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-EDU CAÇAO ,

MATEMATICA E A ,

TEORIA HISTORICO-CULTURAL UM OLHAR SOBRE AS PESQUISAS

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VIIJ A TEORIA DA OBJETIVAÇÃO E SEU LUGAR NA PESQUISA SOCIOCULTURAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA1

Luis Radford

A pesquisa sociocultural na educação matemática

A Teoria da Objetivação (TO) é uma teoria educacional que

se concentra nos problemas do ensino e da aprendizagem e para

isso se baseia na filosofia de Hegel ( 1830[1991]) e no subsequente

materialismo dialético desenvolvido por filósofos como Marx

( 1932[ 1998]) e Ilyenkov ( 1977). O suporte filosófico dialéti co da

teoria da objetivação significa, entre outras coisas, que a TO está

I. Texto traduzido por Vanessa Dias Moretti . Este capitulo é um resultado de

um programa de investigação financiado pelo conselho de pesquisa em ciên

cias sociais e humanas do Canadá I le conseil de recherches en sciences hu

maines du canada (sshrc I crsh). Uma versão anterior de duas seções deste

texto está publicada na enciclopédia de filosofia e teoria educacional (Peters,

M. A. , ed.), secção "educação matemática" (Valera, P. e Knij nik , G., eds.).

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E A TEORIA HISTÓRICO-CULTURAL 229

inserida em uma linha de pensamento na qual os seres humanos não podem ser concebidos como apartados do mundo e de suas culturas. Nesse sentido, a TO faz parte do crescente campo das teorias educacionais socioculturais contemporâneas (Atweh, Foras e Nebres 2001; Cantoral2013; Lave e Wenger 1991) que se baseiam em teorias socioculturais gerais desenvolvidas nos campos da sociologia e da antropologia (por exemplo, Bourdieu, 1998; Lévi-Strauss, 1962). O denominador comum de tais teorias não é o princípio de que os seres humanos estão de algum modo "relacionados" a sua cultura. Seu denominador comum é antes a alegação de que os seres humanos são consubstanciados com a cultura na qual eles vivem suas vidas. Em outras palavras, o que os seres humanos pensam, fazem, sentem, imaginam, esperam e sonham está profundamente enredado em sua cultura. Em grande medida, as diferenças entre as teorias socioculturais em sociologia e antropologia aparecem de acordo com a maneira pela qual a consubstancialidade acima mencionada é teoricamente tematizada e compreendida. Na evolução das teorias socioculturais, essas diferenças não apareceram de repente (Durkheim 1912[1965]; Lévi-Strauss 1962). Tampouco foram claramente formuladas (Shweder e LeVine 1984).

No campo da educação matemática, durante as décadas de 1980 e' 1990, houve uma necessidade premente de oferecer alternativas para:

(1) as abordagens de aprendizagem il1dividualistas que

dominavam o campo (ver Lerman 1996a, 1996b), e

(2) a concepção Eurocêntrica da matemática (ver, por

exemplo, Bishop 1988, D' Ambrosio 1985).

Para responder a essas necessidades gerais, alguns pesquisadores da educação matemática tentaram encontrar concepções de mente orientadas socialmente, historicamente e

230 SÉRIE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA- EDITORA MERCADO DE LETRAS

culturalmente, e uma concepção de psicologia mais ampla do que

a estreita concepção idealista centrada no sujeito, inspirada pelas

ciências naturais. Esses pesquisadores da educação matemática

abordaram, de maneiras diferentes e de perspectivas diferentes,

a questão da consubstancialidade dos indivíduos e sua cultura e

acabaram se concentrando em diferentes problemas, como por

exemplo, linguagem e discurso, cultura material e seu efeito

na cognição do indivíduo, o contexto sociocultural e político

do ensino e da aprendizagem da matemática, e as maneiras

subsequentes de fazer matemática e pensar matematicamente.

Essa gama de problemas é, de fato, o que transparece em

uma visão geral da pesquisa sociocultural publicada nas primeiras

vinte e nove reuniões do lnternational Group for the Psychology

of Mathematics Education (PME), isto é, as reuniões do PME

entre 1978 e 2005. Nesta visão geral, Lerman identificou quatro

categorias cruciais:

1. Psicologia cultural, incluindo trabalhos baseados

em Vygotsky, teoria da atividade, cognição situada,

comunidades de prática, interações sociais e

mediação semiótica.

2. Etnomatemática.

3. Sociologia, sociologia da educação, pós-estrutu

ralismo, hermenêutica e teoria crítica.

4. Discurso, para incluir perspectivas psicanalíticas,

linguística social e semi ótica (Lerman 2006, p. 351 ).

Embora cada uma dessas categorias não possa ser

considerada estritamente separada ou independente das outras,

podemos reconhecer os primeiros representantes da primeira

categoria nas obras de Bartolini Bussi (1991 ), Bishop (1985) e

Lerman ( 1992). Dois representantes da categoria Etnomatemática

são Bishop e Pompeu (1991 ), e Lea (1990), enquanto Atweh e

FDUCAÇÃO MATEMÁTICA E A TEORIA HISTÓRICO-CULTURAL 231

Cooper (1991 ), por um lado, e Ellerton (1991 ), por outro lado,

são representantes da terceira e quarta categorias de Lerman,

respectivamente.

Em maior ou menor grau, esses pesquisadores estavam

interessados em compreender o papel da cultura, da história e

da sociedade nas concepções de matemática e nas ideias sobre

o aprendizado dos estudantes - conceitos e ideias que ainda

estamos tentando entender e que estão longe de ser resolvidas.

Bartolini Bussi (1991) e Bartolini Bussi e Mariotti (1999, 2008),

por exemplo, recorreram ao trabalho de Vygotsky para investigar

o papel da interação e o papel dos artefatos culturais na sala de

aula; eles chamaram a atenção para o problema da mediação

semiótica. Arzarello e colaboradores também se focaram nos

artefatos e, mais especificamente, nos signos matemáticos e

sua evolução (Arzarello, Bazzini e Chiappini 1994). Inspirado

também pelo trabalho de Vygotsky (1987) e da psicologia

discursiva (Harré e Gillet 1994), Lerman (1996b) estudou o

papel da linguagem na constituição da intersubjetividade. Boero,

Pedemonte e Robotti (1997) investigaram a emergência da

conceituação matemática dos estudantes como um fenômeno

no entroncamento da filogênese e da ontogênese através da

historicidade do discurso.

Esses estudos pioneiros trouxeram uma concepção

diferente da linguagem, interação e cultura material. O

trabalho de Boero e sua equipe, por exemplo, voltou-se para

o trabalho de Bakhtin (1979[ 1986]) e seus conceitos de

linguagem e intersubjetividade. Os conceitos de linguagem e

intersubjetividade de Bakhtin estão certamente em desacordo

com o conceito de linguagem da psicologia tradicional e sua

ideia do indivíduo como uma entidade autônoma que vem ao

mundo, de alguma forma, dotado do mecanismo cognitivo

interno necessário para seu desenvolvimento intelectual. Mais

recentemente, Sfard (2001), baseando-se também em Vygotsky,


sugeriu que o pensamento - uma das características humanas

tradicionalmente considerada a mais privada e pessoal - tem

suas raízes no plano social da comunicação: "pensar", diz

Sfard (p. 26) "surge como uma versão privada modificada da

comunicação interpessoal".

Onde se situa a TO face às tendências socioculturais? Nas

próximas seções, esboço os fundamentos teóricos e a orientação

prática da TO.

Os fundamentos teóricos da TO

Eu começo esta seção com uma discussão dos sonceitos de professores e estudantes como expresso pela TO. Então, passo a tipos de teorização no ensino e na aprendizagem da matemática, centrados na linguagem. Isto é seguido por uma discussão do conceito de atividade como articulado no materialismo dialético. Tal conceito aparece como o conceito central na TO. O conceito, no entanto, é reformulado como trabalho conjunto por razões que são explicadas a seguir.

Professores e estudantes

Deixe-me fazer referência a uma lição de matemática em uma classe de quarto ano (estudantes de nove e dez anos), onde a professora e os estudantes estão lidando com o seguinte problema envolvendo um cofrinho.

Para seu aniversário, Marc recebe um cofrinho com um dólar. Ele economiza dois dólares por semana. No final da primeira semana ele tem três dólares; no final da segunda semana ele tem cinco dólares, e assim por diante.

A professora forneceu aos estudantes fichas de bingo de duas cores (azul e vermelho) e taças de plástico numeradas


destinadas a representar a semana 1, semana 2, etc., e convidouos a modelar o processo de poupança até a semana 5. Baseack nesse modelo, a professora convidou os estudantes a encontrar a quantidade de dinheiro economizada no final das semanas I O, 15 e 25 .

Aqui está um trecho da discussão de um grupo de três estudantes (Aibert a esquerda; Krysta no meio, e Manuel à direita).

Krysta: Então, devemos fazer ... Isso (ver imagem 1 na Figura 1) vezes dois.

Então 11 .....

15. Albert: 11 mais 11 ... 22.

16. Krysta: 22 .

17. Albert : (Ele ri.)

18. Krysta: No final de .. Ok, no final. . .

19: Albert: Bem, espere ... Não. Seria 11 mais 1 O porque ...

20. Krysta: (Ela aponta para a' semana 5.) S.

21. Albert: (Ele aponta para a ficha de bingo azu l.) Nós sempre

começamos com o . .. [ficha azul] (ver imagem 2 na Figura 1 ).

..

234

FIGURA 1. acima (foto 1 ), Kri sta aponta para as

~-==-1 fi chas de bingo na frente da semana 5. abaixo (foto

2), Albert aponta para o

chip de bingo azul

SÉ RIE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA- EDITORA MERCADO DE LETRAS

Como podemos ver, para responder à pergunta sobre

a semana lO, os estudantes recorrem a uma "estratégia de

duplicação". Eles somam a quantidade de dólares economizados

até a semana 5, dobram esse valor e retiram um do total, o que

corresponde a uma ficha azul de bingo, uma vez que há sempre

uma e apenas uma ficha de bingo azul em uma semana (ver

Figura 2).

FIGURA 2. A estratégia da dupl icação, com a remoção correspondente de

uma ficha de bingo. Na semana 1 O, o valor de poupança é de 11 + 1 O dólares

\i} \i} • •• :: •• •• •• •• •• • •

A razão não é perfeitamente articulada por Albert nas

linhas 19 e 21 , mas seu claro gesto de apontar ajuda a ilustrar a

explicação pretendida.

A "estratégia de duplicação" pode ser aplicada a outros

casos, como os estudantes observaram. Assim, para encontrar a

quantidade de dinheiro poupado no final de, digamos a semana

25, observamos alguns grupos começam a partir da semana 5;

por duplicação, eles obtêm a quantidade de dinheiro poupado na

semana 10. Eles dobram novamente e adicionam a quantidade

da semana 5, lembrando-se de remover a ficha azul extra que

foi adicionada no processo. A estratégia funciona bem, mas é

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E A TEORIA HISTÓRICO-CULTURA L 235

trabalhosa para determinar a quantidade poupada em semanas

"distantes", como a semana 78 ou 103 .

Continuemos com o problema do cofrinho. Quando a

professora foi ver o trabalho de Krysta e seus companheiros de

equipe, ela percebeu que os estudantes estavam recorrendo à "estratégia de duplicação". A discussão foi a seguinte:

22. Sra. Giroux: O que eu acho interessante aqui é que [no seu modelo]

você tem fichas de bingo de duas cores. O que isso significa?

23. Krysta: Porque o azul era o que ele já tinha.

24. M anuel: Sim, porque [o problema da hi stória] diz que o cofre tinha um

dólar.

25. Albert : O cobre tinha um dó lar, então aqueles (e le aponta em sequência

para todas as fi chas de bingo azuis das semanas 1 a 5) são todos os

dólares que ele já tinha (agora, ele aponta para as fi chas de bingo

vermelhas das semanas 1 a 5) somados a 2, 4, 6, 8, 1 O.

26. Sra. Giroux: Está bem, está bem. O que acontecer ia se fosse a semana

10?

27. A lbert: Bem (e le aponta para a semana 5. ), acrescentamos tudo isso

novamente (ele faz um gesto arrebatador: veja a Figura 3, fotos 1 e 2),

porque sabemos que 5 + 5 = 1 O, então . . .

28. Krysta: (Interrompendo) Mais ... Nós adicionamos . .. Nós adicionamos

tudo isso (e la aponta para as fi chas de bingo vermelhas na semana 5,

veja a Figura 3, imagem 3) não o azul (e la aponta para a ficha de bingo

a,zul) .. .

29. Sra. Giroux: (Tentando tornar perceptível para os estudantes a estrutura

co-variaciona/) O que você observa sobre a semana 5 (e la mostra o

copo correspondente à semana 5) e (ela aponta para as fichas de bingo

vermelhas, veja a Figu ra 3 , imagem 4) o número de fichas de bingo? (Ela

faz as mesmas ações) A quarta semana e o número de fi chas de bingo?

30 . Albert: É sempre duas vezes .. .

31. Sra. Giroux: (Repetindo) É sempre duas vezes.

Krysta: É o dobro do que você . .. Não! (Ela observa os artefatos

intensamente por um tempo) Estou confusa!

33. Albert: Sim! É duas vezes, olhei (Ele conta as fichas vermelhas) 1 + 1, 2;

2 + 2, 4; 3 + 3, 6; 4 + 4 34. Krysta: (Interrompendo) 8.

35. Al bert: (Ao mesmo tempo) 8.

236 SÉ RIE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - EDITORA MERCADO DE LETRAS

36. Krysta: 5 + 5, 10.

37. A lbert: (Ele aponta para as fichas de bingo na semana 5) 5 + 5, 1 O.

38. Krysta: Legal. É duas vezes a semana . ..

39. Sra. Gi roux: Então, se os vermelhos são duas vezes [o número da

semana], o que acontece com a ficha de bingo [azul] . . . (Ela aponta para

a ficha de bingo azul na semana 5)1

40. Krysta: Mais 1.

FIGURA 3. Os estudantes e a professora discutem a estratégia

para encontrar o número de f ichas de bingo na semana 1 O

Das linhas 22 a 28, os estudantes explicam sua estratégia

à professora. A estratégia não é identificada com um rótulo

(como a "estratégia de duplicação" ou algo assim); em vez disso,

a estratégia é explicada em ação, por meio de palavras e gestos.

Na linha 29, algo extraordinário acontece. De fato, na linha 29, a

professora tenta introduzir o que parece ser uma nova abordagem

para perceber as coisas: Ela diz: "O que você observa sobre a

semana 5 e o número de fichas de bingo? A quarta semana e o


número de fichas de bingo?". No final da passagem, os estudantes

parecem começar a notar uma relação co-variacional entre o

número da semana e as fichas vermelhas e azuis.

Podemos fazer várias perguntas relacionadas a passagem

anterior. Por exemplo: O que os estudantes estão aprendendo?

Como eles estão aprendendo isso? Podemos também fazer

perguntas sobre a professora, tais como: Qual é a natureza da sua

intervenção? Sua intervenção é apropriada?

Se estamos interessados em fornecer explicações sobre

a aprendizagem dos estudantes, do que exatamente devemos

tratar? Dentro de um paradigma pedagógico Piagetiano, a

resposta seria: dos estudantes. Mais precisamente, das ações dos

estudantes, pois em tal paradigma pedagógico, a aprendizagem

é precisamente o que emana do que os estudantes fazem. A ação

emana o saber. O paradigma pedagógico piagetiano talvez seja a

interpretação mais elaborada e sofisticada da pedagogia centrada

na criança. A TO toma um caminho diferente.

Isso significa que a TO não atende aos estudantes? A TO

presta atenção aos estudantes, mas de uma maneira radicalmente

diferente das explicações individualistas da pedagogia centrada

na criança. O que isso significa é que o conceito de estudante

apresentado pela TO é diferente do que geralmente tem sido

exposto em relatos de aprendizagem.

Admito que o problema de mudar para uma concepção

diferente de estudante não é fácil, pois há de uma longa

tradição histórica que considera a aprendizagem do estudante

como o resultado de suas próprias ações. Encontramos essa

ideia claramente articulada no programa pedagógico "Ensino

Universal" do educador francês Joseph Jacotot (1770-1840) no

século dezenove. A i dei a fundamental de Jacotot era que qualquer

pessoa pode aprender qualquer coisa sozinha. Não precisamos


ensinar os estudantes. Eles aprenderão por eles mesmos. Como

diz Jacotot (1828, p. 25) a seus estudantes: "Vocês não conhecem

o cálculo integral, mas podem aprender sem explicações". Essa

concepção de aprendizagem como resultado dos próprios atos do

estudante, endossada por pedagogias construtivistas, tornou-se

uma espécie de segunda natureza na educação matemática.

É por isso que a intervenção da Sra. Giroux na linha 29

pode ser perturbadora. Na verdade, a intervenção da Sra. Giroux

pode parecer invasiva e interferir com as conceitualizações e

aprendizagem dos estudantes.

Se pusermos em suspenso por um segundo a ideia de

que conceitos, significado e intencionalidade não precisam

necessariamente emanar do estudante para que ele possa realmente

entender e aprender matemática? Não estou defendendo - e

devo apressar-me e, esclarecer isso - uma pedagogia na qual o

professor diga aos estudantes como resolver os problemas e pensar

matematicamente. O que estou dizendo é que, infelizmente, a

pesquisa e a prática educacional têm estreitado o relacionamento

professor/aluno a duas possibilidades: (A) ou a aprendizagem

emana dos estudantes ou (B) os estudantes recebem o saber do

professor. Esta posição teórica "ou (A) ou (B)" é o que Lerman

( 1996b) chama em sua crítica do construtivismo de alternativa

absolutista. Seguindo Lerman, afirmo que a posição absolutista

leva a considerar a relação professor/aluno de uma forma muito

simplista e estreita. A ideia de que os estudantes recebem saber

supõe que o saber possa ser transmitido de um indivíduo para

outro (de um emissor para um receptor). Esta é a ideia principal

do modelo pedagógico transmissivo - e é realmente muito

ingênuo. Recorre a uma ideia muito simplista de saber (o saber

é conceituado como algo que os indivíduos possuem ou não,

consequentemente como um conceito mercantilizado de saber),

e uma ideia muito superficial e harmônica de professor e do


aluno. Dentro da posição absolutista, a única solução possível

parece ser que o saber tem de começar e resultar dos atos dos

estudantes. Essa é a posição que Williams (2016) adota em sua

crítica ao livro de Roth e Radford (20 11 ). Suportado por uma

posição teórica idealista e armado com um jargão marxista

superficial, Williams acaba adotando as ideias de saber e de

estudante do construtivismo e da pedagogia piagetiana.

A crítica de William talvez seja um sinal das dificuldades

que resultantes da tentativa de superar a posição absolutista. Já

em seu trabalho inicial, Vygotsky reivindicou um papel crucial

para o estudante em seu próprio aprendizado sem, no entanto,

reduzir o aprendizado aos atos dos estudantes. Assim, Vygotsky

disse que a velha pedagogia, "tratou o aluno como uma esponja

que absorve novo saber". Elaborando a ide ia em mais detalhe, ele

alegou que "a suposição de que o aluno é simplesmente passivo

..... é o maior dos pecados, já que toma como fundamento a falsa

regra de que o professor é tudo e o estudante nada" (Vygotsky

1926[1997, p. 48]).

O problema é não negar aos estudantes seu papel na

aprendizagem. E a solução é não adotar a outra opção da posição

absolutista. Se concordarmos em suspender a ideia de que a

aprendizagem tem que vir das ações dos estudantes, o episódio

da sala de aula mencionado na seção anterior aparece sob uma

nova luz. Parece muito mais complexo. Isso exige que vejamos

a intervenção da Sra. Giroux através de novas lentes. Em outras

palavras, suspender a ideia de que o aluno é a origem do saber

e que seu ambiente é meramente um "treino facilitador para se

tornar mais socializado e intelectualmente engajado" (Martin

2004, p. 197), exige compreender o ensino e a aprendizagem

de uma maneira diferente. Não só o conceito de aluno tem que

ser revisitado, mas também o conceito de professor. O professor,


argumentou Vygotsky, não pode ser retratado como aquele que

injeta saber na mente do aluno. De fato,

assim como um jardineiro estaria agindo tolamente se ele

tentasse afetar o crescimento de uma planta diretamente

puxando suas raízes com as mãos por debaixo da planta, assim

o professor está em contradição com a natureza essencial

da educação se ele volta todo seu esforço para influenciar

diretamente o aluno. (Vygotsky 1926[1997, p. 49])

Recentemente, tem havido uma quantidade muito grande

de pesquisa sobre o professor. No entanto, em grande medida, o

professor é frequentemente retratado como um agente técnico

cuja missão é entregar um currículo (Brown 2010). Esta é uma

visão muito restritiva do professor, a qual o educador canadense

Ted Aoki criticou por reduzir o professor a um "professor

implementador competente", isto é

ajguém que tem habilidades e técnicas orientadas para um

controle eficiente. Tal visão de implementação como um saber

como-fazer é inserida no referencial científico e tecnológico de

pensamento I ação que reduz a competência humana à razão

instrumental e à ação instrumental. Aqui, o professor é visto

como um ser governado por regras e regido por regras sendo

lançado dentro de um ethos manipulador, um ethos no qual

mesmo seu futuro é concebido em termos de regras. (Aoki,

apud Pinar e lrwin 2005, p. 113)

Em resumo, o conceito de professor e de estudante que

a TO traz consigo não é o conceito de seres autossuficientes e

feitos por si próprios, que já conhecem seus assuntos. Professores

e estudantes são conceitualizados como subjetividades em

elaboração, ou como projetos de vida. Em vez de serem


considerados como algo já dado, como fontes de saber e

intencionalidade, eles são considerados como abertura para o

mundo. A TO concebe os professores e os estudantes como seres

humanos em fluxo, como projetos inacabados, em busca de si

mesmos, empenhados num mesmo esforço onde sofrem, lutam e

encontram satisfação juntos.

Vendo o episódio do cofrinho através das lentes da TO, a

Sra. Giroux aparece como engajada com Albert, Krista e Albert.

A Sra. Giroux não está fazendo a mesma coisa que os estudantes.

No entanto, eles parecem trabalhar juntos, tentando trazer à tona

uma forma de pensamento co-variacional sobre sequências. O

que eles estão fazendo é a criação do que Hegel (1837[2001])

chamou, em um contexto mais geral, um trabalho comum. Na TO

o trabalho comum é definido como a aparência sensível do saber

(por exemplo, a aparência sensível de uma forma de pensamento

algébrico co-variacional ou estatístico através da apresentação e

resolução de problemas coletivos, e discussão e debate na sala de

aula). O trabalho comum é portador de tensões dialéticas devido

às contradições emocionais e conceituais do qual é feito. Através

dele, o saber aparece sensorialmente na sala de aula (por meio

da ação, da percepção, dos símbolos, dos artefatos, dos gestos,

da linguagem), da mesma maneira, e com força estética similar,

a qual a música aparece de forma auditiva em uma sala de

concertos através do trabalho comum dos membros da orquestra.

Esta visão da professora e dos estudantes está em harmonia

com o projeto educacional geral no qual se baseia a TO. A TO

está inscrita em uma compreensão da educação matemática

como um esforço político, societário, histórico e cultural. Tal

esforço visa à criação dialética de sujeitos reflexivos e éticos que

se posicionem criticamente em práticas matemáticas constituídas

histórica e culturalmente, ponderando e deliberando sobre novas

possibilidades de ação e pensamento. O que a TO trata não é,


portanto, apenas o reino do saber, mas também o reino do tomar

se. Ou seja, na TO o foco muda de como os estudantes recebem

saber (ensino tradicional) e como os estudantes constroem

seu próprio saber (construtivismo), para como professores e

estudantes produzem o saber em sala de aula tendo como pano de

fundo a cultura e a história. Contudo o foco também se desloca

para a forma como os professores e estudantes coproduzem a si

mesmos como sujeitos, em geral, e como sujeitos da educação,

em particular.

Artefatos, signos e linguagem

Acabei de dizer que, nas descrições sobre o ensino

e a aprendizagem, a TO se concentra nos professores e nos

estudantes. E quanto aos artefatos, aos signos matemáticos,

à linguagem e à cultura material em geral? Eles também são

levados em conta. No entanto, o posicionamento teórico é

diferente do que encontramos em outras pesquisas socioculturais.

Deixe-me explicar a ideia considerando o caso da linguagem.

Na primeira seção deste capítulo, mencionei que a linguagem

era uma das orientações teóricas na base da emergência das

teorias socioculturais na educação matemática. O interesse pela

linguagem não tem diminuído. Pelo contrário, nas duas últimas

décadas, a linguagem tomou-se uma das mais proeminentes

áreas de pesquisa na educação matemática (Radford e Barwell

20 16). Tal proeminência não deve ser uma surpresa.

De fato, no coração das teorias socioculturais desenvolvidas na antropologia e na sociologia, encontramos

uma luta constante para entender o problema da relação entre o indivíduo e o social, o subjetivo e o objetivo, a vida


interior e exterior, a experiência e a forma. É neste contexto

que, no trabalho de Wilhelm von Humboldt (1929[1998]),

Ernst Cassirer (1923[1980]) e Valentin Voloshinov (1973), a

linguagem passou a ser considerada a ligação entre as culturas

e seus indivíduos. Voloshinov (1973, também grafado como

Volosinov), por exemplo, voltou-se para o signo. Considerava o

signo simultaneamente subjetivo (no sentido de que é produzido

por um indivíduo e expressa as suas intenções) e objetivo (no

sentido de que a expressividade do signo está inserida num

sistema cultural de expressões e valores). O signo assegura um

entrelaçamento entre o subjetivo e o objetivo de modo que "A

própria noção de uma diferença fundamental e qualitativa entre o

elemento [da vida] interior e o exterior é inválida para começar»

(Voloshinov 1973, p. 85). Nas explicações de Voloshinov, o sinal

por excelência é a palavra. "A palavra está presente em cada ato de compreensão e em cada ato de interpretação" (Voloshinov 1973,

p. 15). "A palavra está implicada literalmente em cada ato ou

contato entre pessoas" (p. 19). Baseando-se nessa concepção da

palavra, Voloshinov, assim como Mikhail Bakhtin (1979[1986]),

vê a linguagem e a literatura não apenas como um dos campos

da experiência estética e da cognição, mas como o campo central através do qual os outros campos culturais são refratados. Para

eles, é através da linguagem e da literatura que a realidade é

produzida e interpretada. O problema do indivíduo e do social, do

subjetivo e do objetivo, da vida interior e exterior, da experiência

e da forma, é resolvido, segundo a explicação de Voloshinov, na

tensão dialética entre as relativamente estáveis formas centrípetas

da cultura (condensada pelo romance) e as formas centrífugas

de resistência e novidade (condensadas na ide ia de Bakhtin de

carnaval). No entanto, como observa Tihanov,

244

Volosinov acabou reduzindo a cultura a um único-ideal-modo

de existência ... [no qual] a língua teve um papel proeminente

SÉRIE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA- EDITORA MERCADO DE LETRAS

e autônomo na formação da vida social. Assim, .... Volosinov

perseguiu um tipo de teorização, no campo do pensamento

social, centrado na linguagem. (Tihanov 1998, p. 615)

E assim fez Lev Vygotsky (1987), embora por outras

razões.

A TO toma um caminho diferente que ficará claro na

próxima seção. Por enquanto, vale a pena notar que o papel

exato dos artefatos, dos signos e da linguagem na formação

social da mente tem sido uma questão controversa desde a

inserção de teorias socioculturais - e até mesmo na evolução

da mesma teoria sociocultural. Este é o caso da teoria histórico

cultural de Vygotsky. Sabemos, por exemplo, que na década

de 1920, tentando entender o papel da sociedade na cognição

do indivíduo, Vygotsky formulou sua famosa "lei genética do

desenvolvimento cultural". A lei genética de Vygotsky afirma que

"Toda função [psíquica] aparece duas vezes no desenvolvimento

cultural da criança: primeiro, no nível social, e mais tarde, no

nível individual" (Vygotsky 1930[ 1978, p. 57]). A internalização

é precisamente a que assegura a passagem do nível social para

o individual. A ideia de internalização é formulada em termos

do papel que os signos desempenham nela. Sem signos, o

conceito de internalização não faz sentido: "A internalização de

formas culturais de comportamento", diz Vygotsky, "envolve

a reconstrução da atividade psicológica tendo como base as

operações com signos" (Vygotsky 1930[ 1978, p. 57]).

Como podemos ver, o conceito de internalização e as

ideias concomitantes de signos como ferramentas e mediação

semiótica foram as categorias teóricas centrais no estudo de

Vygotsky sobre a mente, no período que vai aproximadamente

de 1927 a 1931. Esses conceitos pertencem ao que os estudiosos

vygotskianos contemporâneos chamam a "fase" ou "momento"


instrumental de Vygotsky (para detalhes veja Presmeg, Radford,

Roth e Kadnuz 2016). González Rey (2009) qualifica o

momento 1927-1931 como um giro instrumental. Entretanto,

no final de sua vida, yYgotsky estava movendo-se na direção

de um programa de pesquisa mais abrangente caracterizando a

consciência como um sistema semiótico sistêmico. Embora os

sinais e as ferramentas permanecessem presentes, eles perderam

o seu sabor tecnológico da fase instrumentalista, "onde a psique

ainda era vista por analogia com uma máquina, um dispositivo

técnico" (Zavershneva 201 O, p. 72). Sinais e ferramentas

passaram a ser considerados em termos do que eles significam e

deram lugar a um estudo programático da consciência no qual o

afeto, as emoções e o significado foram trazidos à tona. Vygotsky

observou: "A consciência como um todo tem uma estrutura

semântica. Julgamos a consciência pela sua estrutura semântica

... A análise semiótica é o único método adequado para o estudo

da estrutura sistêmica e semântica da consciência" (Vygotsky

1987[1997, p. 137]).

Em alguns manuscritos de 1934, Vygotsky escreve:

"Existem duas unidades de atividade dinâmica: pensar [mento] e

atividade real ... De fato, o papel do pensar [mento] na atividade

consiste em introduzir novas possibilidades dinâmicas para a

atividade" (apud Zavershneva 201 O, p. 83). Dentro do programa

de pesquisa que yYgotsky estava imaginando no final de sua

vida, pensamento e atividade se entrelaçaram. Tal movimento

não significa que a importância dos signos e artefatos seja

diminuída. Parece agora submetido a um conceito diferente e

mais abrangente: o conceito de atividade.

Eu discuto o conceito de atividade em mais detalhe na

secção seguinte.


Atividade

A categoria teórica central e da unidade metodológica

de análise da TO é a atividade. Desde o início, portanto, a TO

se coloca dentro de uma perspectiva teórica diferente daquela

na qual a linguagem, discurso e literatura aparecerem como o

campo final da experiência estética e cognição. Esta escolha

teórica e metodológica não descarta o papel da linguagem no

processo de conhecer e tornar-se, mas afirma o papel ontológico

e epistemológico fundamental da matéria, corpo, movimento,

ação, ritmo, paixão e sensação.

Por trás dessa postura teórica repousa uma concepção

antropológica específica do ser humano. Os seres humanos,

seguindo a posição Spinozista (veja Spinoza 1667[1989]) de

Marx (1932[1998]), são considerados como parte da natureza:

eles são seres naturais. Assumir que os seres humanos são seres

naturais significa que eles são seres sensíveis, inevitavelmente

afetados pelas outras partes da natureza. Neste contexto,

sensações e paixões são conceituados como afirmações

ontológicas da natureza do indivíduo como seres naturais

(Fischbach 2005[2014]).

Uma consequência importante desta postura teórica

é que a existência do indivíduo não pode ser concebida como

uma entidade substancial, produzida a partir de dentro,

conforme articulado pela tendência humanista do Iluminismo.

A existência do indivíduo é completamente relaciona!. Parece

ser profundamente vinculada a um conjunto de relações com

outras partes da natureza - incluindo natureza relações sociais - e baseia-se em condições de vida constituídas culturalmente e

historicamente. Nesta linha de pensamento, de ser um ser natural

significa também que, como outros seres vivos naturais, os seres


humanos são (1) os seres de necessidade que (2) encontram a sua

satisfação em objetos fora de si mesmos.

Para atender às suas necessidades (necessidades

de sobrevivência e também artísticas, espirituais, e outras

necessidades criadas pela/na sociedade), os seres humanos

se engajam ativamente no mundo. Eles produzem. O que eles

produzem para satisfazer as suas necessidades ocorre num

processo social, que é, ao mesmo tempo, o processo de inscrição

dos indivíduos no mundo social e da produção da sua própria

existência. No materialismo dialético, o nome deste processo é a

atividade. Sensorial, a atividade material é considerada o campo

definitivo da experiência estética e da cognição.

Essa concepção de atividade é muito diferente de

concepções habituais que entendem a atividade como uma

série de ações realizadas por um indivíduo na realização de seu

objetivo. No materialismo dialético, a atividade é algo mais. É

precisamente a forma específica na qual os indivíduos expressam

sua vida. "A maneira como indivíduos expressam sua vida é a

sua maneira de ser. O que eles são, portanto, coincide com a sua

produção, tanto com o que eles produzem, quanto com o modo

como eles produzem" (Marx 1932[1998, p. 37]). Atividade, em

suma, é uma forma social do esforço conjunto que compreende

a autoexpressão, desenvolvimento intelectual e social, e prazer

estético. É um processo em um sistema de relações sociais que

realiza a natureza social dos seres humanos.

Articulando uma abordagem psicológica baseada na i dei a

materialista dialética da atividade, Leont'ev (1978) sugeriu

uma estrutura básica de atividade. Uma atividade para ele é

caracterizada por seu objeto e seu motivo. O objeto e motivo

de uma atividade são os motores que mantêm a atividade em

movimento. Na prática, na busca do objeto da atividade, os

indivíduos desmembram o objeto em uma sequência de objetivos


com os quais as ações estão associadas. No "Anexo" de seu

importante livro de 1978- um suplemento dedicado a questões

educacionais - Leont'ev discute as condições sob as quais

um determinado conteúdo teórico de aprendizagem pode ser

significativamente percebido pelo aluno. Ele sustenta que "a fim

de que o conteúdo percebido seja reconhecido, é necessário que

ele ocupe o lugar estrutural do objetivo de ação direta da atividade

do sujeito, e assim que ele apareça numa relação correspondente

ao motivo desta atividade" (Leont' ev 1978, p. 153).

É, portanto, por meio da atividade e a interligação

estrutural entre motivo, objeto, objetivo e ações que o conteúdo

de aprendizagem toma-se revelado à consciência do aluno.

A Teoria da Atividade, como esta abordagem sociocultural

é conhecida (ver, por exemplo, Engestrõm 1987; Kaptelinin ,

Kuutti e Bannon 1995), teve um impacto importante sobre a

educação em geral e no ensino da matemática em particular

(ver Roth e Radford 2011 ). No entanto, focando-se no aspecto

processual da atividade, a atividade é reduzida a sua dimensão

operacional e funcional , erradicando-se dela as dimensões

estéticas e políticas de produção e criação. O relato da atividade

culmina, infelizmente, em uma maçante análise tecnológica do

que foi originalmente pensado como a experiência sensível da

vida humana.

O conceito de trabalho conjunto

No materialismo dialético (ver, por exemplo, Ilyenkov

1977), o saber (matemático, científico, artístico, legal etc.) é

considerado como constituído de formas de ação humana que

se tomaram historicamente e culturalmente sintetizadas. E les

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E A TEORIA HISTÓRICO-CU LTURAL 249

são formas sintetizadas de ação que suportam as contradições

políticas da vida humana. Eles estão sempre no processo de

movimento contínuo, incessantemente transformado na prática,

constantemente nasce e renasce. Em vez de ser conceitualmente

neutro, o saber permite ver sempre o mundo de uma certa

maneira. Isto quer dizer que, inevitavelmente, o saber já expressa

uma ideologia específica. A álgebra simbólica do Renascimento,

por exemplo, expressa a postura teórica da razão instrumental

do Ocidental século XVI e as abstrações sociais apresentadas

pelo capitalismo mercantilista emergente. Saber pertence a uma

esfera imaterial da cultura, que é entrelaçada com o mundo

material dos objetos e ações humanas. Esta esfera imaterial da

cultura é parte do que Marx (1932[1998]) chamou o reino não

orgânico da natureza e também faz parte das condições a partir

das quais a existência humana é produzida.

No entanto, os estudantes geralmente não podem

perceber, notar, e acessar o saber diretamente. A fita métrica

que usamos em ambientes de construção é um bom exemplo.

O trabalho de Lacroix (2014) mostra como é difícil para

aprendizes em formação para o comércio de tubos atribuírem

o sentido aritmético para frações de polegadas que estão por

trás da fita métrica. A inteligência humana incorporada na fita

métrica não aparece de uma forma direta e imediata; nem pode

ser reconstruída com base na experiência pessoal isolada. Na

verdade, nenhuma experiência pessoal, independentemente de

quão rica ela seja, consegue estabelecer por conta própria um

sistema cultural de ideias, como a aritmética da (112)" polegada

por trás da fita métrica, o sistema legal romano, lógica formal ou

a teoria dos conjuntos. Um empreendimento dessa magnitude

requer não somente o tempo de uma vida, mas milhares (Leontiev

1968), e talvez ainda mais.


A produção/reconhecimento de saber é de fato um

fenômeno mediado. O saber é criado e recriado apenas através

de atividade sensorial cultural-histórica e pode entrar em

existência sensorial apenas em e através da atividade. É somente

nas explicações subjetivistas idealistas de conhecimento que a

identidade entre sujeito que busca saber e o objeto do saber é

pressuposta.

Do ponto de vista da TO, a produção de saber da sala de

aula e sua revelação progressiva à consciência dos estudantes está

enredada com o desenvolvimento da atividade de sala de aula

que faz tal produção I revelação possível. Como resultado, o tipo

de atividade matemática em sala de aula torna-se extremamente

importante no ensino e na aprendizagem. Na aprendizagem

tradicional, a participação dos estudantes na revelação do saber

é minimizada, como o resultado os estudantes estão alienados

da aprendizagem significativa. Eles não podem expressar-se

nos produtos de sua aprendizagem. Na chamada aprendizagem

reformada e sua pedagogia piagetiana centrada no aluno, os

estudantes são deixados às próprias cogitações; eles expressam a

si mesmos, mas permanecem aprisionados dentro dos limites do

seu mundo subjetivo, vivendo uma existência unilateral, isolada

dé perspectivas culturais e históricas em geral e, portanto,

alienada delas.

A TO é uma tentativa de restaurar a ideia de atividade

em geral e da atividade em sala de aula, em particular, como

formas não-alienantes da vida. Para evitar confusões com

outros significados, e para enfatizar a ideia de atividade como

uma forma de vida estética produzida historicamente, aonde a

matéria, corpo, movimento, ação, ritmo, paixão, e sensação vêm

à tona, a atividade, na TO, é denominada trabalho conjunto.

O conceito de trabalho conjunto oferece uma

reconceitualização do ensino e da aprendizagem. Em trabalho


conjunto, os estudantes não são reduzidos a um papel de simples

sujeitos cognitivos. Eles não aparecem como sujeitos passivos

recebendo saber ou como sujeitos autônomos que constroem seu

próprio saber. Na mesma linha, os professores não são reduzidos

a um papel de agentes tecnológicos e burocráticos - guardiães

e executores do currículo. Eles não aparecem como possuidores

de saber que entregam ou transmitem saber para os estudantes

diretamente ou através de estratégias facilitadoras. O conceito

de trabalho conjunto torna a ideia operacional de professores

e estudantes, introduzidas em seção anterior, como indivíduos

que trabalham juntos. Este conceito sugere uma perspectiva

educacional que visualiza o ensino e a aprendizagem não como

duas atividades separadas, mas como uma única e mesma

atividade: aquela na qual professores e estudantes, embora sem

fazer as mesmas coisas, empenam-se em conjunto, intelectual

e emocionalmente, para a produção do que chamamos, um

trabalho comum.

Vamos fazer uma pausa por um momento e imaginar o

problema do cofrinho que discutimos em seção anterior, mas

desta vez em um cenário diferente. Vamos imaginar que o

episódio se desdobre agora de acordo com o modelo educacional

transmissivo do ensino direto. A professora está na frente da

classe e diz aos estudantes como resolver o problema. Os

estudantes ouvem e tomam algumas notas. Podemos dizer que

há trabalho conjunto aqui? Vamos repetir a mesma experiência

do pensamento, mas desta vez o episódio se desenrola de

acordo com o modelo construtivista centrado no aluno. Os

estudantes estão tentando por si mesmos resolver o problema

do cofrinho e a professora se abstém de intervir. Podemos dizer

que há trabalho conjunto aqui? Em ambos os casos, o que os

professores e estudantes estão fazendo não se refere a um sistema

dinâmico orientado para a satisfação de necessidades coletivas.


Professores e estudantes estão envolvidos em atividade de sala

de aula, mas não é uma atividade no sentido dialético do termo.

Mais especificamente, no modelo transmissivo, professores e

estudantes estão envolvidos em uma coordenação funcional e

técnica das ações: por um lado, a professora diz; por outro lado,

os estudantes ouvem e tentam dar sentido por si mesmos ao que

a professora faz e diz. No modelo construtivista, "o professor e

os alunos constroem interpretações individuais que eles tomam

como sendo compartilhadas com os outros" (Cobb, Yackel e

Wood 1992, p. 17). O que resulta de tal atividade não pode ser um

"trabalho comum", mas algo que é meramente "compartilhado".

Na TO, os encontros dos alunos com o saber matemático

historicamente constituído, materializado no trabalho comum

dos professores e dos estudantes, são denominados processos de

objetivação (Radford 2008; 2014). O episódio do cofrinho nos

fornece um exemplo de um processo de objetivação. Trabalhando

em conjunto, Ms. Giroux e os estudantes estão produzindo

(através de gestos, postura, a atividade perceptual, linguagem,

artefatos) um trabalho comum, que permite que os estudantes se

tomem progressivamente conscientes de uma maneira diferente

de pensar sobre o problema (a maneira co-variacional de pensar).

Por meio destes processos sociais, materiais, encarnados e

semióticos, os estudantes e os professores não só criam e recriam

saber, mas eles também se coproduzem como sujeitos em geral

e como sujeitos da educação, em particular. Mais precisamente,

eles produzem subjetividades; isto é, indivíduos singulares em

formação. É por isso que, a partir dessa perspectiva, os processos

de objetivação são ao mesmo tempo os processos de subjetivação.

O conceito de trabalho conjunto recorre a: (a) formas

coletivas específicas de produção de saber em sala de aula, e

(b) modos definidos de colaboração humana que repousam sobre

a ética comunitária crítica. As formas éticas de colaboração


humana são movidas por uma atitude geral face ao mundo e

servem para configurar o trabalho conjunto de professores e

estudantes em sala de aula (para alguns exemplos, ver Radford

e Roth 2011 e Radford 2012). Estas formas críticas e éticas

comunitárias distorcem as fronteiras que separam os professores

dos estudantes. Professores e estudantes trabalham em conjunto

como um só. Este compromisso ético é o que vemos no exemplo

do cofrinho quando, por exemplo, na linha 29 a professora

interage com os estudantes e os convida a ver a estratégia de

resolução de problemas sob uma nova luz. Os estudantes

respondem ao chamado da professora e, trabalhando com a

professora, se esforçam para dar sentido à interpretação dessa

nova estratégia.

O conceito de trabalho conjunto conduz a um novo conceito

de sala de aula de matemática. A sala de aula aparece como um

espaço público de debates no qual os alunos são encorajados

a mostrar abertura para com os outros, responsabilidade,

solidariedade, cuidado e consciência crítica. A sala de aula, na

verdade aparece como um espaço de encontros, onde professores

e estudantes se tomam o que Paulo Freire (2004) denominou

presenças no mundo. Ou seja, a sala de aula aparece como um

espaço de encontros, dissidência e subversão, no qual professores

e estudantes se tomam indivíduos que são mais do que seres

no mundo, eles são indivíduos com um interesse investido no

outro e em sua empreitada comum; indivíduos que intervêm,

transformam, sonham, apreendem, sofrem e esperam juntos.

Síntese

Neste capítulo, eu tentei posicionar a TO entre outras

abordagens socioculturais. Para fazer isso, eu comecei


resumindo o surgimento de teorias socioculturais em Educação

Matemática, com um foco particular nas formas de teorizar o

ensino e a aprendizagem orientadas para a linguagem. A ideia

não era comparar a TO com cada abordagem sociocultural

existente na pesquisa em educação matemática, mas destacar

algumas das diferenças entre algumas tendências importantes

- daí a minha escolha de teorias orientadas para a linguagem.

Eu delineei alguns dos conceitos-chave da TO e foquei, em

particular, o conceito de atividade, o conceito central da TO que

a teoria reconceitualiza como o trabalho conjunto para trazer

à tona a importância ontológica e epistemológica da atividade

como uma forma de vida. O conceito de trabalho conjunto anda

de mãos dadas com um conceito materialista dialético de saber

e de sujeito que busca o saber. Por meio desses conceitos a TO

reformula o ensino-e-aprendizagem como um fenômeno ético

histórico-cultural, proporcionando à TO uma orientação distinta

dentre a pesquisa sociocultural na educação matemática.

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