EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. … · circuito equivalente a partir de um circuito genérico, de modo que a tensão V x e a corrente I x sejam as mesmas, tanto

EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB

EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO

CAPÍTULO 3

TEOREMAS PARA CIRCUITOS

1 – INTRODUÇÃO

Neste capítulo serão abordados os

principais teoremas que permitem obter um

circuito equivalente a partir de um circuito

genérico, de modo que a tensão Vx e a

corrente Ix sejam as mesmas, tanto no

circuito original da Fig. 1.a quanto no

circuito equivalente da Fig. 1.b.

(b)

V X

IX

R X

E 1

R 1

R 2 I2

a

b

CIRCUITO GENÉRICO

(a)

CIRCUITOEQUIVALENTE

a

b

IX

R XVx

Fig.1 -

2 – TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO

Cada fonte é tratada independentemente e

através da soma algébrica obtém-se a

solução desejada para a determinação da

grandeza a ser calculada.

“A corrente através ou a tensão entre os

terminais de um elemento linear bilateral, é

igual a soma algébrica das correntes ou

tensões produzidas independentemente

por cada fonte”.

Para a aplicação deste teorema, cada uma

das (N – 1) fontes, de tensão ou de

corrente, deve ser adequadamente

removida e colocada em repouso, de

modo que só exista uma única (n-ésima)

fonte de excitação no circuito, e assim

sucessivamente para as outras fontes. A

Fig. 2.a ilustra como colocar em repouso

uma fonte de tensão e a Fig. 2.b ilustra

como uma fonte de corrente é colocada em

repouso.

a

b

RS

ES

a

b

c

Fonte em repouso(a)

a

b

RS

a

b

RS

Fonte em repouso

(b)

ES

RS

IS IS

a

b b

RS

Fig. 2 -


Para o balanço de potência, deve-se

considerar a excitação resultante e não a

excitação parcial.

Cuidado com o balanço de potência:

Exc. 1 → Fonte E1

E 1+E 2

IL=I L1 +I L2

R L

c)

IL1IL2

R LR L

a) b)

E1 E 2

Fig. 3 -

Da Fig. 3.a, 2

L1 L L1P R .I=

Da Fig. 3.b, 2

L2 L L2P R .I=

Logo,

2 2

L1 L2 L L1 L2P P R (I I )+ = + [1]

O balanço correto é dado por,

2 2

Lt L L L L1 L2

2 2

L1 L1 L2 L2

P R . I R (I I )

I 2I I +I

= = +

= + [2]

Observar que a Eq. 2 é diferente da Eq. 1.


Exemplo 1

Calcular IL pelo Teorema da Superposição:

(a)

E 1 30V

2.5[ Ω ] I1

3A 5[ Ω ]R 1

IL

2.5[ Ω ]

3A 5[ Ω ]R L

IL1

2.5[ Ω ]

5[ Ω ]R L

IL2

30[V]E

(b) (c)

FONTE E1EM REPOUSO

CHAVEFECHADA

FONTE I1EM REPOUSO

CHAVEABERTA

5[ Ω ]2.5[ Ω ]3[A] R 1

IL

(d)

12[A]

Fig. 4 -

Solução

Para a excitação devido apenas à fonte I1

vem que da Fig. 4.b,

LL1 L

L

R 2.5I R 3

R 2.5

×× = ×

+

Substituindo valores,

L1

3 2,5 3 2,5I 1 [A]

5 2,5 7,5

× ×= = =

+

Para a excitação apenas pela fonte E1, de

acordo com a Fig. 4.c,

L2

30 30I 4 [A]

2,5 5 7,5= = =

+

Portanto, a corrente total na carga é dada

por,

[A]541III L2L1Lt =+=+=

Resolvendo pelo método convencional, de

acordo com a Fig. 4.d,

Lt

5 2,5I 5 (12 3)

5 2,5

×× = × +

+

Logo,

[A]5ILt =

o que confirma o resultado obtido pelo

método da superposição.


Exemplo 2

Calcular IS e IL, indicados pela Fig. 5.a, pelo

Teorema da Superposição.

E1

30V 3A 5[ Ω ]R L

(a)

3A 5[ Ω ]R L 30V 5[ Ω ]

IL1 =0

(b) (c)

3A 5[ Ω ]E=30[V]

(d)

IS IL

I1

IS1 =3[A]

FONTE E1EM REPOUSO

IS2

IL2

FONTE I1EM REPOUSO

ISIL = I L1+I L2

Fig. 5 -

Solução

Para a excitação apenas com a fonte I1,

colocando-se a fonte E1 em repouso,

obtém-se o circuito da Fig. 5.b de modo

que,

[A]3Ie0I S1L1 ==

Para a excitação com E1, colocando-se I1

em repouso, como mostrado na Fig. 5.c

vem que,

[A]65

30II S2L2 ===

Logo, para a excitação final, que é a soma

de cada excitação como mostrado na

Fig. 5.d vem que,

[A]336III SIS2S =−=−=

[A]660III L2L1L =+=+=


Exemplo 3

Calcular I3, indicado na Fig. 6, pelo


R 1

24 Ω

a

b

R 2

12 Ω

c

b

48V

R 3

4Ω

I3

E 2

(a)

R 1

R 2

R 3

E 1

I31

c

d

V 12

(c)

V 12

+

-E 1 54V

1

2(d)

E 2

+

-48V

R 3

4Ω(e)

R 1

R 2

R 3

E 2

I32

a

b

c

d

3

4

(d)

R 2//R 3

3Ω

R 1//R 2

8Ω

R 1

24 Ω

I32

1

2

E 2 EMREPOUSO

E 1 EMREPOUSO

E154V

I31

Fig. 6 –

Solução

Excitando pela fonte E1, colocando a fonte

E2 em repouso, obtém-se o circuito

equivalente da Fig. 6.b e Fig. 6.c.

Logo,

12

54V 3 6 [V]

24 3= × =

+

A corrente devido à fonte E1 será igual a,

1231

3

V 6I 1,5 [A]

R 4= = =

Excitando o circuito pela fonte E2,

colocando a fonte E1 em repouso, obtém-se

o circuito equivalente da Fig. 6.d e Fig. 6.e.


Deste modo, a corrente devido à fonte E2

será dada por,

[A]412

48

48

48I32 ==

+=

A corrente I3 total será igual a soma das

correntes devido a cada fonte,

considerando-se o respectivo sentido.

Logo,

3 32 31I I I 4 1,5 2,5 [A]= − = − =

Observar que I3 já está no sentido da maior

corrente.

Exemplo 4

Calcular I1, indicado na Fig. 7, pelo


E 1

3A4[ Ω ]

R 2

(a)

R 1

2[ Ω ]

12V

I1

E 2

6V

I1

I11

R 1

E 1

R 2

(b)

CHAVEABERTA

CHAVEFECHADA

I12

R 1R 2

(c)

E 2

I13

R 1R 2

(d)

I1

3[A]

Fig. 7 –

Solução

Da Fig. 7.b, para a excitação apenas com a

fonte E1 e colocando as outras fontes em

repouso, temos


21

1

11RR

EI

+=


[A]242

12I11 =

+=

Da Fig. 7.c, para a excitação devido apenas

à fonte E2 vem que,

21

12RR

E2I

+=


[A]142

6I12 =

+=

Da Fig. 7.d, para a excitação apenas com a

fonte I1 vem que,

1 213 1

1 2

R RI R I

R R

×× = ×

+


13

4I 3 2 [A]

2 4= × =

+

Para a obtenção da corrente final, deve-se

considerar o sentido relativo de cada uma

das correntes de excitação. Portanto,

1 11 12 13I I I I

2 1 2 1 [A]

= − − =

= − − = −

ou seja, o sentido da corrente I1 é idêntica

ao sentido de I12 ou I13.

Exemplo 5

Calcular IL e VL, mostrados na Fig. 8.a, pelo


(c)IL2

(d)

IL3

VL

(b)

(a) FONTE 2

3A4[Ω]

IL

10[A]

4[Ω]2[Ω]

2[Ω]

4[Ω]

20[A]

20[V]

2 3

VL

4

1

FONTE 1 FONTE 3

4[Ω]2[Ω]

42 3

1

4[Ω]

4[Ω]

V1 V2 V3

40[V] 20[V] 80[V]

IL

4[Ω]2[Ω]

4[Ω]

4[Ω]

40[V]

2[Ω]

1

I'

Req=1,6[Ω

IL1

4[Ω]2[Ω]

4[Ω]

4[Ω]

20[V]

2[Ω]

1

4[Ω]2[Ω]

4[Ω]

4[Ω]

80[V]

2[Ω]

(e)

Fig. 8 -


Solução

MODO 1:

Inicialmente convertem-se as fontes de

corrente para fontes de tensão como

mostrado na Fig. 8.b.

Excitação devido à fonte de tensão de 40

[V] (Fig. 8.c).

´ 40 40I

4 2 1,6 7,6= =

+ +

Logo,

L1

40 1I 1,6 1,05 [A]

7,6 8= × × =

Excitação devido à fonte de tensão de

20 [V] (Fig. 8.d).

L2

20 14 48 1I 1,57 [A]

76 14 8

×= × × =

Excitação da fonte de 80 [V] (Fig. 8.e).

L3

80I 8,42 [A]

4 4 1,5= =

+ +

Logo, para a obtenção da corrente total,

deve-se considerar os sentidos de cada

corrente de excitação. Logo,

L L1 L2 L3I I I I 1,05 1,57 8, 42 7,9 [A]= − + − = − + − = −

Portanto, o sentido de IL é o mesmo de IL2.

Retornando à Fig. 7.b com o sentido real de

IL, obtém-se a tensão VL que é a ddp entre

os nós 3 e 4. Portanto,

L 34V V 4 ( 7,9) 31,6 [V]= = × − = −

MODO 2:

4[Ω]

4[Ω]2[Ω]2 3 4

1

2[Ω] 4[Ω]

IL2

10[A]

(c)

4[Ω]

4[Ω]2[Ω]2 3 4

1

2[Ω] 4[Ω]

IL3

20A

(b)

4[Ω]10[A]

4[Ω]2[Ω]2 3 4

1

2[Ω] 4[Ω]

IL1I32

(a)

4[Ω]

10[A]

4[Ω]2[Ω]

4[Ω]

20[A]

10[A]

2 3 4

1

2[Ω]

I1

I2

I3

IL

VL

Fig. 9 -


Transformando-se a fonte de tensão E2

para fonte de corrente, obtém-se o circuito

da Fig. 9.a.

Da Fig.9.b, para a excitação apenas pela

fonte I1 vem que,

12V 1,89 10 18,9 [V]= × =

1232

V 18,9I 5,25 [A]

2 1,6 3,6= = =

+

13V 1,6 5,25 8,4 [A]= × =

Logo,

L1

8 4I 1,05 [A]

8

×= =

Da Fig.8.c, para a excitação devido apenas

a fonte I2 tem-se que,

19

24Req

8

1

2

1

6

1

Req

1=⇒++=

31

24V 10 [V]

19= ×

Portanto,

L2

24 1I 10 1,57 [A]

19 8= × × =

Da Fig.8.d, para a excitação apenas com a

fonte I3 obtém-se que,

41V 20 2,31 46,2 [V]= × =

41L3

V 46,2I 8, 42 [A]

4 1,5 5,5= = =

+

Logo, ao se considerar os sentidos das

diferentes correntes de excitação, obtém-se

a corrente total IL de acordo com,

L L1 L2 L3

L

I I I I

I 1,05 1,57 8, 42 7,9 [A]

= − + −

= − + − = −

Analogamente, para a tensão VL vem que,

L 34V V 4 x 7,9 31,6 [V]= − = − = −

3 – TEOREMA DE THÉVENIN

Qualquer circuito linear de dois terminais

pode ser substituído por um circuito

equivalente, consistindo de uma fonte de

tensão e um resistor em série. A Fig. 10.a

ilustra dois circuitos genéricos A e B.

CIRCUITOA

CIRCUITOB

a

b

(a)

a

bI CIRCUITO

B+-

R th

V th

CIRCUITOA

(c)

CIRCUITOA V th

a

b

R th

MÉTODOSMALHASNÓS

(b)

Fig. 10 -


Na prática desacopla-se o circuito A do

circuito B (Fig. 10.b), e através dos métodos

das malhas ou dos nós, obtém-se a tensão

em aberto. A resistência equivalente é

obtida colocando-se as fontes em repouso,

como ilustrado na Fig. 10.c:

Exemplo 6

Calcular IL pelo Teorema de Thévenin.

(b)

R1

3Ω

6Ω R2E1

9VVL

RL

IL

1Ω

a

b

(a)

3Ω

6Ω

a

b

CHAVEFECHADA

1

2

ILa

b

(c)

Vth=6V

Rth=2Ω

RL=1Ω

Fig. 11 -

Solução

Da Fig. 11.a, isola-se o circuito A do circuito

B. A seguir deve-se calcular a tensão

Thévenin:

1th ab 2

1 2

E 9V V R 6 6 [V]

R R 3 6= = × = × =

+ +

A resistência Thévenin, entre os nós a e b é

obtida colocando-se a fonte de tensão em

repouso, como mostrado na Fig. 11.b.

Logo,

1 2th

1 2

R R 3 6R 2 [Ω ]

R R 3 6

× ×= = =

+ +

A seguir, deve-se obter o circuito

equivalente mostrado na Fig. 11.c, o qual é

análogo ao circuito da Fig. 10.c. Deste

modo a corrente IL é facilmente calculada

de modo que,

[A]212

6

RR

VI

Lth

thL =

+=

+=


Exemplo 7


3Ω R2

RL

IL

6Ω

a

b

(d)

Rth

6Ω

Vth

48V

4Ω

a

b

(b)

R1

R2

2Ω

Vab12A

R1

2Ω

4Ω

R2

RL

IL

6Ω

a

b

(a)

I112A

a

b

(c)

CHAVEABERTA

R1

4Ω

2Ω

Rab

Fig. 12 -

Solução

Da Fig. 12.b isola-se o circuito no qual

deseja-se calcular Vth e Rth. Logo a tensão

Thévenin será dada por,

ab 1

th ab

V R . I 4,12 48 [V]

V V 48 [V]

= = =

= =


Da Fig. 12.c obtém-se a resistência

Thévenin, sendo que a fonte de corrente

deve ser colocada em repouso. Portanto,

][Ω624RRR 21th =+=+=

Da Fig. 12.d, obtém-se o circuito

equivalente final, o qual é análogo ao

circuito da Fig. 10.c. Deste modo,

[A]466

48

RR

VI

Lth

th

L =+

=+

=

Exemplo 8 - Teorema de Thévenin

Calcular Id e Vd no diodo mostrado no

circuito da Fig. 13.a. A curva do diodo está

mostrada na Fig. 13.b.

Solução

Seguindo-se a sistemática anterior, a

resistência Rth é obtida do circuito da

Fig. 13.c.

Logo,

][Ω100R th =

Da Fig. 13.d obtém-se a tensão Thevenin

de acordo com,

[V]3010x300x100VV 3

12th === −

Logo do circuito equivalente da Fig. 13.d, na

qual, para finalidade de cálculo, o diodo é

representado por uma FCEM de 1 [V]. De

acordo com a Fig. 13.b, vem que,

th dd

V V 30 1I 193,3 [mA ]

100 50 150

− −= = =

+


Id

Vd

Vd=1,0[V]

(b)

1

2

A

B

Vd

50Ω Id

100Ω

200Ω

(a)

300[mA]

200Ω

100Ω

CHAVE ABERTA 1

(c)2

200Ω

100Ω

300[mA]

1

2

+

-

300[mA]

(d)

1

2

100Ω 50Ω

Vd

Id

Vth+

-30V

1V

(e)

A

B

Fig. 13 -


Exemplo 9

Calcular IL pelo Teorema de Thévenin,

2Ω

4Ω

a

b

1A16V

IL

(a)

2Ω

a

b

1A16V

(c)

V ab

1A1A

VR

1A

1A

+-

2Ω

a

b

(b)

4Ω

a

b18V

(d)

R th

V th

2Ω

R

IL

Fig. 14 –

Solução

Da Fig. 14.b,

] [2R th Ω=

Da Fig. 14.c,

th abV V 16 1 2 18 [V]= = + × =


Finalmente da Fig. 14.d,

[A]3 42

18IL =

+=

Verificação

Resolvendo o circuito da Fig. 14.a pelo

Teorema da Superposição, considera-se

inicialmente a excitação pela fonte de

tensão.

Logo,

2Ω

4Ω16V

IL1

(a)

2Ω

(b)

1A

IL2

4Ω

Fig. 15 -

Da Fig. 15.a,

L1

16 8I [A]

6 3= =

Da Fig. 15.b,

L2

2 x 4 2 1I x 4 1x [A]

2 4 6 3= = =

+

Logo,

][A33

9

3

1

3

8III L2L1L ==+=+=

Este valor confere com o obtido pelo

Teorema de Thévenin.


Exemplo 10

Calcular a corrente IL pelo Teorema de

Thévenin.

6Ω

IL

a

b

(a)

20V

3Ω 3Ω

5V10V

a

b(c)

3Ω 6Ω

20V 10V

V th

+

-6.I

(d)

IL

3Ω

a

b

R th 2Ω

10V

V L

5V

+

-V th

a

b(b)

3Ω 6Ω

R th

R th

I

Fig. 16 -


Solução

Da Fig. 16.b,

th

3 6R 2 [ ]

3 6

×= = Ω

+

Da Fig. 16.c,

I.610Vth +−=

20 10 30I [A]

3 6 9

+= =

+

Logo,

][V109

03x610Vth =+−=

Em função do circuito equivalente da

Fig. 16.d obtém-se que,

L

10 5I 1 [A ]

2 3

−= =

+


Exemplo 11


3Ω 6Ω 3Ω

1Ω

20V 10V 5V

a

b

IL

(a)

1Ω

IL

b

a

8V

V th

R th 6/5Ω

(e)

b

a

R' eqI' eq

(d)

+

-

V th

3Ω 6Ω 3Ω

a

b(c)

3Ω 6Ω 3Ω

a

(b)b

20/3 10/6 5/3

CARGA

CARGA

Fig. 17 –

Solução

Inicialmente converte-se as fontes de

tensão da Fig. 17.a para fontes de corrente

como mostrado na Fig. 17.b. Desta nova

figura obtém-se o equivalente para a Rth,

com as fontes de corrente em repouso,

como mostrado na Fig. 17.c.

Logo,

6

5

6

212

3

1

6

1

3

1

R

1

th

=++

=++=

Portanto,

][Ω5

6R th =

Obtendo a equivalente fonte de corrente

obtém-se que,

20 10 5 40 10 10 40[A]

3 6 3 6 6 6 6Ieq = − + = − + =

A tensão Thévenin é igual a,

[V]86

40x

5

6V V abth ===

Logo, do circuito equivalente da Fig. 17.e,

L

8I 3,6 [A]

1 6 / 5= =

+


Exemplo 12

O circuito da Fig. 18.a ilustra uma aplicação

do transistor, sendo que este mesmo

circuito está redesenhado para definir os

nós 1 e 2 na Fig. 18.b. A Fig. 18.c ilustra o

circuito equivalente (modelo) do transistor.

Calcular IB, IC e VCE aplicando o Teorema de

Thévenin.

Solução:

Da Fig. 18.d obtém-se o circuito que

incorpora, além do modelo do transistor, o

equivalente Thévenin entre os terminais de

base e emissor do transistor. Logo,

baseando-se no circuito da Fig. 18.b e Fig.

18.c vem que,

th

3,9V 22 2 [V]

3,9 39= × =

+

e

th

3,9 39R 3,55 [K ]

3,9 39

×= = Ω

+

Retornando-se ao circuito Base – Emissor

da Fig. 18.d, obtém-se a corrente da base

do transistor, a qual é dada por:

th BEB

th E

E - V 2 V - 0,7 VI

R (β 1) R 3,55 kΩ (141)(1,5kΩ )

1,3 V6,05 µA

3,55kΩ 211,5 k

= = =+ + +

=+ Ω

No circuito Coletor-Emissor da Fig. 18.d,

C B

CE CC C C E

I β I (140) (6,05µA) 0,85 mA

e

V V I (R R )

22 V (0,85 mA)(10 kΩ 1,5kΩ)

22 V 9,78 V 12,22 V

= = =

= − + =

= − +

= − =


10K ΩR C

39K ΩIB1

2R E

1.5K Ω

IE

V CE V CC

22V

IC

3.9K Ω

(b)

B C

E

0.7V B.I B

C

EFONTE DE CORRENTE

CONTROLADA POR CORRENTE(B+1).I B

(c)

39K

3.9K

1

2

V CC

22VV 12 =V th

(e)

V th , R th

B C

E

0.7V B.I B

(B+1).I B

R C

V CC +20V

R th 1

IB

V th

RE

1.5K Ω2

V CE

10K Ω

(d)

IC

IC

IB

39 Ω

1OK Ω

V CE

3,9K Ω1,5K Ω

+

-

β =140

(a)

+22V = V CC

Fig. 18 –


Exemplo 13

Calcular IL no circuito da Fig. 19.a pelo

Teorema de Thévenin.

2Ω 2 3Rth

2Ω4Ω 4Ω

(c)

(b)

2Ω 2 3

Vth

2Ω

+

-

4Ω 4Ω

40V 20V 80V

+

-I1

(a)

20A

1 2 32Ω 4Ω

IL2Ω

4Ω 4Ω

20V

10A

-

+75V Vth

Rth

5.5Ω 4ΩIL

2

3

(d)

Fig. 19 -

Solução

Inicialmente isola-se o ramo com a

resistência de 4 [Ω] na qual deseja-se obter

a corrente IL. Obtém-se deste modo a

Fig. 19.b, na qual as fontes de correntes

foram transformadas em fontes de tensão.


A seguir, baseado no circuito da Fig. 19.b,

colocando-se as fontes em repouso, o

circuito para o cálculo da Rth é obtido como

mostrado na Fig. 19.c.

Logo,

th

th

2 x (2 4) 12 11R 4 4 [ ]

2 2 4 8 2

R 5,5 [ ]

+= + = + = Ω

+ +

= Ω

Da Fig. 19.b, a tensão Thévenin é calculada

como:

Na malha mostrada na Fig. 19.b,

• 1

40 20 60 15I 7,5 [A ]

4 2 2 8 2

+= = = =

+ +

No ramo da fonte de 20 [V],

• 2 2V 2 7,5 20 0 V 20 15 5[V]+ × − = ∴ = − =

No ramo da fonte de 80 [V],

• [V]80V080V 33 =∴=−

A tensão Thevenin é a própria DDP entre os

nós 3 e 2 (V3 > V2).

Th 2 3V V V 5 80 75 [V]∴ = − = − = −

Logo, do circuito equivalente da Fig. 19.d,

vem que,

L

75I 7,89 [A]

9,5= − = −

Como o potencial V3 > V2, a corrente real é

negativa em relação ao sentido original

mostrado na Fig. 19.a.

4 – TEOREMA DE NORTON

Qualquer circuito linear de dois terminais

pode ser substituído por um circuito

equivalente consistindo de uma fonte de

corrente e de um resistor em paralelo.

CIRCUITOA

a

b

CIRCUITOB

IN

IN

IN R N

b

a

CIRCUITOB

CIRCUITO A

Fig. 20 -


Exemplo 14

Calcular a corrente IL pelo Teorema de

Norton no circuito da Fig. 21.a.

Solução

No Teorema de Thévenin abre-se o circuito

entre os pontos “a” e “b”. No Teorema de

Norton deve-se curto-circuitar os pontos

entre os terminais “a” e “b”, após o circuito

ou ramo, no qual deseja-se calcular a

corrente ser desconectado.

Logo, da Fig. 21.b, obtém-se a resistência

Norton (mesmo procedimento do cálculo da

resistência Thévenin), que é dada por,

1 2N

1 2

R .R 3 6R 2 [ ]

R R 3 9

×= = = Ω

+ +

Da Fig. 21.c obtém-se a corrente IN

(corrente Norton) no ramo curto-circuitado.

Logo,

[A]33

9

R

EI

1

N ===

A seguir, implementa-se o circuito

equivalente baseado no circuito da

Fig. 20.b. Este circuito está mostrado na

Fig. 21.d. Logo a corrente IL desejada é

dada por,

NL

I 3I 1,5 [A]

2 2= = =

Verificação pelo Teorema de Thévenin

Obtendo-se o equivalente Thévenin do

circuito original da Fig. 21.a obtém-se o

circuito mostrado na Fig. 22.

Logo,

2Th ab

1 2

R 6V V E 9 6 [V]

R R 3 6= = = × =

+ +

1 2

Th N

1 2

R .R 3 6 18R R 2 [Ω ]

R R 3 6 9

×= = = = =

+ +


R 1

3Ω

1

2

R 2

6Ω

R L

a

b

IL

2ΩV ab

E9V

(a)

1

2b

a

R 2

R 1

(b)

R N

b

a

V ab

IL

R L2Ω

R N

2Ω3AIN

IN

IN

(d)

b

a

R 2

R 1

(b)

IN

E

Fig. 21 -

A corrente Iab é igual a,

ab

6I 1,5 [A]

2 2= =

+

Esta corrente é igual a corrente IL calculada

utilizando-se o Teorema de Thévenin.


a

b

Iab

2Ω

6V V ab

Fig. 22 -

Exemplo 15

Calcular IL e VL pelo Teorema de Norton no

circuito da Fig. 23.a.

Solução

Transformando-se as fontes de tensão em

fontes de correntes obtém-se o circuito da

Fig. 23.b. Este circuito permite facilmente

calcular a corrente Norton como,

3

20

3

5

3

5

3

20

3

5

6

10

3

20I N =+−=+−=

Da Fig. 23.c, colocando-se as fontes da Fig.

23.b em repouso, obtém-se a resistência

Norton dada por,

N thR R 6/5 [Ω ]= =

Logo, o equivalente Norton será o circuito

mostrado na Fig. 23.d. Deste modo,

L

20 1 x 6/5 40I x1 x [A]

3 1 6/5 11= =

+

Logo,

LI 3,6 [A]∴ =

Portanto,

LV 1 x 3,6 3,6 [V]= =


a

(b) b

IL

20/3A 10/6A 5/3A

3Ω 6Ω

3Ω

3Ω 6Ω 3Ω

1Ω20V 10V 5V

a

b

IL

(a)

V L

a

(c)b

3Ω 6Ω 3Ω R N

IL

b

a

(d)

1Ω

IN

6/5

IN

203

A

Fig. 23 -


Exemplo 16

Calcular IL e VL pelo Teorema de Norton,

para o circuito mostrado na Fig. 24.a.

a

IL

b

a

(c)

4ΩIN

3A

R N

1Ω V L

(b)b

IN

3Ω 6Ω 2Ω

3A 6A

6A

a

(a)

b

6Ω

2Ω

4ΩV L

12V3A

3Ω

18V

IL

Fig. 24 -

Solução

Transformando as fontes de tensão para

fontes de correntes, obtém-se o circuito da

Fig. 24.b. Seguindo-se a sistemática

anterior obtém-se:

Resistência Norton

eq

N

N eq

1 1 1 1

R 3 6 2

1 1 2 1 3R 1 [ ]

R R 6

= + +

+ += = ∴ = Ω

Corrente Norton

[A]32

123

3

18IN −=−−=

Logo do equivalente Norton da Fig. 24.c,

calcula-se o valor de IL,

L

L

4 . 1I .4 x 3

4 1

3I 0,6 [A ]

5

= −+

= − = −

O sentido real de IL é oposto em relação ao

adotado, logo,

LV 4 x ( 0.6) 2,4 [V]= − = −


Exemplo 17

Calcular IL pelo Teorema de Norton, para o

circuito mostrado na Fig. 25.a.

(c)

4Ω

5.5Ω

2

3

IL

-15011

A

(b)

4Ω2Ω6Ω

40V

+

-I1

+

-

20V

I280V

+

-

2 3

I1 - I2

(a)

4Ω

2Ω

4Ω

2Ω 4Ω

10A 20A

1 2 3

20V

Fig. 25 -

Solução

O primeiro passo é isolar o ramo da

resistência de 4 [Ω] no qual deseja-se

calcular a corrente IL. A seguir entre os nós

2 e 3 é aplicado um curto, de modo que o

circuito equivalente para o cálculo de IN e

RN seja o mostrado na Fig. 25.b. Deve ser

observado que as fontes de corrente do

circuito da Fig. 25.a foram transformadas

em fontes de tensão no circuito da Fig.

25.b.

Da Fig. 25.b,

NR 5,5 [ ]= Ω

Também da Fig. 25.b, pelo método das

malhas vem que,

1 2 1

2 2 1

40+20 2(I I ) 6 I 0

80 4 I 2( I I ) 20 0

+ − + =

+ + − − =

Logo,

1 2

1 2

8I 2I 60

2 I 6 I 60

− = −

− + = −

1 2

1 2

4I I 30

I 3I 30

− = −

− + = −

A corrente I2 é igual a,

2

4 30

1 30 150I [A]

4 1 11

1 3

− − − = = −

− −

Logo,

[A]11

150II 2N −==

Da Fig. 25.c, já com o equivalente Norton

incorporado obtém-se que,

L1

150 5,5 x 4I 4 x 7,89 [A]

11 9,5× = − = −

Deve-se observar, contudo, que a corrente

IL possui um sentido real contrário ao

mostrado na Fig. 25.a.


5 – TEOREMA DE MILLMAN

“Qualquer número de fontes de tensão em

paralelo pode ser reduzida a apenas uma”.

a

4Ω 2Ω 8Ω

4Ω

24V 12V 48V

a

b

IL

(a)

E1 E2 E3

RL

b

a

RLReqIeq

(c)

IL

IL

b

a

(d)

Req

Veq

RL

(b) b

R1 R2 R3 RL

I1 I2 I3

IL

Fig. 26 -


Transformando o circuito da Fig. 26.a para o

circuito da Fig. 26.b vem que,

eq 1 2 3I I I I= − + [3]

e

321eq R

1

R

1

R

1

R

1++=

[4]

Da regra de transformação de fontes de

tensão para fontes de corrente vem que,

3

33

2

22

1

11

R

EI

R

EI

R

EI ===

As correntes acima permitem a obtenção

do circuito da Fig. 26.c, o qual é novamente

convertido na equivalente fonte de tensão

da Fig. 26.d.

Logo,

eqeqeq I.RV = [5]

Com base no circuito equivalente da

Fig. 26.d vem que,

eq

L

eq L

VI

R R=

+ [6]

Exemplo 18

Calcular a corrente IL pelo teorema de

Millman, considerando o circuito da Fig.

26.a.

Solução

Substituindo valores vem que,

][A68

48I

[A]62

12I

[A]64

24I

3

2

1

==

==

==

Logo,

eq 1 2 3I I I I 6 6 6 6 [A]= − + = − + =

A resistência equivalente é calculada como,

eq

eq

1 1 1 1 2 4 1 7

R 4 2 8 8 8

R 8 / 7 [ ]

+ += + + = =

∴ = Ω

eq eq eq

8 48V R I 6 = [V]

7 7= = ×

Portanto, da Eq. 6 obtém-se que,

L

48/7 4I [A]

8/7 4 3= =

+


DUAL DO TEOREMA DE MILLMAN

a bI1 I2 I3

R 1 R 2R 3

R L

(a)

IL

a bR 1 R 2 R 3

V 1 V 2 V 3

R L

(b)

IL

R L

V eq R eqa b

(c)

IL

a b

Ieq

R eq

R L

IL

(d)

Fig. 27 -

Da Fig. 27.b,

333222111 I.RVI.RVI.RV ===

Logo,

321eq VVVV ++= [7]


e

321eq RRRR ++= [8]

Da Fig. 27.c, transformando a fonte de

tensão para fonte de corrente,

eqeqeq R/VI = [9]

Logo no circuito equivalente da Fig. 27.d

vem que,

Leq

eq

eqLRR

R.II

+= [10]

6 – TEOREMA DE MILLER

O Teorema de Miller é um princípio de

equivalência muito útil que pode ser

aplicado em qualquer port de um circuito

linear que esteja conectado a outro port via

um elemento transversal. O teorema de

Miller é desenvolvido aqui para circuitos

resistivos.

De acordo com o teorema de Miller, a

resistência RX no circuito da Fig. 28.a, pode

ser modelada por uma resistência paralela

equivalente RA mostrada na Fig.28.b. Esse

circuito modela o comportamento do circuito

original visto dos terminais do port A. Para o

circuito equivalente ser uma representação

exata do circuito real, o valor de RA deve ser

devidamente escolhido.

(a)

iA iBR X

+ +

- -

Port BvBPort A vA

Port A vA

+

-

+

-

iA iB

Port BvBR A R B

(b)

Fig. 28 -

Circuito original: a característica v-i do

port A é dada por,

BXAA vRiv += [11]

A Eq. 11 também pode ser expressa na

forma:

X

BAA

R

vvi

−= [12]

Circuito Equivalente: a característica v-i do

port A na rede equivalente da Fig. 30.b, é

dada por

AAA R/vi = [13]

Para que as redes das Figs. 30.a e 30.b

sejam equivalentes ao port A, as

características v x i dadas pelas Eqs. [12] e

[13], devem ser as mesmas. Estas

características v x i podem ser idênticas

escolhendo-se RA de modo que,


A

A

X

BA

R

V

R

vv=

−

Logo,

AB

X

BA

AXA

/vv-1

R

vv

vRR =

−= [14]

Para este valor de RA, a equação v x i no

port A da rede equivalente é

X

BA

A

BA

X

A

A

AA

R

vv

v

vv

R

v

R

vi

−=

−== [15]

Esta equação é idêntica à característica

v x i da rede real, como dada pela Eq. [12].

Analogamente para o port B,

B

A

X

B

V

V1

RR

−

= [16]

Se RA e RB são escolhidos de acordo com

as Eqs. [14] e [16], as redes equivalentes da

Fig. 28.b serão equivalentes à rede original

vista de cada um de seus dois ports. O

teorema de Miller pode ser aplicado

somente a redes que tenham a topologia da

Fig. 28.a, e requer um conhecimento das

razões vA/vB.

7 – MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE

POTÊNCIA

Seja o circuito da Fig. 29, o qual está

retratando uma carga RL recebendo

potência de um circuito representado pelo

equivalente Thévenin VS e Rt.

R t

+-

IS

IS

R LVS

PSP L

EQUIVALENTE THEVENIN

Fig. 29 -

A potência entregue pela fonte é dada por,

SSS I.VP = [17]

A potência recebida pela carga é igual a,

2

SLL I.RP = [18]

A corrente no circuito é calculada como,

Lt

SS

RR

VI

+= [19]

Logo,

( )2

S2

Lt

LL V.

RR

RP

+=∴ [20]


( ) ( )( )4

Lt

LLt

2

Lt2

S

L

L

RR

.RRR2RR.V

dR

dP

+

+−+= [21]

Para se obter a máxima transferência de

potência,

tL

L

L RR0dR

dP=⇒= [22]

Portanto,

L

2

S2

S2

L

LLmáx

R.4

VV

)R.(2

RP == [23]

Deve-se observar que,

Rt → Rth

Vs → Vth

Com base na Eq. 23, para diversos valores

de RL em função de Rt obtêm-se os

seguintes valores:

• 2

RR t

L =

t

S

tt

SS

R

V.

3

2

/2RR

VI =

+=

2 2 2

t S S SL 2

t t t

R V V V4 2 4P .

2 9 R 9 R 9 4.R= × × = × = ×

2

SL

Ss tS

t

VP 2 1η% x 100% .

V2P 9 RV

3 R

1100¨% 33,3%

3

= = × =

× ×

= × =

• tL RR =

t

S

S2R

VI =

t

2

SL

R.4

VP

M=

Este valor corresponde ao máximo valor de

PL.

2

S

StS

t

V 1 1η% 100% 100% 50%

V4.R 2V

2.R

= × × = × =

×

• tL R2R =

t

2

S

t

2

S

2

t

2

StL

R.4

V.

9

8

R

V.

9

2

R.9

V.R.2P ===

2

S

StS

t

V2 1η% . 100

V9 RV

3.R

2100 % 66,6%

3

= × × =

×

= × =


A Fig. 30 ilustra graficamente a variação de

diversas grandezas em função de RL.

30

10

20

40

50

5

8

7

6

4

3

2

1

5 10 15 20 25 309

V C (v) IC (A)P L(W)

Imax =E th /R L=6.67A

IC

R L=R th=9 Ω

00RL( Ω )

P L

VC100

92 E th

2

Imax

2

Fig. 30 -

Exemplo 19

Obtenha o valor de RL para que exista a

máxima transferência de potência da fonte

para a carga para o circuito da Fig. 31.a.

10 Ω

-+

C 4Ω

R L2A40 Ω10V

(a)

-+

C

2A10V

(b)

a

b

10 Ω 4Ω

40 Ω

(c)

+-

12 Ω

b

a

8V R L

Fig. 31 -

Solução

Inicialmente isola-se a carga RL do restante

do circuito de modo a se obter o equivalente

Thévenin. Resolvendo para o circuito da

Fig. 31.b, obtém-se que,

[V]8Vth =

e

] [12R th Ω=

Logo da Fig. 31.c e da Eq. 22,

][Ω12RR thL ==


8 – CASOS ESPECIAIS / FONTES

CONTROLADAS (DEPENDENTES)

Fontes controladas ou Fontes dependentes

são fontes controladas por tensão/corrente

que são partes de um dado circuito. A

tensão terminal ou corrente terminal

depende da tensão ou da corrente definida

pelas fontes independentes em outros

elementos (ramos/nós) do circuito.

Exemplo 20

Obtenha o circuito equivalente Thévenin

para o circuito da Fig. 32.

Solução

Abrindo o circuito entre os nós “a” e “b” na

Fig. 32.a, obtém-se que,

OC a bV V 6 i= =

Aplicando KVL na malha da fonte de 20 [V]

vem que,

20 - 6i 2i - 6i 0+ =

Logo,

i = 2 [A]


-+

10 Ω

20V

(b)

+-6Ω

+ -

2i

+

-6Ω

i

a

b

+ -

ISCi1 i2

-+

10 Ω

20V

(a)

+-6Ω

+-i

v=2i

+

-6

i

Fonte de TensãoControlado por Corrente

a

bCIRCUITO 1

CIRCUITO2

(c)

+-

13.6 Ω

b

a

12VCIRCUITOTHEVENIN CIRCUITO

2

CIRCUITO 1

Fig. 32 -

Portanto a tensão Thévenin é igual a,

th OC abV V V 6 . i 6 . 2 12 [V]= = = = =

A seguir deve-se obter a corrente Norton

entre os nós a e b.

Malha 1:

1 2 1 1 2

1 2 1

1 2

1 2

6(I I ) 6I 2(I I ) 20 0

4(I I ) 6I =20

10I 4I 20

5I 2I 10

− + − − − =

− +

− =

− =

Malha 2:

2 2 1

1 2

1 2

10I 6(I I ) 0

6I 16I =0

3I 8I 0

+ − =

− +

− =

Onde,


1 2

SC N 2

i (I I )

I =I =I

= −

Resolvendo para I2=IN=Isc obtém-se que,

2

5 10

3 0 30 15I = [A]

5 2 34 17

3 8

− = =− −

−

[A]136

120II SCN ==

Logo, a resistência Thévenin é dada por,

thth

N

V 12R 13,6 [Ω ]

I 120/136= = =

Deste modo o circuito equivalente Thévenin

será o mostrado na Fig. 32.c.

Exemplo 21

Obtenha o circuito equivalente Norton para

o circuito da Fig.33.a.

Solução

Abrindo o circuito entre os terminais a e b,

como na Fig. 33.a, vem que a corrente i

para a condição de operação com circuito

aberto entre os nós a e b é dada por,

250i25(10i)VV abOC −=−==

Aplicando KVL na malha com a fonte de

5 [V] vem que,

0 250i500i5 =−+−

[A] 0,020 5/250i ==

Portanto,

mA][20i =


(c)

CIRCUITO 1

50Ω

b

a

CIRCUITO2

IN=I SC =0.1A

-+5V

(b)

500 Ω

+

-

a

b

+

-i

V ab

10i25 Ω

ISC

-+

5V

(a)

500 Ω

+ -i

+

-

a

b

+

-i

V ab V ab

10i

Fonte de TensãoControlada por Tensão

Fonte de CorrenteControlada por Corrente

25 Ω

CIRCUITO1

Fig. 33 -

Logo,

th oc ab

-3

V V V 250 .i

250 x 20 x 10 5 [V]

= = = − =

= − = −

Da Fig. 33.b obtém-se a corrente IN ou ISC

do nó a para o nó b.

Logo,

i10ISC −=

A nova corrente i (não possui o mesmo

valor obtido anteriormente) e deve ser

novamente obtido da malha da fonte de

5 [V], para a nova condição de operação,

que é a condição de curto-circuito entre os

nós a e b.

00500i5 =++−

]A[ 01,0500/5i ==

Portanto,

N SCI I 10 i 0,1 [A]= = − = −

Finalmente,

th oct

N SC

V V 5R 50 [Ω ]

I I 0,1

−= = = =

−


ANEXO I

TEOREMA DA FONTE DE ABSORÇÃO

O Teorema da absorção da fonte tem duas

formas duais: o teorema da absorção da

fonte de tensão e o teorema da absorção da

fonte de corrente.

-Teorema da Absorção da Fonte de Tensão

Estabelece que se existir num ramo, com

corrente I, uma fonte de tensão controlada

por essa mesma corrente I, a fonte pode ser

substituída por uma simples resistência de

valor igual ao fator controlante da fonte.

A demonstração é muito simples. Uma

impedância Z retratada na prática por uma

resistência R, percorrida por uma corrente I,

origina a mesma tensão que a fonte ZI

possui nos seus terminais. A Fig. I.1 ilustra

a aplicação deste teorema.

+

-

I

R[ Ω ]RI

I

Fig. I.1 -

-Teorema da Absorção da Fonte de

Corrente

Estabelece que se existir num ramo,

submetido a uma tensão V, uma fonte de

corrente controlada por essa mesma tensão

V, a fonte pode ser substituída por uma

simples condutância de igual valor ao fator

controlante da fonte.

A demonstração é igualmente simples. Uma

admitância Y submetida a uma tensão V,

resulta em uma corrente Y.V.

Y.V

I

V V

Y Ω1[ ]

R=1/Y

Fig. I.2 -

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. … · circuito equivalente a partir de um circuito genérico, de modo que a tensão V x e a corrente I x sejam as mesmas, tanto