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Exemplo I – Exemplo I – Um carro com massa inicial MUm carro com massa inicial M00 é feito por um tubo de é feito por um tubo de

área A com um comprimento horizontal L e uma altura hárea A com um comprimento horizontal L e uma altura h00. Na sua . Na sua

extremidade tem uma válvula de abertura rápida e a água está extremidade tem uma válvula de abertura rápida e a água está armazenada numa altura harmazenada numa altura h00. .

A) determine a equação para movimento do carro ao abrir a A) determine a equação para movimento do carro ao abrir a válvula.válvula.B) faça uma análise do movimento considerando que após os B) faça uma análise do movimento considerando que após os instantes iniciais de abertura da válvula o nível de água varia instantes iniciais de abertura da válvula o nível de água varia linearmente com o tempo (observação experimental)linearmente com o tempo (observação experimental)

Resposta: -ALd2h/dt2+ +A(dh/dt) 2= -MdU/dt

V

Lh(t)h0

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Exemplo.– Um tanque grande contendo um fluido incompressível tem sua válvula aberta para atmosfera em t = 0.

Considere a altura de líquido constante , que a velocidade no interior do tanque é desprezível e o escoamento se dá sem atrito. Modele o escoamento no trecho reto de tubo que liga o tanque a atmosfera.

S.C.

ho ~ const.

U(t)

2

o

oo

dU UResposta : L gh 0

dt 22gh

U t 2gh Tanh t2L

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Eq. Energia x Q. MovimentoEq. Energia x Q. Movimento

• Para escoamentos incompressíveis, sem transferência de calor (adiabáticos) e em regime permanente, a Equação da Energia e a Equação de Quantidade de Movimento são Linearmente dependentes.

• Consequência: pode-se usar tanto uma quanto outra para resolver os problemas.

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Ex– Ex– O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato (V(Vjj, A, Ajj e e ). O jato atinge o carro e é defletido num ângulo de 180). O jato atinge o carro e é defletido num ângulo de 180oo. .

A) Determine a velocidade em função do tempo e a aceleração.A) Determine a velocidade em função do tempo e a aceleração.

U

MVjAj

X

Z

S.C.

1

2

S.C. não deformável, Vb =0, mas que se desloca com velocidade U(t)

Resposta: A) U/Vj = t*/(1+t*) onde t* =t/ e = (M/2)/(AjVj)

EM 461 – Prof. Eugênio RosaVel

ocid

ades

Rel

ativ

as x

Ab

solu

tas

Vel

ocid

ades

Rel

ativ

as x

Ab

solu

tas

Velocidade de um referencial que se move com o carro:Velocidade de um referencial que se move com o carro:

r1 j r2 jˆ ˆV V U i e V V U i

r r

Relação entre VRelação entre Vrr e V e VII -> V -> VII = V = Vrr + U + U

Velocidades Velocidades inerciaisinerciais V V11 e V e V22::

1 j j

2 j j

ˆ ˆV V U U i V i e

ˆ ˆV V U U i 2U V i

r

r

U

MVjAj

X

Z

S.C.

1

2 xz

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2 2 2I I I

shaft

2 1

V V Vd P Pu gz u gz u gz m Q W

dt 2 2 2

& &&

Isotérmico (Isotérmico (u=0), P = Pu=0), P = Patm atm sem transferência de calor e sem transferência de calor e

trabalho na S.C.:trabalho na S.C.:2 2 2I I I

2 1

V V Vdm 0

dt 2 2 2

&

Fluxo E.K. Fluxo E.K. cruza a S.C.cruza a S.C.

2

22 2j jI I

j j

2 1

2U V VV Vm V U A

2 2 2 2

&

Variação E.K. Variação E.K. dentro do V.C.:dentro do V.C.:

2IVd dU

MUdt 2 dt

Eq. FinalEq. Final 2

j j

dU2 V U A M

dt

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• Ex. – Determine a freqüência natural de oscilação de um tubo em U. Considere a altura média do líquido em h0; a área da seção transversal do tubo A e a distância entre pernas de L.

n

n

h0

Vb

Vb

L

S.C.

z1

z2• Volume do sistema:

Vol = (2h0+L)A

• Velocidade do fluido:

V = dz/dt = Vb

2

20 o

0

t 0

Resposta :

d Z Z 1g 0

h 1 L 2hdt

Z(0) Z

dZ / dt 0

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BernoulliBernoulli

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Exemplo 3 – Exemplo 3 – Um jato de água emerge de um orifício com Um jato de água emerge de um orifício com área A e possui uma velocidade Vo. A componente área A e possui uma velocidade Vo. A componente horizontal do jato permanece constante a medida que o horizontal do jato permanece constante a medida que o jato é defletido pela gravidade. Determine a velocidade jato é defletido pela gravidade. Determine a velocidade resultante do jato, a distância h e a sua área transversal resultante do jato, a distância h e a sua área transversal numa seção com 45º de inclinação. numa seção com 45º de inclinação.

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Exemplo: Um disco de massa M é solto de uma altura H > h0 (alt. equilíbrio). Determine h0

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• -Uma bomba retira água de um resevatório através de um tubo de aspiração de 150 mm de diâmetro. A extremidade do tubo de aspiração está 2 m abaixo da superfície livre do reservatório. O manômetro no tubo de descarga (2m acima da superfície do reservatório) indica 170 kPa. A velocidade média no tubo de descarga é de 3 m/s. Se a eficiência da bomba for de 75% , determine a potência necessária para acioná-la.

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Qual é a potência Qual é a potência necessária para necessária para

bombear uma vazão Q?bombear uma vazão Q?

Considerações:

1. D reserv. >> d tubulação

2. Vel. Reserv. 0

V ~ 0

Z1=2 m

wshaft

d1=150mm

d2=75mm

170kPa

V2=3m/s