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EE103–LaboratóriodeEngenhariaElétricaIMóduloIV-REGIMEPERMANENTESENOIDALREPRESENTAÇÃOPORVARIÁVEISCOMPLEXAS

AtençãoÉobrigatórioousoderégua,esquadro,compassoetransferidor.

Introdução:O objetivo deste módulo é familiarizar o aluno com um método fasorial de análise de circuitoslineares sob excitação senoidal com frequência fixa. A importância desta técnica deve-se à grandesimplificaçãoqueresultanaanálisedesistemaselétricoslinearesqueoperamnafrequênciaindustrial(60Hz).RevisãodaTeoria:A chave para este procedimento está em considerar um sinal senoidal do circuito como sendo aprojeçãodeumvetorgirantesobreumdoseixosdoplano[x-y]:

M M

y

x ωt

x(t)

θ

y(t)

X

Y

θ

ωt

M

ωt

( ) ( )θω +⋅= tMtx cos ( ) ( )θω +⋅= tMty sen

X=Mcosθ→componentexinicial Y=Msenθ→componenteyinicial

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CombasenafórmuladeEulerpodemosrepresentarasprojeçõesnoplanocomplexo,resultandoumvetorgirante:

( ) ( ) ( )[ ] ( )θωθωθωζ +⋅=+++= tΜttΜt jesenjcos onde:

22 YXM += → magnitudedovetorgirante ( )tζ θ → ângulodefaseinicialω=2πf → velocidadeangular(radianos/s)f → frequência(Hz)

Podemosescreverosinalζ(t)isolandoooperadorgiranteunitário tωje ,resultando: ( ) tMt ωθζ jj ee ⋅⋅= (1)ondeocoeficiente θje⋅M ,chamadofasor,correspondeaumvetorconstante(imobilizado)noplanocomplexoquerepresentaamagnitudeMeafaseθdosinalsenoidal.Sabemosqueasleisdecircuitoslinearesenvolvemalgumasrelaçõeseoperaçõesentreasvariáveis,taiscomo:soma,diferença,produto,diferenciaçãoeintegração.Na forma complexa (1) apenas as operações de divisão e de produto conjugado entre variáveisperdemotermogirante tωje ,oquequerdizerqueoresultadodessasoperaçõesnãoseráumvetorgirante,massimumagrandezacomplexaconstante,comoimpedância(divisão)epotência(produtoconjugado).Seosistemaestáemregimepermanentesenoidal,entãoaanálisepodeser reduzidaàscondiçõesiniciais(t=0),eportanto:

( ) 10ej ==ttω ( ) θζ je0 ⋅== Mt

ou seja, toda a análise de sinais senoidais em regime permanente se resume a operações entrevariáveiscomplexasouFASORES.

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ProposiçãoIV.1CONCEITOSDEIMPEDÂNCIA,

REATÂNCIACAPACITIVAEREATÂNCIAINDUTIVAObjetivo:Verificar leis de circuitos lineares em regime permanente senoidal através de variáveis

complexas.RevisãodaTeoria:As leis de circuitos também podem ser estendidas para as variáveis complexas, resultantes darepresentaçãofasorialemregimepermanentesenoidal.ParaoscircuitossérieRLouRC,porexemplo,asrelaçõestemporaisv-i,sãodadaspor:

( ) ( ) ( )dttdi

LtiRtv +=

)0()(1)()( ∫ Cdt+vtiC

+ti=Rtv

Podemos assumir uma solução particular da forma ( ) tVtv ωjeˆ ⋅= e ( ) tIti ωjeˆ ⋅= , com os fasores! !V I e definidos através da magnitude (expressa pelo valor eficaz da grandeza) e fase no planocomplexo. Neste caso, os termos tωje se cancelam, de forma que as relações acima podem serexpressasemtermosfasoriaispor:

( ) ILjRILjIRV ˆ ˆˆˆ ωω +=+=

IC

jRICj

IRV ˆ1ˆ1ˆˆ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+=

ωω

Oscoeficientes ωj e ωj1 indicamquehouveoperaçãodederivadaeintegração,respectivamente,sobreavariávelcorrente.

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Como se pode ver, a relação entre os fasores de tensão e corrente é um número complexo, quedesignamoscomoimpedânciadocircuito:

fasoresparaOhmdeLeiˆˆ

⇒= ZIV

NocasodoscircuitossérieRLeRCestarelaçãoresulta,respectivamente,em

LL XRLRZ jj +=+= ω

CC XRC

RZ j1j −=−=ω

onde LXL ω= éareatânciaindutivae CXC ω1= éareatânciacapacitiva.

Observequeas impedânciassãoapenasnúmeroscomplexosenãofasores, jáquenãoháumsinalsenoidal associado a elas. Ademais, as leis de associação série, paralela, Y-Δ seguemas regras dasoperaçõesentrenúmeroscomplexos.Porexemplo:

( ) ( )bababa

bbb

aaa

XXRRZZXRZXRZ

−++=+−=+=

jjj

Notetambémqueasimpedâncias(ouseusinversos,admitâncias)podemservistascomooperadorescomplexossobreosfasoresdecorrente(tensão),cujoefeitoéodemodificaramagnitudeeafasedosinal.Porexemplo,nocircuitoRL:

XRL VVIXIRV ˆˆˆjˆˆ +=+= vemosqueacomponente RV estáemfasecom I ,poisRéumnúmeroreal,enquantoque XV estáem

quadraturacom I ,devidoaooperadorjqueproduzumavançodefasede90°sobre I .

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Emcadacircuitoindependentepode-seescolherumavariávelcomoreferênciaangularparaanalisartodas as demais variáveis do circuito. Se escolhermos como referência angular o fasor corrente( )!0ˆ ∠= II ,então RV estaránoeixoreale XV noeixoimaginário.Ascomponentesdaimpedânciadefinemotriângulodeimpedâncias,ouseja:

( )ϕϕϕ senjcosej j ±==±= ± ZZXRZ

PelaleideOhmcomplexa ( )ZVI /ˆˆ = percebe-sequeaimpedânciaindutivaatrasaacorrentedeumânguloϕL, enquanto que a impedância capacitiva adianta a corrente de um ânguloϕC. Isto já foiobservadonoMóduloII,paraodomíniodotempo.Comonãodispomosdeequipamentoquemostrefasoresnoplanocomplexo,(oquepoderiaserfeitoatravés de sistema de aquisição de dados e microcomputador), vamos medir ou calcular asamplitudesedefasagensentreasgrandezas.Para obter amplitudes podemos utilizar voltímetros, amperímetros, ohmímetros e pontes deimpedâncias oumedidores LCR. Paramedir defasagem, costuma-se utilizar omedidor de cosϕ, oucosfímetro,ondeϕéadefasagementreatensãoeacorrenteemregimepermanentesenoidal.Veremosadiantequecosϕétambémofatordepotênciadocircuito,sobexcitaçãosenoidal.

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EnsaioseQuestões:(i) ►ComomedidorLCRmedira indutânciaLecomoohmímetromediraresistência LR da

bobinade1.200espirascomnúcleoemUaberto.

1200espiras: Ω= LR mH =L

(ii) ►Monteocircuitoabaixo.

R=100Ω/50W LL XR j+ →bobinade1.200espirascomnúcleoemUaberto

(iii) ►AjusteV1=50Vantesdefecharachave(ouseja,semcarganoVariac).Emseguida,fecheachaveemeça:

V 1 =V mA =I cos =ϕ

(iv) Comosvaloresmedidos,estimeomódulodaimpedânciainternadafonte(Variac+rede).

(v) ►AindacomachaveCHfechada,ajusteoNanovipparamedir:

V 2 =V cos =Lϕ (vi) A partir das medidas, calcule a impedância total do circuito TTTT XRZZ j+=∠= ϕ e a

impedância da bobina LLLLL XRZZ j+=∠= ϕ . Calcule também a indutância da bobina ecomparecomovalormedidoem(i).

(vii) Desenheostriângulosdeimpedânciaspara TL ZZ e nomesmográfico.Comoarelaçãoentre

asduasimpedânciassemanifestanessegráfico?(viii) Calcule 2V pelaregradodivisordetensão,ecomparecomovalormedidonoitem(vi).

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ProposiçãoIV.2CONCEITOSDEPOTÊNCIACOMPLEXA,

POTÊNCIAATIVA,POTÊNCIAREATIVA,FATORDEPOTÊNCIAObjetivo:MedirpotênciaefatordepotênciaemcircuitoCAmonofásico.RevisãodaTeoria:A análise que se segue é válida para formas de onda senoidais. Utilizando a análise fasorial emcircuitosCAmonofásicos,vamosverificarcomoseobtémapotênciaelétrica.Nodomíniodotemposabemos que a potência elétrica instantânea é dada pelo produto da tensão pela corrente.Considerandoumcircuitoindutivoereferênciaangularnatensão,temos:

( ) { }tVtVtv ωω jeRe2cos2 ==

( ) ( ) ( ){ }ϕωϕω −=−= tItIti jeRe2cos2

( ) ( ) ( ) ( )

[ ] tQ

IVtP

IV= t tIVtitv=tp

ωϕωϕϕωω

2sensen2coscoscoscos2

!"!#$!"!#$++

=−=1

ϕϕ sencos VIQVIP == A potência ativa (P) aparece como o valor médio de p(t), enquanto que a potência reativa (Q)corresponde,numericamente,àamplitudedaoscilaçãoemquadratura.A potência CA envolve duas quantidades emquadratura: a potência ativa (P), que corresponde aovalormédiodapotênciaconvertidaemcaloroutrabalho,eapotênciareativa(Q),quecorrespondeaovalordepicodapotênciadeenergizaçãodosbipolosreativosindutivosecapacitivos.Enquantoapotência ativa sempre flui da fonte para a carga, a potência reativa é trocada entre os elementosarmazenadoresdeenergiaacadameiociclo.Essapermanentetrocadeenergianãogeradiretamentetrabalhoútil,masénecessáriaparaproduziroscamposelétricosemagnéticos,atravésdosquaiséfeitaaconversãodeenergia.Veja que P e Q aparecem em função dos valores eficazes de v(t) e i(t). Em termos dos fasorescorrespondentesdatensãoecorrenteeficazes,dadospor:

angular)a(referêncieˆ 0j⋅=VV

ϕjeˆ −⋅= II Constatamosqueoprodutocomplexoconjugadoédadopor:

[ ] QPIVeIVIVS jsenjcosˆˆ j* +=+=⋅== ϕϕϕ

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ouseja,oprodutodofasortensãoeficazpeloconjugadodofasorcorrenteeficazforneceumapotênciacomplexaScujascomponentes,realeimaginária,correspondemàspotênciaativaereativadocircuito.Noplanocomplexo,essaspotênciasdefinemotriângulodepotências:

Pode-severificarqueoânguloϕdotriângulodepotênciaséomesmodotriângulodasimpedânciasquederamorigemàscorrentesnocircuito,ouseja:

ZRFP == ϕcos

Amagnitudedapotênciacomplexa S échamadapotênciaaparente,medidaemVA(oukVA).Notequeofatordepotência ϕcos=FP éunitário(máximo)quando SP = ,ouseja, 0=Q .Logo,ofatordepotênciadáafraçãodapotênciaaparentequerealmenteédissipadaouconvertidaemtrabalho.Apotênciaativapodesermedidadiretamenteatravésdeumwattímetro.O Nanovip permite medir tanto P como Q e S, desde que a corrente seja maior ou igual aaproximadamente 200mA (ou 400 mA, dependendo do modelo) e a frequência esteja na faixa

Hz40040 << f .EnsaioseQuestões:(i) ►Façaamontagemaseguir,queprevêamediçãodepotênciaativa.

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(ii) ► Aumente progressivamente a tensão nos terminais do Variac até 100 V, com o motoratingindoavelocidadenominal.MeçaosseguintesvalorescomoNanovip:

A=I W=P cos =ϕ

(iii) Calcule a potência aparente a partir dos valoresmedidos em (iii) e desenhe o triângulo de

potências.

(iv) Estimearesistênciaeaindutânciavistaspelafonte.

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ProposiçãoIV.3CORREÇÃODOFATORDEPOTÊNCIA

Objetivo:Verificaroefeitodecorrigirofatordepotênciadeumacargaindutiva.Introdução:Ofatodapotênciareativacorresponderaumaenergiadetrocaentrecapacitoreseindutorespermiteque se reduza o trânsito dessa potência através do sistema de transmissão se compensarmoslocalmenteascargasindutivascomascapacitivas.Esseprocessodecompensaçãoreativaéconhecidocomocorreçãodofatordepotência(FP)etemum grande interesse prático nas instalações industriais, onde normalmente predominam as cargasindutivas dos motores elétricos. Veremos que o processo de correção de FP, além de fornecerlocalmente os reativos solicitados pela carga, reduz a corrente da fonte, aliviando o sistema detransmissãocomoumtodo.EnsaioseQuestões:Considerecomocargaindutivaummotordeinduçãomonofásico110V,½HP,alimentadoatravésdoVariac.(i) ► Monte o circuito a seguir. Os capacitores serão conectados um por vez para a

compensaçãodoFP.

(ii) ►Coma chaveCH1 fechadae asdemais abertas, aumenteprogressivamentea tensãonos

terminaisdoVariacaté100V,comomotoratingindoavelocidadenominal.

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(iii) ►Preenchaatabelaaseguir,mantendoatensãodafonteconstante(100V).NotequePTeQT são as potências ativa e reativa fornecidas pela fonte. Algumas das medidas abaixopodemserobtidasapertandoobotãoPAG.doNanovip

C[µF] I[A] TP [W] TQ [VAr](*) S[VA] FP(*) Cap/Ind(**)– 10 15 20 25 30 35 40 45 50

(*)Valoresnegativosde TQ eFPnoNanovipindicamcircuitoscapacitivos.Porém,sabe-sequeFPsomenteassumevalorespositivos.(**)Capacitivo/Indutivo.

(iv) Traceascurvas[ ]CI× e [ ]CFP× nomesmográfico.Comente.

(v) Traceascurvas[ ]CPT × e [ ]CQT × nomesmográfico.Comente.(vi) ConsiderandoqueoVariac(comsuasresistênciasinternas)representaaredeelétrica,quala

carga mais favorável ao Variac? Por que um distribuidor de energia prefere esse tipo decarga?

(vii) Por que numa ligação RLC paralela a corrente absorvida da fonte émínima para fator de

potênciaunitário?Obs.:Normalmente,ummotordeinduçãonãooperaemvaziocomonesseensaio,eporissooFPé

maior devido à carga mecânica aplicada. Assim mesmo, é comum que o FP em instalaçõesindustriaisestejaabaixodolimitemínimopermitidopelalegislação(FP=0,92)paraisençãodemultasobreoconsumodereativos.

Conclusão: Duasboasrazõesparaacorreçãodofatordepotênciasão (a) reduçãodacorrentena

linhadealimentaçãodascargas(econsequentereduçãodabitoladoscondutores),e(b)isençãodamultaporFP<0,92.