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FNC 0376 - Física Moderna 2 Aula 14
1
Propriedades das distribuições
Gás de elétronsPartículas idênticas,
indistinguíveis, que obedecem ao Princípio de Exclusão (spin
semi-inteiro)Fermi-Dirac
Gás de fótons, 4He
Partículas idênticas, indistinguíveis, que não
obedecem ao Princípio de Exclusão (spin inteiro ou nulo)
Bose-Einstein
Gás idealPartículas idênticas, mas distinguíveisBoltzmann
ExemploCaracterísticasDistribuição
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Calor específico de um sólido cristalino Demonstrada a partir do teorema de eqüipartição: Energia interna de um sólido é constituída por energia de vibração dos átomos (energia cinética + energia potencial das vibrações)
Lei de Dulong-Petit
E energia de vibração de cada átomo é dada por:
23
22
21
222
21
21
21
21
21
21 zkykxkmvmvmvE zyx +++++=
A energia média por átomo é 3kT e a energia total contida em um mol é:
RdT
RTddTdUCRTkTNU V 3)3( Mas . 33 A =====
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Einstein (1907): osciladores quantizados, as energias dos átomos nos sólidos pode assumir apenas certos valores.
Lei de Dulong-Petit
CV → 0 se T → 0 K,
Teoria e valores experimentais não
concordam
Pb como Au para Tamb obedecem a Lei de Dulong-Petit
Calor específico de um sólido cristalino R
dTRTd
dTdUCRTkTNU V 3)3( Mas . 33 A =====
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Considerar um mol de sólido composto por NA átomos e que estes estão livres para vibrar em três dimensões em relação a um ponto fixo. Einstein supôs que todos os átomos estariam vibrando com a mesma freqüência ω. Cada um destes osciladores só poderia assumir valores ωhnEn =
Einstein energia média dos osciladores usando o mesmo procedimento de Planck para radiação de corpo negro
∫∞
−==
0/ 1
)( kTB edEEEnE ω
ωh
h
Altas temperaturas ħω/kt é pequeno:
kTkTe
xxe
kT
x
ωωω hhh ≈−
++≈−
++=
1...11
...2/1
/
2 kTE =
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A energia dos 3NA osciladores é portanto:
CV → 0 se T → 0 K e CV → 3NAk = 3R se T →∞.
Tenho uma faixa de temperatura em que o resultado clássico pode ser usado, temperatura critica:
kTE
ωh=
Conhecida como temperatura de Einstein. Como as forças de ligação dos átomos são maiores nos sólidos duros, que nos sólidos macios
A freqüência de oscilação dos átomos e a temperatura de Einstein devem ser maiores nos sólidos duros
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No diamante a TE= 1300K e portanto a 300K (ambiente) CV é muito menor que 3R
Calor específico molar do diamante
A concordância entre a teoria e os dados experimentais mostra a que a proposta feita por Einstein estácorreta, mas para temperaturas muito baixas os pontos experimentais estão acima da curva Modelo de Einstein usou modelo simplificado
todos os átomos oscilam com a mesma freqüência
|
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Dulong-Petit
Debye
Θ → temperatura de DebyeΘ = ħωD/k
velocidade das ondas elásticas no sólido
3/1A
4π9
=Θ
VN
khv
Um modelo mais realista foi proposto por P. Debye
Tratou o sólido como um sistema de osciladores acoplados, capazes de oscilar com qualquer freqüência entre 0 e o valor máximo ωDusada para definir a temperatura de Debye
ΘFe = 465 KΘAl = 395 KΘAg = 210 K
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O He Líquido
Qual a melhor distribuição para o He líquido, a 4,2 K, cuja densidade éde 0,124 g/cm3:
( )( ) VmkT
NheNh
VmkTe 2/3
3
3
2/3
π2π2
=⇒= −ααVimos que
⇒ e-α << 1 para que a função de distribuição de Boltzmann possa ser usada.
32832323
atomos/m 109,1cm/m) 10(g/cm 124,0g/mol 4106
⋅=⋅⋅⋅
=VN
( )( )
( )( )
110105,1106,3
eV 25eV 4π2109,1eV.m 24,1
eV 0,025GeV 4π2109,1keV.nm 24,1
64
10
2/3
103
2/3
283
>>≈⋅⋅
=⋅⋅
⋅⋅=
=⋅⋅
⋅⋅=−αe
a distribuição de Boltzmann não descreve adequadamente o comportamento do Helíquido: usar Bose-Einstein
Calcule para 1 mol de He em CNTP
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F. London (1938): sugeriu tratar o He líquido como um gás ideal que obedece a distribuição de Bose-Einstein (para entender o comportamento do He em baixas temperaturas).
Keesom e Wolfke (1928): descontinuidade da curva relacionada a transição de fase (He1 → He2). O He2 seria composto por 2 fluidos: uma fração normal, com as mesmas características do He1 e uma fração superfluida (fluído de viscosidade nula). Na fase superfluida, todos os átomos de He estariam no mesmo estado quântico.
Em 1924, Kamerlingh-Onnes e Bokshaviam medido a densidade do He em função de T e observado uma anomalia em T=2,17K
He2
He1
Quanto menor a T, maior a fração do estado superfluido.
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Acima do ponto λ o He ferve violentamente e deixa de fazê-lo abaixo, embora continue evaporando → aumento da condutividade térmica quando Heultrapassa o ponto λ. O He2 conduz melhor o calor que qualquer metal (2000 vezes maior do que a do cobre à Tamb).
A transição de fase He1 → He2 é clara na curva do calor específico em função da temperatura. O ponto de transição éconhecido como ponto λ:
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Transição de He1 para He2
Abaixo do pontoλ o He pára de ferver e o superfluido passa pelos estreitos canais do fundo do recipiente
Acima do pontoλ o He ferve violentamente
He2He1
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Efeito do filme migrante:
Quando um recipiente com He líquido a uma temperatura abaixo do ponto λ é mergulhado em um banho de He líquido a mesma temperatura e depois retirado, um filme de superfluído sobe pelas paredes internas do recipiente, desce pelas paredes externas e pinga no reservatório abaixo até o nível do liquido no interior se tornar igual ao nível de líquido no exterior ou o recipiente se esvaziar.
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O 3He superfluído
Durante muito tempo acreditava-se que o 3He não podia se tornar um superfluído já que o núcleo de 3He (átomo como um todo) com spin ½e portanto deve obedecer o princípio de exclusão de Pauli.
Mas no início de 1970, Lee, Osheroff e Richardson mostraram que a uma temperatura de 2,7mK, os spins de pares de átomos de 3He podem se alinhar paralelamente, criando bosons de spin 1, o que permite que o líquido passe para o estado superfluído
Mais tarde foram descobertos mais dois estados superfluídos do 3HeSpin 0 (pares de átomos com spins antiparalelos) com Tc=1,8mKSpin 1 (criado quando um campo magnético alinha os spins dos pares dos átomos)
Os três cientistas receberam o prêmio Nobel de física em 1996 pela descoberta
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Na distribuição de Bose-Einstein o número de partículas no intervalo dE é dado por n(E)dE, onde n(E) 1
)()( / −= ktEee
EgEn α
( )
( )∫
∫ ∫∫∞
∞ ∞∞
−=
=−
===
0
2/1
3
2/30 0
2/1
3
2/3
0
12π2
12π2)()()(
dxeex
hVmkT
dEeeE
hVmdEEfEgdEEnN
x
kTEBose
α
α
com x = E/kT
O problema com a nossa contagem de número de estados, é que usamos uma distribuição contínua de energias. Quando E é grande, isso não é um problema, pois a densidade de estados é muito grande. Mas, quando E → 0, temos problemas, pois, g(E) ∝ E1/2 ⇒ g(E) = 0 se E = 0.
Isso não é um problema para um gás de férmions, onde cada estado sópode ser ocupado por 2 férmions de spins opostos. Ou seja, estaríamos ignorando 2 partículas em 1 mol (1022). Mas, no caso de bósons, principalmente quando T é baixa, a probabilidade de haver muitos bósons no estado de energia mais baixa é muito grande e aí nossa contagem erra feio. Ou seja, nossa condição de normalização deixa de valer abaixo de uma temperatura crítica, TC.
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Esta temperatura Tc corresponde ao menor valor possível de α, α=0. E isto significa que em temperaturas muito baixas existe um no significativo de partículas no estado fundamental
Vamos então assumir a normalização como:
( ) ( ) )(1
2π2 2/30
0
2/1
3
2/3
0 αα GkTAVndxeex
hVmkTnN x +=
−+= ∫
∞
Com: ∫∞
−=
0
2/1
1)( dx
eexG xαα incluir explicitamente o
estado fundamental
Aí podemos discutir 2 limites:αα −→ eG
2π)(
612,22π)0( →G
1) Para α muito grande:
e 2) para α = 0:
( ) )(2/30 αGkTAVNn −=
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Quando α ~ 1/N (eα ≈ 1) já é suficientemente pequeno para que possamos usar o resultado de G(0) e determinar o número de partículas no estado fundamental:
( ) ( ) 612,22π)0( 2/32/3
0 kTAVNGkTAVNn −=−=
−=
2/3
0 1CT
TNn2/3
0 1
−=
CTT
NnOu:
( )3
2/322hmkA π
=
VN
=ρ
3/2
π612,221
=
AVN
kTC
; e
3/22
612,2π2
=
ρkm
TCh
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3/22
612,2π2
=
ρkm
TCh No caso do He, TC:
⇒
⋅=
− 3/2328
2
22
612,2m 109,1π2
kmccTC
h
( )
K 74,2K 8,6
3,75π2
m 1027,7eV.K 108,6GeV 4
MeV.fm) π(2002 3/232715
2
=⋅
=
=⋅⋅⋅
=⇒ −−-CT
O valor de 2,74K pode ser considerado razoável se considerarmos que no modelo teórico usamos a hipótese de que o Helíquido se comportava como um gás ideal.
Abaixo dessa temperatura (na verdade 2,17 K), a fração de átomos no estado fundamental (com propriedades de superfluido) aumenta.
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Boltzmann como boa aproximação das distribuições quânticas Quando o no médio de partículas por estado quântico é muito menor do que 1, as distribuições quânticas se confundem com a clássica
( )( )
( )( )
kTegg
nn 12
1
2
1
2εε
εε
εε −
−=
Que fornece o no relativo de partículas por estado quântico a duas energias diferentes
Fator de Boltzmann:
Podemos usá-lo para determinar a razão de ocupação de estados em um sistema quântico, quando ε >> kT. Exemplo: colisões térmicas de átomos em um gás à temperatura T. Estados excitados são pouco populados ⇒ podemos usar o fator de Boltzmann para determinar as populações relativas e determinar as correspondentes intensidades de transição. Ou vice-versa, como discutimos no caso da determinação de temperatura de estrelas a partir da observação de espectros.Vamos usar o fator de Boltzmann para estudar o funcionamento do LASER.
Light Amplification by Stimulated Emission of RadiationAmplificação de Luz pela Emissão Estimulada de Radiação