EE-240/2007 – Métodos Baseados em Modelos set 2007 12 set 2007 Métodos baseados em Modelos

EE-240/2007 – Métodos Baseados em Modelos

set 2007

12 set 2007Métodos baseados

em Modelos


set 2007

Modelo:

“Representação das características essenciais do sistema em estudo”

Estado

MedidasOu

Saída

Entrada ouExcitação

)Ms()v(DuCxy

)Ha()Gw(Bux)AA(x

kkkkk

kkkk1k

Ruído deEstado

Ruído deMedida

Falha deAtuador

Falha deSensor

FalhaInterna


set 2007

k1nknk11k uy...yy

knk

2nk2k

1nk1k

yx

yx

yx

k1kn

1nk2

nk1

n1k

3k

21k

2k

11k

uxxxx

xx

xx


set 2007

k1kn

1nk2

nk1

n1k

3k

21k

2k

11k

uxxxx

xx

xx

k

nk

1nk

2k

1k

12n1nnn

1k

1n1k

21k

11k

u

0

0

0

x

x

x

x

1000

0100

0010

x

x

x

x

A B


set 2007

kk

kk1k

Cxy

BuAxx

12n1nn

1000

0100

0010

A

0

0

0

B 1000C

k1nknk11k uy...yy

ou

Obs: • Transformada Z Função de Transferência• u = Delta de Kronecker Resposta Pulso


set 2007

Como utilizar Modelos noPrognóstico de Falhas?

Observadores de Estado

IdentificaçãoParamétrica

Equaçõesde Paridade


set 2007

Observadores de Estado(ou Estimadores de Estado)

)xCCx(LBuBu)xx(Axx kkkkkk1k1k

)xx)(LCA(xx kk1k1k

kk

kk1k

Cxy

BuAxx

Planta:

kk

kkkk1k

xCy

)yy(LBuxAx

Observador:

( – )

ke1ke

unitáriodisconovaloresepossuiéLCAse0ek


set 2007

kkk

kkk1k

vx100y

w

1

1

1

u

0

0

1

x

5.110

74.001

12.000

x

Exemplo:

9.0

62.0

112.0

L

E-valores do observador em 0.1 e 0.2 (mult 2)


set 2007


set 2007

kkk yyy~


set 2007


set 2007

kkk yyy~


set 2007

Exemplo:

kkk

kkk1k

vx125

100y

w

1

1

1

u

0

0

1

x

5.110

74.001

12.000

x

9.0

62.0

112.0

L

E-valores do observador em 0.1 e 0.2 (mult 2)

Observador utilizando

apenas 1ky


set 2007


set 2007

amareloy~

magentay~

2k

1k


set 2007

Falha A Falha B


set 2007


set 2007

Equações de Paridade

kk

kk1k

Cxy

BuAxx

Sem falhas:

1ikk1i

ki

ik

1kkk2

1k1k2k2k

kk1k1k

kk

CBuBuCAxCAy

CBuCABuxCACBuCAxCxy

CBuCAxCxy

Cxy


set 2007

ik

2k

1k

k

2i1i

k

1i

2

ik

2k

1k

k

u

u

u

u

0CBBCABCA

00CBCAB

000CB

0000

x

CA

CA

CA

C

y

y

y

y

Y T Q U

QUTxY k

0WT.q.tW

0WQUWY:r


set 2007

kkk

kkk1k

vx100y

w

1

1

1

u

0

0

1

x

5.110

74.001

12.000

x

Exemplo:

W = [-0.12 0.74 -1.5 1.0]

275.151.15.1

51.15.11

5.110

100

T


set 2007


set 2007

Resíduo


set 2007


set 2007

Resíduo


set 2007

Identificador

kk UYE ,ˆ

SistemaParcialmenteConhecido

ku ky

kkk wCxfx ,1

kkk vGxHy

kw

Identificação Paramétrica


set 2007

Dados: qy Rp ,,

Taentecorrespondy

Obter: um estimador g, tal que g( y ) se aproxime de T

1. Estimador:

1,yp 2,yp

y

Exemplo:

a

ayse

ayseyg

2

1)(

Identificação Paramétrica


set 2007

LSE

2. Estimador Não - Polarizado:

dpgygE yR,)(

Exemplo: Seja ),0(~ INe

eAy

mínimosejaAyquetalyg2ˆ)(ˆ Obter

yAAA

yAAA

AAAyyyd

d

AyAyd

d

Ayd

d

TT

TT

TTTT

T

1

ˆ

2

ˆ

022

02

0

0


set 2007

eAAAEAAAAE

eAAAAAAAE

eAAAAE

yAAAEygE

poispolarizadonãoéyAAA

TTTT

TTTT

TT

TT

TT

11

11

1

1

1

)()(

)()(

)()(

)()(

,ˆ

3. Teorema de Gauss-Markov:

LSE é ótimo na classe de estimadores lineares não-polarizados

covˆcov,EquetalBy


set 2007

covˆcov,EquetalBy

T

TT

T

T

T

BB

BBeeE

EeABEeABE

EByEByE

EEE

IBA

BAE

BeEBAE

eABE

ByE

E

))()()((

))((

))((cov

)(


set 2007

covˆcov,EquetalBy

1

11

11

11

1

1

1

)(

)()(

)()(

)()(

])ˆ[ˆ])(ˆ[ˆ(ˆcov

)(

)()(

)(

ˆ]ˆ[ˆ

AA

AAAAAA

AAAeeEAAA

AAAeeAAAE

EEE

eAAA

eAAAA

yAAA

E

T

TTT

TTTT

TTTT

T

TT

TT

TT


set 2007

covˆcov,EquetalBy

TT BBAA

covˆcov1

ˆcov~~

)(~~

)()(~

)()(~~~

)(~

)(~

cov

1

1111

11

T

TT

TTTTTTTT

TTTTT

T

BB

AABB

AAAAAABAAAAAABBB

AAABAAAB

BB

0~

,

~

1

1

AAAABAAB

IBAComo

AAABBSeja

TT

TT

0


set 2007

Matriz deInformação

de Fisher

4. Limitante Inferior de Cramér-Rao: 1)(cov Myg

onde

),(log),(log ypypEm y

jy

iij

dpg

ouygE

polarizadonãoégComo

yRm ),()(

)(

,(.)

i

yRi

dpgm ),()(

ijse

ijse

1

0


set 2007

IpgE

Idppg

Idpg

y

yyR

yR

m

m

),(log)(

),(),(log)(

),()(

0),(log

0),(),(log

0),(

1),(

y

yR y

R y

R y

pE

dpp

dp

dp

m

m

m

Por outro lado,


set 2007

Ty

T

y

pg

p

g

E ),(log

),(log

cov

),(log yp

g

Se então,

1

1

11

cov

0cov

0cov

0cov

cov

Mg

Mg

M

I

MI

IgMI

MI

Ig


set 2007

5. Eficiência: g(y) é dito ser eficiente se 1)(cov Myg

6. Teorema: eficienteéyAAAyg TT 1ˆ

1ˆcov

AAT

AyAyp T

my 2

1exp

2

1),(

2/

AyAym

p Ty 2

12log

2),(log

AAAeeAEM

eAyAAAp

TTT

TTTy

),(log

1ˆcov M


set 2007

7. Propriedades do LSE:

eficienteéyAAAyg TT 1ˆ e não polarizado

8. Identificação de Modelos ARMAX:

kmkmknknkk euuyyy 1111

N

n

n

n

m

n

mNNnNN

mnnn

mnnn

mnnn

N

n

n

n

e

e

e

e

uuyy

uuyy

uuyy

uuyy

y

y

y

y

2

1

1

1

11

2121

11

101

2

1

y = A + e


set 2007

1. Lema de Inversão de Matrizes:

1111111 AbcAbAcAbcA TTT

2. Estimação Recursiva:

1111

N

NTN

N

N

N

e

E

a

A

y

YmedidasN

11

1

111

ˆN

NT

TN

NTN

NT

TN

NN y

Y

a

A

a

A

a

A

11

1

111

ˆN

NN

TNT

N

NN

TNN y

YaA

a

AaA

111

111ˆ

NNNTN

TNNN

TNN yaYAaaAA

NTNN

TNNNNN YAAAondeAYmedidasN 1)(ˆˆ,,

Identificação Paramétrica Recursiva


set 2007

1 NTNN AAP

T

N

NN a

AA

11

111

1

11

1111

T

NNNTNT

N

NT

TN

NN

TNN aaAA

a

A

a

AAAP

1111111 AbcAbAcAbcA TTT

1111

111

TNNN

TNNN

TNN aaPaaAAP

NTNNNNN

TNN PaaPaPaP 11

1111

111

11

1

NN

NNTN

N aPaPa

K

NTNNN PaKIP 111


set 2007

111

111ˆ

NNNTN

TNNN

TNN yaYAaaAA

1111ˆ

NNNTNNN yaYAP

NTNNNNN

TNNN PaaPaPaPP 11

1111 1

1111

11111

111

111

1

1ˆ

NNNTNNNNN

TNNNN

NTNN

TNNNNN

TNN

TNNN

yaPaaPaPayaP

YAPaaPaPaYAP

NTNNN YAP 1

1111

1

NN

NNTN

N aPaPa

K

NTNNNNN ayK ˆˆˆ1111


set 2007

NTNNNNN ayK ˆˆˆ1111

111

11

1

NN

NNTN

N aPaPa

K

NTNNN PaKIP 111

mNNnNNTN uuyya 111

NmNmNnNnNN euuyyy 1111

Identificador

kk UYE ,ˆ

SistemaParcialmenteConhecido

ku ky

ke

Tmn 11

3. Identificação de Modelos ARX:


set 2007

kkk

kkk1k

vx100y

w

1

1

1

u

0

0

1

x

5.110

74.001

12.000

x

Exemplo:

k1nkkk1k u00.1y12.0y74.0y50.1y


set 2007


set 2007

k1nkkk1k u00.1y12.0y74.0y50.1y


set 2007


set 2007

Muito Obrigado!

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