FACAM CURSO DE MATEMTICA

EDSON DOS SANTOS VASCONCELOS

MODELAGEM MATEMTICA: PERSPECTIVAS DE UM ENSINO CONSTRUTIVO

Brejo/MA 2014

EDSON DOS SANTOS VASCONCELOS

MODELAGEM MATEMTICA: PERSPECTIVAS DE UM ENSINO CONSTRUTIVO

Monografia apresentada ao Curso de Licenciatura Plena em Matemtica, como requisito necessrio para a obteno do ttulo de Licenciado em Matemtica, da Faculdade do Maranho-FACAM.

Orientador: Prof. Wagner S

Brejo/MA 2014

EDSON DOS SANTOS VASCONCELOS

MODELAGEM MATEMTICA: PERSPECTIVAS DE UM ENSINO CONSTRUTIVO

Monografia apresentada ao Curso de Licenciatura Plena em Matemtica, como requisito necessrio para a obteno do ttulo de Licenciado em Matemtica, da Faculdade do Maranho-FACAM.

Aprovado em:___/___/___

BANCA EXAMINADORA

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Prof. Wagner S (Orientador) Faculdade do Maranho-FACAM

______________________________________________

1 Examinador(a)

_______________________________________________

2 Examinador(a)

AGRADECIMENTOS

DEUS, pelas numerosas maravilhas que realizastes em minha vida. A minha esposa Tunsia e ao meu filho Eric, por terem acreditado sempre em meu potencial, por terem compreendido minha ausncia quando foram privados da minha presena durante os meus estudos, e por terem sido fundamentais no progresso da minha formao pessoal e profissional. Ao professor Wagner S pela ateno dispensada na orientao da elaborao da monografia, e tambm pelas instrues fornecidas por ela durante a graduao, as quais me auxiliaram em meu crescimento profissional. queles que estiveram ao meu lado tanto no desenvolvimento deste estudo como em outras experincias significativas.

impossvel explicar honestamente as belezas contidas nas leis da natureza, de uma forma que as pessoas possam senti-las, sem elas tenham uma boa compreenso da Matemtica.

Richard Feynman

RESUMO

Este trabalho apresenta uma proposta de aplicao da Modelagem Matemtica como Estratgia de Ensino e Aprendizagem de Matemtica, tendo como finalidade buscar um ensino mais significativo de Matemtica, contextualizando a disciplina no dia-a-dia do aluno e tambm, levantar alguns pontos que possam subsidiar a aprendizagem da Matemtica. Para tanto apresentamos a caracterizao do Ensino Fundamental, contextualizamos a implantao do Ensino Fundamental de Nove Anos e relatamos o planejamento escolar na rea de Matemtica. Depois desta realizao, abordamos os conceitos de Modelagem Matemtica mostrando as contribuies e a utilizao da mesma no processo de ensino e aprendizagem no Ensino Fundamental e Mdio, e em seguida apresentamos uma proposta de aplicao de Modelagem Matemtica.

Palavras chave: Modelagem Matemtica, Ensino Fundamental, Estratgia de Ensino e Aprendizagem.

ABSTRACT

This work presents a proposal of application of Mathematical Modeling as Learning and Teaching Mathematics Strategy, and aims to seek a more meaningful teaching of Mathematics, contextualizing the discipline in day-to-day student and also raise some points that can support learning of mathematics. For that we present the characterization of elementary school, we contextualize the implementation of the Nine-Year Basic Education and report the school planning in the area of Mathematics. After this realization, we discuss the concepts of mathematical modeling showing the contributions and the use of it in teaching and learning in primary and secondary education process, and then present a proposal for the application of Mathematical Modeling.

Keywords: Mathematics, Elementary Education, Teaching and Learning Strategy Modeling.

SUMRIO

1 INTRODUO .................................................................................................... 9 2 ENSINO FUNDAMENTAL ................................................................................ 13 2.1 Ensino Fundamental de Nove Anos .............................................................. 14 2.2 Matemtica no Ensino Fundamental ............................................................. 15 2.3 Competncias e Habilidades ......................................................................... 17 2.4 Contedo Programtico ................................................................................. 20 2.5 Avaliao ......................................................................................................... 23 2.5.1 Critrios de Avaliao para 1 e 2 sries ......................................................... 23 2.5.2Critrios de Avaliao para 3 e 4 srie ........................................................... 24 3 MODELAGEM MATEMTICA ......................................................................... 25 4 MODELAGEM MATEMTICA NA EDUCAO MATEMTICA .................... 27 5 A MODELAGEM E AS TECNOLOGIAS DA INFORMAO .......................... 30 5.1 A Modelagem e a TIC na Educao Matemtica .......................................... 30 5.2 A Modelagem como um ambiente de aprendizagem ................................... 33 6 CONCLUSO ................................................................................................... 44 REFERNCIAS ................................................................................................ 45

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1 INTRODUO

O papel da Matemtica na sociedade, segundo Barbosa (2001), reconhecido pelas suas aplicaes na soluo de problemas naturais, humanos ou sociais, geralmente obtidas com a utilizao dos modelos matemticos, que parecem descrever satisfatoriamente os fenmenos que os suscitam, independentemente da interferncia humana.

A disciplina de Matemtica, por vrias razes, considerada muito difcil e desinteressante para muitos, e at inacessvel para outros. No entanto, h muitas pessoas cientes que o conhecimento matemtico muito importante para o mundo moderno.

O ensino da Matemtica deve ter por finalidade preparar cidados para atuarem de forma conhecedora e confiante na sociedade e no apenas visar transmisso de contedos. No ensino da Matemtica, pode-se observar alguns pontos crticos, como as dificuldades que os alunos encontram em conceituar matemtica, nmeros e as operaes bsicas, ausncia de significado com relao Matemtica, falta de relao entre a matemtica e outras reas do conhecimento, bem como sua utilizao na vida diria. Percebe-se assim que a Matemtica no lhes ensinada como uma disciplina a ajudar no desenvolvimento do pensamento e raciocnio lgico, mas sim de forma mecnica sem uma construo e sem ligao com o cotidiano do aluno.

Diante da constatao dos obstculos do ensino da Matemtica, procuramos referncias a algumas estratgias de ensino que poderiam minimizar o problema do ensino e da aprendizagem desta disciplina. Pesquisas nos apontaram para a Modelagem Matemtica, a qual tem se apresentado como uma alternativa relevante para o processo de ensino e aprendizagem da Matemtica em diferentes contextos.

Segundo Bassanezi (2002), a Modelagem Matemtica pode ser utilizada como estratgia de ensino e aprendizagem, sendo um caminho para tornar a Matemtica, em qualquer nvel, mais atraente e agradvel.

A Modelagem Matemtica uma metodologia alternativa para o ensino da Matemtica que pode ser aplicada no Ensino Fundamental, no Ensino Mdio, no Ensino Superior e em Ps-Graduao.

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Para Orey e Rosa (2005) impossvel a tentativa de localizar no tempo e no espao a primeira vez em que foram expressos os interesses e a preocupao em relao Modelagem Matemtica. Observa-se que a mesma se manifesta desde os tempos mais remotos atravs de situaes isoladas e pouco sistematizadas e que muitas vezes, a ausncia de registro impede o entendimento dos acontecimentos que levaram os cientistas, os filsofos, e os matemticos a inventarem modelos que ainda so constantemente utilizados na contemporaneidade.

Algumas realizaes significativas somente puderam ser transmitidas s geraes futuras com o aparecimento da escrita, o que permitiu aos historiadores a difuso do conhecimento acumulado pelas civilizaes.

Alguns momentos histricos importantes nos quais a Modelagem e os seus modelos estiveram presentes no processo criativo da humanidade so descritos abaixo. Esta descrio possui como referncia Orey e Rosa (2005).

a) Os autores consideram a inveno da roda pelos sumrios no ano 3000 a.C. como um dos primeiros modelos matemticos produzidos pela humanidade, pois, quando observaram um tronco de rvore rolando por um declive, tiveram a ideia de fazer rolar cargas mais pesadas, colocando-as sobre objetos rolantes, ao invs de carreg-las sobre os ombros.

b) Para fazer predies necessrias sobre os destinos dos governantes, os babilnios (2000 a.C.) tornaram-se observadores astutos e matemticos hbeis. Este fato permitiu que eles elaborassem um modelo que retratasse os movimentos celestes.

c) Outro aspecto importante a tentativa de modelar algumas situaes que podem ser encontradas nas gravuras e artes plsticas das civilizaes da antiguidade. Textos histricos revelam que alguns problemas investigados pelos egpcios (3000 a.C.) eram rigorosamente modelados matematicamente. Por exemplo, as enchentes do Rio Nilo, suscitaram a necessidade de uma nova maneira para medir a terra, levando os agrimensores da poca a formularem regras geomtricas para resolverem este problema.

d) A busca pelo saber foi a grande caracterstica da civilizao grega (1500 a.C.), que tambm contribuiu para o incio do processo de Modelagem Matemtica.

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Ainda de acordo com Orey e Rosa (2005) a manifestao da Modelagem tambm ocorreu atravs dos grandes cientistas que produziram famosos modelos ao longo da histria:

- Tales de Mileto (639-568 a.C.), filsofo grego, surpreende os egpcios utilizando semelhana de tringulos para calcular a altura das pirmides a partir da sombra por elas projetadas.

- Pitgoras (570-500 a.C.), filsofo grego, elaborou um modelo matemtico para a msica, no qual observou o comprimento das cordas vibratrias que produzem ondas sonoras em mtua harmonia.

- Plato (427-347 a.C.), filsofo grego, formulou um modelo que props movimentos regulares e ideais para o firmamento. Ele tambm elaborou um modelo para representar o universo que era baseado no dodecaedro.

- Eudxio (400-350 a.C.), matemtico e filsofo grego, elaborou um modelo geomtrico, com movimentos circulares e uniformes, para representar os fenmenos celestes, no qual a Terra ocupa a posio central do universo.

- Arquimedes (287-212 a.C.), matemtico e fsico grego, cria um modelo que combina as dedues matemticas com os resultados das experincias, permitindo-o descobrir as leis fundamentais da esttica, como por exemplo, o princpio da alavanca e da balana.

- Eraststenes (276-196 a.C), matemtico e filsofo grego, criou um modelo matemtico para calcular a circunferncia da Terra.

- Com relao ao sistema planetrio, um dos modelos matemticos mais conhecidos o de Ptolomeu (85-165), astrnomo, gegrafo, e matemtico egpcio, que criou um modelo que foi muito importante para os descobrimentos que ocorreram no sculo XV.

- Euclides (265-325), matemtico egpcio, rene os conhecimentos geomtricos da poca para criar um modelo de organizao formal da matemtica, que apresentado na coleo Os Elementos.

- Leonardo da Vinci (1452-1519), pintor, escultor e engenheiro italiano, fez um modelo para o helicptero e paraquedas.

- Posteriormente, Nicolau Coprnico (1473-1543), astrnomo polons, atravs de observaes e experimentos, introduziu novos elementos no modelo ptolomaico, refinando-o, o que permitiu-lhe lanar a teoria heliocntrica, na qual o Sol o centro dos movimentos de todos os planetas de seu sistema.

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- Galileu Galilei (1564-1642), matemtico e fsico italiano, elabora modelos para a queda dos corpos e para o movimento parablico dos projteis.

- William Harvey (1578-1657), fsico britnico, observando a circulao sangunea, descobriu que as vlvulas do corao impedem que o sangue retorne. Assim, Harvey utilizou um modelo matemtico para demonstrar a circulao do sangue.

- Ren Descartes (1596-1650), fsico, matemtico e filsofo francs, elaborou um modelo no qual ele reconhece as relaes entre as equaes algbricas e os lugares geomtricos. Neste contexto, a lgebra torna-se aplicvel aos problemas geomtricos e a representao geomtrica fornece lgebra, uma caracterstica grfica concreta.

- Issac Newton (1642-1726), matemtico e filsofo ingls, descobriu o Clculo e elaborou a Teoria Gravitacional Universal.

Orey e Rosa (2005) ainda afirmam que apesar de a Modelagem Matemtica ter sido constantemente utilizada desde os primrdios das civilizaes, o termo modelo matemtico somente foi introduzido no sculo XIX, por Lobachewsky (1792-1856), matemtico russo e Riemann (1826-1866), matemtico alemo, que criaram os modelos propostos pelas geometrias no-euclidianas.

Na concepo de Garding (1997, p.1), o modelo uma tentativa de o homem compreender o mundo sua volta, organizando suas observaes e idias em estruturas conceptuais.

Diante deste contexto percebe-se que a Modelagem Matemtica no uma novidade deste sculo, pois desde o incio do desenvolvimento das Cincias a ideia de modelos sempre esteve presente na humanidade, e tambm porque desde os tempos mais remotos o indivduo procura resolver os problemas de sua existncia com os recursos que o prprio meio em que vive oferece, buscando para isso conhec-lo e compreend-lo.

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2 ENSINO FUNDAMENTAL

Ensino Fundamental a etapa inicial da Educao Bsica no Brasil, com durao de nove anos, envolvendo crianas e adolescentes com idade entre 6 e 14 anos. Foi reformulado pela Lei de Diretrizes e Bases de Educao (Brasil, 1996), tomando o lugar do ento chamado Ensino de 1 Grau, que consistia do curso primrio (com 4 a 5 anos de durao) e do curso ginasial, com 4 anos de durao, aps os quais vinha o curso secundrio: curso normal (magistrio), curso clssico ou curso cientfico.

O Ensino Fundamental subdividido em dois nveis, a saber: dos 6 aos 10 anos, Classe de Alfabetizao, 1 a 4 srie (caracterizado pela alfabetizao e solidificao dos contedos bsicos) e dos 11 aos 14 anos, 5 a 8 srie (caracterizado pela diversificao e especificidade dos contedos).

Segundo a Lei de Diretrizes e Bases da Educao - LDB - 9.394/96 (Brasil, 1996) aprovada pelo Congresso Nacional, no artigo 2 constatado que a educao dever da famlia e do Estado, e inspirada nos princpios de liberdade e nos ideais de solidariedade humana, tem por objetivo o pleno desenvolvimento do educando, seu preparo para o exerccio da cidadania e sua qualificao para o trabalho, sendo que a educao deve estar diretamente relacionada ao mundo do trabalho e prtica social.

O artigo 32, inciso I, II, III e IV desta lei, relata que o Ensino Fundamental o perodo escolar obrigatrio, com durao de nove anos, gratuito na escola pblica, inicia-se a partir dos seis anos de idade, e tem por finalidade a formao bsica do cidado mediante do desenvolvimento da capacidade de aprender, do pleno domnio da leitura, da escrita e do clculo; a compreenso do ambiente natural e social, do sistema poltico, da tecnologia, das artes e dos valores em que se fundamenta a sociedade; o desenvolvimento da capacidade de aprendizagem, tendo em vista a aquisio de conhecimentos e habilidades e a formao de atitudes e valores; e visa tambm o fortalecimento dos vnculos de famlia, dos laos de solidariedade humana e de tolerncia recproca em que se assenta a vida social. O artigo 22 ainda acrescenta que a educao bsica tem por finalidades desenvolver o educando, assegurar-lhe a formao comum indispensvel para o exerccio da cidadania e fornecer-lhe meios para progredir no trabalho e em estudos posteriores.

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Ainda de acordo com a lei 9.394/96, o artigo 6 apresenta que pais ou responsveis tm como obrigatoriedade de efetuar a matrcula dos menores de seis anos no Ensino Fundamental e fazer com que estes frequentem regularmente as aulas (e caso no faam isso, podem ser procurados pelo conselho tutelar e tero que responder por negligncia). Por outro lado, o artigo 4, inciso VIII, explica que o Estado tem por responsabilidade oferecer uma educao escolar pblica e de garantir um atendimento ao educando no Ensino Fundamental pblico por meio de programas suplementares de material didtico-escolar, transporte, alimentao e assistncia sade das crianas e jovens em perodo escolar.

Para aqueles que no comearam ou no concluram o Ensino Fundamental e Mdio na idade prpria, indicada a Educao de Jovens e Adultos (EJA), cursos supletivos nos quais a idade mnima para o ingresso de 15 anos.

No item seguinte relataremos as mudanas que ocorreram nos ltimos anos em relao ao Ensino Fundamental.

2.1 Ensino Fundamental de Nove Anos

Em julho de 2004 foi lanado o documento Ensino Fundamental de Nove Anos: orientaes gerais, produzido pela Secretaria de Educao Bsica (SEB) do Ministrio da Educao. Este documento, segundo a SEB, resultado de sete encontros regionais com gestores da educao para se debater o tema. Nele ressaltada a situao de muitos dos municpios e estados brasileiros que j adotavam o Ensino Fundamental de Nove Anos (BRASIL, 2005).

A Comisso de Educao e Cultura da Cmara aprovou um projeto de lei (PL n 3675/04) que amplia a durao obrigatria do Ensino Fundamental de oito para nove anos, e a Cmara de Educao Bsica do Conselho Nacional de Educao sancionou a lei n 11.114/05 que apresenta o prazo de at 2010 para estados e municpios se adaptarem ao novo sistema escolar.

Apesar de ter sido colocada em prtica apenas agora, a ideia de incluir um ano a mais no Ensino Fundamental discutida h aproximadamente 15 anos e j realidade para 8,1 milhes de estudantes em mais de mil cidades brasileiras. Uma das principais razes de expandi-la para o pas inteiro seria a busca de um equilbrio entre a preparao dos estudantes de escolas pblicas e particulares.

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A justificativa apresentada pelo governo federal para a incorporao de crianas de seis anos no Ensino Fundamental se d em parte pela constatao de que um nmero significativo de crianas com essa idade, filhas de famlias das classes mdia e alta, j se encontram inseridas no mundo escolar, seja na pr-escola ou no Ensino Fundamental (Brasil, 2005), o que difere da realidade da maior parte das crianas brasileiras dessa mesma faixa etria. Sendo assim, acredita-se que a reorganizao proposta pelo Ministrio da Educao e Cultura (MEC) poderia contribuir para que toda criana tivesse a mesma oportunidade. O referido documento alerta para o fato de que a incluso de crianas de seis anos de idade no dever significar a antecipao dos contedos e atividades que tradicionalmente foram compreendidos como adequados primeira srie. Destaca, portanto, a necessidade de se construir uma nova estrutura e organizao dos contedos em um Ensino Fundamental, agora de nove anos.

Segundo Barretto e Mitrulis (2011), a ampliao do Ensino Fundamental para nove anos e a progressiva extenso da obrigatoriedade do ensino mdio podem ser compreendidas tambm como estratgias que visa proporcionar uma aproximao da realidade educacional brasileira dos pases vizinhos na Amrica Latina, onde a escolarizao obrigatria tem em mdia 12 anos de durao. Possivelmente, essa iniciativa significaria uma ao no sentido de aproximao desses pases, contribuindo assim para a consolidao do MERCOSUL. No contedo do prximo item apresentaremos o novo modelo da nomenclatura do Ensino Fundamental.

2.2 Matemtica no Ensino Fundamental

A Matemtica comporta um amplo campo de relaes, que despertam a curiosidade e estimulam capacidades, favorecendo a estruturao do pensamento e o desenvolvimento do raciocnio lgico. Faz parte da vida de todas as pessoas s experincias mais simples como contar, comparar e operar sobre quantidade. Nos clculos relativos a salrios, pagamentos e consumo, na organizao de atividades como a agricultura e pesca, a Matemtica se apresenta como um conhecimento de muita aplicabilidade. Tambm um instrumental importante para as diferentes reas do conhecimento, por ser utilizada em estudos tanto ligados s cincias da natureza como s cincias sociais e por estarem presentes na composio musical, na

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coreografia, na arte e nos esportes. Essa potencialidade do conhecimento matemtico deve ser explorada da forma mais ampla possvel no Ensino Fundamental.

A Matemtica tambm componente importante na construo da cidadania, na medida em que a sociedade se utiliza cada vez mais, de conhecimentos cientficos e recursos tecnolgicos, dos quais os cidados devem se apropriar. A Matemtica precisa estar ao alcance de todos e a democratizao de seu ensino deve ser meta prioritria do trabalho docente. A atividade no olhar para coisas prontas e definitivas, mas a construo e a apropriao de um conhecimento pelo aluno, que se servir dele para compreender e transformar sua realidade.

No Ensino Fundamental a Matemtica no deve ser vista apenas como pr-requisito para estudos posteriores. preciso que o ensino da disciplina esteja voltado formao do cidado, que utiliza cada vez mais conceitos matemticos em sua rotina. Por estar to presente no cotidiano, a Matemtica d ao professor a chance de desafiar seus alunos a encontrar solues para questes que enfrentam na vida diria.

Para o ensino da Matemtica no existe um nico, ou melhor, caminho a ser trilhado pelo professor. O importante conhecer diversas tcnicas de sala de aula para criar um programa de acordo com as condies de cada turma e escola.

A Matemtica possui um campo de relaes, de regularidade e de coerncia que despertam e instigam a capacidade de generalizar, projetar, prever e abstrair, favorecendo a estruturao do pensamento e o desenvolvimento do raciocnio lgico, a potencialidade do conhecimento matemtico deve ser explorada, da forma mais ampla possvel.

Para tanto, importante que a Matemtica desempenhe, equilibrada e indissociavelmente, seu papel na formao de capacidades intelectuais, na estruturao do pensamento, na agilizao do raciocnio dedutivo do aluno, sua aplicao a problemas, situaes da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio a construo de conhecimentos em outras reas curriculares.

Ainda de acordo com o planejamento estabelecido pela Secretaria Municipal de Educao em Barreirinhas - MA, exibiremos logo abaixo as Competncias Bsicas e Habilidades que os alunos precisam adquirir em sua primeira fase de escolarizao para saber como atuar na sociedade.

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2.3 Competncias e Habilidades

Competncia: capacidade que um indivduo possui de expressar um juzo de valor sobre algo a respeito de que versado; idoneidade; aptido.

Habilidade: qualidade ou caracterstica de quem hbil. Hbil quem tem a mestria de uma ou vrias artes, ou um conhecimento

profundo, terico e prtico de uma ou vrias disciplinas, ou de diversos contedos de uma determinada disciplina.

1 e 2 sries - Reconhecimento dos nmeros que aparecem no dia-a-dia, perceber a

grandeza de um nmero pela quantidade de algarismos e pelos valores posicionais que cada um possui dentro do nmero.

- Entender o significado das operaes, utilizando corretamente os sinais convencionais, empregando a composio numrica para a realizao do clculo mental exato e aproximado.

- Observar e comparar formas geomtricas presentes em objetos naturais e criados pelo homem.

- Construir e representar formas geomtricas simples. - Identificao e relao entre unidades de tempo: dia, semana, ms,

bimestre, semestre, ano. - Leitura de horas. - Reconhecimento das cdulas e moedas de real, e sua aplicao no

dia-a-dia. - Explorao do nmero como cdigo na organizao das informaes. - Emprego de estratgias de quantificao como a contagem, o

pareamento, a estimativa e a correspondncia. - Comparao entre colees de objetos pelo nmero de elementos e

ordenao de grandeza pelo aspecto da medida. - Entender os significados das operaes, sobretudo da soma e da

subtrao. - Compreender que diferentes problemas podem ser resolvidos com uma

nica operao e que diferentes operaes podem estar num mesmo problema. - Utilizar corretamente os sinais convencionais na escrita das operaes.

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- Empregar a decomposio numrica para entender as vrias formas de escrita de um nmero.

- Localizar pessoas ou objetos no espao com base em um ponto de referncia.

- Comparar tamanhos e formas de objetos. - Perceber semelhanas e diferenas entre cubos e quadrados,

paraleleppedos e retngulos, pirmides e tringulos, esferas e crculos. - Comparao de grandezas da mesma natureza. - Reconhecimento das cdulas e moedas do real e de possveis trocas

entre elas em funo de seus valores. - Perceber que para informar uma medida deve-se adotar uma unidade.

No primeiro ciclo, no necessrio conhecer as unidades padro. O aluno poder medir um objeto com um pedao de barbante, um lpis, por exemplo.

- Leitura de horas, comparando relgios digitais e analgicos. - Leitura e informaes contidas em imagens. - Explorao do nmero como cdigo na organizao de informaes

(telefones, placas de carro, registros de identidade, roupas, calados). - Interpretao e elaborao de tabelas simples, de dupla entrada e de

grficos de barras. 3 e 4 sries - Reconhecer nmeros naturais e decimais em diversas situaes

(jornais, filmes, comrcio). - Escrever, comparar e ordenar nmeros naturais de qualquer grandeza. - Aplicar as regras do sistema de numerao decimal para

compreenso, leitura e representao dos nmeros racionais escritos na forma decimal (com vrgula).

- Comparar e ordenar nmeros racionais na forma decimal. - Localizar na reta numrica a posio de nmeros racionais na forma

decimal. - Leitura, escrita, comparao e ordenao de representaes

fracionrias de uso frequente. - Reconhecer que um nmero racional escrito na forma fracionria

possui infinitos modos de representao, por meio de fraes equivalentes. - Reconhecer quando se d o uso da porcentagem no contexto dirio.

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- Anlise e resoluo de problemas com o uso de nmeros racionais. - Ampliao do repertrio bsico das operaes com nmeros naturais

para desenvolver o clculo mental e escrito. - Adio e subtrao de nmeros racionais na forma decimal, utilizando

estratgias prprias e tcnicas convencionais. - Clculo de porcentagem simples. - Representar o espao por meio de maquetes. - Identificar semelhanas e diferenas existentes entre corpos como a

esfera, o cone e o cilindro. - Reconhecer semelhanas e diferenas entre poliedros, como prismas e

pirmides, e identificar elementos como faces, vrtices e arestas. - Desmontar e montar figuras tridimensionais. - Observar semelhanas e diferenas entre polgonos, usando critrios

como nmero de lados, nmero de ngulos e eixos de simetria. - Notar elementos geomtricos nas formas da natureza e nas criaes

artsticas. - Identificar e comparar grandezas mensurveis e escolher a unidade de

medida correta, de acordo com essa grandeza (metro para comprimento, quilograma para massa etc.).

- Reconhecer e utilizar unidades usuais de medida como metro, centmetro, quilmetro, grama, miligrama, quilograma, litro, mililitro, metro quadrado e alqueire.

- Identificar e empregar unidades usuais de tempo e de temperatura. - Efetuar converses simples, verificando que os sistemas de medida

so decimais e, portanto sero usadas as mesmas regras desse sistema para fazer contas.

- Utilizar procedimentos e instrumentos de medida. - Calcular o permetro e rea das figuras planas sem o uso de frmulas. - Coleta, organizao e descrio de dados. - Leitura e interpretao de dados apresentados de maneira organizada

(por meio de listas, tabelas, diagramas e grficos). - Identificao e diferenciao entre situaes possveis, sucessos

seguros e situaes de sorte, em problemas simples de probabilidade.

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2.4 Contedo Programtico

1 srie: - Figuras geomtricas (formas, construo, comparao). - Noo de conjunto. - Pertence e no pertence - Igual e diferente - Dezena e centena - Numerais ordinais (noo) - Sucessor e antecessor - Nmeros pares e mpares - Dzia e meia dzia - Dobro e metade - Dias da semana - Verificao da subtrao pela adio - Medidas: de tempo, de comprimento, de massa, de capacidade. - Numerais romanos (o possvel) - Problemas envolvendo: sistema monetrio, todas as operaes

trabalhadas e os contedos trabalhados. - Numerao: Leitura e escrita at 300 (ou mais), contagem de 2 em 2, 5

em 5, 10 em 10 - Operaes: Adio todos os casos e terminologia Subtrao minuendo at 300 (todos os casos sem reserva e 1 caso

com reserva) Multiplicao 1 caso Diviso 1 caso (processo longo) 2 srie: - Numerais ordinais - Numerais romanos - Maior e menor (< >) - Ordenao e sequenciao de numerais (reta numerada) - Noo de frao: metade, tera parte, quarta parte - Sentena matemtica

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- Medidas: de tempo, comprimento, massa, capacidade - Composio e decomposio (at milhar) - Operaes: Adio 9 caso Subtrao 3 caso com reserva Multiplicao at o 9 caso se possvel Diviso at o 7 caso se possvel Terminologia das operaes e prova real - Problemas envolvendo sistema monetrio, as operaes estudadas e

os contedos estudados. - Numerao: leitura e escrita de numerais at 4000 (ou mais) - Geometria: figuras planas e construo de polgonos - Leitura de smbolos: interpretao de imagens, explorao do nmero

como cdigo, interpretao e elaborao de tabelas simples e grficos de barras. 3 srie: - Sistema de Numerao Decimal: nmeros, centenas, dezenas e

unidades, composio, decomposio e leitura de nmeros, nmeros e cheques, nmeros e suas ordens, depois de 999 vem o 1000, unidade de milhar, milho, arredondamentos.

- Formas Geomtricas: slidos geomtricos (elementos, dimenses). - Tempo e dinheiro: horas e minutos, estimativas com tempo, o dia, a

semana, o ms e o ano, calendrio, nosso dinheiro (fazendo troco). - Formas geomtricas planas, seus contornos e medidas de

comprimento: formas poligonais, geometria e arte, copiando, ampliando e reduzindo figuras, permetro, medidas de comprimento (metro, centmetro e milmetro), o quilometro.

- As operaes: adies de nmeros naturais, subtrao de nmeros naturais, relacionando a adio subtrao (operaes inversas).

- Simetria: eixos de simetria, nmeros e operaes, dobraduras, e nmeros de eixo de simetria.

- Multiplicao com nmeros naturais: adiode parcelas iguais, combinando possibilidades, multiplicao por 10, 100, 1000, clculo mental, arredondamento e resultado aproximado, usando a decomposio, dobro e triplo, fatores formados por um ou mais de um algarismo.

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- Possibilidades e raciocnio combinatrio. - Diviso com nmeros naturais: repartir ou distribuir em partes iguais,

clculo mental, arredondamento e clculo aproximado, relacionando a multiplicao e diviso (operaes inversas), resto diferente de zero, diviso por estimativas.

- Estatstica: coleta de dados, tabelas e grficos. - Fraes: ideia de frao (compondo figuras), fraes de figuras,

fraes de um conjunto de elementos, fraes de um nmero. - Probabilidade: fazendo previses, ideia de probabilidade (medida da

chance). - Nmeros decimais: dcimos, decimais maiores que 1, um dcimo do

centmetro, os dcimos e os centsimos no sistema de numerao, nmeros decimais e dinheiro (centsimo do real, o centavo), adio, subtrao com decimais.

- Outras medidas: o grama, o quilograma e a tonelada, o mililitro e o litro, permetro, a ideia de rea.

4 srie: - Sistema de numerao decimal: ordens e classes, valor posicional,

arredondamentos, classe dos milhes. - Espao e forma: slidos geomtricos (classificao), formas planas e

arte, contornos, procurando formas geomtricas. - Operaes: adio e subtrao de nmeros naturais, multiplicao e

diviso de nmeros naturais, expresses numricas. - Possibilidades e raciocnio combinatrio (por meio de problemas). - Mltiplos e divisores: ideia de mltiplo e de divisor. - Simetria: eixo de simetria, figuras simtricas, simetria e polgonos

regulares, simetria (operaes e propriedades). - Fraes: ideia de frao, fraes de figuras, de um conjunto de

elementos, de um nmero; situaes problema; frao e diviso; nmeros mistos; fraes imprprias; fraes e medidas; fraes equivalentes; simplificao / comparao; adio e subtrao de fraes; multiplicao com fraes; diviso de frao por nmero natural; porcentagem.

- Probabilidade: fazendo previses; medida e chance. - Nmeros decimais: inteiros e dcimos / comparao; medida de

temperatura e dcimos; clculo mental com inteiros e dcimos; centsimos e milsimos; operaes com decimais; diviso no exata com nmeros inteiros

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(resultado na forma decimal); diviso de decimal por 10, 100 e 1000; porcentagem na forma decimal.

- Geometria: reta / segmento de reta; retas paralelas / concorrentes; a semireta; ngulo (medidas); retas perpendiculares; polgonos; tringulos; quadrilteros; circunferncia.

- Medidas: de comprimento; de superfcie (rea); volume; de massa; de capacidade.

- Estatstica: interpretao de grficos; construo de tabelas e grficos; estatstica e porcentagem.

2.5 Avaliao

Mudanas na definio de objetivos para o Ensino Fundamental na maneira de conceber a aprendizagem, na interpretao e na abordagem dos contedos matemticos, leva-nos necessidade de incluir com empenho, uma variedade de situaes de aprendizagem, como a resoluo de problemas, o trabalho com jogos, o uso de recursos tecnolgicos. Os resultados expressos pelos instrumentos de avaliao, sejam eles provas, trabalhos, postura em sala, constituem indcios de competncias e como tal devem ser considerados. A tarefa do professor avaliador constitui um permanente exerccio de interpretao de sinais, a partir dos quais manifesta juzos de valor que lhe permitem reorganizar atividades pedaggicas. O erro deve ser interpretado como um caminho para buscar o acerto, onde o aluno realiza tentativas, constri hipteses e uma lgica prpria para encontrar a soluo.

2.5.1 Critrios de avaliao para 1 e 2 sries

- Resolver situaes problema que envolvam contagem e medida, significado das operaes e seleo de procedimentos de clculo (os problemas devem priorizar as situaes de adio e subtrao).

- Ler e escrever nmeros utilizando conhecimentos sobre a escrita posicional.

- Comparar e ordenar quantidades que expressem grandezas familiares aos alunos, interpretar e expressar os resultados da comparao e ordenao.

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- Medir, utilizando procedimentos pessoais, unidades de medida no convencionais ou convencionais e instrumentos disponveis e conhecidos.

- Localizar a posio de uma pessoa ou um objeto no espao e identificar caractersticas nas formas dos objetos.

2.5.2 Critrios de avaliao para 3 e 4 sries:

- Resolver situaes-problema que envolvam contagem, medidas, os significados das operaes, utilizando estratgias pessoais de resoluo e selecionando procedimentos de clculo.

- Ler, escrever nmeros naturais e racionais, ordenar nmeros naturais e racionais na forma decimal, pela interpretao do valor posicional de cada uma das ordens.

- Realizar clculos, mentalmente e por escrito, envolvendo nmeros naturais e racionais (apenas na representao decimal) e comprovar os resultados, por meio de estratgias de verificao.

- Medir e fazer estimativas sobre medidas, utilizando unidades e instrumentos de medidas mais usuais que melhor se ajustem natureza da medio realizada.

- Interpretar e construir representaes espaciais (croquis, itinerrios, maquetes), utilizando-se de elementos de referncia e estabelecendo relaes entre eles.

- Reconhecer e descrever formas geomtricas tridimensionais e bidimensionais.

- Recolher dados sobre fatos e fenmenos do cotidiano, utilizando procedimentos de organizao, e expressar o resultado utilizando tabelas e grficos.

Essas etapas apresentadas, tem como obrigatoriedade a ser realizadas no Ensino Fundamental de 1 4 sries as quais so indispensveis para o desenvolvimento da formao do aluno como cidado.

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3 MODELAGEM MATEMTICA

A Matemtica exerce um papel de destaque na construo do conhecimento das futuras geraes, uma vez que essa disciplina, segundo Biembengut e Hein (2013, p. 9), compreendida como:

[...] alicerce de quase todas as reas do conhecimento e dotada de uma arquitetura que permite desenvolver os nveis cognitivo e criativo, tem sua utilizao defendida, nos mais diversos graus de escolaridade, como meio para fazer emergir essa habilidade em criar, resolver problemas e modelar. (BIEMBENGUT E HEIN, 2013)

A Matemtica faz-se presente em diversas atividades realizadas pelas crianas e oferece aos homens em geral, vrias situaes que possibilitam o desenvolvimento do raciocnio lgico, do pensamento crtico, da criatividade e a capacidade de resolver problemas da vida diria. O ensino dessa disciplina pode potencializar essas capacidades, ampliando as possibilidades dos alunos de compreender e transformar a realidade.

Uma das estratgias de se trabalhar a Matemtica Aplicada a Modelagem Matemtica, que consiste, segundo Bassanezi (2002, p.16), [...] na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemticos e resolv-los interpretando suas solues na linguagem do mundo real. A modelagem, segundo o mesmo autor, procura reunir teoria e prtica, fazendo com que o aluno compreenda a realidade que o circunda e busque formas de agir sobre ela para modific-la.

Bean (2011, p. 53) relata que a essncia da Modelagem Matemtica consiste em:

[...] um processo no qual as caractersticas, pertinentes de um objeto ou sistema, so extradas com a ajuda de hipteses e aproximaes simplificadoras, e representadas em termos matemticos (o modelo). As hipteses e as aproximaes significam que o modelo criado por esse processo sempre aberto crtica e ao aperfeioamento. (BEAN, 2011)

DAmbrosio (1996) caracteriza Modelagem Matemtica por meio da dinmica como realidade-reflexo sobre a realidade que resulta em uma ao que ocorre atravs da construo de modelos os quais o indivduo opera aplicando com seu conhecimento acumulado e com os recursos da natureza. O autor tambm considera modelo como uma estratgia a qual oferece ao homem capacidade de exercer seu poder numa anlise global da realidade.

Segundo Biembengut e Hein (2013, p.11) A criao de modelos para interpretar os fenmenos naturais e sociais inerente ao ser humano. A prpria noo de modelo est presente em quase todas as reas: Arte, Moda, Arquitetura, Histria, Economia,

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Literatura, Matemtica. Alis, a histria da Cincia testemunha disso. (BIEMBENGUT E HEIN, 2013)

Granger (1989) afirma que o modelo uma imagem que se forma na mente, no momento em que o esprito racional busca compreender e expressar de forma intuitiva uma sensao, procurando relacion-la com algo j conhecido, efetuando dedues.

Na viso de Bassanezi (2002, p.20), modelo matemtico um conjunto de smbolos e relaes matemticas que representam de alguma forma o objeto estudado e sua importncia consiste em ser uma linguagem concisa que expressa nossas ideias de maneira clara e sem ambiguidades.

Pode-se constatar que a Modelagem Matemtica muito utilizada para solucionar problemas surgidos na agricultura, na rea da sade, no meio ambiente, na indstria, no comrcio e em tantos outros setores da sociedade, com a criao ou modificao de modelos matemticos feitos por profissionais especializados, que tentam compreender, descrever e solucionar os problemas apresentados na sociedade. Dessa forma, a Modelagem Matemtica entendida como esclarece Bassanezi (2002, p.24), como: um processo dinmico utilizado para a obteno e validao de modelos matemticos. uma forma de abstrao e generalizao com a finalidade de previso de tendncias.

Os modelos matemticos podem ser expressos por meio de diversas maneiras como: equaes algbricas, grficos, programas computacionais, frmulas, representaes geomtricas, tabelas, diagramas, sendo que a expresso encontrada que leva soluo do problema ou permite a deduo de uma soluo.

A Modelagem Matemtica uma metodologia muito til como instrumento de pesquisa, pois pode estimular a construo de novas ideias e tcnicas experimentais, dar informaes em diferentes aspectos dos inicialmente previstos, ser um mtodo para se realizar interpolaes, extrapolaes e previses, sugerir prioridades de aplicaes e eventuais tomadas de decises, preencher lacunas onde existe falta de dados experimentais, servir de linguagem universal para compreenso e entrosamento entre pesquisadores em diversas reas do conhecimento (BASSANEZI, 2002).

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4 MODELAGEM MATEMTICA NA EDUCAO MATEMTICA

A Modelagem Matemtica pode ser empregada em diversas situaes do nosso cotidiano, inclusive como estratgia de ensino e aprendizagem da Matemtica. Sobre esse ponto de vista, Barbosa (2001a, p.55) ilustra:

A Modelagem Matemtica se firma na Educao Matemtica no incio dos anos 80 a partir das experincias conduzidas por um grupo de professores do IMECC/UNICAMP. Recebeu influncia de estudos socioculturais [...] nomeados no quadro da etnomatemtica. Genericamente, a ideia esboada era abordar a matemtica a partir de temas do contexto sociocultural das pessoas. [...] J em ambiente escolar formal, a ideia foi materializada pela primeira vez em 1983 num curso para professores em Guarapuava (PR).

Ainda de acordo com Barbosa (2001, p.05), a Modelagem Matemtica pode ser entendida por uma oportunidade para os alunos indagarem situaes por meio da matemtica sem procedimentos fixados previamente e com possibilidades diversas de encaminhamento. Os conceitos e ideias matemticas exploradas dependem do encaminhamento que s se sabe medida que os alunos desenvolvem a atividade.

Nessa concepo, as situaes-problema so geradas a partir da realidade, ou seja, no fictcias. Os problemas so trazidos para a Matemtica, modelados, investigados e discutidos e depois so devolvidas para a realidade transformando-a.

Pesquisas relatam que se fazendo uso da Modelagem Matemtica em situaes onde se vive, os alunos conseguem aprender mais e consequentemente apresentam mais interesse pela Matemtica contribuindo assim para o aprendizado da Matemtica.

As prticas escolares de Modelagem Matemtica tm tido forte influncias tericas de parmetros da Matemtica Aplicada, mas existem limitaes na transferncia conceitual para fundamentar a Modelagem Matemtica na Educao Matemtica. Por conta disso, Barbosa argumenta por uma perspectiva terica que se ancore na prtica de Modelagem Matemtica corrente na Educao Matemtica e faa dela seu objeto de crtica a fim de nutrir a prpria prtica (BARBOSA, 2001).

A Matemtica aplicada uma cincia que objetiva a interao entre a Matemtica e outras reas do conhecimento a cincia da interdisciplinaridade. Barbosa 2001, p.53-59 complementam dizendo que:

...a Modelagem na Educao Matemtica praticada de forma diferente que na matemtica aplicada. Aqui, os propsitos, os meios, os atores, o contexto, as configuraes etc... assumem outras caractersticas. O objetivo

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principal convidar o aluno a explorar as situaes no matemticas tendo por fim sua formao matemtica. Se esse processo no resultar num modelo matemtico, as atividades tambm, so reconhecidas como Modelagem. (BARBOSA, 2001)

Para Almeida e Dias (2004, p.25) a Modelagem pode proporcionar aos alunos oportunidades de identificar e estudar situaes-problema de sua realidade, despertando maior interesse e desenvolvendo um conhecimento mais crtico e reflexivo em relao aos contedos matemticos.

Ento, percebe-se que a Modelagem Matemtica trata de uma oportunidade para os alunos indagarem situaes por meio da matemtica sem procedimentos fixados previamente e com diversas possibilidades de encaminhamento, e pode ser usada como uma ferramenta que auxilia no estmulo do indivduo.

Diante deste contexto, verificamos que com o uso da Modelagem Matemtica na educao, o aluno pode visualizar a utilizao da Matemtica em situaes do cotidiano, propiciar a valorizao da Matemtica, e desenvolver habilidades em solucionar problemas matemticos e da vida diria.

Compreender e agir sobre a realidade viabiliza ao aluno a possibilidade de atribuir sentido e construir significados para os conceitos matemticos com que se defronta nas aulas de matemtica e, deste modo, contribui para sua aprendizagem.

Acredita-se que aprendizagem dos alunos somente ter resultados precisos medida que eles incorporarem os conhecimentos e os conceitos matemticos que adquiriram para atuar de uma maneira transformadora na sociedade.

A Modelagem Matemtica em sala de aula constitui uma atividade essencialmente cooperativa, onde a cooperao e a interao entre os elementos envolvidos (professor e alunos), possuem um papel fundamental na construo do conhecimento. Deste modo, defende-se o argumento de que as atividades de Modelagem Matemtica desenvolvidas em sala de aula podem trazer grandes benefcios para o processo de aprendizagem (ALMEIDA, 2012).

Biembengut e Hein (2013) relatam uma atividade de Modelagem Matemtica na educao bsica, nela os autores consideram a Modelagem Matemtica como processo que envolve a obteno de um modelo, que segundo esses autores (2013, p.12), pode ser considerado um processo artstico, visto que,

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para se elaborar um modelo, alm de conhecimento de matemtica, o modelador precisa ter uma dose significativa de intuio e criatividade para interpretar o contexto, e Biembengut (2013, p.23) tambm acredita que a Modelagem Matemtica pode ser um caminho para despertar no aluno o interesse por tpicos matemticos que ele ainda desconhece, ao mesmo tempo em que aprende a arte de modelar matematicamente.

Bassanezi (2002) afirma que trabalhar com modelagem matemtica no ensino no apenas uma questo de ampliar o conhecimento matemtico, mas, sobretudo de se estruturar a maneira de pensar e agir.

Uma atividade de Modelagem Matemtica pode apoiar os alunos na aquisio e compreenso dos contedos matemticos como tambm promover atividades e habilidades que estimulem a criatividade e a soluo de problemas.

Segundo Bean (2011, p.52), a Modelagem Matemtica como proposta de ensino e aprendizagem, oferece uma maneira de colocar a aplicabilidade da matemtica no currculo escolar em conjunto com o tratamento formal que predominante no ensino.

No desenvolvimento do contedo programtico o professor siga as mesmas etapas e subetapas do processo de modelagem, isto : Interao reconhecimento da situao-problema e familiarizao; Matematizao formulao e resoluo do problema; e Modelo Matemtico interpretao e validao. Acrescentando ao processo, na etapa de matematizao, o desenvolvimento do contedo matemtico necessrio para a formulao e resoluo e a apresentao de exemplos e exerccios anlogos para aprimorar o entendimento dos conceitos pelo aluno.

Barbosa (2001) relata que o ambiente de Modelagem est associado problematizao e investigao sendo que o primeiro refere-se ao ato de criar perguntas e/ou problemas enquanto que o segundo, busca, seleo, organizao e manipulao de informaes e reflexo sobre elas. Este autor tambm comenta que ambas as atividades no so separadas, mas articuladas no processo de envolvimento dos alunos para abordar a atividade proposta, e argumenta que nela podem-se levantar questes e realizar investigaes que atingem o mbito do conhecimento reflexivo.

A Modelagem Matemtica uma ferramenta capaz e eficaz para a compreenso e interpretao da realidade, pois ela traz benefcios aos alunos com o

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desenvolvimento do pensamento lgico-matemtico contribuindo de forma significativa para a formao do hbito da investigao e para o processo de ensino-aprendizagem.

5 A MODELAGEM E AS TECNOLOGIAS DA INFORMAO

Neste captulo, fao uma reviso de literatura sobre a Modelagem, as Tecnologias da Informao e Comunicao (TIC) e a sinergia entre ambas na Educao Matemtica. Para tal, na primeira seo, discuto os objetivos que considero principais para inserir Modelagem nas aulas de Matemtica. Nesta seo, tambm apresento a noo de ambiente de aprendizagem e dois paradigmas de prticas de sala de aula (do exerccio e cenrios para investigao) para considerar a Modelagem como um ambiente de aprendizagem dos cenrios para investigao (SKOVSMOSE, 2010). Na seo seguinte, defino as TIC, ou seja, o que estou considerando como TIC e apresento como elas podem estar presentes no nosso cotidiano, desde que se tenha acesso. Com isso posto, insiro minha pesquisa nas existentes. Tambm as identifico como um ambiente de aprendizagem nas aulas de Matemtica. Na terceira seo, discuto, de modo geral, como o uso da informtica est sendo tratado nas pesquisas de Modelagem.

Em seguida, exploro a combinao, realizada por Borba e Villarreal (2005), das diferentes perspectivas tericas relativas aos usos das TIC na Educao Matemtica (tutorial, motivao, reorganizao e cidadania) com as perspectivas dos objetivos da Modelagem na Educao Matemtica (problema aplicado no livro didtico tradicional, tpico matemtico, situao-problema de Modelagem posta pelo professor e Projetos de Modelagem). A partir destas perspectivas, tambm realizo uma reviso de literatura.

Finalizo inserindo minha investigao na rea de inqurito denominada Modelagem, e de modo especial, no mbito de investigao que trata da sinergia entre Modelagem e TIC. Sendo assim, este captulo articula o referencial terico que utilizo nesta pesquisa com parte da literatura sobre o tema.

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5.1 A Modelagem e a TIC na Educao Matemtica

A Modelagem tentou se estabelecer na Educao Matemtica com outro nome. Para diferenciar do movimento da Modelagem na Matemtica Aplicada, alguns autores (BIEMBENGUT; HEIN, 2013) tentaram denomin-la de Modelao. Este termo utilizado em Portugal, no sentido de Modelagem no ensino e na aprendizagem de Matemtica, porm, no Brasil, o termo Modelagem foi mantido, podendo ser considerado como um abuso de linguagem (BARBOSA, 2001) ou uma metfora para Projetos na aula de Matemtica (BORBA; VILLARREAL, 2005).

A Modelagem pode ser entendida na Educao Matemtica de diferentes modos. Entretanto, de modo geral, h um certo consenso da rea de Modelagem, que ela seria uma abordagem de temas do cotidiano ou de outras disciplinas, por meio da Matemtica (ARAJO, 2012). As concepes de Modelagem podem estar ligadas ao modo como se teoriza sobre as prticas relacionadas a ela e ao que concerne sala de aula, ou seja, pode existir uma relao harmnica entre a concepo e os objetivos do professor ao trabalhar com a Modelagem na aula de Matemtica. Desta forma, nesta seo, destaco qual o escopo que considero ao trabalhar com a Modelagem na sala de aula.

Borba e Villarreal (2005, p. 56 traduo nossa) afirmam que [...] o que importante observar que tal possibilidade [a Modelagem] rompe com uma regra intocvel: os estudantes tm pequena ou nenhuma participao nos currculos.

Acredito que este um passo importante que deve ser dado para quem pensa em trabalhar com Modelagem, uma vez que entendo ser pertinente convidar os alunos para que possam participar de modo mais eficaz, fazendo com que eles sejam atores contribuintes na constituio do currculo das aulas de Matemtica. Assim, o papel do professor de suma importncia para que isto possa ocorrer.

Outro aspecto que aprecio o fato da Modelagem poder proporcionar aos estudantes um olhar crtico da questo investigada. Entendo que a Modelagem tambm deve ser proposta como um ambiente criador de condies para que os alunos possam

Barbosa (2001) destaca o cuidado que se deve ter para no excluir a Matemtica do mundo real. Por exemplo, Blum e Niss (1991) definem o termo mundo real como o mundo no-matemtico. Esta questo filosfica merece reflexo, como encontrada nos trabalhos de Arajo (2012), mas acredito que foge do

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foco do trabalho. Utilizarei o termo referncia realidade com o mesmo significado que Skovsmose (2010) atribuiu e para evitar repeties, usarei como sinnimo os termos situao real, cotidiano e realidade.

Pensar sobre o papel da Matemtica na sociedade. Este , a meu ver, o principal argumento para a presena da Modelagem nas aulas de Matemtica.

A Modelagem deve ter uma abordagem situada na corrente scio crtica, cujas atividades

So consideradas como um meio de indagar e questionar situaes reais por meio de mtodos matemticos, evidenciando o carter cultural e social da matemtica. Esta vista como meio em vez de fim. A nfase est na compreenso do significado da matemtica no contexto geral da sociedade.

Almeida e Dias (2004) propem a Modelagem como uma alternativa para que a educao escolar seja proposta para a formao de alunos crticos. Com isso, as autoras afirmam que proporcionaria uma aprendizagem mais significativa, uma vez que seria [...] vinculada s aes em que o aluno tem oportunidade de experimentar, modelar, analisar situaes e desenvolver um esprito crtico a respeito das solues encontradas. (ALMEIDA; DIAS, 2004, p. 20).

Um dos argumentos levantados por Blum e Niss (1991) sobre os motivos de insero da Modelagem na Educao Matemtica o da competncia crtica ao explicarem o fato de uma sociedade, que moldada e influenciada pela Matemtica, os alunos devem identificar, analisar, compreender e fazer a apreciao de exemplos de problemas socialmente relevantes para eles. Para que isto acontea, os autores sugerem que seja proposto por meio da Modelagem.

Entretanto, o primeiro autor coloca como um aspecto a ser priorizado, dentre outros, uma vez que ele coloca os alunos envolvidos no processo de ensino e aprendizagem. O autor alia a competncia crtica ao engajamento crtico, isto , neste ltimo, os estudantes direcionam as aulas para os problemas relevantes para eles. Esta perspectiva est em ressonncia com a perspectiva de Projetos de Modelagem, a qual detalharei posteriormente. Alm disso, este aspecto est associado participao dos alunos na constituio dos currculos escolares.

Jacobini (2004) investiga a Modelagem como um instrumento que pode proporcionar o convite aos estudantes para atuarem com papel ativo nas questes sociais. Para tal, o autor convida o alunado para compor ambientes em que ele pesquisa sobre um tema proposto por Jacobini, enquanto professor. Com isso, o

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autor analisa as possibilidades de crescimento poltico dos alunos nesse contexto, pontuando que h uma forte relao desse crescimento com a participao ativa nas investigaes, com destaque para as discusses tidas por eles, especialmente quando o corpo discente est envolvido numa pesquisa com comunidade especfica. Assim, o trabalho de Modelagem pode proporcionar um estilo de produo de conhecimento e, consequentemente, pode criar condies para que possa ser pensado como um modo em que se efetive a democratizao no acesso ao conhecimento.

Para tal, o tema gerador da discusso do trabalho de Modelagem deve ser relevante para os alunos, cabendo ao professor ficar atento a isto, especialmente se ele propuser o tema para a classe. Neste processo, uma investigao pode fazer com que algo desperte a curiosidade dos alunos, uma vez que eles podem desejar saber mais e entender determinado tema do seu cotidiano. Pode ser tambm que, mesmo no sendo algo prximo da sua realidade, seja interessante para eles. Por exemplo, possvel que um grupo de alunos de uma escola pblica da periferia, como a maioria que se conhece, queira estudar sobre o raio laser ou sobre astronautas. Provavelmente, algo despertou a ateno deles, a curiosidade em conhecer ou aprender mais sobre tal tema, e isto no deveria ser negado pelo professor.

5.2 A Modelagem como um ambiente de aprendizagem

A noo ambiente de aprendizagem definida por Skovsmose (2010) para se referir s condies postas pelo professor a fim de que os alunos possam desenvolver as suas atividades. Vrios ambientes podem ser propostos, como: a aula centrada na exposio de contedos pelo professor, a Resoluo de Problemas, a Histria como recurso didtico, a Modelagem e as TIC na Educao Matemtica.

No ambiente de aprendizagem, dois paradigmas de prticas de sala de aula so considerados por Skovsmose (2013). No paradigma do exerccio, as atividades propostas pelo professor ocorrem de modo que praticamente tudo controlvel, previsto e previsvel, seguindo o roteiro: definio, exemplos e exerccios. As questes propostas sempre possuem uma resposta nica para resolv-las.

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O outro ambiente de aprendizagem denominado cenrios para investigao, os quais podem substituir o paradigma do exerccio.

Os alunos podem formular questes e planejar linhas de investigao de forma diversificada. Eles podem participar do processo da distino proposta por Skovsmose (2010) entre os cenrios para investigao e o paradigma do exerccio terica. Na prtica de sala de aula, possvel que ambos convivam, ou seja, o professor pode passear por ambos.

Num cenrio para investigao, a fala o que acontece se... deixe de pertencer apenas ao professor e passa a poder ser dita pelo aluno. E outra fala do professor, Por que dessa forma...?, pode desencadear a fala do aluno Sim, por que dessa forma...?.

Deste modo, nos cenrios para investigao, os alunos so convidados a levantar questes e procurar explicaes. A partir do engajamento dos alunos neste processo, o cenrio para investigao se estabelece como um ambiente de aprendizagem. Nestes cenrios, no existem algoritmos que facilmente resolvem as questes. Isto sugere que as informaes para a soluo das atividades (neste paradigma) no esto inseridas no texto da Atividade proposta.

Skovsmose (2010) combina os paradigmas com trs tipos de referncias: matemtica pura, semirealidade e realidade. A referncia matemtica pura ocorre quando as situaes-problema so de contedos da disciplina Matemtica (entendida em termos formais). Na referncia semirealidade, os alunos so convidados a explorarem uma situao fictcia, ou seja, [...] no se trata de uma realidade que de fato observamos, mas uma realidade construda, por exemplo, por um autor de um livro didtico (SKOVSMOSE, 2010, p. 74). J a referncia realidade est em ressonncia com o ambiente de aprendizagem de Modelagem, uma vez que dados reais podem ser coletados e investigados pelos alunos, com a orientao do professor.

Considero a Modelagem como um ambiente de aprendizagem dos cenrios para investigao. Essa uma opo que adoto para o modo como se pode operacionalizar a Modelagem nas aulas de Matemtica. Nela, os alunos podem aceitar o convite feito pelo professor para investigarem uma situao com referncia realidade, levantarem conjecturas, fazerem indagaes e procurarem por explicaes; sendo o professor um orientador durante o processo.

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As TIC como sendo os computadores e todas as suas interfaces, incluindo softwares que foram desenvolvidos com finalidade educacional (em especial softwares grficos, como o Winplot e Wingeom), softwares que no foram criados para esse fim, como o Excel, o Word e os jogos eletrnicos; pginas WWW, e-mails, salas de bate papo e comunicadores instantneos, como o Messeger; calculadoras grficas e sensores que podem ser acoplados, como o CBR (Calculator Basic Ranger) e outras possibilidades associadas informtica. Para evitar repeties, utilizo como sinnimos os termos TIC, mdias informticas e informtica.

Cada vez mais possvel notar a presena da informtica no nosso cotidiano. Para aqueles que tm acesso s TIC, elas podem ser notadas de modo direto, como no acesso a computadores com o uso da Internet. Mesmo para aqueles que ainda no podem adquirir um computador, pode-se acessar numa lan house. Com essas facilidades atuais, h mais condies para que a Internet esteja mais acessvel para pessoas com todos os poderes aquisitivos. Alm disso, s vezes, as pessoas utilizam as TIC sem notar que esto fazendo uso, como na utilizao de cartes de crdito, Num processo de naturalizao, incorporamos formas de trabalho sem perceber a utilizao das TIC. Assim, a informtica representa uma alavanca que cria condies para os processos de mudanas que podem ocorrer na sociedade, o que conduz noo atual de estarmos vivendo na sociedade da informao.

Nesta sociedade, as mudanas provocadas pela presena das mdias informticas podem ser notadas em vrios campos, como na economia influenciando nas empresas, abrindo a possibilidade para a criao das empresas eletrnicas, ao gerar vrios negcios na Web, na evoluo de pesquisas cientficas, a partir das possibilidades de simulaes ou nos avanos das cincias.

H tambm alguns usos das TIC que classifico como geradores de preocupaes em escala mundial, devido sua utilizao no processo para enriquecimento de Urnio e em estratgias de guerras.

As TIC [...] transformam o modo como ns dispomos, compreendemos e representamos o tempo e o espao a nossa volta (BEAN, 2011, p. 31). E o que tange o olhar a nossa volta, no mbito da Educao? Autores tm chamado a ateno para o fato de que os computadores por si s no vo modificar a Educao e o ensino. Por sua vez, cada vez maior a insero das TIC nas escolas do Ensino Bsico e, dessa forma, os professores sentem necessidade de us-las; a

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comunidade escolar tem aumentado presso nesse sentido. Entretanto, caso os professores no criem condies para que os alunos utilizem as TIC, a introduo da informtica nas salas de aula acaba se constituindo numa ameaa para os primeiros, devido s presses exercidas pela comunidade escolar (ARAJO, 2012). Com isso, deve-se pensar que a informtica pode abrir novas possibilidades para a Educao, mas no basta s ensinar Matemtica e disponibilizar computadores na sala de aula, mas sim compor um movimento de repensar a Educao.

Como respostas s possibilidades na Educao, tem sido grande, atualmente, a presena das TIC nas pesquisas em Educao Matemtica, constituindo cenrios para investigao, como no uso de softwares de Geometria Dinmica, de aspectos ldicos no ensino de contedos matemticos com a utilizao de jogos eletrnicos, do uso de plataformas para comunicao em cursos on-line distncia, com nfase nas discusses matemticas sobre geometria ou em discusses sobre as tendncias em Educao Matemtica da possibilidade do uso de um aplicativo em linguagem Java, disponvel na Internet, para a explorao de atividades na sala de aula de Matemtica, dentre outros.

Um aspecto presente nas pesquisas o fato de que as mdias informticas podem ser entendidas como uma ampliao da memria, com mudanas qualitativas em relaes s outras mdias. Jacobim (2004) destaca que a humanidade vem, ao longo da sua existncia, produzindo conhecimentos permeados por tecnologias da inteligncia, a saber: oralidade, escrita e informtica. A mdia informtica condiciona o seu uso de diferentes formas, como: realizar pesquisa, comunicar-se ou para entretenimento.

Atualmente, na sociedade da informao, a cada momento so criados novos tipos de usos das mdias informticas. Entretanto eles surgem e so incorporados pelas pessoas que tm acesso, constituindo novos coletivos de seres humanos e mdias informticas, mas que convivem com as mdias oralidade e escrita, sem as substiturem (ARAJO,2012).

Numa perspectiva, o uso das TIC tutorial. Arajo (2012, p. 8) afirma que os softwares tutoriais so usados sem provocar muitas modificaes na Educao, ou seja, [...] a verso computadorizada do que j acontece na sala de aula no paradigma do exerccio, diferentemente dos cenrios para investigao. Estes softwares podem ser caracterizados por sua pouca interatividade com os seres

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humanos, pois eles possuem um conjunto de instrues para os alunos que nem sempre atendem s necessidades pedaggicas dos professores.

O uso tutorial das TIC pode ser realizado em salas de aula, o que pode sugerir a possibilidade do computador substituir o professor, uma vez que os contedos pr-estabelecidos so acessados pelos alunos num CD-ROM, por exemplo.

Os programas tutoriais procuram explicar nova matria e proporcionar novos conhecimentos, funcionando como um livro onde as pginas de papel so substitudas por sucessivos ecrs de computador (SKOVSMOSE, 2010, p. 71). A maior parte dos programas tutoriais disponveis possui um ambiente de aprendizagem pensado de modo semelhante ao paradigma do exerccio, uma vez que solicita ao aluno apenas a leitura de textos e a resoluo de questes de mltipla escolha (ARAJO, 2012), sem explorar as potencialidades da mdia informtica. Desta forma, nesta perspectiva, os contedos so tidos como um conjunto de conceitos neutros, sem um contexto especfico que podem ser discutidos, alm do contexto da prpria disciplina ao qual identificado. H tambm os chamados programas de prtica, que tentam fazer um treinamento no sentido de que os alunos devem repetir os exerccios do contedo estudado.

O aspecto de domesticao da mdia informtica, uma vez que tenta reproduzir o que ocorre no paradigma do exerccio. A tentativa de reproduzir as prticas de sala de aula deste paradigma, com o uso dos computadores, tem dissonncia das ideias de Arajo (2012), quando ele afirma que a mdia informtica cria condies para mudanas qualitativas na Educao. Ou seja, a mdia informtica, segundo Almeida (2012), cria condies para que nos cenrios para investigao, usando as TIC, sejam explorados novos tipos de problemas, que se aliam aos j existentes neste cenrio. Desta forma, os professores devem propiciar o ambiente de aprendizagem das TIC (em Educao Matemtica) focando na constituio de novos coletivos, de atores humanos e mdias para a produo de conhecimentos, de modo investigativo e no [...] apenas apresentando uma fachada de modernidade, remodelando o velho em novos artefatos assim, no se deveria criar novas formas de exibir o paradigma do exerccio.

Uma outra perspectiva do uso da informtica a da motivao. H autores que a defendem com o argumento de que [...] em funo da gama de

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ferramentas disponveis nos softwares, os alunos alm de ficarem mais motivados, tambm tornam- se mais criativos.

Almeida (2012) pontua que h aqueles que defendem que o uso do software LOGO, deve ser feito para atrair e motivar os alunos. Com esse pressuposto, espera-se que o professor crie condies para que eles possam chegar a construir determinados produtos. A apreciao do autor que no se deveria dar destaque para a motivao, visando construo de um produto que o aluno desenvolve. Segundo Valente (2003), o professor deveria valorizar o processo, ou seja, o desenvolvimento da atividade realizada pelos alunos, quando usam o software LOGO. Deste modo, entendo que as atividades da perspectiva motivao podem ser propostas no paradigma (de prticas de sala de aula) do exerccio ou nos cenrios para investigao, dependendo dos objetivos do professor.

O argumento da motivao muito utilizado por professores para justificar o uso da informtica nas aulas. Entretanto, as experincias dos autores com pesquisas na Educao Matemtica apontam que no h estudos para sustentar tal afirmao. Eles destacam que para a motivao ser mantida por um longo perodo de tempo, seria necessrio um investimento vultoso.

Uma das razes para prover o uso das TIC na Educao Matemtica a perspectiva da reorganizao do pensamento. As perspectivas tutorial, motivao e cidadania (esta ltima ser apresentada na sequncia) poderiam ser pensadas que, com o uso das TIC, h uma reorganizao do pensamento. Cabe esclarecer que a natureza da reorganizao do pensamento nessas perspectivas ocorre, mas diferenciada da que destacado o uso das TIC presente nos ambientes de aprendizagem no enfoque experimental-com-tecnologia ou experimentao, ou seja, na explorao de problemas abertos com uso da informtica.

Nesta maneira de focalizar tal ambiente, atividades podem ser sugeridas com o intuito de o alunado relacionar mudanas no grfico com alteraes nos coeficientes da expresso das funes. Garding (1997), por exemplo, analisa a investigao realizada pelos alunos de 1 ano do Ensino Mdio, numa sequncia de atividades utilizando o software Fuction Probe. A proposta proporcionou aos alunos um ambiente para explorao. Eles possuam a sua disposio s mdias oralidade, escrita e calculadoras grficas. A mdia informtica possibilitou ir alm da investigao dos contedos comumente vistos no Ensino Mdio. Como exemplos,

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h o estudo da variao no coeficiente b da expresso f(x) = ax2 + bx + c e a anlise de famlia de funes do tipo f(x) = (x+k)3, sendo k um nmero inteiro, coordenando alteraes algbricas com as representaes grficas e tabulares. Com isto, este ambiente de aprendizagem pde criar condies para que os alunos pudessem coordenar as mltiplas representaes de funes (tabulares, grficas e algbricas).

possvel que, nesse ambiente de aprendizagem, surjam situaes no previstas, o que caracterstico dos cenrios para investigao. Este aspecto explorado por Benedetti (2013), o qual denomina de plasticidade, entendida como caracterstica daquilo que pode ser moldado ou modificado e podendo assumir diferentes formas.

Assim, o autor afirma que as atividades podem ser propostas pensando na plasticidade proporcionada pelo software grfico, ou seja, na possibilidade de alterao do coeficiente de uma funo quadrtica, por exemplo, e analisar as possveis alteraes que isso provoca nas representaes grficas e tabulares. Desta forma, o ator informtico possui um papel ativo no pensamento do coletivo de seres humanos e mdias, uma vez que, a partir de um feedback a uma ao humana, as mdias informticas criam condies para os estudantes estejam pensando com o software grfico, podendo realizar investigaes.

Por outro lado, elas tambm podem criar limitaes. As possibilidades e limitaes ocorrem, pois o modo como os seres humanos interpretam as respostas fornecidas pelas TIC foi moldado por configuraes socioculturais, tal como a mdia informtica tambm foi moldada.

Baseando-se nas ideias Benedetti (2013, p. 5) afirma [...] que o pensamento realizado por um coletivo de homens-coisas, de forma que no possvel fragmentar este pensamento em partes. Por enquanto, quero chamar a ateno que, alm das pesquisas sobre a perspectiva experimental-com-tecnologias com referncia matemtica pura, destaco o ambiente de aprendizagem de Modelagem (o qual caracterstico da referncia realidade) pode ser associado a esta perspectiva.

A ltima perspectiva denominam de cidadania, a qual eles associam com o direito e a democratizao do acesso informtica que, segundo os autores, so as principais justificativas para o uso das TIC na Educao Matemtica.

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Entendo que a discusso deve ser aprofundada, para que se possa refletir sobre a democratizao no acesso informao com o uso das pginas WWW. A Internet pode ser utilizada como uma espcie de biblioteca virtual, em que se pode procurar por informaes de um tema qualquer. A Internet denominada por Benedetti (2013, p. 17) de ciberespao, o qual [...] o novo meio de comunicao que surge da interconexo mundial de computadores. O termo especifica no apenas a infraestrutura material da comunicao digital, mas tambm o universo ocenico de informaes que ele abriga, assim como os seres humanos que navegam e alimentam esse universo.

No que tange a Educao, o uso da Internet possibilita a interao, a comunicao, a publicao de materiais e o acesso informao.

Destaco algumas utilidades da Internet, presentes na Educao Matemtica, que podem favorecer a democratizao de ideias, de modo a compor na perspectiva cidadania, a harmonia com o ambiente de aprendizagem dos cenrios para investigao.

As funes de troca de mensagens encontram-se entre as mais importantes no ciberespao. (Benedetti, 2013, p. 94 grifo do autor). Essas trocas de mensagens podem ocorrer de modo sncrono ou assncrono. Destaco, aqui, a comunicao assncrona, a partir do uso do correio eletrnico. Entendo-o como uma espcie de endereo em que uma pessoa pode enviar bilhetes eletrnicos ou cartas digitais em arquivo do Word, por exemplo, para uma outra pessoa, bastando que ela possua um e-mail. Outros tipos de arquivos podem ser enviados por e-mail, como os de imagens, de sons ou de softwares como o Winplot. O que me chama a ateno, quando comparo o correio eletrnico com o tradicional, que h uma mudana qualitativa quanto ao seu uso. Por exemplos, cito o tempo que leva para algum receber o e-mail e a possibilidade de transformar, apagar, alterar e reenviar os arquivos digitais para outra pessoa, ou seja, o meio eletrnico veio trazer a possibilidade de o leitor submeter o texto a diversas operaes e, a partir delas, construir um novo texto. A comunicao, assim, ocorre de modo distinto, uma vez que as mdias informticas so utilizadas de modo qualitativamente diferenciado (BENEDETTI, 2013). Portanto, estabelecem-se condies para a alterao do arquivo digital, o que altera o modo de responder uma pergunta, uma carta, um bilhete, por exemplo, pois o arquivo tambm pode ser em formato digital. Estas

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situaes engendram possibilidades e facilidades para a comunicao dos alunos com especialistas.

Benedetti (2013) identifica o tipo de comunicao do correio tradicional com a comunicao um-um. Uma pessoa escreve para uma outra, a qual est num endereo residencial ou comercial. Outro tipo de comunicao ocorre quando participo de uma lista eletrnica de e-mails; sou um membro do coletivo composto por seres humanos e e-mails. Quando algum envia uma mensagem para a lista, por exemplo, como acontece na lista da Sociedade Brasileira de Educao Matemtica (SBEM), ocorre comunicao todos-todos (BENEDETTI, 2013), uma vez que qualquer pessoa pode responder em um arquivo digital ao debate provocado por um correio eletrnico e, dependendo da configurao do e-mail, pode ser que as mensagens anteriores possam ser retomadas dentro da prpria mensagem. Estas tambm podem ser copiadas, alteradas, respondidas usando cores diferentes da mensagem original, dentro do mesmo arquivo digital, por exemplo. Mesmo quando uso o correio eletrnico para mandar uma mensagem, posso enviar para quantas pessoas desejar, as quais tambm podem responder do mesmo modo. Destarte, a metfora todos-todos sintetiza as mudanas que as mensagens eletrnicas possuem.

Outro tipo de uso da Internet na Educao Matemtica est associado palavra pesquisa. Aqui cabe um destaque para esse tema, ressaltar sua importncia, destacando como possibilidade, para a Escola Bsica, de prticas de investigao nas aulas. E nesse movimento importante o papel do professor, uma vez que ele quem convida os alunos para adentrarem nos cenrios para investigao. Para tal, pode ser observado o que ocorre quando se realiza pesquisa na academia, a partir da escolha de um tema (norteador), o qual deve ser entendido como um momento inicial de dvidas. como se coubesse aos atores uma adaptao da ideia de pesquisa na universidade, pensando nos elementos que a constitui, como projeto da pesquisa, professor-orientador, foco em algo para investigar, reviso de literatura sobre o tema escolhido, validao externa durante a apresentao oral, dentre outros aspectos.

Tudo isso deve ser pensado guardadas as devidas propores. Por exemplo, autores destacam a importncia da pesquisa na universidade para a produo de novos conhecimentos.

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Creio que esse seja algo muito ambicioso de ser feito na Escola Bsica e mesmo na Graduao, mas possvel. Talvez seja interessante pensar na produo de conhecimentos novos para aqueles coletivos que estudam determinado tema, mas algo que merece uma investigao mais profunda. Assim, se um grupo de alunos constri uma interpretao sobre a queda de um objeto lanado do topo de um edifcio, esta poder ser at muito interessante, mas praticamente certo que no ser a mesma interpretao que os fsicos fariam.

Com o acesso Internet, esse ator pode se aliar a esses coletivos, possibilitando novas alternativas para as pesquisas, por exemplo, para coletar informaes sobre temas investigados. Agora, no mais o professor que apresenta um local [no caso, uma biblioteca] onde os alunos possam pesquisar, mas so eles que trazem para o educador resultados das pesquisas realizadas em um novo meio: o virtual.

A Internet possibilita que pesquisas sejam realizadas sobre um tema qualquer usando os sites de busca, por exemplo. Benedetti (2013) apresenta uma pesquisa que ele realizou usando a Internet, quando queria ter acesso a informaes sobre o tema poliedro. Usou a possibilidade de pesquisa de um site (o qual tem um frum de Matemtica) e digitou a palavra-chave polyhedra (poliedro em ingls). Ele comunica algumas das vrias alternativas que surgem e que teria que fazer escolhas. Percorre os caminhos a partir das suas selees feitas, comentando as informaes que encontrou, os downloads que fez, terminando a viagem feita usando as pginas Web para no exceder o nmero de pginas do artigo.

Tambm sobre o aspecto da pesquisa com tema matemtico, levanta critrios que os professores deveriam considerar para a seleo de sites. O autor considera, a partir de duas fundamentaes tericas (Construtivismo e Ergonomia), que os professores devem escolher pginas WWW, de contedo matemtico a ser trabalhado com os alunos na sala de aula, a partir de alguns critrios considerados. Destaco trs critrios por considerar os mais relevantes para esta pesquisa e que podem ser expandidos, ou seja, podem ser considerados no s para a escolha de sites de contedos matemticos: verificar se o site disponibiliza possibilidades para a interao, se h mdias informticas que permitem simulaes e, se as informaes esto presentes de modo claro, simples e direto; acessvel para o pblico alvo a qual se destina.

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A Internet tambm possibilita a coleta de informaes para a realizao de trabalhos em grupo. Este tipo de atividade no comumente desenvolvido no paradigma do exerccio. Portanto, os alunos no tm o hbito, de modo geral, de realizarem pesquisas escolares concebidas dentro dos cenrios para investigao.

Buscar informaes na Internet e selecion-las, coloca os alunos para enfrentar vrios aspectos: descobrir relaes no imaginadas, analisar enfoques diferenciados, selecionar o que vale a pena ler de modo mais detalhado, qual parte selecionar para uso no trabalho, dentre outros. Talvez o desafio maior seja escrever um texto (ou relatrio escrito).

Reunir essas informaes e produzir algo prprio, ser autor, o prximo desafio! Isso implica em, a partir do recolhido, fazer um esforo de compreenso do material lido, tentando compartilhar e/ou harmonizar os fragmentos de textos ou informaes selecionadas coordenando-as em um todo coerente e original. Seria o avanar para alm do copiar-colar.

Uma questo que gostaria de deixar clara para o leitor que as perspectivas das TIC na Educao Matemtica, e os exemplos de pesquisas apresentados e comentados no esgotam as alternativas. Alm disso, uma perspectiva no exclui as demais, ou seja, possvel, por exemplo, ter um uso da Internet na qual motive e discuta questes ligadas cidadania. Os autores tambm no descartam intersees entre as diferentes perspectivas. Vou abrir a discusso da associao entre as duas reas de inqurito que compem a dissertao, com destaque para a harmonia entre ambas.

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5 CONCLUSO

No presente trabalho apresentamos uma proposta de aplicao de Modelagem Matemtica como estratgia de ensino e aprendizagem. Esta proposta tem por objetivo evidenciar o uso da Matemtica em problemas dirios bem como proporcionar o interesse pelo fazer e aprender problemas matemticos.

Aprender Matemtica por intermdio do processo de Modelagem, possibilita os alunos oportunidade de discutir e refletir sobre o meio tecnolgico como tambm sobre as questes familiares, ambientais, sociais, cotidianas, financeiras e polticas, tornando-os assim agentes fundamentais para as mudanas que devem ser geradas no ensino e no sistema educacional.

Pode-se inferir que desenvolver atividades de modelagens com os alunos pode ser de grande utilidade pois, conforme apresentamos no modelo, contedos do Ensino Fundamental podem surgir de situaes concretas, levando o aluno ao interesse na valorizao da Matemtica.

A atividade de Modelagem Matemtica em sala de aula, um dos caminhos para desenvolver, abordar e aplicar diversos assuntos matemticos simultaneamente. Assim, percebemos que devemos trabalhar com conceitos matemticos demonstrando sua aplicabilidade em situaes de vida, deste modo, a Matemtica deixa de estar fora da realidade social e passa a ser interessante, eficiente e sedutora para os alunos.

Enfim, acreditamos que ao efetuar esta proposta de aplicao em sala de aula, podemos obter uma aprendizagem com significado voltada ao cotidiano dos alunos, contribuindo assim para o desenvolvimento de novas descobertas para atuarem de forma transformadora no mundo real, e tambm para evoluo do progresso educacional de nosso pas.

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