Eliminação de Gauss. ZIP Decomposição [L][D][L] T de [K]

Eliminação de Gauss

KLLL

KLL

KL

U

U

U

U

1 1

1 2

1 3

1 1

1 2

1 1

4

3

2

1

6000

72071500

15165140

0145

146572000

72071500

15165140

0145

171572000

100

10

1

146572000

72071500

15165140

0145

5410

45295160

15165140

0145

1051410

15145160

10

1

5410

45295160

15165140

0145

5410

4641

1464

0145

1000

1051

154

1

0

0

1

0

5410

4641

1464

0145


iii

iiji

iji

ni

ii

iii

nn

k

kl

l

l

lL

SKLLLLL

,,

,2

,11

1 1

1 2

1 3

1 2

1 1

;

1

1

1

....


1

1

1

1

1

;

1

1

1

....

1,321

434241

3231

21

,2

,1

12321

nnnnn

ni

ii

iii

nn

llll

lll

ll

l

L

l

l

lL

SLSLLLLLK


VDUL

RLLLV

RLVRVL

VULD

RULDLRUK

LDLK

LSK K

sdDSDS

T

n

T

T

T

TT

iiii

1

1 1

1 2

1 1

1

...

seja

~ )(simétrica como

diagonal com ;~

L TL D U R

V L R D TL U V

ZIP

Decomposição [L][D][L]T de [K]

1

1

,,

1111

54321

1,...,1 ,

,max onde

1,...,2 ,1

32 para

: vezsuapor coluna cada doconsideran Cálculo

.1 ;3 ;2 ;1 ;1

10

410

035

023

122

j

mrrjrjjjjj

jjkkkjkj

jim

jj

i

mrrjriijij

jmjjmj

j

m

glkd

jmmkdgl

mmm

jmmiglkg

kg

,...,n, j

kd

mmmmm

sim

K


1213

122

1

1121

21111

2

2

2

.1 ;3 ;2 ;1 ;1

10

410

035

023

122

12122222

1

111212

2

12122,2,

11

54321

1

22

glkdglkd

dgldgl

k

j

mmi

kgkg

j

d

mmmmm

sim

K

j

mrrjrjjjjj

kkkjkj

j

mm

j


1225

212

2

2131

31211

2

3

.1 ;3 ;2 ;1 ;1

10

410

035

021

112

23233333

1

222323

3

23233,3,

54321

2

33

glkdglkd

dgldgl

k

j

mmi

kgkg

j

mmmmm

sim

K

j

mrrjrjjjjj

kkkjkj

j

mm

j


13310

313

3

3141

41311

3

4

.1 ;3 ;2 ;1 ;1

10

410

031

021

112

34344444

1

333434

4

34344,4,

54321

3

44

glkdglkd

dgldgl

k

j

mmi

kgkg

j

mmmmm

sim

K

j

mrrjrjjjjj

kkkjkj

j

mm

j


2122221132110

212 4

212 3

111 2

2121 1

2234 ;3,max ;31414

2120 ;2,max ;22313

1110 ;1,max ;11212

4151

1,...,2 ,1

1

5

.1 ;3 ;2 ;1 ;1

10

41

031

021

112

45453535252515155555

1

444545

333535

222525

111515

3534454554

2523353553

1512252552

1

15155,5,

54321

4

55

glglglglkdglkd

dgldglk

dgldglk

dgldglk

dgldglk

glkgmmmii

glkgmmmii

glkgmmmii

j

jmmiglkg

kgkg

j

mmmmm

sim

K

j

mrrjrjjjjj

kkkjkj

kkkjkj

kkkjkj

kkkjkj

m

m

m

jj

i

mrrjriijij

mm

j

m

21

21

231

121

2112

5

sim

K

Decomposição Simétrica de Choleski

222212210~~~~~

;21234~~~~

;21120~~~~

;112220~~~~

;2221~~

;1310~~

;313~~

;125~~

;212~~

;123~~

;222~~

;2~

.1 ;3 ;2 ;1 ;1

~~~~~

~~~~~~

~~~~~~~~

~~~~~~~~

~~~~~

10

410

035

023

122

~

~

~

2222245

235

225

2155555

44353445453325233535

2215122525111515

22344444333434

22233333222323

22122222111212

1111

54321

255

245

235

225

215

454435342

442

34

3533252334332

332

23

2522151223222

222

12

151112112

11

21

21 21 2 21

llllkl

lllkllllkl

lllkllkl

lkllkl

lkllkl

lkllkl

kl

mmmmm

lllll

llllllsim

llllllll

llllllll

lllll

sim

K

DLL

LLDLDLLDDLLDLKTTTTT

Decomposição Simétrica de Choleski

12

,

1

1111

~~

,max onde

1,...,1 , ; ~

~~

~

32 para

~

: vezsuapor coluna cada doconsideran Cálculo

j

mrrjjjjj

jim

jj

ii

i

mrrjriij

ij

j

m

lkl

mmm

jmmil

llk

l

,...,n, j

kl

Condensação Estática

cccacaaT

acccacaaaa

aaaa

cccacaaT

acccacaa

aaT

accccacaaacacaaa

aT

accccc

c

a

c

a

ccT

ac

acaa

RKKRRKKKKK

RUK

RKKRUKKKK

RUKRKKUKUKUK

UKRKU

R

R

U

U

KK

KK

1 1

1 1

1

1

;

A condensação estática é empregada para reduzir o número de graus de liberdade do elemento finito e assim, efetivamente, efetuando parte da solução do sistema total de equações de equilíbrio antes de montar a matriz de rigidez [K] e o vetor de cargas {R}.

Análise por Subestruturas

Uma subestrutura é utilizada da mesma forma que um elemento finito individual, com os graus de liberdade internos sendo estaticamente condensados antes do processo de montagem da estrutura.

aT

accccc

aaaaa

cccacaa

Tacccacaaaa

UKRKU

URUK

RKKRR

KKKKK

1

1

1

{Ua} Graus de liberdade de fronteira

{Uc} Graus de liberdade internos

I IIIII

IV

VVI

VII

Método da Solução Frontal

Na solução frontal, as equações são

estaticamente condensadas na

ordem da numeração dos

elementos.

Por exemplo, as primeiras

equações a serem consideradas na

estrutura da figura seriam aquelas

associadas aos nós 1, 2, m e m+1.

Conhecidas estas equações,

aquelas relativas ao nó 1 podem

então ser condensadas.

Para tanto, as matrizes de rigidez

dos elementos 1, 2, q e q+1, assim

como as cargas relativas aos nós 1,

2, m e m+1 devem ser calculadas

inicialmente.

Nó 1 2 3 4

m+1

m m+2 m+3

Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Elemento q

Elemento q+1

Elemento q+2

Frente de onda para nó 1

Frente de onda para nó 2

Decomposição de Givens

VUS

RPRPVRVP

SPK

RUK

PPPPPPPP

SSKP

G

TGGG

GG

TTn

Tn

TTn

Tn

Tnn

TG

GGT

G

1

1,2

1,1

1,

2,3

2,1

2,

1,

... ... ...

e

superiorr triangulamatriz onde

Decomposição de Givens

1

cossen

1

1

sencos

1

,

TijP njjinj ,...,2,1 1,...,2,1

333231

2322

131211

333231

232221

131211

~~~

~~0

~~~

1

1

cossen

sencos

~ kkk

kk

kkk

kkk

kkk

kkk

K

i-ésima

j-ésima

i-ésima

j-ésima

é escolhido para zerar o elemento (i,j).

Os elementos kij da matriz [K] são zerados na ordem:

njnikk

njkkk

kkk

kk

kkkkkk

kk

ijij

jjj

jjj

,...,1 ;,...3 ~

,...,1 cossen

~sencos

~0sen e 1cos 0 se

sen ;cos

0cossen

212

211

2111

211112211111

2111

22

2222

Decomposição de Householder

VUS

RPRPVRVP

SPK

RUK

PPPP

SSKP

H

THHH

HH

TTTn

TH

HGT

H

1

1

2

1

...

e

superiorr triangulamatriz onde

Decomposição de Householder

iT

i

Tiii

i

i

iTi

wwwwIP

i-I

P

IP

2 ;

~

e ,1 ordem de identidade de matriz

onde

~0

0

1

1

T

TT

T

T

T

wwKK

Kwv

ekkkw

kwekwk

ekkwwI

wwIP

KkK

KPK

11

11

1211111

1112111

121111

111

11

1

~

sinal

;

~

nn

ii

iiii

iiiiii

k

k

kk

kkk

k

kk

~0

0

~0

~~

~~~

~

~~

1,1

1,

1,1,11,1

22

1211

Método Iterativo de Gauss-Seidel

n

ij

sjij

i

j

sjijiii

si

ssss

ssss

ssss

ssss

UkUkRkU

kUkUkUkRU

kUkUkUkRU

kUkUkUkRU

kUkUkUkRU

RUkUkUkUk

RUkUkUkUk

RUkUkUkUk

RUkUkUkUk

1

1

1

111

441

4431

2421

14141

4

334341

2321

13131

3

224243231

12121

2

1141431321211

1

1444343242141

3434333232131

2424323222121

1441313212111

sTL

sLD

s

TLDL

LD

UKUKRKU

KKKK

kkk

kk

kK

k

k

k

k

K

0

0

0

0

;

11 1

434241

3331

21

44

33

22

11

Método Iterativo de Gauss-Seidel

sTL

sD

sLD

s

sTL

sD

sLD

s

sTL

sLD

sDD

s

sTL

sLD

sss

sTL

sLD

ss

sss

UKUKUKRKU

UKUKUKRKU

UKUKRKUKKU

UKUKRKUUU

UKUKRKUU

xgxx

xgxxxgxf

1

1 1

1

1

1

1 1 0

11

11

11 1

11

111

1

O valor ótimo do fator de sobre-relaxação normalmente está entre 1,3 e 1,9.

Erros na Solução

2

0

22

2211

11

0

P

R

R

kk

kkkk

kk

K

kk

kkK

ii

iii

110

22

1

22

221

2

0

2

1

22

2211

11

0

0

0

UkR

PU

U

kk

kkk

P

R

U

U

kk

kkkk

kk

OK 11

1000.1 K 1 ;0001 a)

ivossignificat dígitos 3 com trabalhecomputador o que Supondo

21

k.k

P2

U1 U2

k1k2

R0

singular 000.1000.1

000.1000.1 K 000.1 ;1 b) 21

kk

Erros na Solução

0000114709,0

0024633449,0 ;

0000224020,0

0024393613,0ˆ

ˆ ;

0000109311,0

0000239836,0ˆ

ˆˆ

0133224020,0

3934393613,0ˆ

ˆ

0

30,1ˆ

ˆ

10142,3

42,342,3

391,042,30133,042,330,1

0133,05,9730,1

30,1

30,1

5,970

42,342,3

0

30,1ˆ

ˆ

10142,3

42,342,3

)chopping"(" 3 com computador

0133114709,0

3934633449,0

0,0

3021,1

2431,10142521,3

42521,342521,3

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

U

U

U

Ur

U

U

U

Ur

U

U

U

Ur

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

t

U

U

U

U

êrro de truncamento êrro de arredondamento êrro total

Erros na Solução

grande!ser pode ainda pequeno, seja que mesmo mas

pequeno, seja que necessário é pequeno, seja que Para

portanto, será, solução na êrro O

onde precisão, dupla de aritmética de uso fazendo , resíduo o calculado seja que Suponha

. de vezem obtido é ento,arredondam e to truncamende erros aos Devido

. equações de sistema o para obtida solução a Seja

1

rR

Rr

RKUUr

UUKUKUKRUKRR

R

UU

RUKU

Erros na Solução

dada. norma à menterespectiva matriz da condição de número cond onde

cond

0 com caso o seja a)

:se- tem, que Lembrando

1

1

1

1

1

KKKK

K

KK

K

KKK

UU

U

UUKKU

UUKKU

R

UKUKRKU

RUKUKUK

RUK

RRUKUKUKUK

RRUUKK

Erros na Solução

R

RK

R

RKK

U

U

UKRKRU

UKRRUK

RKURKURUK

K

KKUU

RKKUURKU

K

KK

K

KKK

U

U

UKKU

UKR

RUKUKUK

cond

mas

:0 com caso o seja d)

1 onde 1

:queprovar se-pode , e se c)

cond

:parcelas demais às relação em pequeno e 0 com caso o seja b)

1

1

1 1

1

1- 1

1

1

Erros na Solução

R

RK

R

RKK

U

U

UKRKRU

UKRRUK

RKURKURUK

K

KKUU

RKKUURKU

K

KK

K

KKK

U

U

UKKU

UKR

RUKUKUK

cond

mas

:0 com caso o seja d)

1 onde 1

:queprovar se-pode , e se c)

cond

:parcelas demais às relação em pequeno e 0 com caso o seja b)

1

1

1 1

1

1- 1

1

1

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Eliminação de Gauss. ZIP Decomposição [L][D][L] T de [K]