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ELABORAÇÃO DE GRÁFICOS Gráficos adequadamente traçados fornecem uma grande quantidade de informações, de uma

maneira fácil de visualizar. A partir de um gráfico de dados experimentais pode-se encontrar outras informações, descobrir

relações entre as quantidades em análise etc. Os gráficos utilizados nos estudos de Matemática têm as escalas dos dois eixos iguais, a

variável independente grafada no eixo horizontal e a variável dependente no eixo vertical, partindo ambos os eixos do zero.

A título de lembrança, a variável independente é aquela à qual atribuímos valores. Em trabalhos de laboratório, a variável independente é aquela sobre a qual atuamos. Exemplos:

• No estudo da variação da massa específica de soluções hidroetanólicas com a concentração de etanol, esta última é a variável independente, pois preparamos as soluções e medimos a massa específica com um picnômetro, densímetro etc.

• No estudo da influência da temperatura sobre a viscosidade de um líquido, a temperatura é a variável independente.

Na realidade, em trabalhos laboratoriais nem sempre é fácil descobrir qual das variáveis é a independente. Em geral, em trabalhos experimentais existe uma grande diferença na magnitude dos dois fatores que estão sendo grafados, de tal modo que se usarmos uma escala igual em ambos os eixos, provavelmente o gráfico sairá muito longo e estreito ou curto e largo. Não necessariamente os eixos se iniciam no zero. Para que o gráfico apresente o máximo de informações desejadas, deve-se reservar o máximo de espaço para os dados em análise. Ao grafar-se dados experimentais, é costume usar o eixo maior do papel retangular para o fator com maior faixa de variação dos dados. Se, por acaso, a variável independente tiver a maior faixa de variação, deverá, então, ser grafada no eixo maior do papel.

Mencione-se, por oportuno, a existência de diversos programas computacionais para elaboração de gráficos. No entanto, é aconselhável a utilização de tais programas somente quando se tem completo domínio sobre como traçar manualmente os gráficos.

1 - REGRAS BÁSICAS PARA A CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 1.01. Identifique, se possível, a variável independente. Lembre-se: ela deverá ser locada no eixo

horizontal 1.02. Determine a faixa de variação para cada variável. 1.03. Reserve o eixo maior para a variável com a maior faixa de variação de valores. 1.04. Normalmente, use o papel com seu eixo menor servindo de base. No entanto, caso a variável

independente tenha a maior faixa de variação, gira-se o papel, ou seja, seu eixo maior passará a ser a base.

1.05. Escolha as escalas para cada eixo de modo a utilizar o máximo do papel tendo também o cuidado de escolher escalas que facilitem a leitura dos dados. Isto implica em efetuar a divisão das faixas de variação das variáveis independente e dependente pelos respectivos comprimentos dos eixos onde serão locadas.

1.06. Enumere, somente, as divisões maiores em cada eixo (ex.: de 5 em 5 cm ou de 3 em 3 cm, em papel milimetrado). Não o faça de cm em cm a fim de evitar acúmulo de dados nos respectivos eixos.

1.07. Dê nome aos eixos; caso o papel não tenha margem, reserve espaço para tal fim. 1.08. Coloque o título do gráfico. O espaço comumente utilizado é abaixo do eixo dos x ou no canto

superior direito do gráfico, se for o caso.

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1.09. Grafe os dados usando um ponto, um círculo, uma cruz ou qualquer símbolo que seja facilmente

entendido. Escreva as coordenadas dos pontos nos respectivos eixos. Após a conclusão do gráfico, apague-as vez que apenas os valores das grandes marcações devem permanecer.

1.10. Desenhe uma curva que passe intermediariamente pela maioria dos pontos grafados, sem fazer zig-zag. Use régua flexível se necessário.

1.11. As divisões dos eixos devem ter o mesmo número de algarismos significativos que as medidas. (Não se pode aumentar a precisão das medidas através do gráfico).

2 - EXERCÍCIO SOBRE ELABORAÇÃO DE GRÁFICOS A partir dos dados abaixo, obtidos em um experimento sobre a variação do volume de um gás com o inverso da pressão aplicada, trace o gráfico correspondente.

V,L (1/P), atm -1 1.250 2,50 750 1,50 500 1,00 412 0,77 350 0,71 297 0,59 150 0,30

Qual o volume do gás quando a pressão aplicada for 0,77 atm ?.

REGRESSÃO LINEAR Quando os dados obtidos em um experimento seguem uma relação linear, existem três procedimentos para determinar os coeficientes angular e linear da equação da reta que descreve o fenômeno. São eles: a) Método Gráfico b) Método das Médias c) Método dos Mínimos Quadrados.

O método gráfico é o mais simples, e é usado quando se dispõe de um número limitado de pontos (de 3 a 5), de precisão moderada. Por outro lado, o método das médias é mais tedioso, mas, fornece melhores resultados que o anterior, quando se tem seis ou mais pontos de precisão moderada. Finalmente, o método dos mínimos quadrados, que é o mais trabalhoso dos três, porém possibilita a obtenção de melhores valores para os coeficientes anteriormente mencionados. Seu uso só se justifica se dispusermos de sete ou mais pontos com boa precisão, ou seja, um coeficiente de correlação próximo a +1 ou -1.

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Segue abaixo a ilustração dos três métodos para um mesmo conjunto de dados, através do

seguinte exemplo: X Y 1,00 5,4 3,00 10,5 5,00 15,3 8,00 23,2 10,00 28,1 15,00 40,4 20,00 52,8

Figura : Variação de Y em função de X.

Calcular os coeficientes angular (m) e linear (b) da equação da reta

Y = mX + b a) Método Gráfico: do gráfico acima podem-se tomar os dois pontos sobre a reta, ou seja:

P1{X1=4,00;Y1=13,0} e P2{X2=18,00;Y2=47,8}, para os cálculos de m e b. Assim: m = (y2 - y1)/ (x2 - x1) tem-se: m = (47,8 - 13,0) / (18,00 - 4,00) m = 2,49. A partir deste valor calculamos b conforme a seguir:

b1 = Y1 - mX1 b1 = 13,0 - 2,49 x 4,00 b1 = 3,04 b2 = Y2 - mX2 b2 = 47,8 - 2,49 x 18,00 b2 = 2,98

O valor médio de b será (3,04 + 2,98)/2 = 3,01. A equação da reta será então:

Y = 2,49X + 3,01 b) Método das Médias: Este método é baseado na suposição de que a soma dos resíduos é

igual a zero, ou seja Σr = 0. Resíduo (r) é definido como a diferença entre o valor experimental de Y e o valor calculado através da expressão mX + b. Pode-se expressar matematicamente como:

r = Y - (mX + b) Para aplicar o método, dividem-se os dados em dois grupos. Isto fornece duas equações que podem ser resolvidas simultaneamente, para a obtenção de m e b. Atenção: quando o número de pares coordenados for impar, o primeiro conjunto de equações deverá sempre ter um par coordenado a mais que o segundo conjunto. Neste exemplo, tem-se, no total, sete pares coordenados; portanto, o primeiro conjunto de equações tem quatro pares, enquanto que o segundo tem três pares. Utilizando-se os dados acima, divide-se o conjunto em duas partes com 4 e 3 equações, respectivamente.

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,00,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

Y

X

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1o GRUPO 2O GRUPO 5,4 = 1,00m + b 10,5 = 3,00m + b 28,1 = 10,00m + b 15,3 = 5,00m + b 40,4 = 15,00m + b 23,2 = 8,00m + b 52,8 = 20,00m + b 54,4 = 17,00m + 4b (1) 121,3 = 45,00m + 3b (2)

A partir das equações (1) e (2) obtém-se: m = 2,50 e b + 2,98. A equação da reta será: Y= 2,50X + 2,98.

c) Método dos Mínimos Quadrados: O princípio deste método é baseado nas seguintes

suposições:.

• Os valores da variável independente estão corretos, e assim, somente a variável dependente está sujeita a medidas incorretas;

• A curva que melhor representa os dados é aquela que torna (ou faz) a soma dos quadrados dos desvios da curva um mínimo. A definição de desvio é a mesma que a de resíduo, anteriormente apresentada no método das médias.

Abstraíndo-se as demonstrações matemáticas, e supondo que x representa a variável

independente, y a variável dependente, m o coeficiente angular e b o coeficiente linear, a melhor reta é aquela para a qual

Para calcular os valores de m e b, para os dados acima mencionados, organize a seguinte tabela:

X Y X2 X.Y 1,0 5,4 1,0 5,4 3,0 10,5 9,0 31,5 5,0 15,3 25,0 76,5 8,0 23,2 64,0 185,6 10,0 28,1 100,0 281,0 15,0 40,4 225,0 606,0 20,0 52,8 400,0 1.056,0

SOMA 62,0 175,7 824,0 2.242,0

Então: m = [(62,00x175,7) –7x(2242,0)] / [(62,00)2 – (824,2) x 7] = 2,50 b = [(2242,0x62,00) – (175,7x824,0)] / [[(62,00)2 – (824,2) x 7] = 3,00 A reta será Y = 2,50X + 3,00 Comparação entre os métodos:

Coeficiente m b Método gráfico 2,49 3,01 Método das médias 2,50 2,98 Mét. Dos Mínimos quadrados 2,50 3,00

Evidentemente a incerteza no último dígito dos valores obtidos pelo método gráfico é consideravelmente maior do que os outros dois métodos.

( ) ( ) ( ) ( )∑

∑ ∑ ∑

∑

∑ ∑∑

−∑

∑−=

∑−

−=

XX

X

X n

YXXYbe

nX

XYnYXm

22

2

2

..

2

.

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INTERPOLAÇÃO LINEAR A interpolação linear consiste na determinação de um valor desconhecido entre dois valores conhecidos em uma tabela. Como exemplo utilizaremos a variação da massa específica da água com a temperatura. Um gráfico, massa específica versus temperatura mostra que a curva não é uma reta, pois apresenta uma leve curvatura. Ao fazer-se uma interpolação linear, supõe-se que o trecho da curva tomado para estudo é reto. Sejam os dados abaixo, relativos à massa específica da água, obtidos do Manual de Engenharia Química de Perry & Chilton. Determine a massa específica da água a 24,0ºC. T, ºC 20,0 24,0 25,0 ρ, g/cm3 0,998234 ρ 0,997075 Graficamente ter-se-ia:

Por semelhança de triângulos determina-se o valor de ρ, a partir das relações abaixo:

Substituíndo-se os valores numéricos na equação (1) tem-se:

[(0,998234 - 0,997075)/(25,0 - 20,0)] = [(ρ - 0,997075)/(25,0 – 24,0)] (2)

Assim, ρ = [(0,998234 – 0,997075)/(25,0 – 20,0)]x(25,0 – 24,0) + 0,997075 = 0,997307 g/cm3. A expressão geral seria ρ = [(ρ1 - ρ2)/(t2 – t1)]x(t2 – t) + ρ2 (3)

( )1BD

ED

BC

AC=

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ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Em matemática 12 é igual a 12,00. Entretanto, nas ciências experimentais 12 não é necessariamente o mesmo que 12,00. Por exemplo, quando um Químico escreve que a massa de um composto é 12g, ele quer dizer que a quantidade pesada está dentro dos limites de 11 a 13g. Quando escreve 12,00g, está indicando que a quantidade pesada se encontra entre 11,99 e 12,01g. Os algarismos necessários para expressar o resultado de um experimento, com a mesma precisão que as medidas efetuadas, são chamados ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS. Por exemplo, ao escrever que a distância entre dois pontos é 14,00cm, a medida está sendo representada por quatro algarismos significativos. Escrevendo que a distância é de 0,1400m ou 0,0001400 km, tem-se sempre quatro algarismos significativos. Observe que os zeros que precedem o algarismo 1 não fazem parte dos algarismos significativos, porque servem apenas para indicar a posição da vírgula. Os dois zeros colocados após os algarismos 1 e 4 são significativos porque indicam que a medida foi feita com precisão de um décimo de milímetro.. Desse modo, não é o número de algarismos após a vírgula que permite aquilatar a precisão da medida mas sim o número de algarismos significativos. Assim sendo, o erro efetuado numa medida depende, antes de mais nada, da escala do instrumento com o qual a medida foi efetuada. Outro exemplo: se o comprimento de um objeto foi determinado com uma régua cujas divisões são de 1 mm, a precisão da medida será ± 0,5 mm. Caso a divisão da régua seja 0,1 mm, o erro da medida será ± 0,05 mm. Finalmente, se a divisão da escala for menor ainda, por exemplo, 0,01 mm, o erro será de ± 0,005 mm. Se o volume de um líquido for medido com uma pipeta de 1ml, com 100 divisões, o erro na medida será de (0,01/2) = 0,005 ml, vez que cada divisão representa 0,01 ml. Em geral deseja-se saber até quando efetuar uma operação matemática para encontrar a resposta de um problema, ou até que casa decimal deve-se efetuar a pesagem de uma amostra. Os resultados de uma medida devem ser apresentados de tal modo que o último algarismo significativo, e apenas ele, seja incerto. Para elucidar esta dúvida, necessita-se saber o conceito de ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS bem como a PRECISÃO DOS APARELHOS e instrumentos utilizados na realização do trabalho. Vejamos algumas convenções de uso comum:

QUAISQUER ALGARISMOS (DÍGITOS) QUE REPRESENTEM UM VALOR ADEQUADAMENTE MEDIDO, DEVEM SER CONSIDERADOS SIGNIFICANTES.

Exemplo: Pesou-se 1,3546g de sacarose. Quantos algarismos significativos existem neste número? RESPOSTA: 5. O último algarismo (6) é o primeiro dígito “INCERTO”. Na realidade, a pesagem deveria ser expressa como 1,3546 ± 0,0001g.

1. ZEROS PODEM OU NÃO SER SIGNIFICATIVOS; SE O ZERO FOR UTILIZADO PARA POSICIONAR A VÍRGULA DE UM NÚMERO DECIMAL ELE NÃO SERÁ SIGNIFICANTE. SE, NO ENTANTO, REPRESENTAR UMA QUANTIDADE MEDIDA, ENTÃO SERÁ SIGNIFICANTE. Exemplo: a) Na expressão 1,32mg = 0,132cg = 0,0132dg = 0,00132g, algum dos zeros é significante?

RESPOSTA: NÃO

b) Quantos algarismos significativos existem no número 0,0132? c) Quantos algarismos significativos existem no número 4,003? d) Idem, 0,00700? e) Idem, 1,00700?

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2. EM NÚMEROS APRESENTADOS NA NOTAÇÃO EXPONENCIAL M x 10n, TODOS OS

DÍGITOS DE “M” SÃO SIGNIFICATIVOS.

Exemplo: Quantos algarismos significativos existem nos seguintes números?

a) 2 x 103 ? b) 1,25 x 104 ? c) 100 x 105 ? d) 6,023 x 1023 ?

RESPOSTA: a-1; b-3; c-3; d-4.

3. ALGUNS VALORES INTEIROS SÃO ABSOLUTAMENTE PRECISOS.

Por exemplo, um time de basquete tem 5 jogadores. Deve-se, pois, dispor de 5.040 uniformes para vestir 1.008 times de basquete.

EXERCÍCIOS

1. Diga quantos algarismos significativos existem em cada caso: a) Pesou-se 1,430g de uma substância em uma balança com precisão de centésimo de grama (0,01g). b) Um picnômetro vazio pesou 24,5450g ± 0,001g. c) 15.400 ± 50. d) Expresse 3,500 x 103 em notação aritmética.

RESPOSTAS: 1-a:3; 1-b:5;1-c:4;1-d:3500 ± 1

REGRAS ENVOLVENDO ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1 - ARREDONDAMENTO DE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Deve-se calcular o resultado de uma operação matemática com um algarismo a mais do que o número de algarismos significativos, para que se possa fazer o arredondamento final. Vejamos as regras abaixo: A - SE O PRIMEIRO ALGARISMO NÃO-SIGNIFICATIVO FOR MAIOR DO QUE 5, O ÚLTIMO

ALGARISMO SIGNIFICATIVO É AUMENTADO. SE FOR MENOR DO QUE 5, O ÚLTIMO ALGARISMO SIGNIFICATIVO NÃO VARIA.

B - QUANDO O PRIMEIRO ALGARISMO NÃO SIGNIFICATIVO FOR 5, O ÚLTIMO ALGARISMO SIGNIFICATIVO SERÁ AUMENTADO SE:

B.1 – FOR ÍMPAR B.2 – APÓS O REFERIDO PRIMEIRO ALGARISMO NÃO SIGNIFICATIVO (5) HOUVER

ALGUM ALGARISMO DIFERENTE DE ZERO, INDEPENDENTEMENTE DA POSIÇÃO EM QUE SE ENCONTRE.

Exemplo:

VALOR CALCULADO

NÚMERO DE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS DA RESPOSTA

VALOR CALCULADO ARREDONDADO

1,167 2 1,2 8,314 3 8,31 7,785 3 7,78

1,2375 4 1,238 1,23850000001 4 1,239

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2 - OPERAÇÕES MATEMÁTICAS A - ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Só se pode somar e subtrair quantidades que estejam nas mesmas unidades e com o mesmo número de casas decimais, independentemente do número de algarismos significativos de cada quantidade. A unidade comum fica a nossa escolha. Exemplo: Qual o resultado da operação 28,3g + 14,7dg + 885mg.

RESPOSTA: 30,7g, 30,7x10dg ou 30,7x103mg. B - MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO Em multiplicações e divisões o número de algarismos significativos do resultado é o menor número de algarismos significativos que ocorra em qualquer dos fatores envolvidos. Exemplo: Qual o resultado da expressão

(7,89 x 1,5 x 189,568)/(8,95 x 19,6 x 148,7) RESPOSTA: 0,086.

OBS.: 1) É óbvio que “MEDIDAS” devem ser efetuadas com significâncias semelhantes. Não

tem sentido medir um fator com 7 algarismos significativos se em algum lugar nos cálculos existem outros fatores com apenas 2 ou 3 algarismos significativos.

2) Não são levados em consideração os fatores inteiros (adimensionais) usados em operações aritméticas. Ex.: 10 x 2,32 = 23,2, o resultado apresenta 3 algarismos significativos.

gráficos_090209.doc (09/02/2009)