EFOMM2008 MATEMATICA

Prova Azul - Resoluo Prova EFOMM 2007- 2008 Portugus

Questo 01

A figura acim a represent a um a caixa de present e de papelo que m ede 16 por 30 cent m et ros. Ao cort arm os fora os quadrados do m esm o t am anho dos quat ro cant os e dobrarm os para cim a os lados ( fig.01) , sej a V o volum e da caixa obtido quando os quadrados tiverem lados de comprimento x, onde D o domnio e I imagem. Considere as afirmativas abaixo: I - A caixa aps montada ter seu volume representado pela funo V(x) = 480x 92x2 + 4x3 . II - O grfico que representa V ser uma circunferncia III - O domnio da funo de V melhor representado por D = ]0,8[ IV - A imagem ser o intervalo I = [0, 500] Assinale a alternativa correta: a) Apenas a afirmativa I verdadeira. b) Apenas a afirmativa II verdadeira. c) Apenas a afirmativa III verdadeira. d) As afirmativa I e IV so falsas. e) As afirmativas I e III so falsas. RESOLUO: De acordo com os dados do problema, montamos a seguinte figura:

O volume do paraleleppedo reto- retangular dado por: V = (16 2x) (30- 2x) (x) V = (480 32x 60 x + 4x2 ) (x) V = 480x 92 x + 4x3 Sendo assim , ( I ) VERDADEIRA, ( I I ) FALSA pois t al volum e no represent a um a circunferncia. De fat o, ( I I I ) VERDADE pois x > 0 e 16 2x > 0 x < 8, D = ]0,8[. 10 10 Derivando ( I V) , obt em os pont os crt icos de V = 0 iguais a x = 12 e x . Fazendo V , pois 12 D, obt em os 3 3 Imagem maior que 500, logo FALSA. No tem alternativa

Questo 02Durant e um a visit a t urst ica ao Ver- o- Peso em Belm - Pa, alguns t urist as est avam procura do t o conhecido Aa, frut a t pica do Par, e dos prat os t picos saborosos: t acac e m anioba ext rem am ent e consum idos na regio Nort e, para degust arem . Um grupo sent ou- se a um a m esa e consum iu 9 t igelas de aa, 7 cuias de t acac e 6 prat os de m anioba t ot alizando um valor R$ 52,50. Out ro grupo, em out ra m esa, consum iu 5 t igelas de aa, 4 cuias de t acac

Prova Azul - Resoluo Prova EFOMM 2007- 2008 Portuguse 3 pratos de manioba, totalizando um valor R$ 25.00. Considerando esses valores, ento o consumo de 2 tigelas de aa, 1 de tacac e 3 pratos de manioba totaliza um valor de: a) RS 32,50. b) RS41,00. c) RS 30.50. d) RS 45,50. e) RS 50,00. RESOLUO: Sejam A : tijela de aa T : cuia de tacac M : prato de manioba Temos: 9A + 7T + 6M = 52,5 (i) 5A + 4T + 3M = 25 (ii) Queremos: 2A + 1T + 3M = ? Podemos verificar, de vrias maneiras possveis, que esta questo dever ser anulada. Subt raindo ( i) de ( ii) , encont ram os 4A + 3T + 3M = 27,5 e com o o valor de 2A + T + 3M m enor que o valor de 4A + 3T + 3M ento 2A + T + 3M < 27,5 e no h nenhuma alternativa com valores menores que R$ 27,50. E o pior, fazendo 2( ii) ( i) encont ram os A + T = - 2,5, ou sej a, com prando um a t ij ela de aa e um a cuia de t acac ganharamos R$ 2,50. Questo deve ser anulada

Questo 03Um navio, ao navegar em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B, C. O Comandante, quando o navio est em A, observa o farol L e calcula o ngulo LC = 30 . Aps navegar 4 m ilhas at B, verifica o ngulo L B C= 75 . De acordo com a representao abaixo, a distncia do farol ao ponto B :

a) 8 11 milhas b) 2 2 milhas c) 3 3 milhas RESOLUO:

d) 6 5 milhas e) 7 3 milhas


Como LBC 75 , nota- se que ALB 45 , pois 75 = 30 + 45 (ngulo externo de ABL). Usando a Lei dos Senos em ABL, vem: 4 sen45 x sen30 4 2 2 4 2 ALTERNATIVA: B x 1 2 x 2x 2 2

Ento

2. x

4

x

2 2 milhas

Questo 04Analise as afirmativas abaixo, sendo Z I Se W C:

3i 2 2z2

6z 3iz

iz

2 2

ento podemos afirmar que W

3i 2 2z2

6 zz

iz2 | z|

3| z|

| z|

3i z

3 | z |2

II - Dado |Z- 3i|Z= 2 podemos afirmar que uma circunferncia de Centro (0,3) e raio 2. III - A forma trigonomtrica de Z = 6i Z

6 sen

2

i cos

2

IV - Sabe- se que - 1 raiz dupla do polinm io P( x) = 2x 4 + x 3 - 3x2 - x + 1. Logo, as out ras razes so nmeros inteiros. a) As afirmativas I e IV so verdadeiras. b) Apenas a afirmativa I verdadeira. c) As afirmativas II e IV so falsas. d) As afirmativas I e II so verdadeiras. e) Apenas a afirmativa II falsa. RESOLUO:Zn

( Z) n Z Z6Z 3iZ iZ2 2

III. temos:

Z = 6i lembrando que i

cis

2

I

Lembrando das propriedades ZZ3i2

Z

6 .cis

2

Z

6 cos

2

i sen

2

n 2 2Z

6Z 3iZ

iZ

2 2

3i Z 2 2Z2

Falsa IV Z

3Z

3Z

Verdadeira IIx

sendo Z = x + yi temosy 3i 2 x i( y 3) x2 (y 3) 2 2

2 1 -3 -1 1 -1 2 -1 -2 1 0 -1 2 -3 1 0 Logo (x) = (x 2)2 (2x2 3x +1) =1x 3 4 1 x 1 e x'

2x2

3x + 1 = 0

1 logo das outras duas razes 2

x 2 + (y 3)2 = 4, que representa uma circunferncia de centro (0, 3) e raio 2 Verdadeira

uma apenas inteira Falsa

Prova Azul - Resoluo Prova EFOMM 2007- 2008 PortugusALTERNATIVA: D

Questo 05Seja a P.A. a) 5- 6 RESOLUO:12

sen

12

, a, b, c, sen 75c)

. O valor de (b23 4

ac) : d) 2 - 10 e)2 35 2

b) 103

2 6

equivalente 15

2 4 2 2 r 4r 2 8

2 4

4r

sen 15 sen( 45 30 ) 12 sen (45 - 30) = sen 45 . cos 30

sen

sem 30 . cos 45

2 3 sen (45 - 30) = . 2 2sen (15) =

1 2 . 2 2

6 2 6 2 4 4 4 sen 75 = sen ( 45 + 30 ) = sem 45 . cos 30 + sen 90 . cos 45sen 75 =

a2 a3 a4

sen a2 a3

12 r r a

r 2 6 8 6 4 2 6 86 16

6 4 2 2 8 2

2 4 2 8 2 6

2 8 2 6 8 2 8 6 ,c 4

2 6 6 4

2 2 8

2

2 3 . 2 26 4 6 4 6 4

1 2 . 2 22 2 2 6 4

6 4

2 4

6 4

2

a1 a5 a5

sen

ento(b2 ac) 2 ac) 2 ac) 2 ac) 2

,b2

2 6 822 642

2

12

sen 75 a1 4r

24 2 642

6 16

2

4r

(b2 (b2 (b2

24 22 64 2 64 1 252

1 32 2 10

2

2

ALTERNATIVA: D

Questo 06Observe a figura abaixo, o raio da circunferncia menor tem 2 cm, o raio da maior tem 4cm e o lado AB do retngulo mede 9 cm. De acordo com as afirmativas abaixo, pode- se afirmar que: Dado

3 = 1,73 e

2 = 1,41 e

= 3,14

I - O lado AD um nmero que est 11 < x < 12. II - A rea do setor circular da circunferncia maior quando ngulo central for 60 um nmero x < 8. III - A rea do retngulo no ocupada 38 cm2 .


a) Apenas a afirmativa III verdadeira. b) Apenas a afirmativa II falsa. c) As afirmativas I e II so verdadeiras. d) As afirmativas II e III so falsas. e) Apenas a afirmativa I verdadeira. RESOLUO:

Dando nom es aos seguint es pont os: ( E, F, G e H) so pontos de tangncia. O centro da circunferncia de raio igual a 4 cm O centro da circunferncia de raio igual a 2 cm

OO'GJ FL2

4AB x

2AG2

6 cmJB 9 4 2 3 cm

OO' 62

IO 32

IO'2

A rea do set or circular da circunferncia m aior quando o ngulo central for 60 .r 2 A . 360 . 42 16 A . 60 360 6 Como = 3,14 A = 8,3733... II Errada pois 8,37333. > 8 A rea do retngulo no ocupada: A=A - A - A A A A A 9 .(3 3 27 3 27 3 6) . 42 4 . 22 54 16 54 1,73 e 62,8 3,14

x2

x 2 27 x 3 3 O valor da ladoAD AD AD FL 3 3 3 3 CF 2 6 LB 4

como 36

ComoAD AD

3

1,73

46,71 54

3 x 1,73 11,19

A 37,91 38 cm2 III Correta ALTERNATIVA: B

I

correta 11 < 11,19 < 12


Questo 07Analise as afirmativas abaixo: I - lima 1

a 1 a 1x

1 2 x x2

II - limx 0

k k

ek

III - limx 2

tan 2 x x 2

1

Assinale a alternativa correta: a) Apenas a afirmativa III falsa. b) Apenas a afirmativa II verdadeira. c) Apenas as afirmativas I e II so verdadeiras. d) As afirmativas II e III so falsas. e) As afirmativas I e III so verdadeiras. RESOLUO:

I - lima 1

a 1 a 11

1 21 2

Aplicando L`Hopital, temos:a a Se a 1 2 a 1 II - limx 0

1 1 1 2 1

a2

1

1 .a 2

1 2 a

1 temos : VERDADEIRA

x 1 x

k k

x x

2

ek

k k

x x

tome k-x t t t tome k 2x ex t tk 21 tk k) 2 2 k) tk 1 k) k 2 t

2x

1 x

1

2x t

1 x

(1

(1

(1

Se x 0 ento t Assim temos:2

k (em

) e k o (em

)

ek Ento

limx 0

x

k k

x x

2

ek

VERDADEIRA


III - limx 2

tan 2 x x

1

2 Aplicando LHopital, temos

limx 2

2 sec 2 2 x 1

2 sec 2

2

FALSA

Obs.: Mesmo possuindo duas alternativas iguais (C e E), essa alternativa no passvel de anulao pois a alternativa correta a letra A. ALTERNATIVA: A

Questo 08Seja A2 1 1 0 0 3 1 eB 2 4 -4 -1 0 0 3 -2 1 -1 eC 0 A.B, o resultado de c23 +c14 +c21 :

a) um nmero natural menor que 2. b) um nmero cujo sua raiz quadrada resulta em um nmero complexo conhecido como imaginrio. c) o mesmo resultado que a soma dos inversos das razes da equao x2 2x 1 = O. d) o mesmo resultado que o conjunto verdade da equao exponencial 2x+2 + 2x- 1 = 18 e) o mesmo resultado do produto dos 6 primeiros termos da P.G. (2- 1 , 2- 2 , 2- 3 , ...) RESOLUO: C23 2 L de A x 3 C de B1 0 3 x 0 3 -2 1x0 0.3 (-3) (-2)

C23 = 6 C14 1 L de A x 4 C de B2 1 1 0 x -1 0 2x1 ( 1)( 1) 0x0

C14 = 31

C21

2 L de A x 1 C de B

1 0

3 x 2 4

1x1

0.2

(-3) x 4

C21 = - 11 Logo S = C23 + C14 + C21 = 6 + 3 11 = - 2 Analisando a equao x2 2x - 1 = 0 ( 2) -1 a+b= 2 e a.b 1 1 1 1 1 a b 2 2 a b ab 1 Logo, o resultado da soma dos inversos das razes da equao x2

2x

1 = 0 - 2 que igual ao valor de S. ALTERNATIVA: C


Questo 09

Cabeo: coluna de ferro, de altura reduzida, encravada beira de um cais ou junto borda de uma embarcao, para nela se dar volta espia de amarrao conforme figura acima. A bordo de um navio em Belm , durant e um a aula de Clculo, a professora props a um grupo de alunos que calculasse a m assa, em gram as, de um cabeo. De acordo com afigura acim a, considerando a densidade do ferr o 7,8 g/cm3 e 3, a massa encontrada foi: a) 54.000g b) 421.200g c) 432.000g d) 435.000g e) 52.000g RESOLUO: Basta calcular o volume dos trs cilindros e depois multiplicar por 7,8, uma vez que todas as dimenses esto em cm. Ento: V = 2 . (200)2 . 15 + (10)2 . 60 Usando = 3, temos V = 3618000 cm3 . Com tal resultado, tem- se a massa igual a 28220400g, que um ABSURSO, frente as alternativas do problema. OBS: Para D = 40 cm, ao invs de 400 cm, teramos como soluo: 421,200g Questo anulada!

Questo deve ser anulada.

Questo 10e , onde um ngulo em radiano e i 2 que se um imaginrio puro da forma bi, onde b N, cos um nmero a) entre - 1 e 1 d) igual a 1 b) maior que - 1 e menor que O e) imaginrio puro. c) maior que 1 bem conhecida a relao cos RESOLUO: A questo tem que ser anulada por dois motivos: I - Como o prprio enunciado diz, tem que ser dado em radianos, ou seja, obtido a partir da diviso de dois nmeros reais, sendo obrigatoriamente um nmero real. II- Na Hiptese de aceitarmos o imaginrio puro teramos a funo, f( = cos = bi, b |N, da seguinte forma:b b

e

i

-i

- 1 . Dada a relao podemos concluir

f(bi) = cos bi =

2

, que uma funo delimitada, contrariando a definio da funo que limitada. Questo deve ser anulada.


Questo 11

Observe os grficos acima e assinale a alternativa correta a) a funo y A funo y A funo y4-3

3 x25x2

3 representa o grfico 03.

x representa o grfico 044 representa o grfico 02

A funo y = x b) A funo y A funo y4

representa o grfico 01

xx

3 representa o grfico 012 representa o grfico 02.

A funo y 25 x 2 representa o grfico 03 A funo y = x- 3 representa o grfico 04 c) A funo y A funo y A funo y

x

3 representa o grfico 04x 2 representa o grfico 035 representa o grfico 01

2 254 x

A funo y = x3 representa o grfico 02 d) A funo y A funo y A funo y23

x25x

3 representa o grfico 04x 2 representa o grfico 032 representa o grfico 02

A funo y = - x representa o grfico 01 e) A funo y A funo y A funo yx

x 2 representa o grfico 04 25 x 2 representa o grfico 02

2 representa o grfico 02

A funo y = x2 representa o grfico 01 RESOLUO: Observe que a raiz real da funo do grfico a1 x = 1, ou seja, f(1) = 0 a) grfico 1: y = x- 3 f(1) = 1 b) grfico 1: y c) grfico 1: y4

x

3x 5

f (1)f (1)

20 , m as f( 0) = - 1, o que im plica que esse grfico int ercept a o eixo y no pont o ( 0, -

1) , m as no isso que est represent ado no grfico L no enunciado. ( Tam bm claro que essa curva represent ada por um par de retas). d) grfico 1: y = x- 3 f(1) = 1 e) grfico 1: y = x2 f(1) = 1 Logo, o grfico 1 no representado por nenhuma dessas funes. Portanto, a questo dever ser anulada.

Questo deve ser anulada.


Questo 12[ ...] A vant agem de lidar com os logarit m os que eles so nm eros m ais curt os do que as pot ncias. I m agine que elas indiquem a alt ura de um foguet e que, depois de lanado, at inge 10 m et ros em 1 segundo, 100 m et ros em 2 segundos e assim por diante, nesse caso, o tempo (t) sempre o logaritmo decimal da altura (h) em metros.Revista Superinteressante, pg.: 86 de 2000 maio.

A partir das informaes dadas, analise as afirmativas abaixo: I - Pode- se representar a relao descrita por meio da funo: h = log t. II - Se o foguete pudesse ir to longe, atingiria 1 bilho de metros em 9 segundos. III - Em 2,5 segundos o foguete atinge 550 metros. Dentre as respostas, assinale a alternativa correta. a) Apenas a afirmativa I verdadeira. b) Apenas a afirmativa II verdadeira. c) As afirmativas I e II so falsas. d) As afirmativas I e III so verdadeiras. e) Apenas a afirmativa III falsa. RESOLUO: I Falsa, pois a equao correta seria t = logh II Verdadeira, pois 1 bilho = 109 e t = log109 t = 9s III Falsa, pois 2,5 = logh 312 m ALTERNATIVA: B h = 102,5

h

105

h = 100 10

Questo 13Em uma cert a regio, ocorreu um a infeco viral que se com port ou de acor do com a funo: N( t ) = a.2 b.t , em que N( t ) so pessoas infect adas em t dias aps a realizao do est udo; a e b const ant es reais. Sabe- se que, ao iniciar o estudo, havia 3000 pessoas infect adas e que, aps 2 dias, esse nm ero chegava a 24000 pessoas. Assinale a alternativa que representa o nmero de pessoas infectadas aps 16 horas. a) 5.000 b) 6.000 c) 7.000 d) 8.000 e) 9.000 RESOLUO: Sendo N(t) = a.2b.t Para t = 0 N(0) = a.20 = 3000 Para t = 2 N(2) = 2.4000 = 3000.2b.2 Logo 22b = 23 3 b 23

Assim N(t) = 3000. 2 2 16 t = 16 h igual a 24 N N2 3 2 3

.t

2 dia 3

= 3000.

3 2 . 2 3 2

= 6000 pessoas

ALTERNATIVA: B


Questo 14Considere a matriz A a) I2x2 b) A c) I2x2 +A d) 5 . (I2x2 + A) e) 7A RESOLUO: 0 2 A 1/ 2 00 210

1/ 2 0

. A matriz ondej 1

A j :

A2

AxA

0 2 0 2 x 1/ 2 0 1/2 0

1 0 0 1

I 2x2

A3 = A x A x A = I x A = A A4 = A x A x A x A = A2 xA2 = I x I = I Observando a seqncia expoente par I mpar10 j 1

A

A1

A1 A3 5 .A 5( A

A2 ...A 9 )

A3

...A10 ( A2 A4 ...A10 )

( A110 j 1 10 j 1

A1 A1

5I 2 x 2 I 2x2 )

ALTERNATIVA: D

Questo 15

Observe a figura acima. Nas embarcaes comum encontrarmos balastre e balaustradas, peas que limitam e do apoio aos tripulantes. Ao retirar a esfera, nota- se uma seo. Sabendo que o raio vale 6 cm, a razo entre a rea do fuso e o volume da esfera vale a) 0,5. b) 1. c) 1,5. d) 2. e) 2,5. RESOLUO: A rea de um fuso esfrico dada por4 R2 . 360

R2 . 90

. O volume da esfera dado por

4 R3 . 3

Prova Azul - Resoluo Prova EFOMM 2007- 2008 PortugusR2 . 90 4 R3 3 R2 . 3 . 90 4 R3

Ento:

A razo pedida

3 4 . 90R

120R

.

Nesse caso, tal razo depende de duas variveis, R e (ngulo didrico da Esfera). Como no est explcito o valor de , a questo dever ser ANULADA. Obs: Se a questo sugerisse a razo entre a rea do fuso para o volume da cunha especfica, teramos: 4 R2 360 4 R3 1 . 3 360 R2 270 . 90 R3 R2 90 4 R3 270 270. 90.R.

3 R

Como R = 6cm, a razo correta seria 3/6 = 0,5 (letra A) ALTERNATIVA: A

Questo 16

Em det erm inados lugares, as em barcaes de gr ande por t e no podem aproxim ar- se m uit o da cost a, por isso dispem de pequenos barcos par a t ransport ar passageiros. Analisando a figura acim a, pode- se observar que ABCDEFGH represent a um paraleleppedo ret ngulo e EFGHI J, um prism a cuj a base EHI um t ringulo ret ngulo (com ngulo reto no vrtice H e ngulo no vrtice 1 tal que sen = 3/5). A superfcie externa do barco ser pintada com um lquido im perm eabilizant e. Sabe- se que cada m et ro quadrado da em barcao necessit a de 2 lit ros desse lquido, que custa R$ 2,00. Sabendo que AB = 3m, AE = 6m e AD = 4m, quanto ser gasto na pintura? a) 208 reais b) 340 reais c) 400 reais d) 416 reais e) 520 reais RESOLUO: Basta calcular a REA total do PRISMA, EXCETO a face retangular (B C J I). 3.4 At 2( 6 . 3) 2 5.4 3.4 6.4 2 Ento

At 104 m 2 Segundo o problema cada m2 requer 2 litros de tinta e CADA litro custa R$ 2,00. Ento, a despesa ser equivalente a 4 . 104 = R$ 416,00ALTERNATIVA: D

Questo 17Um a em presa ut iliza m o- de- obra t erceirizada para carregar os cont ineres. A equipe A carrega com plet am ent e um cont iner em 20 horas; a B em 23 hor as; e a C, est ando carregado, o esvazia em 26 hor as. Se t rabalhassem as t r s equipes j unt as, o t em po aproxim ado que as t rs firm as j unt as levariam para esvaziar um cont iner com plet am ent e cheio :

Prova Azul - Resoluo Prova EFOMM 2007- 2008 Portugusa) 6 horas e 25 min b) 6 horas e 30 min. c) 7 horas e 35 min. d) 8 horas e 40 min. e) 9 horas e 10 min. RESOLUO: Considerando que o t em po gast o par a carregar container o m esm o para poder esvazi- lo ( isso no est claro no exerccio): Tempo para que A esvazie o container: 20 horas Tempo para que B esvazie o container: 23 horas Sabemos que o tempo para que C esvazie o container: 26 horas Logo, 1 1 1 1 1 23. 26 20. 26 20. 23 x 20 23 26 x 20. 23. 26 x 7,57 horas, ou seja, x aproximadamente7 horas e 35 min utos

ALTERNATIVA: C

Questo 18Num a I nst it uio de Ensino, ocorreu um a inspeo de lim peza nos set ores de esport es e no aloj am ent o dos alunos. Sabendo que o set or esport ivo dispe de um m aior nm ero de funcionrios e que cinco dest es t am bm desem penham funes no aloj am ent o, pode- se afirm ar que, com um quant it at ivo de 10 funcionrios, a som a dos possveis valores de pessoas no setor esportivo a) 10. b) 11. c) 12. d) 13. e) 14. RESOLUO: Sejam n(E) e n(A), respectivamente, o nmero de funcionrios dos setores ESPORTE e no ALOJAMENTO Temos:

n(E) > n(A) n(E A) = 5 n(E A) = 10 Com isso, segue que x + y = 5, sendo x > y e os possveis valores para x e y so: x = 5 e y = 0; x = 4 e y = 1; x = 3 e y = 2 Logo, a soma dos possveis valores de pessoas exclusivamente no setor esportivo ser 5 + 4 + 3 = 12 At eno: Essa quest o passvel de anulao, pois no enunciado est suprim ido a palavra exclusivam ent e, com o est, o correto seria 10 + 9 + 8 = 27 pessoas. Letra C, mas passvel de anulao

ALTERNATIVA: C

Questo 19Um a churrascaria cobra, num alm oo, R$ 10,00 por pessoa. Aps as 15h, esse valor cai para R$ 8,00. Est im a- se que o cust o t ot al de um alm oo sej a de R$ 6,00 por pessoa. Em cert o dia, na churrascaria alm oaram 100 pessoas; x dos quais perm aneceram at as 15h. Assinale a alt ernat iva que represent a o int ervalo de variao de x a fim de que 300

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