EL Deformacao (1)

EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 1

J. A. Figueiras

Rui Faria

Sandra Nunes

Mário Pimentel

Verificações em Serviço:

- Estado limite de deformação

Eurocódigo 2 Projeto de Estruturas de Betão

2014


Controlo da deformação

Razões para controlo da deformação:

• Evitar danos em elementos não estruturais

Verificação em serviço CONTROLO DE DEFORMAÇÃO

Danos em parede de alvenaria devido à

deformação excessiva da viga de apoio

500/la

Consola

a

a



Razões para controlo da deformação:

• Não afetar a funcionalidade e o aspeto

Deformação excessiva em pontes, prejudicando o aspeto e a zona

das juntas de dilatação a < l / 250 (aspeto)

CONTROLO DA DEFORMAÇÃO



Razões para controlo da deformação Evitar:

• Acumulação de águas pluviais em coberturas planas

• Incremento da ação variável

• Entupimento de sumidouros

• Colapso de coberturas leves





Limites de deformação:

• Reanalisar limites com o Dono de Obra

• Consultar ISO 4356 – limites de flechas em edifícios

Para não afetar o aspeto

e as condições de utilização:

Para evitar danos em elementos não estruturais, o incremento

da flecha após a instalação destes

elementos deve ser limitada:

250/la

500/la

Combinações Quase Permanentes

Combinações Quase Permanentes


Determinação das flechas por meio de cálculo


A deformada devido aos momentos fletores é obtida por dupla integração

da curvatura ao longo do elemento

csccce

1111

rrrr

• Atenção aos efeitos diferidos!

- Fluência e retração

• Atenção à fendilhação do

betão!




Efeito da fendilhação




Curvatura média: flexão simples









creff,c2

1

IE

M

r

uceff,c1

1

IE

M

r




Curvatura média

21m

11)1(

1

rrr

= 1 – b (Mcr/M)2




Efeito da fluência

A deformação total incluindo a fluência pode ser calculada utilizando

nas expressões da curvatura o módulo de elasticidade efetivo do betão.

),(1 0

cmeffc,

t

EE




Efeito da retração I

S

recs

cs

1

1/rcs - curvatura devida à retração

cs - extensão de retração livre

S - momento estático da secção de armaduras em relação ao

eixo que passa pelo centro de gravidade da secção

I - momento de inércia da secção

e - coeficiente de homogeneização efetivo (e = Es / Ec,eff)

S e I devem ser calculados para os estados 1 e 2 :

2cs1cscs

11)1(

1

rrr



Método do EC2 (mais rigoroso)

Consiste em calcular as curvaturas em várias secções ao longo do

elemento e em calcular a flecha por integração numérica



a



Teorema dos Trabalhos Virtuais aplicado ao cálculo da flecha

ii

ii

xMr

a

m

1

dxMr

a

dxMEI

Ma

m

1

1




Método simplificado do EC2

Na maioria dos casos será aceitável calcular a flecha para as

seguintes situações:

a1 - todo o elemento em estado não fendilhado (estado 1)

a2 - todo o elemento em estado fendilhado (estado 2)

21)1( aζaζa

Flecha provável:

com

2

cr1

M

Mb

Momento fletor na secção mais

condicionante para a formação da flecha



Mcr 65.58 kN.m Mcqp (meio vão)= 110

(EI)1 43433 kN.m2

(EI)2 18833 kN.m2

0.822

Calculo rigoroso EC2 Calculo simplificado EC2

x M(x) M* (x) x Mi M*i (1/r)1 (1/r)2 (1/r)m (1/r)m M*i xi (1/r)1 M*i xi (1/r)2 M*i xi

0 0.00 0.00

0.729 36.44 0.36 0.73 18.22 0.18 4.20E-04 9.67E-04 0 4.20E-04 5.57E-05 5.57E-05 1.29E-04

1.458 65.58 0.73 0.73 51.01 0.55 1.17E-03 2.71E-03 0 1.17E-03 4.68E-04 4.68E-04 1.08E-03

2.187 87.40 1.09 0.73 76.49 0.91 1.76E-03 4.06E-03 0.632 3.22E-03 2.14E-03 1.17E-03 2.70E-03

2.916 101.92 1.46 0.73 94.66 1.28 2.18E-03 5.03E-03 0.760 4.34E-03 4.04E-03 2.03E-03 4.67E-03

3.645 109.13 1.82 0.73 105.53 1.64 2.43E-03 5.60E-03 0.807 4.99E-03 5.97E-03 2.91E-03 6.70E-03

4.374 109.04 1.81 0.73 109.09 1.82 2.51E-03 5.79E-03 0.819 5.20E-03 6.89E-03 3.33E-03 7.68E-03

5.103 101.64 1.45 0.73 105.34 1.63 2.43E-03 5.59E-03 0.806 4.98E-03 5.92E-03 2.88E-03 6.65E-03

5.832 86.93 1.08 0.73 94.28 1.27 2.17E-03 5.01E-03 0.758 4.32E-03 3.99E-03 2.00E-03 4.62E-03

6.542 65.58 0.73 0.71 76.25 0.91 1.76E-03 4.05E-03 0.630 3.20E-03 2.06E-03 1.13E-03 2.61E-03

7.271 36.44 0.36 0.73 51.01 0.55 1.17E-03 2.71E-03 0 1.17E-03 4.68E-04 4.68E-04 1.08E-03

8 0.00 0.00 0.73 18.22 0.18 4.20E-04 9.67E-04 0 4.20E-04 5.57E-05 5.57E-05 1.29E-04

a= 0.032 m 0.016 0.038

a= 0.034 m

Exemplo de aplicação

Considere uma laje simplesmente apoiada de vão l=8m e uma espessura

h=0.35m (d=0.32m). A laje está sujeita a uma carga permanente gk = 11.75kN/m2

(inclui p.p.) e a uma sobrecarga qk = 5kN/m2 (2=0.4). A laje possui uma armadura

de tração 16//0.125. Pretende-se calcular a flecha para a combinação quase

permanente. Dados: C25/30, A500, Ec,eff = 10.5GPa, despreze a curvatura devido

à retração.



Método Bilinear

ac - flecha base (EIc do betão apenas)

a1 - flecha em estado 1

a2 - flecha em estado 2

considerando apenas as caraterísticas da secção

determinante D …



Flecha base



Flecha base



Flecha base



Admitem-se as seguintes simplificações:

crDcr MM

DcrD MMM

D

crD

2

cr

M

M

M

M

D

crD1M

Mζ b

logo

2

cr211

M

Mζ bb

bbb 21

varões alta aderência

do EC2

11 b

Método Bilinear



(aplicável a secções rectangulares)

t=0 t=t

flecha G (G+2Q) (c.q.p) (G+2Q)(c.q.p)

ac acG ac

a1 Ks1. acG Ks1. ac a1t=0

+ a1Gt=0

.K1.+cs Kcs1.|cs|l2/d

a2 Ks2. acG Ks2. ac a2t=0

+ a2Gt=0

.K2.+cs K cs2.|cs|l2/d

a =1-bMcrD/ MD com b=1.0 =1-bMcrD/ MD com b=0.5

a=(1-) a1+ a2 se MD>McrD

a= a1 se MD<McrD

a=(1-) a1+ a2 se MD>McrD

a= a1 se MD<McrD

Método Bilinear

t=







Controlo da deformação sem cálculo das flechas

Para relações vão/altura útil inferiores aos seguintes limites não é necessário

verificação adicional em vigas e lajes de edifícios:

0

2/3

0ck

0ck se12.35.111

ffK

d

l

0

0

ck0

ck se12

15.111

ffKd

l

Exp. (7.16)



Tradução gráfica das expressões anteriores

0.5 1.5

14

%55.01037/30C 3ck0 f

Assume-se nas expressões

anteriores que ss = 310MPa na

combinação quase permanentes


Valores básicos da relação l/d para elementos de betão

armado sem esforço normal (Quadro 7.4N) (C30/37)

Sistema estrutural K

Betão fortemente

solicitado = 1.5%

Betão levemente

solicitado = 0.5%

Viga simplesmente apoiada, laje simplesmente

apoiada armada numa ou em duas direções 1.0 14 20

Vão extremo de uma viga contínua armada numa

direção ou de uma laje armada em duas direções

contínua ao longo do lado maior 1.3 18 26

Vão interior de uma viga ou de uma laje armada

numa ou em duas direções 1.5 20 30

Laje sem vigas apoiada sobre pilares (laje

fungiforme) (em relação ao maior vão) 1.2 17 24

Consola 0.4 6 8

Nota 1: Em geral, os valores indicados são conservativos, podendo frequentemente o cálculo revelar que é possível

utilizar elementos mais esbeltos.

Nota 2: Para lajes armadas em duas direções, a verificação deverá ser efetuada em relação ao menor vão. Para lajes

fungiformes deverá considerar-se o maior vão.

Nota 3: Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem para a flecha a meio vão a uma limitação menos

exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.




Fatores de correção da relação vão/altura útil

l / d – valor limite da relação vão/altura útil a satisfazer

(l / d)* - valor dado pela expressão (7.16) ou retirado do Quadro 7.4N

lkkkdldl T*

s// s

← Correção da tensão do aço

s

310s s

s k

8.0

0.1T

k Vigas retangulares ou em T com b/bw < 3

Vigas em T com b/bw > 3

eff

7

lkl Vigas e lajes com leff > 7.0m, suportando divisórias

eff

5.8

l Lajes fungiformes com leff > 8.5m, suportando divisórias

← Correção do banzo

← Correção do vão




Definir a altura útil mínima de uma viga simplesmente apoiada nas

seguintes condições:

• Vão efetivo: leff = 7.5m

• Secção em T com b/bw = 4.0

• Suporta paredes divisórias

• Percentagens de armadura: s = 1.0%, ’s = 0.0%

• Tensão da armadura em serviço: ss = 280MPa

• Materiais: C30/37, A500




Resolução: Com base no Quadro 7.4N

A altura útil mínima a considerar:

9.05.7

0.7

0.4/8.0

1.1280

310

%0.1

172

2014/

weffT

*

s

lk

bbk

k

dl

s

5.139.08.01.117/ dl

m60.0hm56.05.13/5.7 d

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