Elipse

Uma elipse é a intersecção de uma superfície cônica com um plano que a corta numa curva fechada.

Em geometria, uma elipse é um tipo de secção cônica: se uma superfície cônica é cortada

com um plano que não passe pela base e que não intercepte as duas folhas do cone, a

intersecção entre o cone e o plano é uma elipse. Para uma prova elementar disto, veja esferas

de Dandelin.

Em alguns contextos, pode-se considerar o círculo e o segmento de reta como casos

especiais de elipses, no caso do círculo, o plano que corta o cone é paralelo à sua base.

A elipse tem dois focos, que no caso do círculo são sobrepostos. O segmento de reta que

passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto

médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando o comprimento do

eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais

próximas de um segmento de recta. A elipse é também a intersecção de uma superfície

cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.

As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas,

respectivamente, de semi-eixo maior (a) e semi-eixo menor (b).

Equações

Uma elipse e algumas de suas propriedades. c = a.e

Coordenadas Cartesianas

Algebricamente, uma elipse é a curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma

tal que  , onde todos os coeficiente são reais, e onde mais de uma

solução, definindo um par de pontos (x,y) na elipse, existe. O caso   

corresponde ao círculo.

Quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados a equação anterior

torna a forma mais simples:

,

onde (h,k) é o centro da elipse, e a e b são os semi-eixos da elipse.

Outras equações úteis:

1) Centro na Origem:

a) Eixo maior paralelo ao eixo x: 

b) Eixo maior paralelo ao eixo y: 

2) Centro como um vértice, geralmente apresentado como C(h,k):

a) Eixo maior paralelo ao eixo x: 

b) Eixo maior paralelo ao eixo y: 

Coordenadas polares

Em coordenadas polares, existem duas formas principais de se descrever a elipse:

a) Com origem no centro da elipse: 

b) Com origem em um dos focos:  , sendo e a excentricidade.

Essa forma é muito conveniente para aplicações em mecânica celeste, neste caso

o ângulo   é chamado de anomalia verdadeira e é representado pela letra grega   

(nu ou ni)

[editar]Coordenadas paramétricas

[editar]A elipse como lugar geométrico

A elipse pode ser construída usando-se dois pregos, umbarbante e um lápis.

A elipse é o conjunto dos pontos P do plano tais que a soma das distâncias de P a

dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é constante. O teorema de Dandelin mostra que

esta caracterização da elipse é equivalente à definição como secção cónica.

Ou seja, se dist(F1, F2) = 2c, então a elipse é o conjunto dos pontos P tais que

dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a em que   (no caso especial do círculo, os

pontos F1 e F2 coincidem, no caso especial do segmento de reta, a = c).

A excentricidade da elipse é definida por  .

Tem-se   (de novo, e = 0 apenas no caso da circunferência, o caso e

= 1 corresponderia ao segmento de reta, mas normalmente e = 1 corresponde a

uma parábola). Se a for o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor da elipse, então

pelo teorema de Pitágoras vem

Em geodésia e cartografia, é usado o conceito de achatamento (para se

referir ao elipsóide de referência), definido por  . Como

este valor é sempre muito pequeno, ele costuma ser apresentado por seu

inverso. Por exemplo, o achatamento do WGS 1984 é  .

[editar]Características

Sendo:

A1A2 = 2a = eixo maior; B1B2 = 2b = eixo menor; F1F2 = 2c = distância focal.

E colocando os focos nos pontos:

F1(-c,0); F2(c,0).

Temos, pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo B2CF2, que:

a2 = b2 + c2

De acordo com a definição, a distância de qualquer ponto para os focos é

sempre 2a, ou seja:

d(PF1) + d(PF2) = 2a

Área

A área interior de uma elipse é dada por  .

Propriedade reflectora da elipse

As linhas FM e F'M formam ângulos iguais com a tangente à elipse no ponto M.

A elipse tem a propriedade de que a bissectriz do ângulo formado pelos dois

focos e por um ponto qualquer da elipse (como vértice) é perpendicular à

tangente à elipse nesse ponto.

Como consequência, qualquer raio luminoso ou onda sonora, que parta de

um dos focos, será reflectido pela elipse na direcção do outro foco.

Curiosidades

Segundo esta propriedade, numa mesa de bilhar elíptica, qualquer choque

entre duas bolas, acontecido num foco, será refletido e fará bater em uma

terceira bola estacionada no outro foco.

Num plano de três dimensões, esse é o princípio da sala de sussurro que

existe em museus e exposições: duas pessoas estacionadas nos focos de

um elipsóide podem conversar entre si em voz baixa sem serem ouvidas por

nenhuma outra pessoa. No Capitólio dos Estados Unidos da Américahá uma

sala elíptica onde a propriedade reflectora da elipse teria sido usada pelo

presidente John Quincy Adams para escutar conversas que decorriam do

outro lado da sala.

Outro fato curioso sobre as elipses é que, trabalhando com sua

excentricidade (e=c/a), podemos obter tanto circunferências (casos de

excentricidade nula e, portanto, com distância focal igual a zero) quanto

segmentos de reta (casos de excentricidade igual a 1, ou seja, a distância

focal coincide com o tamanho do eixo maior).

O acompanhamento por telescópio do reflexo da intensa luminosidade de

uma supernova nos gases e poeira que se encontram sobre o elipsóide, cujos

focos são a supernova e a Terra, tem permitido compreender melhor a

estrutura do meio interestelar.[1]

Primeira lei de Kepler

A primeira lei de Kepler afirma que a órbita dos planetas em redor do Sol é

elíptica, estando o Sol num dos focos. Dos seis elementos

orbitais necessários para descrever completamente a órbita do planeta dois

são os parâmetros que definem a elipse.