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EEA-05: Síntese de Redes Elétricas e FiltrosAula 10

1o Ten Eng Nicholas YUKIO Menezes Sugimoto

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Tópicos

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Filtros ativos:Ajuste da constante de ganhoImplementação diretaFunção quadráticaEfeitos causados pelas limitações dos amplificadores operacionais

1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 2 / 36

Ajuste da constante de ganho


Durante o projeto de um filtro ativo, geralmente posicionamos os polos ezeros e deixamos a constante de ganho sem ajuste. Para escolher essaconstante, existem procedimentos que não exigem o uso de umamplificador operacional adicional.

Caso 1 - Diminuir o ganho: A ideia é substituir a resistência de entradapor um divisor de tensão de tal modo que o equivalente Thévenin tenha amesma impedância de Thévenin de antes mas com tensão de Théveninmultiplicada por um fator k1 < 1.Caso 2 - Aumento de ganho: A ideia é realimentar para a rede RC umaversão atenuada da saída, de tal forma que a saída real fique maior.




Caso 1 - Diminuir o ganho:Fazemos a substituição indicada na figura abaixo, de tal modo que

R3

R2 + R3= k1 (1)

eR2R3

R2 + R3= R1 (2)

em que k1 < 1 é o fator pelo qual se deseja multiplicar a saída.




Caso 2 - Aumentar o ganho: Suponha que a saída do filtro indicada nafigura abaixo é atenuada em um fator k2 por meio de um divisor resistivo,tal que

k2 =Rb

Ra + Rb< 1 (3)




Se os valores utilizados para os resistores Ra e Rb forem suficientementegrandes, a saída Vout (antes da inclusão do divisor resistivo) seráaproximadamente igual à V ′′out , de forma que

H(s) =Vout(s)

Vin(s)≈ V ′′out(s)

Vin(s)(4)

E a tensão V ′out será dada por

V ′out(s) = k2V′′out(s) (5)

de modo que a nova função de transferência será dada por

H ′(s) =1k2

H(s) (6)

Deste modo, a nova saída será dada por V ′′out(s), porém o valor de tensãoutilizado para realimentação será V ′out(s).


Implementação direta


Uma forma de realizar uma função de transferência diretamente é atravésda rede apresentada a seguir, em que apenas um amplificador operacional éutilizado.




Podemos escrever as seguintes equações para os amplificadoresoperacionais:

Y2(V− − Vin) + Y4V− + Y6(V− − Vout) (7)

eY1(V− − Vin) + Y3V− + Y5(V− − Vout) = 0 (8)

Deste modo, obtemos a seguinte função de transferência:

H(s) =Vout

Vin=

Y1(Y2 + Y4 + Y6)− Y2(Y1 + Y3 + Y5)

Y6(Y1 + Y3 + Y5)− Y5(Y2 + Y4 + Y6)(9)

Para simplificar, escolhemos

Y1 + Y3 + Y5 = Y2 + Y4 + Y6 (10)




Assim, a função de transferência se reduz a

H(s) =Y1 − Y2

Y6 − Y5=

Y2 − Y1

Y5 − Y6(11)

Para realizar H(s) escrevemos

H(s) =P(s)

Q(s)(12)

Lembremos que uma função racional real é a admitância de um bipolo RCse e somente se os polos e zeros são simples, estão no semieixo realnegativo, estão dispostos de forma alternada e a primeira frequência críticaé um zero.




Sendo assim, para prosseguir com a implementação, dividimos o numeradorP(s) e o denominador Q(s) por um polinômio apropriado D(s) com nDraízes reais simples e negativas, em que

nD ≥ max(nP ,nQ)− 1 (13)

sendo nP e nQ os graus dos polinômios P(s) e Q(s), respectivamente.Portanto,

H(s) =

(P(s)

D(s)

)(Q(s)

D(s)

) (14)




O procedimento agora é fazer as identificações

P(s)

D(s)= Y1 − Y2 (15)

eQ(s)

D(s)= Y6 − Y5 (16)

(ou associar com Y2 − Y1 e Y5 − Y6).

Em seguida, fazemos as expansões deP(s)

sD(s)e

Q(s)

sD(s)em frações parciais

para depois escrever

P(s)

D(s)=∑i

ki s

s + σi−∑j

kjs

s + σj+ k∞s (17)




eQ(s)

D(s)=∑u

k ′us

s + σu−∑v

k ′v s

s + σv+ k ′∞s (18)

sendo que ki , kj , k ′u e k ′v são reais e positivos, enquanto que k∞ e k ′∞ sãoreais.Analisamos os sinais de k∞ e k ′∞ e então percebemos nas expressões deP(s)

D(s)e de

Q(s)

D(s)diferenças de admitâncias que podem ser implementadas

como feito nas formas canônicas de Foster.Finalmente, as admitâncias Y3 e Y4 podem ser obtidas através de

Y1 + Y3 + Y5 = Y2 + Y4 + Y6




Fazemos

Y3 − Y4 = ±(Q(s)− P(s)

D(s)

)(19)

e através de uma expansão em frações parciais similar às executadas paraas outras admitâncias, percebemos uma diferença de admitâncias RC,levando aos valores de Y3 e Y4.Assim, percebemos que

O projeto desse filtro se reduz à realização de admitâncias;Esta topologia de filtro ativo permite a implementação de muitasfunções de transferência.



Implementação direta - Exemplo

Realizar a função de transferência

H(s) =600s

s2 + 600s + 107 (20)

com a topologia apresentada de implementação direta com umamplificador operacional.




Podemos também utilizar a seguinte topologia, com dois amplificadoresoperacionais:




A função de transferência desta topologia é dada por

H(s) =Vout(s)

Vin(s)=

Y2 − Y1

Y3 − Y4=

Y1 − Y2

Y4 − Y3(21)

(independente de Y0).Com isso, percebemos que o mesmo procedimento utilizado paraimplementação direta com apenas um amplificador operacional pode serusado para esta topologia.No entanto, esta topologia requer o cálculo de menos valores deadmitâncias.Ambas as formas de implementação direta (com um ou dois amplificadoresoperacionais) têm a desvantagem de serem sensíveis a variações nosparâmetros dos elementos ativos.



Realização por variáveis de estado

Outra topologia possível para um filtro ativo é dada na figura abaixo:




As equações que descrevem a rede são:

Vk = −RCsVk+1 = (−1)n−k(RCs)n−kVn (22)

com k = 1,2, . . . ,n − 1 e

Va = −Ra

R2V2 −

Ra

R4V4 − · · · −

Ra

RpVp (23)

eC1sV1 +

Va

Ra+

Vin

R0+

V1

R1+

V3

R3+ · · ·+ Vq

Rq= 0 (24)

em que p = n− 1 e q = n quando n é ímpar e p = n e q = n− 1 quando né par.




A partir dessas equações podemos encontrar a função de transferênciadesta rede:

Hn(s) =Vn(s)

Vin(s)=

(−1)n

R0

(RCs)n +(RCs)n−1

R1+

(RCs)n−2

R2+ · · ·+ RCs

Rn−1+

1Rn

(25)

Considerando outra tensão como saída, temos a função de transferência:

Hk(s) =Vk(s)

Vin(s)=

(−1)k(RCs)n−k

R0

(RCs)n +(RCs)n−1

R1+

(RCs)n−2

R2+ · · ·+ RCs

Rn−1+

1Rn

(26)

com k = 1,2, . . . ,n.




Observamos queAs funções de transferência são independentes de Ra, o que possibilitaa escolha de um valor conveniente;Pelo menos n + 1 amplificadores operacionais necessários;Os coeficientes do denominador da função de transferência podem serindependentemente ajustados através dos valores de R1, R2, . . . e Rn;Também pode ser obtida uma função de transferência com zeros,basta que várias saídas sejam somadas em um amplificador somador,resultando em

Vout =n∑

i=1

Rf

R ′iVi (27)


Função quadrática

Função quadrática - passa-baixas

A forma geral de uma função de transferência de um filtro passa-baixassegunda ordem é dada por

H(s) =H0ω

2n

s2 +

(ωn

Q

)s + ω2

n

(28)

em que H0 é o ganho DC, ωn é a frequência natural não amortecida e Q échamado de fator de qualidade.



Função quadrática - passa-baixas

Figura: Diagramas com ωn = 1 e Q = [0,125; 0,25; 0,5; 1; 2; 4]. Menor Q: preto.Maior Q: ciano



Função quadrática - passa-faixa

A forma geral de uma função de transferência de um filtro passa-faixasegunda ordem é dada por

H(s) =

H0

(ωn

Q

)s

s2 +

(ωn

Q

)s + ω2

n

(29)

H0 é a máxima magnitude do ganho na banda de passagem, que neste casoocorre na frequência de ressonância.



Função quadrática - passa-faixa

Figura: Diagramas com ωn = 1 e Q = [1; 2; 4; 8; 16; 32]. Menor Q: preto. MaiorQ: ciano



Função quadrática - passa-altas

A forma geral de uma função de transferência de um filtro passa-altassegunda ordem é dada por

H(s) =H0s

2

s2 +

(ωn

Q

)s + ω2

n

(30)

Neste caso, H0 é o ganho em frequência infinita.



Função quadrática - passa-altas

Figura: Diagramas com ωn = 1 e Q = [1; 2; 4; 8; 16; 32]. Menor Q: preto. MaiorQ: ciano


Limitações de amplificadores operacionais reais


As técnicas de realização de filtros ativos RC apresentadas até agora sebasearam em amplificadores operacionais ideais. No entanto, a constantede ganho A é finita e dependente da frequência. Essas não idealidadespodem colocar limitações na operação do filtro projetado. O ganho demalha aberta pode ser melhor modelado por

A(s) =A0ωa

s + ωa(31)

A0: ganho em malha aberta DC−ωa: polo dominanteGB = A0ωa: produto ganho banda de passagem




Para a maior parte das aplicações, em que o ganho em malha fechada érelativamente pequeno, podemos avaliar o efeito do produto ganho bandade passagem (GB) no filtro usando uma forma mais simples para A(s):

A(s) =GB

s(32)




Exemplo: Amplificador não-inversor Um amplificador não-inversorimplementado de acordo com a figura, tem função de transferência:

H(s) =A(s)

1+ A(s)R1

R1 + R2

(33)

Para o caso ideal, essa expressão equivale a H0 =R1 + R2

R1. Podemos

simplificar (33) para

H(s) =GB

s +GB

H0

(34)

Observe que para baixas frequências o ganho H(s) se aproxima do ganhoH0.




Exemplo: Passa-baixas Sallen-Key Consideremos agora um filtropassa-baixas Sallen-Key, dado a seguir:

O bloco de ganho K pode ser realizado através de um amplificadoroperacional na estrutura não-inversora.




Implementando o bloco de ganho K com um amplificador operacional,obtemos a seguinte estrutura.

Vamos avaliar o efeito do produto ganho banda de passagem na respostado filtro.




Por simplicidade, vamos utilizar valores unitários para os resistores ecapacitores, resultando em um circuito normalizado em frequência(ωn0 = 1 rad/s). A função de transferência é dada por

V2(s)

V1(s)=

K0

s2 +1Q0

s + 1=

K0

s2 + (3− K0)s + 1(35)

em que K0 =3Q0 − 1

Q0é o ganho K na condição de que o amplificador

operacional é ideal.




Em seguida, substituímos K0 por

K (s) =GBn

s + GBnK0

(36)

no denominador da função de transferência (35) para obtermos

D(s) = s2 +

(3− GBn

s + GBnK0

)s + 1 (37)

e escrevendo em função de Q0,

D(s) =1

GBnX (s)

[s3 + s2

(3+

GBnQ0

3Q0 − 1

)+ s

(1+

GBn

3Q0 − 1

)+

GBnQ0

3Q0 − 1

](38)




O fator X (s) indica termos multiplicativos extras que não têm efeito nalocalização dos polos.Podemos observar que se fizéssemos GBn →∞ obteríamos o denominadorda função de transferência do caso de amplificador operacional ideal.A expressão de 38 pode ser fatorada em

D(s) =1

GBnX (s)

[(s + g)

(s2 +

ωn

Qs + ω2

n

)](39)

em que Q e ωn são os valores realmente implementados pelo filtro.Em geral, ωn < ωn0 enquanto que Q pode ser maior ou menor que Q0. Opolo real negativo em s = −g costuma estar muito distante no eixo realnegativo e então não tem efeito considerável na resposta do filtro.


Exercícios

Exercícios

Desejamos implementar um filtro passa-baixas Sallen-Key (estruturamostrada nesta aula) com função de transferência:

H(s) =H0

s2 + 0,5714s + 1(40)

1) Determine os valores para os resistores e capacitores para que a funçãode transferência seja atendida, considerando o uso de um amplificadoroperacional ideal.2) Ajuste o circuito para que H0 = 2.3) Caso o amplificador operacional utilizado tenha GBn = 7,5, determine afunção de transferência realizada.4) Altere, se possível, valores de resistores e capacitores de modo acompensar o efeito da limitação de ganho banda de passagem de modo aalocar os polos da função de transferência nas posições inicialmentepretendidas.


Bibliografia

Bibliografia

Chen, Wai-Kai. Passive and active filters: theory andimplementations. New York: Wiley, 1986 (Capítulo 5).Huelsman, Lawrence P. Active and passive analog filter design: anintroduction. McGraw-Hill, 1993 (Capítulo 5, seção 5.7);


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