Efeito Nernst An^omalo em Materiais com Anisotropia ......3.2.2 O efeito Nernst an^omalo e o material Heusler Co 2 FeAl . . . . . . . .60 3.3 Compara˘c~ao entre a Anisotropia (100)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTECENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

Dissertação de Mestrado

Efeito Nernst Anômalo em Materiaiscom Anisotropia Magnetocristalina (110)

Por

José Crisanto da Costa Neto

Natal, 9 de Maio de 2014.





Orientador: Prof. Carlos Chesman de Araújo Feitosa

Dissertação apresentada ao Departamento de

F́ısica Teórica e Experimental da Universidade Fe-

deral do Rio Grande do Norte como parte do re-

quisito para obtenção do grau de Mestre em F́ısica.




A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a dissertação:


Elaborada por:


Como requisito parcial para obtenção do t́ıtulo de

MESTRE EM FÍSICA

Comissão Examinadora

———————————————————————Prof. Dr. Carlos Chesman de Araújo Feitosa - Presidente (Orientador), UFRN

———————————————————————Prof. Dr. Claudionor Gomes Bezerra - Examinador Interno, UFRN

———————————————————————Prof. Dr. Edson Passamani Caetano - Examinador Externo, UFES


Agradecimentos

Agradeço primeiramente à força maior que criou todo este universo que tentamos entender.

Agradeço aos meus pais, Evaniel Medeiros da Costa e Geizer Estevam do Amaral, ao meuirmão Isaac Medeiros do Amaral Costa e ao meu avô José Crisanto da Costa, por tudo.

Agradeço à Jonir Oaiana Crisanto da Cunha, pelo companheirismo, paciência e carinho atodo momento.

Agradeço ao professor Carlos Chesman, pela orientação e paciência na produção destetrabalho.

Agradeço ao professor Claudionor Bezerra e ao professor Edson Passamani, por aceitaremparticipar da banca e pelas orientações para melhorar ainda mais este trabalho.

Agradeço aos meus amigos, Tibério Alves, Pierre Niau, Zayra Sátiro e Ricardo Borges,pelas discussões e diversões proporcionadas nestes dois anos de mestrado.

Agradeço aos professores Luciano Rodrigues, Madras Gandhi, Dory Hélio e Brady, pelaformação acadêmica no mestrado.

Agradeço a todos que formam o DFTE, em especial à nossa secretária Celina por todapaciência e informações dadas em todo processo burocrático e ao coordenador professor JoséRenan, por seu trabalho em manter o alto ńıvel da pós-graduação em F́ısica.

Agradeço aos meus familiares.

Por fim, agradeço ao CNPq pelo apoio financeiro.

Resumo

Quando um material ferromagnético é submetido a um gradiente de temperatura e a umcampo magnético surge o chamado efeito Nernst-Anômalo, medido através da voltagem quesurge na amostra magnética. Este efeito atualmente vem sendo investigado em materiais paraaplicação em spintrônica e caloritrônica [1]. Atualmente, os materiais chamados de Heuslersão os mais promissores para essa nova área de pesquisa. Neste trabalho, investigamos ascurvas de voltagem associadas ao efeito Nernst-Anômalo com anisotropia magneto-cristalina,em termos da voltagem versus campo magnético aplicado e da voltagem versus ângulo planar.Analisamos três tipos de anisotropias: cúbica (100), que apresenta simetria C4, uniaxial queé do tipo C2 e a cúbica (110), que também é do tipo C2. O objetivo foi comprovar que o usoda anisotropia cúbica (110) é equivalente a anisotropia (100) adicionada de uma uniaxial.Especificamente, quando a constante de anisotropia uniaxial é considerada grande, cerca de40% da constante de anisotropia cúbica (110), e o seu eixo fácil está a 90◦ do eixo fácil da(100). Os resultados demonstram essa total equivalência e produz uma nova interpretaçãobaseada no uso da anisotropia cúbica (110).

i

Abstract

When a ferromagnetic material is exposed to a temperature gradient and a magnetic field,the anomalous Nernst effect (ANE) appears, which is measured by a voltage on the magneticsample. This effect has presently been investigated in materials for application in spintronicand caloritronics [1]. Currently, called Heusler materials are the most promising for the newarea of research. In this study, we investigated the voltage curves associated to the (ANE)with magneto-crystalline anisotropy, in terms of voltage versus magnetic field and voltageversus angle planar. We investigated three kind of anisotropy, the cubic anisotropy (100)which has C4 (four-fold) symmetry, uniaxial anisotropy and cubic (110) anisotropy whereboth exhibit C2 symmetry. The goal is to prove that the use of anisotropy (110) is equivalentto the (100) anisotropy plus uniaxial, specifically when the constant of uniaxial anisotropyis considered large, almost 40% of the constant of cubic (110) anisotropy, and the easy axisit’s at 90◦ the easy axis of (100). The results demonstrate that full equivalence and producesa new interpretation based on the use of the cubic anisotropy (110).

ii

Sumário

Introdução 1

1 Energia Magnética 31.1 Materiais Ferromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Energia de Troca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Energia Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Energia de Anisotropia Magnetocristalina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Simetria Cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Simetria Tetragonal e Simetria Hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.3 Comportamento da Anisotropia Magnetocristalina para cristais cúbicos 161.4.4 Anisotropia Uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5 Energia de Anisotropia de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6 Energia de Anisotropia Magnetoelástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7 Domı́nios e Paredes de Domı́nios Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7.1 Domı́nios Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.7.2 Paredes de Domı́nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Modelo Teórico para a Magnetização e o Processo de Minimização daEnergia 362.1 Processo de Magnetização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Método de Minimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Curvas de magnetização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.1 Curvas de Magnetização da Anisotropia Uniaxial . . . . . . . . . . . 432.3.2 Curvas de Magnetização da Anisotropia Cúbica (100) . . . . . . . . . 472.3.3 Curvas de Magnetização da Anisotropia Cúbica (110) . . . . . . . . . 52

3 Resultados e Discussões 553.1 Efeitos Termoelétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Curvas de magnetização para o Co2FeAl e o Efeito Nernst Anômalo . . . . . 59

3.2.1 Materiais Heusler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.2 O efeito Nernst anômalo e o material Heusler Co2FeAl . . . . . . . . 60

3.3 Comparação entre a Anisotropia (100) adicionada com Uniaxial e a Anisotro-pia (110) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

iii

4 Conclusões e Perspectivas 71

iv

Lista de Figuras

1.1 Ilustração do campo molecular [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Gráfico da magnetização de saturação para o ferro, ńıquel e o cobalto em

função da temperatura [7]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Representação dos domı́nios magnéticos; a) material com um único domı́nio

ou monodomı́nio; b) material com dois domı́nios magnéticos, sendo sua mag-netização externa nula; c) uma estrutura com mais domı́nios e de intensidadesdistintas [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 a) Representação do comportamento ferromagnético devido a J(|~ri−~rj|) > 0.b) Representação do caso antiferromagnético devido a J(|~ri − ~rj|) < 0. . . . 9

1.5 Representação dos vetores magnetização e campo magnético em coordenadasesféricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Representação dos cossenos diretores e da direção da magnetização[13]. . . . 121.7 S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 A esquerda é mostrada a superf́ıcie de energia representando os eixos de fácil

e de dif́ıcil magnetização para simetria cúbica com K1 > 0, este é o caso dobcc-Fe. A direita é mostrado a mesma representação mas para K1 < 0, é ocaso do fcc-Ni [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9 Dependência da magnetização com o campo externo aplicado ~H ao longo dediferentes eixos dos cristais de Fe(figura a)) e Ni(figura b)) [15]. . . . . . . . 18

1.10 Esquema mostrando o crescimento de um filme de um material com simetriacúbica na direção [100]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19



1.13 Esquema mostrando o filme localizado no plano x− z. . . . . . . . . . . . . 201.14 Comportamento angular da energia magnetocristalina para a direção de cres-

cimento (010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.15 Representação do plano (110) e os dois sistemas com linha e sem linha, ligados

aos eixos do filme e do cristal respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.16 Comportamento angular da energia magnetocristalina (110). . . . . . . . . . 241.17 Representação do plano (111) e os dois sistemas com linha e sem linha, ligados

aos eixos do filme e do cristal respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

v

1.18 Gráfico da energia de anisotropia uniaxial com o ângulo θ para K positivo. . 261.19 Representação dos dipolos magnéticos que surgem no material e o campo

desmagnetizante [12]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.20 Valores da magnetostricção de saturação de alguns materiais [7]. . . . . . . . 311.21 Gráfico da magnetização de saturação em função da temperatura, o ponto

onde a curva toca o eixo T corresponde a temperatura de Curie. . . . . . . . 331.22 Exemplo de estruturas de domı́nios magnéticos cuja resultante é uma magne-

tização nula [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.23 Classificação das paredes de domı́nio com relação ao ângulo de orientação

entre a magnetização dos domı́nios adjacentes. a) Paredes de domı́nio de 180◦

e b) Paredes de domı́nio de 90◦ [12]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.24 Representação da estrutura interna da parede de Bloch, onde o padrão de

rotação dos domı́nios magnéticos ocorre para fora do plano dos domı́nios ad-jacentes [19]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.25 Representação da estrutura interna da parede de Néel, onde o padrão derotação dos domı́nios magnéticos ocorre dentro do plano dos domı́nios adja-centes [19]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1 O esquema acima mostra como a magnetização de um material magnéticovaria em função da intensidade do campo ferromagnético aplicado sobre ele[20]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Curvas de histereses magnéticas t́ıpicas: a) de um material magnético duro eb) de um material magnético macio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Esquema do conceito da teoria de campo médio,: a Figura a) é um sistemacom N part́ıculas e a Figura b) represemta a troca da interação de todas aspart́ıculas pelo potencial médio representado por um única part́ıcula [22]. . . 39

2.4 Gráfico da densidade de energia em função do ângulo para um valor de campomagnético aplicado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Esquema para descrever o comportamento da evolução do mı́nimo de energiapara alguns valores de campo (a-g) e a curva de histerese com os pontos decada mı́nimo representada em (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6 Curvas de magnetização de um material que possui uma anisotropia mag-netocristalina uniaxial para os valores de θH = 0

◦, θH = 45◦, θH = 60

◦ eθH = 90

◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.7 Curvas de magnetização da anisotropia magnetocristalina uniaxial variando o

campo de anisotropia para os ângulos a) θH = 90◦ e b) θH = 0

◦. . . . . . . . 462.8 Comportamento da magnetização remanente com relação ao ângulo de aplicação

do campo magnético para a anisotropia uniaxial. . . . . . . . . . . . . . . . . 472.9 Curvas de magnetização da anisotropia magnetocristalina (100) para os valo-

res de θH = 0◦, θH = 30

◦, θH = 45◦ e θH = 90

◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.10 Curvas de magnetização da anisotropia magnetocristalina cúbica (100) vari-

ando o campo de anisotropia para os ângulos a) θH = 45◦ e b) θH = 0

◦. . . . 49

vi

2.11 Comportamento da magnetização remanente em função do ângulo de aplicaçãodo campo magnético para um material com anisotropia (100). O gráfico inse-rido sugere que a magnetização remanente possui a mesma simetria C4 que aanisotropia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.12 Comportamento das curvas de magnetização para um material com anisotro-pia magnetocristalina cúbica (110) para θH = 0

◦, θH = 35◦ e θH = 90

◦. . . . 532.13 Comportamento das curvas de magnetização para um material com aniso-

tropia magnetocristalina cúbica (110), para θH = 0◦, variando o campo de

anisotropia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.14 Comportamento da magnetização remanente com relação ao ângulo de aplicação

do campo magnético para a anisotropia (110). . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1 Ilustração de um metal A colocado entre os metais B, para observar o efeitoSeebeck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 Ilustração de um circuito elétrico formado por uma fonte de diferença depotencial e um termopar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Ilustração de um material submetido a um campo magnético na direção z eum gradiente de temperatura na direção y produzindo uma corrente elétricana direção x, mostrando o efeito Nernst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Disposição dos elementos X, Y e Z que constituem os materiais Heusler natabela periódida [29]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5 a) Estrutura cristalina de um full-Heusler; b) Estrutura cristalina de um half-Heusler [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.6 a)O laser de d́ıodo produz um gradiente de temperatura local perpendicular aoplano do filme nanométrico de Co2FeAl(CFA). A voltagem VENA, que surge

devido ao efeito Nernst anômalo, depende da magnetização ~M na posição(x,y); b) Voltagem determinada entre os contatos 2 e 4 da placa Hall comofunção da posição do laser (x, y) e do campo magnético externo [1]. . . . . . 62

3.7 a) Valor médio da voltagem VENA no Co2FeAl na região delimitada peloscontatos da placa Hall mostrado no centro da figura como função do campomagnético para α = 0◦, α = 45◦ e α = 90◦ (triângulos, quadrados, circulos); b)VENA em função do ângulo α para µ0H = 100mT (quadrados) e µ0H = 20mT(circulos) [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.8 Curvas de magnetização do filme nanométrico Co2FeAl para 0◦, 45◦ e 90◦.

Note que as curvas para 0◦ e 90◦ são diferentes, o que indica que a simetriado material não é C4 [33]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.9 a) Comportamento da densidade de energia para a anisotropia cúbica 100mais uma uniaxial para H110 = 0.2kOe . b) Comportamento da densidade deenergia para a anisotropia cúbica (110) para H110 = 0.2kOe. . . . . . . . . . 66

3.10 Simulação da voltagem VENA para a anisotropia cúbica (100) mais uniaxialpara comparar com os resultados do efeito Nernst anômalo para o Co2FeAlda figura acima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

vii

3.11 Simulação da voltagem VENA para a anisotropia cúbica (110) para compararcom os resultados do efeito Nernst anômalo para o Co2FeAl. . . . . . . . . . 67

3.12 Simulação da voltagem VENA para a anisotropia cúbica (100) mais uniaxial,considerando H100 =

78H110 e Hu =

18H110. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.13 Simulação da voltagem VENA para: a) a anisotropia cúbica (110) para 0◦, 35◦,

45◦ e 90◦. b) a anisotropia cúbica (100) mais uniaxial para 0◦, 35◦, 45◦ e 90◦. 683.14 Simulação da curva de magnetização para: a) Anisotropia cúbica (100) mais

uniaxial para comparação com os resultados experimentais obtidos na figuraacima para o CFA. b) Anisotropia cúbica (110) para comparação com osresultados experimentais obtidos na figura acima para o CFA . . . . . . . . . 69

3.15 Simulação da curva de magnetização para anisotropia cúbica (100) mais unia-xial e a anisotropia cúbica (110), cujo ângulo de aplicação do campo magnéticoexterno é 35◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

viii

Introdução

O estudo sobre filmes magnéticos vem gerado interesse na comunidade cient́ıfica há poucomais de 60 anos devido à sua alta aplicação na tecnologia. A forma como estes materiaisagem frente a um campo magnético, temperatura, e a variação de tantas propriedades, abreespaços nunca antes vistos para nossa sociedade moderna. Do ponto de vista da F́ısica, oińıcio de toda esta jornada se dar no entendimento da magnetização destes materiais. Ofato da magnetização estar inicialmente nula em alguns materiais e rapidamente chegar aum estado de saturação magnética pela simples aplicação de um pequeno campo magnéticoexterno vem gerando fasćınio. Devido a isso muitas teorias para compreender este tipo decomportamento foram criadas [2] [3].

O conhecimento dos fenômenos magnéticos remonta a Grécia antiga [4]. Os primeiros rela-tos a esse respeito, mas sem nenhum caráter cient́ıfico, datam do ano de 800 AC, onde gregostinha o conhecimento de um material conhecido como magnetita (proveniente da prov́ınciada magnésia), capaz de atrair outras rochas. Com advento do método cient́ıfico no fim daidade média, o magnetismo passou a ser tratado do ponto de vista mais experimental. Oano de 1600 é considerado o ińıcio do magnetismo com a publicação do tratado De magnete,escrito por William Gilbert (1544 − 1603), onde analisa os fenômenos do magnetismo e daeletricidade. No ano de 1820 o f́ısico Hans Christian Oersted (1777 − 1851) descobre, pormeio de uma experiência, a produção de um campo magnético a partir de uma correnteelétrica. A descrição do magnetismo por meio de equações matemáticas foi constrúıda prin-cipalmente por André Marie Ampére (1775 − 1836). Ampére também propõe o modelo deı́mãs permanentes em termos de correntes elétricas moleculares e sua formulação permitiu oestudo da eletrodinâmica independente da eletrostática. Em 1831 Michael Faraday descobrea produção de uma força eletromotriz por meio da variação temporal do fluxo magnético,que é descrita através da lei de indução eletromagnética. Todas as leis que envolvem aeletricidade e o magnetismo são escritas na forma de equações no tratado publicado por Ja-mes Clerck Maxwell (1831− 1879) no ano de 1873, chamado de A treatise on Eletricity andMagnetism. Neste trabalho J.C. Maxwell unifica também o eletromagnetismo aos fenômenosópticos, descrevendo a radiação como uma onda eletromagnética.

Em 1881 o inglês James Alfred Ewing (1855 − 1935) e o alemão Emil Warburg (1846 −1931) descobriram a histerese magnética e com isso possibilitaram uma forma de estudar aorigem do magnetismo nos materiais. Uma das primeiras explicações sobre como entender

1

os fatos experimentais relacionados ao magnetismo da matéria remonta ao ińıcio do séculoXIX, cuja proposta é de que a estrutura dos materiais magnéticos consistia de pequenosı́mãs elementares, de forma semelhante a sua composição formada por átomos e moléculas.O modelo dos ı́mãs elementares explicava bem alguns fatos experimentais. Por exemplo,o fenômeno de saturação magnética poderia ser entendido como o estado em que todosos ı́mãs elementares estão orientados na mesma direção. Porém, este conceito ainda eramuito simples para grande variedade de comportamentos que os materiais apresentavam,tais como a mudança da magnetização de saturação com a temperatura ou mesmo o fato dealguns materiais a temperatura ambiente estarem magnetizados e outros não, sem a presençade um campo magnético externo. No fim, os fenômenos do magnetismo só puderam sercompreendidos com o advento da Mecânica Quântica [4].

Esta dissertação está dividida em quatro caṕıtulos. No primeiro caṕıtulo é feita umarevisão sobre o modelo proposto por Weiss a partir do paramagnetismo de Langevin, paraexplicar o ferromagnetismo. Também é feita uma descrição sobre os termos que compõem aenergia magnética total, com maior enfoque na energia de anisotropia magnetocristalina. Nosegundo caṕıtulo há uma breve revisão sobre o processo da histerese e é apresentada a formade como foi constrúıda a simulação computacional, para obtenção das curvas de magnetizaçãoa partir da minimização da energia, além de mostrar algumas propriedades através dasequações. São simuladas as curvas de magnetização para as anisotropias cúbicas (100),(110) e a anisotropia uniaxial e é analisado como as curvas se comportam frente a mudançade alguns parâmetros, tais como, o campo de anisotropia. O objetivo principal está descritono terceiro caṕıtulo, onde será analisado o efeito Nernst anômalo para o filme nanométricoCo2FeAl (CFA). É feita uma breve revisão dos efeitos termoelétricos e magnetotérmicos,além de uma breve descrição sobre os materiais Heusler, cujo CFA faz parte, e são mostradasas simulações das curvas de voltagem do efeito Nernst anômalo, para a anisotropia (100) maisuniaxial e anisotropia (110). Por fim, no quarto caṕıtulo são apresentadas as conclusões e aspropostas para a continuação do trabalho.

2

Caṕıtulo 1

Energia Magnética

1.1 Materiais Ferromagnéticos

A resposta da matéria à presença de um campo magnético excitante ou mesmo o fatodesta possuir ou não uma magnetização permanente encontra-se diretamente relacionadaàs propriedades particulares de cada material a se considerar. Desta forma, os materiaismagnéticos podem ser dividos em três grandes classes, são elas:

- Materiais diamagnéticos estão relacionados ao fato de surgir um campo no interior daamostra no sentido contrário ao do campo externo. Alguns deles são o cobre, a prata e ochumbo.

- Materiais paramagnéticos estão associados ao fato de surgir um campo no interior da amos-tra, no mesmo sentido do campo externo e são caracterizados por possúırem uma pequenamagnetização quando colocados na presença de um campo magnético externo. Materiaisdeste tipo são fracamente atráıdos por ı́mãs, alguns deles são o alumı́nio, o sulfato de cobree o magnésio.

- Materiais ferromagnéticos também estão associados ao fato de surgir um campo no interiordo material no mesmo sentido que o campo externo e são caracterizados por possúırem umaalta magnetização e podem estar magnetizados sem a presença de um campo magnético.Materiais deste tipo são altamente atráıdos por ı́mãs. São eles, o ferro, o cobalto e o ńıquel.

No ano de 1905, na tentativa de explicar o comportamento dos materiais magnéticos, of́ısico francês Paul Langevin (1872 − 1946) desenvolveu, através dos métodos da MecânicaEstat́ıstica, o que é conhecido como paramagnetismo de Langevin. Langevin demonstrou queos ı́mãs moleculares independentes, quando colocados em temperatura ambiente, apresentamuma fraca interação magnética. Já para o caso do magnetismo “forte”, observado em algunsmateriais, se dava através de alguma interação, ainda desconhecida, entre estes ı́mãs [6].

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Para explicar o caso de materiais ferromagnéticos, no ano de 1907 Pierre Weiss (1865−1940)sugeriu que a desordem provocada pela agitação térmica poderia ser minimizada devido aexistência de um campo molecular. O campo molecular foi postulado como uma interaçãomútua entre os elétrons que tenderia a alinhar os seus ı́mãs elementares (ver Figura 1.1),ou seja, além do campo magnético, surge outro campo no interior do material devido aconexão entre os ı́mãs elementares do material. A temperatura de Curie corresponde aoponto onde um material ferromagnético perde toda sua capacidade de magnetização e setorna paramagnético. Com isso, abaixo desta temperatura, o campo molecular propostopor Weiss é superior à flutuação térmica da amostra e o material se comporta como umferromagneto. Já na situação de temperaturas superiores à temperatura de Curie, o efeitoda flutuação térmica é superior ao efeito do campo molecular e desta forma, o material secomporta como um paramagneto. A equação abaixo mostra este ponto de transição entreas fases ferromagnética e paramagnética,

kTC = µBHCM , (1.1)

onde o lado esquerdo da Equação 1.1 representa a energia associada à agitação térmicae o lado direto a energia associada ao campo molecular, sendo k a constante de Boltzman,TC a temperatura de Curie, µB o magnéton de Bohr e HCM o campo molecular.

Figura 1.1: Ilustração do campo molecular [21].

A teoria de Weiss funciona como uma extensão da teoria clássica do paramagnetismo deLangevin. Weiss investigou matematicamente como se comportava um conjunto de átomos,cada um possuindo um momento magnético µA, sobre a influência de uma campo magnéticoexterno de intensidade H. O efeito do campo molecular é alinhar os ı́mãs elementares,enquanto que a agitação térmica tende a destruir. Supondo que os momentos magnéticosestão afastados o suficiente para que suas forças sejam negligenciadas, o hamiltoniano que

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representa a relação entre cada momento magnético e o campo é

H = −∑i

µAi H cos θ, (1.2)

onde θ é o ângulo entre cada momento magnético µA e o campo H. Como o sistemaestá sujeito à agitação térmica, os métodos da mecânica estat́ıstica sugerem que em umatemperatura T, a distribuição dos momentos magnéticos está associada a seguinte função departição [17]

Z =∑

e−HkT =

∑eµAH cos θ

kT . (1.3)

Na primeira formulação de Langevin são feitas duas considerações: (1) os momentosmagnéticos estão sujeitos à agitação térmica e podem se orientar em qualquer direção comrelação ao campo, (2) estes momentos estão distanciados de modo a nenhum sofrer a in-fluência um dos outros. Com o advento da teoria quântica, a primeira consideração é al-terada, pois as direções se tornam limitadas devido ao principio de exclusão de Pauli. Nocaso mais simples só pode haver duas orientações, sendo uma paralela e outra antiparalela adireção do campo. Com isso, a equação de Langevin fica [17]

M

M0= tanh

µAH

kT. (1.4)

Pode-se observar que esta formulação implica que mesmo para o campo mais alto atingidoem um laboratório, mas ainda sobre a influência da temperatura ambiente, a magnetizaçãoatingirá apenas uma fração do valor final M0. Neste intervalo a magnetização é proporcionalao campo. O problema é que se o campo magnético externo for nulo, magnetização se tornanula, por isso o nome paramagnetismo de Langevin, pois ele não explica o caso dos materiaisferromagnéticos que podem possuir magnetização diferente de zero abaixo da temperaturade Curie sem estarem na presença de um campo magnético externo.

A solução deste problema surge quando Weiss substitui na equação de Langevin o campoH, por um novo campo H + NM , onde a quantidade NM representa o campo moleculare N é a constante de campo molecular. Com esta ideia, os momentos magnéticos dos ı́mãselementares sofrem influência um dos outros, indo de encontro com a teoria de Langevin.Substituindo o novo campo H +NM na equação 1.4, a equação de Langevin se torna

M

M0= tanh

µA(H +NM)

kT. (1.5)

Fazendo H = 0 e Θ = µANM0k

se chega a seguinte equação:

M

M0= tanh

MM0TΘ

. (1.6)

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Agora, pode-se observar que quando o campo magnético externo é nulo, um material ferro-magnético permanece magnetizado. A equação 1.6 leva a conclusão de que quando o campoé igual a zero, a magnetização se comporta igualmente para todos os materiais, já que temosuma função de M

M0e T

Θ.

Com isso, os materiais ferromagnéticos são caracterizados por terem a sua magnetizaçãode saturação dependente da temperatura MS(T ). Um material ferromagnético torna-seespontaneamente magnetizado abaixo de uma temperatura cŕıtica chamada de temperaturade Curie e devido a este comportamento tem-se que para qualquer temperatura abaixo deΘ = TC , a magnetização de saturação apresenta um valor bem definido mesmo sem a presençade um campo magnético externo aplicado. A figura 1.1 mostra a variação da magnetizaçãode saturação MS(T ) com relação a temperatura, para o ferro, o ńıquel e o cobalto. Paratemperaturas acima da temperatura de Curie, que é uma constante de cada material, todosos materiais apresentam um comportamento paramagnético.

Figura 1.2: Gráfico da magnetização de saturação para o ferro, ńıquel e o cobalto em funçãoda temperatura [7].

Os materiais ferromagnéticos são o ferro, ńıquel, cobalto e o gadoĺınio. Ligas feitas deoutros materiais que não são ferromagnéticos, tais como o cobre e o alumı́nio, ou semicondu-tores como siĺıcio e até mesmo os materiais Heusler que iremos tratar neste trabalho, podemapresentar caracteŕısticas ferromagnéticas [7].

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De acordo com o modelo de Weiss, um pedaço de ferro não poderia de forma algumaestar desmagnetizado à temperatura ambiente, mas ainda sim observamos este fenômeno nanatureza. Para contornar este impasse, Weiss considerou que as amostras reais dos materiaisferromagnéticos, quando estão abaixo da temperatura de Curie, são compostas por peque-nas regiões magnetizadas em alguma direção, mas de alguma forma a soma destas pequenasregiões no final resulta em uma magnetização externa nula. Este é um conceito muito im-portante no entendimento da estrutura dos materiais magnéticos, conhecido como domı́niosmagnéticos [5]. A figura 1.22 mostra uma representação destes domı́nios magnéticos.

Figura 1.3: Representação dos domı́nios magnéticos; a) material com um único domı́nio oumonodomı́nio; b) material com dois domı́nios magnéticos, sendo sua magnetização externanula; c) uma estrutura com mais domı́nios e de intensidades distintas [8].

Weiss conseguiu explicar grande parte dos fenômenos relacionados ao ferromagnetismocom o conceito de campo molecular e da estrutura de domı́nios, porém ele não conseguiuexplicar a origem f́ısica destes termos por meio de forças atômicas. A explicação do campomolecular foi dada por Werner Heisenberg (1901− 1976) no ano de 1926 através do conceitode energia de troca e a explicação da origem dos domı́nios só foi dada por Lev DavidovichLandau (1908−1968) e Evgeny Mikhailovich Lifshitz (1915−1985) no ano de 1935, por meiodo entendimento dos vários termos que compõem a energia total de um sistema magnético.

Desta forma, toda informação associada a um sistema magnético vai estar associada a ener-gia livre magnética, estando todo processo de magnetização ligado a minimização da energiaou ao seu estado de equiĺıbrio. A energia livre magnética é composta de diferentes interações,que surgem quando se é aplicado um campo sobre o material. Esta energia magnética podeser expressa através da soma de todos os tipos distintos de interações que surgem no sistema.No presente trabalho a energia magnética total é dada através da soma das densidades deenergia de troca, Zeeman, magnetocristalina, magnetostática e magnetoelástica, na seguinte

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forma [2][5][7] [9]

ET =

∫V

(etroca + eZ + eani + ema + eme)dV, (1.7)

o próximo passo será dar continuidade a cada energia citada para entender como o pro-cesso da minimização da energia afeta a magnetização de um material ferromagnético, comuma maior ênfase na energia de anisotropia magnetocristalina que é o foco deste trabalho.

1.2 Energia de Troca

Umas das mais importantes interações que surgem nos materiais magnéticos é conhecidapor energia de troca, pois é ela a responsável pelo ordenamento ferromagnético do material,ou seja, ela quem comanda o ferromagnetismo e é a origem do campo molecular proposto porWeiss [9][10]. Este tipo de energia também é conhecida como energia de exchange e surgea partir de diferentes causas, tais como, a interação eletrostática, a interação dos spins doselétrons através do prinćıpio de exclusão de Pauli e a anti-simetria da função de onda, já quese trata de férmions. Para um conjunto de átomos numa dada rede que compõem o material,considerando as funções de onda dos elétrons localizados em śıtios vizinhos representadospelos vetores posição ~ri, e ~rj e seus respectivos momentos angulares de spin ~S(~ri), e ~S(~rj)medidos em múltiplos de ~, a densidade de energia de troca pode ser escrita na seguinteforma

etroca = −∑

J(|~ri − ~rj|)~S(~ri) · ~S(~rj) (1.8)

onde J(|~ri − ~rj|) é a integral de troca e é dada por

J(|~ri − ~rj|) =∫ψ∗a(~r1)ψ

∗b (~r2)Hψa(~r1)ψb(~r2)dV1dV2, (1.9)

onde ψa(~r1) e ψb(~r2) representam as funções de onda dos elétrons vizinhos e H é o hamilto-niano do sistema. A integral de troca decai rapidamente (na forma 1

r2devido ao potencial

coulombiano) para altos valores de |~ri − ~rj|, por isso está interação afeta mais fortementeos primeiros vizinhos e corresponde a uma soma em todos os átomos da rede [13]. O sinalda integral de troca é quem vai ser o determinante se um dado material tem um ordena-mento magnético do tipo ferromagnético, ou antiferromagnético, para o caso ferromagnéticoJ(|~ri − ~rj|) > 0 e antiferromagnético J(|~ri − ~rj|) < 0. De todo modo, o estado mı́nimo deenergia acontece quando os momentos angulares de spin dos elétrons adjacentes são paralelosno caso ferromagnético e antiparalelos no caso antiferromagnético.

Toda esta formulação pode ser aproximada para um caso cont́ınuo onde deve-se tirar osdetalhes de pequenas escalas, ou seja, pode-se considerar que o conjunto de todos os spins

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Figura 1.4: a) Representação do comportamento ferromagnético devido a J(|~ri − ~rj|) > 0.b) Representação do caso antiferromagnético devido a J(|~ri − ~rj|) < 0.

~S(~ri) seja substitúıdo pela variável cont́ınua de magnetização ~M , desta forma a densidadede energia de troca pode ser dada na seguinte forma [5]

etroca = A3∑i=1

(∇Mi(~r))2, (1.10)

onde A é a constante de troca obtida a partir da derivação de J(|~ri − ~rj|) e Mi são ascomponentes da magnetização ~M [5].

1.3 Energia Zeeman

Como já foi visto, os materiais estudados neste trabalho são filmes nanométricos cuja estru-tura magnética consiste de domı́nios magnéticos com diferentes orientações de magnetização,a soma de todos estes termos geram no final um vetor que vai identificar o comportamentoda magnetização do material na presença de um campo magnético externo. Quando é apli-cado um campo magnético externo, surge uma interação entre o vetor magnetização ~M e ocampo ~H semelhante à interação do campo magnético com um dipolo [21], que faz com que amagnetização tenda a se alinhar com o campo. A energia associada a este tipo de interação éconhecida como energia Zeeman e pode ser descrita através da integral envolvendo o produtoescalar [7][11]

Ez = −∫V

~M · ~HdV. (1.11)

Neste trabalho o que terá maior importância é a densidade de energia Zeeman, ou seja,nos cálculos de minimização estaremos dividindo pelas dimensões da amostra, com isso adensidade de energia Zeeman é dada por

ez = − ~M · ~H, (1.12)

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o sinal negativo na equação 1.12 indica que o mı́nimo de energia se da quando os vetoresmagnetização e campo magnético estão paralelos, ou seja, isto indica o fato da magnetizaçãotentar se alinhar com o campo.

Expressando a magnetização e o campo magnético em coordenadas esféricas, pois noestudo das anisotropias que será feito mais adiante essas expressões serão úteis:

~M = MS(sin θ cosφx̂+ sin θ sinφŷ + cos θẑ) (1.13)

e~H = H(sin θH cosφH x̂+ sin θH sinφH ŷ + cos θH ẑ), (1.14)

Figura 1.5: Representação dos vetores magnetização e campo magnético em coordenadasesféricas.

onde MS representa a magnetização de saturação do material e H é a intensidade do campomagnético externo aplicado. Substituindo estes vetores na densidade de energia Zeeman(equação 1.12) obtém-se

ez = −MSH[sin θ sin θH cos(φ− cosφH) + cos θ cos θH ], (1.15)

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como o termo da energia de anisotropia de forma que será tratada na próxima seção fazcom que a magnetização fique no plano do filme caso o campo seja aplicado neste plano esupondo que o filme esteja localizado no plano x− z, então isto implicará em φH = 0, comoconsequência do que foi afirmado acima, φ = 0. Desta forma obtém-se nesta situação aseguinte expressão para densidade de energia Zeeman:

ez = −MSH cos(θ − θH). (1.16)

1.4 Energia de Anisotropia Magnetocristalina

No estudo teórico de materiais magnéticos uma das formas de energia que tem maiorrelevância está associada a rede cristalina do material. O termo anisotropia está relacionadoao quanto uma propriedade f́ısica depende da direção espacial que esta é analisada. No casode filmes nanométricos, a magnetização na, maioria das vezes, vai se comporta de formadistinta dependendo da direção do espaço em que se aplica o campo magnético. Todos osmateriais magnéticos possuem uma estrutura cristalina bem definida e quando a energiainterna do sistema, associada à magnetização do material, depende do eixo cristalográficotem-se uma anisotropia magneto-cristalina.

Este tipo de energia está relacionada à interação spin-órbita dos elétrons ligados aos átomosque formam a estrutura cristalina. Por isso, a dependência com a rede, onde no processo demagnetização há o surgimento de eixos fáceis de magnetização e eixos duros de magnetização,cujos nomes já indicam o fato do material ferromagnético se magnetizar facilmente ou não,simplesmente com a mudança da direção do campo magnético externo aplicado.

Devido a dependência deste termo de energia estar associado a rede do cristal, surgemcomportamentos distintos para cada estrutura, seja ela cúbica, hexagonal, tetragonal. Háalgumas formas distintas na literatura para se encontrar a expressão matemática que repre-sente esta energia de anisotropia, algumas delas se baseiam nas operações de simetria dogrupo ligado a cada rede cristalina. Isto acontece devido ao fato de algumas exigências que amagnetização tem que satisfazer, tais como, ser invariante através de uma transformação queleve eixos cristalográficos aos seus equivalentes [por exemplo os eixos (100) e (100)], porémtodas as formas no final estarão ligadas a expansão da energia em potências das componentesda magnetização ~M . Estas componentes que também indicam a direção da magnetização

~m =~M

| ~M |é dada em termos dos cossenos diretores αi ~m = (α1, α2, α3)(ver Figura 1.6):

Escrevendo em termos de coordenadas esféricas tem-se

α1 = sin θ cosφ

α2 = sin θ sinφ

α3 = cos θ (1.17)

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Figura 1.6: Representação dos cossenos diretores e da direção da magnetização[13].

onde satisfazem a seguinte relação:

α21 + α22 + α

23 = 1. (1.18)

Com isso, pode-se escrever a energia de anisotropia magnetocristalina com a seguinte ex-pansão [13]

Eani = E0 +∑i

biαi +∑ij

bijαiαj +∑ijk

bijkαiαjαk (1.19)

+∑ijkl

bijklαiαjαkαl +O(α5),

os termos de quinta ordem O(α5) tem uma dependência muito pequena em α. Por isto,a série pode ser truncada a partir deste termo.

Como já citado no presente texto, umas das operações de simetria que esta expressãodeve ter é que não existe diferença nos valores de energia entre eixos equivalentes, ou vistode outra forma não há diferença entre sistemas que simplesmente possuem magnetizaçõesopostas. Isto pode ser descrito como segue abaixo[13]

Eani( ~M) = Eani(− ~M), (1.20)

o que implica emEani(αi) = Eani(−αi). (1.21)

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Com esta condição se faz necessário fazer uma análise na paridade da função, que não podeapresentar comportamento de uma função ı́mpar. Seguindo este passo, todos os termos deordem ı́mpar da expansão em série devem ser desconsiderados. Com isto, pode-se escrever aseguinte expressão geral para representar a energia magnetocristalina

Eani = E0 +∑ij

bijαiαj +∑ijkl

bijklαiαjαkαl, (1.22)

Com esta expressão, pode-se analisar cada rede cristalina posśıvel e o tipo de anisotropia.Por exemplo, no caso da rede cúbica pode haver vários tipos de anisotropia, identificados apartir de qual seja o eixo fácil: é o caso das anisotropias (100) e (110), que serão estudadasneste trabalho. O próximo passo será a partir da Equação 1.22, escrever sua forma para auma estrutura que possua simetria cúbica, tetragonal e hexagonal e por fim falar de um tipoespećıfico, que é a uniaxial.

1.4.1 Simetria Cúbica

No caso da simetria cúbica e usando a condição E(αi) = E(−αi), os termos cruzados αiαjque aparecem na Equação 1.22 devem desaparecer, ou seja, bij = 0. Os valores do ı́ndicepara i = 1, 2, 3 são indistingúıveis para simetria cúbica. Ou seja, b11 = b22 = b33. Sendoassim, usando a relação dada por 1.18, o termo de segunda ordem fica∑

ij

bijαiαj = b11(α21 + α

22 + α

23) = b11. (1.23)

Para o termo de quarta ordem a indistinguibilidade para i, implicará em b1111 = b2222 = b3333,e b1122 = b1133 = b2233, mas pra cada termo neste caso tem-se uma repetição, por exemplopara b1122

b1122 = b2211 = b1212 = b1221 = b2112 = b2121,

ligado a cada termo deste tem-se α21α22, o que implica que este está aparecendo 6 vezes

na expansão, o mesmo racioćınio serve para b1133 e b2233, que pode ser calculado como umacombinação simples de 4 elementos agrupados 2 a 2. Com isso, o termo de quarta ordem édado por∑

ijkl

bijklαiαjαkαl = b1111(α41 + α

42 + α

43) + 6b1122(α

21α

22 + α

21α

23 + α

22α

23), (1.24)

usando a relação dos cossenos diretores abaixo

1 = (α21 + α22 + α

23)

2 (1.25)

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e calculando o segundo lado da equação

1 = α41 + α42 + α

43 + 2(α

21α

22 + α

21α

23 + α

22α

23), (1.26)

obtém-seα41 + α

42 + α

43 = 1− 2(α21α22 + α21α23 + α22α23), (1.27)

substituindo em (1.24), tem-se que∑ijkl

bijklαiαjαkαl = b1111 + (6b1122 − 2b1111)(α21α22 + α21α23 + α22α23), (1.28)

finalmente adicionando os dois termos, pode-se escrever a expressão para energia magne-tocristalina de uma rede cúbica, que terá a seguinte forma

Ecubicani = E0 + b11 + b1111 + (6b1122 − 2b1111)(α21α22 + α21α23 + α22α23), (1.29)

escrevendo K0 = E0 + b11 + b1111 e K1 = 6b1122 − 2b1111, tem-se que

Ecubicani = K1 +K2(α21α

22 + α

21α

23 + α

22α

23), (1.30)

que é a forma mais usada na literatura para representar a energia magnetocristalina deuma rede cristalina com simetria cúbica, onde os coeficientes K0 e K1 são as constantes deanisotropia magnetocristalina. Esta expressão foi obtida pela primeira vez pelo f́ısico russoAkulov no ano de 1929 [7].

1.4.2 Simetria Tetragonal e Simetria Hexagonal

Para o caso em que o sistema possui uma rede cristalina tetragonal, a diferença entre elee o sistema cúbico está apenas no caso de que a indistinguibilidade que antes era nos ı́ndices1, 2 e 3, se reduz para os ı́ndices 1 e 2. Então, seguindo estas condições, pode-se encontrar(serão omitidas as contas, por esse tipo de sistema não ser o foco deste trabalho, caso queriasaber mais sobre este tipo de simetria olhar na referência [13]) a partir da expressão (1.22)o seguinte resultado:

Etetraani = K0 +K1α23 +K2α

43 +K3(α

41 + α

42). (1.31)

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Caso o sistema possua uma rede cristalina hexagonal, realizando cálculos análogos aos dosdois sistemas anteriores, obtém-se a seguinte expressão [13]

Ehexani = K0 +K1(α21 + α

22) +K2(α

21 + α

22)

2 (1.32)

+K3(α21 + α

22)

3 +K4(α21 − α22)(α41 − 14α21α22 + α42),

É interessante notar que os sistemas tetragonal e hexagonal apresentam alguns termos comsimetria ciĺındrica, ou seja, a dependência da energia se dar somente através do ângulo θentre a magnetização e a direção do eixo z [14]. Isto é propriedade da anisotropia magneto-cristalina conhecida como anisotropia uniaxial que será analisada posteriormente.

Figura 1.7: Simetria ciĺındrica para: a) uma rede hexagonal; b) tetragonal [14].

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De modo geral, pode-se ver que todas as expressões possuem coeficientes K ′s que repre-sentam as constantes de anisotropia do material. Alguns resultados bastantes aceitos naliteratura é que [13]:

• Estas constantes dependem do material e da temperatura em que o mesmo se encontra.

• As experiências demonstram que algumas dessas constantes, por exemplo (K1 e K2),já produzem uma boa concordância entre o teórico e o experimental.

• O sinal e a razão entre as constantes determinam os eixos de fácil magnetização oupreferenciais, ou seja, as direções da rede cristalina onde a magnetização se alinhafacilmente com o campo magnético externo. Será mostrado neste trabalho que esteseixos podem ser identificados através do processo de minimização da energia.

Na tabela abaixo são mostradas as constantes de anisotropia magnetocristalina K1 e K2 parao Ferro, Nı́quel, e o Cobalto há uma temperatura de 4.2 Kelvin [13].

1.4.3 Comportamento da Anisotropia Magnetocristalina para cris-tais cúbicos

Todo o estudo do comportamento da energia magnetocristalina vai estar ligado a formacomo a magnetização de um dado material se comporta frente a um campo magnético ex-terno. Por isso, a anisotropia de uma material, pode ser analisada através das curvas demagnetização. Quando o material é submetido a um campo magnético externo os momentosmagnéticos tendem a se alinhar de forma fácil ou dif́ıcil, definindo assim os eixos fáceis eduros. No caso da rede cúbica, se um dado material tem uma direção preferencial ondeos domı́nios magnéticos saturam para valores pequenos de campo, por exemplo, a direção(100), devido a simetria cúbica, as direções (010) e (001) também serão direções em quea magnetização satura rapidamente, neste caso é dito que o material tem uma anisotropiamagnetocristalina cúbica (100). Abaixo se tem a Figura 1.9 que mostra o comportamento damagnetização para os eixos fácil, duro e intermediário para o Ferro e o Nı́quel que possuemambos simetria cúbica.

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Figura 1.8: A esquerda é mostrada a superf́ıcie de energia representando os eixos de fácil ede dif́ıcil magnetização para simetria cúbica com K1 > 0, este é o caso do bcc-Fe. A direitaé mostrado a mesma representação mas para K1 < 0, é o caso do fcc-Ni [13].

Como pode-se observar existe um eixo fácil na direção [100] para o ferro e o eixo fácilpara o Nı́quel é a direção [111]. O próximo passo será analisar como a expressão geral daanisotropia cúbica 1.30 irá ficar para os tipo (100) e (110), como será a forma da energia? Queparâmetros iram reger o sistema e como a magnetização se comportará frente à mudançadestes parâmetros? Serão vistas todas estas repostas através da análise dos mı́nimos daenergia.

17

Figura 1.9: Dependência da magnetização com o campo externo aplicado ~H ao longo dediferentes eixos dos cristais de Fe(figura a)) e Ni(figura b)) [15].

Direção de crescimento

Antes de analisar o comportamento de cada anisotropia se faz necessário definir o que é adireção de crescimento para um filme nanométrico ferromagnético. Todo filme nanométricoferromagnético é crescido em um substrato sobre um plano cristalino, a direção de cresci-mento é a direção perpendicular ao plano cristalino que este material é crescido. Por exemplo,a direção [100] é perpendicular ao plano cristalino (100) e a direção [110] é perpendicular aoplano cristalino (110). Quando um material é crescido, os seus átomos são lançados de ma-neira igual e organizada sobre algum plano cristalino do substrato, isto irá definir a direçãode crescimento.

De um ponto de vista teórico, pode-se visualizar o crescimento de um filme como umprocesso em que planos de átomos, perpendiculares a direção de crescimento definida, sãocortados da rede cristalina e empilhados uns sobre os outros.

18

Figura 1.10: Esquema mostrando o crescimento de um filme de um material com simetriacúbica na direção [100].



19

Os três gráficos ilustram teoricamente está ideia para as direções de crescimento [100],[110]e [111].

Anisotropia (100)

Agora pode-se escrever a Equação (1.30) para cada direção de crescimento espećıfica dasimetria cúbica. Como já foi, visto a energia foi dada em função dos cossenos diretores, ouseja, esta expressão está no final das contas em função dos eixos do cristal. Devido a isso,quando se calcula o caso (100) os eixos do filme estão na mesma direção dos eixos do cristal,mas no caso (110) e (111) o sistema muda e a expressão precisa passar por uma transformaçãopara o novo sistema de eixos. No caso da direção de crescimento (100), pode-se escrever

α1 = sin θ cosφ α2 = sin θ sinφ α3 = cos θ (1.33)

substituindo em (1.30) obtém-se (o termo K0 será omitido, já que não possui dependênciaangular e a energia é medida através de variações.)

Ecubicani = K1(sin4 θ cos2 φ sin2 φ+ sin2 θ cos2 θ cos2 φ+ sin2 θ cos2 θ sinφ). (1.34)

Nos casos que serão analisados, devido ao termo de anisotropia de forma, quando um campomagnético externo é aplicado no plano do filme, a magnetização tende a ficar no plano dofilme. Na Figura 1.13 tem-se a representação de um filme localizado no plano x− z

Figura 1.13: Esquema mostrando o filme localizado no plano x− z.

20

No caso da Figura 1.13, pode-se ver que o ângulo φ = 0 e θ é o ângulo entre a magnetizaçãoe o eixo z. Usando estas condições e algumas identidades trigonométricas, a expressão final,que representa o comportamento da energia magnetocristalina para um filme nanométricocom simetria cúbica (100) situado no plano x − z(direção de crescimento [010])[16], é dadapor:

Ecubicani =K14

sin2(2θ). (1.35)

O gráfico 1.14 representa com comportamento desta energia em função do ângulo θ.

Figura 1.14: Comportamento angular da energia magnetocristalina para a direção de cres-cimento (010).

A partir da Figura 1.14, pode-se ver quem são os eixos fáceis e duros a partir dos pontoscŕıticos. Se para um dado ângulo a energia possui um mı́nimo, isto indica um eixo fácil e nocaso de máximo tem-se um eixo duro. Assim pode-se ver que os eixos fáceis correspondemaos ângulos θ = 0◦, θ = 90◦, θ = 180◦ e θ = 270◦, enquanto os eixos duros correspondem aθ = 45◦, θ = 135◦, θ = 225◦ e θ = 315◦.

Anisotropia (110)

Analisando agora a direção de crescimento [110] surge um problema a mais, pois os eixosdo filme são distintos dos eixos do cristal. Por isso, tem-se dois sistemas de coordenadas.Será chamado de sistema sem linha o sistema ligado aos eixos do cristal e sistema com linhao sistema ligado aos eixos do filme. Como está representado na Figura 1.15.

21

Figura 1.15: Representação do plano (110) e os dois sistemas com linha e sem linha, ligadosaos eixos do filme e do cristal respectivamente.

O objetivo principal aqui é escrever a Equação 1.30 no sistema sem linha e reescrever nosistema com linha. Para isso, se faz necessário escrever a relação entres os dois sistemasusando as componentes da magnetização ~M escritas com relação aos eixos do cristal e aoseixos do filme.

Primeiramente escrevendo o vetor unitário M̂ que representa a direção da magnetizaçãocomo M̂ = α1x̂+α2ŷ+α3ẑ e também como M̂ = α

′1x̂′+α′2ŷ

′+α′3ẑ′. Tanto o conjunto x̂,ŷ e

ẑ, quanto o conjunto x̂′, ŷ′ e ẑ′, são ambos bases ortogonais. Escrevendo o vetor M̂ na basedo sistema sem linha e utilizando a definição de cosseno diretor e as transformações dadasna Figura 1.15, pode-se encontrar as seguintes relações:

α′1 = x̂′ · M̂ = ẑ · (α1x̂+ α2ŷ + α3ẑ) = α3 (1.36)

α′2 = ŷ · M̂ =1√2

(α1 + α2)

α′3 = ẑ′ · M̂ = 1√

2(−α1 + α2).

Fazendo uma inversão nas relações acima para escrever α1,α2 e α3 em termos de α′1,α′2 e

22

α′3, obtém-se

α1 =1√2

(α′2 − α′3) (1.37)

α2 =1√2

(α′2 + α′3)

α3 = α′1.

Usando as relações acima e substituindo na Equação 1.30, encontra-se a expressão paraenergia de anisotropia magnetocristalina cúbica (110) em termos do sistema com linha li-gado aos eixos do filme,

Ecubicani = K1

(α′2

4

4+α′3

4

4+ α′1

2α′32 − α

′2

2α′32

2

).

(1.38)

Escrevendo os cossenos diretores e colocando o fato de que magnetização não sai do planodo filme, com φ = 0 obtém-se, o seguinte resultado:

Ecubicani =K14

(cos4 θ′ + sin2(2θ′)). (1.39)

Na Figura 1.16 mostra-se da dependência angular da anisotropia cúbica para o caso do cres-cimento [110].Assim como no caso anterior, pode-se ver que os eixos fáceis correspondem a θ′ = 90◦ eθ′ = 90◦, os eixos intermediários a θ′ = 0◦ e θ′ = 180◦ e os eixos duros em θ′ ∼= 35◦ eθ′ ∼= 215◦.

23

Figura 1.16: Comportamento angular da energia magnetocristalina (110).

Anisotropia (111)

Neste trabalho não iremos trabalhar com a direção (111), mas por questão de completeza,daremos uma breve descrição da energia anisotrópica para esta direção. Na Figura 1.17mostra-se os vetores unitários que representam o novo sistema de coordenadas (x′, y′, z′).

Da mesma forma que foi calculado para a direção (110), encontra-se uma relação entreos cossenos diretos dos dois sistemas (com linha e sem linha) e em seguida faz-se umatransformação inversa para achar as seguintes relações:

α1 = −1√2α′1 +

1√3α′2 +

1√6α′3 (1.40)

α2 =1√2α′1 +

1√3α′2 +

1√6α′3

α3 =1√3α′2 −

√2

3α′3,

usando estas relações e substituindo na Equação (1.30) tem-se que

Ecubicani = K1

(α′1

4

4+α′2

4

3+α′3

4

4+

1

2α′1

2α′32 −√

2α′12α′2α

′3 +

√2

3α′2α

′2

3

). (1.41)

Como já foi visto a magnetização não sai da região do plano do filme, então φ′ = 0,α′1 =sin θ′, α′3 = cos θ

′ e α′2 = 0. Após algumas simplificações, utilizando relações trigonométricas,

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Figura 1.17: Representação do plano (111) e os dois sistemas com linha e sem linha, ligadosaos eixos do filme e do cristal respectivamente.

tem-se

Ecubicani =K14. (1.42)

O plano (111) possui um alta simetria. Com isso, todas as direções neste plano têm omesmo valor de energia de anisotropia cúbica. A equação (1.42) sugere este efeito já quenão tem nenhuma dependência angular. Com isso, chega-se a conclusão que um sistema comeste tipo de simetria não possui eixos fáceis, intermediários ou duros.

1.4.4 Anisotropia Uniaxial

Para finalizar toda esta discussão sobre anisotropia magnetocristalina, falta falar de umtipo que também será estudado neste trabalho. Nos casos anteriores, pode ser notado quequando foi analisada as anisotropias ligadas a uma simetria tetragonal ou hexagonal, haviao surgimento de um único eixo preferencial e a isto se denomina de comportamento de umaanisotropia dita uniaxial (depende de um único eixo). Nesta seção, se falará diretamentedeste tipo de anisotropia.

Apesar de ser o último tipo de anisotropia estudada, este é o caso mais simples. Algunsmateriais magnéticos e policristalinos quando se estuda suas curvas de magnetização é notadouma anisotropia efetiva dependente de um único eixo; diferentemente do caso, por exemplo,da anisotropia cúbica onde se tem um conjunto de eixos do tipo fáceis e duros. Neste caso,

25

portanto só há um único eixo fácil e consequentemente um eixo duro. Como já foi dito, esteé o caso mais simples de anisotropia, pois sua dependência está associada somente ao ânguloθ entre a direção da magnetização e o eixo fácil. A equação que define está forma de energiaé usualmente dada em termos do seno do ângulo θ, como [7]:

Euniani = K sin2 θ, (1.43)

onde K é a constante de anisotropia efetiva uniaxial.

Algo que deve ser mencionado aqui é que quando foi afirmado que θ é o ângulo entre o eixofácil e a magnetização, está impĺıcito que a constante K sempre é positiva, pois analisandoa equação acima com K positivo vê-se que a energia Euniani é mı́nima em θ = 0

◦, que écomportamento de eixo fácil (a origem está situada no eixo fácil). Se K fosse negativo seriaum eixo duro, então no geral o ângulo θ está localizado entre o eixo seja ele duro ou fácil,quem vai indicar qual tipo eixo será é o valor de K. No caso deste trabalho, K sempre épositivo. Com isso tem-se mı́nimo além de θ = 0◦ também em θ = 180◦ e um eixo duro oude dif́ıcil magnetização em θ = 90◦(na anisotropia uniaxial sempre o eixo duro e fácil estãodefasados em 90◦) como está representado na Figura 1.18:

Figura 1.18: Gráfico da energia de anisotropia uniaxial com o ângulo θ para K positivo.

1.5 Energia de Anisotropia de Forma

Na seção anterior para poder escrever uma equação mais simples para a densidade de ener-gia Zeeman, foi mencionado a energia de anisotropia de forma, cuja contribuição é fazer comque a magnetização permaneça no plano do filme, quando o campo magnético externo é apli-cado neste plano. Este tipo de interação tem sua origem na energia magnetostática, atravésda criação de uma campo desmagnetizante ~HD. Este, por sua vez, é originado a partir dadescontinuidade da componente ortogonal da magnetização através da superf́ıcie que deli-mita o material magnético e cujo sentido é oposto ao da magnetização. Esta descontinuidade

26

é representada pela seguinte equação [11]

σ = n̂ · ( ~M1 − ~M2), (1.44)

onde ~M1 e ~M2 representam as magnetizações de dois meios distintos, separados por umainterface com vetor normal n̂ e densidade superficial de carga magnética σ. Fisicamente, oque ocorre é o surgimento de dipolos magnéticos, que podem representados por pequenosı́mãs (como mostrado na Figura 1.5) em todo o material. Dentro do material todo polo norteé compensado por um polo sul adjacente. Porém, quando chegamos à superf́ıcie, não há maisdipolos para compensar. Por exemplo, polos nortes, surgem livres na superf́ıcie. São estespolos induzidos que criam o campo desmagnetizante [7].

Figura 1.19: Representação dos dipolos magnéticos que surgem no material e o campo des-magnetizante [12].

27

A energia magnetostática é dada através da seguinte relação entre a magnetização e ocampo desmagnetizante [11] [21]

Ema = −1

2

∫~M · ~HddV, (1.45)

está integral é calculada sobre todo o volume da amostra magnética e o 12

é um fator quecorrige o fato de a integral contar duas vezes o conteúdo energético. Na maioria dos casos asgeometrias envolvidas complica a solução desta integral, mas há casos em que as simetriasenvolvidas facilitam. Um destes casos é justamente o do plano infinito que representa o filmenanométrico de interesse para a este trabalho. Há também outros casos como o do elipsoide,o da esfera e o do cilindro infinitamente longo.

O campo desmagnetizante como o próprio nome indica age como um campo que tende aeliminar a magnetização do material, e sua equação é dada na seguinte forma

~Hd = −↔N · ~M, (1.46)

onde↔N é o tensor desmagnetizante cujas componentes vão estar ligadas à geometria e si-

metrias do material. Com isso substituindo esta expressão do campo desmagnetizante naequação da energia magnetostática tem-se que

Ema =1

2

∫~M ·

↔N · ~MdV, (1.47)

Logo, a densidade de energia magnetostática é dada por [13]

ema =1

2~M ·

↔N · ~M. (1.48)

A partir de agora será analisado o que acontece no caso do elipsoide, da esfera, do cilindro.Por último, o caso de maior interesse que é do plano infinito.

No caso do elipsoide, se os seus eixos coincidirem com os eixos do sistema de coordenadas,

o traço da matriz que representa o tensor↔N é dado por

tr(↔N) = 4π. (1.49)

Como já mostrado, as componentes do vetor magnetização ~M podem ser dadas atravésdos cossenos diretos α1, α2 e α3, o que consequentemente neste caso coincide com os ângulos

28

que a magnetização faz com os semi-eixos do elipsoide. Por fim, o tensor↔N é dado pela

seguinte matriz[13]

↔N=

N1 0 00 N2 00 0 N3

,usando estes resultados na densidade de energia magnetostática (Equação 1.48), obtém-se oseguinte resultado

ema =1

2M2S(N1α

21 +N2α

22 +N3α

23). (1.50)

Nos demais casos haverá somente uma mudança na forma do tensor. Por exemplo, no caso

da esfera o tensor↔N é dado por

↔N=

4π3 0 00 4π3

00 0 4π

3

e a densidade de energia magnetostática se torna

ema =4

3πM2S(α

21 + α

22 + α

23). (1.51)

Pela condição de normalização dos cossenos diretores tem-se que α21 + α22 + α

23 = 1 e como

consequência surge a seguinte expressão para uma esfera

ema =4

3πM2S. (1.52)

Para um cilindro infinitamente longo, o tensor↔N é dado por

↔N=

2π 0 00 2π 00 0 0

e a densidade de energia magnetostática é dada por

ema =1

2M2S2π(sin

2 θ sin2 φ+ sin2 θ cosφ), (1.53)

colocando sin2 θ em evidência, tem-se

ema = πM2S sin

2 θ. (1.54)

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Finalmente para o caso de um plano infinito que se estende por todo plano x− y o tensordesmagnetizante

↔N é dado por

↔N=

0 0 00 0 00 0 4π

,o que tem como resultado a seguinte energia magnetostática

ema = 2πM2S cos

2 θ. (1.55)

Com isso se obtém um importante resultado para o caso de filmes nanométricos que serãoabordado neste trabalho [13]. Primeiro, pelo fato da densidade de energia magnetostáticadepender diretamente de M2S, este termo predomina sobre todos os outros termos de energia.Outro resultado de grande utilidade para o presente trabalho é com relação ao mı́nimo daenergia magnetostática, que como pode-se ver acontece em θ = π

2, ou seja, a magnetização

de um filme fino tende a se orientar em alguma direção no plano do filme.

1.6 Energia de Anisotropia Magnetoelástica

A interação spin-órbita, que gera a anisotropia magnetocristalina e explica grande parte doferromagnetismo, pode produzir na rede do cristal algumas deformações. Estas deformações,por sua vez, geram um novo tipo de anisotropia pelo fato de afetar os eixos do cristal. Oefeito magnetoestictivo consiste justamente na deformação de um material ferromagnético napresença de campo magnético externo. A magnetostricção é quantificada pelo alogamentoλ = ∆l

l, onde o termo ∆l representa a variação de comprimento em alguma direção da

amostra e l representa seu comprimento inicial[12].

As deformações que um dado material pode ser submetido além de serem produzidos pelainteração dos átomos em sua estrutura interna, também podem ser criadas por uma tensãomecânica externa, que no fim irá fazer surgir direções privilegiadas de magnetização, ou seja,eixos que são favoráveis do ponto de vista energético. Resumindo, a energia magnetoelásticaexpressa a interação entre a magnetização do material ferromagnetico e sua deformação narede cristalina. A expressão geral que define a energia magnetoelástica é dada por [7][12]

Eme =

∫ ∑αβγδ

λαβγδσαβMγdV,Mδ (1.56)

onde os termos σαβ, e λαβγδ representam respectivamente o tensor de tensão mecânica eo tensor magnetoelástico. Quando um material não possui nenhuma deformação em suaestrutura cristalina, sua energia magnetoelástica nesta situação é definida como zero.

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Para o caso de um material cuja estrutura cristalina é representada por uma rede cúbica,a densidade de energia magnetoelástica é dada por

eme = −3

2λ100σ

(α21β

21 + α

22β

22 + α

23β

23 −

1

3

)(1.57)

−3λ111σ(α1α2β1β2 + α2α3β2β3 + α3α1β3β1),

onde σ é o módulo da tensão mecânica, αi são os cossenos diretores da magnetização, βirepresentam os cossenos diretores da tensão e os termos λ100 e λ111 são os valores da magne-tostricção quando a magnetização está saturada nas direções (100) e (111) respectivamente.Considerando um caso bem particular onde a magnetostricção é isotrópica, ou seja, sua de-formação não possui um direção privilegiada, o que siginifica que λ100 = λ111 = λS, onde λSé o valor da magnetostricção no estado saturado. Com estas considerações pode-se escrevera densidade de energia magnetoelástica da seguinte forma

eme = −3

2λSσ(m̂ · ûe)2, (1.58)

onde ûe representa o vetor na direção da tensão aplicada e m̂ é o vetor que indica a direção damagnetização. Na Tabela 3.4 apresentam-se alguns valores da magnetostricção de saturaçãode alguns materiais.

Figura 1.20: Valores da magnetostricção de saturação de alguns materiais [7].

Como pode-se ver de acordo com a Equação 1.58 a densidade de energia magnetoelásticapossui uma dependência com o produto de σ por λ. Como resultado pode-se analisar ocomportamento energético para identificar os eixos de fácil anisotropia com relação ao eixo

31

de tensão. Por exemplo, se o produto λσ > 0, a equação possui um mı́nimo quando oproduto escalar entre ûe e m̂ assume seu valor máximo, ou seja, há o surgimento de um eixofácil de magnetização paralelo ao eixo da tensão. Caso o produto λσ < 0, a Equação 1.58 setorna positiva, e o mı́nimo agora só acontece quando o produto escalar û e m̂ é zero, ou seja,há o surgimento de um eixo fácil de magnetização na direção ortogonal ao eixo de tensão.

Para o caso de filmes nanométricos ferromagnéticos, a medida da magnetostricção é extre-mamente complicada de ser obtida, devido ao fato do filme se aderir ao substrato impendidoque seu comprimento varie livremente. No fim a maior parte da energia magnetoelásticanos filme se dar no momento da produção da amostra, devido ao surgimento de muitastensões internas. Este fato serve de base para a maioria das explicações na literatura sobreas medidas observadas nos materiais Heusler.

1.7 Domı́nios e Paredes de Domı́nios Magnéticos

1.7.1 Domı́nios Magnéticos

Já foi visto no ı́nicio deste caṕıtulo que devido à interação de troca os materais ferro-magnéticos são caracterizados por possuirem uma interação entre os ı́mãs elementares oumomentos magnéticos de sua estrutura, ou seja, apresenta uma magnetização espontâneamesmo sem estar na presença de um campo magnético externo aplicado. Além disso, a suamagnetização de saturação depende da temperatura a qual o material é submetido, caindopara zero em um valor de temperatura bem definida para cada material ferromagnético,conhecida como temperatura de Curie. Na Figura 2.8 tem-se o gráfico de MS versus T , atemperatura de Curie corresponde ao ponto onde um material deixa de ser ferromagnéticoe passa a ser paramagnético[2].

Já foi discutido acima, que embora os momentos magnéticos devam estar alinhados naescala microscópica, é posśıvel encontrar materiais ferromagnéticos com uma magnetizaçãofraca ou até mesmo desmagnetizado. Para solucionar este problema Weiss teve que conside-rar, que através do processo de minimização da energia livre magnética, surgia nos materaisferromagnéticos pequenas regiões, distribúıdas no material com uma magnetização iguala magnetização de saturação. Estas pequenas regiões ficaram conhecidas como domı́niosmagnéticos e assim quando um material está desmagnetizado abaixo da temperatura de Cu-rie, era devido a estes domı́nios estarem dispostos de tal forma que a magnetização total énula[12].

Na Figura 1.22 têm-se duas estruturas magnéticas distintas, cujas magnetização são ambasnulas. A distribuição dos domı́nios magnéticos será diferente para cada material e dependeráda forma, estrutura cristalina, temperatura e campo ao qual está submetido, ou seja, osimples fato de se aplicar uma tensão mecânica modifica a estrutura dos domı́nios magnéticos.

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Figura 1.21: Gráfico da magnetização de saturação em função da temperatura, o ponto ondea curva toca o eixo T corresponde a temperatura de Curie.

Figura 1.22: Exemplo de estruturas de domı́nios magnéticos cuja resultante é uma magne-tização nula [2].

Os domı́nios magnéticos, de modo geral, podem ser vistos como um processo da mi-nimização da energia livre magnética, onde a maior contribuição para o surgimento dosdomı́nios se deve a energia magnetostática do material ferromagnético. Apesar da formaçãoda estrutura de domı́nios está associada à minimização da energia, há muitas formas posśıveispara os domı́nios. Por isso, nem sempre o estudo das energias, que serão tratadas aqui, ésuficiente para compreender totalmente a dinâmica dos domı́nios de qualquer estrutura, poisa matemática se torna muito complicada [5]. Por isso, para ajudar a entender a estruturados domı́nios magnéticos é fundamental observar o que acontece com a interface que separaos domı́nios conhecida como parede de domı́nio. A compreensão deste conceito gera umforma mais simples e elegante de estudar como o comportamento da magnetização é afetadopelo campo magnético externo.

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1.7.2 Paredes de Domı́nio

As paredes de domı́nio representam a zona de transição da magnetização dos domı́niosmagnéticos. Na região da parede, a magnetização sai do estado em que se encontra num dadodomı́nio e aproxima-se gradualmente da orientação da magnetização do domı́nio adjacente.As paredes de domı́nio são primeiramente classificadas pelo ângulo formado entre os vetoresque representam as magnetizações dos domı́nios adjacentes [5]. Os caso mais comuns sãoos das paredes de domı́nio de 180◦, cujas magnetização dos domı́nios adjacentes são opos-tas e as paredes de 90◦, cujas magnetização dos domı́nios adjacentes são perpendiculares,representadas respectivamente na Figura 2.3.

Figura 1.23: Classificação das paredes de domı́nio com relação ao ângulo de orientação entrea magnetização dos domı́nios adjacentes. a) Paredes de domı́nio de 180◦ e b) Paredes dedomı́nio de 90◦ [12].

As paredes de domı́nios magnéticos, além de serem classificadas com relação ao ângulo deorientação das magnetização de domı́nios adjacentes, também podem ser classificadas comrelação ao padrão de rotação dos domı́nios magnéticos dentro da parede de domı́nio. Dentrodeste contexto, temos dois tipos de classificação: as paredes de Bloch e as paredes de Néel.

As paredes de Bloch [2][5] correspondem as paredes cujo padrão de rotação dos momentosmagnéticos ocorre fora do plano dos domı́nios magnéticos adjacentes. Já as paredes de Néel[18] correspondem as paredes cujo padrão de rotação dos momentos magnéticos ocorre nomesmo plano dos domı́nios magnéticos adjacentes. As figuras 1.24 1.25 mostram o compor-tamento destes dois tipos de paredes.

O movimento das paredes de domı́nios se dá através do processo de minimização da energialivre magnética sobre a parede. A energia da parede de domı́nio está associada a soma dasenergias de troca e de anisotropias de tal forma que a configuração da parede seja um mı́nimo.O interessante é que a mudança na parede de domı́nio nem pode ser abruta demais ou suavedemais, pois se a mudança da orientação dos domı́nios fosse abruta, a densidade de energiade troca seria máxima e a densidade de energia de anisotropia seria mı́nima. Já no caso damudança na orientação fosse muito suave, a densidade de energia de troca seria mı́nima e

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Figura 1.24: Representação da estrutura interna da parede de Bloch, onde o padrão derotação dos domı́nios magnéticos ocorre para fora do plano dos domı́nios adjacentes [19].

Figura 1.25: Representação da estrutura interna da parede de Néel, onde o padrão de rotaçãodos domı́nios magnéticos ocorre dentro do plano dos domı́nios adjacentes [19].

a densidade de energia de anisotropia seria máxima. Nenhum destes dois casos representauma situação de eqúılibrio. Por isso, a espessura da parede de domı́nio é tal que o balançoenergético é favorável a estabilidade do sistema. E por fim a estabilidade é obtida quando oestado de energia sobre uma parede de domı́nio é mı́nimo.

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Caṕıtulo 2

Modelo Teórico para a Magnetizaçãoe o Processo de Minimização daEnergia

A partir de agora será analisado como se dá o processo de magnetização através da mi-nimização da energia livre magnética. Para isto, será usado métodos anaĺıtico e numéricode minimazação de energia afim de construir as curvas de histerese para materiais que pos-suam anisotropias magnetocristalinas cúbicas do tipo (100), (110) e uniaxial, no intuito dese testar o método.

2.1 Processo de Magnetização

Antes de descrever o método de calcular as curvas de histerese, se faz necessário entendero processo de magnetização, para poder construir um método que solucione o problema.

O processo de magnetização de um material ferromagnético consiste na evolução da mag-netização quando este é submetido a presença de um campo magnético externo. Os domı́niosmagnéticos e as paredes de domı́nios se rearranjam à medida que o campo tem seu valor mu-dado gradualmente. A cada novo valor, o sistema tende a estar em um estado de equiĺıbrio,que é identificado justamente quando se obtém a minimização da energia [24][9].

Já foi visto, um material ferromagnético, abaixo da sua temperatura de Curie mesmo apa-rentemente desmagnetizado, apresenta uma estrutura de domı́nios. Inicialmente é aplicadoum campo magnético externo sobre o material cuja magnetização inicial é nula. Assim, àmedida que é aumentado o valor do campo, alguns domı́nios começam a rotacionar na direçãodo campo, devido à energia Zeeman. Com isso, a magnetização sai do zero e passa aumentarjunto com o campo até todos os domı́nios estarem alinhados. A este estado de magnetizaçãose denomina de saturação magnética. Após o material estar saturado diminui-se o valor docampo magnético externo e com isso os domı́nios começam a se desordenar. Porém, quando

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o campo magnético é nulo, os domı́nios ainda estão parcialmente alinhados de tal forma quehá uma magnetização, mesmo não havendo valor de campo. O ponto que em que a curvatoca o eixo das ordenadas é conhecido como magnetização remanente. Quando se passa ainverter o sentido do campo, a magnetização de cada domı́nio se desalinham até um pontoem que a magnetização total se torna nula mesmo na presença de um campo externo. Aeste ponto onde a curva toca o eixo das abscissas, o campo é chamado de campo coercivo.Então a coercividade de um material representa a situação em que um campo aplicado anulaa magnetização deste, mesmo depois de magnetizado. À medida que o campo tem seu valoraumentado no sentido oposto, os domı́nios iram se alinhado até a magnetização do materialsaturar no sentido em que o campo se encontra. Quando o valor do campo é diminúıdoaté inverter seu sentido, a magnetização segue por outro caminho, mas simétrico à curvaanterior até saturar novamente. A esta curva se dá o nome de histerese e ela representaum fenômeno termodinâmico irreverśıvel [9][11][21][24]. A Figura 2.1 representa a curva dehisterese de um material ferromagnético na presença de campo e com estrutura de domı́niosesquematizandos para representar os respectivos estados dos pontos acima descritos.

Figura 2.1: O esquema acima mostra como a magnetização de um material magnético variaem função da intensidade do campo ferromagnético aplicado sobre ele [20].

Histerese é uma palavra grega que significa “to lag behind”, ou seja, aquilo que é deixadopara trás. No caso da curva da Figura 2.1, quando o campo é aplicado na situação emque o material se encontra desmagnetizado até a saturação e volta nos mesmos valores decampo até zero, o material não segue o mesmo caminho. Além do mais, este permanecemagnetizado quando o campo passa a ser nulo novamente, ou seja, houve uma energiaperdida neste processo. Toda a energia que se perde em todo o processo na forma de caloré numericamente igual à área dentro da curva M versus H, o que caracteriza este como umprocesso irreverśıvel [21]. Hoje a histerese é uma palavra que está ligada a qualquer processoque tem uma perda de energia ou irreversibilidade no ciclo. No caso acima, se tem o caso deuma histerese magnética.

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A largura da curva de histerese na Figura 2.2 representa a coercividade do material. elapode ser larga, o que caracteriza um material duro, ou seja, é necessário valores alto decampo magnético para poder saturar o material, já quando essa abertura é mais estreita,o material é dito macio, devido a sua saturação ser atingida para valores bem menores decampo, ou seja, um material dito duro tem um campo coercivo relativamente alto, já ummaterial é dito macio se este tem um campo coercivo relativamente baixo [24].

Figura 2.2: Curvas de histereses magnéticas t́ıpicas: a) de um material magnético duro e b)de um material magnético macio.

2.2 Método de Minimização

Existem vários métodos anaĺıticos e numéricos para o cálculo das curvas de magnetização.A maioria consiste no cálculo do estado de equiĺıbrio do sistema e se baseiam na teoriade campo médio, ou seja, a primeira aproximação que se pode fazer é substituir todas asflutuações existentes no sistema pelo valor médio. No geral, está formulação apresenta umasolução, pelo menos, em prinćıpio [22]. A Figura 2.3 dá uma ideia da teoria de campo médio.

A aplicação da teoria de campo médio, num sistema ferromagnético, consiste em substi-tuir as flutuações de todos os domı́nios magnéticos pelo seu valor médio, ou seja, os cálculossão feitos em cima do vetor magnetização ~M que engloba a contribuição de todos estesdomı́nios. Há outras formas de se calcular a curva de magnetização sem ser pela teoria decampo médio. Por exemplo, ao invés de fazer uma média, pode-se calcular o comportamentode todos os domı́nios, este tipo de método é conhecido como simulação micromagnética eela parte da equação de Landau-Lifshitz, que explica a dinâmica da magnetização. Um soft-ware livre que trabalha com este tipo de simulação é o The Object Oriented MicroMagneticFramework(oommf) [23]

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Figura 2.3: Esquema do conceito da teoria de campo médio,: a Figura a) é um sistemacom N part́ıculas e a Figura b) represemta a troca da interação de todas as part́ıculas pelopotencial médio representado por um única part́ıcula [22].

No presente trabalho foi usado a ideia da teoria de campo médio, ou seja, toda a simulaçãoé feita como se o material tivesse um vetor ~M , que representa a sua magnetização ou umúnico domı́nio(monodomı́nio). A energia a ser minimizada consiste de dois termos: a energiaZeeman e a energia de anisotropia magnetocristalina. Isto para se poder analisar a influênciados três tipos de anisotropia de interesse deste trabalho: uniaxial, (100) e (110); na formada curva de histerese. As equações que representam as energias descritas acima já forammostradas no caṕıtulo anterior. No caso da anisotropia magnetocristalina foi visto que aexpressão era dada em termos da constante de anisotropia K. Aqui se faz útil acrescentaro conceito de campo de anisotropia para simplificar a equação de energia. Desta forma, éfeita a seguinte substituição

Hani =2K

Ms(2.1)

onde Hani é o campo de anisotropia.

No estado de equiĺıbrio, a magnetização se orienta num dado ângulo que minimiza a ener-gia, ou seja, o programa em si procura o ângulo θ que faz com que a energia do sistema sejamı́nima para um dado valor de campo informado, e se mede a componente da magnetizaçãona direção do campo. No fim, o problema consiste em encontrar um método numérico quecalcule a minimização da função densidade de energia e(θ). Para isso, observe o gráfico 2.4que mostra o comportamento da densidade de energia em função do ângulo (em graus) paraum valor espećıfico de campo.

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Figura 2.4: Gráfico da densidade de energia em função do ângulo para um valor de campomagnético aplicado.

Observe que no gráfico 2.4 não há um único mı́nimo de energia. Na verdade, há mı́nimoslocais e mı́nimos globais. Este tipo de situação acontece para outros valores de campo. Sendoassim, se o objetivo é obter o mı́nimo de energia, qual o mı́nimo que deve ser computado?Imagine que a magnetização está saturada, ou seja, na mesma direção do campo aplicado esem aumentar seu valor, quando o campo tem seu valor diminúıdo gradualmente à forma dafunção densidade de energia muda. Então, quando

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Efeito Nernst An^omalo em Materiais com Anisotropia ......3.2.2 O efeito Nernst an^omalo e o material Heusler Co 2 FeAl . . . . . . . .60 3.3 Compara˘c~ao entre a Anisotropia (100)