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UNIVASFUNIVASFAnAnáálise de Sinais e Sistemaslise de Sinais e Sistemas
Prof. Rodrigo [email protected]
IntroduIntrodu çção aos Sinaisão aos Sinais
ClassificaClassificaçção de Sinaisão de Sinais
Sinais geralmente transportam informações a respeito do estado ou do comportamento de um sistema físico e, geralmente, são sintetizados para a comunicação entre humanos ou entre humanos e máquinas
Sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis independentes
– Um sinal de voz pode ser representado matematicamente como uma função do tempo
– Um imagem fotográfica pode ser representada matematicamente como a variação do brilho e da cor em função de duas variáveis no espaço
SinaisSinais
Sinais Determinísticos– Podem ser representados por uma função analítica
• É possível determinar precisamente o valor do sinal em um dado instante de tempo
• ex: f(t)=Acos(ωot), onde A e ωo são constantes
Sinais DeterminSinais Determiníísticos x Sinais Aleatsticos x Sinais Aleatóóriosrios
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (s)
Am
plitu
de (
V)
Sinal Determinístico
Sinais Aleatórios– Sinal sobre o qual há incerteza antes de sua ocorrência.
– Só podem ser representados por suas características estocásticas (média, variância, autocorrelação etc)
• Não podem ser representados por uma função analítica (não épossível determinar precisamente o valor do sinal em um dado instante de tempo)
• ex: f(t)=Acos(ωot), onde A é uma V.A. contínua Gaussiana
• ex: f(t) é um sinal de voz
Sinais DeterminSinais Determiníísticos x Sinais Aleatsticos x Sinais Aleatóóriosrios
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Tempo (s)
Am
plitu
de (
V)
Sinal Aleatório - Voz
Sinais em Tempo Contínuo– Definidos ao longo de todos os instantes de tempo num intervalo
possível de valores. Portanto, podem ser representados por uma variável independente contínua
• x(t) onde t pode assumir qualquer valor real
Sinais em Tempo Discreto– Definidos apenas em instantes distintos do tempo num intervalo
possível de valores. Portanto, podem ser representados por uma variável independente discreta
– São matematicamente representados como sequências de números
• x[n] onde n ∈ ...-3,-2,-1,0,1,2,3...
– Normalmente são derivados de sinais em tempo contínuo através do processo de amostragem
Tempo ContTempo Contíínuo x Tempo Discretonuo x Tempo Discreto
Sinais Analógicos– Variação contínua da amplitude
– Número infinito de símbolos
Sinais Digitais– Variação discreta da amplitude
– Número finito de símbolos
– Maior imunidade ao ruído e distorção do canal
– Regeneração do sinal empregando repetidores (TX noise free)
– Codificação• Multiplexação de sinais digitais é mais simples e eficiente
Sinais Digitais x Sinais AnalSinais Digitais x Sinais Analóógicosgicos
1
-1
Sinais Digitais x Sinais AnalSinais Digitais x Sinais Analóógicosgicos
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sinal Analógico
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sinal em Tempo Discreto
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2
-1
0
1
2
3
4
Sinal Digital
Sinal Contínuo
em Amplitude e
no Tempo
(Sinal Analógico)
Sinal Contínuo
em Amplitude e
Discreto no Tempo
Sinal Discreto
em Amplitude e
no Tempo
(Sinal Digital)
Tempo-Contínuo x Tempo-Discreto– O termo discreto significa quantização no tempo
Analógico x Digital– Digital significa quantização na amplitude
Um processador de sinais digitais (DSP) é um sistema digital em tempo discreto– Um DSP é adequado para implementação de filtros digitais LTI
Tempo ContTempo Contíínuo x Tempo Discretonuo x Tempo Discreto
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
f(t)
Sinal Periódico
Sinais Periódicos– Apresentam uma repetição de seus valores de amplitude a
intervalos regulares de tempo
– Satisfazem a condição:• f(t) = f(t + kT0), para todo t
• Onde, T0 é o período fundamental de repetição e k é um no inteiro
• De forma equivalente, f0 = 1/T0 é a freqüência fundamental
– A área sob qualquer intervalo de duração igual a kT0 é a mesma• Integrar de 0 a T0 é equivalente a integrar de –T0/2 a T0/2
Sinais PeriSinais Perióódicos x Sinais Aperidicos x Sinais Aperióódicosdicos
To 2To
Sinais Aperiódicos– Não existe T0 que satisfaça a condição de periodicidade
– Não apresentam um repetição de seus valores de amplitude a intervalos regulares de tempo
Sinais PeriSinais Perióódicos x Sinais Aperidicos x Sinais Aperióódicosdicos
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
f(t)
Sinal Aperiódico
Sinais Causais– Definidos apenas para t>0
Sinais Não-Causais– Definidos para t>0 e t<0
Sinais Anti-Causais– Definidos apenas para valores de t<0
Sinais Causais x Sinais NãoSinais Causais x Sinais Não--CausaisCausais
Energia e Potência de Sinais (Tamanho do sinal)– A energia e a potência de um sinal podem ser definidas
considerando uma resistência normalizada de 1 Ω– Deste modo, tem-se que a energia total e potência média de um
sinal podem ser obtidas por:
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
dttfET
TT ∫
−∞→
=2/
2/
2)(lim
∫−
∞→=
2/
2/
2)(
1lim
T
TT
dttfT
P
– Para sinais periódicos, a potência média do sinal é dada por:
∫−
=2
2
2)(
1 o
o
T
To
dttfT
P
P = v2 / R
P = i2 . R
Sinal de Energia – Um sinal é dito de energia se 0 < E < ∞
Sinal de Potência – Um sinal é dito de potência se 0 < P < ∞
Regra geral– Sinais periódicos e os aleatórios são sinais de potência
(power signal)
– Sinais determinísticos aperiódicos são sinais de energia (energy signal)
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
Exemplo: Determinar as medidas adequadas para os sinais abaixo:
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
Exemplo de Sinal de Energia
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
Exemplo de Sinal de Potência
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
Sinais de Potência– Duração infinita
– Potência normalizada finita e não-zero
– Energia média normalizada sobre um intervalo infinito igual a infinito
– Tratável matematicamente
Sinais de Potência x Sinais de EnergiaSinais de Potência x Sinais de Energia
Sinais de Energia– Duração finita
– Energia normalizada finita e não-zero
– Potência média normalizada sobre um intervalo infinito igual a zero
– Fisicamente realizável
Sinal Par – Um sinal xe(t) é dito ser par se xe(t) = xe(-t).
– Um sinal par possui os mesmos valores para os instantes t e -t (simétrico).
Sinal Ímpar – Um sinal xo(t) é dito ser ímpar se xo(t) = -xo(-t).
– O valor do sinal ímpar no instante t é o negativo de seu valor em -t (anti-simétrico).
Sinais Pares x Sinais Sinais Pares x Sinais ÍÍmparesmpares
Área– Sinais pares
– Sinais ímpares
Sinais Pares x Sinais Sinais Pares x Sinais ÍÍmparesmpares
OperaOperaçções Bões Báásicas sicas
com Sinaiscom Sinais
Multiplicação por escalar– Modifica a amplitude do sinal original– Se x(t) for um sinal, uma mudança de escala é dado
pelo sinal y(t) = cx(t)• Se c > 1 tem-se uma amplificação• Se 0 < c < 1 tem-se uma atenuação
OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais
Escalonamento temporal– Modifica a duração do sinal original
OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais
O sinal f(2t) é f(t) comprimido por um fator de 2.
O sinal f(t/2) é f(t) expandido por um fator de 2.
Em geral:
- se f(t) é comprimido de um fator a > 1, o sinal resultante será f(at).
- se f(t) é expandido de um fator a > 1, o sinal resultante será f(t/a).
Deslocamento Temporal– Realiza o deslocamento do sinal original sobre o eixo do tempo
– y(t) = x(t - T)
• Se T > 0 tem-se atraso no tempo
• Se T < 0 tem-se adiantamento no tempo
OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais
Reversão Temporal– Realiza o rebatimento do sinal em relação ao eixo do tempo
– y(t) = x(-t)
Exemplo: Dado g(t), encontrar g(-t)
OperaOperaçções Bões Báásicas com Sinaissicas com Sinais
Tipos de SinaisTipos de Sinais
Pulso Unitário com largura τ e amplitude 1/τ
cuja área é unitária:
Pulso UnitPulso Unitááriorio
∫∞
∞−=1 )( dttpτ
t
><<<
=τ
τττ tout
ttp
00
01)(
0 τ
pτ(t) 1/τ
Um Pulso Porta Unitário tem largura ∆ e amplitude 1
Pulso Porta UnitPulso Porta Unitááriorio
τ/2−τ/2t
0
1
( )
>
<=
20
21
τ
τ
t
ttret
Nota: para τ = 1, a área
do pulso é unitária
τt
ret
Um Pulso Triangular Unitário tem base ∆ e altura 1
Pulso Triangular UnitPulso Triangular Unitááriorio
( )
≥
<−=∆
20
221
τ
ττ
t
tt
t
0
1
tτ/2−τ/2
( )t∆
Idealismo matemático para um evento instantâneo– Função Delta de Dirac
• δ(t) = 0 para t ≠ 0
• δ(0) é indefinida, mas tem área unitária:
• Caso limite do pulso retangular unitário:
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
∫∞
∞−=1 )( dttδ
( ) ( )tpt εεδ
0lim
→=
Principais Propriedades
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
∫∞
∞−
=−⋅ )()()( oo tfdttttf δ
)(1
)( ta
at δδ ⋅=
)()( tt −= δδ
∫∞
∞−=1 )( dttδ
)()0()()( txttx δδ = )()()()( TtTxTttx −=− δδ
Operações com a função δ(t)
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
t
( )tδ
0
∫∞
∞−
=⋅ )0()()( fdtttf δ ∫∞
∞−
=−⋅ )()()( oo tfdttttf δ
t
( )ott −δ
0 to
f (t) f (t)
f (0)f (to)
Pode-se simplificar δ(t) sob a operação de integração
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
( ) ( ) ( )∫∞
∞−=⋅ 0fdtttf δ
( ) ( )∫−
∞−=⋅
1?dtttf δ
O que resulta de
Resposta: 0
Outros exemplos
Impulso UnitImpulso Unitááriorio
O que ocorre nas vizinhanças da origem?
( )
( )( ) ( ) ( )
∫
∫
∫
∞
∞−
−−−−
∞
∞−
∞
∞−
−
=−
=
−
=
222
2
0 4
cos 2
1
xtx
tj
edtte
dtt
t
dtet
δ
πδ
δ ϖ
∫−
∞−=
00 )( dttδ
∫+
∞−=
01 )( dttδ
∫ ∞−=
0? )( dttδ
Degrau Unitário– A função degrau foi introduzida por Heaviside e é comumente
referida na matemática como função de Heaviside
Degrau UnitDegrau Unitááriorio
( )
><
=01
00
t
ttu
0
1
t
u(t)
Relação entre o Impulso Unitário e o Degrau Unitário
( ) ( )tdt
tdu δ=( ) ( )
<>
== ∫∞− 00
01
t
tdtu
t
ττδ
Se quisermos um sinal que comece em t = 0, basta multiplicá-lo por u(t).
Por exemplo, e-at representa uma exponencial não-causal. Para obtermos sua forma causal, fazemos e-atu(t)
Degrau UnitDegrau Unitááriorio
Resumo de operações com o Degrau Unitário
FunFunçção Degrau Unitão Degrau Unitááriorio
t
u(t)
0
t
t
u(t - ∆)
∆u(t + ∆)
-∆
t
u(-t)
0
t
t∆
u(-t + ∆)
-∆
t-u(t)
0
t
t
-u(t - ∆)∆
-u(t + ∆)-∆
t u(t) – u(t) u(t – 1) u(t + 1) u(– t – 1) u(– t + 1)-2 u(-2)= 0 u(-2)= 0 u(-3)=0 u(-1)=0 u(1)=1 u(3)=1
-1 u(-1)= 0 u(-1)= 0 u(-2)=0 u(0)=1 u(0)=1 u(2)=1
0 u(0)= 1 u(0)= -1 u(-1)=0 u(1)=1 u(-1)=0 u(1)=1
1 u(1)= 1 u(1)= -1 u(0)=1 u(2)=1 u(-2)=0 u(0)=1
2 u(2)= 1 u(2)= -1 u(1)=1 u(3)=1 u(-3)=0 u(-1)=0
u(-t - ∆)
Relação entre o Pulso Unitário e o Degrau Unitário
FunFunçção Degrau Unitão Degrau Unitááriorio
( )
−−
+=22
ττtututret
( ) ( ) ( )[ ]τττ −−= tututp1
Relação entre o pulso Porta Unitário e o Degrau Unitário
1
t
0
t
t
u(t - τ/2)
u(t + τ/2) - u(t - τ/2)
τ/2
1/τ
t
u(t)
0
t
t
u(t - τ)
u(t) - u(t - τ)
τ
u(t + τ/2)
-τ/2
Função Sign
FunFunçção Sign (Sinal)ão Sign (Sinal)
( )
><−
=01
01sgn
t
tt
0
1
t
sgn(t)
–1
Relação entre a função Sign e o Degrau Unitário
FunFunçção Sign (Sinal)ão Sign (Sinal)
( ) ( ) ( )tutut −−=sgn
( ) ( ) 12sgn −⋅= tut
1
t
u(t)
0
t
t
u(-t)
u(t) - u(-t)
-1
Função de Amostragem (Sampling)– Função Par
– Zeros em ±π, ±2π, ±3π, …– Amplitude decai proporcionalmente à 1/x
FunFunçção de Amostragemão de Amostragem
0
1
x
Sa(x)
π−π 2π 3π−2π−3π
( )x
xxSa
)sen(=
Em vários livros de comunicação (Lathi)
costuma-se usar a mesma definição
para as funções de amostragem (Sa) e
de interpolação (Sinc)
Propriedades Básicas das Funções Senoidais
Sinal SenoidalSinal Senoidal
Principais Identidades Trigonométricas
Sinal SenoidalSinal Senoidal