ENERGIA

As leis de Newton permitem analisar vários tipos de movimentos. Esta análise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento que são inacessíveis.

0iv

?fv

Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, e resolva o problema usando as leis de Newton.

ENERGIA

Até agora abordamos o movimento dum corpo utilizando grandezas como posição, velocidade, aceleração e força

Resolvemos anteriormente vários problemas de mecânica utilizando esses conceitos

Investigaremos agora uma nova técnica para a análise dos problemas

inclui definições de algumas grandezas conhecidas mas que na física essas grandezas tem significados mais específicos do que na vida diária

Começaremos o nosso estudo explorando o conceito de ENERGIA

O termo energia é tão amplo que é difícil pensar numa definição concisa

Devemos nos restringir a determinadas formas de energia, como a manifestada pelo movimento de um corpo, pela sua posição em relação a outros corpos, pela sua deformação, etc .

Energia é um conceito que ultrapassa a mecânica de Newton é relevante também na mecânica quântica, relatividade , electromagnetismo, etc.

A conservação da energia total de um sistema isolado é uma lei fundamental da natureza

ENERGIA

Importância do conceito de energia

• Processos geológicos• Balanço energético no planeta Terra• Reacções químicas• Funções biológicas (máquinas nanoscópicas)

energia armazenada e energia libertada

• Balanço energético no corpo humano

SISTEMA

Um conceito importante no estudo de energia é o conceito de SISTEMA

é um modelo de simplificação, em que focalizamos a nossa atenção numa pequena região do Universo e desprezamos os detalhes sobre o restante do universo fora do sistema

TRABALHO

Quando empurramos uma caixa ela se desloca nós realizamos um trabalho sobre a caixa a força que exercemos sobre a caixa fez com que ela se movesse

F

x

dm

O TRABALHO realizado por um agente ao exercer uma força constante sobre um sistema é

cosFddFW

O trabalho é uma grandeza escalar

A unidade de trabalho no SI é o joule (J)

Trabalho realizado por uma força constante

d

F

ENERGIA CINÉTICA

A energia cinética de uma partícula de massa m em movimento com uma velocidade escalar v é

2

2

1vmK

A energia cinética é uma grandeza escalar

A unidade da energia cinética no SI é o joule (J)

v

A energia cinética K é a energia associada ao estado de movimento de um corpo

Da segunda lei de Newton

m

Fa xx xx maF

22

0

2 davv x

2

1

2

1 2

0

2 dFmvvm x )(2

1 2

0

2 dFvvm x

O lado esquerdo da expressão representa a variação da energia cinética do corpo e o lado direito é o trabalho realizado pela força sobre o corpo

F

x

v

0v

dm

TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA

22

0

2 dm

Fvv x

“Realizar trabalho”, portanto, é transferir energia

Seja a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m)(xFF

TEOREMA DO TRABALHO E DA ENERGIA CINÉTICA

A definição mais geral de trabalho corresponde ao trabalho realizado por uma força variável

2

1

)(x

x

dxxFW

Integrando entre o estado inicial e o estado final

)(2

1

2)(

22

2

if

v

v

x

xi

x

xi

x

xi

x

xi

x

xi

vvm

vmvdvmdx

dt

dvmadxmmadxdxxFW

f

i

fffff

KW

esse resultado é conhecido como teorema do trabalho e da energia cinética

Quando é feito um trabalho sobre um sistema e a única mudança no sistema é em sua velocidade escalar, o trabalho feito pela força resultante é igual à variação da energia cinética do sistema

Agora vamos deteminar qual é o trabalho realizado pela força peso sobre um corpo de 10.2 kg que de cai 1.0 m de altura?

Exemplo: Trabalho de uma força constante: a força gravitacional na superfície da Terra

mgdmgdmgdW 0180coscos

d

0v

v

gF

gF

o sinal negativo indica que a força gravitacional retira a energia

mgd da energia cinética do objeto durante a subida.

Se o corpo se eleva duma altura d :

Qual é a velocidade final do corpo, se ele parte do repouso?

J100)m0.1()m/s 8.9(kg) 2.10( 2 W

2

1 0

2

1

2

1

2

1 2222 WvmvmmvvmK ffif

0iv

m/s 4.4kg 10.2

J 10022

m

Wv f

cosdFdFW gg

POTÊNCIA

Se uma força externa é aplicada num corpo, e se o trabalho feito por essa força for W no intervalo de tempo t, então a potência média durante esse intervalo de tempo é definida como

t

WP

A potência instantânea P num instante particular é o valor limite da potência média quando t aproxima-se de zero

dt

dW

t

WP

t

0lim

A unidade no sistema inglês é o cavalo-vapor: 1 HP = 760 W

Uma nova unidade de energia pode agora ser definida em termos da unidade de potência:

J 103.6s) W)(360010(kWh 1 63 Um quilowatt-hora é a energia transferida numa hora à taxa constante de 1 kW:

Unidade de potência HP criada por Watt para fazer o marketing de sua máquina numa sociedade fortemente dependente do (e acostumada ao) trabalho realizado por cavalos.1a motivação: retirada da água das minas de carvão.

dt

rdF

dt

dWP

Unidade de P no SI:J/s = watt (W)

o segundo termo é a velocidade e

vFP

Exemplo : 100 m RASOS X MARATONA: TRABALHO E POTÊNCIA

Trabalho realizado sobre o corredor de 100 m rasos: 2,1 x 104 J

Trabalho realizado sobre maratonista (42 142 m): 5,9 x 106J

P. A. Willems et al, The Journal of Experimental Biology 198, 379 (1995)

Potência do corredor de 100 m rasos:

Potência do corredor de maratona: Ws

JPmar 816

60602

109,5 6

Ws

JP 2100

10

101,2 4

100

ENERGIA POTENCIAL

A energia potencial U é uma forma de energia que pode ser associada com a configuração (ou arranjo) de um sistema de dois ou mais corpos, que exercem forças uns sobre os outros.

Consideramos que um estudante levanta um livro de massa m de uma altura inicial acima do solo, até a uma altura final

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL

1y2y

solo

1y

2y

O trabalho feito pelo estudante sobre o sistema livro e Terra é

12

y12y ]e)[( )e (

mgymgy

yymgdFW

Definimos a grandeza

O trabalho apresenta uma transferência de energia para o sistema e que agora aparece na forma de energia potencial gravitacional

mgy

como a energia potencial gravitacional

mgyU g

gU

A unidade da energia potencial gravitacional no SI é o joule (J)

1mgy

2mgy

CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

solo

1y

2y

1mgy

2mgy

A introdução da energia potencial nos permite gerar um princípio poderoso e aplicável universalmente para a resolução de problemas que são difíceis de resolver utilizando as leis de Newton

Do exemplo anterior após termos levantado o livro, se agora soltarmos o livro ele estará sob a influência somente da força gravitacional

Quando o livro cai de para , o trabalho feito pela força gravitacional é

1y2y

12

y21ylivro o sobre ]e)[( )e (

mgymgy

yymgdFW g

Pelo teorema do trabalho e da energia cinética, o trabalho feito sobre o livro é

livrolivro o sobre KW

12livro mgymgyK

KKKKK livroTerralivro

Para o sistema livro-Terra descrito anteriormente, a Terra desloca-se tão lentamente que praticamente a sua velocidade é nula e a energia cinética do sistema, é devido unicamente à energia cinética do livro

K

assim

)( 2112livro mgymgymgymgyKK

Agora o nossa energia gravitacional final é e a energia gravitacional inicial é

fUmgy 1

iUmgy 2

Comparando com o sistema livro-Terra que foi onde definimos a energia potencial gravitacional

gif UUUmgymgy )()( 21 então

gUK escrevemos a equação na forma 0 gUK ou

0)()( ifif UUKK (1) iiff UKUK

Definimos a soma das energias potencial e cinética como ENERGIA MECÂNICA

gUKE mec

Assim a equação (1) é uma formulação da CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

Exemplo : Conservação da energia mecânica gUKE mec

Um sistema físico no qual a força varia com a posição um bloco ligado à uma mola

xkxFF )(mola

0aplicada F

0aplicada F

k é uma constante de força (ou constante elástica)

Lei de Hook lei de força para as molas

o sinal negativo significa que a força exercida pela mola tem sempre direcção oposta ao deslocamento

FORÇA ELÁSTICA

molaF

mola F força restauradora

0xxx

Substituindo a força elástica na integral

ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA

)()]0()([)()(00

xUUxUUdxxFdxxFWxx

x

UW

kxxF )(

A configuração de referência é x0= 0 e 0)0( U

x

dxkxxU0

)()(

é a energia potencial elástica

A energia mecânica para o sistema bloco-mola

constante)(mec xUKE constante 2

1

2

1ou 2

mola

2

blocomec xmvmE

Aplicando para o sistema bloco-mola

2

0 2

1)( kxxdxkxU

x

2

2

1)( kxxU

FORÇA CONSERVATIVA

Forças conservativas forças para as quais a energia mecânica é conservada

O trabalho feito por uma força conservativa não depende da trajectória, depende apenas das configurações inicial e final

Exemplos de forças conservativas • Força gravitacional• Força elástica• Força unidimensional que só dependa da posição: F(x)

Conhecendo a energia potencial podemos determinar a força (força conservativa)

dUdxFdxFrdFdW x xe

dx

dUFx

Exemplo: Para um corpo localizado numa distância y acima de algum ponto de referência, a função energia potencial gravitacional é dada por mgyU g

Determinamos a força mgmgydy

d

dy

dUF g

y )(

que é a expressão correcta para a força gravitacional

FORÇAS NÃO-CONSERVATIVAS

Forças não-conservativas O trabalho feito por uma força não-conservativa depende da trajectória

Nesse caso, não é possível definir uma energia potencial porque o trabalho da força de atrito depende da trajectória descrita pelo corpo

Exemplos de forças não-conservativas: Força de atrito e Força de arraste

Exemplo 1

C

BALFsdFBAW atritoatritoatrito )(

Exemplo 2:

O bloco de massa m é solto de x = d. Qual é a velocidade do bloco em x = 0?

2

2

2 2

10

21

02

1 1

2 2

K mvK U

U kd

kmv kd v d

m

b) Com atrito

2 2

2

1 1

2 2

2

atr c

c

c

E K U W mgd

mv kd mgd

kdv gd

m

a) Sem atrito

d

F

af

d

F

x = 0

x = 0

N

gmP