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Lista G.A. - USP
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10a Lista de Exerccios de SMA300 - Geometria Analalca (Revis~ao)
Fevereiro de 2014
1. Quais das seguintes matrizes A =
0@ 2 1 00 3 11 1 4
1A ; B =0@ 1 1 00 2 2
1 0 2
1A e C = 3 57 10
s~ao in-
versveis? Quando sua resposta for armativa, calcule a matriz inversa.
2. Mostre que:
a) Se A e uma matriz n n inversvel, ent~ao a matriz x = O (matrix coluna n 1, identicamente nula) ea unica soluc~ao da equac~ao matricial A x = O.b) Se A e uma matriz n n inversvel, ent~ao a equac~ao matricial A x = b tem uma unica soluc~ao.
3. Considere o seguinte sistema linear:
8
29. Um tratador de animais de um zoologico precisa dar 42 mg de vitamina A e 65 mg de vitamina D, pordia, a um determinado animal. Ele possui dois suplementos alimentares disponveis: o primeiro contem10% de vitamina A e 25% de vitamina D, enquanto que o outro contem 20% de vitamina A e 25% devitamina D. Quanto de cada suplemento deve ser dado ao animal diariamente.
10. As entradas para um parque de divers~oes custam R$ 7; 00 para adultos, R$ 2; 00 para jovens e R$ 0; 50 paracriancas. Se 150 pessoas entrarem no parque e a arrecadac~ao nal for R$ 100; 00, determinar o numero deadultos, de jovens e de criancas que entraram (Sugest~A$o: os numeros procurados dever~A$o ser inteirosn~ao negativos).
11. Considere a seguinte matriz-codigo:
M =
0@ 3 2 03 3 11 0 1
1AA partir da corresponde^ncia:
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
uma palavra de tre^s letras e transformada em uma matriz coluna v. Em seguida o codigo da palavra e obtido pela operac~ao Mv.(a) Encontre a matriz coluna correpondente a palavra MAR.(b) Encontre a codicac~ao da palavra MAR.
(c) Decodique w =
0@ 648029
1A.12. A empresa K produz caminh~oes e avi~oes. Para produzir um caminh~ao, a empresa K necessita de uma
tonelada de aco, 40 quilos de borracha e 2 meses de trabalho. Para produzir um avi~ao, necessita de 50 tone-
ladas de aco, 1000 quilos de borracha e 50 meses de trabalho. Considere as matrizes A =
0@ 1 5040 10002 50
1Ae X =
x1x2
, onde x1 e o numero de caminh~oes produzidos e x2 e o numero de avi~oes produzidos.
Interprete o produto AX. Se y1 e o custo de cada tonelada de aco, y2 e o custo de cada quilo de borrachae y3 e o custo de cada me^s de trabalho, qual e o custo de um caminh~ao e de um avi~ao? Como representar
o custo matricialmente por meio de um produto da forma BY onde Y =
0@ y1y2y3
1A?13. Suponha que um estudo demograco mostre que a cada ano cerca de 5% da populac~ao do centro de uma
cidade muda-se para a periferia (e 95% permanece no centro), enquanto que 3% da populac~ao da perifeiramuda-se para o centro (e 97% permanece na periferia).
(a) Que fatos devemos ignorar para que a seguinte equac~ao matricial x1 =
0; 95 0; 030; 05 0; 97
xo: descreva
a mudanca na populac~ao de um ano para outro? Supondo esses fatos, interprete a equac~ao acima. A
matrix A =
0; 95 0; 030; 05 0; 97
e chamada matriz de migrac~ao.
(b) Se xo =
roso
, onde ro e o numero de pessoas que vivem no centro e so e o numero de pessoas que
vivem na periferia num determinado ano, o que representa a formula xk+1 = Akxo, onde k e um numero
natural?