CE2 – Estabilidade das Construções II Linhas de Influência – Vigas Contínuas

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Linhas de Influência para Vigas Contínuas

EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO Determinar para a viga contínua de seção transversal constante, esquematizada abaixo, a Linha de Influência de Momentos Fletores no Ponto B.

Resposta:

Linha de influência de Momentos Fletores em B

Integração Numérica – Regra dos Trapézios

Na REGRA DOS TRAPÉZIOS considera-se a função de interpolação linear entre os pontos predefinidos da linha de influência. Obtém-se uma área aproximada por um somatório de áreas trapezoidais. Quanto menor o incremento (ou passo h) mais precisos serão os resultados.

Esquema de integração numérica pela Regra dos Trapézios

Genericamente, a área é dada pela expressão:

)M2E(2

)(2)()(2

)( ÁREA 1

10 +⋅=

⋅++⋅≈= ∫ ∑

−

=

hxfxfxfhdxxfN

iiN

onde: (E) corresponde o somatório das ordenadas nos pontos (E)XTREMOS e (M) o somatório das ordenadas nos pontos INTER(M)EDIÁRIOS do intervalo considerado.

B A C D E

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As áreas relativas às linhas de influência podem ser positivas ou negativas. Como as estas áreas iniciam e terminam do valor nulo, pode-se simplificar a expressão anterior na forma:

( )121 ÁREA −+++⋅= nyyyh

EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO Determinar as áreas da Linha de Influência de Momentos Fletores no Ponto B dada a seguir.

Resolução:

Resposta:

−11,74 −15,23

−0,19

+1,03

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Envoltória de Esforços

EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO

Determinar para a viga contínua de seção transversal constante, esquematizada abaixo, os momentos fletores máximo e mínimo no Ponto B devidos à ação permanente de 10 kN/m e à carga acidental móvel de 20 kN/m. É dada a linha de influência de Momentos Fletores no Ponto B, obtida no programa FTOOL com incrementos de 1 metro, e suas respectivas áreas.

Linha de influência de Momentos Fletores em B

Resolução:

Posicionamento das cargas para as situações mais desfavoráveis para momentos fletores no Ponto B

Momento fletor máximo no APOIO B:

mkN30,26110)19,003,123,1574,11(Mg ⋅−=⋅−+−−=

mkN60,2020)03,1(Mmáxq ⋅+=⋅+=

−11,74 −15,23

−0,19

+1,03

q=20 kN/m

p=10 kN/m

q=20 kN/m

q=20 kN/m

p=10 kN/m

B A C D E

−11,74 −15,23

−0,19

+1,03

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mkN70,24060,2030,261MMM máxqg

máx ⋅−=+−=+=

Momento fletor mínimo no APOIO B:

mkN30,26110)19,003,123,1574,11(Mg ⋅−=⋅−+−−=

mkN20,54320)19,023,1574,11(Mmínq ⋅−=⋅−−−=

mkN50,80420,54330,261MMM mínqg

mín ⋅−=−−=+=

Envoltória de momentos fletores devida às cargas

acidentais móveis obtida no Programa FTOOL

Simulação Computacional

1 EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO

Obter a linha de influência de momentos fletores no Ponto B e a envoltória de momentos fletores B com o uso do Programa FTOOL, para a viga contínua esquematizada abaixo, devidos à carga acidental móvel de 20 kN/m.

B A C D E

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(3) Cargas móveis de multidão fora dos limites do trem-tipo

(DIGITAR E DAR ENTER)

(2) Trem-tipo 20 kN/m atuando em todo o comprimento da viga

(DIGITAR E DAR ENTER)

(4) Modo de exibição de linha de influência

(5) Linha de influência de momentos fletores

(6) Clicar no Ponto B

(1) Cargas móveis

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(1) Modo de exibição de envoltória de esforços

(2) Envoltória de momentos fletores (somente para cargas móveis)

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2 EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO

Obter o diagrama de momentos fletores da viga contínua esquematizada abaixo, com o uso do Programa FTOOL, e determinar o momento fletor no Ponto B. Considerar a carga permanente de 10 kN/m

B A C D E

(2) Diagrama de momentos fletores para cargas permanentes (combinar com acidentais)

(1) Diagramas de estado

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3 EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO

Obter a linha de influência e a envoltória de momentos fletores no Ponto B com o uso do Programa FTOOL, para a viga contínua esquematizada abaixo, devidos à carga permanente de 10 kN/m e à carga acidental móvel de 20 kN/m.

A E D C B

(2) Envoltória de momentos fletores para cargas permanentes e acidentais

(1) Envoltória de esforços

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4 EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO

Comparar os resultados manual e automático (FTOOL).

Resolução:

Momento fletor máximo no Apoio B obtido no Programa FTOOL:

mkN54,25506,2160,276MMM máxqg

máx ⋅−=+−=+=

Momento fletor mínimo no Apoio B obtido no Programa FTOOL:

mkN63,85003,57460,276MMM mínqg

mín ⋅−=−−=+=

Momento fletor máximo no Apoio B obtido manualmente:

mkN70,24060,2030,261MMM máxqg

máx ⋅−=+−=+=

Momento fletor mínimo no Apoio B obtido manualmente:

mkN50,80420,54330,261MMM mínqg

mín ⋅−=−−=+=

As diferenças entre os resultados manual e automático são em torno de 5% que é perfeitamente aceitável para aplicação em projetos de Engenharia. As diferenças encontradas devem-se, principalmente, ao método de cálculo das áreas. Os resultados automáticos são mais precisos.

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ANEXO A