

µ+σµ-σ µ

área = 68,3%

Exemplo

µ+2σµ-2σ µ

área = 95,4%

Exemplo

µ+3σµ-3σ µ

área = 99,7%

NormalPadronizada

z = x - µ

σ

z - variável normal padronizadax - variável normalµ - médiaσ - desvio padrão

NormalPadronizada

µ(µ-σ) (µ+σ)(µ-2σ) (µ+2σ)

σ

x

0 z-1 1-2 2

Exemplo

Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admita que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm. Qual o escore padronizado de um estudante com 190 cm?

Exemplo

x = 190 cm

z = x - µ

σ

190 - 17010

= = 2= 2010

Exemplo

2 z0

190

µ = 170σ = 10

x170

Exemplo

-1 1-3 32-2 z0

160 180140 200190150

µ = 170σ = 10

x170

σ

Exemplo

190 x170

P(X<190) = P(Z<2)

z20

Exercício 1:Uso da tabela

Com base na tabela da normal padronizada, calcular:

a) P(Z > 1)

z0 +1

0,1587 (tabela)

Exercício 1

Com base na tabela da normal padronizada, calcular:

b) P(Z > 1,23)

z0 1,23

0,1093 (tabela)

Exercício 1

c) P(-2 < Z < 2)

z0 2-2

0,0228 (tabela)

P(-2 < Z < 2) = 1 - 2.(0,0228) = 0,9554

Exercício 2

Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admitindo que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm, qual a probabilidade do estudante sorteado ter altura superior a 185 cm?

Exercício 2: resp.

x = 185 cm (µ = 170, σ = 10)

z = ?

z = x - µ

σ

185 - 17010

= = 1,5= 1510

Exercício 2: resp.

P(Z > 1,5)

z0 1,5

0,0668 (tabela)

Aproximaçãoda Binomialpela Normal

Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal com média n.π e variância n.π.(1- π).

Exemplo

Seja X o número de caras em 10 lançamentos de uma moeda perfeitamente equilibrada.

X é binomial com n = 10 e π = 0,5

Exemplo

0,001 0,01

0,246

0,01 0,001

0,117

0,0440,044

0,205

0,117

0,205

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

P(X)

número de caras (X)

Exemplo

Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 caras?

P(X>6) = P(7) + P(8) + P(9) + P(10)= 0,117 + 0,044 + 0,010 + 0,001 = 0,172

Exemplo

0,001 0,01

0,246

0,01 0,001

0,117

0,0440,044

0,205

0,117

0,205

P(X)

P(X>6) = 0,172

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Pela normal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

Exemplo

Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 caras? (usando a normal)

Exemplo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(X>6,5)

x

Exemplo

x5 6,5

P(X>6,5)

Exemplo

µ = 5σ = 1,581139x = 6,5

z = x - µ

σ

6,5 - 5

1,581139= = 0,95

Exemplo

z0 0,95

0,1711

Lembrando:a probab. exata(pela binomial) era de 0,1720