Eletrização Lei de Coulomb

ELETRIZAÇÃOLEI DE COULOMBLivro texto:RAMALHO JR. F. e outros. Os Fundamentos da Física. v.3. 9ª ed. São Paulo: Ed. Moderna, 2007.

Profa. Vera Rubbioli – [email protected]

1

mailto:[email protected]

1. ELETRIZAÇÃO POR ATRITO

Antiguidade: Âmbar Elektron (grego)

A explicação do fenômeno está relacionado à estrutura da matéria.

2

Instituto Educacional Im

aculada

1. NOÇÃO DE CARGA ELÉTRICA

Propriedade fundamental da matéria responsável pela força eletromagnética

próton neutron elétron

massa 1840.me 1840.me me

carga elétrica + e 0 - eme = 9,11.10-31 kg

e = 1,6.10-19 C3


aculada


Designada por e, é esta a unidade fundamental de carga. A matéria é constituída por átomos que são electricamente neutros. Cada átomo tem um pequeno núcleo, porém de grande massa, que contém prótons, cada qual com uma carga positiva, e neutrons que não possuem carga elétrica. Em torno do núcleo está um número de elétrons que iguala a carga do núcleo, no entanto negativa. As cargas elétricas no próton e do elétron são exatamente iguais e de sinais opostos. A carga do próton é e e a do elétron é -e. Todas as cargas que aparecem na natureza são múltiplas da unidade fundamental da carga, ou seja, a carga elétrica é quantizada.

4


aculada


Todas as cargas que aparecem na natureza são múltiplas da unidade fundamental da carga, ou seja, a carga elétrica é quantizada.

5


aculada


Ou seja,

Em que: n = 0, 1, 2, ...E e = 1,6.10-19 CExemplos de valores possíveis:1,6 10-19 C, 3,2.10-19 C, 4,8.10-19 CExemplos de valores impossíveis:1,2 10-19 C, 3,6.10-19 C, 5,2.10-19 C

e.nq Zn

6


aculada

1. NOÇÃO DIDÁTICA DE COULOMB

Um coulomb é a intensidade de carga de um corpo eletrizado com excesso ou falta de 6,25.1018 elétrons.

6,25.1018 = 6.250.000.000.000.000.000seis quinquilhões e duzentos e cinquenta quatrilhões.

A definição legal (SI) do coulomb é dada em função das propriedades magnéticas da corrente elétrica, e será visto no cap. 13.

7


aculada

1. ELETRIZAÇÃO POR ATRITO.

Série triboelétrica1:+ vidro lã pele de ovelha seda algodão ebonite cobre enxofre -

Série triboelétrica2:+ Pele humana seca Couro Pele de coelho Vidro Cabelo humano Fibra sintética (nylon) Lã Chumbo Pele de gato Seda Alumínio Papel Algodão Aço Madeira Âmbar Borracha dura Níquel e Cobre Latão e Prata Ouro e Platina Poliéster Isopor Filme PVC (magipack) Poliuretano Polietileno (fita adesiva) Polipropileno Vinil (PVC) Silicone Teflon -

1 - Ramalho; 2 - http://www.feiradeciencias.com.br

8


aculada

2. PRINCÍPIOS DA ELETROSTÁTICA

2.1 Princípio da atração e repulsão - Lei de Du Fay:Cargas elétricas puntiformes de mesma natureza se repelem, cargas elétricas puntiformes de natureza distinta se atraem.

Charles François de Cisternay Du Fay

(1698 – 1739)

9


aculada

EXERCÍCIO

(UNICAMP - 1991) Duas cargas elétricas Q1 e Q� 2 atraem-se, quando colocadas próximas uma da outra.

a) O que se pode afirmar sobre os sinais de Q1 e de �Q2?

b) A carga Q1 é repelida por uma terceira carga, Q� 3, positiva. Qual é o sinal de Q2?

Resposta:a) As cargas possuem sinais opostos.b) Negativa.

10


aculada

2. PRINCÍPIOS DA ELETROSTÁTICA

2.2 Princípio da conservação das cargas elétricasNum sistema isolado, a soma algébrica das quantidades de cargas positivas e negativas é constante

'2

'121 QQQQ

n

1iDepois

n

1iAntes QQ

11


aculada

3. CONDUTORES E ISOLANTES

Condutor elétrico é todo meio que permite a movimentação de portadores de cargas elétricas no seu interior: a) Primeira classe: Condutores Metálicos

12


aculada

3. CONDUTORES E ISOLANTES b) Segunda classe: Condutores Eletrolíticos

13


aculada

3. CONDUTORES E ISOLANTES c) Terceira classe: Condutores Gasosos

14


aculada


Nos metais, condutores de 1ª classe, as cargas em excesso distribuem-se pela superfície de modo uniforme ou não uniforme dependendo da geometria do corpo.

15


aculada


Nos materiais isolantes ou dielétricos as cargas em excesso se acumulam na região que surgem.

16


aculada

4. ELETRIZAÇÃO POR CONTATO (CASO PARTICULAR)

Colocando-se dois condutores esféricos idênticos em contato, a carga elétrica em excesso será dividida igualmente entre eles

17


aculada

EXERCÍCIOS PARA AULA

1. (PUC/SP – 2006) A mão da garota da figura toca a esfera eletrizada de uma máquina eletrostática conhecida como gerador de Van de Graaf. A respeito do descrito são feitas as seguintes afirmações:

I. Os fios de cabelo da garota adquirem cargas elétricas de mesmo sinal e por isso se repelem.

II. O clima seco facilita a ocorrência do fenômeno observado no cabelo da garota.

III. A garota conseguiria o mesmo efeito em seu cabelo, se na figura sua mão apenas se aproximasse da esfera de metal sem tocá-la.

Está correto o que se lê em:a) I, apenas.b) I e II, apenas.c) I e III, apenas.d) II e III, apenas.e) I, II e III.

Resposta: B

18


aculada


2. (FUVEST – 2008) Três esferas metálicas, M1, M2 e M3, de mesmo diâmetro e montadas em suportes isolantes, estão bem afastadas entre si e longe de outros objetos. Inicialmente M1 e M3 têm cargas iguais, com valor Q, e M2 está descarregada. São realizadas duas operações, na seqüência indicada:

I. A esfera M1 é aproximada de M2 até que ambas fiquem em contato elétrico. A seguir, M1 é afastada até retornar à sua posição inicial.

II. A esfera M3 é aproximada de M2 até que ambas fiquem em contato elétrico. A seguir, M3 é afastada até retornar à sua posição inicial.

Após essas duas operações, as cargas nas esferas serão cerca de:a) M1 = Q/2; M2 = Q/4; M3 = Q/4

b) M1 = Q/2; M2 = 3Q/4; M3 = 3Q/4

c) M1 = 2Q/3; M2 = 2Q/3; M3 = 2Q/3

d) M1 = 3Q/4; M2 = Q/2; M3 = 3Q/4

e) M1 = Q; M2 = zero; M3 = QResposta: B

19


aculada


aculada


3. (FUVEST 1993) Dispõe-se de uma placa metálica M e de uma esferinha metálica P, suspensa por um fio isolante, inicialmente neutras e isoladas. Um feixe de luz violeta é lançado sobre a placa retirando partículas elementares da mesma.As figuras (1) a (4) adiante, ilustram o desenrolar dos fenômenos ocorridos.

Podemos afirmar que na situação (4):a) M e P estão eletrizadas positivamente.b) M está negativa e P neutra.c) M está neutra e P positivamente eletrizada.d) M e P estão eletrizadas negativamente.e) M e P foram eletrizadas por indução.

20

Resposta: A

5. ELETRIZAÇÃO POR INDUÇÃO E ELETROSCÓPIOS

A correta explicação da eletrização por indução e do funcionamento de eletroscópios deve esperar os capítulos 3 (Potencial Elétrico) e 4 (Condutores em Equilíbrio Eletrostático).

21


aculada

ORIENTAÇÃO PARA ESTUDO

Estudar: Os itens 1 a 4 da pág. 2 a pág. 7; ler o tópico Gerador de Van de Graaf (pág. 10);

Resolver os Exercícios Resolvidos: R.1 (pág. 7) e R.2 (pág. 8) ;

Fazer os Exercícios Propostos: P.1 e P.2 – pág. 8;

Fazer os Testes Propostos: T.1 e T.4 – pág. 24 T.5 a T.7 – pág. 25

22


aculada

6. FORÇAS ENTRE CARGAS ELÉTRICAS PUNTIFORMES

Carga elétrica puntiforme: corpo eletrizado cujas dimensões podem ser desprezadas em relação às distâncias que o separam de outros corpos eletrizados.

Lei de Du Fay:Cargas elétricas puntiformes de mesma natureza se repelem, cargas elétricas puntiformes de natureza distinta se atraem.

23


aculada

7. LEI DE COULOMB

A intensidade da força de ação mútua entre duas cargas elétricas puntiformes é diretamente proporcional ao produto dos valores absolutos das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa

Em que k0 é a constante eletrostática do vácuo (1), cujo valor corresponde a 9 × 109 N.m2/C2 (2).

1 – Para outro meio dielétrico, verificar o Apêndice 1 no final da apresentação.2 – Para relembrar as Unidades de Base do SI, verificar o Apêndice 2 no final da apresentação.

221

0e dQ.Q

.kF

Terceira Lei de Newton

Charles A, Coulomb (1736 – 1806)

24


aculada

7. LEI DE COULOMB

Diagrama Fe × d

221

0e dQ.Q

.kF

A intensidade da força de ação mútua entre duas cargas elétricas puntiformes é diretamente proporcional ao produto dos valores absolutos das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa

3 – Hipérbole Equilátera: verificar o Apêndice 3 no final da apresentação.

25


aculada

EXERCÍCIO RESOLVIDO R.9 – PÁG. 17

Três pequenas esferas A, B e C com cargas elétricas respectivamente iguais a 2Q, Q e Q estão localizadas como mostra a figura:

A intensidade da força elétrica exercida por C sobre B é de 8.10-2N. Qual é a intensidade da força elétrica resultante que A e C exercem sobre B?

26


aculada

7. APLICAÇÕES DA LEI DE COULOMB

Nos exercícios de aplicações da Lei de Coulomb é utilizado a noção de equilíbrio de um ponto material.De acordo com a Primeira Lei de Newton:

"Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo e uniforme, a menos que seja obrigado a mudar seu estado por forças a ele impressas.“

Ou seja, se um ponto material se encontra em repouso, a força resultante sobre ele é nula.

4 – Revisão de Vetores: Estudar o Apêndice 4 no final da apresentação

27


aculada


Duas cargas puntiformes Q1=10-6C e Q2=4.10-6C estão fixas nos pontos A e B e separadas pela distância d = 30cm no vácuo. Sendo a constante eletrostática do vácuo k0=9.109N.m2/C2, determine:

a) a intensidade da força elétrica de repulsão;b) a intensidade da força elétrica resultante sobre

uma terceira carga Q3=2.10-6C, colocada no ponto médio do segmento que une Q1 e Q2.

c) a posição em que Q3 deve ser colocada para ficar em equilíbrio sob a ação das forças elétricas somente. 28


aculada


Duas pequenas esferas metálicas iguais são suspensas de um ponto O por dois fios isolantes de mesmo comprimento L = 0,5 m. As esferas são igualmente eletrizadas com carga Q = 1,0 mC. Sabendo-se que na posição de equilíbrio, os fios formam com a vertical ângulos de 45º, determine o peso de cada esfera. O meio é o vácuo, cuja constante eletrostática é k0=9.109N.m2/C2.

29


aculada

ORIENTAÇÃO PARA ESTUDO

Estudar: a item7 – pág. 13. ler o tópico A experiência de Coulomb – pág. 15

Resolver os Exercícios Resolvidos: Do R.4 – pág. 15 ao R.13 – pág. 19

Fazer os Exercícios Propostos: P.9, P.11, P.12 e P.13 da pág. 20

Fazer os Exercícios Propostos de Recapitulação: P.16 – pág. 22; P. 18 – pág. 23;

Fazer os Testes Propostos: T.16 (pág. 26), T. 24 e T. 25 (pág. 27) e T. 33 (pág. 29).

30


aculada

APÊNDICESApêndice 1: Constante eletrostática do meioApêndice 2: Unidades de Base do SIApêndice 3: Hipérbole equiláteraApêndice 4: Revisão de Vetores

Instituto Educacional Imaculada

31

APÊNDICE 1: CONSTANTE ELETROSTÁTICA DO MEIO

A constante eletrostática k de um meio é dada em função da constante permitividade ou permissividade elétrica do mesmo:

Em que é a permitividade elétrica do meio material, que por sua vez é dada em função da permitividade elétrica relativa do meio e a permitividade elétrica do vácuo 0. Ou seja:

..41k

0r . 32


aculada

APÊNDICE 1: CONSTANTE ELETROSTÁTICA DO MEIO

Material εr

vácuo 1ar 1,00059

alumínio 8,1 a 9,5esteatita 5,5 a 7,2

mica 5,4 a 8,7óleo 4,6

papel 4 a 6papel parafinado 2,5

plástico 3polistireno 2,5 a 2,6porcelana 6

pyrex 5,1sílica fundida 3,8

titanatos 50 a 10000vidro de cal de soda 6,9

0r .

Em que:

F/m 10×8,85 12-0

..41k

221

0re d

Q.Q.

...41F

33


aculada

volta

APÊNDICE 2: UNIDADES DE BASE DO SIAS SETE UNIDADES DE BASE

Grandeza unidade símbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente elétrica ampere A Temperatura kelvin K Intensidade luminosa candela cd Quantidade de matéria mol

mol

Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.

34


aculada

volta

O METRO 1793: décima milionésima

parte do quadrante do meridiano terrestre

1889: padrão de traços em barra de platina iridiada depositada no BIPM

1960: comprimento de onda da raia alaranjada do criptônio

1983: definição atual Fonte: ALBERTAZZI, Armando. Fundamentos de Metrologia Científica e Industrial. São Paulo: Manole, 2008.

volta

O METRO

É o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299792458 de segundo

Observações: assume valor exato para a velocidade da luz no

vácuo depende da definição do segundo incerteza atual de reprodução: 10-12 m


36


aculada

COMPARAÇÕES ...

Se o mundo fosse ampliado de forma que 10-12 m se tornasse 1 mm: um glóbulo vermelho teria cerca de 7 km de

diâmetro. o diâmetro de um fio de cabelo seria da ordem

de 50 km. A espessura de uma folha de papel seria algo

entre 100 e 140 km. Um fio de barba cresceria 2 m/s.


37


aculada

volta

O SEGUNDO

é a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de Césio 133.

Observações: Incerteza atual de reprodução: 10-15 s


38


aculada

volta

COMPARAÇÕES ... Se a velocidade com que o tempo passa pudesse

ser desacelerada de tal forma que 10-15 s se tornasse 1 s: um avião a jato levaria pouco mais de 120 anos para

percorrer 1 mm. o tempo em que uma lâmpada de flash ficaria acesa

seria da ordem de 30 anos. uma turbina de dentista levaria cerca de 60 anos para

completar apenas uma rotação. um ser humano levaria cerca de 600 séculos para

piscar o olho.


39


aculada

volta

O QUILOGRAMA

é igual à massa do protótipo internacional do quilograma. incerteza atual de

reprodução: 2.10-9 g busca-se uma melhor

definição ...


40


aculada

volta

COMPARAÇÕES ... Se as massas dos corpos que nos cercam

pudessem ser intensificadas de forma que 2.10-9 g se tornasse 1 g: uma molécula d’água teria 6.10-16 g um vírus 5.10-10 g uma célula humana 2 mg um mosquito 3 kg uma moeda de R$ 0,01 teria 4 toneladas a quantidade de álcool em um drinque seria de 12 t


41


aculada

volta

O AMPERE

é a intensidade de uma corrente elétrica constante que, mantida em dois condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular desprezível, e situados à distância de 1 metro entre si, no vácuo, produz entre estes condutores uma força igual a 2 .10-7 newton por metro de comprimento. incerteza atual de reprodução: 9.10-8 A


42


aculada

volta

O KELVIN

O kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto tríplice da água.


43


aculada

volta

A candela (cd)

é a intensidade luminosa, numa dada direção, de uma fonte que emite uma radiação monocromática de freqüência 540 . 1012 hertz e cuja intensidade energética nesta direção é de 1/683 watt por esterradiano. incerteza atual de reprodução: 10-4 cd


44


volta

O mol (mol)

é a quantidade de matéria de um sistema contendo tantas entidades elementares quantos átomos existem em 0,012 quilograma de carbono 12. incerteza atual de reprodução: 2 . 10-9 mol


45


volta

C

AS UNIDADES SUPLEMENTARES:O RADIANO

É o ângulo central que subtende um arco de círculo de comprimento igual ao do respectivo raio.

R1 rad

C = R


46


aculada

volta

AS UNIDADES SUPLEMENTARES:ÂNGULO SÓLIDO

RA

= A/R2


47


aculada

volta

O ESTERRADIANO

É o ângulo sólido que tendo vértice no centro de uma esfera, subtende na superfície uma área igual ao quadrado do raio da esfera. São exemplos de ângulo sólido: o vértice de um

cone e o facho de luz de uma lanterna acesa.)


48


aculada

volta

UNIDADES DERIVADASGrandeza derivada Unidade derivada Símbolo

áreavolumevelocidadeaceleraçãovelocidade angularaceleração angularmassa específicaintensidade de campo magnéticodensidade de correnteconcentração de substâncialuminância

metro quadradometro cúbicometro por segundometro por segundo ao quadradoradiano por segundoradiano por segundo ao quadradoquilogramas por metro cúbicoampère por metroampère por metro cúbicomol por metro cúbicocandela por metro quadrado

m2

m3

m/sm/s2

rad/srad/s2

kg/m3

A/mA/m3

mol/m3

cd/m2


volta

Grandeza derivada Unidadederivada

Símbolo Em unidade

sdo SI

Em termos dasunidades base

freqüênciaforçapressão, tensãoenergia, trabalho, quantidade de calorpotência e fluxo radiantecarga elétrica, quantidade de eletricidadediferença de potencial elétrico, tensão elétrica, força

eletromotivacapacitância elétricaresistência elétricacondutância elétricafluxo magnéticoindução magnética, densidade de fluxo magnéticoindutânciafluxo luminosoiluminamento ou aclaramentoatividade (de radionuclídeo)dose absorvida, energia específicadose equivalente

hertznewtonpascaljoulewattcoulombvolt

faradohmsiemensweberteslahenrylumenluxbecquerelgraysiervet

HzNPaJWCV

FSWbTHlmlxBqGySv

N/m2

N . mJ/s

W/AC/VV/AA/V

V . SWb/m2

Wb/Acd/srlm/m2

J/kgJ/kg

s-1

m . kg . s-2

m-1 . kg . s-2

m2 . kg . s-2

m2 . kg . s-3

s . Am2 . kg . s-3 . A-1

m-2 . kg-1 . s4 . A2

m2 . kg . s-3 . A-2

m-2 . kg-1 . s3 . A2

m2 . kg . s-2 . A-1

kg . s-2 . A-1

m2 . kg . s-2 . A-2

cdcd . m-2

s-1

m2 . s-2

m2 . s-2


volta

MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOSFator Nome do

prefixoSímbolo Fator Nome do

prefixoSímbolo

1024

1021

1018

1015

1012

109

106

103

102

101

yottazettaexapetateragiga

megaquilohectodeca

YZEPTGMkhda

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

10-21

10-24

decicentimili

micronanopico

femtoatto

zeptoyocto

dcmmnpfazy


volta

UNIDADES EM USO COM O SIGrandeza Unidade Símbolo Valor nas unidades do SI

tempo

ângulo

volumemassapressãotemperatura

minutohoradiagrauminutosegundolitrotoneladabargrau Celsius

minhd°'"

l, Lt

bar°C

1 min = 60 s1 h = 60 min = 3600 s1 d = 24 h1° = (/180)1' = (1/60)° = (/10 800) rad1" = (1/60)' = (/648 000) rad1 L = 1 dm3 = 10-3 m3

1 t = 103 kg1 bar = 105 Pa°C = K - 273,16


volta

UNIDADES TEMPORARIAMENTE EM USOGrandeza Unidade Símbolo Valor nas unidades do SI

comprimentovelocidade

massadensidade lineartensão de sistema

ópticopressão no corpo

humanoáreaáreacomprimentoseção transversal

milha náuticanó

carattexdioptre

milímetros de mercúrio

arehectareângstrombarn

tex

mmHg

aháÅb

1 milha náutica = 1852 m1 nó = 1 milha náutica por hora =

(1852/3600) m/s1 carat = 2 . 10-4 kg = 200 mg1 tex = 10-6 kg/m = 1 mg/m1 dioptre = 1 m-1

1 mm Hg = 133 322 Pa

1 a = 100 m2

1 ha = 104 m2

1 Å = 0,1 nm = 10-10 m1 b = 10-28 m2


volta

GRAFIA DOS NOMES DAS UNIDADES Quando escritos por extenso, os nomes de unidades

começam por letra minúscula, mesmo quando têm o nome de um cientista (por exemplo, ampere, kelvin, newton,etc.), exceto o grau Celsius.

A respectiva unidade pode ser escrita por extenso ou representada pelo seu símbolo, não sendo admitidas combinações de partes escritas por extenso com partes expressas por símbolo.


54


aculada

volta

O PLURAL

Quando pronunciado e escrito por extenso, o nome da unidade vai para o plural (5 newtons; 150 metros; 1,2 metros quadrados; 10 segundos).

Os símbolos das unidades nunca vão para o plural ( 5N; 150 m; 1,2 m2; 10 s).


55


aculada

volta

OS SÍMBOLOS DAS UNIDADES Os símbolos são invariáveis, não sendo

admitido colocar, após o símbolo, seja ponto de abreviatura, seja "s" de plural, sejam sinais, letras ou índices.

Multiplicação: pode ser formada pela justaposição dos símbolos se não causar anbigüidade (VA, kWh) ou colocando um ponto ou “x” entre os símbolos (m.N ou m x N)

Divisão: são aceitas qualquer das três maneiras exemplificadas a seguir:

W/(sr.m2) W.sr-1.m-2W

sr.m2


56


aculada

volta

GRAFIA DOS NÚMEROS E SÍMBOLOS Em português o separador decimal deve ser a

vírgula. Os algarismos que compõem as partes inteira ou

decimal podem opcionalmente ser separados em grupos de três por espaços, mas nunca por pontos.

O espaço entre o número e o símbolo é opcional. Deve ser omitido quando há possibilidade de fraude.


57


aculada

volta

ALGUNS ENGANOS Errado

Km, Kg m a grama 2 hs 15 seg 80 KM/H 250°K um Newton

Correto km, kg mm o grama 2 h 15 s 80 km/h 250 K um newton


58


volta

Outros enganos


59


volta


60


volta


61



62


volta


63


volta


64


volta


65


volta

APÊNDICE 3: HIPÉRBOLE EQUILÁTERA

Definição: Chama-se HIPÉRBOLE EQUILÁTERA a toda hipérbole cujos semi-eixos de medidas a e b são iguais.

222

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

ayx

1a

yx

1ay

ax

b a como

1by

ax

Fonte: Disponível via URL:<http://www.paulomarques.com.br/arq6-10.htm>

66


aculada

volta

APÊNDICE 4: REVISÃO DE VETORES Grandeza física.

No estudo da Natureza, precisamos utilizar constantemente uma linguagem matemática para descrever, entender e prever os fenômenos que nos cercam. Este estudo quantitativo é fundamental para o desenvolvimento da Ciência, confirmando, ou não, teorias e modelos científicos que estejam em teste. Para trabalharmos a Ciência de modo quantitativo, utilizamos um ou mais processos de medição aplicados àquilo que se quer estudar. Esse objeto de estudo, sujeito a um processo de medição, quer direto ou indireto, chamamos de grandeza física.

Grandeza física escalar. Ao se determinar uma grandeza física, pode ser necessária a

associação de uma unidade a um valor numérico. Estas grandezas físicas, que são determinadas somente pela intensidade (intensidade = valor numérico + unidade), são chamadas de grandezas físicas escalares. Por exemplo: temperatura, massa, pressão e tempo.

67


aculada

volta

APÊNDICE 4: REVISÃO DE VETORES

Grandeza física vetorial.Quando for necessário acrescentar uma orientação espacial à intensidade de uma grandeza física, temos o que chamamos de grandeza física vetorial. Por exemplo: deslocamento, velocidade, aceleração e força.A orientação espacial será fornecida através de uma direção e de um sentido. Assim sendo, uma grandeza física vetorial será determinada pela associação de uma intensidade (valor numérico + unidade) e uma orientação espacial (direção e sentido) e será representada por um novo artifício teórico (matemático) denominado vetor.

68


aculada

volta

APÊNDICE 4: REVISÃO DE VETORESA representação do vetor é dada por um segmento de reta orientado.

Para se definir uma direção é necessário construir uma reta.

Uma reta apresenta uma direção69


aculada

volta


A direção de uma grandeza física vetorial é dada pela direção da reta suporte do segmento de reta orientado.

Para se determinar um sentido é necessário definir um segmento de reta orientado.

É possível escolher entre dois sentidos numa reta.70


aculada

volta


O sentido da grandeza física vetorial é indicado pelo segmento de reta orientado.A intensidade da grandeza física vetorial é dada pelo tamanho do segmento de reta orientado que constitui o vetor.No caso de um vetor ser citado num texto, sobre seu nome deverá ser colocada a seguinte notação: . Por exemplo: (Leia-se: o vetor “vê”).Já a representação do valor numérico de um vetor é chamada de módulo de um vetor ou norma.Sua notação matemática pode ser dada de duas maneiras:Por exemplo: ou

V

km5D

km5D 71


aculada

volta

A ADIÇÃO DE VETORES.

Muitas vezes se têm o interesse em substituir, na análise de um problema, dois ou mais vetores por um único que efetue os mesmos efeitos, ou que represente corretamente determinada situação física. Esse vetor substituto é chamado vetor resultante.

72


aculada

volta

EXEMPLO: DESLOCAMENTO RESULTANTE.

Vamos imaginar que um naufrago resolve nadar 3 km numa direção e depois nada mais 4 km noutra direção, perpendicular à primeira. Qual seria o módulo do seu deslocamento total?

73


aculada

volta

RESOLUÇÃO DO EXEMPLO

O Teorema de Pitágoras nos permite encontrar o módulo do deslocamento total.

Note que o vetor representa o deslocamento total em relação à posição inicial, mostrando sua direção, sentido e intensidade.

km5D

25D

169D

43D

DDD

T

2

T

2

T

222

T

2

2

2

1

2

T

74


aculada

volta

ADIÇÃO DE VETORES PELA REGRA DA LINHA POLIGONAL.

Este novo elemento matemático, vetor, que está sendo apresentado, possui regras próprias para operações elementares. Você deve estar acostumado a adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números; agora teremos que aprender a adicionar e subtrair vetores. Ao definirmos a adição de dois vetores levaremos em consideração o exemplo anterior.Para somar dois, ou mais vetores, construímos uma linha poligonal emendando a origem de um vetor à extremidade de outro vetor e assim sucessivamente, até o último vetor. Então, liga-se a origem do primeiro à extremidade do último vetor para se obter o vetor resultante. 75


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EXEMPLO

Dados os vetores representados na figura seguinte, pede-se determinar o módulo do vetor resultante.

76


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A norma do vetor resultante é 8 u.

77


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EXEMPLO

Dados os vetores , encontre, em cada caso abaixo, o módulo do vetor , em que . Sabe-se que: a) Os vetores têm mesma direção e sentido. b) Os vetores têm mesma direção e sentidos opostos.c) Os vetores têm mesma direções perpendiculares.

y e x

s

yxs

4uy e 3ux

78


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a) Somam-se os módulos dos dois vetores:

u7s

43s

yxsyxs

79


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volta


b) Subtrai-se o módulo do menor vetor do módulo do maior vetor:

u1s

34s

xysyxs

80


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volta


c) Aplica-se o Teorema de Pitágoras:

u5s

25s

169s

43s

yxs

yxs

2

2

222

222

81


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volta

RESUMINDO

Para cada situação o cálculo do módulo ou da norma do vetor foi feito de um modo diferente. A operação vetorial sempre foi a mesma!

u7s

43s

yxsyxs

u5s

25s

169s

43s

yxs

yxs

2

2

222

222

u1s

34s

xysyxs

82


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A REGRA DO PARALELOGRAMO

Podemos utilizar uma regra para a adição de vetores, que permite calcular a intensidade do módulo do vetor resultante de qualquer soma de dois vetores: a regra do paralelogramo.

83


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A REGRA DO PARALELOGRAMOColocamos os dois vetores com as origens juntas, e desenhamos um paralelogramo, cuja diagonal, que passa entre os vetores, dá a direção do vetor resultante.

Demonstra-se que: cos.B.A.2BAS222

84


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MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR.

Dado um vetor e o vetor em que n é um número real, temos:Quanto à orientação espacial:Se n > 0 têm mesma direção e sentido.Se n < 0 têm mesma direção e sentidos opostos.Quanto à intensidade:

A

A.nB

B e A

B e A

A.nB

85


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SUBTRAÇÃO DE VETORES

Subtrair o vetor do vetor é equivalente a somar ao vetor o vetor oposto ao vetor

, ou seja,

Demonstra-se que:

B

A A

B

)B(ABA

)B(ABAD

cos.B.A.2BAD222 86


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volta

DECOMPOSIÇÃO DE VETORES

Na adição de dois vetores substituem-se dois ou mais vetores por um único que o represente. Aprenderemos, agora, o processo inverso, ou seja, partindo de um único vetor, iremos substituí-lo por dois vetores que o represente. Esse processo é chamado decomposição de vetores.Exemplo: Um homem quer descansar numa rede velha, mas não forçar muito a mesma. Então, como deveria amarrá-la ? De modo que ficasse o mais esticada possível ou menos esticada? 87


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Quanto maior forem as intensidades das forças exercidas pelas palmeiras sobre a rede maior será a probabilidade dela se partir. As forças que as palmeiras exercem sobre a rede, equilibram a força exercida pelo homem.

88


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Note que quanto maior for o ângulo entre as forças exercidas pelas palmeiras, maior terá que ser a intensidade da força aplicada por cada palmeira sobre a rede, a fim de equilibrar a força exercida pelo homem, que tem mesma intensidade da sua força peso.Logo, para se ter as forças que seguram a rede com intensidade mínima, deve-se mantê‑la o menos esticada possível.

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DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM COMPONENTES QUAISQUER.

Note que um vetor pode ser a resultante da soma de infinitos vetores. A figura abaixo mostra alguns exemplos:

90


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DECOMPOSIÇÃO DE VETORES EM COMPONENTES ORTOGONAIS.

Quando as componentes de um vetor fazem, entre si, 90o, são chamadas “componentes ortogonais do vetor ”. Contudo, mais uma vez, temos um caso de infinitas respostas. Existem infinitos pares de vetores ortogonais que somados dão o vetor .

Contudo, pode ser interessante encontrar um par de vetores em particular.Quando se fornece duas direções perpendiculares e pede-se o par de vetores, que somados dão o vetor, encontra-se somente um par de vetores.

91


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Quais são os vetores , nas direções dadas pelos eixos y e x, que somados dão o vetor ?

B e A

S

92


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TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Considere:

93


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Note que esse vetor faz com o eixo x um ângulo . Podemos decompô-lo utilizando a trigonometria do triângulo retângulo.

S

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Eletrização Lei de Coulomb