UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL

DO PARANÁ

CAMPUS CURITIBA

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA

CURSO DE ENGENHARIA ELETRÔNICA – ÊNFASE

ELETRÔNICA/TELECOMUNICAÇÕES

DISCIPLINA DE FÍSICA IV

TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA: ÓTICA E FÍSICA MODERNA

CURITIBA

2009

2

MARLOS AUGUSTUS MACIEL DAMASCENO

EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO

Trabalho acadêmico apresentado à disciplina de Física

IV. Universidade Tecnológica Federal do Paraná -

UTFPR. Como requisito para obtenção de nota

parcial.

Titular da Disciplina: Prof. Dr. José Luís Fabris

CURITIBA

2009

3

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO......................................................................................................................... 4

EFEITO DOPPLER CLÁSSICO............................................................................................... 5

TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA............................................................................ 9

EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO.................................................................................. 14

IMPLICAÇÕES CIENTÍFICAS E TECNOLÓGICAS...........................................................18

CONCLUSÃO......................................................................................................................... 22

REFERÊNCIAS....................................................................................................................... 23

ANEXOS................................................................................................................................. 25

4

INTRODUÇÃO

Neste trabalho será realizada uma explanação do efeito Doppler Relativístico

seguindo uma linha de raciocínio progressiva e condizente com os acontecimentos históricos,

de modo que a compreensão do assunto torne-se mais simples e exigindo menos

conhecimento prévio sobre física. Primeiro serão apresentados os princípios do efeito Doppler

clássico, seguido de uma introdução à Teoria da Relatividade Restrita, finalmente o efeito

Doppler Relativístico seguido de suas implicações científicas e tecnológicas.

O efeito Doppler relativístico tem grande importância para a Teoria da

Expansão do Universo, é muito utilizado na astronomia para medidas de velocidades relativas

de movimento de astros e galáxias, também é utilizada para aplicações tecnológicas como

radares e comunicação via satélites.

5

EFEITO DOPPLER CLÁSSICO

Efeito Doppler assim chamado devido ao primeiro físico a estudar esse

fenômeno, Christian Johann Doppler. Nascido em Salzburgo na Áustria em 1803, foi educado

no Instituto Politécnico de Viena.

Em 1842 ele escreveu a obra Concerning the coloured light of double stars

(sobre as cores da luz emitida pelas estrelas duplas) na qual ele apresenta os fundamentos

efeito Doppler, tanto para o som quanto para ondas eletromagnéticas. Doppler observou a

freqüência emitida por uma fonte onda sonora em movimento relativo com um observador se

altera aparentemente. Mesmo prevendo o efeito para as ondas eletromagnéticas foi o físico

francês Louis Fizeau quem em 1848, sugeriu que o efeito Doppler acústico poderia ser

aplicado às ondas luminosas e, com isso, determinar as velocidades relativas das estrelas que

estão na mesma linha do sinal luminoso recebido.

Apesar de Doppler ter estudado os princípios deste efeito e realizado previsões

teóricas, ele não o comprovou, o que foi feito em 1845 por Buys Ballot, na Holanda,

utilizando uma locomotiva que puxava um vagão aberto com vários músicos tocando

trompetes, enquanto outros músicos de ouvidos apurados ficavam na estação para registrar as

notas que ouviam. Foram utilizadas várias velocidades e notas, confirmando a teoria proposta

por Doppler.

Como o efeito Doppler depende do movimento relativo entre o observador e

fonte ele deve ser analisado para três casos: primeiro com a fonte em repouso e observador

em movimento, segundo com a fonte em movimento e observador em repouso e por último

com ambos em movimento. Serão agora deduzidas as fórmulas para o efeito Doppler aplicado

a ondas sonoras.

Detector (observador) em movimento com fonte (estacionária) em

repouso.

6

Na Figura 1, um detector D se move com velocidade vd na direção da fonte F

estacionária que emite frentes de ondas esféricas de comprimento de onda λ e freqüência f

propagando-se com a velocidade do som v.

Figura 1 – Fonte estacionária que emite frentes de ondas esféricas, mostradas com um comprimento de

onda de distância, que se expandem com velocidade v. Detector D com se aproxima da fonte.

Fonte: Adaptado de http://www.eca.usp.br/prof/iazzetta/tutor/acustica/doppler/doppler.html, acessado 22

de novembro de 2009.

A freqüência registrada por D é a taxa com que este detector intercepta as

ondas. Considerando a fórmula λ = v / f e sabendo que as ondas se deslocam vt em um

intervalo de tempo t em direção de D, este se desloca vdt no mesmo intervalo de tempo em

direção a F, temos que o deslocamento total relativo das frentes de onda em direção a D é (vt

+ vdt), logo o número de ondas que intercepta D no tempo t é a freqüência f’ registrada que é

dada por

Como λ = v / f temos

(1)

Assim a freqüência percebida pelo observador será sempre maior que a

freqüência emitida pela fonte, a menos que vd seja zero. De maneira análoga pode ser

7

deduzida a fórmula quando o detector se afasta da fonte, neste caso o deslocamento total

relativo das frentes de onda em relação a D é dado por (vt – vdt), logo f’ é

(2)

Resumindo os resultados

(3) (detector em movimento fonte em repouso)

O sinal a ser usado depende do movimento do detector, se ele se aproxima da

fonte a freqüência f’ é maior portando o que implica sinal positivo no numerador, caso ele se

afasta o sinal é negativo.

Detector (observador estacionário) em repouso com fonte em movimento.

Na Figura 2 temos um detector D em repouso e uma fonte F se move com

velocidade vf, o movimento da fonte afeta os comprimentos de onda por ela emitidos, logo

afeta também a freqüência registrada por D.

Figura 2 – Detector D em repouso. Fonte F em movimento com velocidade vf se aproximando de D. A

frente de onda F1 foi emitida quando a F estava em S1, F2 quando F estava em S2. Comprimento de onda

afetado λ‟.

Fonte: Adaptado de http://www.eca.usp.br/prof/iazzetta/tutor/acustica/doppler/doppler.html, acessado 22

de novembro de 2009.

Para calcular essa variação usaremos o período T = 1 / f decorrido da emissão

de duas frentes de ondas quaisquer, F1 e F2. No intervalo de tempo T, a frente de onda F1 se

desloca vT e fonte se desloca vfT. No final desse intervalo F2 é emitida. No sentido em que F

8

se move a distância entre as duas frentes de onda (F1 e F2) que é o comprimento de onda λ’

das ondas se deslocando nesse sentido é (vT – vfT). Portanto D registra a frequencia f’

(4)

Note que f’ será sempre maior que f o menos que vf seja igual a zero. De

maneira análoga pode ser deduzida a fórmula para quando a fonte se afasta do observador,

para tal a distância entre as frentes de onda, ou seja, λ’ é igual a (vT + vfT). Então D registra a

freqüência f’

(5)

Resumindo

(6) (fonte em movimento e observador em repouso)

Para determinar o sinal deve se levar em conta o movimento da fonte, se ela se

aproxima a freqüência f’ deve ser maior que f isso implica que o sinal é negativo, caso

contrário o sinal é positivo.

Fonte e detector (observador) em movimento

Combinando as equações (3) e (6), obtemos uma equação geral para o efeito

Doppler do som, onde tanto a fonte como o detector se movem em relação ao ar.

(7) (fonte e observador em movimento)

Fazendo vf = 0, obtemos a equação (3) e fazendo vd = 0, obtemos a equação (6).

As considerações de sinais são feitas individualmente para o numerador e denominador

seguindo o mesmo raciocínio das equações (3) e (6) respectivamente.

Como foi dito anteriormente o efeito Doppler se aplica também a ondas

eletromagnéticas, mas não foi possível sua comprovação prática e nem exatidão teórica, na

9

época. Podendo ser comprovada um bom tempo depois com o surgimento da Teoria da

Relatividade Restrita proposta pelo físico Einstein em 1905. Em seu artigo intitulado Zur

Elektrodynamik beweter Körper (“Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento”)

mostrou que esse efeito pode ser obtido diretamente dessa teoria.

Portanto para a demonstração do efeito Doppler Relativístico será feita uma

breve introdução a Teoria da Relatividade Restrita.

TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA

Até meados de 1900 os a maioria dos intelectuais admitiam que o tempo fosse

absoluto, independentemente do referencial escolhido. Porém um físico chamado Hendrik

Lorentz começou a estudar o eletromagnetismo e a partir de disso formulou o que é hoje

conhecido como Transformações de Lorentz (veja ANEXO A), baseado no fato de que a

razão entre as forças eletromagnéticas estão sujeitas a pequenas alterações devido a seu

movimento, resultando em uma contração momentânea do tamanho dos corpos em

movimento. Abrindo caminho para o desenvolvimento da Relatividade Restrita proposta por

Einstein.

Em 1905 aos vinte e cinco anos de idade Einstein publicou três artigos de

extraordinária importância cientifica. Um sobre o movimento browniano, um segundo sobre o

efeito fotoelétrico (que lhe garantiu um Prêmio Nobel). Por último um sobre a teoria de

relatividade restrita, propondo uma revisão drástica dos conceitos newtonianos de espaço e

tempo.

Esta teoria resumidamente propõe que as leis físicas devem ser as mesmas em

qualquer sistema de referência inercial e que a velocidade da luz no vácuo deve ser sempre a

mesma em qualquer sistema de referência inercial. Denomina-se relatividade restrita, pois só

é definida em sistemas de referência inercial e sem a influência de campos gravitacionais, em

1915 Einstein desenvolveu a teoria da relatividade geral que abrange as limitações anteriores.

10

Estes dois postulados simples propostos por Einstein possuem conseqüências importantes

como: (1) Um evento que ocorre simultaneamente com outro em relação a um observador

pode não ocorrer simultaneamente em relação a outro observador. (2) Quando existe

movimento relativo entre dois observadores e eles fazem medidas de tempo e distância, os

resultados podem não concordar. (3) Para que a lei da conservação de energia e a lei da

conservação do momento linear sejam as mesmas em qualquer sistema de referência inercial,

a segunda lei de Newton e as equações da energia cinética devem ser reformuladas.

A relatividade restrita pode parecer contrária a intuição, mas a teoria concorda

solidamente com as observações experimentais. Uma contrariedade intuitiva é admitir que o

tempo possa ter medidas diferentes em referencias inerciais diferentes. Para provar isso serão

feitas deduções simples.

Primeiro postulado de Einstein

“As leis físicas são as mesmas em qualquer sistema de referência inercial”,

caso houvesse alguma lei diferente, ela serviria para distinguir um sistema de referência

inercial de outro. Um exemplo é a força eletromotriz (fem) induzida em uma bobina pelo

movimento de um imã nas suas vizinhanças. No sistema de referência no qual a bobina está

em repouso, o imã se movimenta e induz uma fem. No sistema que o imã está em repouso a

bobina se movimenta e também induz uma fem. De acordo com o primeiro postulado, ambos

os pontos de vista são válidos e fazem a previsão da mesma fem.

Segundo postulado de Einstein

“A velocidade da luz no vácuo é sempre a mesma (constante „c‟ =

299.792.458 m/s, exata) em qualquer sistema de referência inercial e não depende da

velocidade da fonte”, para explicar melhor será usado um exemplo. Suponha que dois

observadores meçam a velocidade da luz no vácuo, ambos em sistemas de referência inercial.

De acordo com o primeiro postulado os dois devem obter o mesmo resultado, mesmo que

11

exista movimento relativo entre eles. Imagine que o primeiro observador (observador A) está

dentro de um ônibus espacial em orbita, há uma velocidade de aproximadamente 7770 m/s. O

segundo observador (observador B) está em repouso na superfície da Terra e pode ver o

ônibus espacial.

Em um dado momento o ônibus espacial acende um farol, emitindo um feixe

de luz na mesma direção de seu movimento, para A a velocidade desse feixe é c, mas para o B

pela mecânica newtoniana esse feixe teria velocidade de (c + 7770)m/s, o que contradiz o

primeiro e segundo postulado, portanto o B deve medir o valor c e não (c + 7770)m/s. Isso

não concorda com o senso comum porque a nossa intuição é baseada em experiências do

cotidiano, que geralmente não incluem velocidades próximas a da luz. Segue a Figura 3 como

representação

Figura 3 – Representação da constância da velocidade da luz no vácuo.

Situação imaginária e fora de escala.

Fonte: Autoria própria.

Agora suponha que o ônibus espacial esteja em órbita com a velocidade da luz

c em relação ao observador B VA/B = c m/s. Para B o feixe de luz também se desloca com

12

velocidade c, ou seja, como o ônibus espacial e luz se deslocam a mesma velocidade, a luz

deve ficar sempre no mesmo ponto do espaço que fica o ônibus. Porém de acordo com o

segundo postulado, concluímos que para A a luz também se desloca com velocidade c,

portanto o feixe de luz não pode ficar sempre no mesmo ponto do espaço. Este resultado é

contraditório levando a conclusão que nenhum observador inercial pode se deslocar com a

velocidade da luz no vácuo.

Compreendido os postulados de Einstein voltamos ao ponto inicial como o

tempo pode ter medidas diferentes em referenciais distintos?

Figura 4 – (a) Medida de ∆t0, trajetória do pulso de luz visto pelo observador A.(b) Medida de ∆t,

trajetória do pulso de luz visto pelo observador B.

Fonte: Adaptado de SEARS E ZEMANSKY. Física IV, 10 ed. 2007, p. 147.

Novamente vamos considerar uma experiência imaginária. Um observador A e

um observador B ambos em sistemas de referência inercial S‟ e S respectivamente. O sistema

S‟ (imagine um trem com o observador A dentro) se move com velocidade constante u em

relação ao sistema S. De acordo com o explicado anteriormente u deve der menor que c. A

mede um intervalo de tempo ∆t0 entre dois eventos que ocorrem em um mesmo ponto do

espaço de S‟, ponto O‟. O primeiro evento é a emissão de um pulso de luz a partir de O‟ e o

segundo é a o retorno do pulso ao mesmo ponto, depois de refletido por um espelho situado a

uma distância d (imagine uma fonte de luz no chão do trem como o ponto O‟ que emite um

pulso na vertical atingindo um espelho no teto que o reflete novamente para O‟ à distância d é

a altura do teto). Para facilitar o entendimento veja a Figura 4a. O pulso de luz nesse sistema

percorre um distância 2d, de modo que ∆t0 é dado por

13

(8)

O observador B mede um intervalo de tempo ∆t diferente, pois em seu sistema

de referencia S os dois eventos ocorrem em pontos diferentes do espaço, durante o intervalo

de tempo ∆t a fonte se deslocou uma distância u∆t em relação a S (imagine B vendo o trem se

deslocando e junto o ponto O). Então para B a distância que o pulso percorreu não é 2d e sim

um valor 2l (veja a Figura 4b) maior dado por

(9)

Para isso é necessário admitir que ambos os observadores meçam a mesma

distância de d (prova em ANEXO B). Como a velocidade da luz é constante o intervalo de

tempo em S para o percurso de ida e volta do pulso é

(10)

Deseja-se saber a relação entre ∆t0 e ∆t que não dependa de d. Para isso

explicitamos d na equação (8) e algebricamente temos

(11)

(11) → (10)

14

(12)

Sendo

(13)

Temos

(14) (dilatação do tempo)

Gráfico 1 – Curva do valor de gama (γ) de acordo com a variação da velocidade u em relação à ao sistema

S.

Fonte: SEARS E ZEMANSKY. Física IV, 10 ed. 2007, p. 150.

Como u é sempre menor que c temos que γ é sempre maior ou igual a um (veja

o Gráfico 1) logo ∆t é sempre maior que ∆t0 ocorrendo à dilatação do tempo. Existe apenas

um sistema de referência inercial para o qual um relógio está em repouso, existindo uma

infinidade de sistemas para o qual este relógio possui velocidade relativa. Portanto o intervalo

de tempo entre dois eventos que ocorrem no mesmo ponto, em um referencial que o relógio

encontra-se em repouso é uma grandeza mais fundamental do que o intervalo de tempo entre

dois pontos distintos e denomina-se tempo próprio. Assim todo observador que se desloca

em relação a um relógio mede um tempo mais longo.

EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO

Tendo compreendido as explanações anteriores será agora demonstrada à

dedução da fórmula do efeito Doppler Relativístico, tratando período T como ∆t. No

referencial do observador O temos

15

, momento que a fonte F emite o sinal eletromagnético de S1

, instante em que o sinal chega a O

∆tf em relação a F (tempo próprio) momento quando F emite outro

sinal em S2, sendo ∆to’ no referencial do observador

, instante que este último sinal chega a O

d a distância S2 – S1

vf velocidade de F em relação a O

f freqüência emitida pela fonte F

fo freqüência aparente registrada pelo observador O

θ ângulo formado entre a direção de F e a direção da trajetória de uma

onda eletromagnética emitida por F que chega até O (ângulo entre e r1

e a direção de F)

Figura 5 – Fonte F em movimento com velocidade v relativa ao observador O (ambos em sistemas de

referência inercial), no momento em que F está em S1 no seu referencial é emitido uma onda

eletromagnética que percorre uma distância r1 até chegar a O, o mesmo ocorre em S2 percorrendo a

distância r2 até O. O observador O está suficientemente longe da fonte de modo que possa se considerar r1

paralelo a r2 (representado por r2‟, o ângulo entre r1 e direção de F é o mesmo que o de r2‟ e F, igual a θ).

Fonte: Autoria própria.

Então o tempo entre a recepção dos sinais por O em seu referencial é

(15)

16

Considerando que a fonte F esteja longe do observador O, podemos admitir

que os sinais sejam retas paralelas (assim r2 é aproximadamente r2’, paralelo a r1 veja a Figura

5) e que portanto a diferença de percurso dos sinais é de aproximadamente

(ângulo entre r1 e trajetória da fonte, veja a Figura 5) e que , de modo que

podemos reescrever (15) como:

(15)

Classicamente, , ou seja, ∆to’ = ∆tf não ocorrendo

dilatação do tempo (classicamente o tempo no referencial do observador seria o mesmo que

no da fonte, dissolvendo o conceito de tempo próprio), de modo que

(16) (clássico)

Se θ = ± 90°, fo = f. Caso θ seja igual a 0° pela Figura 3 F se aproxima de O e

quando θ é igual a 180°, F se afasta de O. Fornecendo casos dois casos particulares

(17)

Que é similar a fórmula do efeito Doppler acústico com a fonte em movimento

e o observador em repouso (ver fórmula (6)).

Porém a partir da Teoria da Relatividade Restrita sabe-se que pois

ocorre uma dilatação do tempo e ∆tf é um tempo próprio medido no referencial da fonte F.

Portanto ∆to’ é dado por

(18)

Logo reescrevendo (15) temos que a fórmula para o efeito Doppler

Relativístico é

(19) (efeito Doppler Relativístico)

Algumas observações importantes têm que ser levadas em consideração.

17

Figura 6 – Espectro eletromagnético.

Fonte: http://www.vision.ime.usp.br/~ronaldo/mac0417-03/aula_02/espectro_03.jpg, acessado em 22 de

novembro de 2009.

Caso θ seja igual a 0° (aproximando) temos

Como γ é igual

Desenvolvendo algebricamente

18

(20)

Note que fo será sempre maior que f, fenômeno chamado de “blueshift” (como

representação do aumento da freqüência) que refere-se ao espectro visível, fo se aproxima do

azul como era esperado (veja Figura 6).

Para θ = 180° (afastando) de maneira análoga chega-se a

(21)

Note que para esse caso fo será sempre menor que f, fenômeno chamado de

“redshift” (como representação da diminuição da freqüência) que refere-se ao espectro

visível, fo se aproxima do vermelho como era esperado (veja Figura 6).

Para θ = ± 90° (ortogonal) temos

(22)

Este caso é puramente relativístico, chamado de efeito Doppler transversal,

pois é conseqüência direta da dilatação do tempo.

O efeito Doppler que foi explicado possui implicações importantes na

tecnologia e como parte de outras teorias, serão apresentadas algumas delas.

IMPLICAÇÕES CIENTÍFICAS E TECNOLÓGICAS

Utilização de recursos computacionais para simulações de previsão teórica são

cada vez mais usadas no meio cientifico. Utilizando-se desse recurso podemos fazer uma

previsão de como seria viajar a velocidades próximas a da luz. Será usado o método de Ray

Tracing.

19

Primeiro temos uma fonte de luz estacionária de cor laranja, representada na

Figura 7.

Figura 7 – Velocidade = 0c, nenhum efeito relativístico é observado. Está cor (laranja do espectro visível)

foi escolhida de modo que quando for visualizado o efeito Doppler a freqüência observada não saia do

espectro visível.

Fonte: http://w3.impa.br/~lvelho/i3d07/demos/cicconet/, acessado em 23 de novembro de 2009.

Ao se mover em sua direção com velocidade 0.2c temos a representação pela

Figura 8.

Figura 8 – Velocidade = 0.2c, ocorre o efeito de Aberração da Luz (não explicado aqui) e o efeito Doppler,

a freqüência aparente é maior que a original. Outros possíveis efeitos são desconsiderados.

Fonte: http://w3.impa.br/~lvelho/i3d07/demos/cicconet/, acessado em 23 de novembro de 2009.

Pela previsão teórica ao se aproximar da fonte a freqüência aparente se tornaria

maior (“blueshift”), como está representado na Figura 8. A freqüência aparente para essa

velocidade pode ser obtida a partir da fórmula (20) sendo igual a . Supondo que f

= 4,9 x 10-14

Hz (laranja) então fo = 6 x 10-14

Hz (verde perto de ciano). Para velocidades

20

maiores que 0.43c a freqüência já sai do espectro visível. Assim seria necessário um

“visualizador de ondas ultravioletas”.

Essa mudança de cor do espectro visível tem uma grande importância na

Teoria de Expansão do Universo, em 1929 um astrônomo americano chamado Hubble

descobriu, analisando linhas espectrais características de alguns elementos (como o

hidrogênio) de galáxias distantes comparando-as com as mesmas linhas desse espectro aqui

na Terra, que essas linhas eram desviadas para o vermelho, ou seja, ocorre um redshift. Para

exemplificar suponha que uma galáxia seja basicamente composta por hidrogênio e que seu

espectro aqui na Terra usando a série de Balmer emite com maior intensidade a radiação com

comprimento de onda 656,3 nm, quando analisado este mesmo espectro emitido pela galáxia

encontrou-se o comprimento de onda 893,5 nm, sabendo que f = c/λ temos que a freqüência

aparente fo obtida é menor que a da série de Balmer fo < f, logo ocorreu um redshift e a

galáxia se afasta a uma velocidade dada pela equação (21)

Então a galáxia se afasta a uma velocidade de 0.301c calculada através do

efeito Doppler relativístico e com o conhecimento prévio da série de Balmer. A distância

entre as galáxias também podem ser calculadas tendo a velocidade relativa de afastamento ou

aproximação e a constante e Hubble (ainda não defina) pela equação .

Outra aplicação importante do efeito Doppler relativístico é o radar,

equipamento que emite um pulso eletromagnético que atingindo um alvo por reflexão retorna

ao aparelho que pode medir a distância e velocidade. A distância é medida por um principio

básico que é o tempo de ida e volta do pulso multiplicado pela velocidade da luz e dividido

por dois. Já a velocidade utiliza do efeito Doppler relativístico quando o pulso chega

21

novamente no radar este registra uma freqüência aparente diferente da emitida, com isso ele

calcula a velocidade do objeto e fornece se está aproximando ou afastando (freqüência

aparente maior ou menor, respectivamente). Os radares podem ser utilizados em diversas

áreas como, por exemplo:

No trânsito para saber se um veículo excede ou não a velocidade limite.

Na aeronáutica para auxilio no controle de tráfego aéreo determinando com

precisão altitude, velocidade e posição de uma aeronave.

No exercito para detectar ataques aéreos e terrestres, precisão de ataques a

alvos localizados a longa distância.

Na metrologia para a medida da velocidade de ventos e chuvas, possibilitando

uma previsão mais precisa e alertando sobre a violência de uma tempestade.

Entre outras aplicações. O efeito Doppler também pode ser aplicado à

comunicação via satélite, pois o movimento relativo entre o satélite e o receptor na terra pode

causar interferência e imprecisão na comunicação devido a alterações de freqüência, que

podem ser corrigidas utilizando conceitos do efeito Doppler. Essas e outras são as aplicações

do efeito Doppler.

22

CONCLUSÃO

A partir deste trabalho foi possível compreender um pouco mais sobre

movimentos próximos à velocidade da luz, que diferem muito do senso comum, pois no

cotidiano as velocidades são muito menores. É mais comum presenciar o efeito Doppler

acusticamente com seus princípios clássico, por exemplo, quando uma ambulância passa perto

de um observador, mesmo porque no cotidiano ninguém pode “furar” o sinal vermelho de

transito com seu carro por vê-lo verde devido a sua alta velocidade (aproximadamente 0.26c).

Seus princípios relativísticos são mais utilizados no espaço e com partículas minúsculas.

Também foi possível perceber como avança a ciência com o decorrer do

tempo, primeiro foi descoberto o efeito com suas características clássicas, depois foi

comprovado e bem depois foram descoberta suas características relativísticas. A ciência é

uma soma de conhecimento, mesmo que os conceitos anteriores não sejam completos ou

errados ainda são necessários para a compreensão dos conceitos atuais, e muitos deles

possuem aplicações práticas, pois suas aproximações são o suficiente. Por exemplo, a

dilatação do tempo ela acontece para velocidades bem menores que a da luz, mas estes efeitos

são tão pequenos que a teoria clássica de tempo é o suficiente para caracterizá-los.

23

REFERÊNCIAS

[1] HALLIDAY, David. RESINIK, Robert. WALKER, Jearl. Fundamentos de Física 2:

Gravitação, Ondas e Termodinâmica. 4 ed. Volume 2. São Paulo. LTC. 1997.

[2] YOUNG, D. Hung; FREEDEMAN, A. Roger. Sears e Zemansky Física IV: Ótica e

Física Moderna. 10 ed. Volume 4. São Paulo: Pearson Education. 2007.

[3] Comissão de Normalização de Trabalhos Acadêmicos. Normas para elaboração de

trabalhos acadêmicos/ Universidade Tecnológica Federal do Paraná.

Disponível em: <http://www.utfpr.edu.br/documentos/normas_trabalhos_utfpr.pdf>.

Acessado em: 21 de novembro de 2009.

[4] ELSEVIER PUBLISHING COMPANY. Nobel Prize in Physics.

Disponível em: <http://www.huwu.org/nobel_prizes/physics/laureates/1902/lorentz-bio.html>

Acessado em: 21 de novembro de 2009.

[5] PONTES, Marcos. O Ônibus Espacial.

Disponível em: <http://360graus.terra.com.br/expedicoes/default.asp?did=22896&action=

Coluna>. Acessado em: 21 de novembro de 2009.

[6] BATISTA, Ronaldo Carlotto. Efeito Doppler para a Luz.

Disponível em: <http://plato.if.usp.br/~fma0374d/aula6/node3.html>. Acessado em: 21 de

novembro de 2009.

[7] ATIVIDADES EXPERIMENTAIS. Christian Johann Doppler.

Disponível em: <http://fisicomaluco.com/experimentos/christian-johann-doppler/>. Acessado

em: 21 de novembro de 2009.

[8] IAZZETTA, Fernando. Efeito Doppler.

Disponível em: <http://www.eca.usp.br/prof/iazzetta/tutor/acustica/doppler/doppler.html>.

Acessado em: 22 de novembro de 2009.

24

[9] BASSALO, José Maria. O Efeito Doppler-Fizeau.

Disponível em: <http://www.searadaciencia.ufc.br/folclore/folclore107.htm>. Acessado em:

22 de novembro de 2009.

[10] Imagem encontrada no Google imagens.

Disponível em: <http://www.vision.ime.usp.br/~ronaldo/mac0417-03/aula_02/espectro

_03.jpg>. Acessado em: 22 de novembro de 2009.

[11] CICCONET, Marcelo. Visualização Relativística Usando Ray Tracing e Image Based

Rendering.

Disponível em: <http://w3.impa.br/~lvelho/i3d07/demos/cicconet/>. Acessado em: 23 de

novembro de 2009.

[12] SLOAN DIGITAL SKY SURVEY. O Diagrama de Hubble e o Universo em Expansão.

Disponível em: <http://cas.sdss.org/dr7/pt/proj/basic/universe/interpreting.asp>. Acessado

em: 24 de novembro de 2009.

[13] BRAIN, Marshall. Como funciona o radar.

Disponível em: < http://ciencia.hsw.uol.com.br/radar.htm>. Acessado em: 24 de novembro de

2009.

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ANEXOS

ANEXO A

Transformações de Lorentz

Figura A.1 – A posição da partícula P pode ser descrita pelas coordenadas x y de um sistema de referência

inercial S ou por x‟ e y‟ de S‟. O sistema S‟ se desloca em relação os sistema S com velocidade constante v

ao longo do eixo x – x‟ comum. A duas origens O e O‟ coincidem em t=0=t‟.

Fonte: http://www.watermanpolyhedron.com/images/galf1.jpg, acessado em 23 de novembro de 2009.

A transformação galileana das coordenadas para os sistemas da Figura A.1 é

Já para as transformações de Lorentz são

ANEXO B

Prova apresentada no livro YOUNG. D. Hung; FREEDEMAN. A. Roger.

Sears e Zemansky Física IV: Ótica e Física Moderna. 10 ed. São Paulo: Pearson Education.

2007.

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Figura B.1 – As duas réguas estão em direções perpendiculares à direção da velocidade relativa, de modo

que, para qualquer valor de u, tanto Stanley quanto Mavis concluem que ambas as réguas possuem o

mesmo comprimento de um metro.

Fonte: SEARS E ZEMANSKY. Física IV, 10 ed. 2007, p. 153.

Os comprimentos medidos em direções perpendiculares à direção da

velocidade relativa não sofrem contração. Para provar isso, considere duas réguas idênticas.

Uma régua está em repouso no sistema de referência S e está sobre o eixo Ou com uma de

suas extremidades no ponto O, a origem do sistema S. A outra régua está em repouso no

sistema S’ e está sobre o eixo Oy’ com uma de suas extremidades no ponto O’, a origem do

sistema S’. O sistema S’ se move no sentido positivo do eixo Ox em relação ao sistema S. Os

observadores Stanley e Mavis estão em repouso, respectivamente, no sistema S e no sistema

S’. No instante inicial, quando as duas origens coincidem, as duas retas estão sobre a mesma

linha reta. Nesse instante Mavis marca a posição correspondente a 50 cm de sua própria régua

sobre a de Stanley, e Stanley faz a mesma marca sobre a régua de Mavis.

Para facilitar o raciocínio, suponha que Stanley observe a régua de Mavis com

um comprimento maior que a sua própria régua. Então a marca que Stanley fez na régua de

Mavis estaria abaixo do centro da régua. Nesse caso, Mavis pensaria que a régua de Stanley

ficou mais curta, uma vez que metade do comprimento da régua dele coincide com menos da

metade de sua régua. Portanto ela observaria a contração da régua de Stanley, enquanto

Stanley observaria um aumento da régua de Mavis. Porém isso implica uma assimetria entre

os dois sistemas de referência, contrariando o postulado fundamental da relatividade, segundo

o qual todos os sistemas de referencia inércias são equivalentes. Concluímos que a

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consistência com o principio da relatividade exige que ambos observadores vejam réguas do

mesmo tamanho, embora um observador encontre-se em repouso e outro em movimento.

Portanto não existe nenhuma contração do comprimento quando duas réguas estão dispostas

perpendiculares à direção da velocidade relativa.