eletromagcap2

Eletromagnetismo I Prof. Dr. Cludio S. Sartori CAPTULO II - Campo Eltrico

Condutores e Isolantes: Em alguns materiais, como aos metais, algumas das cargas n livremente. Chamamos es Em outros materiais, com o, as cargas no podem mamos de isolantes ou n A estr tomos so

responsveis ndutores e isolantes. Os ositivas, os prtons, cargas s negativas, os eltrons. Os ompactados no ncleo centr o. Quand or, como o

cobre, ficam ju alguns dos eltrons no f tornam-se livres para perc tes eltrons de eltrons de um isolante. Chama

formados por saqueles matecondutores e isassumir nveis atmica de Bohdiz que os eltrQuando dois qumica, os nvos campos dosnmero de sutomos, originprximos, denodessas bandas material. Figura

slido semiconduto Nos

proibida de eneconduo (gap

(1eV = 1,6.10-19J). Nos materiais condutores, no h essa separao.

Nos materiais semicondutores, essa separao da ordem de 1 eV, de modo que alguns eltrons podem ser promovidos da banda de valncia para a banda de conduo. Os tomos de Si, C e Ge possuem 4 eltrons na ltima camada, formando entre si ligaes covalentes e tetravalentes. Quando essas ligaes num cristal desse material (Si, C ou Ge) so quebradas pela energia trmica dos eltrons a temperatura ambiente, surge os eltrons livres na banda de conduo, gerando uma densidade de eltrons livres n, e aparecem buracos (ausncia de eltrons na ligao) que geram a densidade de buracos p. Quando n = p denominamos de semicondutor intrnseco. A concentrao n.p depende da temperatura:

2

E > 6 eV

Isolante egativas podem se mover ses materiais de condutores.o o vidro, borracha e plsticse mover livremente. Chao-condutores utura e natureza eltrica dos pelas propriedades dos cotomos consistem de cargas p neutras, os nutrons e carga prtons e os nutrons esto cal e os eltrons orbitar o ncleo os tomos de um condutntos para formar um slido

icam presos ao ncleo, masorrer o slido. Chamamos es14

conduo. H poucos eltrons livres em

-se de semicondutores, materiais ilcio e germnio (Si, Ge), por exemplo, riais que so intermedirios entre olantes. Os eltrons num tomo s podem de energia discretos, obedecendo a Teoria r e o princpio da excluso de Pauli, que

ons possuem nmeros qunticos distintos. tomos se aproximam em uma ligao eis se sobrepem devido interao entre dois tomos. Em um cristal, o grande perposio dos nveis de energia dos a um contnuo de nveis de energia minado banda de energia. A configurao de energia determinar a natureza do

1 Representao das bandas de energia em um r, isolante e condutor.

materiais isolantes, h uma regio rgia que separa as bandas de valncia e de ), da ordem de valores maiores que 6 eV

pnTni

=)( O avano da microeletrnica se deve ao

grande desenvolvimento que das ltimas dcadas nos materiais semicondutores, com a descoberta que pode-se controlar o nmero de eltrons livres n ou de buracos p, inserindo-se tomos dopantes na rede cristalina do material semicondutor. Tabela I Tipos de tomos doadores e aceitadores.

Dopantes Tipo tomos Funo

Doadores n

Com 5 eltrons na ltima camada: P,As, Sb

Aumenta n e reduz p

Aceitadores p

Com 3 eltrons na ltima camada: B,Ga, In

Aumenta p e reduz n

Os circuitos integrados, por exemplo, so

constitudos por milhares de diodos e transistores, estes por sua vez so fabricados por materiais semicondutores construdos a base dos elementos silcio e germnio.

Banda de conduo

Finalmente temos os materiais supercondutores, assim chamados pelo fato de no haver resistncia eltrica ao movimento de cargas eltricas atravs desses materiais. Quando as cargas eltricas se movem em um material, dizemos que ele est sendo atravessado por uma corrente eltrica. Naturalmente, os materiais possuem certa resistncia passagem de corrente eltrica. Por exemplo, o fio usado em dispositivos eletrnicos um bom condutor de corrente eltrica, mas ainda assim apresenta certa resistncia eltrica. Em um supercondutor a resistncia eltrica nula. Por exemplo, se voc dispusesse de um material supercondutor na forma de um anel e fizesse passar

E 6 eV

Banda de valncia Semicondutor Condutor


15

uma corrente eltrica por ele, esta ir atravess-lo indefinidamente, sem a necessidade de uma bateria eltrica para mant-la. A supercondutividade foi descoberta em 1911 pelo fsico holands Kammerlingh Onnes, que observou que mercrio slido perde sua resistncia eltrica completamente a temperaturas inferiores a 4,2 K. At 1986, a supercondutividade estava limitada a pouca utilidade prtica, pois at ento havia o conhecimento de que os materiais que se tornavam supercondutores necessitavam de uma temperatura abaixo de 20 K. Nos anos recentes, novos materiais supercondutores foram descobertos a temperaturas superiores, dando possibilidade de uma nova era de aplicaes.

Condutores esfricos: Se um excesso de carga colocado em um material condutor esfrico, esta carga distribuda uniformemente na superfcie externa do condutor. Por exemplo, ao colocarmos uma quantidade de eltrons em uma casca esfrica condutora, estes eltrons se repeliro uns aos outros se distribuindo uniformemente sobre a superfcie esfrica externa.

Princpio da conservao da carga: Benjamin Franklin pensava que a carga eltrica era um fluido contnuo, como o ar e a gua, por exemplo. Hoje sabemos que a matria composta de certa quantidade de tomos: ela discreta. Assim ocorre com a carga eltrica. Experimentos mostram que a carga eltrica discreta, que toda carga eltrica pode ser escrita como:

q ne n e C= = = ; , ,..., , .1 2 1 6 10 19 Aqui e denominada de carga eltrica elementar, uma importante constante da natureza. de fundamental importncia o princpio da conservao da carga eltrica: Num sistema eletricamente isolado, a soma algbrica das cargas negativas e positivas se mantm constante. A tabela a seguir mostra algumas propriedades das trs partculas elementares de um tomo.

Tabela II Dados das partculas que constituem o tomo.

Nome S Q Massa me = 9 1110 31, . kg

Momento angular=

2 Eltron e -1e 1 1/2 Prton p 1e 1836.15 1/2

Nutron n 0 1836.68 1/2

Quando uma quantidade fsica, como a carga eltrica, assume valores discretos, dizemos que esta quantidade quantizada. A matria, a energia e momento angular so quantidades quantizadas. Por exemplo, em um bulbo de uma lmpada de 100 W, em torno de 10 elementos de carga entram e deixam o bulbo a cada segundo.

19

Exemplo 1 - Um material de Cobre de 3,11 g contm igual quantidade de cargas positivas e negativas. Qual a magnitude da quantidade de cargas positivas neste material? Qualquer tomo neutro possui uma quantidade Ze de prtons e uma quantidade Ze de eltrons, onde Z seu nmero atmico. Assim, a quantidade de carga no material o produto de NZe, onde N o nmero de tomos no material e e a carga eltrica elementar. Sendo M a massa molar do Cu (M=63,5 g/mol) teremos:

N N mMA

= = =6 02 10 3 1163 5

2 95 1023 22, . . ..

, . tomos. Sendo o nmero atmico do Cu Z=23:

q NZe C= = =( , . ).( ).( , . )2 95 10 29 1 6 10 13700022 19

A Conservao da carga eltrica: Se voc esfregar uma haste em um tecido, medidas mostram que as cargas positivas se acumularam na haste e as negativas no tecido. Isto sugere que no h criao da carga, porm uma transferncia da mesma. Essa hiptese de conservao da carga foi colocada pela primeira vez por Benjamin Franklin. Um exemplo de fenmeno que envolve a conservao da carga: o decaimento do urnio, no qual um ncleo se transforma espontaneamente em outro tipo de ncleo. Por exemplo, o 238 , ou urnio 238, o qual encontrado, pode decair emitindo uma partcula alfa: e transformando-se em trio 234:

U

238 234 4U Th He + Outro exemplo de conservao da carga o que acontece quando um eltron (e ) encontra sua anti-partcula, o psitron (e ) , cuja carga +e, dando origem a dois raios gama de alta energia:

+

e e ++ + Este processo chamado de aniquilao.

Exerccios:

1) Qual a fora eletrosttica entre duas cargas de 1C separadas por uma distncia de: a) 1 m. b) 1 km


16

2) Uma carga puntiforme de 3 00 10 6, . C est a 12cm de uma outra carga puntiforme de 1 5 10 6, . C . Calcule a magnitude da .fora sobre cada carga. 3) Qual deve ser a distncia entre as cargas puntiformes q C q1 226 0 47 0= = . ; . C para que a fora entre elas seja de 5.7 N? 4) Em um dispositivo luminoso, uma corrente de flui durante 20ms. Qual a quantidade de carga que a atravessa?

2 5 104, . A

5) A figura ilustra trs cargas puntiformes, de intensidades q q q1 2 3 20= = = C , e o valor de d 1,5m.

a)

d

q

q

1

2

q1

q2

q3

d

d

d

a) Encontre a fora eltrica sobre a carga q1 em cada caso. 6) Porque experimentos em eletrosttica no se realizam muito bem emdias hmidos? 7) As cargas q1 e q2 e q3 esto alinhadas nas posies x=-a, x=0 e x=a, respectivamente, no eixo x. Os valores das cargas so:q Q q Q q1 2 3 2= + Q= = +, ; . Determine: a) A fora eltrica resultante sobre a carga q1. b) A fora eltrica resultante sobre a carga q2. c) A fora eltrica resultante sobre a carga q3.

8) Dispe-se de 4 cargas localizadas nos vrtices de um quadrado, como mostra a figura abaixo:

+2q -2q

+q -q

x

y

a

a

Determine a fora eltrica resultante sobre cada carga. 9) Duas cargas puntuais, de valores +q e +4q, esto a uma distncia L entre si. Uma terceira carga colocada de modo que o sistema permanea em equilbrio. a) Determine a localizao, a magnitude e o sinal da terceira carga. b) Mostre que o equilbrio do sistema instvel. 10) Determine a quantidade de eltrons em uma carga de 1 C. 11) A magnitude da fora eltrica entre dois ons separados de 5 0 m 3 710 10, . 10 9, . N . a) Qual o valor da carga eltrica de cada on? b) Determine o excesso de eltrons do on. 12) Quantos megacoulombs em de carga eltrica (prtons ou eltrons) esto presentes em 1,00 mol de gs molecular hidrognio (H2)? 13) A atmosfera terrestre constantemente bombardeada por raios csmicos (prtons) provenientes do espao. Se em cada metro quadrado da superfcie terrestre bombardeado por uma taxa mdia de 1500 prtons por segundo, qual seria a correspondente corrente interceptada pela superfcie total da terra? 14) Qual a magnitude da fora eltrica entre um on de sdio Na + (carga + e) e um on de cloro Cl (de carga -e) presentes no cristal NaCl (separao:Na-Cl: 2 8 )? 2 10 10, . m 15) Coloca-se uma carga A de magnitude +Q em contato com uma carga neutra B. Em seguida aproxima-se a carga A de uma carga C de valor -2Q colocando-as em contato e separando-as. Sabendo que as cargas esto isoladas eletricamente, determine: a) O valor da carga A aps o contato com a carga B. b) Os valores das cargas A,B e C aps os contatos finais. c) Encontre a fora de interao entre as cargas A e C, sabendo que sua separao r. 16) aproxima-se um condutor de carga negativa de um corpo neutro. Em seguida aterra-se o corpo neutro. Qual ser a carga final do corpo neutro?


17

17) Duas idnticas esferas condutoras, fixas no espao, atraem-se com uma fora de 0,108 N quando separadas por uma distncia de 50,0 cm. As esferas so ento conectadas por um fio condutor. Quando o fio removido, as esferas exercem entre si uma fora de 0,0360 N. Qual o valor inicial da carga das esferas? 18) Que quantidade de cargas positivas deveria ser colocada naTerra e na Lua para neutralizar sua atrao gravitacional? Quantos kilogramas de hidrognio seriam necessrios para prover essa carga? 19) So colocadas algumas cargas no plano xy: q1=+3C; x1=3,5 cm e y1=0,5cm; q2=-4C; x2=-2,0 cm, y2=1,5 cm. a) Encontre a magnitude e direo da fora eletrosttica sobre a carga q2. b) Onde seria necessrio colocar uma carga q3 = +4 C para que anulasse a fora eletrosttica sobre a carga 2 ? 20) Uma lmpada de 100 W opera a 120 V e passa por ela uma corrente de 0,83 A (assumindo a corrente estacionria). Quanto tempo demora para 1 mol de eltrons atravessar a lmpada?


18

Campo Eltrico Introduo: Suponha que uma carga fixa positiva q1 est fixa em um ponto do espao e colocamos uma segunda carga q2 prxima a ela. Da Lei de Coulomb sabemos que q1 exerce uma fora eletrosttica repulsiva sobre q2 e poderamos, conhecidas as cargas e a distncia entre elas, determinar a fora de interao. Porm permanece a questo: Como q1 "sabe" da presena de q2? Esta questo sobre ao distncia pode ser explicada devido a presena de um campo eltrico, criado no espao em torno da carga q1. Em um dado ponto P do espao, o campo eltrico depender da magnitude da carga q1 e da distncia da carga q1 a P. Quando colocamos q2 em P, q1 interage com q2, atravs do campo eltrico em P. Como um exemplo prtico de ao distncia, durante o vo da espaonave Voyager II em torno do planeta Urano, sinais de comando eram enviados da Terra para a espaonave. Esses sinais enviados por ondas de rdio, (um tipo de onda eletromagntica), eram gerados por meio de oscilaes de eltrons em uma antena de transmisso na Terra. O sinal movia-se atravs do espao e era recebido pela espaonave somente quando eltrons na antena receptora da nave oscilavam, 2,3 h depois do sinal ser enviado pela Terra. O sinal se propaga pela velocidade c da luz no vcuo. Este e muitos outros exemplos mostram que a eletricidade, o magnetismo, a tica podem representar juntas uma maneira conjunta de se explicar um fenmeno. O Campo Eltrico: O campo eltrico um campo vetorial: consiste de uma distribuio de vetores, um em cada ponto da regio em torno de um objeto carregado. Em princpio, definimos o campo eltrico quando colocamos uma carga teste ou carga de prova q0 em uma regio do espao prxima a um objeto carregado, em um ponto P, como mostra a figura 2 (a): E

G

rrR = GGG P(x, y, z) Q(x, y, z) r G rG O (Origem) Figura 2 (a) Clculo do campo em P (x, y, z).

rrrr

rrQrE

= GG

GGGG

GG2

04)(

Aqui:

O vetor rG localiza o ponto Q da carga .

rG O vetor identifica o ponto genrico do espao P(x, y, z).

O vetor rrR = GGG de Q a P. Podemos ainda escrever: ( )

304

)(rr

rrQrE = GGGGGG

Ou: ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] 2322204

)(zzyyxx

azzayyaxxQrE zyx ++

++= GG

O campo devido a n cargas pontuais Q1

localizada em 1rG

2rG

, Q2 localizada em ,..., Qn

localizada em nrG

ser dado por:

nn

n arr

Qarr

Qarr

QrE 4

4

4

)(0

2220

212

10

1 GG"GGGGGG

+++= = =n

mm

m

m arr

QrE1

210

4

)( GGGG

Esse resultado conhecido como o princpio da superposio, que veremos adiante.

Figura 2 (b) Carga de prova na presena de um

campo eltrico.

+ + + + + + + + + + + +Objeto carregado Carga teste

F + + + + + + + + + + +

Campo eem P

E

a) b)

P . +

Mede-se a fora eletrosttica F que atua na carga de prova. O Campo eltrico no ponto P devido a presena do objeto carregado definido por:

G GE F

q=

0


19

Figura 3 Representao das linhas de fora de uma carga eltrica negativa.

A direo de E a direo da fora eltrica e o sentido depende do sinal da carga do corpo carregado. A unidade do sistema internacional (SI) para o campo eltrico o Newton por Coulomb (N/C). Na figura a seguir ilustramos o sentido do campo eltrico para dois corpos carregados com cargas opostas: Figura 4 Campo eltrico de carga positiva e negativa.

+ + + - - - - -- - - - -

+ + +

P

P

E E

Corpo carregado Ou seja, o campo converge em P para o objeto carregado negativamente e diverge em P para um objeto carregado negativamente. A fora atuando entre duas partculas carregadas era pensada como uma interao direta e instantnea entre as partculas: A ao distncia era vista como:

Carga 1 Carga 2 Hoje, sabemos que o campo eltrico atua como um intermedirio entre as cargas, ou seja, a ao simbolizada por:

Carga 1 campo Carga 2 A tabela a seguir ilustra alguns campos eltricos existentes na natureza:

Tabela III Valores de Campos eltricos tpicos.

Campo Valor (N/C) Na superfcie de um ncleo de Urnio

3 0 1021, .

tomo de Hidrognio (rbita de um eltron)

5 0 1011, .

Acelerador de eltrons em um tubo de TV

105

Baixa atmosfera 102 Dentro de um fio de cobre em circuitos de casa

10 2

Linhas de Fora - Linhas de Campo Eltrico: Michael Faraday introduziu a idia de campo eltrico no sculo XIX, atravs de linhas de fora que preenchiam o espao ao redor de uma carga eltrica. A relao entre as linhas de campo e o vetor campo eltrico : 1) Em qualquer ponto, a direo do campo

a de linha de fora. eltrico o da tangente curv 2) O nmero de linhas de fora por unidade de rea, medida em um plano que perpendicular s linhas de fora, proporcional magnitude do campo eltrico E. Ou seja, se as linhas de campo esto mais juntas, o campo intenso, se esto mais distanciadas, o campo pequeno. A figura abaixo ilustra as linhas de fora para cargas eltricas puntiformes de sinais iguais e de sinais opostos. Figura 5 Linhas de fora de cargas positivas (a) e dipolo eltrico (b).

(a)


20

(b)

Observe que: O nmero de linhas de fora que saem da carga positiva o mesmo que chegam carga negativa; as linhas de fora no se cruzam em nenhum ponto do espao e convergem para a carga negativa, divergindo para a carga positiva. Equao das linhas de Fora: Observe que:

x

y

EE

dxdy =

O campo eltrico de uma carga pontual dado por:

E k qr

= 2 Onde q o valor da carga, r a distncia do ponto carga eltrica. Se tivermos diversas cargas puntiformes q1,q2,...,qn , o campo eltrico resultante em um ponto P do espao da erposio: G Gdo pelo princpio da supG G G

E E E E ERP n= + + + +1 2 3 ...

Exemplo 2 - A figura abaixo mostra uma carga +8q na origem do eixo x e uma carga -2q localizada em x=L. Em que posio o campo eltrico resultante se anula? Figura 6 Distribuio de cargas do Exemplo 2.

Observe que as nicas regies possveis do campo eltrico resultante se anular esto direita da carga -2q (carga 2) e a esquerda da carga +8q (carga 1). Assim temos: G G G G G

E E E E E= + = = 1 2 1 20 Em mdulo temos:

G GE E1 2= . Chamando a

distncia do ponto carga 1 de x, teremos:

k qx

k qx L

x Lx

x L8 2 14

22 22=

= =

( )( )

Exemplo 3 - O ncleo de um tomo de Urnio tm raio igual a 6,8 fm (fermi) . Assumindo que a carga positiva no ncleo est distribuida uniformemente, determine o campo eltrico num ponto da superfcie do ncleo devido a esta carga. O ncleo tem uma carga positiva Ze, onde o nmero atmico Z para o tomo de urnio de Z=92, e e C= 1 6 10 19, . a carga de um prton. Se a carga est distribuda uniformemente, a fora eletrosttica sobre uma carga de prova na superfcie do ncleo a mesma se toda a carga nuclear estivesse concentrada no centro nuclear. Ento:

E ZeR

NC= = =

14

9 0 10 92 1 6 10

6 8 102 9 10

0 29

19

15 221

, .( , . )

( , . ), .


21

Campo Eltrico de um Dipolo Eltrico: Duas cargas de mesma magnitude porm sinais opostos formam um dipolo eltrico. O campo eltrico num ponto P dado por (Observe da figura): Figura 7 Representao de dipolo eltrico.

+ -

+q -q

P

E(-)

E(+)

r(+)

r(-)

dp

z

E E E k qr

k qr

kqz d z d

= = = + + +

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ]2 2

1 112

2 12

2

Aps uma pequena lgebra, chega-se a:

E k qz

dz

dz= + 2 2 2 2 21 1[( ) ( ) ]

interessante usualmente verificar os efeitos do dipolo a distncias grandes comparadas com suas dimenses. Assim, suponha que z d d z>>


22

Coordenadas Cilndricas

Relaes: P(r, f, z) P(x,y,z):

cos=x ; seny = ; z z= Relaes: P(x,y,z) P(r, f, z):

xyarctg= z=z 22 yx +=

z P y r za a f za a ya x xa

Relaes entre versores das coordenadas cartesianas para cilndricas: Mostramos que:

=+==

zz

y

x

aaasenaa

senaaa

cos

cos

Relaes entre versores das coordenadas cilndricas para cartesianas: Manipulando as equaes acima, veja que:

=+=+=

zz

yx

yx

aaasenaa

senaaa

cos

cos

Produtos escalares entre os sistemas

cartesiano e cilndrico a a za

xa cos sen 0 ya sen cos 0 za 0 0 1

Elemento de Volume:

dzdddv =

Vetor deslocamento: zyx azayaxr ++=G

zyx azasenar cos ++= G zazar += G

Diferencial do deslocamento: Diferenciando a relao acima, vemos

que:

zadzadadrd ++= G

Coordenadas Esfricas

Relaes: P(f,r,) P(x,y,z):

senrx cos= ; senrseny = ; cosrz =

Relaes: P(x,y,z) P(f,r,):

222 zyxr ++=

xyarctg=

zyxarctg

22 +=


23

z ra a P r y a r f za ya x xa

Vetor deslocamento: zyx azayaxr ++=G

rarr =G Diferencial do deslocamento:

adrsenardadrrd r ++=G

Relaes entre versores das coordenadas cartesianas para esfricas: Veja que:

zyxr azayaxarr ++==G zyxr arasenrsenasenrar coscos ++=

zyxr aasensenasena coscos ++= Da figura, veja que:

zyx asenasenaa coscoscos += E:

yx aasena cos +=

++=+=

+=

zyxr

yx

zyx

aasensenasenaaasena

asenasenaa

coscoscos

coscoscos

Produtos escalares entre os sistemas cartesiano e esfrico

ra a a

xa cossen coscos sen ya sensen sencos cos za cos sen 0

Elemento de Volume: ddrdsenrdv 2=

Exemplo 4 - Encontre o Campo eltrico resultante sobre o eixo de um anel de raio R com densidade de carga uniforme e positiva.

Figura 8 Anel de raio R com carga Q.

(Young & Freedman, Fsica III)


24

Cada elemento de carga se relaciona com a densidade linear l por: dq ds= . Este elemento de carga diferencial produz um vetor campo eltrico dE no ponto P, dado por:

dE k k dsr

dqr

= =2 2

Podemos escrever:

dE k dsz R

=+

( )2 2 , porm, somente a

componente do campo eltrico ao longo do eixo do anel contribuir para o campo eltrico resultante:

21)()()(

cos222222 Rz

zRz

dskRz

dskdE rz ++=+=

23)(

cos22 Rz

dszkdE +=

Para adicionar todas as componentes integra-se sobre todos os elementos de campo:

+==R

dsRz

zkdEE

2

022 23)(

cos

E k z Rz R

=+ 2

2 2 32( )

23220 )(4

1Rz

zQE +=

Exemplo 5 Seja um fio longo e carregado, com densidade linear por unidade de comprimento.O fio encontra-se sobre o eixo y. Deseja-se calcular a intensidade do campo eltrico, devido ao fio, num ponto P a uma distncia r do ponto mdio, como mostrado na figura:

Figura 9 Fio longo com densidade de carga linear ..

Seja o fio dividido em pequenos pedaos dy. A carga dq em cada elemento ser:

dydydqdydq

LQ

L ==== O Campo eltrico devido a este elemento de carga ser:

20

20 4

14

1rdydE

rdqdE ==

O campo total em P ter componentes em x e em y, de forma que:

==

sendEdEdEdE

y

x cos

Assim, com , teremos: 222 yxr +=

+=+

=

22

22

yxydEdE

yxxdEdE

y

x

Assim, teremos:

( )( )

+=

+=

3220

3220

4

4

yx

ydydE

yx

xdydE

y

x

Os campos totais sero dados pelas integrais das expresses anteriores:

( )( )

+=

+=

+

dyyx

yE

dyyx

xE

L

Ly

L

Lx

23220

23220

4

4

Calculando as integrais:

( )( )

Ly

Ly

xyxx

yxyE+=

=

++= 2322

22

04

( )( )

( )( )

+++

+= 232222

2322

22

04 LxxLxL

LxxLxLEx

( )( )

++= 2322

22

0

24 Lxx

LxLEx


25

+

=22

0

24 Lxx

LEx

Mostre que: Ey=0 Veja que se

LLxxL +>> 22 Ento:

xEx

021=

No livro do Hayt, a expresso mostrada idntica :

aE L

2 0=G

Aqui: r a distncia do fio ao ponto, perpendicular ao fio

(em coordenadas cilndricas, se o fio estiver sobre o eixo Oz, por exemplo).

a : vetor unitrio que sai do ponto P que se quer calcular o campo eltrico.

Exemplo 6 Um plano infinito carregado com uma carga positiva Q distribuda uniformemente sobre sua superfcie no plano xy. A densidade superficial de carga rS = . Encontre o campo eltrico em P situado a uma distncia a do plano.

z y dy y r P(x,0,0) x

EdG

, xEdG

Vamos calcular o campo eltrico em P como o campo devido a contribuio de infinitos fios colocados no plano zy:

As densidades superficial e linear de carga se relacionam por:d

ydydzdyd

dQAd

dQSL

LS ====

Da figura observe que:

cos

2 0 = LxdE

cos2 220 yx

yddE Sx +

=

222202 yx

xyx

yddE Sx ++

=

2202 yx

yddE Sx +=

Fazendo a integrao, consideraremos a contribuio de todas as faixas:

+ +

= 2202 yx

yxdE Sx

+ +

= 2202 yx

ydxE Sx

( )( )+

+= 22

0 12 xy

Sx

xydxE

Fazendo: xduydxyu ==

+

+= 2

0 11

2 uxdu

xE Sx

+ +

= 20 12 u

duxxE Sx

Como:

Carctguu

du +=+ 21

= + xyarctg

xyarctgE

yy

Sx ''

0

limlim2

=222 0

S

xE

02 S

xE =


26

Observe que se o ponto P estivesse no semieixo Ox negativo:

02 S

xE = Se definirmos um vetor sempre normal ao

plano:

NS aE

2 0=G

Observaes: O campo constante em mdulo e direo. Se uma segunda lmina com mesma densidade

de carga, porm negativa, estivesse localizada no plano paralelo ao anterior x = a teramos na prtica, um capacitor plano, desde que desprezassem os efeitos de borda. Nesse caso, o campo ser dado por:

>


27

Aplicaes:

1. Forno de Microondas:

o muda, pois na

devem quebrar pelo menos uma de suas

pos se separam, aumentando assim a sua

ilustram a orientao de m dipolo na presena de um campo eltrico niforme, a molcula de gua e a energia associada tao devido ao torque.

Na gua, as molculas se encontram livres para

se mover relativamente s outras molculas. O campo eltrico produzido por cada dipolo afeta os outros dipolos em sua volta.Como resultado, as molculas podem estar ligadas em grupos de dois ou trs, devido ao fim negativo de um dipolo (oxignio) e ao fim positivo de outro dipolo (hidrognio) que se atraem. Quando cada grupo formado, a energia potencial eltrica transferida atravs de movimento trmico do grupo e para as molculas em volta. Quando ocorre a coliso entre as molculas, h a transferncia inversa de energia. A temperatura da gua, que est associado com o movimento trmico das molculas, nmdia, a energia transferida zero. Em um forno de microondas, porm, ocorre um processo diferente. Quando est funcionando, as microondas produzidas pelo forno produzem um campo eltrico que oscilam rapidamente numa direo para frente e para trs. Se h gua no forno, o campo eltrico oscilante exerce torques tambm oscilantes na molcula de gua, rodando continuamente para trs e para frente alinhando seus momentos de dipolo com a direo do campo eltrico. As molculas que esto ligadas aos pares podem se alinhar, porm aquelas ligadas em grupos de trstrs ligaes. As energias para quebrar essas ligaes vm do campo eltrico, isto , das microondas. Ento as molculas que se separaram dos grupos podem formar outros grupos, transferindo a energia que ganharam em energia trmica. Ento a energia trmica adicionada gua quando os grupos se formam, mas no removida quando os grutemperatura.

Graas ao dipolo eltrico que a molcula de gua forma, possvel cozinhar alimentos a partir de um forno de microondas. As figuras abaixouuro

2. Tubo de Raios Catdicos.

Em 1897, J.J. Thompson, juntamente com um grupo dos estudantes diplomado dele, tinha a inteno de investigar o eltron. Ele projetou alguns tubos que continham eletrodos dentro com o ar evacuado dos tubos. Estes foram chamados Tubos de Crookes nomeados mais tarde de Tubos de Raios Catdicos. Foram executadas Experincias nestes tubos nas quais atas voltagens geradas por uma corrente eltrica passada entre os dois eltrodos. Foram gerados raios como emanaes procedidas do eltrodo de Ctodo ao eltrodo de nodo. Considerando que estas emanaes originaram do eltrodo de Ctodo que eles seriam chamados "Raios" Catdicos. J.J. Thompson projetou alguns tubos especiais que investigaram as propriedades destes "Raios" Catdicos. Ele projetou um tubo que permitiu Raios Catdicos imprensar contra uma tela de superfcie de Sulfeto de Zinco. Como os raios imprensaram na superfcie, emitiu uma fasca de luz de forma que o caminho do raio invisvel poderia ser observado. Ele procedeu fazer um campo eltrico que


28

consiste em um prato positivo e um prato negativo perto do vacinity dos Raios. Quando a corrente eltrica do campo eltrico foi invertida, o caminho dos raios foi mudado para longe do prato negativo e para o prato positivo. Esta era uma indicao clara que deduziu que os raios possuam uma carga negativa. Uma sombra em forma de cruz foi formada na frente do tubo. O nico modo que os raios pudessem lanar uma impresso de sombra

gia

s dentro dos tomos. interessante notar que a tereira

ossa compreenso da qum

Thompson determinou a carga de plvora para amontoar

eterminao da carga de plvora por

trrio

provar que o ctodo roduziu que um fluxo de partculas negativamente arregadas chamado eltrone.

3. Impressoras jato de Tinta. (DeskJet).

4.

na parte de trs do tubo era se eles fossem alm do caminho de sada e formassem a cruz. Isto indicaria fortemente que os teriam que possuir massa

Mas se os raios possussem massa que significaria que eles no eram raios (pura radiao) e sim partculas com uma massa finita! Outro tubo experimental envolvendo uma roda de remo colocada no caminho dos raios de ctodo resultado no movimento da roda de remo quando a corrente foi invertida. Para que a roda de remo seja usada para mover, os Raios teriam que ter impulso passando para a roda. Isso significaria que o assim chamou raios teriam que possuir impulso isto para dar impulso a algum outro objeto. Estes raios eram na verdade eltrons. Em 1891 um Professor chamado Stony (Prof. de Eletricidade) investigava uma fonte de enerpara reaes qumicas. Ele sugeriu que uma corrente eltrica fosse o resultado de partculas mveis que ele sugeriu deveriam ser chamadas "eltrons". Estas experincias definitivamente definiram os raios como partculas atuais que tm uma carga de negativa e uma massa finita. Em 1886, Professor Goldstein executou experincias semelhantes que usam uma superfcie de ctodo perfurada. Isto produziu uma partcula que possuiu uma carga positiva e uma massa umas 2000 vezes mais que o eltron de Thompson. Esta partcula foi chamada de prton. Considerando que eltrons e prtons vieram da superfcie de um objeto, lgico concluir que todo objeto est composto destas partcula

partcula subatmica do tomo no foi observada at 1932 uns 35 anos depois da descoberta do eltron e o prton.

A partcula tinha sido predita em 1920, mas no foi descoberta at 1932, quando Chadwick observou estas partculas neutras que ele chamou de nutrons enquanto executava uma srie de experincias de cmara de nuvem. Era o caminho de condensao dos nutrons semelhante para os rastros de jato que motores a jato fazem quando a altitude que permitiu a observao destas partculas. Como a chave para n

ica reside em nosso conhecimento dos eltrons e prtons, a descoberta atrasada dos nutrons no alterou o quadro formado do tomo em 1932.

Em 1909, Robert Millikan executou a experincia de gota de leo legendria dele que lhe permitiu determinar a magnitude exata da carga de plvora do eltron, 1.60 X 10-19 C. Mais cedo,

relao do eltron, 1.76 X 108 coulomb / grama, assim esta dMillikan permitiu a determinao da massa do eltron, 9.09.10-28 gramas. A experincia de J.J. Thompson demonstrou que tomos esto realmente compostos de agregados de partculas carregadas. Antes do trabalho dele, acreditava-se que tomos eram distribudos de maneira uniforme. A primeira evidncia ao conveio quando as pessoas comearam a estudar as propriedades de tomos em campos eltricos. Se uma amostra de gs introduzida na regio entre dois pratos carregados, um fluxo atual pode ser observado e sugere que os tomos estiveram abaixo quebrados em componentes carregados. Em 1897, Thompson teve a inteno de pc

Experincia de Millikan.

Robert Andrew Millikan nasceu em 22 de

maro, 1868, em Morrison. (EUA), como o segundo filho do Reverendo Silas Franklin Millikan e Mary Jane Andrews. Os avs dele eram da Velha ao de Inglaterra Nova que tinha vindo para a Amrica antes das 1750, e era o colono pioneiro no Oeste Mediano. Sua infncia teve aspectos rurais e freqentou a escola secundria de Maquoketa (Iowa). Depois de trabalhar pouco tempo como um reprter de tribunal, ele entrou em Faculdade de Oberlin (Ohio) em 1886. Durante seu curso de estudante universitrio seus assuntos favoritos eram gregos e matemticos; mas depois da graduao em 1891 levou, durante dois anos, um posto pedaggico em fsica elementar. Era durante este perodo que desenvolveu o interesse no


29

assunto no qual chegou a superar. Em 1893, depois de obter o mestrado em fsica, foi designado Professor em Fsica na Universidade de Columbia. Ele recebeu o Ph.D depois (1895) na pesquisa da polarizao de luz emitida

up

ht, (1908);

ltima instncia aos estudos significantes

Tempo, Importe, e Valores (1932). Logo antes a morte

aios Csmicos (1947) e a sua Autobio

io de Honour, e

stico, e

: Clark Blanchard, Glenn

de dezembro, 1953, em San

De Conferncias de Nobel, Fsicas 1922-1941.

O Aparelho:

sui aproximadamente 12 poleg

bombardeiro que voa a 30,000 ps de Hudson Bay

por s erfcies incandescentes - usando para este propsito ouro fundido e prata. Na companhia de seus professores, Millikan passou um ano (1895-1896) na Alemanha, nas Universidades de Berlim e Gttingen. A convite de Michelson, resolveu ficar assistente no Laboratrio de Ryerson recentemente estabelecido na Universidade de Chicago (1896). Millikan era um professor eminente, e atravessando os graus habituais ele se tornou o professor naquela universidade em 1910, um posto que ele reteve at 1921. Durante os anos em Chicago ele gastou muito tempo preparando livros de ensino e simplificando o ensino de fsica. Ele era autor ou co-autor dos ttulos: Um Curso de Faculdade em Fsica, com S.W. Stratton (1898); Mecnica, Fsica Molecular, e Calor (1902); A Teoria de ptica, com C.R. Mann traduziu do alemo (1903); Um Primeiro Curso em Fsica, com H.G. (1906); UM Curso de Laboratrio em Fsica para Escolas Secundrias (1907); Eletricidade, Soe, e LigFsicas Prticas - reviso de UM Primeiro Curso (1920); O Eltron (1917; rotao. eds. 1924, 1935). Como um cientista, Millikan fez numerosas descobertas, principalmente nos campos de eletricidade, tica, e fsica molecular. O sucesso principal dele era a determinao precisa da carga de levada por um eltron e usou o mtodo de gota de leo; ele tambm provou que esta quantidade era uma constante para todos os eltrons (1910), demonstrando assim a estrutura atmica de eletricidade. Logo, ele verificou a equao fotoeltrica de Einstein experimentalmente, e fez a primeira determinao da constante h de Planck (1912-1915). Alm dos estudos dos movimentos de Brownian em gases acabaram toda a oposio com as teorias atmicas e cinticas. Durante 1920-1923, Millikan se ocupou com trabalho relativo de espectroscopia dos elementos (que explorou a regio do espectro entre o ultravioleta e radiao-X), estendendo assim o espectro ultravioleta distante alm do limite conhecido. A descoberta da lei de movimento de uma partcula que se cai para a terra depois de entrar na atmosfera da terra, junto com as outras investigaes dele em eletricidade, o conduziu em de radiao csmica (particularmente com cmaras de ionizao). Ao longo da vida Millikan permaneceu um autor prolfico e faz numerosas contribuies a dirios cientficos. Ele no s era um cientista de ponta, mas a natureza religiosa e filosfica era evidente nas conferncias e na reconciliao de cincia e religio e em seus livros: Cincia e Vida (1924); Evoluo em Cincia e Religio (1927); Cincia e a Civilizao Nova (1930);

dele ele publicou Eltrons (+ e), Prtons, Ftons, Nutrons, Msons, e R

grafia (1950). Durante a Primeira Guerra Mundial,

Millikan era o Vce-presidente do Conselho de Pesquisa Nacional e estudou dispositivos meteorolgicos. Em 1921, ele foi designado o Diretor do Laboratrio de Fsica no Instituto de Tecnologia da Califrnia, Pasadena,; ele tambm foi Presidente do Conselho Executivo daquele instituto. Em 1946 ele se aposentou deste posto. Millikan foi Presidente da Sociedade Fsica americana, Vice-presidente da Associao americana para o Avano de Cincia, e foi o scio americano do Comit em Cooperao Intelectual da Liga de Naes, e o representante americano ao Congresso Internacional de Fsicas, conhecido como o Congresso de Solvay, em Bruxelas em 1921. Ele obteve os graus de doutor honorrio de vinte e cinco universidades, e era um scio ou o scio honorrio de muitas instituies instrudas no pas e no estrangeiro. Ele foi o Prmio de Comstock da Academia Nacional de Cincias, da Medalha de Edison do Instituto americano de Engenheiros Eltricos, da Hughes Medal da Sociedade Real de Gr Bretanha, e do Prmio de Nobel para Fsicas 1923. Ele tambm foi feito o Chefe da Legrecebeu a Ordem chinesa de Jade. Millikan era um jogador de tnis entusigolfe tambm era um das recreaes dele. Millikan Greta Erwin Blanchard casado em 1902; eles tiveram trs filhosAllen, e Max Franklin. Ele morreu nos 19 Marino, a Califrnia.

Vrios destes detectores Geiger-Mller (GM) foram construdos em 1939 no laboratrio de fsica do Caltech para uso em estudos de raios csmicos. O exemplo acima pos

adas e feito de cobre. A etiqueta de papel identifica trs datas: 2

de agosto de 1947; 25 de janeiro de 1948; e 8 de julho de 1950. A data 1947 se refere para viajar de balo vos executados a latitudes diferentes do Texas para Saskatoon. Um vo tpico levaria os instrumentos para 70,000 a 80,000 ps. A data de 1948 data se refere a experincias executadas em um B-29


30

para Lima, Peru. Robert Millikan e Neher estavam entre o pessoal neste vo.

Robert Millikan (1868-1950) era o Cientista de Amrica mais famoso dos anos vinte, e o segundo americano receber o Prmio Nobel em fsica. O posterior foi premiado para as medidas da carga do eltron (pelo Millikan, conhecido " experincia " da gota) e por confirmar as equaes de Einstein experimentalmente para o efeito fotoeltrico. Em 1921, Millikan deixou a Universidade de Chicago para encabear o Instituto de Califrnia de Tecnologia em Pasadena, recentemente criado. No CalTech, ele serviu tambm como Diretor do Departamento de Fsica. A pesquisa dele enfocou a natureza e origem de raios csmicos - Millikan cunhou o termo "raio" csmico. Estas investigaes ajudadas demonstram a fonte extraterrestre desta radiao e sua variao em intensidade com latitude. Doado pelo Instituto de Califrnia de cortesia de Tecnologia de Broto Cowan. Exemplos Exemplo 1 Uma carga positiva Q distribuda

uniformemente ao longo de uma semi-circunferncia de raio a. Obtenha o campo eltrico no centro de curvatura P. O campo eltrico da metade da esquerda da semicircunferncia na direo x anula o campo eltrico da metade do lado direito. O componente y restante

aponta para o sentido negativo do eixo y. A carga por unidade de comprimento da semicircunferncia :

2e Q k dl k ddEa a a

= = =senporm sen .y

k ddE dEa

= = Portanto,

/ 2 / 200

2 2sen [ cos ]yk kE da a

= = / 2

0 2

2 2[ cos ] ,yk kEa a

2kQa

= = = Orientado de cima para baixo. Exemplo 2 Uma carga eltrica Q distribuda uniformemente ao longo dos quatro lados de um quadrado. Dois lados adjacentes possuem a mesma carga +Q distribuda ao longo desses lados. (a) Supondo que os outros dois lados possuam a mesma carga Q distribuda, determine os componentes x e y do campo eltrico resultante no centro do quadrado. O quadrado tem lado a. (b) Repita o clculo supondo que os quatro lados possuam a mesma carga Q distribuda. (a) Ex = Ey, e Ex = 2Ecomprim. do fio , carga Q =

2 onde,

412

220

axaxx

Q =+

2 20 0

2 ,5 / 4 5x

Q QEa a = =

20

2 sentido , ,sentido .5y

Qi E ja =

(b) Supondo que todos os lados do quadrado possuem a mesma carga, por simetria conclumos que os campos eltricos fornecem uma resultante igual a zero no centro do quadrado.

Exemplo 3 (a) Determine a carga total sobre a coroa anular da figura, sabendo que esta possui uma densidade superficial de carga .


31

(b) Se a coroa anular est sobre o plano yz, determine sobre o eixo Ox o campo eltrico E.

(c) Mostre que, para pontos sobre o eixo Ox suficientemente prximos da origem, o mdulo do campo eltrico aproximadamente proporcional distncia entre o centro da coroa e o ponto considerado.

(d) Uma partcula puntiforme de carga q e massa m pode-se mover sobre o eixo Ox e colocada sobre o ponto x = 0,01R1 e a seguir liberada. Determine a freqncia de oscilaes da partcula.

(a) Q = A = )( 2122 RR

(b) Lembre que o campo eltrico de um disco, Eq. (22-11), dado por:

[ ]( ).1)/(/112

2

0

+= xRE

Portanto,

( )2 22 10

( ) 1 1/ ( / ) 1 1 1/ ( / ) 12

xE x R x R x i

x = + +

G

( )2 22 10

( ) 1/ ( / ) 1 1/ ( / ) 1 .2

xE x x R x R x i

x= + +

c) Note que

( )

+==+

2)/(1)/(11)/(/1

21

1

2/121

1

21

RxRxRx

RxxR

0 1 2

( )2

x x xE x iR R x

= G

2

0 1

1 1 ( ) ,2

xE x iR R x

= G

e considerar pontos suficientemente prximos significa que (x/R1)2


32

r r xa ya z z a = + + G G ( ) x y z ( )22 2r r x y z z = + + G G

( )30

( )4

LdE r r r dzr r

= G G G

G G G

( )( )3

22 20

( )4

Lx y zdE r xa ya z z a dz

x y z z

= + + + + G G

( )( )2

2

322 2

0

( )4

a

a

Lx y zE r xa ya z z a dz

x y z z

+

= + + +

G G

( )

+

2

2

322 2 0

( )4

a

a

Lx y

dzE r xx y z z

+

= + + + G G

( )( )

a ya

2

2

322 2 0

4

a

a

Lz

z z dza

x y z z

+

++ + {1}

( ) ( )( )2 2

2 2

3 322 2 22 22

a a

dz dz

x y z zx y z z

+ +

=+ + + +

a a

( )2

2

3 2 3 222 2

2 2

1

1

a

a

dz

x y z zx y

+

= + + +

Chamando de:

2 2

z ztgx y

= + 2 2z z tg x y = + 2 2secdz d x y = + 2

( ) ( ) ( )2 2

2 2

2 2

3 3 2 3 22 2 222 2

sec1

1

a a

a a

d x ydz

x y tgx y z z

+ +

+=+ ++ +

( )

2

( ) ( )2 2

2 2

2 2 2

3 3 22 2 222 2

sec

sec

a a

a a

x ydz d

x yx y z z3 2

+ +

+ =++ +

( )( )( )

2 2

2 2

1 22 2 2

3 3 2 32 222 2

secsec

a a

a a

x ydz d

x yx y z z

+ +

+ =++ +

( )2

2 2

3 2 222 2

1sec

a

a a

dz dx yx y z z

2a

+

= ++ +

( )2 2

2 2

3 2 222 2

1 cosa a

a a

dz dx yx y z z

+ +

= ++ +

( )]2 2

22

3 2 222 2

1a

ax

axa

dz senx yx y z z

==

+

= ++ +

2 2 22

1cos 1 1sec

sen sen + = + = 2

2

11sec

sen = 2

2

111

sentg

= + 2

22

1 11

tgsentg + = + 2

22 1

tgsentg

= +

2 1tgsen

tg = +

2 2

2

2 21

z zx y

senz zx y

+= + +

( )2 2

22 2

2 2

z zx y

senx y z z

x y

+=+ +

+

( )22 2z zsen

x y z z =

+ +

+

( ) ( )2 2

22

3 2 2 22 222 2

1a a

aa

z

z

dz z zx y x y z zx y z z

+ =+

=

= + + + + +

( ) ( )2

2

23 2 2 22 222 2

2

1a

a

a

a

zdzx y x y zx y z z

+

= + + + + +

( )2

22 22

az +ax y z

+ + + {a}

A outra integral ser:


33

( )( )

( )( ) ( )

22

22

3 22 222 2

1a

a

aa

z

z

z z dz

x y z zx y z z

=++

=

=+ + + +

( ) ( )2 22 2 2 22 21 1

a ax y z x y z

= + + + + + {b}

Substituindo {a} e {b} em {1}:

( ) ( )2 2

2 2 2 22 2 2 20 2 2 1( )

4

a aL

x ya a

z zE r xa yax y x y z x y z

+ = + + + + + + +G G

( ) ( )2 22 2 2 2 02 21 1

4L

za a

ax y z x y z

+ + + + +

Podemos transf rmar para coordenadas cilndricas:

o

2 2

cosx y

xy sen

= + = =

=+=+=

zz

yx

yx

aaasenaa

senaaa

cos

cos

=+==

zz

y

x

aaasenaa

senaaa

cos

cos

( ) ( )2 2

2 2 22 20 2 2

1( ) cos4

a aL

x ya a

z zE r a sen az z

+ = + + + +

G G

( ) ( )2 22 2 02 21 1

4L

za a

az z

+ + +

( ) ( )2 2

2 2 22 20 2 2

( ) cos4

a aL

a a

z zE r a sen az z

+ = + + + +

G G x y

( ) ( )2 22 2 02 21 1

4L

za a

az z

+ + +

( ) ( )2 2

2 22 20 2 2

( )4

a az zLa a

E r az z

+ = + + +

G G

( ) ( )2 22 2 02 21 1 za4

L

a az z

+ + +

Limite de um fio infinito: Se imaginarmos que o fio muito comprido:

( ) ( )2 2

2 22 20 2 2

( ) lim4

a aL

a a a

z zE r az z

+ = + ++ G G

( ) ( )2 22 2 02 2

41 1lim L za

a a

az z

+

+ +

[ ]0

( ) 1 14

LE r a =

G G [ ]0

04

0 zaL

0

2( ) L4

E r a

=G G

0

( )2

LE r a =

G G

Exemplo 5 (a) Determine o campo eltrico

roduzido por um plano quadrado de lado a carregada

tende a infinito e o campo eltrico de um plano infinito.

P(x,y,z)

a/2 y x

do a distribuio de cargas:

pcom densidade superficial de carga uniforme S e comprimento a no ponto P(x,y,z).

(b) Faa o limite em que acalcule

z Gr

rG a/2

(a) Fazen


34

2 2

2 2

a a

S a a

yQxA

+= + O Campo eltrico dado por:

rrrr

rrQrE

= GGGG

GGGG

204

)(

( )30

( )4

S dx dydE r r rr r

= G G G

G G G

z x yr xa ya za= + +G x yr x a y a = +G

( ) ( ) x yr r x x a y y a za = + +G G z ( ) ( )2 2 2r r x x y y z = + +G G

( )30

( )4

SdE r r r dx dyr r

= G G G G

G G

( ) ( )( ) ( )( )3 22 2 20

( )

4x y zS

x x a y y a zadE r dx dy

x x y y z

+ + = + +

G G

( )( ) ( )( )

2 2

2 2

3 22 2 20

( )4

a a

a a

Sx

x x dx dyE r a

x x y y z

+ +

= + + + G G

( )( ) ( )( )

2 2

2 2

3 22 2 2

a a

a ay

y y dx dya

x x y y z

+ +

+ + +

)( ) ( )(2 2

2 2

3 22 2 2

a a

a az

zdx dy ax x y y z

+ +

+ +

( ) ( )2

2

22

2 2 20

1( )4

aa

aa

x

Sx

x

E r dy ax x y y z

=++

=

= + + + G G

( ) ( )2

2

22

2 2 20

14

aa

aa

y

Sy

y

dx ax x y y z

=++

=

+ + +

( )( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2 2 22 204

a

a

a

a

x

Sz

x

z x xdy a

y y z x x y y z

=++

=

+ + +

( ) ( ) ( ) ( )2

2

2 22 22 20 2 2

1 1( )4

a

a

Sx

a aE r d

x y y z x y y z

+

y a= + + + + + + G G

( ) ( ) ( ) ( )2

2

2 22 22 20 2 2

1 14

a

a

Sy

a adx a

x x y z x x y z

+

+ + + + + +

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

2

2

2

22 22 22

0 2

22 22 22

4

a

a

a

a

Sza

a

z x

y y z x y y zdy a

z x

y y z x y y z

+

+ + + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 22 22 2

0

( ) ln ln4

a

as

yS a a

xy

E r y y x y y z y y x y y z a=+

=

= + + + + + + + + G G

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22a

2 22 22 22 2

0

ln ln4

axS a a

yx

x x y x x z x x y x x z a=+

=

+ + + + + + + +

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

2

2

2

22 22 22

0 2

22 22 22

4

a

a

a

a

Sza

a

z x

y y z x y y zdy a

z x

y y z x y y z

+

+ + + + + + + +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

22 2 22

2 2 20 2

( ) ln4

a

as

ya

Sx

ay

y y x y y zE r a

y y x y y z

=+

=

+ + + + = + + + +

G G

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

2 2 22

2 2 20 2

ln4

a

a

xa

Sy

ax

x x y x x za

x x y x x z

=+

=

+ + + + + + + +

( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 22 22 20 2 24

a a

a a

y ya a

Sz

a ay y

x y y x y yArctg Arctg a

z x y y z z x y y z

=+ =+

= =

+ + + + + +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 22 22 2 2 2 2 2

2 2 2 22 20 2 2 2 2 2 2

( ) ln ln4

a a a a a aS

xa a a a a a

y x y z y x y zE r a

y x y z y x y z

+ + + + + + + + + + = + + + + + + + + + G G

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 22 22 2 2 2 2 2

2 2 2 22 20 2 2

ln4

a a a a a a

ya a a a a a

y x z x y x za

x y + + + + + + + + + +

2 2 2 2

lnSx

x z x y x z

+ + + + + + + + +

( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 22 22 2 2 2

02 2 2 2

2 2 2 22 22 2 2 2

4

a a a a

a a a aS

2

za a a a

a a a a

x y x yArctg Arctg

z x y z z x y za

x y x yArctg Arctg

z x y z z x z

y

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 22 22 2 2 2 2 2

2 2 2 22 20 2 2 2 2 2 2

( ) ln ln4

a a a a a aS

xa a a a a a

y x y z y x y zE r a

y x y z y x y z

+ + + + + + + + + + = + + + + + + + + + G G

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 22 22 2 2 2 2 2

2 2 2 22 20 2 2 2 2 2 2

ln ln4

a a a a a aS

ya a a a a a

x y x z x y x za

x y x z x y x z

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 22 22 2 2 2

02 2 2 2

2 2 2 22 22 2 2 2

4

a a a a

a a a aS

za a a a

a a a a

x y x yArctg Arctg

z x y z z x y za

x y x yArctg Arctg

z x y z z x y z

+ + + + ++ + + + + + + + + + + +


35

(b) Observando que quando o valor de a tende a

infinito:

2 2

02 2

2 22 2lim ( ) ln ln

4 2 22 2

a a

Sxa

a a

a aE r a

a a

+ + = + +

G G +

2 2

02 2

2 22 2ln ln

4 2 2

a a

Sy

a a

a aa

a a

+ +

2 2

+ + +

2 2

2 2 2 2

2 20

2 2 2 2

4 4 42 4 2 4

4 42 4 2 4

Sz

a aArctg Arctgz a z z a z

a + +

a aArctg Arctgz a z z a z

+ + +

[ ] [ ]{ }0

lim ( ) ln 1 ln 14

Sxa

E r a= G G +

[ ] [ ]{ }0

ln 1 ln 14

Sya

+

2

2 20

444 2 4

Sz

aArctg az a z

+

2

0

4lim ( ) 44 2 2

Sza

aE r Arctg az a

= G G

0

2lim ( ) 4S4 4 za z

aE r Arctg a = G G

Fazendo a expanso por sries de potncias para a funo arco-tangente, t remos: e

3

30

2 2 16 2lim ( ) 44 2 3

Sza

z zE r aa a

= + G G

"

Considerando apenas o primeiro termo:

0

lim ( ) 44 2

Sza

E r a =

G G

0

lim ( )2

Sza

E r a =G G

0

( )2

SzE r a

=

G G

Veja que o mesmo resultado que chegamos nteriormente: a

NS aE

2 0=G

Ento, para um plano infinito carregado, teremos:


14

. Quatro cargas positivas de 10 nC esto local

um ponto distante 8 cm de cada uma das o fora total nesta quint

2. a carga Q=0.1 localizada na origem do es

pone uma terceira carga positiva zero.

3. Quatro cargas pontuais de 50 nC cada esto local

e a carga

mC localizada em P1(2, 5, 8). nquanto Q2. = -5mC localizada em P2(6, 15, 8).

Consi

) Encontre as coordenadas de P3, se a carga Q3, exper enta uma fora total F3 = 0 em P3.

5.. Seja a carga pontual Q = 25 nC localizada em P1 (4, em P2(-3, 4,-2).

(a) Se e = e0., determine E em P(1, 2, 3). (b) Em que ponto do eixo y Ex = 0?

de 120 nC esto

localizadas em A(0,0,l) e B(0, 0, -1) no espao livre, ) Determine E em P(0.5, 0, 0).

b) Qual carga na origem forneceria um campo de mesm dulo?

r f z

Soluo:

o d por:

. Quatro cargas positivas de 10 nC esto local

um ponto distante 8 cm de cada uma das o fora total nesta quint

2. Uma carga Q=0.1m localizada na origem do es

ponente x da fora em uma terceira carga positiva zero.

3. Quatro cargas pontuais de 50 nC cada esto local

e a carga

mC localizada em P1(2, 5, 8). nquanto Q2. = -5mC localizada em P2(6, 15, 8).

Consi

) Encontre as coordenadas de P3, se a carga Q3, exper enta uma fora total F3 = 0 em P3.

5.. Seja a carga pontual Q = 25 nC localizada em P1 (4, em P2(-3, 4,-2).

(a) Se e = e0., determine E em P(1, 2, 3). (b) Em que ponto do eixo y Ex = 0?

de 120 nC esto

localizadas em A(0,0,l) e B(0, 0, -1) no espao livre, ) Determine E em P(0.5, 0, 0).

b) Qual carga na origem forneceria um campo de mesm dulo?

r f z

Soluo:

o d por:

Exerccios: Willian H. Hayt, Jr.; John A. Buck, pg. 30

Exerccios: Willian H. Hayt, Jr.; John A. Buck, pg. 30

11

izadas no plano z = 0 nos vrtices de um quadrado de 8 cm de lado. Lima quinta carga positiva de 10 nC est localizada em

izadas no plano z = 0 nos vrtices de um quadrado de 8 cm de lado. Lima quinta carga positiva de 10 nC est localizada em

utras cargas. Calcule o mdulo dautras cargas. Calcule o mdulo daa carga para e = e0. a carga para e = e

Um mC esta pao livre, enquanto Q = 0.2mC est em A(0.8, 0.6,

0). Determine o lugar dos pontos no plano z = 0 em que a com

pao livre, enquanto Q = 0.2mC est em A(0.8, 0.6, 0). Determine o lugar dos pontos no plano z = 0 em que a com nte x da fora em

izadas cm A( l, 0, 0). B(- l, 0, 0), C(0, l, 0) e D(0, -1, 0) no espao livre. Determine a fora total sobr

izadas cm A( l, 0, 0). B(- l, 0, 0), C(0, l, 0) e D(0, -1, 0) no espao livre. Determine a fora total sobr

em A. em A. 4. Seja Q1 = 8 4. Seja Q

eedere e = e0. (a) Determine F2 a fora sobre Q. (b

dere e = e

imim

1-2, 7) e a carga Q2;= 60 nC localizada-2, 7) e a carga Q

6. Duas cargas pontuais 6. Duas cargas pontuais

(a((a(o mo m

7. Uma carga pontual de 2mC est localizada em A(4, 3, 5) no espao livre. Determine E , E e E em P(8, 12, 2)

7. Uma carga pontual de 2mC est localizada em A(4, 3, 5) no espao livre. Determine E , E e E em P(8, 12, 2). .

Campo eltrico n ponto da oCampo eltrico n ponto da o

0.

C esta

1 = 8

0. (a) Determine F2 a fora sobre Q. (b

1

2;= 60 nC localizada

APAP rr04 APrGG

2

m

aaar 534 ++=

PE =QG

E coordenadas cartesianas: zyxA

zyxP aaar 2128 ++=G As relaes entre os

rversores das

coordenadas cilndricas pola es: e as cartesianas so obtid com o auxlio da figura:

f

r f

Da figura, ento vemos que:

as

a ya

a

xa

senaaax cos = cos asenaay +=

zz aa = aaarrr 394 zyxAPAP +== GGG

106)3(94 222 =++== APAP rrr GGG Como:

xyarctg=

22 yx += 087,36643,0

43 === radarctgA

031,56983,08

12 === arctgP rad

CN

APP r

QE 81,169106

36104

1024 9

6

20

== =

G

Em coordenadas cartesianas:

AP

APP rrr

E GGAP

rrQ GGG= 24

0

zyxAPAP rrr 106106106GGAPAP aaarrr 394 +==GG

GG

G

zyxP aaE81,1693

10681,1699

10681,1694 + a

106=G

PE = zyx aaa 480,49441,148974,65 +G


15

Substituindo: senaaax cos =

cosay + G senaa =(( ) zaasen

asen )480,49cos44,148974,65

441,148cos974,65+

+=

das

+

E+ Para acharmos o campo em coordenacilndricas:

zzaEaEaEE +=G

recisamos ento descobrir o ngulo f. Para isso observe figura a seguir:

rvando o paralelogramo no plano xy formado pelas projees dos vetores

Pa Obse

PA rrGG , e APrG no

plano xy,: ( )APP += z

)asen 75,75441,14875,75cos974,65

00++

y f fA fP

x ( ) 075,7587,3631,5631,56 =+=

Substituindo em: ( )asenE 441,148cos974,65 += G

( ) zaasen 480,49cos44,148974,65 ++ ( )E 00=( zaasen 480,4975,75cos44,14875,75974,65 + G

( ) ( ) zaaaE 480,49839,36944,638736,1432397,16 +++= G

zaaaE 01,2711,160 = 48,49G

8. Dadas duas cargas pontuais de -lmC em P (0, 0, -0.5

e e = e .

nC est localizada em A( -

ontos P(x, y, z.) no qual 500 V/m.

(b) Determine y1, se P(-2, y1, 3) pertencer a este lugar.

em (3, 0, 0) e (-3, = e .

a) Determine |E| em P(0, y,0). e |E| vs. y em P.

11. Uma carga Q0, localizada na origem no

/m no

(a) Determine Q0. Determine E em M( l, 6, 5) m:

(b) coordenadas cartesianas: (c) coordenadas cilndricas: (d) coordenadas esfricas.

12. A densidade volumtrica de carga

1

) e P2(0, 0, -0.5), e uma carga de 2mC na origem, determine E em P(0, 2, l) em componentes esfricas. Consider 0

9. Uma carga pontual de 100

1, 1, 3) no espao livre: (a) Encontre o lugar dos p

E =

10. Duas cargas de 20 e -20 nC esto localizadas 0, 0), respectivamente. Considere e

0

((b) Esboc

espao livre produz um campo no qual Ez=l k Vponto P( -2. l, -1),

e

zyxv e

= 0 existe em todo o espao li e. Calcule a carga total presente.

Soluo:

vr

dvQV

v= Em coordenadas cartesianas:

+++

= xdydzeQ zyx0 d

( ) ( ) dzedyedxedxe xx

+

+0

0 zy+

+

+ =

0

Q

dzedyeeeQ zyxx + + + += 00 0

( ) dzedyeeeQ zy + + += 000 0

(0

dzedyeQ zy +

= 02

Como as outras integrais so idnticas:

+

2.2.2 0=Q 08=Q

13 Uma densidade volumtrica uniforme de

arga de 0.2 mC/m3 est presente atravs de umr = 3 cm at r = 5 cm. Se rv = 0 em

ualquer outra parte, determine: (a) a carga total presente dentro da casca e (b) r1, se metade da carga est localizada na

regio 3 cm < r < r1. o:

c a casca esfrica de q

Solu


16

22

2.0

dvQV

v= =

2

0 0

05.0

03.0

22.0 ddrdsenrQr

rdrddsenQ = 05.003.000

( ) pCrQ 1.823

)cos(2,005.0

03.0

32

00=

=

14. Seja:

( ) 221,0 1015 mCzev += na regio:

e r =0 em qualquer outra ;az

parte. (a) Determine a carga total presente. (b) Calcule a carga dentro da regio:

100

v

22

1010

40

z

ume esfrico de 2 mm de raio contm uma densidade volumtrica uniforme de carga de 1015C

uma grande regio conte

de lado e que no h dade

olum

e carga:

15. Um vol

/m. (a) Qual a carga total confinada dentro do volume

esfrico? (b) Considere agora que nha uma dessas pequenas esferas em cada quina de

uma grelha cbica de 3 cma carga entre as esferas. Qual a densinenhum

v trica de carga mdia atravs desta regio?

16. A regio na qual 4 < r < 5, O < < 25 e 0,9 < f


17

( )yx aaE 1036 52519 += G

( )mkVaaE yx 4,142,7 +=G Soluo: (b) z 1 E x y

Como:

4

3 2

r f -4

( ) = Q rrrrdQrE GGGG

GG3

04)(

zyx aaar 32 ++=G zazr =G ( ) zyx azaarr 32 ++= GG

( )222 321 zrr ++= GG ( )235 zrr += GG

Observe que: zddQ L = Substituindo na integral, teremos:

( )( ) ( )( ) zda zaazrE zyxL +++= 4

4232

0

32354

)( GG

Separando por componentes, teremos:

( )( ) zdzE Lx += 4

4232

0 35

14

4

42

0 1463

4

=

==

z

z

L

zzzE

5 +x

332

4L

xE = 0

332

36104

1029

6

=xE

CNEx 97,4898326000 =

( )( ) zdzE Ly += 4

4232

0 35

142

332

42

0L

yE =

CNEy 96,97973212000 =

( )( )( ) zdzzE Lz +

=

4

4232

0 35

34

4

42

0 146

14 =+

=z

Lz

zzE

=z

332L

4 0zE =

CNEz 98,489836000 = 2

Logo: ( )mkVaarE 899,4( +ax 798,9899,4) += zyGG

120 nC/m dos trs es do es 21. Duas linhas de carga uniformes idnticas com rL = 75 nC/m esto localizadas no espao livre, em x = 0, y= 0,4 m. Que fora por unidade de comprimento cada linha de cargas exerce sobre a outra?

Soluo: (a) (1) (2) z dQ -0,4 0,4 E 1 r x y

20. Uma linha de cargas uniforme deo est situada ao longo de toda a extens

eixos coordenados. Considerando as condiao livre, determine E em P(-3, 2, -1). p

1221 QdEFd =GG


18

aE L

2 02 =G

yaE 8,0

36102

10759

9

2

=G

= y2 aE 5,1687

G

LEFd L221

GG = 921 1=Fd 10755,687 yaL

G

921 10755,1687 = yaLFdG

mNaLFd 21

y10265625,14=

G

mNaLFd 21

y 5625,126 =G

rficial de carga niforme de 5nC/m2 est presente na regio x=0, -2 < y <

A(b) PB(0, 3, 0)

23. Dada uma densidade superficial de carga rS 2 na regio r < 0,2 m, z = 0 e rS =0 em qualquer

gar, determine E em: (b) PA(r=0, z=-0.5).

z y

22. Uma densidade supeu0 e " z. Se e = e0, determine E em:

(a) P (3, 0, 0). = 2mC/m

utro luo

x

rrrr

rrdA

rEd S

= GGGG

GGGG

204

)(

ar =G

zar 5.0=G aarr z 5.0 = GG

225,0 += rr GG O elemento de rea da distribuio ser expresso em coordenadas cilndricas:

= dd Ad Assim:

( ) ( )=2

EA +

0 02322

0

5,05,04

ddaazS

G

( ) ( ) +=

2

0 02322

0

5,05,04

ddaaE zSAG

49

0

108,1

36104

24

==

S Como:

: senaaa yx c Como os += teremos ao substituir na expresso acima apenas a dependncia em : za

( )

+=

2,0

02322

2

0

4 5,0

5,0108,1 zA addE

G

zA aE 15,02108,1 4 = G

25,0

2,0

022

+

=

=

zA aE 25,0

1

2,025,0

15,0106,3222

4

+= G

( )[ ]a143047,05,04 zAE 106,3 = G

mkVaE zAG

089,8=

(a) PA(r=0, z=0.5).

Analogamente e por questes de simetria, chega-se a: mkVaE zA 089,8=

G

24. Trs densidades de cargas superficiais sto posicionadas no espao livre como se segue: 20

0 nC/m2 em y = 4 e 40 nC/m2 em z tude de E em:

3, -2); (b) PB(-2, 5, -1); (c) PC(0, 0, 0);

25. Determine E na origem se as seguintes istribuies de carga esto presentes no espao livre:

enC/m2 em x=-3; -3=2. Determine a magni (a) PA(4, d


19

Uma carga pontual de 12 nC, em P(2,0,6). orme de

Uma densidade superficial de carga uniforme de em

(2,0,6)

rL=3nC/m

y 2 rS =0,2nC/m2 x

Campo devido carga puntiforme:

Uma densidade linear de carga unif3nC/m, em x = -2, y = 3.

0,2 nC/m2 x = 2. Soluo: 6 z Q

-2

a E(0) ? 0 3

rrrr

rrQrEQ

= GG

GGGG

GG2

04)(

zx aar 62 +=G zyx aaar 000 ++=G zx aarr 62 = GG

40)6()2( 22 =+= rr GG zx aarr

40

40

= GGrr 62 GG

=

zxQ aarE 406

402

4036104

1012)(29

9

GG

zxQ aarE )( 402,16

404,5 =GG

Campo devido dens ade de carga linear:

id

aE LL 2 0=

G

Observando a figura, escrevemos:

( ) 1332 22 =+=

132cos == x ; 13

yx asenaa cos = yx aaa 13

3132 =

= L aE 2103 9

G

yx a13

31313

36102

9

3== ysen

= yxL aaE 133

13254

G

yxL aaE 13

13= 162108G

Campo devido densi de de carga superficial:

da

NS

S aE 2 0=G

Observe que: xN aa =( )xS aE

36102

2,09

9

= 10

G

= xS aE 6,3G

O campo resultante ser dado por:

SLQR EEEEGGGGG ++=)0(

zxQ aarE )(2,16

404,5 =

40

GG

yxL aE162108 = a1313

G

xS aE 6,3 = G

xa 46,1286,3)0( = zyR aaE 56,2 GG

26. Uma densidade linear de carga uniforme de 5nC/ y=0, z = 2m no espao livre, enquanto outra de -5nC/m est localizada em y=0, z=-2. Uma densidade superficial de 0,3 nC/m2 st em y=-0,2m. Determine |E| na origem. 27. Dado o campo eltrico:

(V/m)

m est em

e

( ) ( ) yx ayxayxE 4224 +=G Determine:

(a) a equao da linha de fora que passa

(b) O vetor unitri Ea especificando a direo de E no ponto Q(3, -2, 5).

pelo ponto P(2, 3, -4). o


20

Soluo: ( )yxyx

dxdy

EE

dxdy

x

y

2442

+==

( ) ( dxyxdyyx 4224 += )( ) ( 4224 ) 0++ yxdyyx =dx

dyyFdx

xFdF

+=

Comparando as duas expresses:

( )dxyxyxFyxxF

x +=+= 42),(42

)(4),( 2 yxyxyxF ++= ( )dyyxyxFyx

yF

y == 24),(24

2 xyxy += Comparando as expresses:

Ento: += 224),(

)(4),( yxF

22 )(;)( yyxx == CxyxyyxF +

423324)3,2( 22 =++= CF 44924 =++ C

23=C 4234),( 22 =+= xyxyyxF

19422 xy = xy (b) Q(3,-2,5)

)ayx 42 + ( ) xayxE 24 = ( yG ( ) ( ) yx aaE )2(432)2(234 +=G

yx aaE 216 +=G

yxE aaE

260260GEn == 216 +G

an 12,099,0 += yxE a

28. mpo eltrico: Seja o ca

yx ayxaxE 15523 =G

o pont

b) trio especificando a direo de E no ponto Q(3, -2, 5).

Um vetor unitrio a l,m,0) qu perpendicular a em Q(3, -2, 5).

29. Se:

Determine:

(a) A equao da linha de fora que passa pel P(4,2, 1). o

( O vetor uni Ea

(c) e N =(

Ea

( )yxy axsenaxeE 55cos20 5 = G , determine:

P /6; 0,1; 2); (b) O vetor unitrio na direo de E no ponto P.

uao da linha de direo que passa por

Soluo:

(a

(a) |E| em (

(c) A eqP.

) ( )yx asenaeE 55cos20 661,05 = G ( )yx aaeE 5,0866,020 5,0 = G ( )yx aaE 5,0866,013,12 =G 13,12=EG

(b) yxE aaa 5,0866,0 =G (c)

xexsene

dxdy

EE

dxdy

y

y

x

y

5cos20520

5

5

==

xtgdxdy 5=

dxxtgy = 5 Cxy += 5cosln

51

C+= 11,0 655cosln

5

56=C

cosln5,0

1286,0=C 1286,05cosln

5

30. Da

1 += xy

da a intensidade do campo eltrico:

( )mVaxayE yx 400400 +=G , determine: (b) A equ ual |E| =800

(a) A equao da linha de direo que passa pelo ponto A(2, 1, -2).

ao na superfcie na qV/m;


21

(c) Esboce a linha de fora da parte (a). (d) Esboce o traado produzido pela interseo do plano z=0 com a superfcie da parte (b).

1. Em coordenadas cilndricas com: 3

( ) ( ) ( ) aEaEE ,,, +=G a equao diferencial que descreve as linhas de direo :

( )

d

dEE =

em qualquer plano z = constante. Calcule a equao da linha que passa pelo ponto:

P(r = 4, f = 100 , z = 2) no campo:

( ) asenaE 323cos2, 22 +=G

Solu :

o

( )

d

dEE =

( )

dd

sen=

323cos2

2

2

dctgd

ddctg 33 ==

= dctgd 3 . Csen += 3lnln 31

Csen 33lnln3 += Csen 33lnln3 =

Csen

33

ln3

=

Cesen

33

3=

( ) Cesen

F 33

3, =

( ) 2103

410,4 30

30 ====

Cesen

F

1263 == Ke C 31283 sen=


22

to colocadas nos vrtices de um tringulo equiltero,

Exerccios Halliday Resnick - Tipler

1) Trs cargas eltricas es

conforme mostra a figura:

+Q

+q

-Q

a a

a

s.

de magnitudes =0,2

a) Qual a intensidade e direo do vetor campo eltrico sobre um ponto no meio da reta que une as cargas? b) Qual a intensidade e direo da fora eltrica sobre um eltron colocado neste ponto? 5) Um tomo de plutnio-239 tem um raio

uclear

Trace as linhas de fora devido as cargas +Q e -Q e determine a direo da fora que atua em +q devido

as cargas eltrica presena das du 2) Qual a magnitude de uma carga puntual cujo campo eltrico 50 cm da carga possui intensidade 2

/C? N

3) Duas cargas puntiformes Q1 mC e Q2=0,085mC esto distanciadas de 12 cm. a) Qual a intensidade do campo eltrico produzido uma sobre a outra? b) Qual a intensidade da fora que atua em cada carga? 4) Duas cargas iguais e opostas de magnitude 0,2mC esto separadas de 15cm.

n de 6,64 fm e um nmero atmico de Z=94. Assumindo que a carga positiva est distribuda uniformemente sobre o ncleo, qual a magnitude e direo do campo eltrico na superfcie do ncleo devido carga positiva? 6) Duas carga s puntiformes esto dispostas como mostra a figura:

x

y

q q1 2

d As cargas so q1= + 1mC e q2= + 3mC e esto separadas por uma distncia d=10 cm. Faa um grfico do campo eltrico E (x) para ambos valores positivos e negativos de x, tomando E positivo quando apontar para a dir egativo quando

7) Determine a magnitude e direo do mpo e

os vrtices, sendo q=0,01mC e 5,0cm

eita e E napontar para a esquerda. ca ltrico em P, centro do quadrado da figura abaixo, com cargas na= .

a

+q

P

-q +2q

-2q

8) Um eltron colocado em cada vrtice de m trin

campo eltric

a que atua em um eltron a olocado?

n distancia

ltrico uni

u gulo eqiltero de 20 cm de lado. a) Qual o o no ponto mdio de um de seus lados? b) Qual a forc 9) Calcule o momento de dipolo eltrico de um eltron e um prto dos de 4,3 nm. 10) Um eltron colocado em um campo

forme de magnitude e 2 00 104, . NC . Calcule

ao de

a acelerao do eltron (ignorar a gravidade). 11) Um eltron acelerado na direo oeste com aceler 1 8 109 2, . ms por um campo eltrico.

e, tem massa d e carga de +2e.

Determine a magnitude e direo do campo eltrico. 12) Uma partcula a, ncleo de um tomo de H e 6 64 10 27, . kg


23

13) Uma nuvem carregada produz um campo

a por uma fora

Qual a magnitude e direo do campo eltrico que balanceia seu peso? eltrico no ar prximo superfcie da Terra. Uma partcula de carga 2 0 10 9, . C atuadeletrosttica descendente de intensidade 3 0 10 6, . N quando colocada no ca a) Qual a magnitude do campo eltrico?

b) Qual a magn

mpo.

itude e direo da fora

mpo? o prton?sttica e a

ra gravitacional?

cemos o campo eltrico E em um do po

as d

al) entre a rra uma nuvem de . Qual a magnitude da

17) Suponha que durante uma descarga eltrica

nergia nesta quantidade carga

g

eletrosttica exercida sobre um prton colocado sobre o ca c) Qual a fora gravitacional sobre d) Qual a razo entre a fora eletrofo 14) Se conheda nto, possvel encontrar o potencial V neste ponto? 15) Determine o potencial eltrico produzido pelas carg o problema 7 no ponto P. 16) A ddp (diferena de potenci Tee 1 2 109, . Vmudana na energia potencial eltrica de um eltron que se move entre esses pontos? entre uma nuvem e a Terra a ddp seja de 1 0 109, . V e uma quantidade de carga transferida de 30 C. a) Qual a mudana de ede transferida? b) Se esta energia fosse usada para locomover um automvel de 1000 kg , qual a velocidade atingida

elo automvel? p c) Se a energia utilizada fosse para derreter o

elo, a 00 C , qual a quantidade de gelo que seria erretida? (Dd do:calor de fuso do geloa :3 3 105, . Jkg ).

18) No problema 6 determine o potencial e rico em qualquer ponto x gerado pelas cargas eltricas. 19) Uma gota dgua carrega uma carga de 30 pC e tem um potencial de 500 V na sua superfcie. (com V 0 no infinito). a) Qual o raio da gota?

b) Se duas gotas com mesmo raio e carga combinam para formar uma outra gota esfrica, qual o encial na superfcie desta nova gota?

20) Determine o potencial eltrico em P evido a presena das 6 cargas pontuais abaixo. ssuma V=0 no infinito.

lt

=

pot

dA


24

Texto : Leitura optativa

Tabela 1: Algumas partculas elementares de

um tom

o:

Vrias partculas elementares so agora experimentalmente conhecidas pelas vrias propriedades pelas quais os fsicos as identificam.

Ele est dividido em quatro grandes classes: o fton, o lptons, o baryons, e o msons. Prtons e nutrons so os componentes bsicos

de ncleos atmicos que, combinou com eltrons, tomos de forma.

Ftons so as unidades fundamentais de radiao eletromagntica que inclui ondas de rdio, luz visvel, e raios de X. O nutron instvel como uma partcula isolada e desintegra pelo processo:

n p + e + Xe com uma vida comum de 917 segundos.

Quando se combinam com prtons, porm, forma certos ncleos atmicos, como oxignio-16 ou o ferro-56, os nutrons ficam estabilizados. A maioria das partculas elementares diferentes do eltron, fton, prton, e nutron foram descobertos desde 1945, alguns por meio de raios csmicos, em experincias que usam aceleradores de alto-energia (veja Aceleradores de Partcula). A existncia de outras partculas foi predita,

as eles no tm contudo sido observar-tal como omgrv

iton responsvel por transmitir a fora itaci

roca de m tipo particular de boson. Interaes nucleares so

os mais veis pela ligao de prtons

toine H. Becquerel, Pierre rie, e esultado

da troca

em outras, mas a energia total onservada e no muda. Para interaes de partcula

elementares estas leis de conservao permanecem com e

, supondo sergrav onal.

Em 1930 o fsico britnico Paul M. Dirac predisse em estudos tericos que, para todo tipo de partcula elementar, h outro tipo chamado sua antipartcula. A antipartcula do eltron foi achada em 1932 pelo fsico americano Carl D. Anderson que chamou de o psitron. O antiprton foi achado em 1955 pelos fsicos americanos Owen Chamberlain e Emilio Segr. conhecida agora que a predio de Dirac vlida para todas as partculas elementares. Algumas partculas elementares, como o fton, so a prpria antipartcula dele. Fsicos geralmente usam uma barra para denotar uma antipartcula; assim a antipartcula de

uma particula tambm pode ser classificada em termos do giro deles/delas, ou momento angular, como bsons ou frmions. Bsons tm um giro que um mltiplo inteiro de uma certa constante, h,; fermions tm um giro que um mltiplo de meio-inteiro daquela constante.

Interaes: Partculas elementares exibem foras, e eles constantemente so criados e so aniquilados. Criao, aniquilao, e fora, de fato, so fenmenos relacionados e chamados de interaes. Quatro tipos de interaes so conhecidos (embora mais foram postulados): Cada tipo de interao acontece pela tu

fortes e so response nutrons e a formao de ncleos. Estas

interaes resultam da troca de glons. Logo, as foras so interaes eletromagnticas responsveis pelos eltrons que esto ligados aos ncleos em tomos e molculas. Estas interaes resultam da troca de ftons. Do ponto de vista prtico, esta ligao de grande importncia porque todas as reaes qumicas representam transformaes eletromagnticas de eltrons e ncleos. Muito mais fracas so as interaes fracas denominadas que governam o decaimento radioativo de ncleos atmicos, observados (1896-98) pelos fsicos franceses e qumicos AnCu Marie Curie. Estas interaes so o r

de bsons fracos: W+, W -, ou partculas de Z. A interao gravitacional de assunto importante em uma balana grande, embora o mais fraco das interaes de partcula elementares. Esta interao o resultado teoricamente da troca de grvitons.

Leis de conservao A dinmica de interaes de partcula

elementares governada por equaes de movimento que a generalizao das trs leis fundamentais de Newton da dinmica. Na dinmica de Newton, no so criados, nem so destrudas; eles so conservados. Energia existe em muitas formas que podem ser transformadas c

feito, mas foram descobertas leis de conservao adicionais que originaram papis importantes na estrutura e interaes de ncleos e partculas elementares. Simetria e Nmeros de Quantum

Princpios de simetria eram quase exclusivamente aplicados a problemas em mecnicas dos fluidos e cristalografia at o comeo do 20 sculo na fsica. Depois de 1925, com o sucesso


25

orque nmeros de quantum e regras de seleo so nec s de fenmeno

Em sua maioria, os princpios de simetria dizem ue um lterado) uando so transformadas certas coordenadas de espao,

ou muda

x, y, e z, de todas partculas (quer dizer, quando os sinais deles so

mudados). Uma o) entre duas rtculas UM e B, por exemplo, que tem pA de

impulso

Um + B C + D (R) tem sid e B com

pulsos -pA e -pB produzem partculas C e D com

a (C)

O princ gao de carga de ser ilustrado se referindo reao R. Se as

os pelo tipartculas UM, B, , e D, ento

Um + B + D C(R)

am que metria al (ou conserva

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