Engenharia Civil - Autenticação...v Resumo Pontes sujeitas a ac˘c~ao s smica podem formar r otulas pl asticas nos pilares conduzindo a valores de esfor˘cos inferiores aos el asticos

Analise Sısmica de PontesAnalise da Influencia do Comportamento Nao-Linear de Rotulas Plasticas

Miguel Arriaga e Cunha

Dissertacao para a obtencao do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Juri

Presidente: Professor Doutor Jose Manuel Matos Noronha da Camara

Orientador: Professor Doutor Luıs Manuel Coelho Guerreiro

Co-orientador: Professor Doutor Francisco Baptista Esteves Virtuoso

Vogal: Professor Doutor Joao Carlos de Oliveira Fernandes de Almeida

Janeiro 2011

iii

Agradecimentos

Queria comecar por agradecer aos meus pais, a minha famılia e amigos, aos amigos do CL e a todos os

que de alguma maneira me apoiaram e me mantiveram motivado durante a elaboracao desta dissertacao.

Queria agradecer tambem a todos os professores que me deram apoio cientıfico, em particular aos

meus orientadores, Prof. Francisco Virtuoso e Prof. Luıs Guerreiro, que em muito excederam as suas

obrigacoes profissionais e tanto me ajudaram, por vezes ate em prejuızo das exigencias das suas vidas

pessoais.

Por fim agradeco aos professores com os quais me cruzei durante o meu percurso no Instituto Superior

Tecnico que de uma forma geral me inspiraram a um maior gosto e interesse para trabalhar em Engenharia

Civil.

v

Resumo

Pontes sujeitas a accao sısmica podem formar rotulas plasticas nos pilares conduzindo a valores de

esforcos inferiores aos elasticos. Este trabalho pretende analisar a influencia da nao-linearidade fısica

das rotulas plasticas no comportamento sısmico de pontes com pilares de diferentes alturas com seccoes

iguais, igualmente armadas.

Foi definido um modelo de rotula plastica para efeitos de dimensionamento. A rigidez inicial da

rotula plastica foi definida com base nas caracterısticas medias dos materiais tendo em conta o efeito

da fendilhacao. No regime pos-cedencia considerou-se o efeito do endurecimento e limitou-se o momento

maximo ao maximo permitido pelo Eurocodigo 2.

Os resultados indicam que a hipotese do Eurocodigo desprezar o efeito da rigidez pos-cedencia da

seccao pode tornar a solucao pouco restritiva no valor do coeficiente de comportamento permitido, devido

as exigencias de ductilidade associadas.

O Eurocodigo nao contabiliza eficientemente o efeito dos pilares estarem dimensionados para valores

de esforco superiores aos resultantes da analise com base em espectros de dimensionamento, o que, apesar

de nunca ser contra a seguranca, significa que a exigencia de ductilidade nesses pilares sera considerada

superior aquela a que de facto estara sujeito.

Por fim e apresentada uma relacao que permite obter os resultados da analise nao-linear a partir da

analise por espectro de resposta e averiguar quais as exigencias de ductilidade que se impoem aos pilares.

Palavras-chave: ponte, rotula plastica, endurecimento, coeficiente de comportamento, ductili-

dade exigida

vi

Abstract

Bridges subject to a seismic action may form plastic hinges in its piers, leading to internal forces

lower than the elastic ones. This work intends to analyze the influence of the physical non-linearity

of the plastic hinges in the seismic behavior of bridges with piers of different lengths having the same

cross-section and reinforcement.

A plastic hinge model for design purposes was developed. Its initial stiffness was defined based on

the mean characteristics of the materials and also considering the cracking effect. In the post-yielding

regimen the hardening effect was considered and the maximum bending moment was limited by the

resistant moment defined in the Eurocode 2.

The results indicate that the Eurocode hypothesis to neglect the post-yielding stiffness may fail to

correctly limit the allowed behavior factor due to the associated demanded ductility.

The Eurocode doesn’t efficiently take into account the effect of the piers being designed for stress

values greater than the ones resulting from the design spectrum analysis. Although it’s never against

safety, this means that ductility demands on those piers will be considered higher than the real situation.

Finally, this work presents a relation which allows the results of a non-linear analysis be obtained

from the results of a design spectrum analysis, and also to ascertain which will be the ductility demands

on the piers.

Keywords: bridge, plastic hinge, hardening, behavior factor, demanded ductility

Conteudo

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

Notacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

1 Introducao 1

1.1 Enquadramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Objectivo Primario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Objectivo Secundario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Estrutura da Dissertacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Analise Dinamica e Sısmica 5

2.1 Conceitos Gerais da Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Equacoes da Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Aceleracao na Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Analise Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Modos de Vibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Factores de Participacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.3 Espectros de Resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.4 Combinacao Modal e Direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.5 Vantagens e Desvantagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Analise ao Longo do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Consideracoes Sobre a ao Longo do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2 Metodo de Aceleracao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.3 Metodo de Wilson-θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.4 Correccao do Valor da Aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Analise Fisicamente Nao-Linear 19

3.1 Relacao Constitutiva dos Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

vii

viii Conteudo

3.1.1 Relacoes Constitutivas Utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.2 Caracterısticas do Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Relacao Momento-Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1 Metodo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.2 Determinacao da Relacao Momento-Curvatura para Esforco Normal Constante . . 26

3.3 Simplificacao da Relacao Momento-Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.1 Consideracao do Valor de Calculo do Momento Resistente . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Comprimento da Rotula Plastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.1 Comprimento da Rotula para o Momento de Cedencia . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.2 Comprimento da Rotula para o Momento de Rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.3 Relacao Momento-Rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Implementacao Computacional 39

4.1 Elementos e Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.1 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.2 Molas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.3 Molas Nao-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.4 Aparelhos de Apoio com Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Fluxogramas Relativos ao Programa de Analise Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 Fluxogramas Relativos ao Programa de Analise de Seccoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Casos de Estudo 51

5.1 Aplicacao do Modelo Elasto-Plastico na Analise Sısmica de um Portico Plano . . . . . . . 51

5.1.1 Procedimento e Apresentacao das Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.2 Valor do Coeficiente de Comportamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.3 Analise Parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.1.4 Variacao do Momento no Pilar 2 em Funcao do Coeficiente de Comportamento . . 56

5.1.5 Ductilidade Exigida no Pilar 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1.6 Variacao do Deslocamento em Funcao do Coeficiente de Comportamento . . . . . 61

5.1.7 Verificacao da Seguranca no Pilar 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.8 Analise de Perıodos Elevados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1.9 Analise do Efeito do Atrito num Apoio Movel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 Ponte Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2.1 Dimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2.2 Analise de Esforcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2.3 Analise Parametrica da Estrutura e dos Esforcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2.4 Comparacao de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Conclusoes e Desenvolvimentos Futuros 77

6.1 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Conteudo ix

6.1.1 Definicao de uma Rotula Plastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1.2 Influencia do Endurecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.1.3 Verificacao da Seguranca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.1.4 Perıodos Elevados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1.5 Influencia do Atrito num Apoio Deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.1.6 Momentos nos Pilares de uma Ponte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2 Desenvolvimentos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Bibliografia 83

Anexos 85

A Seccoes I

B Espectro de Resposta Segundo o EC8 III

C Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R© V

D Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R© XXIX

Lista de Tabelas

3.1 Propriedades indicadas no EC2 para diversas classes de Betao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Propriedades indicadas no EC2 para diversas classes de Aco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Parametros das seccoes-tipo utilizados para o calculo do valor de αy (ρ, ν) . . . . . . . . . . . 34

5.1 Parametros fixos durante a analise parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2 Valores dos parametros considerados na analise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3 Variacao de KP2, KTot e KP2/KTot em funcao de β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4 Propriedades dos pilares e suas respectivas rotulas plasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5 Propriedades dos pilares e suas respectivas rotulas plasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

A.1 Propriedades de algumas seccoes de pilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II

xi

Lista de Figuras

2.1 Deslocamentos relativos e deslocamentos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Relacao constitutiva generica de um material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Relacao constitutiva do Aco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Relacoes constitutivas do Betao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Seccao generica de betao armado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5 Simplificacao do Diagrama M -χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6 Diagramas para o calculo dos esforcos axiais crıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.7 Valores de Mmaj na definicao da relacao M -χ simplificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.8 Deslocamentos para a definicao de Lpy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.9 Relacao entre αy e ν para varias seccoes de pilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.10 Deslocamentos para a definicao de Lpu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.11 Relacao M -θ de uma rotula plastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1 Barra no referencial local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Diagrama de uma mola nao-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3 Comportamento de um sistema de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4 Fluxograma do programa de analise dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5 Fluxograma da funcao “Passos Comuns” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.6 Fluxograma da funcao “Analise Espectral” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.7 Fluxograma da funcao “Analise Passo-a-passo” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.8 Fluxograma do programa de analise de seccoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.9 Fluxograma da funcao “Calculo Informacao Inicial” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.10 Fluxograma da funcao “Calculo Directo dos Pontos Notaveis” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.11 Fluxograma da funcao “Calculo da Relacao M -χ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1 Portico base para a analise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Grafico auxiliar para o momento normalizado no pilar 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3 Momento normalizado no pilar 2 em funcao de q para x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4 Momento normalizado no pilar 2 em funcao de q para x = 2, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.5 Momento normalizado no pilar 2 em funcao de q para x = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.6 Ductilidade exigida no pilar 1 em funcao do perıodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

xiii

xiv Lista de Figuras

5.7 Deslocamento normalizado da travessa em funcao de q para k = 0, 01 . . . . . . . . . . . . . . 61

5.8 Deslocamento normalizado da travessa em funcao de q para k = 0, 30 . . . . . . . . . . . . . . 62

5.9 Verificacao da seguranca no pilar 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.10 Deslocamento normalizado em funcao de T incluindo perıodos elevados . . . . . . . . . . . . 65

5.11 Relacao entre as grandezas q, x e k para estruturas com perıodo elevado . . . . . . . . . . . . 66

5.12 Espectro de resposta de deslocamentos normalizado em relacao a dT=5s . . . . . . . . . . . . 67

5.13 Coeficiente de ductilidade em forca x em funcao de q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.14 Momento flector elastico nos pilares considerando um aparelho de apoio com atrito . . . . . . 69

5.15 Momento flector no pilar 1 considerando um aparelho de apoio com atrito . . . . . . . . . . . 70

5.16 Momento flector no pilar 2 considerando um aparelho de apoio com atrito . . . . . . . . . . . 70

5.17 Representacao da ponte modelada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.18 Comparacao dos momentos em regime linear e em regime nao-linear na ponte . . . . . . . . . 73

5.19 Comparacao dos momentos de calculo na ponte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.1 Relacao entre a rigidez efectiva de um pilar e o parametro αy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.1 Seccoes de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

B.1 Espectro de Resposta Elastico do EC8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III

Notacao

Lista de Abreviaturas

CEN - Comite Europeen de Normalization (Comite Europeu de Normalizacao)

CQC - Combinacao Quadratica Completa (seccao 2.2.4)

CQS - Combinacao Quadratica Simples (seccao 2.2.4)

EC2 - EN 1992-1-1

EC8-1 - EN 1998-1

EC8-2 - EN 1998-2

ICIST - Instituto de Engenharia de Estruturas, Territorio e Construcao

IST - Instituto Superior Tecnico

LNEC - Laboratorio Nacional de Engenharia Civil

Lista de Variaveis

Capıtulo 2Seccao 2.1

c amortecimento

da deslocamento absoluto

dr deslocamento relativo

ds deslocamento do solo

k rigidez

m massa

v deslocamento

v velocidade

v aceleracao

va deslocamento absoluto

va velocidade absoluta

xv

xvi Notacao

va aceleracao absoluta

vr deslocamento relativo

vr velocidade relativa

vr aceleracao relativa

vs deslocamento do solo

vs velocidade do solo

vs aceleracao do solo

p(t) forca aplicada ao longo do tempo t

ξ coeficiente de amortecimento

ω frequencia angular

{1d} vector de alocacao para o sistema de base rıgida para a direccao d

[C] matriz de amortecimento

[K] matriz de rigidez

[M ] matriz de massa

Seccao 2.2

Pi,d factor de participacao do modo de vibracao i referente a direccao d

r factor de comparacao das frequencias angulares de dois modos de vibracao dado pelo seu

quociente

Sa,i aceleracao espectral para o modo de vibracao i

µij coeficiente de correlacao modal entre os modos de vibracao i e j

ξi coeficiente de amortecimento do modo i

ωi frequencia angular do modo i

{Pd} vector dos factores de participacao referentes a direccao d

{qi,max} contribuicao do modo i para a deformada da estrutura obtida no final do calculo

{u}i vector proprio associado ao modo de vibracao i

{Ui} coluna i da matriz [U ]

{vd} vector de deslocamentos referentes a direccao d

{vd} vector de velocidades referentes a direccao d

{vd} vector de aceleracoes referentes a direccao d

{vi} vector de deslocamentos referentes ao modo de vibracao i

{vi} vector de velocidades referentes ao modo de vibracao i

{vi} vector de aceleracoes referentes ao modo de vibracao i

{vm} vector de deslocamentos em coordenadas modais

{vm} vector de velocidades em coordenadas modais

{vm} vector de aceleracoes em coordenadas modais

{Φi} coluna i da matriz [Φ]

[Cm] matriz de amortecimento no referencial modal normalizado

[Km] matriz de rigidez no referencial modal normalizado

Lista de Variaveis xvii

[Mm] matriz de massa no referencial modal normalizado

[Φ] matriz dos vectores proprios ortonormalizados em relacao a matriz de massa

Seccao 2.3

h intervalo de tempo ou incremento de tempo

k0 rigidez tangente

kd rigidez fictıcia para a formulacao explıcita das equacoes do metodo de aceleracao linear

km rigidez media

vn deslocamento na iteracao n

vn velocidade na iteracao n

vn aceleracao na iteracao n

∆vn incremento de deslocamento na iteracao n

∆vn incremento de velocidade na iteracao n

∆vn incremento de aceleracao na iteracao n

∆v incremento de deslocamento no intervalo de tempo expandido

∆v incremento de velocidade no intervalo de tempo expandido

∆v incremento de aceleracao no intervalo de tempo expandido

∆p incremento de forca

∆pd forca aplicada fictıcia para a formulacao explıcita das equacoes do metodo de aceleracao

linear

∆p incremento de forca no intervalo de tempo expandido

θ parametro do metodo de Wilson-θ

τ intervalo de tempo expandido ou incremento de tempo expandido

{fC0} forcas de amortecimento

{fK0} forcas de restituicao

[K0] matriz de rigidez tangente


Ec modulo de elasticidade secante do betao quando σc = 0, 4fc

Ecd valor de calculo para o modulo de elasticidade do betao

Ecm modulo de elasticidade medio do betao

Ect modulo de elasticidade tangente do betao

Ec0 modulo de elasticidade tangente do betao na origem

Es modulo de elasticidade do aco

fc tensao maxima no betao

fcd valor de calculo para a tensao maxima no betao

fsy tensao de cedencia do aco

fsyd valor de calculo da tensao de cedencia do aco

xviii Notacao

K parametro para a definicao da relacao K-η

M momento flector

ε extensao

εc extensao no betao

εc1 parametro correspondente a extensao quando a tensao no betao e maxima, definido no EC2

para a relacao K-η

εc2 parametro correspondente a extensao quando a tensao no betao e maxima, definido no EC2

para a relacao Parabola-Rectangulo

εcu1 parametro correspondente a extensao de rotura no betao, definido no EC2 para a relacao

K-η

εcu2 parametro correspondente a extensao de rotura no betao, definido no EC2 para a relacao

Parabola-Rectangulo

εsu extensao ultima do aco

εsy extensao de cedencia do aco

εsyd valor de calculo da extensao de cedencia do aco

εuk extensao caracterıstica ultima do aco

η parametro para a definicao da relacao K-η

θ rotacao

σ tensao normal

σc tensao no betao

χ curvatura

Seccao 3.2

Ac area da seccao de betao

As area de uma fibra de aco

Est modulo de elasticidade tangente do aco

N esforco axial

x coordenada segundo o eixo x

y coordenada segundo o eixo y

z coordenada segundo o eixo z

zs coordenada z de uma fibra de aco

εg extensao no centro de gravidade

ε(z) extensao numa fibra de coordenada z

σs tensao no aco

[K] matriz que relaciona as grandezas estaticas M e N com as grandezas cinematicas εg e χ

Seccao 3.3

EII rigidez nao fendilhada

EIII rigidez fendilhada

Lista de Variaveis xix

EIpc rigidez pos-cedencia

fck tensao caracterıstica do betao

MCed momento flector de cedencia

MRot momento flector de rotura

Mmaj,EImin momento flector de cedencia maximo que garante que a rigidez pos-cedencia nao e inferior

ao limite mınimo estabelecido

Mmaj,fk momento flector, calculado para as condicoes medias, em que uma fibra de betao atinge

pela primeira vez a tensao caracterıstica

Mu momento flector de rotura

My momento flector de cedencia

Ncr,Ced esforco axial a partir do qual o aco nao atinge a sua tensao de cedencia

Ncr,Rot esforco axial a partir do qual o aco nao atinge a sua tensao de rotura

χCed curvatura de cedencia

χRot curvatura de rotura

χu curvatura de rotura

χy curvatura de cedencia

{X} vector dos esforcos no referencial do centro de gravidade

{Xv} vector dos esforcos no referencial de uma fibra generica da seccao

{ε0} vector das deformacoes no referencial do centro de gravidade

{ε1} vector das deformacoes no referencial de uma fibra generica da seccao

[T ] matriz transformacao para a mudanca do referencial do centro de gravidade para o referen-

cial de uma fibra generica da seccao

Seccao 3.4

A parametro de uma seccao para o calculo de αy em funcao de αref e ρ

B parametro de uma seccao para o calculo de αy em funcao de αref e ρ

d deslocamento horizontal no topo do pilar

dbl diametro dos varoes longitudinais para o calculo de Lp

dl deslocamento horizontal no topo do pilar devido a componente em regime linear do pilar

dnl deslocamento horizontal no topo do pilar devido a componente nao-linear do pilar

dθ deslocamento horizontal no topo do pilar devido a uma rotacao na base

EIeff rigidez efectiva de um pilar segundo o EC8-2

fyk tensao caracterıstica do aco

Kl rigidez em regime linear da rotula plastica

Kpc rigidez apos a cedencia da rotula plastica

Kθ rigidez de rotacao de uma mola ou rotula plastica

L comprimento desde a base do pilar ate ao ponto de momento nulo

Lp parametro que define um comprimento da rotula plastica preconizado no EC8-2

Lpu comprimento da rotula plastica para a rotura

xx Notacao

Lpy comprimento da rotula plastica para a cedencia

αref valor de αy calculado para ρ = 1%

αu parametro que relaciona Lpu com L

αy parametro que relaciona Lpy com L

γR,p coeficiente parcial de seguranca para a rotacao pos-cedencia de uma rotula plastica de acordo

com o EC8-2

θCed rotacao de cedencia

θRot rotacao de rotura

θp,d valor de calculo da rotacao pos-cedencia de uma rotula plastica

θp,u rotacao pos-cedencia de uma rotula plastica

θu rotacao de rotura

θy rotacao de cedencia

ν esforco axial reduzido

ρ percentagem de armadura

Capıtulo 4

Seccao 4.1

Fatrito forca de atrito

Fy(θ) funcao que representa o patamar de cedencia de uma rotula plastica em funcao de θ

Km rigidez da mola

m valor da massa distribuıda constante ao longo de um elemento

m(x) valor da massa distribuıda no ponto de coordenada x de um elemento

M(x) momento flector em torno do eixo y no ponto de coordenada x de um elemento de barra

Mi momento flector no instante i

N(x) esforco axial (segundo o eixo x) no ponto de coordenada x de um elemento de barra

p(x) carregamento segundo o eixo z no ponto de coordenada x de um elemento de barra

q(x) carregamento axial (segundo o eixo x) no ponto de coordenada x de um elemento de barra

u(x) deslocamento axial (segundo o eixo x) no ponto de coordenada x de um elemento de barra

vi velocidade do grau de liberdade associado a θi no instante i

w(x) translacao segundo o eixo z no ponto de coordenada x de um elemento de barra

ε(x) extensao axial (segundo o eixo x) no ponto de coordenada x de um elemento de barra

θ(x) rotacao em torno do eixo y no ponto de coordenada x de um elemento de barra

θi rotacao no instante i

µa coeficiente de atrito

χ(x) curvatura em torno do eixo y no ponto de coordenada x de um elemento de barra

[A] matriz que representa o operador diferencial de compatibilidade

[B] matriz das funcoes de aproximacao da deformacao

[D] matriz que representa o operador de elasticidade

[K] matriz de rigidez de um elemento

Lista de Variaveis xxi

[Km] matriz de rigidez de uma mola linear

[km]∗ matriz de rigidez auxiliar de uma mola linear

[Mb] matriz de massa de um elemento

[Tb] matriz da mudanca de referencial de um elemento

[ψ] matriz das funcoes de aproximacao do deslocamento


del deslocamento transversal da travessa obtido a partir de uma analise elastica em regime

linear

dE deslocamento de dimensionamento

dEe deslocamento obtido atraves de uma analise por espectro de resposta afectado pelo coefici-

ente de comportamento

di,Ced deslocamento transversal de cedencia do pilar i

dt deslocamento transversal da travessa obtido a partir de uma analise nao-linear ao longo do

tempo

dT=5 deslocamento transversal da travessa quando T = 5 segundos

Fel forca maxima obtida a partir de uma analise elastica em regime linear

FRot forca maxima resistente

k endurecimento expresso como a relacaoKθ,pcKθ,l

KPi rigidez transversal do pilar i

KTot soma das rigidezes transversais dos pilares da estrutura

Kθ,l rigidez da mola em regime linear, para a rotacao θ

Kθ,pc rigidez da mola apos a cedencia, para a rotacao θ

Lp comprimento do pilar p

Lref comprimento do pilar de referencia

M massa

Mi,Ced momento de cedencia no pilar i

Mi,Ed momento maximo no pilar i obtido a partir de uma analise por espectro de resposta afectado

por um coeficiente de comportamento q

Mi,el momento elastico no pilar i

Mel,Atrito momento elastico quando se considera a influencia do atrito nos apoios deslizantes

Mi,NL momento maximo no pilar i obtido a partir de uma analise nao-linear ao longo do tempo

Mi,Rd momento maximo resistente do pilar i

Mi,Rot momento maximo resistente do pilar i

T perıodo

TB perıodo para definicao do espectro de resposta segundo o EC8-1

TC perıodo para definicao do espectro de resposta segundo o EC8-1

TD perıodo para definicao do espectro de resposta segundo o EC8-1

xxii Notacao

T0 perıodo a partir do qual se consideram os deslocamentos iguais aos elasticos segundo o

EC8-2, dado por 1, 25TC

q coeficiente de comportamento

x coeficiente de ductilidade em forca

βp relacao entre comprimentos de pilares dada porLpLref

η coeficiente de correccao devido ao amortecimento, definido no EC8-1

µd factor de ductilidade para os deslocamentos

Seccao 5.2

ag aceleracao em rocha

q′ coeficiente de comportamento corrigido

S parametro que traduz a influencia do tipo de solo

xref coeficiente de ductilidade em forca de referencia

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Enquadramento

Em zonas de sismicidade elevada, como e o caso de Portugal, os pilares das pontes sao frequentemente

condicionados pela accao dos sismos. E por esta razao que e tao importante o estudo da dinamica

estrutural e engenharia sısmica de pontes, pois uma adequada modelacao quer da accao sısmica quer da

resposta da estrutura podera salvar vidas e bens materiais, bem como reduzir as exigencias financeiras a

longo prazo associadas a um eventual dano na estrutura. E com esta motivacao que se aborda o tema

deste trabalho, para melhor compreender e explicar alguns efeitos associados a analise sısmica na direccao

longitudinal de pontes em betao-armado.

A analise dinamica de pontes sujeitas a accao sısmica e geralmente efectuada atraves de uma analise

modal linear, associada a definicao da accao por espectro de resposta. Dado que os elementos de betao

armado tem um comportamento fisicamente nao-linear, e como a accao sısmica e uma imposicao de

movimento na base, e possıvel que os esforcos actuantes na estrutura sejam inferiores aos que se obteriam

atraves de uma analise linear. Isto acontece porque, na accao sısmica, os esforcos dependem do nıvel

de deformacao imposta aos elementos, sendo por esta razao condicionados pelo tipo de diagramas de

esforco-deformacao dos elementos.

Na abordagem por espectro de resposta o efeito das caracterısticas da nao-linaridade fısica e conside-

rado atraves de um espectro de dimensionamento, que nao e mais do que o espectro elastico dividido por

um determinado coeficiente de comportamento.

Surgem entao duas questoes fundamentais. A primeira e que se esta a representar um comportamento

nao-linear atraves de uma analise puramente linear, isto e, depois da analise por espectro de resposta os

esforcos nos pilares vao corresponder a uma distribuicao elastica, apenas reduzidos proporcionalmente

como forma de contabilizar os efeitos da nao-linearidade fısica. Esta distribuicao de esforcos actuantes

verifica-se apenas quando os pilares forem dimensionados para possuırem esforcos resistentes iguais a

esses esforcos actuantes, o que em geral nao acontece, quer por motivos de simplicidade construtiva quer

por exigencias regulamentares mınimas.

Em segundo lugar, este tipo de analise assume um coeficiente de comportamento global para a es-

trutura. Esta hipotese aplicada a analise por espectro de resposta, mais uma vez so se verifica numa

estrutura em que os esforcos resistentes sejam distribuıdos na mesma proporcao que os esforcos elasticos.

Para os restantes casos, cada elemento tera um comportamento diferente em funcao das suas carac-

terısticas e consequentemente, fazendo uma analise elemento a elemento seriam obtidos coeficientes de

1

2 Capıtulo 1. Introducao

comportamento diferentes para cada um deles.

Pretende-se assim aprofundar o estudo das consequencias da abordagem por espectro de resposta,

particularmente para o caso das pontes, procurando obter um resultado mais exacto para a analise.

1.2 Objectivos

1.2.1 Objectivo Primario

Pretende-se entao analisar a resposta de pontes com pilares iguais em seccao e armadura, mas com alturas

diferentes, assumindo um comportamento fisicamente nao-linear. Deste modo, efectuou-se uma analise

ao longo do tempo num modelo que considera a nao-linearidade fısica, para assim obter a distribuicao

dos esforcos que realmente actuam nos elementos da estrutura.

Por ser mais demorada e por nao ser tao simples como a analise por espectro de resposta, uma analise

fisicamente nao-linear ao longo do tempo e usualmente utilizada apenas para casos muito complexos e

de elevada importancia. No entanto o seu resultado pode ser importante mesmo em casos mais simples,

principalmente porque e em pontes de menor complexidade que e mais frequente simplificar a pormeno-

rizacao dos pilares para corresponder as exigencias construtivas, saindo assim do ambito da distribuicao

dos esforcos resistentes proporcionais aos esforcos elasticos.

Surge assim, como objectivo primario, a comparacao entre os resultados ao nıvel dos esforcos e deslo-

camentos da analise por espectro de resposta e da analise ao longo do tempo, para a partir dela avaliar

a importancia dos efeitos ja enunciados. Pretende-se tambem que ao estabelecer esta relacao passe a ser

possıvel, sem recorrer a analises mais complexas, identificar com rigor os casos em que o resultado por

espectro de resposta se distancia demasiado do resultado real.

1.2.2 Objectivo Secundario

Para considerar os efeitos da nao-linearidade fısica e necessario em primeiro lugar definir o metodo

a utilizar. Existem diversos metodos complexos para o fazer como por exemplo a analise atraves de

modelos de fibras (Spacone et al., 1996), a concentracao dos efeitos nao-lineares em rotulas plasticas ou

ate mesmo a utilizacao de coeficientes de comportamento.

Optou-se, neste trabalho, por considerar a nao-linearidade fısica atraves da concentracao dos seus

efeitos em rotulas plasticas. Este elemento tem na sua definicao diversas hipoteses simplificativas, nome-

adamente a sua relacao constitutiva, o comprimento da rotula plastica ou ate mesmo as caracterısticas

dos materiais. A definicao dessas hipoteses prende-se muito com o objectivo da analise que se pretende

efectuar.

Na generalidade dos casos, uma analise nao-linear e feita utilizando os valores medios das carac-

terısticas dos materiais, para desta forma tentar modelar mais correctamente o comportamento da es-

trutura real. No entanto, do resultado da analise surgem esforcos que dependem das caracterısticas das

seccoes dos pilares, que estao definidas atraves de valores medios para os seus materiais. Isto significa

que, para os esforcos obtidos a partir da analise, as tensoes no betao poderao ser superiores a tensao de

1.3. Estrutura da Dissertacao 3

calculo que EC2 preconiza para a verificacao de seccoes, gerando uma incompatibilidade entre o metodo

de analise e a verificacao de seguranca.

Entao, no caso de se pretender utilizar os resultados da analise nao-linear ao longo do tempo para a

obtencao de esforcos de dimensionamento, tera de ser feito um ajuste na definicao dos valores considerados

na rotula plastica. Isto porque os esforcos devidos a accao sısmica dependem apenas da deformacao a que

se sujeita o elemento, o que faz com que a utilizacao de caracterısticas medias para a relacao constitutiva

da rotula possa implicar esforcos na rotula plastica superiores ao esforco resistente de calculo obtido

conforme o EC2, sem que isso implique que o elemento nao verifica a seguranca.

Outra questao na modelacao das rotulas plasticas surge na definicao da sua rigidez inicial. Teorica-

mente, um pilar que esteja encastrado, enquanto nao atingir o momento de cedencia (a partir do qual

deixa de se considerar o elemento como estando em regime elastico) tera rotacao nula na sua rotula

plastica, dado que nao existem efeitos nao-lineares e os efeitos lineares sao contabilizados pelo proprio

elemento. Mas uma rotacao nula implica uma rigidez infinita, que ao colocar num modelo gera problemas

de estabilidade numerica.

Pretende-se entao definir os parametros associados a uma rotula plastica de forma a que, por um lado,

modele convenientemente os efeitos da nao-linearidade fısica, em que o mais conveniente seria utilizar

as caracterısticas medias dos materiais, mas simultaneamente resolvendo o problema de que a utilizacao

da rotula plastica possa gerar esforcos superiores aqueles que a propria seccao permite, sendo para isso

necessario limitar as tensoes admissıveis nos materiais que a constituem.

1.3 Estrutura da Dissertacao

O presente trabalho esta estruturado em seis capıtulos, incluindo o capıtulo da introducao. Assim,

apresenta-se em seguida uma descricao sucinta de cada um deles com os seus principais objectivos e

desenvolvimentos, excluindo-se por razoes obvias o capıtulo da introducao.

No capıtulo 2 apresentam-se, em primeiro lugar, os conceitos gerais e as equacoes que servem de base

a analise dinamica estudada na dissertacao. Definem-se depois os dois metodos escolhidos para efectuar

essa mesma analise, sendo estes a analise modal com base em espectros de resposta e a analise ao longo

do tempo (ou analise passo-a-passo) com inclusao dos efeitos fisicamente nao-lineares. Na abordagem

a analise por espectro de resposta definem-se as hipoteses assumidas e apresentam-se as vantagens e

desvantagens em relacao a analise ao longo do tempo. Por fim, no ambito da analise passo-a-passo,

define-se qual o metodo escolhido para a sua realizacao, as suas vantagens em relacao a outros metodos,

as suas consequencias e as correccoes que lhe sao necessarias.

No capıtulo 3 abordam-se os principais assuntos relativos a nao-linearidade fısica. Parte-se, em pri-

meiro lugar, da nao linearidade dos materiais e das hipoteses que se assumiram na sua modelacao, para

que a partir dos materiais se possam definir relacoes constitutivas de seccoes. A analise da relacao

momento-curvatura de uma seccao e feita atraves do metodo de Newton-Raphson, cujos processos de

calculo e hipoteses assumidas estao definidos neste capıtulo. Em seguida estipula-se qual o processo

simplificativo aplicado a esta relacao e a justificacao adequada desta escolha. Por fim, de forma a mo-

4 Capıtulo 1. Introducao

delar correctamente as rotulas plasticas, define-se a relacao entre a o diagrama momento-curvatura de

uma seccao e o diagrama momento-rotacao da rotula plastica associada a um elemento com essa mesma

seccao.

Definidos os metodos de analise e as caracterısticas da nao-linearidade fısica apresenta-se no capıtulo 4

o processo computacional elaborado para abordar o assunto em estudo na dissertacao. Apresenta-se entao

o modelo de elementos finitos e os elementos base definidos no programa efectuado em MATLAB R© para

fazer a analise de uma estrutura plana generica. Nestes elementos incluem-se nao so os tıpicos elementos

de barra e molas lineares, mas tambem as molas com comportamento nao-linear e aparelhos de apoio com

atrito. Apresentam-se em seguida os fluxogramas com a estrutura de cada um dos programas elaborados,

um para calcular e analisar a estrutura com elementos nao-lineares e um segundo programa para, atraves

da definicao de uma dada seccao, calcular os parametros dos elementos nao-lineares que integram o

primeiro programa.

No capıtulo 5 efectuam-se entao as analises globais que incluem todos os efeitos abordados individual-

mente nos capıtulos anteriores. Este capıtulo divide-se em dois grandes sub-capıtulos. No sub-capıtulo 5.1

faz-se uma analise parametrica exaustiva de uma estrutura simples, para assim definir alguns parametros

dominantes do problema em estudo e procurar compreender sua influencia na resposta. No sub-capıtulo

5.2 faz-se a analise de uma ponte baseada num exemplo real, de forma a verificar a aplicabilidade e

validade dos resultados obtidos no sub-capıtulo anterior.

Por fim apresentam-se no capıtulo 6 as conclusoes que se puderam extrair no decorrer do trabalho

desenvolvido. Apresentam-se tambem propostas para desenvolvimentos futuros na area estudada.

Capıtulo 2

Analise Dinamica e Sısmica

Existem diversos metodos para efectuar a analise dinamica de uma estrutura e a escolha do metodo

prende-se essencialmente pelo tipo de accao e pelo tipo de estrutura consideradas. A principal distincao a

fazer e entre um metodo de analise modal e um metodo de analise no domınio do tempo. As caracterısticas

de cada um destes metodos sao explicadas em 2.2 e 2.3, respectivamente.

2.1 Conceitos Gerais da Dinamica

Apesar de abordarem o problema de formas muito distintas, os dois metodos utilizados baseiam-se nas

mesmas equacoes da dinamica e no mesmo tipo de funcionamento estrutural. E assim conveniente intro-

duzir os conceitos dinamicos necessarios e explicitar as expressoes que consequentemente surgem destes

conceitos de forma a que se compreenda o comportamento dinamico basico de uma estrutura.

2.1.1 Equacoes da Dinamica

Considere-se em primeiro lugar um problema de um grau de liberdade cuja equacao de equilıbrio e dada

por

mv(t) + cv(t) + kv(t) = p(t) (2.1)

em que m corresponde a massa, c o coeficiente de amortecimento e k a rigidez. A variavel p representa a

forca aplicada no grau de liberdade ao longo do tempo e v e o deslocamento. Por v e v representam-se a

primeira e segunda derivadas do deslocamento em ordem ao tempo, ou seja, a velocidade e a aceleracao.

Dividindo a equacao anterior por m obtem-se

v(t) + 2ωξ.v(t) + ω2.v(t) =p(t)

m(2.2)

em que

ω =

√k

m(2.3)

ξ =c

2mω(2.4)

A variavel ω corresponde a frequencia angular do sistema e ξ representa o amortecimento relativo

definido pela relacao entre o coeficiente de amortecimento e o coeficiente de amortecimento crıtico do

sistema dado por 2mω.

A solucao geral desta equacao tem duas componentes, sendo a primeira a solucao homogenea e a

segunda a solucao particular. A solucao homogenea corresponde a solucao quando p(t) = 0 e representa

a vibracao livre do oscilador. A solucao particular define-se a partir do carregamento aplicado p(t).

5

6 Capıtulo 2. Analise Dinamica e Sısmica

Fazendo uma analise sem amortecimento (c = 0) e com p(t) = 0 obtem-se uma solucao homogenea

em que a unica caracterıstica diferente em relacao a solucao homogenea amortecida e a amplitude, que

no primeiro caso e constante. Refira-se que, na realidade, a frequencia amortecida e tambem diferente

da frequencia nao amortecida. No entanto, para casos com baixo amortecimento (ξ < 20%, o que

inclui a generalidade dos casos estruturais) a diferenca entre a frequencia amortecida e a frequencia nao

amortecida e desprezavel (Clough & Penzien, 2003).

No caso de problemas com varios graus de liberdade o problema formula-se atraves da equacao

[M ]{v(t)}+ [C]{v(t)}+ [K]{v(t)} = {p(t)} (2.5)

em que [M ] representa a matriz de massa, [C] a matriz de amortecimento e [K] a matriz de rigidez da

estrutura. O vector {p(t)} representa as forcas aplicadas nos graus de liberdade da estrutura ao longo do

tempo. Da mesma forma os deslocamentos, velocidades e aceleracoes sao agrupados nos vectores {v(t)},

{v(t)} e {v(t)}.

2.1.2 Aceleracao na Base

Dado que no ambito deste trabalho se pretende fazer a analise dinamica de uma estrutura sujeita a uma

accao sısmica e necessario definir a equacao dinamica para o caso de uma estrutura actuada por uma

excitacao de base. Na generalidade dos casos a accao sısmica e registada atraves de aceleracoes ao longo

do tempo, sendo portanto a accao sısmica uma aceleracao imposta ao nıvel da base da estrutura.

Para abordar este problema e necessario ter presente os conceitos de deslocamento relativo e desloca-

mento absoluto (e respectivas velocidades e aceleracoes).

O deslocamento absoluto e o deslocamento medido em relacao a um referencial independente da

estrutura que se mantenha estatico ao longo de toda a analise. O deslocamento relativo e a diferenca

entre o deslocamento absoluto do grau de liberdade que se pretende medir e o deslocamento absoluto do

ponto de ligacao a base. Como se assume, em geral, que a accao sısmica actua de forma igual em todos

os pontos com ligacao ao exterior, os deslocamentos relativos medem-se em relacao a base. Na figura 2.1

ilustram-se os tipos de deslocamentos possıveis, sendo que estes conceitos podem ser extrapolados para

a velocidade e para aceleracao.

E simples demonstrar que tanto para as forcas de restituicao como para as forcas de amortecimento

a unica componente relevante e a relativa. Basta pensar que uma estrutura que estivesse impedida de

ter deslocamentos relativos comportaria-se como um corpo rıgido e por isso nenhum ponto da estrutura

teria o seu deslocamento influenciado nem pela rigidez nem pelo amortecimento conferido pela estrutura.

Por outro lado as forcas de inercia dependem da aceleracao absoluta dado que, tomando uma vez mais o

exemplo anterior, a estrutura iria ter forcas de inercia apesar de nao ter deslocamentos (nem aceleracoes)

relativos (Azevedo & Proenca, 1991, pag 19).

Sendo assim pode escrever-se equacao do movimento da seguinte forma:

mva(t) + cvr(t) + kvr(t) = 0 (2.6)

2.1.2. Aceleracao na Base 7

daa

dd drdsFigura 2.1: Deslocamentos relativos e deslocamentos absolutos: dr - deslocamento relativo, ds - deslocamentodo solo, da - deslocamento absoluto

em que va(t) e a aceleracao absoluta, vr(t) a velocidade relativa e vr(t) o deslocamento relativo. Sabe-se

no entanto que (por extrapolacao para a aceleracao dos deslocamentos representados na figura 2.1)

va(t) = vr(t) + vs(t) (2.7)

que substituindo na equacao (2.6) e permite obter

mvr(t) + cvr(t) + kvr(t) = −mvs(t) ≡ p(t) (2.8)

Nesta equacao p(t) representa uma carga equivalente aplicada ao nıvel do grau de liberdade de valor

igual a −mvs(t). O sinal negativo pode no entanto ser desprezado ja que, em geral, numa analise sısmica

apenas interessa o valor maximo de vr(t).

Por motivos de facilidade de notacao o ındice r deixa de se incluir nas equacoes ja que de agora

em diante apenas se utilizam grandezas relativas, excepto quando em casos pontuais e devidamente

assinalados se refere a aceleracao do solo.

Assim, a equacao final (2.8) fica identica a equacao (2.1) estando a unica diferenca no significado fısico

do termo p(t).

Falta entao, para o caso de uma estrutura com varios graus de liberdade, definir o vector {p(t)}

presente na equacao (2.5). A dificuldade surge porque nem todos os graus de liberdade vao ser excitados

directamente pela aceleracao do solo. De facto, apenas vao ser excitados os graus de liberdade que tem

a mesma direccao que a accao sısmica aplicada. Cria-se para o efeito um vector normalmente designado

por {1d} que tem um elemento unitario nas entradas em que o grau de liberdade correspondente tem a

direccao d e um elemento nulo nas restantes entradas, sendo que a direccao d e a direccao em que actua

o sismo.

A partir deste momento a abordagem de cada metodo diverge sendo entao cada um analisado de

forma separada.


2.2 Analise Modal

A analise modal abordada nesta seccao refere-se nao so ao calculo das caracterısticas modais da estrutura,

mas tambem a utilizacao desse resultado para o calculo dos efeitos da accao sısmica na estrutura. No

entanto, a analise das frequencias e modos de vibracao da estrutura tem inumeras possibilidades de

utilizacao noutros ambitos, nomeadamente na analise de efeitos como a vibracao, a accao do vento, a

accao de maquinaria pesada, etc. . .

2.2.1 Modos de Vibracao

Mantendo a formulacao da equacao (2.5) surge a dificuldade de resolver o problema dinamico de varios

graus de liberdade em simultaneo. Para resolver esta dificuldade toma-se partido do conceito de modo

de vibracao. Um modo de vibracao representa um modo da estrutura vibrar no seu todo e so tem um

grau de liberdade na sua definicao (representado pela forma do modo e pela sua amplitude).

Uma estrutura tem tantos modos como o numero de graus de liberdade independentes, possuindo

a caracterıstica fundamental de que todos os modos sao independentes entre si. Assim, analisando a

estrutura a partir dos seus modos de vibracao, e possıvel analisar a resposta dinamica de cada modo de

forma independente dos outros, reduzindo assim o problema da resolucao de um sistema de n equacoes

diferenciais com n graus de liberdade a resolucao de n equacoes com um grau de liberdade, em tudo

semelhantes a equacao (2.1).

Comecando por analisar uma estrutura sem amortecimento e possıvel obter a solucao homogenea a

partir da solucao do sistema de equacoes

[M ]{v(t)}+ [K]{v(t)} = {0} (2.9)

A aplicacao da regra de Cramer (Clough & Penzien, 2003) conduz a que este sistema tenha solucoes

da forma

u =0

‖[K]− ω2[M ]‖(2.10)

que so toma uma solucao nao trivial quando

∥∥[K]− ω2[M ]∥∥ = 0 (2.11)

A solucao do problema e assim um problema de valores e vectores proprios em que cada valor proprio

corresponde a ω2, representando o quadrado da frequencia angular do modo considerado, e o vector

proprio associado u e a configuracao do modo de vibracao.

Os modos respeitam entre si as condicoes de ortogonalidade, isto e

{u}Tm [M ] {u}n

= {0} se m 6= n

6= {0} se m = n

(2.12)

em {u}i representa o vector proprio correspondente ao modo i. Este raciocınio e tambem valido em

relacao a matriz de rigidez [K].

2.2.1. Modos de Vibracao 9

Dado que nos casos reais a matriz de amortecimento nao pode ser obtida de forma directa, a sua

definicao e em geral efectuada partindo do conhecimento experimental que se tem em relacao as ca-

racterısticas de amortecimento globais da estrutura, normalmente definidas num so parametro ξ. Se a

matriz [C] for definida por combinacao linear das matrizes [M ] e [K] garante-se que esta cumpre tambem

as condicoes de ortogonalidade em relacao aos modos de vibracao (Clough & Penzien, 2003). Assim,

o resultado da analise dos modos e frequencias da estrutura nao amortecida e igual ao da estrutura

amortecida.

Tomando a matriz [U ] como a matriz que tem em coluna todos os vectores proprios dos modos de

vibracao, e facil entender que, devido as condicoes de ortogonalidade,

[M ′] = [U ]T

[M ] [U ] (2.13)

em que [M ′] e uma matriz diagonal. Dado que este raciocınio tambem e valido para a matriz [K] e para

a matriz [C], isto significa que e possıvel transformar o problema complexo de n graus de liberdade num

problema mais simples de n equacoes de um grau de liberdade.

Os vectores proprios definem um novo sistema de coordenadas com as caracterısticas ja mencionadas.

E comum, nestes casos, normalizar os vectores que definem o novo sistema de eixos de modo a facilitar

as operacoes neles efectuadas. A semelhanca da passagem da equacao (2.1) para a equacao (2.2), e

conveniente expressar a equacao (2.5) numa equacao que esteja “dividida” pela massa. Define-se entao a

matriz [Φ] que e a normalizacao da matriz [U ] em relacao a matriz de massa, que se obtem fazendo para

cada modo

{Φi} ={Ui}√

{Ui}T [M ]{Ui}(2.14)

em que {Φi} e {Ui} sao a coluna i das matrizes [Φ] e [U ] respectivamente. Como {Φi} corresponde a

uma mudanca de amplitude do vector {Ui}, este respeita tambem as condicoes de ortogonalidade, o que

torna possıvel a definicao das seguintes matrizes:

[Mm] = [Φ]T

[M ] [Φ] = [I] (2.15a)

[Cm] = [Φ]T

[C] [Φ] = [2ωiξi] (2.15b)

[Km] = [Φ]T

[K] [Φ] =[ωi

2]

(2.15c)

em que [Mm] e igual a matriz identidade e as matrizes [Cm] e [Km] sao matrizes diagonais que tem em

cada entrada da diagonal o valor de, para cada modo, 2ωξ e ω2 respectivamente.

Desta forma obtem-se a equacao

[Mm]{vm(t)}+ [Cm]{vm(t)}+ [Km]{vm(t)} = −[Mm]{vs,m(t)} (2.16)

em que os vectores vm(t), vm(t), vm(t) e vs,m(t) sao os vectores v(t), v(t), v(t) e vs(t) premultiplicados

pela matriz [Φ]−1

que e o mesmo que premultiplicar por [Φ]T

[M ] (Azevedo & Proenca, 1991). Esta

premultiplicacao, no fundo, e apenas uma mudanca de coordenadas das coordenadas consideradas na

equacao (2.5) para as coordenadas modais parametrizado com a matriz de massa.


Substituindo as matrizes pelos seus resultados definidos nas equacoes (2.15), sendo estas matrizes

diagonais, obtem-se n equacoes (sendo n o numero de graus de liberdade ou modos) da forma:

vm,i(t) + 2ωξ.vm,i(t) + ω2.vm,i(t) = vs,m,i(t) (2.17)

em que i e o modo de vibracao considerado ou simplesmente a linha i do sistema de equacoes. Note-se

que esta equacao e em tudo semelhante a equacao (2.2) o que significa que se conhece a sua solucao.

2.2.2 Factores de Participacao

Os modelos estruturais tem tantos modos de vibracao quanto o numero de graus de liberdade com massa

nao nula usados na definicao da estrutura. No entanto nem todos os modos contribuem de igual forma

para a resposta, dependendo essa contribuicao da relacao entre a frequencia do modo e as caracterısticas

da excitacao.

O factor de participacao de um dado modo traduz a maior ou menor excitacao que esse modo sofre para

uma determinada direccao da accao. Uma boa forma, embora algo grosseira, de se entender este factor e

considera-lo como um parametro que indica, para um sismo numa determinada direccao, a “quantidade

de massa” que e excitada apenas por influencia daquele modo.

Considere-se, a tıtulo de exemplo, a estrutura da figura 2.1. Considerando a massa como concentrada,

a estrutura possui apenas dois modos de vibracao, um de translacao horizontal e outro de translacao ver-

tical. Dentro da hipotese dos pequenos deslocamentos, um deslocamento horizontal nao implica qualquer

deslocamento vertical, o que nos indica que, perante um sismo que actuasse na direccao horizontal, o

factor de participacao do modo vertical seria nulo.

Recorde-se em primeiro lugar o conceito do vector {1d} definido na seccao 2.1.1. Este vector relaciona

o valor da aceleracao no solo vs,d(t) com o vector das aceleracoes que surgem em cada grau de liberdade

para a direccao considerada {vs,d(t)}. Tem-se assim,

{vs,d(t)} = {1d}.vs,d(t) (2.18)

Consegue-se assim obter o vector das aceleracoes nos graus de liberdade da estrutura em funcao

da aceleracao aplicada na sua base. No entanto numa analise modal pretende-se analisar a resposta

global das estrutura com base na resposta segundo os seus modos, sendo por isso conveniente expressar

o vector das aceleracoes no referencial modal. Recorde-se entao que premultiplicar um vector por [Φ]−1

corresponde mudar o referencial em que este esta representado de coordenadas globais para coordenadas

modais. A operacao de premultiplicacao por [Φ]−1

e matematicamente equivalente a premultiplicar por

[Φ]T

[M ]. Desta forma obtem-se:

{vs,m,d(t)} = [Φ]T

[M ] {1d}.vs,d(t) (2.19)

Consequentemente, os factores de participacao de uma estrutura para um dado tipo de sismo definem-

se da seguinte forma:

{Pd} = [Φ]T

[M ] {1d} (2.20)

2.2.3. Espectros de Resposta 11

em que {Pd} e um vector que contem os factores de participacao de cada modo para um sismo a actuar

na direccao d. Desta forma, e possıvel definir a accao actuante da equacao (2.17) atraves do factor de

participacao ficando:

vs,m,i,d(t) = Pi,d.vs,d(t) (2.21)

em que vs,d(t) corresponde a excitacao imposta na base da estrutura numa dada direccao d.

Note-se que a accao vs,d(t) pode depender das proprias caracterısticas do modo, nomeadamente do

seu perıodo, nao sendo o seu valor independente do modo que se esta a calcular.

2.2.3 Espectros de Resposta

Para a completa definicao do problema falta apenas saber qual o valor vs,d(t) a considerar. Uma possibi-

lidade seria utilizar varios acelerogramas e para cada modo resolver a equacao (2.17) com cada um deles,

o que exigiria um esforco de calculo consideravel.

O conceito de espectro de resposta das aceleracoes aparece como uma funcao que relaciona o maximo

da aceleracao que surge numa estrutura elastica linear de um grau de liberdade (com um determinado

amortecimento), quando esta sujeita na sua base a uma serie de acelerogramas, em funcao da frequencia

propria da estrutura (ou do perıodo, como esta representado na figura B.1 do Anexo B). Como na

maioria dos casos a amplitude da aceleracao pode ser considerada proporcional, em funcao de ω2, a

amplitude dos deslocamentos, pode tomar-se como valor espectral dos deslocamentos o valor espectral

das aceleracoes dividido por ω2. No entanto, esta relacao apenas e valida para valores de ξ ≤ 10% e

perıodos 0, 2s ≤ T ≤ 2, 5s (Guerreiro, 1998).

A amplitude maxima (numa dada grandeza) de um determinado modo e a amplitude espectral multi-

plicada pelo factor de participacao desse modo. Multiplicando a amplitude calculada pela forma do modo

(vector Φi por coerencia com o factor de participacao) obtem-se entao a deformada maxima gerada por

resposta desse modo de vibracao ao sismo. Ou seja,

{qi,max} = {Φi}Pi.Sa,iωi2

(2.22)

em que Sa,i e a aceleracao espectral para o modo i e {qi,max} a deformada resultante desse modo.

Os esforcos resultantes desse modo sao simplesmente os esforcos que surgem quando se aplica a

deformada obtida atraves da equacao (2.22) na estrutura. Como se pode observar, o unico factor que

depende do espectro aplicado e o parametro Sa,i. Isto significa que e possıvel calcular os esforcos fazendo

Sa,i = 1 e posteriormente multiplicar esses esforcos pelo valor de Sa,i para obter os esforcos finais.

Este procedimento possui a grande vantagem de permitir fazer o calculo de todos os esforcos modais da

estrutura antes sequer de se indicar qual a accao sısmica. Em seguida basta aplicar um factor de escala,

que e simplesmente a aceleracao espectral, e obtem-se os esforcos finais associados a cada modo. Isto

permite utilizar varios espectros diferentes na mesma estrutura sem que isso exija um grande esforco

computacional.


2.2.4 Combinacao Modal e Direccional

Viu-se anteriormente como se obtem os maximos esforcos obtidos em cada modo ao longo de toda a

analise. Mas como ja foi mencionado esses esforcos nao ocorrem em simultaneo, conduzindo a sua soma a

um valor demasiado conservador. De facto, se as frequencias forem suficientemente afastadas, e possıvel

considerar a ocorrencia dos maximos modais como independentes entre si (Azevedo & Proenca, 1991).

Quando dois acontecimentos sao considerados independentes podem ser combinados atraves do metodo

de Combinacao Quadratica Simples (CQS1) expresso por

X(max) =

√∑i

(X

(max)i

)2

(2.23)

em que X e a grandeza que se pretende combinar.

A combinacao modal atraves desta expressao pode em alguns casos gerar erros significativos, nome-

adamente quando dois modos tem frequencias relativamente proximas, dado que as suas contribuicoes

para a resposta deixam de ser independentes. Nesses casos e necessario contabilizar a correlacao que pode

existir entre os modos, dando origem a metodos de combinacao modal alternativos. Um dos metodos

possıveis e o de Combinacao Quadratica Completa (CQC2), que se baseia no mesmo tipo de raciocınio

que a CQS, mas que inclui um parametro que contabiliza a influencia da proximidade das frequencias e

tambem a possibilidade dos coeficientes de amortecimento modais serem diferentes (Azevedo & Proenca,

1991). Na CQC considera-se

X(max) =

√∑i

∑j

X(max)i µijX

(max)j (2.24)

em que X e a grandeza que se pretende combinar e µij e o coeficiente de correlacao modal entre o modo

i e o modo j.

Este coeficiente depende das frequencias e coeficientes de amortecimento dos modos a combinar.

Considerando que a duracao da accao e longa, que o espectro e regular e que o amortecimento modal e

constante (Azevedo & Proenca, 1991), os coeficientes de correlacao modal podem ser estimados atraves

de:

µij =8ξ2 (1 + r) r(3/2)

(1− r2)2

+ 4ξ2r(1 + r)2 (2.25)

em que r = ωj/ωi. Note-se que para r = 0 (acontecimentos independentes), µij = 0 e para r = 1

(ωi = ωj), µij = 1. O que significa que o CQC reduz-se ao CQS.

Ao contrario da combinacao quadratica simples, o resultado do CQC depende do sinal das grandezas

intervenientes por causa da existencia dos termos cruzados. No entanto e importante ter presente que

o resultado final desta combinacao continua a ser um valor em modulo, nao sendo possıvel saber qual o

sentido em que esse esforco maximo calculado vai actuar.

Dado que tanto o calculo de µij como a utilizacao da expressao (2.24) nao afectam significativamente

o esforco de calculo relativamente a utilizacao da expressao (2.23), e legıtimo utilizar sempre o metodo

de CQC, mesmo quando a partida se preve uma correlacao modal muito baixa.

1E frequente ver na literatura cientıfica a sigla SRSS que tem o mesmo significado e tem origem na expressao em ingles“Square Root of Sum of Squares”

2Em ingles a sigla surge com a mesma forma por designar “Complete Quadratic Combination”

2.2.5. Vantagens e Desvantagens 13

A combinacao direccional segue a mesma linha de raciocınio que a combinacao modal. No entanto,

neste caso, a hipotese de considerar a independencia entre a accao nas diversas direccoes ja e perfeitamente

legıtima e experimentalmente comprovada. Sendo assim, a utilizacao do metodo de CQS e adequado para

a combinacao direccional.

O procedimento de combinacao fica entao:

1. Utilizar os valores de deslocamentos modais para calcular os esforcos modais (deve combinar-se a

grandeza que se pretende medir e nao uma grandeza que permita o seu calculo).

2. Combinar os esforcos modais utilizando o metodo de CQC.

3. Combinar os esforcos maximos (calculados no ponto anterior) para cada direccao utilizando o

metodo de CQS.

2.2.5 Vantagens e Desvantagens

Este metodo tem inumeras vantagens e desvantagens em relacao ao metodo por integracao no tempo,

considerando a analise modal apenas atraves de espectros de resposta, destacando-se as seguintes:

Vantagens

1. Escolha dos modos considerados - E possıvel escolher quais os modos considerados na analise

eliminando os modos que nao se considerem relevantes. Isto e particularmente importante

porque a um modelo de uma estrutura esta associado um determinado nıvel de discretizacao,

pelo que os modos de perıodo mais baixo nao sao representativos da realidade por serem

dependentes do nıvel de discretizacao afecta.

2. Calculo economico - Este metodo e bastante economico do ponto de vista de calculo sendo a

componente mais dispendiosa a do calculo dos valores e vectores proprios, componente esta

que pode ser fortemente melhorada reduzindo o numero de modos a considerar

3. Individualizacao dos passos do calculo - Este metodo tem cada passo calculado individual-

mente, o que significa que se, por exemplo, se desejar utilizar varios espectros, apenas e

necessario repetir os passos seguintes ao passo em que e introduzida a contribuicao do espec-

tro. Isto significa que nao seria necessario voltar a calcular os modos nem os esforcos modais

e apenas seria necessario repetir a combinacao modal e direccional. Outra aplicacao desta

vantagem e poder verificar os esforcos associados a cada frequencia modal o que permite, por

exemplo, no caso de amortecedores para a accao do vento, tornar mais clara a escolha da sua

frequencia (TMD3).

4. Individualizacao do amortecimento - Este metodo permite considerar coeficientes de amor-

tecimento diferentes para cada modo de vibracao, o que pode ser particularmente vantajoso

quando se faz a analise de um sistema em que os modos obtidos tem claramente coeficientes

de amortecimento diferentes, como por exemplo no caso da analise de um reservatorio quando

se considera a vibracao do lıquido contido no seu interior.

3TMD - Tuned Mass Dampers (Adam & Furtmuller, 2010)


Desvantagens

1. Analise linear - Este metodo permite apenas considerar analises lineares, o que limita a sua

aplicacao. Por exemplo no caso de uma analise sısmica, em que se pretenda assumidamente ex-

plorar a nao linearidade dos elementos da estrutura, e necessaria a utilizacao de um coeficiente

de comportamento que torna menos rigorosa a resposta calculada por este metodo.

2. Combinacao modal e direccional - O modo de combinar as respostas modais entre si e em cada

direccao e apenas aproximada porque assume uma consideracao estatıstica para tomar o valor

de pico de cada modo e de cada direccao.

3. Valores em modulo - Como se utilizam espectros de resposta (que apenas dao a aceleracao

de pico para uma dada frequencia de excitacao) e por causa do modo como se combinam os

modos, os esforcos nao tem sinal na medida em que nao se sabe se o esforco de pico surgem

num sentido ou no seu sentido oposto.

2.3 Analise ao Longo do Tempo

A analise ao longo do tempo (tambem denominada “Analise por metodos de integracao directa” ou

“Analise passo-a-passo”) consiste em analisar a estrutura considerando todos os graus de liberdade em

simultaneo e admitindo o tempo dividido em intervalos. Para cada um destes a analise e efectuada

tendo em consideracao os valores das variaveis no inıcio do intervalo e admitindo hipoteses sobre a sua

variacao ao longo do mesmo (aceleracao constante, linear, . . . ) e sobre as caracterısticas para a estrutura,

obtendo assim as caracterısticas cinematicas da estrutura no final do incremento resolvendo a equacao

de equilıbrio (2.5).

2.3.1 Consideracoes Sobre a ao Longo do Tempo

Numa analise ao longo do tempo uma das principais dificuldades e a escolha do metodo com o qual se

passa do inıcio do incremento para o final do incremento. Dado que qualquer solucao para este problema

tem algum grau de aproximacao, a escolha baseia-se na ponderacao de varios factores em simultaneo e

depende dos objectivos da analise. Os principais factores a considerar sao a exactidao, a estabilidade e o

esforco de calculo.

A estes tres factores esta associado tambem o passo de integracao, isto e, o intervalo temporal que

separa os pontos inicial e final, ou simplesmente a “dimensao do incremento”. Passa-se assim porque

quanto mais refinada for a divisao da duracao da analise (passo de integracao menor) menos afastadas

da realidade sao as hipoteses tomadas como validas durante esse intervalo, reduzindo assim os erros

na analise e minimizando a ocorrencia de problemas de instabilidade numerica. No entanto, uma maior

discretizacao no tempo significa tambem um maior numero de incrementos e consequentemente um maior

esforco de calculo.

Existem dois tipos fundamentais de metodos incrementais caracterizados por serem metodos implıcitos

ou metodos explıcitos. Os metodos explıcitos permitem o calculo das grandezas na iteracao (n + 1)

2.3.2. Metodo de Aceleracao Linear 15

conhecendo apenas informacao sobre as grandezas em n, enquanto os metodos implıcitos necessitam,

alem das grandezas na iteracao n, de algumas grandezas na iteracao (n+1) (que e aquela que se pretende

calcular). Alguns metodos implıcitos (dos quais se destacam os utilizados neste trabalho) podem ter as

sua equacoes desenvolvidas de modo a que nao seja necessario recorrer a iteracoes dentro de cada passo,

sendo por isso a sua aplicacao mais simples e economica do ponto de vista do calculo.

Na analise incremental e conveniente tratar o problema colocando as equacoes em funcao de incremen-

tos e nao em termos absolutos, isto e, em vez de se utilizarem directamente as grandezas v(t), v(t) e v(t),

utilizam-se as grandezas ∆vn, ∆vn e ∆vn. Esta abordagem permite ir alterando as caracterısticas da es-

trutura permitindo assim considerar comportamentos nao-lineares como por exemplo as nao-linearidades

da rigidez da estrutura.

2.3.2 Metodo de Aceleracao Linear

Neste metodo assume-se uma variacao linear da aceleracao no intervalo de tempo considerado, dando por

isso origem as seguintes equacoes

v1 = v0 +h

2(v0 + v1) (2.26)

v1 = v0 + hv0 +h2

3v0 +

h2

6v1 (2.27)

em que h e o passo de integracao, vi o deslocamento, vi a velocidade e vi a aceleracao na iteracao i.

Transformando estas expressoes para o formato incremental tem-se

∆v = hv0 +h

2∆v (2.28)

∆v = hv0 +h2

2v0 +

h2

6∆v (2.29)

Tal como referido anteriormente, estas expressoes podem ser escritas de forma explıcita, permitindo

calcular directamente o valor de ∆v1. A formulacao fica entao dada pelas seguintes expressoes

kd∆v = ∆pd (2.30)

em que

kd = k0 +3

hc+

6

h2m (2.31)

∆pd = ∆p+ c

[3v0 +

h

2v0

]+m

[6

hv0 + 3v0

](2.32)

Obtem-se assim o valor de ∆v e com ele calcula-se

∆v =3

h∆v − 3v0 −

h

2v0 (2.33)

Por fim calculam-se os valores de v1 e v1 atraves das equacoes:

v1 = v0 + ∆v (2.34)

v1 = v0 + ∆v (2.35)


Ao tratar o problema para varios graus de liberdade basta substituir as grandezas k0, c e m pelas suas

matrizes respectivas [K0], [C] e [M ], tomando os valores de ∆v, ∆v e ∆v como vectores que representam

a mesma grandeza para os diferentes graus de liberdade.

O ındice 0 na matriz [K0] refere-se ao facto de se considerar a rigidez tangente (k0) em vez da rigidez

media (km), porque se o passo h for suficientemente pequeno a diferenca nao sera significativa (Clough

& Penzien, 2003) e assim evita-se ter de se saber a priori as condicoes de rigidez no final do passo.

Sendo este um metodo implıcito e melhor que um metodo explıcito (como por exemplo o metodo das

diferencas finitas) e e tambem melhor em precisao que o metodo de aceleracao constante (Cook et al.,

1989). No entanto, em relacao a este ultimo, tem a grande desvantagem de so ser estavel condicionalmente,

o que para modos com frequencias muito altas pode exigir um esforco de calculo significativo. Ha no

entanto um metodo alternativo (“Metodo de Wilson-θ”) que surge como uma alteracao ao proposto nesta

seccao e que resolve o problema da instabilidade.

2.3.3 Metodo de Wilson-θ

No metodo de Wilson-θ4 considera-se um intervalo de tempo expandido τ = θh em que se efectua uma

analise atraves do metodo de aceleracao linear. No entanto, em vez de se obter directamente as grandezas

∆v e ∆v5, calcula-se primeiro o valor de ∆v (aceleracao final no intervalo expandido), a partir deste valor

calcula-se ∆v (aceleracao final no intervalo normal) e por fim calculam-se as restantes grandezas para o

final do intervalo normal.

Para adoptar este metodo utilizam-se entao as equacoes (2.30) a (2.32), mas com as seguintes substi-

tuicoes:

∆v → ∆v

h→ τ

∆p→ ∆p = θ∆p

obtendo assim ∆v, que substituindo na seguinte equacao,

∆v =6

τ2∆v − 6

τv0 − 3v0 (2.36)

permite calcular ∆v.

Para obter a aceleracao no final do intervalo normal efectua-se uma interpolacao linear:

∆v =∆v

θ(2.37)

Conhecido ∆v calculam-se as grandezas ∆v e ∆v atraves das equacoes (2.28) e (2.29). Finalmente,

calculam-se os valores de v1 e v1 atraves das equacoes (2.34) e (2.35).

Este metodo possui a grande vantagem de ser incondicionalmente estavel quando θ ≥ 1, 37 (Bathe,

1982; Clough & Penzien, 2003; Cook et al., 1989), considerando-se geralmente por simplificacao o valor

de θ = 1, 4. Refira-se que quando se utiliza o valor de θ = 1 este metodo coincide com o metodo de

4E. L. Wilson, University of California, Berkeley.5∆ refere-se ao intervalo τ , por oposicao a ∆ que se refere ao intervalo h

2.3.4. Correccao do Valor da Aceleracao 17

aceleracao linear descrito na seccao 2.3.2. A estabilidade incondicional e particularmente relevante para

sistemas de varios graus de liberdade porque, em metodos que nao sejam incondicionalmente estaveis,

a estabilidade garante-se tomando um passo inferior a um limite estabelecido a partir do modo com

menor perıodo (maior frequencia). Ora, para estruturas com muitos graus de liberdade, os modos de

maior frequencia tem perıodos tao baixos que o esforco de calculo tornar-se-ia incomportavel pelo facto

do passo se tornar absurdamente pequeno, sem no entanto conferir ganhos significativos de exactidao, ja

que a contribuicao destes modos e em geral desprezavel.

2.3.4 Correccao do Valor da Aceleracao

Estes metodos calculam todas as grandezas no final de cada passo (v, v e v). No entanto, para evitar

acumulacao de erros, para o valor de v, em vez de usar o resultado do calculo, toma-se a equacao de

equilıbrio (2.5) para calcular o vector das aceleracoes, garantindo assim que a estrutura esta em equilıbrio

no inıcio de cada incremento. Esta correccao formula-se da seguinte forma:

{v0} = [M ]−1

[{p0} − {fC0} − {fK0}] (2.38)

em que p0, fC0e fK0

sao respectivamente as forcas aplicadas, as forcas de amortecimento e as forcas de

restituicao.

Porem, e comum haver graus de liberdade sem massa a eles associada (tipicamente os graus de

liberdade de rotacao). Por esta razao nao e possıvel corrigir directamente o valor da aceleracao nestes

graus de liberdade porque a correccao e feita a partir da equacao (2.38) que envolve a determinacao de

[M ]−1. Por esta razao corrigem-se apenas os valores da aceleracao nos graus de liberdade com massa

associada, fazendo

{v0,a} = [Maa]−1

[{p0,a} − {fC0,a} − {fK0,a}] (2.39)

que nao e mais que a resolucao das primeiras a linhas do sistema {v0,a}

{v0,b}

=

[Maa]−1

[0]

[0] [0]

{p0,a}

{p0,b}

− {fC0,a}

{fC0,b}

− {fK0,a}

{fK0,b}

(2.40)

em que a define os graus de liberdade com massa associada.

Capıtulo 3

Analise Fisicamente Nao-Linear

Apresentam-se neste capıtulo os assuntos relacionados com a nao-linearidade fısica dos materiais e a sua

consideracao na analise de seccoes e na modelacao de rotulas plasticas. Assim, exibem-se em primeiro

lugar as relacoes constitutivas dos materiais, com especial enfase nas suas caracterısticas nao-lineares. As

relacoes constitutivas apresentadas sao posteriormente consideradas na analise de seccoes, em particular

na determinacao da sua relacao Momento-Curvatura (M -χ1).

Finalmente, consideram-se rotulas plasticas na modelacao do comportamento nao-linear de pilares de

pontes, de forma a concentrar numa unica seccao toda a zona do pilar onde se admite um comportamento

fisicamente nao-linear. Definem-se para este efeito os comprimentos da rotula plastica de modo a tornar

possıvel a transicao da relacao M -χ da seccao com comportamento nao-linear para a relacao Momento-

Rotacao (M -θ1) que caracteriza a rotula plastica.

No caso do presente trabalho, pretende-se calcular os valores do momento de cedencia e do momento

ultimo de uma seccao, para com esses valores modelar uma rotula plastica que traduza a influencia da

consideracao de um comportamento fisicamente nao-linear. Surge no entanto a dificuldade de se definir

qual a relacao constitutiva a utilizar para o betao. Isto acontece porque por um lado e necessario garantir

que a rigidez e o momento de cedencia sejam calculados de modo a tomarem o valor mais proximo do real

possıvel (usando-se para isso as caracterısticas medias dos materiais), mas por outro lado, o momento

maximo resistente nao pode exceder o momento ultimo calculado pelo diagrama Parabola-Rectangulo

definido no EC22 (pois este e o maximo momento a que a seccao resiste regulamentarmente). Assim, foi

necessario considerar varios diagramas para a relacao constitutiva do betao de modo a que se pudesse

adequadamente resolver esta questao (abordada mais exaustivamente na seccao 3.3.1).

3.1 Relacao Constitutiva dos Materiais

Por relacao constitutiva de um material entende-se a relacao que existe entre a tensao normal σ que

surge num elemento desse material quando sujeito a uma deformacao (extensao) ε, como representado

na figura 3.1

A relacao constitutiva dos materiais e complexa e depende de variados factores (por ex: da tem-

peratura, das condicoes de confinamento no caso do betao, da historia de carga do material, etc. . . ),

adoptando-se por esta razao diagramas simplificados tanto para o aco como para o betao.

1A partir deste momento sera esta a nomenclatura utilizada2EN 1992-1-1 3.1.7(1)

19

20 Capıtulo 3. Analise Fisicamente Nao-Linear

( ) E( ),1tE

1

1

Figura 3.1: Relacao constitutiva generica de um material: ε1 - extensao generica , σ1 - tensao correspondente aextensao ε1, Et,1 - Modulo de Elasticidade tangente no ponto em questao

3.1.1 Relacoes Constitutivas Utilizadas

Aco

Para o Aco utilizou-se uma relacao constitutiva Elasto-Plastica como esta definida na figura 3.2.

s s

syf

sE

ssusy

Figura 3.2: Relacao constitutiva do Aco: εsy - extensao de cedencia, εsu - extensao de rotura, Es - modulo deelasticidade, fsy - tensao de cedencia

Na figura 3.2 esta representada a relacao constitutiva assumida para o aco apenas para tensoes de

traccao, sendo a relacao constitutiva em compressao igual, a menos do sinal das tensoes e extensoes. Nos

modelos analisados e tendo em consideracao que o momento nao pode ultrapassar o momento resistente da

seccao, como foi referido no inıcio deste capıtulo, considerou-se para fsy o valor de calculo fsyd, obtendo

consequentemente atraves do modulo de elasticidade Es o valor para εsyd. Por fim, εsu foi definido como

sendo igual a εuk = 75h, estipulado no EC8-23, por se considerar um aco da classe C indicado pelo

EC8-24 e cujas caracterısticas se encontram no EC25.

3EN 1998-2 AnnexE.2.2, equacao (E.13)4EN 1998-2 5.2.1(1)P5EN 1992-1-1 AnnexC.1, tabela C.1

3.1.1. Relacoes Constitutivas Utilizadas 21

Nao foi considerado endurecimento nas armaduras dado que este nao esta incluıdo no calculo do

momento resistente segundo o EC8-1. O facto de se pretender modelar o comportamento ate a cedencia

a partir das caracterısticas medias dos materiais poderia influenciar (como e o caso do betao) o modulo

de elasticidade a utilizar. No entanto, para o aco nao e necessario definir mais do que um modulo de

elasticidade dada a forma como regulamentarmente se definem as relacoes constitutivas para calcular os

esforcos resistentes de uma seccao.

Betao

Para o Betao utilizaram-se varias relacoes constitutivas (representadas na figura 3.3) conforme o objectivo

pretendido e desprezando o efeito do confinamento.

c c

EcmE

c

(a) Linear

c c

cfcf

0,4 cf

cE

c1cu1c

(b) K-η

c c

cdf

c2c 2cu

(c) Parabola Rectangulo

Figura 3.3: Relacoes constitutivas do betao: εc - Extensao em que se atinge a maxima tensao, εcu -Extensao de rotura, Ec - Modulo de elasticidade, Ecm - Modulo de elasticidade medio, fc - Tensaomaxima, fcd - Tensao de calculo maxima

Foram entao consideradas quatro hipoteses para o comportamento do betao:

1. Linear - Em que se considera que o betao tem uma relacao constitutiva linear (fig. 3.3(a)),

2. K-η com valores medios - Em que se assume o diagrama definido no EC26 com valores medios

para os parametros da figura (fig. 3.3(b)),

3. K-η com valores de calculo - O mesmo que a anterior, mas com valores de calculo,

6EN 1992-1-1 3.1.5(1)


4. Parabola-rectangulo - Em que se assume o diagrama definido no EC27 (fig. 3.3(c)).

Apresentam-se em seguida as expressoes analıticas que definem as relacoes constitutivas anteriores,

sendo σc a tensao obtida a partir da extensao εc e Ect o modulo de elasticidade tangente para a extensao

εc.

Relacao Constitutiva Linear

Figura 3.3(a)

σc = Ecm.εc (3.1)

Ect = Ecm (3.2)

em que:

Ecm - Modulo de elasticidade do betao em valor medio (definido na tabela 3.1)

Relacao Constitutiva K-η

Figura 3.3(b)

σc = fc.

[kη − η2

1 + (k − 2)η

](3.3)

Ect =fcεc1

.k − 2η − (k − 2)η2

[1 + (k − 2)η]2 (3.4)

valido para εcu1 ≤ εc ≤ 0, em que

η =εcεc1

(3.5)

k = Ec0εc1fc

(3.6)

tendo-se que:

Ec0 = Ect(σc = 0) = 1, 05Ec

Ec = Ect(σc = 0, 4fc) - Modulo de Elasticidade do Betao

fc - Tensao maxima no Betao

εc1, εcu1 - Extensao em que se atinge a tensao maxima e extensao ultima definidas na tabela 3.1

Para Ec e fc utilizam-se ou os valores medios ou os valores de calculo conforme o objectivo que se

pretende. Todos os valores estao definidos na tabela 3.1 excepto o valor de Ecd que se obtem dividindo

o valor de Ecm pelo coeficiente parcial de seguranca do betao γc = 1, 5.

7EN 1992-1-1 3.1.7(1)

3.1.2. Caracterısticas do Materiais 23

Relacao Constitutiva Parabola-rectangulo

Figura 3.3(c)

σc =

fcd.

[1−

(1− εc

εc2

)2]

se εc2 ≤ εc ≤ 0

fcd se εcu2 ≤ εc ≤ εc2(3.7)

Ect =

fcd.2εc2

(1− εc

εc2

)se εc2 ≤ εc ≤ 0

0 se εcu2 ≤ εc ≤ εc2(3.8)

em que:

fcd - Tensao maxima de calculo no Betao definida na tabela 3.1

εc2, εcu2 - Extensao em que se atinge a tensao maxima e extensao ultima definidas na tabela 3.1

3.1.2 Caracterısticas do Materiais

Apresentam-se nas tabelas 3.1 e 3.2 os valores dos parametros que definem as caracterısticas dos materiais

segundo o EC2.

Tabela 3.1: Propriedades indicadas no EC2 para diversas classes de Betao

C16/20 C20/25 C25/30 C30/37

fck (MPa) 16 20 25 30

fcd (MPa) 10,7 13,3 16,7 20,0

fcm (MPa) 24 28 33 38

Ecm (GPa) 29 30 31 33

εc1 (h) 1,9 2,0 2,1 2,2

εcu1 (h) 3.5

εc2 (h) 2

εcu2 (h) 3.5

Tabela 3.2: Propriedades indicadas no EC2 para diversas classes de Aco

A400 A500

fsyk (MPa) 400 500

fsyd (MPa) 347,8 434,8

Es (GPa) 200

3.2 Relacao Momento-Curvatura

Considere-se uma seccao generica representada na figura 3.4 sujeita a um determinado nıvel de esforco

axial. Para esta seccao e possıvel estabelecer uma relacao Momento-Curvatura (M -χ) em que M e o

momento flector aplicado e χ a curvatura correspondente. Esta relacao obtem-se adoptando-se algumas

hipoteses simplificativas, nomeadamente:


• Hipotese de Bernoulli - Seccoes planas e perpendiculares ao eixo do elemento linear x permanecem

planas e perpendiculares a esse eixo depois da deformacao.

• A flexao da-se apenas em torno do eixo y, perpendicular ao eixo de simetria z e ao eixo do elemento

linear x.

G NM

Ny

z

Figura 3.4: Seccao generica de betao armado

A determinacao da relacao M -χ surge como parte da solucao do problema de relacionar as grandezas

estaticas com as grandezas cinematicas referidas a analise de uma seccao. Tratando-se neste trabalho

apenas de flexao em torno de um eixo, tomam-se como grandezas estaticas o esforco axial (N) e o momento

flector (M) referido ao eixo y (figura 3.4) e como grandezas cinematicas a extensao (εg) no centro de

gravidade G (figura 3.4) e a curvatura (χ).

As grandezas estaticas N -M dependem apenas das tensoes normais a que a seccao esta sujeita e

obtem-se a partir das seguintes equacoes:

N =

∫Ac

σc dA+∑i

σisAis (3.9a)

M =

∫Ac

σc.z dA+∑i

σiszisA

is (3.9b)

em que z e a coordenada da fibra em causa segundo o eixo de simetria com origem no eixo de flexao, σ

e a tensao nessa fibra.

As grandezas cinematicas εg-χ permitem calcular a extensao normal em cada fibra (ε(z)) atraves da

equacao seguinte:

ε(z) = εg + χ.z (3.10)

Como as relacoes constitutivas definidas na seccao 3.1.1 estao definidas como σ = f(ε) e dado que a

funcao f(ε) nao e em geral injectiva8, apenas e possıvel obter directamente os esforcos N -M a partir das

deformacoes ε-χ (atraves das equacoes (3.9) e (3.10)).

Pode entao, como hipotese simplificativa, assumir-se uma relacao linear entre as grandezas cinematicas

e as grandezas estaticas, obtendo-se assim a expressao: K11 K12

K21 K22

εg

χ

=

N

M

(3.11)

8Funcao Injectiva - Funcao tal que x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2)

3.2.1. Metodo de Newton-Raphson 25

em que εg e a extensao da fibra do centro de gravidade, χ e a curvatura da seccao, N e o esforco axial a

que a seccao esta sujeita e M e o momento a que a seccao esta sujeita na convencao de calculo de esforcos

referidos ao centro de gravidade.

A matriz [K] depende do metodo iterativo que se utiliza, podendo ser definida para assumir uma

determinada rigidez da seccao. Neste trabalho a matriz [K] vai ser definida a partir da rigidez tangente

da seccao, isto e, a rigidez segundo as duas grandezas N e M que corresponde ao modulo de elasticidade

tangente no ponto em que se encontra a seccao quando se efectua o calculo da matriz.

Fica entao a matriz [K] definida a partir das equacoes seguintes:

K11 =

∫Ac

EctdA+∑i

EistAis (3.12a)

K12 = K21 =

∫Ac

EctzdA+∑i

EistzisA

is (3.12b)

K22 =

∫Ac

Ectz2dA+

∑i

Eistzis

2Ais (3.12c)

sendo Ect e Est os modulos de elasticidade tangentes (calculados a partir das equacoes da seccao 3.1.1)

do betao e do aco respectivamente.

3.2.1 Metodo de Newton-Raphson

Para obter as deformacoes em funcao dos esforcos pode utilizar-se um metodo iterativo. No presente

trabalho optou-se por utilizar o metodo de Newton-Raphson (Virtuoso et al., 1998) em que em cada

iteracao se assume que a relacao entre tensao e deformacao e linear e igual a derivada no ponto em que

se encontra essa iteracao. Este metodo consiste em analisar o problema em causa dividindo-o numa serie

de incrementos e para cada incremento executar sucessivas iteracoes ate o resultado apresentar um erro

suficientemente baixo. Cada iteracao corresponde a calcular a resposta em regime elastico linear com

base nos modulos de elasticidade tangentes obtidos no final da iteracao anterior (ou caso seja a primeira

iteracao do incremento, nos valores obtidos no final do incremento anterior).

Em termos praticos pode adoptar-se o procedimento apresentado em seguida:

1. Comeca-se com um par de deformacoes εi-χi inicial e com um par de esforcos ∆Ni-∆Mi para o

qual se deseja calcular as deformacoes.

2. Para εi-χi calcula-se a matriz [K]i como definido pelas equacoes (3.12) e que representa a matriz

de rigidez tangente.

3. Com esta matriz [K]i e com os esforcos ∆Ni-∆Mi calculam-se atraves da equacao (3.11) o valores

de ∆εi-∆χi e os novos valores para a deformacao denominados εi+1-χi+1.

4. Tomando os valores de εi+1-χi+1 calcula-se a matriz [K]i+1 como definido pelas equacoes (3.12) e

os esforcos “reais” correspondentes a essas deformacoes Ni+1-Mi+1 a partir das equacoes (3.9).

5. Comparando esses esforcos Ni+1-Mi+1 com os esforcos que se desejam obter N -M obtem-se a

diferenca ∆Ni+1-∆Mi+1.


6. Repetem-se os passos 1 a 5 com os novos valores de εi+1-χi+1, [K]i+1 e ∆Ni+1-∆Mi+1 ate que se

atinja um valor de ∆Xi+1

X ≤ Tolerancia, em que X pode ser N , M ou ambos.

3.2.2 Determinacao da Relacao Momento-Curvatura para Esforco Normal

Constante

No caso do presente trabalho pretende-se obter a relacao M -χ para um valor constante de esforco axial

(N). Pode efectuar-se a analise da relacao M -χ por incrementos de curvatura ou por incrementos de

momento flector, mas dado que, em geral e dependendo das relacoes constitutivas utilizadas para os ma-

teriais, a funcao f(χ) = M nao tem de ser injectiva e conveniente abordar este problema por incrementos

de curvatura.

Tal como explicado no Metodo de Newton-Raphson (seccao 3.2.1), vao efectuar-se dois ciclos para

a analise da relacao M -χ. O primeiro sera um ciclo em incrementos de curvatura (χ) que tem tantos

incrementos quanto os necessarios para se obter a totalidade do diagrama (parando quando uma das

fibras da seccao atinge uma extensao superior a extensao de rotura definida pelo material dessa fibra).

O segundo ciclo e um conjunto de analises lineares, para a cada valor de curvatura (χ) obter o valor

correspondente de momento flector M(χ,N).

No inıcio de cada iteracao sabe-se apenas o valor do esforco axial N (que e constante em toda a

analise), o valor da curvatura χ (que e a curvatura associada ao incremento em que se insere a iteracao) e

a rigidez tangente dada pela matriz [K] (obtida pelas equacoes (3.12)). Com N , χ e [K] fixos, e possıvel

a partir da primeira linha da equacao (3.11) obter o valor de εg.

Sabendo o valor de εg, dado que o valor de χ ja e conhecido por ser uma imposicao caracterıstica do

incremento, calculam-se os esforcos N ′-M ′ atraves das equacoes (3.9) e (3.10). O valor de N ′ e utilizado

para comparar com o valor de N . Caso a sua diferenca seja excessiva e necessario recorrer a outra iteracao

de forma a melhorar o resultado. Quando o valor de N ′ estiver suficientemente proximo de N (sendo

o criterio de tolerancia definido a priori) adopta-se o valor de M ′ da ultima iteracao como o valor de

momento flector (M) correspondente a curvatura (χ) do incremento em analise.

3.3 Simplificacao da Relacao Momento-Curvatura

A relacao M -χ obtida na seccao anterior (seccao 3.2) permite ter uma compreensao geral do comporta-

mento da seccao a flexao quando sujeita a um determinado nıvel de esforco axial. No entanto pretende-se

simular uma barra com esta relacao M -χ atraves de uma barra com comportamento linear, concentrando

todos os efeitos nao-lineares numa mola com comportamento bi-linear. Para a obtencao da relacao bi-

linear da mola e conveniente definir a relacao M -χ da seccao de uma forma bi-linear. Esta simplificacao

so e aceitavel porque o diagrama nao-linear das seccoes de betao armado tem, de uma forma geral, um

andamento aproximadamente bi-linear e a sua consideracao nao altera significativamente os resultados.

Entao, para uma seccao de betao armado generica sujeita a um determinado nıvel de esforco axial,

sera adoptada a simplificacao da relacao M -χ ilustrada na figura 3.5.

3.3. Simplificacao da Relacao Momento-Curvatura 27

M

RotM

CedMpcEI

IEI

EIIIEI

Ced Rot

Figura 3.5: Simplificacao do Diagrama M -χ: linha a cheio - Diagrama completo calculado por incrementos decurvaturas, linha a traco interrompido - Diagrama simplificado

A relacaoM -χ simplificada da figura 3.5 define-se apenas a partir de dois pontos dados por (χCed,MCed)

e (χRot,MRot), em que se representam o Momento de Cedencia MCed (ou My), o Momento de Rotura

MRot (ou Mu), a Curvatura de Cedencia χCed (ou χy) e a Curvatura de Rotura χRot (ou χu).

Se apenas se utilizam dois dos infinitos pontos que constituem uma relacaoM -χ, entao sera mais logico,

do ponto de vista da economia de calculo computacional, calcular apenas estes dois pontos directamente.

O calculo destes pontos e efectuada de forma diferente conforme a cedencia e a rotura se dao pelo aco

ou pelo betao, em que por “cedencia pelo betao” entende-se uma deformacao que implique a rotura por

esmagamento do betao sem a fibras de aco terem atingido a extensao de cedencia.

Calculam-se entao dois esforcos axiais crıticos, Ncr,Ced e Ncr,Rot. O primeiro representa o esforco axial

a partir do qual e o betao a controlar a cedencia, ou seja, o aco nao atinge a sua extensao de cedencia.

O segundo representa o esforco axial a partir do qual e o betao a controlar a rotura, isto e, o aco nunca

atinge a sua extensao de rotura. O esforco axial crıtico calcula-se atraves do integral das tensoes obtidas

a partir das deformacoes das figuras 3.6(b) ou 3.6(c) conforme se esteja a calcular o esforco axial crıtico

de cedencia ou de rotura.

As grandezas estaticas Ncr,Ced e Ncr,Rot calculam-se a partir das equacoes (3.10) e (3.9a) em que as

grandezas cinematicas εg e χ sao obtidas de acordo com o que se apresenta na figura 3.6.

A semelhanca do que foi apresentado na seccao 3.2, os valores dos pontos (χCed,MCed) e (χRot,MRot)

calculam-se atraves do metodo de Newton-Raphson. No caso do calculo da relacao M -χ estavam definidas

a partida duas grandezas, uma estatica (N) e uma cinematica (χ), de forma a obter uma terceira (M).

Agora, para o calculo do valor das grandezas estaticas MCed e MRot, sao definidas duas grandezas, uma

estatica (N) e uma cinematica (εv). A grandeza εv refere-se a extensao na fibra v, cuja posicao e valor

depende dos seguintes casos:


fcf

sf

(a) Tensoes

cu

1g

1

sy

(b) Extensoes para calcular Ncr,Ced

cu

2g

2

su

(c) Extensoes para calcular Ncr,Rot

Figura 3.6: Diagramas para o calculo dos esforcos axiais crıticos: fc - Tensao no Betao, fs - Tensao no Aco,εcu - Extensao de rotura do Betao, εsy - Extensao de cedencia do Aco, εsu - Extensao de rotura do Aco, εg1 eχ1 - Deformacoes para o calculo de Ncr,Ced, εg2 e χ2 - Deformacoes para o calculo de Ncr,Rot

Cedencia

εv = εs = εsy N ≤ Ncr,Cedεv = εc = εcu N ≥ Ncr,Ced

Rotura

εv = εs = εsu N ≤ Ncr,Rotεv = εc = εcu N ≥ Ncr,Rot

Para aplicar o metodo de Newton-Raphson mantendo constante uma extensao (εv) que nao seja a

extensao no centro de gravidade (εg) e necessario converter as deformacoes no referencial da fibra {ε1}

para as deformacoes no referencial do centro de gravidade {ε0}. A relacao entre estes dois vectores e feita

atraves de uma matriz de transformacao [T ], tal que εg

χ

=

1 −yv0 1

εv

χv

⇔ {ε0} = [T ]{ε1} (3.13)

em que o ındice v refere-se a fibra onde se quer estipular uma extensao fixa.

A relacao entre os esforcos, expressos nos referencias das deformacoes anteriores, e dada por: Nv

Mv

=

1 0

−yv 1

N

M

⇔ {Xv} = [T ]T. {X} (3.14)

pelo que se obtem Kv11 Kv12

Kv21 Kv22

εv

χv

=

Nv

Mv

⇔ [Kv] . {v} = {Xv} (3.15)

em que,

[Kv] = [T ]T

[K] [T ] (3.16)

3.3.1 Consideracao do Valor de Calculo do Momento Resistente

Como se pode observar pela figura 3.5, o ponto (χCed,MCed) define a rigidez EIII da seccao. Ora para

calcular este ponto e necessario considerar uma determinada relacao constitutiva para o betao. Dado

3.3.1. Consideracao do Valor de Calculo do Momento Resistente 29

que o principal objectivo da determinacao dos valores de MCed e χCed e a determinacao da rigidez EIII

utiliza-se para o betao a relacao constitutiva que mais se aproxime da sua relacao constitutiva media.

Tem-se assim que o valor da rigidez obtido representa o valor esperado para a seccao, de modo a que

o resultado da analise dos esforcos da estrutura seja o mais proximo possıvel daquilo que se obteria na

realidade.

Por esta razao, para o calculo do ponto (χCed,MCed), podem usar-se as relacoes constitutivas 1 ou 2

definidas na seccao 3.1.1. A diferenca entre as duas e que a Linear(1) e mais facil de aplicar possibilitando

inclusivamente que o calculo seja feito manualmente, mas a K-η(2) e a relacao que o EC2 preconiza para

a analise nao-linear de seccoes.

Para definir de forma completa o diagrama bi-linear falta determinar o ponto (χRot,MRot). O principal

objectivo da definicao deste ponto e a obtencao do maximo valor de momento resistente da seccao (MRot)

e o valor da curvatura maxima (χRot) para a qual se consegue garantir esse valor de momento resistente.

De facto, a obtencao do valor de MRot e extremamente importante, porque permite garantir que no fim

da analise estrutural aquela seccao nao vai estar sujeita a um momento superior ao momento resistente

da seccao.

E por esta razao que o valor de MRot deve ser calculado com uma relacao constitutiva que utilize

valores de calculo, como e o caso das relacoes constitutivas 3 e 4 definidas na seccao 3.1.1. A relacao

Parabola-Rectangulo(4) da origem a resultados ja amplamente estudados, mas tem a desvantagem de ser

um diagrama fictıcio que garante bons resultados apenas para o valor de MRot e com menos significado

do ponto de vista das deformacoes. A relacao K-η(3) tenta aproximar-se de um diagrama mais proximo

do comportamento real do betao, sendo no entanto ainda um diagrama de calculo e consequentemente

com parametros inferiores aos parametros medios utilizados para o calculo do ponto (χCed,MCed).

Convem referir que, como os valores de MCed e MRot foram calculados com relacoes constitutivas

diferentes, e possıvel que surjam algumas incoerencias no diagrama bi-linear que se obtem por combinacao

dos dois pontos. As incoerencias surgem porque o valor do momento de cedencia e calculado sem ter em

consideracao aspectos de resistencia, o que pode levar a duas situacoes que nao serao admitidas.

Em primeiro lugar nao se permite a existencia de tensoes no betao superiores a sua tensao caracterıstica

fck. Calcula-se para o efeito o momento flector de majoracao Mmaj,fk que representa o momento flector

que esta aplicado na seccao quando, para o nıvel de esforco axial considerado na analise, a primeira fibra

de betao atinge um valor de tensao igual a fck.

Em segundo lugar nao se aceitam valores de momento flector superiores ao valor de calculo do momento

resistente. No entanto, para garantir o bom funcionamento numerico da rotula plastica, assume-se uma

rigidez pos-cedencia (EIpc) mınima de 1% da rigidez EIII , dando origem ao momento flector de majoracao

Mmaj,EImin.

Por fim, como o principal objectivo da definicao do ponto (χCed,MCed) e definir a rigidez EIII da

seccao, assume-se que o valor de EIII permanece constante. Entao, o ponto (χCed,MCed) que se utiliza

na relacao M -χ simplificada e um ponto que se encontra na recta definida por EIII e que tem para o

valor do momento de cedencia o menor valor entre o MCed calculado, o Mmaj,fk e o Mmaj,EImin, tal

como esta representado na figura 3.7.


MC dM

M ,maj fkM

CedM

RotM0,01 IIEI

,maj EIminM

EIIIEI

Rot

Figura 3.7: Valores de Mmaj na definicao da relacao M -χ simplificada: MCed - Momento de cedencia calculado,Mmaj,fk - Momento de majoracao com a tensao no betao inferior a tensao caracterıstica, Mmaj,EImin - Momentode majoracao para garantir uma rigidez pos-cedencia mınima de 1% da rigidez EIII

3.4 Comprimento da Rotula Plastica

A obtencao da relacao M -χ da seccao nao e em si a solucao do problema. De facto, o verdadeiro objectivo

e concentrar numa so rotula plastica, mais propriamente na sua relacao Momento-Rotacao (M -θ), todo

o comportamento pos-cedencia da barra.

Dimensionalmente e facil de perceber que para obter uma rotacao (expressa em radianos) a par-

tir de uma curvatura, e necessario multiplicar a curvatura por uma grandeza medida em unidades de

comprimento.

Fisicamente, sabe-se que uma rotacao resulta de um integral de curvaturas, ou seja, que θ =∫χdx

(Cook et al., 1989). Se assim e, entao no caso da curvatura ser constante, a rotacao de um ponto

localizado a uma distancia x de um ponto de rotacao nula (por exemplo um no encastrado) tera uma

rotacao θ = χx, o que reforca a ideia expressa anteriormente que a conversao de curvatura para rotacao

implica a multiplicacao do primeiro por uma grandeza expressa em unidades de comprimento.

Esta grandeza e designada por “comprimento da rotula plastica” e tem significados diferentes conforme

se esteja a falar do comprimento da rotula para a cedencia ou do comprimento da rotula para rotura,

sendo cada um destes comprimentos definidos nas seccoes 3.4.1 e 3.4.2 respectivamente.

Resumidamente, um comprimento de rotula plastica e um parametro que estabelece a relacao de pro-

porcionalidade entre uma curvatura da relacao M -χ da seccao com um rotacao da relacao M -θ da rotula

que modela o comportamento nao-linear do elemento. Desta maneira serao definidos dois comprimentos

de rotula plastica. O primeiro para estabelecer a relacao entre χCed e θCed e o segundo para estabelecer

a relacao entre χRot e θRot.

3.4.1 Comprimento da Rotula para o Momento de Cedencia

Geralmente quando se insere o valor da inercia de um elemento de viga (ou viga-coluna) num pro-

grama de calculo automatico (assumindo que este funciona com base nas hipoteses de linearidade fısica e

3.4.1. Comprimento da Rotula para o Momento de Cedencia 31

geometrica), insere-se o valor da inercia nao-fendilhada (II) definida pela geometria da seccao de betao.

No entanto a realidade e que os elementos podem fendilhar e por isso a sua rigidez pode ser inferior

a rigidez conferida pelo produto EII fornecido inicialmente. Dado que numa ponte sujeita a uma accao

sısmica longitudinal os elementos mais esforcados vao ser os pilares, optou-se por modelar o comprimento

da rotula plastica de cedencia (Lpy) de modo a incluir este efeito.

Desta forma fez-se o seguinte raciocınio: Qual sera o comprimento da rotula plastica necessario, de

modo a que multiplicado pela curvatura de cedencia, de origem a uma rotacao cujo efeito somado com

a flexao do pilar com uma rigidez EII conduza a um deslocamento igual ao que se obteria por flexao

do pilar com uma rigidez igual a uma ponderacao entre a rigidez fendilhada EII e EIII . Esta rigidez

ponderada e definida no EC8-29 como sendo

EIeff = 0, 08.EII + EIII (3.17)

em que EII e a rigidez da seccao de betao nao fendilhada e EIII e a rigidez da seccao fendilhada. O

raciocınio anterior esta ilustrado de forma simples na figura 3.8.

d

effEI

(a)

1d 2d d

IEI

I

Ced

(b)

Figura 3.8: Deslocamentos para a definicao de Lpy: (a)Deslocamento obtido por flexao do pilar com uma rigidezfendilhada EIeff , (b)Deslocamento obtido por soma dos deslocamentos obtidos por flexao do pilar com umarigidez nao-fendilhada EII e por rotacao da base.

Nota 1: Pelo metodo demonstrado na figura 3.8 apenas se garante esta semelhanca de deslocamentos

para o ponto (θCed,MCed), assumindo uma relacao linear entre este ponto e a posicao inicial de repouso.

Nota 2: O valor do deslocamento d para a figura 3.8(a) corresponde apenas a um deslocamento

aproximado ao que se chegaria para obter o valor de MCed na base da consola. Isto porque o modelo

usado assume uma relacao fixa entre EII e EIII para a definicao de EIeff , o que nao e verdade pois

esta relacao depende do valor de esforco axial reduzido (ν) a que o pilar da ponte esta sujeito. No limite,

se o esforco axial fosse muito elevado, poderia acontecer o pilar nunca fendilhar por atingir a rotura no

betao, sendo entao a rigidez real igual a EII . No entanto, como uma boa concepcao de uma ponte implica

valores de ν numa gama relativamente apertada em torno do valor de 0, 2, a definicao do EC8-2 aplica-se

bem a estes casos.

9EN 1998-2 AnnexC.2


O comprimento da rotula plastica de cedencia Lpy sera definido em funcao de L. Define-se entao o

parametro αy para relacionar estas duas grandezas conforme se apresenta na seguinte equacao:

Lpy = αy.L (3.18)

O valor de αy depende apenas de parametros adimensionais da seccao tais como ν = NAc·fcd , ρ = As

Ac,

da relacao dh , entre outros. Pretende-se entao obter uma expressao que apresente o valor de αy em funcao

de caracterısticas da seccao.

Assumam-se entao as consolas definidas na figura 3.8 em que a estrutura (b) e uma consola articulada

com uma mola de rigidez Kθ. Assuma-se que ambas tem o mesmo comprimento L e o mesmo modulo

de elasticidade E. Para garantir que o deslocamento d e igual a soma dos deslocamentos d1 e d2 basta

garantir que ambas as estruturas tem a mesma rigidez. Como a estrutura (b) tem duas componentes de

rigidez ligadas em serie sera mais facil relacionar as flexibilidades das estruturas. Assim,

13EIeffL3

=1KθL2

+1

3EIIL3

(3.19)

sendo que

Kθ =MCed

θCed(3.20)

Sabe-se no entanto que

MCed = χCed.EIII (3.21)

e que

θCed = χCed.Lpy = χCed.L.αy (3.22)

que substituindo na equacao (3.20) da origem a expressao

Kθ =EIIIL.αy

(3.23)

Substituindo a equacao (3.23) na equacao (3.19) obtem-se a equacao seguinte

L3

3EIeff= αy

L3

EIII+

L3

3EII(3.24)

que simplificando e pondo em ordem a αy fica da forma

αy =EIII

3

(1

EIeff− 1

EII

)(3.25)

ou, substituindo o valor de EIeff pelo definido na equacao (3.17),

αy =1

3

(1

0, 08 · EIIEIII+ 1− EIII

EII

)(3.26)

O EC810 define o valor de θCed (ou θy) a partir da expressao

θCed =χCed.L

3(3.27)

o que e equivalente a tomar um valor de αy = 13 .

10EN1998-2 AnnexE.3.2 Equacao (E.17)

3.4.1. Comprimento da Rotula para o Momento de Cedencia 33

Assumindo algumas seccoes com dimensoes usuais para pilares de pontes (cujas caracterısticas e

dimensoes se apresentam no anexo A deste documento) fez-se uma analise parametrica do valor de αy

em funcao do esforco axial reduzido ν e da percentagem de armadura ρ. Apresenta-se entao na figura 3.9

um grafico que relaciona o valor de αref com o esforco axial reduzido ν, em que αref e o valor de αy

calculado para uma percentagem de armadura ρ = 1%.

1.0

.c cd

NA f

0 8

0.9

0.7

0.8

l

Tipo de Secção:

0.5

0.6 Rectangular

Circular

Quadrada

I

0.3

0.4 Caixão

0.1

0.2

0.00.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18

( 1%)pyref

LL

Figura 3.9: Relacao entre αy e ν para varias seccoes de pilares: αref = αy calculado com ρ = 1%

E tambem possıvel relacionar o valor de αy com a percentagem de armadura ρ. Verificou-se que a

variacao de αy assumia para valores usuais de armadura (0, 5% ≤ ρ ≤ 1, 5%) uma relacao praticamente

linear com a percentagem de armadura ρ. Assim, deduziu-se uma expressao analıtica (que para ν ≥ 0, 1

tem um erro sempre inferior a 6% para a seccao rectangular e 3% para as restantes) que relaciona estas

duas grandezas, dada por:

αy (ρ, ν) = α(ν)ref · [1 + (1− ρ) · (A+ νB)] (3.28)

em que

ρ - Percentagem de armadura expressa em valor percentual

ν - Esforco axial reduzido

α(ν)ref - valor de αref obtido a partir do grafico da figura 3.9 para o valor de ν pretendido.

A, B - Parametros que dependem do tipo de seccao tal como estao definidos na tabela 3.3.

Na tabela 3.3 apresentam-se os valores dos parametros A e B para cada tipo de seccao.


Tabela 3.3: Parametros das seccoes-tipo utilizados para o calculo do valor de αy (ρ, ν)

Seccao A B

Rectangular 0.36 0.04Circular 0.12 0.10

Quadrada 0.12 0.10Em I 0.14 0.10

Em Caixao 0.02 0.12

Note-se que, pela forma como foi obtido, o valor de αy (ρ, ν) nunca excede o valor de (1+0,08)−√

4×0,083 =

0, 1714, independentemente dos valores de ν e ρ considerados. Isto significa que o valor de 13 estipulado

pelo EC8-2 para αy e conservativo face ao valor calculado pela expressao (3.28), pois conduz a um maior

comprimento de rotula plastica e consequentemente a uma menor rigidez.

O EC8-2 preconiza a utilizacao de apenas uma relacao constitutiva obtida a partir de valores medios

dos materiais e com esta a obtencao de uma relacao M -χ para a seccao (originando os problemas ja

mencionados relativamente ao valor de calculo do momento resistente, apresentados na seccao 3.3.1). Por

aquilo que se descreve no ponto (3) do Anexo E.3.2 do EC8-2, pode concluir-se que as hipoteses de rigidez

sao diferentes, embora semelhantes, com aquelas assumidas neste trabalho, dado que a bi-linearizacao do

diagrama M -χ e feita de forma diferente. Nao se usou a proposta do EC8-2 porque esta nao permitia a

hipotese de limitar o valor do momento ao seu valor de calculo, o que significa que, apesar do resultado

obtido neste trabalho para o valor de αy ser semelhante, formalmente nao pode ser comparado com o

valor preconizado pelo EC8-2.

3.4.2 Comprimento da Rotula para o Momento de Rotura

Por comprimento da rotula plastica para o momento de rotura (Lpu) entende-se, o comprimento fictıcio

da rotula plastica que, multiplicado pela diferenca entre a curvatura de rotura χRot e a curvatura de

cedencia χCed calculadas no ponto 3.3, resulta na rotacao pos-cedencia θp,u para a rotula plastica a inserir

no modelo de analise estrutural. Esta rotacao somada a rotacao de cedencia θCed resulta na rotacao de

rotura θRot (ou θu), sendo no entanto esta rotacao de rotura referente a um calculo com caracterısticas

medias dos materiais. Para que a rotula tambem verifique a seguranca em relacao a deformacao, o

EC8-211 estipula que a rotacao pos-cedencia θp,u deve ser reduzida para efeitos de dimensionamento.

O valor de αu =LpuL tem um significado semelhante a αy. Pretende-se que a estrutura modelada

atraves da concentracao dos efeitos nao-lineares na rotula plastica tenha o mesmo deslocamento que a

estrutura com comportamento nao-linear teria quando sujeitas as mesmas condicoes de carregamento.

Neste caso, a estrutura nao esta em regime linear (como estava para valores de M ≤ MCed) o que faz

que o comprimento da rotula plastica seja obtido atraves de uma analise parametrica complexa cuja

demonstracao sai fora do ambito deste trabalho. Convem, apesar de tudo, referir qual o raciocınio por

tras da deducao deste comprimento de modo a que se possa compreender e dominar as hipoteses e os

conceitos subjacentes a definicao deste valor.

11EN 1998-2 4.2.4.4(2c), equacao (4.21)

3.4.2. Comprimento da Rotula para o Momento de Rotura 35

Considere-se a figura 3.10. Pretende-se, mais uma vez, igualar os deslocamentos das duas estruturas,

mas desta vez tendo a primeira um comportamento fisicamente nao-linear.

1d

nldld1td

CedRot

(a)

2td

ld d

2td

CedRotpuL

(b)

Figura 3.10: Deslocamentos para a definicao de Lpu: (a)Deslocamento obtido por flexao do pilar considerando asua nao-linearidade fısica, (b)Deslocamento obtido por soma dos deslocamentos obtidos por flexao do pilar (comcomportamento linear) e por rotacao da base.

O objectivo sera entao igualar os deslocamentos dt1 e dt2. A parte dos problemas associados as

diferencas de rigidez, os deslocamentos por flexao linear dl sao iguais nas duas estruturas dado que

apenas incluem a contribuicao do diagrama de curvaturas triangular (com parte dele a tracejado e igual

nas duas estruturas). Pretende-se acrescentar ao diagrama de curvaturas triangular da estrutura (b) um

diagrama de curvaturas constante que na base implique uma curvatura total igual a χRot e cujo integral

ao longo de Lpu de origem a rotacao θ.

A rotacao θ implica um deslocamento horizontal dθ que, pela igualdade de dl nas duas estruturas, sera

igual a dnl. O valor de dnl sera entao a diferenca entre o deslocamento dt1 (calculado como o integral do

diagrama de curvaturas total da estrutura (a)) e o deslocamento dl (calculado como o integral do diagrama

de curvaturas triangular em qualquer uma das estruturas), o que garantira que os deslocamentos dt1 e

dt2 sao iguais.

O EC8-2 estipula a relacao entre χu e θu pela equacao do Anexo E.3.2 e de acordo com o criterio

estipulado em EN 1998-2 4.2.4.4(2c), tendo-se:

θu = θy + θp,d (3.29)

com θp,d definido pela equacao:

θp,d =θp,uγR,p

(3.30)

em que γR,p esta definido no EC8-212 como sendo igual a 1,4 e θp,u e dado por:

θp,u = (χu − χy)Lp

(1− Lp

2L

)(3.31)

sendo que

L - Distancia entre a seccao da rotula plastica e a seccao sujeita a um momento flector nulo.

12EN 1998-2 AnnexE.3.1(3)


θy - Rotacao de cedencia definida na seccao 3.4.1.

χy - Curvatura de cedencia.

χu - Curvatura de rotura.

Lp - Comprimento da rotula plastica definido atraves da equacao (3.32).

Nao se deve confundir o valor de Lp com Lpu pois o primeiro e uma variavel bem parametrizada e

definida no EC8-2 para calcular θp,u atraves da expressao (3.31) e o segundo e uma variavel cuja funcao e

ser um auxiliar a concepcao do conceito de rotula plastica e de comprimento da rotula plastica. Poderia-se

dizer que Lpu = Lp

(1− Lp

2L

), sendo que este resultado so tem utilidade para melhor entender a diferenca

entre estes dois valores. Define-se entao Lp a partir da equacao

Lp = 0, 10L+ 0, 015fykdbL (3.32)

em que,

L - Valor ja definido para a equacao (3.31)

fyk - Tensao de cedencia caracterıstica dos varoes longitudinais (em MPa)

dbL - Diametros dos varoes longitudinais (em m)

sendo que a equacao (3.32) so e valida para pilares com uma esbelteza Ld ≥ 3, 0.

3.4.3 Relacao Momento-Rotacao

Fica entao definida a relacao momento-rotacao (M -θ) para a rotula plastica em que MCed e MRot tomam

os mesmos valores que tomavam na relacao M -χ simplificada da seccao e os valores de θCed e θRot que

lhes estao associados sao obtidos a partir das expressoes (3.22) (ou (3.27) caso se deseje utilizar a forma

do EC8-2) e (3.29) respectivamente.

Apresenta-se na figura 3.11 o aspecto da relacao M -θ para um pilar generico.

Como na generalidade dos casos os pilares das pontes sao simetricos, esta relacao M -θ sera simetrica

em relacao a origem. Ou seja, se a θCed e θRot estao associados os pontos MCed e MRot, entao a −θCede −θRot estao associados os pontos −MCed e −MRot.

No capıtulo 4 sera feita a implementacao computacional desta rotula atraves de uma mola com o

mesmo comportamento. Dado que se pretende utilizar a mola para efectuar uma analise sısmica ao longo

do tempo, esta nao estara apenas sujeita a solicitacoes dentro das duas rectas definidas na figura 3.11

pois havera regras especıficas para a descarga e para a cedencia. Por esta razao os parametros que sao

de facto importantes sao os valores das rigidezes Kl e Kpc, o valor do momento de cedencia MCed e o

valor de θRot para definir a maxima rotacao que a mola suporta. Note-se que estas grandezas obtem-se,

atraves de relacoes geometricas simples, a partir dos parametros calculados neste capıtulo.

3.4.3. Relacao Momento-Rotacao 37

M

M RotM

CedM pcK

KlK

RotCed

Figura 3.11: Relacao M -θ de uma rotula plastica: MCed - Momento de cedencia, MRot - Momento de rotura,θCed - Rotacao de cedencia, θRot - Rotacao de rotura, Kl - Rigidez da rotula antes da cedencia, Kpc - Rigidez darotula apos a cedencia.

Capıtulo 4

Implementacao Computacional

4.1 Elementos e Matrizes Elementares

No presente trabalho consideram-se quatro tipos de elementos. Em primeiro lugar adoptam-se as barras

e as molas lineares, ambas com um comportamento linear tanto fısico como geometrico, sendo estes os

elementos base que definem a estrutura. Posteriormente consideram-se dois elementos para modelar os

efeitos da nao linearidade. O primeiro elemento sera uma mola com uma relacao constitutiva nao-linear,

com a qual se pretende modelar as rotulas plasticas. Em seguida sera modelado um aparelho de apoio

deslizante, incluindo neste o efeito do atrito conferido pelo aparelho de apoio entre o pilar e o tabuleiro.

4.1.1 Barras

No presente trabalho o comportamento fisicamente nao-linear dos pilares modela-se atraves do recurso

as rotulas plasticas. Assim, define-se o elemento do tipo barra considerando as hipoteses de linearidade

fısica e linearidade geometrica. Ou seja, efectua-se a analise da estrutura na sua posicao indeformada,

sem que daı resultem erros significativos, e a relacao entre deformacoes e esforcos assume-se como sendo

linear. Sao ainda consideradas nestes elementos as hipoteses de homogeneidade e isotropia do material.

No presente caso considera-se a hipotese da teoria de vigas de Euler-Bernoulli que diz que as faces de

uma viga inicialmente planas e perpendiculares ao eixo da viga, permanecerao planas e perpendiculares

ao eixo da viga apos a aplicacao das cargas e a subsequente deformacao. Isto implica que, para o

referencial representado na figura 3.4 e considerando os deslocamentos verticais referidos ao eixo z, a

deformacao por corte e nula e consequentemente que o campo de rotacoes θ(x) e obtido atraves do campo

de deslocamentos verticais w(x) segundo a sua derivada. Ou seja:

θ (x) = −dw(x)

dx(4.1)

Sabe-se por outro lado que, no presente caso, a curvatura e a derivada da rotacao (condicoes de

compatibilidade), ou seja:

χ (x) =dθ(x)

dx= −d

2w(x)

dx2(4.2)

e que, tambem por compatibilidade:

ε (x) =du(x)

dx(4.3)

Sabe-se tambem que, pelas condicoes de equilıbrio:

d2M(x)

dx2+ p (x) = 0 (4.4a)

39

40 Capıtulo 4. Implementacao Computacional

dN(x)

dx+ q (x) = 0 (4.4b)

Por fim, dado que se admitiu a linearidade fısica dos materiais, os esforcos e as deformacoes podem

ser relacionados atraves de uma constante, que toma o valor de EI para os esforcos de flexao e EA para

os esforcos axiais, em que I e a inercia da seccao, A e a sua area e E e o modulo de elasticidade do

material considerado. Obtem-se entao as seguintes relacoes:

M (x) = EI.χ(x) (4.5a)

N (x) = EA.ε(x) (4.5b)

Matriz de Rigidez Elementar

A matriz de rigidez elementar de uma barra obtem-se atraves da expressao:

[K] =

∫ L

0

[B]T. [D] . [B] dx (4.6)

em que,

[B] = [A] . [ψ] (4.7a)

[A] =

− d2

dx2 0

0 ddx

(4.7b)

[D] =

EI 0

0 EA

(4.7c)

em que [ψ] e a matriz das funcoes de aproximacao dos deslocamentos (Teixeira de Freitas, 2009).

Por matriz das funcoes de aproximacao entende-se a matriz que permite obter o campo dos desloca-

mentos da barra a partir dos deslocamentos independentes considerados no calculo. Neste caso foram

adoptadas as seguintes hipoteses para a consideracao da matriz:

1. Tomaram-se 6 deslocamentos independentes por barra numerados conforme a figura 4.1.

2. Utilizou-se uma aproximacao do primeiro grau para a deformada na direccao axial.

3. Utilizou-se uma aproximacao do 3o grau para a deformada na direccao transversal.

4u6u

u

4

5u

1u

3u

2u

Figura 4.1: Barra no referencial local

4.1.1. Barras 41

Assim, adoptou-se para a matriz das funcoes de aproximacao a seguinte matriz:

[ψ] =

0 1− 3x2

L2 + 2x3

L3 −x+ 2x2

L −x3

L2 0 3x2

L2 − 2x3

L3x2

L −x3

L2

1− xL 0 0 x

L 0 0

(4.8)

Dadas as expressoes enunciadas anteriormente facilmente se conclui que:

[B] =

0 − 6L2 + 12x

L34L −

6xL2 0 6

L2 − 12xL3

2L −

6xL2

− 1L 0 0 1

L 0 0

(4.9)

O que por fim se traduz numa matriz de rigidez elementar para uma barra b dada por

[Kb] =

EAL 0 0 −EAL 0 0

0 12.EIL3 − 6.EI

L2 0 − 12.EIL3 − 6.EI

L2

0 − 6.EIL2

4.EIL 0 6.EI

L22.EIL

−EAL 0 0 EAL 0 0

0 − 12.EIL3

6.EIL2 0 12.EI

L36.EIL2

0 − 6.EIL2

2.EIL 0 6.EI

L24.EIL

(4.10)

Matriz de Massa Elementar

Para a matriz de massa consideraram-se duas possibilidades, sendo a primeira a consideracao de uma

matriz de massas nodais e a segunda a consideracao de uma matriz de massa consistente.

Para a matriz de massas nodais optou-se por nao considerar a participacao da massa dos deslocamentos

associados a rotacao. Esta aproximacao e tanto mais proxima da realidade quanto maior for o numero

de elementos em que se discretizar uma barra. Sendo assim, considera-se que cada no tera nas duas

direccoes de translacao metade da massa de cada barra que a ele esta ligada. Assim, a matriz de massa

elementar ficara da forma:

[Mb] =

m.L/2 0 0 0 0 0

0 m.L/2 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 m.L/2 0 0

0 0 0 0 m.L/2 0

0 0 0 0 0 0

(4.11)

em que m e a massa por unidade de comprimento da barra b.

A matriz de massa consistente elementar corresponde a matriz obtida quando se deseja fazer a consi-

deracao da contribuicao dos graus de liberdade de rotacao. Isto implica a existencia de termos cruzados

pois os graus de liberdade de rotacao interferem com os graus de liberdade transversais ao elemento (e

vice-versa) tal como no caso da matriz de rigidez.

Esta matriz, em termos analıticos, obtem-se fazendo a seguinte operacao:

[M ] =

∫ L

0

[ψ]T. [ψ] .m (x) dx (4.12)

em que m (x) e a funcao da distribuicao da massa ao longo do elemento


A demonstracao deste resultado provem do equilıbrio entre as massas e aceleracoes nodais e as massas

e aceleracoes distribuıdas, sendo estas ultimas definidas, atraves das funcoes de aproximacao, a partir das

aceleracoes nodais.

Tomando o valor de m(x) = cte obtem-se as matrizes para o caso dos elementos com seccoes e materiais

constantes ao longo do seu desenvolvimento. De facto, este resultado e o mais importante, pois na pratica

corrente evita-se fazer variar a seccao ou o material ao longo do eixo da peca. Adicionalmente, mesmo

quando isso acontece, e usual modelar o elemento em elementos menores com caracterısticas constantes

ao longo do seu eixo. Assim obtem-se a partir da equacao (4.12) o resultado

[Mb] =

Lm3 0 0 Lm

6 0 0

0 13Lm35 − 11L2m

210 0 9Lm70

13L2m420

0 − 11L2m210

L3m105 0 − 13L2m

420 −L3m

140

Lm6 0 0 Lm

3 0 0

0 9Lm70 − 13L2m

420 0 13Lm35

11L2m210

0 13L2m420 −L

3m140 0 11L2m

210L3m105

(4.13)

em que m e o valor constante da massa distribuıda do elemento b.

Matriz de Mudanca de Referencial

Os resultados das matrizes elementares anteriores dados pelas equacoes (4.10), (4.11) e (4.13) foram

deduzidos para o referencial local do elemento. Isto significa que estes valores tem de ser expressos no

referencial global da estrutura. Para ter em conta a existencia dos dois referenciais cria-se para cada

barra b uma matriz transformacao [Tb] que faca a mudanca de coordenadas de uma matriz do referencial

local para o referencial global.

Assim, a matriz de mudanca de referencial (tambem designada matriz de rotacao) [Tb] toma a forma

[Tb] =

cos [α] sin [α] 0 0 0 0

sin [α] −cos [α] 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos [α] sin [α] 0

0 0 0 sin [α] −cos [α] 0

0 0 0 0 0 1

(4.14)

em que α e o angulo que a barra b faz com a horizontal.

4.1.2 Molas Lineares

As molas lineares sao elementos que ligam dois nos, dando uma rigidez para qualquer combinacao dos

seus seis graus de liberdade. A matriz de rigidez de uma mola no referencial global fica entao:

[Km] =

[km]∗ −[km]

∗

−[km]∗

[km]∗

(4.15)

4.1.3. Molas Nao-Lineares 43

em que [km]∗

e uma matriz simetrica dada por

[km]∗

=

kxx kxy kxθ

kyy kyθ

kθθ

(4.16)

em que kij e o esforco que surge na direccao i quando se aplica um deslocamento unitario na direccao j

e zero nas restantes direccoes.

4.1.3 Molas Nao-Lineares

De uma forma generica uma mola nao-linear e caracterizada por a sua rigidez ser variavel em funcao

da historia deslocamentos ou rotacoes a que esta sujeita. No caso deste trabalho assume-se uma mola

com apenas dois valores possıveis de rigidez (ou seja, com comportamento bi-linear), uma rigidez elevada

correspondente ao comportamento da estrutura em regime linear e uma rigidez reduzida correspondente

a rigidez apos a cedencia da seccao. Este segundo troco de rigidez pode apresentar um valor nulo, ou no

caso mais geral, uma rigidez nao nula, mas significativamente menor que a rigidez inicial.

Dado que este tipo de molas foi considerado para simular rotulas plasticas, o seu comportamento na

descarga tera de corresponder ao que se verifica numa rotula plastica. Assim, a descarga sera feita com

a rigidez igual a inicial ate que se atinja o ponto em que a mola ceda na direccao oposta.

As molas com comportamento nao-linear sao introduzidas de forma a simular rotulas plasticas que

concentram em si todos os efeitos fisicamente nao lineares associados ao comprimento da rotula plastica.

Assim, assume-se o comportamento apenas num grau de liberdade sendo que a rigidez definida, a seme-

lhanca do que acontecia nas molas lineares, refere-se sempre a graus de liberdade no referencial global da

estrutura.

Uma mola bi-linear define-se com tres parametros, alem da indicacao do grau de liberdade a que se

refere. Os parametro podem ser a rigidez Kl, a rigidez Kpc e o esforco de cedencia MCed (ver figura 4.2).

M

KM

M

lK

pcKcdM

lK

u

Figura 4.2: Diagrama de uma mola nao-linear


Para definir a rigidez da mola num dado instante i e necessario, em primeiro lugar, saber qual o par

Mi-θi a que a estrutura esta sujeita, de modo a saber em que zona da relacao M -θ da mola e que esta se

encontra. Por outro lado e necessario saber qual a velocidade associada a rotacao θ para que, sabendo o

seu sinal, se saiba se o elemento esta em carga ou em descarga.

O metodo para a definicao da rigidez da mola passa entao por definir duas rectas Fy (θ) e −Fy (−θ),

com Fy (θ) definido pela equacao seguinte:

Fy (θ) = MCed + (θ − θCed) .Kpc (4.17)

As rectas Fy (θ) e −Fy (−θ) (definidas a partir do resultado da equacao (4.17)) representam as rectas

superior e inferior com rigidez pos-cedencia, que interceptem os pontos MCed e −MCed respectivamente,

sendo estes definidos como os pontos com esse valor de momento e pertencentes a recta que passa na

origem e tem inclinacao igual a Kl (tal como representado na figura 4.2).

Depois de recolhidos os parametros MCed - Momento de Cedencia, Kl - Rigidez linear, Kpc - Rigidez

pos-cedencia, θCed = MCed

Klaplica-se o seguinte metodo sistematico para definir a rigidez da mola no

instante i:

1. Recolhem-se os valores da solicitacao θi, vi e Mi que sao respectivamente a rotacao a que a mola

esta sujeita, a velocidade associada a θi e o momento a que a mola esta sujeita.

2. Calculam-se os valores de Fy (θi) e −Fy (−θi) a partir da equacao (4.17).

3. Por fim define-se a rigidez segundo os seguintes criterios:

Km =

Kpc se

Mi ≥ Fy (θi) ∧ vi > 0

Mi ≤ −Fy (−θi) ∧ vi < 0

Kl nos restantes casos

Neste tipo de elemento e comum apresentar um criterio de paragem em funcao da rotacao maxima

admitida na mola (θu). Assim o comportamento da mola fica limitado a valores maximos e mınimos de

rotacao dados por θu e −θu respectivamente.

4.1.4 Aparelhos de Apoio com Atrito

E frequente nas pontes a utilizacao de apoios deslizantes para executar a ligacao entre pilares e o tabuleiro.

O objectivo deste tipo de ligacao e conseguir-se isolar o pilar em relacao ao tabuleiro em termos de

deslocamentos horizontais, mantendo a sua funcao resistente a cargas verticais.

No entanto este tipo de ligacoes tem na realidade alguma resistencia ao deslocamento horizontal confe-

rida pelo atrito entre as superfıcies do aparelho de apoio. Pretende-se entao modelar este comportamento

nao-linear, cujo modelo teorico se apresenta na figura 4.3.

Para modelar estes elementos optou-se, no presente trabalho, por assumir um elemento igual ao

utilizado nas molas nao-lineares. Definem-se entao os parametros a utilizar na definicao da relacao

constitutiva da mola de modo a simular correctamente estes elementos.

4.2. Fluxogramas Relativos ao Programa de Analise Dinamica 45

FF

AtritoF

v

FAtritoF

Figura 4.3: Comportamento de um sistema de atrito

Em primeiro lugar adopta-se uma rigidez pos-cedencia (Kpc) tao proxima do valor nulo quanto

possıvel, evitando originar problemas na resolucao numerica devidos a existencia de uma rigidez nula.

Adopta-se em seguida como valor equivalente a MCed o valor de FAtrito que corresponde a forca de atrito

(desprezando-se a diferenca entre forca de atrito estatico e forca de atrito cinematico). A forca de atrito

obtem-se fazendo:

FAtrito = N.µa (4.18)

em que N e o esforco transmitido pelo aparelho de apoio e µa e o coeficiente de atrito que caracteriza o

contacto entre as duas superfıcies consideradas.

Por fim, deve considerar-se um valor para Kl. Teoricamente, o valor mais indicado para este parametro

seria um valor infinito, mas que traria graves problemas na resolucao numerica do problema. Por esta

razao, no presente trabalho, adopta-se para a rigidez linear da mola que simula o aparelho de apoio a

rigidez elastica do pilar a que esta ligado. Em seguida remove-se o pilar assumindo que a sua contribuicao

em regime linear sera modelada atraves da mola. O unico inconveniente desta solucao e nao ser possıvel

modelar o comportamento fisicamente nao-linear do pilar. No entanto, este inconveniente e apenas

aparente uma vez que, nas estruturas reais, a forca de atrito nao e, de uma forma geral, suficiente para

plastificar o pilar.

A grandeza que controla o comportamento desta mola sera o deslocamento δ (por oposicao a θ utilizado

no caso anterior). Assim, em vez de θu, utiliza-se δu para definir o criterio de rotura neste elemento.

4.2 Fluxogramas Relativos ao Programa de Analise Dinamica

Apresentam-se nas figuras 4.4 a 4.7 os fluxogramas relativos a analise dinamica referida no capıtulo 2,

cuja implantacao computacional foi desenvolvida em MATLAB R©. O codigo do programa e apresentado

no Anexo C.


Inıcio doPrograma

DefineOpcoes de

Analise

PassosComuns

Tipo deAnalise?

AnalisePasso-a-passo

AnaliseEspectral

Fim doPrograma

Inc.

Esp.

Figura 4.4: Fluxograma do programa de analise dinamica

PassosComuns

Le EstruturaNumera Des-locamentos

Cria MatrizesElementares

Cria Matrizde Rigidez

Global

Cria Matrizde Massa

MassaConsistente?

CalculaModos

Condensa dasMatrizes

CalculaVector 1d

Fim dosPassos

Comuns

Nao

Sim

Figura 4.5: Fluxograma da funcao “Passos Comuns”: Cria Matrizes Elementares - Seccao 4.1, CalculaModos - Seccao 2.2.1, Calcula Vector 1d - Seccao 2.1.2

4.3. Fluxogramas Relativos ao Programa de Analise de Seccoes 47

AnaliseEspectral

Calcula Des-locamentos

Modais

CalculaEsforcosModais

Le o Espectrode Resposta

Calcula osValores de Sa

CombinacaoModal

CombinacaoDireccional

Fim daAnalise

Espectral

Figura 4.6: Fluxograma da funcao “Analise Espectral”: Seccao 2.2

AnalisePasso-a-passo

Le Perfil deAceleracoes

InicializacaoCalculaPrimeiro

Incremento

CalculaIncremento

Seguinte

UltimoIncremento?

Tratamentodos Dados

Fim daAnalise

Incremental

Sim

Nao

Figura 4.7: Fluxograma da funcao “Analise Incremental”: Seccao 2.3

4.3 Fluxogramas Relativos ao Programa de Analise de Seccoes

Apresentam-se nas figuras 4.8 a 4.11 os fluxogramas relativos a analise de seccoes referida no capıtulo 3,

cuja implantacao computacional foi desenvolvida em MATLAB R©. O codigo do programa e apresentado

no Anexo D.


Inıcio doPrograma

DefineOpcoes eMateriais

Ler SeccaoCalculo

InformacaoInicial

Tipo deCalculo?

Calculo daRelacao M -χ

CalculoDirecto dos

PontosNotaveis

Calcula EIIICalcula

MCed e χCed

Calcula αyCalcula θCed

e θRot

Fim doPrograma

M -χ

P.Not.

Figura 4.8: Fluxograma do programa de analise de seccoes: Calcula MCed e χCed - Seccao 3.3.1, Calculaαy - Seccao 3.4.1, Calcula θCed e θRot - Seccao 3.4.3

CalculoInformacao

Inicial

Calcula FibraMais

Traccionada

Calcula FibraMais

Comprimida

CalculaNmax

Calcula NCre [T ]

Calcula EIICalcula LpFim doCalculo

Figura 4.9: Fluxograma da funcao “Calculo Informacao Inicial”: Calcula NCr e [T ] - Seccao 3.3, CalculaLp - Seccao 3.4.2

4.3. Fluxogramas Relativos ao Programa de Analise de Seccoes 49

CalculoDirecto dos

PontosNotaveis

CalculaParametrosde Cedencia

Define [T ] aUtilizar

PrimeiraIteracao

CalculaIteracao

Erro >Tolerancia?

ProximaIteracao

Ja CalculouRotura?

CalculaParametrosde Rotura

Fim doCalculo

SimNao

Nao

Sim

Figura 4.10: Fluxograma da funcao “Calculo Directo dos Pontos Notaveis”


Calculo daRelacao M -χ

PrimeiroIncremento

Atingiu aRotura?

Fim doCalculo

PrimeiraIteracao

CalculaIteracao

Erro >Tolerancia?

ProximaIteracao

ProximoIncremento

Sim

Nao

Sim Nao

Figura 4.11: Fluxograma da funcao “Calculo da Relacao M -χ”

Capıtulo 5

Casos de Estudo

Neste capıtulo sera feita a analise das estruturas propostas tomando duas abordagens diferentes, uma

com base em espectros de resposta e uma elasto-plastica por integracao ao longo do tempo.

O resultado da analise elasto-plastica e a media das maximas respostas de dez acelerogramas diferentes

(de acordo com o estipulado no EC8-21). Estes acelerogramas foram gerados de forma automatica com

atenuacao das amplitudes no inıcio e no fim do intervalo de analise. Cada um destes acelerogramas foi

gerado de modo a que o seu espectro seja aproximado ao espectro do EC8-1 para uma accao do tipo 1

num solo do tipo A com uma aceleracao de base unitaria2.

A analise por espectro de resposta e efectuada de acordo com o apresentado no capıtulo 2 utilizando

o espectro medio dos espectros dos acelerogramas definidos anteriormente. Este espectro nao coincide

exactamente com o espectro do EC8-1 mas e suficientemente aproximado para que o resultado seja

semelhante. Por outro lado, usando este espectro, garante-se que os resultados das duas analises sao

comparaveis.

5.1 Aplicacao do Modelo Elasto-Plastico na Analise Sısmica de um Portico

Plano

Nesta seccao tentara comparar-se os resultados da analise sısmica de uma estrutura atraves de um calculo

elasto-plastico com os resultados que se obteriam atraves uma abordagem por espectro de resposta.

Utiliza-se para o efeito um portico simples de dois pilares com a mesma seccao e armadura, o que implica

que as rotulas plasticas tem as mesmas caracterısticas em ambos os pilares. O objectivo da analise e

fazer variar diversos parametros, definidos mais adiante, comparando entre si os resultados em termos de

esforcos e deslocamentos.

Posteriormente consideram-se os mesmos parametros para o mesmo portico, acrescentando um terceiro

pilar com um apoio deslizante. Com o resultado desta analise pode observar-se qual a influencia da

consideracao do atrito num apoio deslizante, obtendo-se assim uma validacao dos resultados anteriores

quando se substitui um pilar com um aparelho de apoio deslizante por um apoio movel sem atrito (como

e habitual fazer na pratica).

1EN 1998-2 3.2.3(3)P2Anexo Nacional do EC8-1: TB = 0, 1, TC = 0, 6, TD = 2 e S = 1.

51

52 Capıtulo 5. Casos de Estudo

5.1.1 Procedimento e Apresentacao das Variaveis

Em primeiro lugar efectua-se uma analise em regime linear com o espectro elastico (definido no inıcio do

capıtulo) para se obter os esforcos elasticos nos dois pilares.

Mi,el - Momento elastico no pilar i

Define-se entao a variavel x. Esta variavel designa-se coeficiente de ductilidade em forca (Costa, 1990)

e pretende relacionar o valor do momento de cedencia (Mi,Ced) com o valor do momento elastico (Mi,el).

De forma a sistematizar o problema, as suas condicoes foram definidas de forma a que o pilar 1 seja

sempre condicionante. Assim, o valor de x e dado por:

x =M1,el

M1,Ced(5.1)

em que M1,el representa o momento flector no pilar 1 calculado em regime elastico e M1,Ced representa o

momento flector de cedencia da rotula plastica nesse mesmo pilar. Note-se que como os dois pilares tem

as mesmas caracterısticas nas suas rotulas plasticas, tem-se que M1,Ced = M2,Ced = MCed.

Define-se em seguida a variavel k. Esta variavel relaciona a rigidez em regime linear (Kθ,l) da rotula

plastica com a sua rigidez pos-cedencia (Kθ,pc). Como a rigidez em regime linear e constante ao longo de

toda a analise, serve este parametro para analisar diferentes valores de Kθ,pc. Obtem-se entao:

k =Kθ,pc

Kθ,l(5.2)

em que Kθ,l e Kθ,pc sao os valores de rigidez da mola nao-linear antes e depois da cedencia e estao

definidos na seccao 4.1.3.

Com as variaveis x e k definidas faz-se entao uma analise nao-linear ao longo do tempo. Os esforcos

relevantes desta analise serao os maximos esforcos a que a estrutura estara sujeita e representam-se da

seguinte forma:

Mi,NL Momento maximo a que fica sujeito o pilar i durante a analise

nao-linear ao longo do tempo

Note-se que quando se toma x = 1, o resultado da analise ao longo do tempo e o mesmo que o obtido

atraves de uma analise em regime elastico, que tera, teoricamente, o mesmo valor que uma analise por

espectro de resposta.

O resultado da analise nao linear permite obter um valor maximo do momento no pilar 1 (M1,NL).

Aqui assume-se a hipotese extremamente importante, cujas implicacoes e justificacoes se discutem mais

adiante, de que M1,NL = M1,Ed. Assumindo que:

Mi,Ed Valor maximo do momento no pilar i obtido atraves de uma analise

por espectro de resposta, afectada de um determinado coeficiente

de comportamento q

Desta forma, igualando os dois momentos, e possıvel obter o valor do coeficiente de comportamento

q de forma a que, para o pilar 1, o valor do momento maximo obtido atraves de um espectro de resposta

seja igual ao valor do momento maximo obtido atraves de uma analise ao longo do tempo. Pode obter-se

5.1.2. Valor do Coeficiente de Comportamento 53

entao o valor de M2,Ed para o mesmo coeficiente de comportamento q, mas este ja sera diferente do valor

de M2,NL porque o momento de cedencia (MCed) vai ser igual nos dois pilares e por isso, caso estes

tenham comprimentos diferentes, nao vao ceder simultaneamente.

Quando numa analise por espectro de resposta se garante que o perıodo e superior a TB3, pode

concluir-se que fazer uma analise com o espectro de dimensionamento e equivalente a fazer uma analise

com o espectro elastico e dividir os resultados pelo coeficiente de comportamento (a parte do coeficiente

de correccao do amortecimento que no caso do presente trabalho e sempre igual a unidade dado que se

esta a trabalhar com um coeficiente de amortecimento igual a 0,05). Assim, pode definir-se explicitamente

o coeficiente de comportamento atraves da equacao

q =M1,el

M1,Ed(5.3)

em que M1,Ed e o valor do momento de calculo no pilar 1 e, pela hipotese assumida, e tambem igual a

M1,NL, sendo que este valor sera sempre superior a M1,Ced por causa do endurecimento conferido pela

rigidez pos-cedencia na rotula (Kθ,pc).

5.1.2 Valor do Coeficiente de Comportamento

O coeficiente de comportamento obtido atraves da equacao (5.3) aparentemente difere em termos con-

ceptuais daquele que se adopta no EC8-24 na medida em que este ultimo refere-se a um coeficiente de

comportamento global para a estrutura e a definicao da equacao (5.3) define-o a partir de um elemento.

Esta aparente incoerencia nao se verifica no caso em estudo por causa das hipoteses assumidas neste

trabalho. Apresentam-se em seguida os dois tipos de hipoteses consideradas, as primeiras referentes as que

se adoptam numa analise por espectro de resposta segundo o EC8 e as segundas referentes as hipoteses

assumidas neste estudo:

1. Hipoteses adoptadas numa analise por espectro de resposta segundo o EC8

a) O coeficiente de comportamento sera o valor pelo qual se divide o espectro elastico para obter

o espectro de dimensionamento5.

b) O EC8 permite fazer uma analise elastica afectada de um coeficiente de comportamento, o que

implica uma distribuicao elastica de esforcos actuantes na estrutura.

c) O EC8 assume que os esforcos resistentes devem ser pelo menos iguais aos esforcos actuantes,

podendo ser superiores.

d) O EC8 admite que os elementos nao tem rigidez pos-cedencia, ou seja, que MCed = MRot.

2. Hipoteses especıficas do estudo em causa.

a) Os dois pilares tem as mesmas caracterısticas em seccao e armadura, sendo o unico parametro

que difere entre eles o seu comprimento.

3TB refere-se ao parametro com o mesmo nome usado na definicao do espectro de resposta conforme o anexo B4EN1998-2 4.1.65Valido apenas para T ≥ TB , ou seja, para perıodos superiores ao inıcio do patamar de aceleracao constante do espectro

de resposta, ver figura B.1 no Anexo B


b) O pilar 1 tera sempre um comprimento menor que o pilar 2, o que implica que tera sempre

esforcos superiores aos do pilar 2.

c) O maximo momento no pilar 1 sera o mesmo independentemente do tipo de analise (M1,NL =

M1,Ed)

d) O coeficiente de comportamento assumido apenas tem como objectivo comparar os resultados

dos dois metodos de analise.

Comece-se entao por definir o coeficiente de comportamento como, para uma dada accao, o quociente

entre a maxima forca6 a que a estrutura ficaria sujeita em regime elastico (Fel) e a forca maxima resistente

da estrutura (FRot), ou seja, q = FelFRot

.

Sabe-se, por outro lado, que numa analise por espectro de resposta segundo o EC8-2, basta para

garantir a seguranca verificar que MRot ≥MEd em cada pilar. Dado que a analise e efectuada em regime

linear pode afirmar-se que Mi,Ed =Mi,el

q , ja que os esforcos sao proporcionais a forca aplicada. Deste

modo a seguranca e assegurada quando MRot =Mi,el

q , ou seja, a estrutura tem os esforcos resistentes

distribuıdos elasticamente. Por outro lado sabe-se que Mi,Ced = Mi,Rot (na abordagem do EC8-2) o que

significa que os dois pilares cedem simultaneamente e consequentemente que a forca de rotura e igual a

forca de cedencia que por sua vez e igual a forca necessaria para a cedencia dos pilares. Alem disso a

simultaneidade da cedencia dos pilares permite concluir em particular que FRot = Fel(Mi = Mi,Ced). Por

fim sabe-se que Fel = Fel(Mi = Mi,el) devido a relacao linear entre accoes e esforcos assumida. Entao,

q =FelFRot

=Fel(M1 = M1,el)

Fel(M1 = M1,Ced)=

M1,el

M1,Ced=

M1,el

M1,Rot(5.4)

em que o calculo de q e efectuado a partir do pilar 1 porque M1,Ed ≥ M2,Ed e M1,Rot = M2,Rot, o que

significa que para garantir a seguranca e condicao necessaria e suficiente que M1,Rot ≥M1,Ed.

5.1.3 Analise Parametrica

Pretende-se, com base nas hipoteses definidas, fazer a analise de um portico variando alguns dos parametros

que o definem. Considere-se entao o portico definido na figura 5.1, em que se admitiram como fixos os

parametros apresentados na tabela 5.1.

Tabela 5.1: Parametros fixos durante a analise parametrica: Kθ,l representa a rigidez antes da cedenciada mola nao-linear definida na seccao 4.1.3, KP1 representa a rigidez transversal do pilar 1 e αy e oparametro definido na seccao 3.4.1 na equacao (3.25)

E I L1 αy Kθ,l KP1

(GPa) (m4) (m) (kN.m−1) (kN.m)

30 0,005 12 0.2 25000 104,2

Os parametros que se pretendem variar sao k, x, T e β. As variaveis k e x ja foram definidas nas

equacoes (5.2) e (5.1) respectivamente. O parametro T refere-se ao perıodo da estrutura e a sua variacao

6Esta forca refere-se a uma forca aplicada no grau de liberdade horizontal da travessa de modo a medir o comportamentoglobal da estrutura

5.1.3. Analise Parametrica 55

MM

1L

LIEI

K

2LIEI

KK

Figura 5.1: Portico base para a analise

e efectuada fazendo variar a massa M da estrutura. Por fim, a variavel β representa a relacao entre os

comprimentos dos pilares e e dada por:

β =L2

L1(5.5)

com L1 e L2 definidos na figura 5.1.

Apresentam-se entao na tabela 5.2 os diferentes valores assumidos para cada um dos parametros

anteriormente definidos.

Tabela 5.2: Valores dos parametros considerados na analise

k 0,01 0,30

x 2,0 2,5 3,0

T (s) 0,25 0,5 1,0 1,5 2,0

β 1,00 1,25 1,50 1,75

Na tabela 5.3 apresenta-se a variacao da rigidez do pilar 2 (KP2) e da rigidez total do portico (KTot),

bem como a rigidez relativa KP2/KTot, em funcao da variacao do parametro β.

Tabela 5.3: Variacao de KP2, KTot e KP2/KTot em funcao de β

β KP2 KTot KP2/KTot

(kN,m) (kN,m) %

1,00 104,2 208,3 501,25 53,3 157,5 341,50 30,9 135,0 231,75 19,4 123,6 16


5.1.4 Variacao do Momento no Pilar 2 em Funcao do Coeficiente de

Comportamento

Nesta seccao pretende-se representar o valor maximo do momento no pilar 2 (M2,NL), normalizado em

funcao do momento resultante da analise por espectro de resposta (M2,Ed), em funcao do coeficiente de

comportamento.

Para facilitar a leitura tomou-se a opcao de separar a analise em diferentes valores de coeficiente de

ductilidade em forca (x). Assim, as figuras 5.3, 5.4 e 5.5 referem-se respectivamente aos valores quando

x = 2, 2,5 e 3.

Alem do ja mencionado momento no pilar 2, representa-se tambem o momento de cedencia da rotula

(tambem este normalizado), ou simplesmente,M2,Ced

M2,Ed. Este valor obtem-se facilmente de forma analıtica

partindo das hipoteses ja definidas e utilizando as equacoes (5.5), (5.1) e (5.3).

Pelas hipoteses assumidas e usando a equacao (5.1) obtem-se:

M2,Ced = M1,Ced =M1,el

x(5.6)

Por outro lado, como apenas se consideraram valores de perıodos superiores a TB7, e possıvel estabe-

lecer a relacao da equacao (5.3) para o pilar 2 obtendo a relacao

M2,Ed =M2,el

q(5.7)

Por razoes de compatibilidade, dado que se considera a travessa axialmente indeformavel e tomando

a equacao (5.5) conclui-se que:

M2,el =M1,el

β2(5.8)

Partindo das equacoes (5.6) e (5.8) obtem-se que:

M2,Ced

M2,Ed=β2

xq (5.9)

Este resultado analıtico foi validado com o obtido atraves dos dados recolhidos na analise ao longo do

tempo, demonstrando a sua diferenca um erro inferior a 10−6, o que em termos praticos significa que o

resultado pode ser considerado exacto.

Para uma melhor compreensao dos graficos que se apresentarao nesta seccao, ilustra-se um exemplo

na figura 5.2.

O grafico apresentado na figura 5.2 tem em abcissas o coeficiente de comportamento (q) e em ordenadas

o quocienteM2,NL

M2,Ed. Este quociente representa o momento flector no pilar 2 obtido a partir de uma analise

nao linear ao longo do tempo normalizado com o momento flector no pilar 2 obtido atraves de uma analise

por espectro de resposta.

Cada uma das curvas representadas (curvas do tipo (a) ou (b)) tem associada um valor de β, tendo

cada β uma cor correspondente. As curvas a tracejado correspondem aos valores calculados para k = 0, 01

(com k definido anteriormente pela equacao (5.2)) e as curvas a cheio correspondem aos valores calculados

para k = 0, 30. As rectas a ponteado representam o limite a partir do qual o pilar 2 estara em cedencia.

7dado que TB = 0, 1 s

5.1.4. Variacao do Momento no Pilar 2 em Funcao do Coeficiente de Comportamento 57

2,NLM

2.52,EdM

2 5(c)

2

2.5x

(a)

(b)

1.5 Legenda:

1 50

2,

2

:ced

Ed

MM

(a)

1 k = 0,01k 0 30

1,50 1,00 1,50

2,Ed

0.5

k = 0,30

1,00

01 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 q

Figura 5.2: Grafico auxiliar para o Momento no pilar 2

Deste modo, quando uma curva associada a um determinado par de β e k (curva (a) ou (b)) esta acima

da recta a ponteado correspondente ao mesmo β (recta (c)) significa que o momento no pilar 2 e superior

ao momento de cedencia, ou seja, o pilar 2 plastificou. No caso contrario o pilar 2 permanece em regime

elastico.

Cada uma das curvas representadas foi obtida para uma estrutura sujeita a mesma accao e para

valores constantes de x, k e β. Isto significa que, dentro destas restricoes, a unica forma de se conseguir

fazer variar o coeficiente de comportamento e fazendo variar o perıodo (alterando o valor da massa M).

Assim, conclui-se que para a mesma curva, um maior valor de T implica um maior valor de q.

Nos graficos das figuras 5.3, 5.4 e 5.5 apresentam-se as curvas que representam os valores deM2,NL

M2,Edem

funcao de q, fazendo variar os parametros x, k e β de acordo as gamas de valores definidas na tabela 5.2.

Das figuras podem observar-se dois comportamentos diferentes conforme o momento normalizado8

seja superior ou inferior ao momento de cedencia. No primeiro caso a variacao do momento com o

coeficiente de comportamento e crescente, mas apenas ligeiramente, enquanto a variacao no segundo caso

e decrescente com uma derivada maior em modulo.

Verifica-se tambem que quando o pilar esta apenas em regime elastico o valor do momento (norma-

lizado) tende a tornar-se independente do valor de β, principalmente quando o valor de q aumenta (que

significa, para x constante, um aumento de perıodo T ). Isto acontece por duas razoes principais. A

primeira e que os deslocamentos calculados em regime nao-linear tendem a ser semelhantes aos desloca-

8Para facilitar a leitura e a compreensao da analise dos resultados, quando se fizer referencia as variaveis em jogo nosgraficos opta-se por se omitir o facto destas serem normalizadas, evitando assim a constante repeticao deste termo.


3.5

2,

2,

NL

Ed

MM

3 2x

2.5

2, :cedM

2 Legenda:

1,75 1,75

2,

:EdM

1

1.51, 25

1,50

1,00 1,50

0.5

1k = 0,01k = 0,30

1,00

1, 25

01 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 q

Figura 5.3: Momento normalizado no pilar 2 em funcao de q para x = 2

3.5

2,

2,

NL

Ed

MM

3 2.5x

2.5

2 Legenda:

1,75 1 75

2,

2,

:ced

Ed

MM

1

1.51, 25

1,50

1,00 1,50

1,75

0.5

1k = 0,01k = 0,30

1,00

1, 25

01 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 q

Figura 5.4: Momento normalizado no pilar 2 em funcao de q para x = 2, 5

5.1.4. Variacao do Momento no Pilar 2 em Funcao do Coeficiente de Comportamento 59

3.5

2,

2,

NL

Ed

MM

3 3x

2.5

2 Legenda:

1,75 2,

2

:ced

Ed

MM

1

1.51, 25

1,50

1,00

1 50

1,75

2,Ed

0.5

1k = 0,01k = 0,30

1,00

1, 25

1,50

01 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 q

,

Figura 5.5: Momento normalizado no pilar 2 em funcao de q para x = 3

mentos elasticos, acrescido ao facto de que quando o valor de T aumenta a resposta espectral desloca-se

para a zona de deslocamentos constantes (ver Anexo B). Em segundo lugar, para valores de β elevados, a

contribuicao da rigidez em regime elastico do segundo pilar torna-se desprezavel em relacao ao conjunto,

sendo o deslocamento maximo controlado apenas pelas caracterısticas do primeiro pilar.

Da analise das figuras constata-se tambem que, em seccoes de pilares que impliquem rotulas plasticas

com o parametro k elevado, nao e possıvel obter valores elevados para o coeficiente de comportamento.

Em geral o coeficiente de comportamento (q) esta sempre limitado superiormente pelo coeficiente de

ductilidade em forca (x). No entanto, o efeito do endurecimento reduz fortemente este valor. A tıtulo de

exemplo considere-se uma estrutura definida com k = 0, 30 na qual se define x = 3. Para esta estrutura,

assumindo um perıodo de 1 segundo, o coeficiente de comportamento fica limitado a 1,9, o que significa

que para se conseguir obter valores de q superiores sera necessario aumentar tambem o valor de x.

O valor do momento maximo apos a analise nao-linear (M2,NL) esta intimamente ligado ao valor do

momento de cedencia (M2,Ced), quando se comparam diferentes valores de k, dado que k nao afecta o

comportamento linear da estrutura e o comportamento pos-cedencia depende preponderantemente das

caracterısticas da accao. Assim, como nas figuras 5.3, 5.4 e 5.5 o coeficiente de ductilidade em forca (x) e

mantido constante, o momento de cedencia (normalizado) depende do valor de q, que como ja foi referido,

e tanto menor quanto maior for o valor de k. Da equacao (5.9) observa-se que o momento de cedencia

e directamente proporcional ao coeficiente de comportamento, o que significa que um aumento do valor

de k tende a reduzir o valor deM2,NL

M2,Ed, o que so acontece por causa da limitacao ao valor de q que as


restricoes de x e k impoem.

5.1.5 Ductilidade Exigida no Pilar 1

A principal questao que a dependencia de q em funcao de x levanta e o grau de “ductilidade exigida”

(Costa, 1990) aos pilares, que se mede atraves do quociente entre o deslocamento no final da analise

nao-linear e o deslocamento de cedencia.

Na figura 5.6 apresenta-se a ductilidade exigida ao pilar 1 ( dtd1,Ced

) em funcao do perıodo (T ), em

que dt representa o deslocamento maximo da travessa obtido atraves de uma analise nao-linear ao longo

do tempo e d1,Ced representa o deslocamento necessario para o pilar 1 ceder. os valores da ductilidade

exigida sao sempre superiores a unidade, o que confirma, conforme previsto, que o pilar 1 atinge sempre

a cedencia. Esta analise e feita para o pilar 1 porque, dado que este nunca sera mais longo que o pilar 2,

este tera sempre maiores exigencias de ductilidade.

71,

t

Ced

dd

6

5

4 Legenda:

1,75

2

31, 25

1,50

1,00 x

1

2k = 0,01k = 0,30

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 ( )T s

Figura 5.6: Ductilidade exigida no pilar 1 em funcao do perıodo (T )

Da analise da figura 5.6 pode concluir-se que, para os casos estudados e para perıodos superiores a

1 segundo, a exigencia de ductilidade toma valores inferiores ao coeficiente de ductilidade em forca (x)

e que o aumento do valor de x numa estrutura faz, como seria de esperar, aumentar significativamente

a ductilidade exigida. Observa-se tambem que o aumento do valor do endurecimento k apenas atenua a

dependencia do valor de β e que por esta razao, nao corresponde, em si, a um agravamento da ductilidade

exigida. No entanto a baixa contribuicao do parametro k para a ductilidade exigida e apenas parcial visto

5.1.6. Variacao do Deslocamento em Funcao do Coeficiente de Comportamento 61

que, como foi referido anteriormente, um aumento de k reduz o maximo valor que se pode adoptar para

o coeficiente de comportamento (para um valor constante de x).

Assim, conclui-se que deve ser-se mais exigente na definicao do coeficiente de comportamento para

elementos com seccoes que impliquem um maior valor de endurecimento (k), como e o caso da seccao

circular ou de seccoes com um elevado esforco axial reduzido (tabela A.1 do Anexo A), dado que se

despreza o efeito do confinamento. Com efeito, verifica-se que para este tipo de seccoes e necessario

um maior valor para o coeficiente de ductilidade em forca x para garantir um determinado coeficiente

de comportamento q quando comparado com o que seria necessario em seccoes com um baixo valor de

endurecimento (k), o que tem como consequencia uma maior ductilidade exigida.

5.1.6 Variacao do Deslocamento em Funcao do Coeficiente de Comportamento

A semelhanca do que se apresenta na seccao 5.1.4 apresenta-se a comparacao dos resultados da analise

ao longo do tempo com a analise por espectro de resposta. Neste caso comparam-se os deslocamentos

obtidos ao nıvel do grau de liberdade da estrutura (deslocamento horizontal da travessa) depois de uma

analise ao longo do tempo (dt) com o deslocamento que se obteria se a estrutura permanecesse em regime

elastico (del).

Para facilitar a leitura tomou-se a opcao de apresentar separadamente os resultados para diferentes

valores de k. Assim, apresentam-se nas figuras 5.7 e 5.8 os graficos que se referem aos valores quando

k = 0, 01 e 0,30, respectivamente.

2.5

t

el

dd

20,01k

2,

T

1.5 Legenda:

1,75

1 1, 25

1,50

1,00

0.5 2x 2,5x 3x

01 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 q

Figura 5.7: Deslocamento normalizado da travessa em funcao de q para k = 0, 01


2.5

t

el

dd

20,30k

2,

1.5 Legenda:

1,75 T

1 1, 25

1,50

1,00

0.5 2x 2,5x 3x

01 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 q

Figura 5.8: Deslocamento normalizado da travessa em funcao de q para k = 0, 30

Os graficos apresentados nas figuras 5.7 e 5.8 tem em abcissas o valor do coeficiente de comportamento

(q) e em ordenadas quociente entre o deslocamento total depois da analise nao-linear ao longo do tempo,

normalizado com o deslocamento que se obteria em regime elastico, ou seja, dtdel

. Cada figura contem tres

conjuntos de curvas, cada uma delas associada a um valor de coeficiente de ductilidade em forca x.

A semelhanca do observado nos graficos das figuras 5.3, 5.4 e 5.5, o valor do coeficiente de comporta-

mento (q) e crescente com o valor de T .

Pode observar-se nas figuras 5.7 e 5.8 a grande dependencia do deslocamento em relacao tanto ao valor

de k como ao valor de x. No primeiro caso porque um k maior implica uma maior rigidez pos-cedencia

e consequentemente uma resposta mais rıgida apos a formacao das rotulas plasticas, que resulta numa

reducao do valor do deslocamento. Um menor valor de x significa que a estrutura vai estar mais tempo em

regime linear, dado que o momento de cedencia e maior, pelo que os deslocamentos no troco pos-cedencia

sao menores.

Observe-se que, tal como na figura 5.6, valores muito baixos de perıodo implicam maiores desvios em

relacao ao deslocamento de referencia. No entanto, e como foi referido anteriormente, os deslocamentos

em valor absoluto serao muito baixos, pelo que o desvio em termos absolutos tera menor importancia.

Confirmam-se tambem as conclusoes tiradas nas seccoes anteriores em relacao a menor dependencia

de β e as limitacoes do coeficiente de comportamento quando o valor de k aumenta.

Para perıodos nao demasiado baixos (T ≥ 1), verifica-se que a hipotese de assumir os deslocamentos

iguais ao deslocamento elastico, ou seja dtdel

= 1, e em geral conservativa. Isto significa que a abordagem

5.1.7. Verificacao da Seguranca no Pilar 2 63

do EC8-2, que assume os deslocamentos iguais aos deslocamentos elasticos para perıodos maiores que

1,25TC9, conduz a valores conservativos. O EC8-2 define tambem um factor de ductilidade para os

deslocamentos (µd) a multiplicar pelos deslocamentos obtidos atraves do espectro de dimensionamento,

para assim corrigir os deslocamentos quando o perıodo for inferior a T0 = 1, 25TC , sendo o deslocamento

de dimensionamento dado por:

dE = η.µd.dEe (5.10)

Nesta equacao dEe representa o deslocamento obtido atraves de um espectro de dimensionamento, η

o coeficiente de correccao devido ao amortecimento e

µd =

q se T ≥ T0

(q − 1)T0

T + 1 ≤ 5q − 4 se T ≤ T0

(5.11)

correspondendo q ao coeficiente de comportamento utilizado no espectro de dimensionamento e T ao

perıodo da estrutura.

Para o caso em estudo T0 = 0, 75 segundos e consequentemente os resultados da equacao (5.11) sao

sempre conservativos quando comparados com os resultados obtidos e apresentados nas figuras 5.7 e 5.8.

Os resultados sao tanto mais conservativos quanto maior for o valor de k. Poderia entao considerar-se

um valor de µd < q para valores de k e T elevados pois nestes casos os deslocamentos sao inferiores ao

deslocamento elastico e porque e nesta gama de perıodos que os deslocamentos sao maiores e tendem

para a zona de deslocamento constante do espectro (ver anexo B). Este assunto sera abordade de forma

mais detalhada na seccao 5.1.8.

5.1.7 Verificacao da Seguranca no Pilar 2

Da seccao 5.1.4 chegou-se a conclusao de que o valor do momento flector no pilar 2 calculado por uma

analise ao longo do tempo (M2,NL) nunca e inferior ao momento de calculo obtido atraves de uma analise

por espectro de resposta (M2,Ed). Por esta razao poderia pensar-se que eventualmente se estaria a exceder

o momento resistente do pilar 2 (M2,Rd = M1,Rd). Apresenta-se na figura 5.9 a relacaoM2,Rd

M2,NLem funcao

do perıodo, do valor de β e de k. Valores deM2,Rd

M2,NLinferiores a unidade correspondem a nao verificacao

da seguranca no pilar 2.

A primeira conclusao a tirar da observacao da figura 5.9 e que o pilar 2 verifica sempre a seguranca

pois, em todos os casos, o valor deM2,Rd

M2,NL≥ 1 (em ordenadas), o que significa que a resistencia do pilar

nunca e inferior a accao a que esta sujeito.

Em segundo lugar verifica-se que a relacao estabelecida varia pouco em funcao do perıodo da estrutura

(T ), que pela correspondencia estabelecida anteriormente entre T e q, significa que depende pouco do

valor do coeficiente de comportamento (q).

Observa-se tambem que valores diferentes de x apenas tem relevancia quando o pilar 2 permanece

em regime elastico durante toda a analise, ou seja, para valores elevados de β. O valor de x deixa

de ter influencia quando o valor de β e reduzido porque o momento de rotura e (em proporcao) muito

9EN 1998-2 2.3.6.1(6)P


3

2,

2,

Rd

NL

MM

2.5

2

x

1.5

Legenda:

1,75

1

1, 25

1,50

1,00

0.5

k = 0,01k = 0,30

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 ( )T s

Figura 5.9: Verificacao da seguranca no pilar 2 atraves da relacaoM2,Rd

M2,NL

proximo do momento de cedencia, ou seja, se o pilar 2 plastificar o seu valor do momento tera as seguintes

propriedades:

1. Sera proximo do momento no pilar 1 (ja que e a partir deste que se define o momento de rotura e

de cedencia de ambos).

2. Variara de forma igual ao pilar 1, segundo a mesma recta que define a rigidez pos-cedencia dos dois

pilares.

3. A sua diferenca para o valor do momento no pilar 1 corresponde ao acrescimo de momento no pilar

1 depois deste plastificar e ate o pilar 2 atingir o valor do momento de cedencia, sendo maior ou

menor consoante o valor do endurecimento definido por k.

5.1.8 Analise de Perıodos Elevados

Como ja foi referido na seccao 5.1.6 o EC8-210 define uma relacao entre o deslocamento elastico e o

deslocamento obtido atraves de uma analise nao-linear que depende do perıodo da estrutura, admitindo

que aqueles valores sao iguais para T ≥ 1, 25TC . Esta gama de perıodos sera denominada por gama de

“perıodos elevados”.

Outra razao para se considerar separadamente a analise dos perıodos elevados prende-se pelo facto

de que a analise da estrutura por espectro de resposta, como esta definido na seccao 2.2.3, deixa de

10A semelhanca do que esta apresentado no EC8-1 no anexo B

5.1.8. Analise de Perıodos Elevados 65

fornecer bons resultados por causa da relacao que se estabeleceu entre o espectro de aceleracoes e o

espectro de deslocamentos (Guerreiro, 1998), ou seja, os resultados da analise ao longo do tempo e da

analise por espectro de resposta nao sao iguais. Entao, para calcular o comportamento da estrutura em

regime elastico, fez-se um calculo por analise ao longo do tempo com um momento de cedencia superior

ao momento elastico de modo a que as rotulas nunca entrem em cedencia.

Da analise na gama de perıodos elevados obteve-se, a semelhanca dos graficos das figuras 5.7 e 5.8, uma

relacao entre o deslocamento apos a analise nao-linear (dt) e o deslocamento elastico (del). Apresenta-se

na figura 5.10 esta relacao para k = 0, 01, x = 2 e β = 1, mas desta vez com o perıodo em abcissas e

abrangendo valores ate 5 segundos de perıodo.

1.6

t

el

dd 0 1,25 CT T

1.40,01k

2x

1

1.21

0.8

1

0.6

0.2

0.4

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 ( )T s

Figura 5.10: Deslocamento normalizado em funcao de T , incluindo perıodos elevados, para k = 0, 01, x = 2 eβ = 1.

Como se pode observar pela figura 5.10 os deslocamentos tendem, em perıodos altos, a ser iguais

ao deslocamento elastico. Por outro lado confirma-se que o deslocamento e inferior ao elastico quando

T ≥ T0, confirmando a hipotese simplificativa e conservativa do EC8-2 de os considerar iguais, assunto

este ja discutido na seccao 5.1.6. Esta constatacao verifica-se em todos os casos testados com k = 0, 01.

A relacao de deslocamentos apresentada tende a permanecer constante para perıodos elevados. Isto

significa que o coeficiente de comportamento tera tambem de se manter constante. Assumindo que, no

limite, dtdel

tende para a unidade quando T e elevado, pode considerar-se a figura 5.11 e a partir desta

deduzir a equacao seguinte:

q =x

1 + (x− 1)k(5.12)

no entanto, este valor teorico nao e atingido. Isto acontece devido a erros proprios de uma analise


M

elM

qx

NLM

CedMNLM

.pc lK k K

lK

Ced NL el

Figura 5.11: Relacao entre as grandezas q, x e k para estruturas com perıodo elevado: Mel, θel - Grandezascalculadas em regime elastico, Mel, θel - Grandezas calculadas em regime nao-linear.

nao-linear ao longo do tempo, que vai fazer com que o momento maximo seja um pouco superior ao

esperado (afectando por isso o valor do coeficiente de comportamento). Note-se que o erro de que se

esta a falar e da ordem dos 2%, significando isto que e perfeitamente irrelevante quando se tem em conta

a existencia de outros factores como por exemplo o erro associado a considerar a rotula plastica com

comportamento bi-linear.

Outra caracterıstica observavel da figura 5.10 e que, para perıodos elevados, a relacao dtdel

e crescente

(mas com uma assımptota horizontal) com o perıodo, o que justifica o crescimento observado nos graficos

das figuras 5.3 a 5.5 do momento no pilar 2 quando este permanece em regime elastico para perıodos

elevados.

Atraves da analise ao longo do tempo em regime elastico determinaram-se os deslocamentos em valor

absoluto. Apresenta-se entao na figura 5.12 um grafico qualitativo e representativo da relacao entre os

deslocamentos da estrutura em funcao do perıodo, ou seja, o espectro de resposta de deslocamentos

normalizado obtido a partir da analise nao-linear ao longo do tempo.

Note-se que o espectro de referencia foi o espectro elastico do EC8-1 que a partir de TD = 2s se

encontra na zona de deslocamentos constantes. Isto significa que, a partir deste valor de perıodo, era de

esperar que os deslocamentos mantivessem o seu valor, o que por observacao da figura 5.12 se verifica que

nao e verdade. Esta diferenca deve-se, em primeiro lugar, ao facto de que o espectro medio que resulta

da media dos espectros dos acelerogramas utilizados nao e rigorosamente igual ao espectro do EC8-1. De

facto, o espectro medio apresenta valores inferiores ao do EC8-1 para perıodos entre 2 e 3 segundos e

valores superiores para perıodos superiores a 4 segundos, o que pode explicar o facto dos deslocamentos

nao serem constantes nesta gama de perıodos, de acordo com o que se esperava. Por fim, dado que na

gama de perıodos elevados o valor espectral e baixo, a relacao entre o espectro medio e o espectro do

EC8-1 em valor percentual e mais elevada do que a registada para perıodos mais baixos, o que realca a

5.1.8. Analise de Perıodos Elevados 67

15T

dd 15T

0,01k

0.75 2x 1

0.5

0 250.25

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5( )T s

Figura 5.12: Espectro de resposta de deslocamentos normalizado em relacao a dT=5s, obtido numericamente apartir dos resultados da analise nao-linear ao longo do tempo para uma estrutura com β = 1, k = 0, 01 e x = 2.

discrepancia de resultados nesta gama de perıodos.

A expressao (5.12) pode ser posta em ordem a x para obter o coeficiente de ductilidade em forca em

funcao dos valores de q e k. Resulta assim a expressao

x =q(1− k)

1− qk(5.13)

A partir da equacao (5.13) pode fazer-se uma analise parametrica para analisar a gama em que varia o

valor do coeficiente de ductilidade em forca e assim estimar a exigencia de ductilidade que estaria associada

a um determinado coeficiente de comportamento q em conjugacao com um determinado endurecimento

k. Apresenta-se entao a figura 5.13 em que se representa o valor do coeficiente de ductilidade em forca x

em funcao de q para alguns valores de endurecimento k.

Na figura 5.13 pode observar-se o forte agravamento ao valor do coeficiente de ductilidade em forca x

que o aumento do endurecimento k implica para o mesmo valor do coeficiente de comportamento q. No

entanto, este valor do coeficiente de comportamento pode ser assumido como um majorante (apesar de

em rigor nao o ser) do coeficiente de comportamento de uma determinada estrutura. Assim, invertendo

o raciocınio, para uma estrutura com um determinado coeficiente de comportamento e endurecimento, o

valor de x obtido pode ser considerado um valor mınimo do coeficiente de ductilidade em forca para essa

estrutura, dando assim a ideia de qual o seu nıvel mınimo de ductilidade exigida.

A tıtulo de exemplo considere-se uma estrutura constituıda por um do elementos definidos no anexo A

em que se adopta um coeficiente de comportamento q = 2, 5. Comparando uma seccao circular e uma

seccao em caixao, ambas com esforco axial reduzido ν ' 0, 4, a relacao entre os seus coeficiente de

ductilidade em forca corresponde a um acrescimo de 133% da seccao em caixao para a seccao circular.

Este resultado implica um agravamento consideravel na ductilidade exigida aos pilares.


10x

0 20k

0,30k

8

90, 20k

6

7

5

6

0,10k

3

40,01k

1

2

01 2 3 q

Figura 5.13: Coeficiente de ductilidade em forca x em funcao do coeficiente de comportamento q para diferentesvalores de endurecimento k

5.1.9 Analise do Efeito do Atrito num Apoio Movel

E frequente nas pontes a existencia de ligacoes moveis entre um pilar e o tabuleiro. Este tipo de ligacao

garante a transmissao das cargas verticais ao pilar, permitindo deslocamentos relativos entre o pilar e

o tabuleiro na direccao horizontal. O recurso a este elemento faz-se habitualmente em pilares curtos

ou muito afastados do centro de rigidez da estrutura (o que implica deslocamentos elevados devido aos

efeitos diferidos e variacoes de temperatura), pois a existencia de uma grande rigidez ou a ocorrencia

de deslocamentos elevados conduz a esforcos elevados. Quando se separa um pilar do tabuleiro para as

accoes horizontais significa que este pilar nao tera funcao resistente na analise sısmica.

E comum modelar este tipo de pilares removendo-o por completo e substituindo-o por um apoio

movel, ficando assim o grau de liberdade horizontal livre e o grau de liberdade vertical fixo (que se

obteria aplicando a hipotese habitual de considerar o pilar axialmente rıgido). Ao fazer esta consideracao

despreza-se a forca de atrito que pode existir no aparelho de apoio entre os dois elementos e que permite

a mobilizacao parcial do pilar.

O objectivo desta seccao e ilustrar qual a importancia de desprezar a componente do atrito do aparelho

de apoio. Para isso considera-se o modelo utilizado para analisar as estruturas com k = 0, 01 (representado

na figura 5.1), acrescentando um terceiro pilar de altura L2 e que possui um aparelho de apoio movel com

um coeficiente de atrito de 5%, simulado atraves de uma mola nao-linear como definido na seccao 4.1.4.

Considere-se a figura 5.14, onde se representa a variacao dos valores do momento elastico nos dois

pilares da estrutura com o apoio deslizante (Mel,Atrito), normalizados em relacao aos momentos obtidos

anteriormente para a mesma estrutura sem o pilar com o apoio deslizante (Mel). Note-se que como os

pilares estao em regime elastico a variacao dos valores do momento flector serao proporcionais a variacao

do deslocamento. Como o deslocamento e igual nos dois pilares, as curvas de cada pilar coincidem.

Da figura 5.14 pode observar-se que a consideracao de um apoio deslizante com atrito conduz sempre

uma reducao dos esforcos elasticos na estrutura. Esta observacao permite desde logo prever que, para os

5.1.9. Analise do Efeito do Atrito num Apoio Movel 69

,el Atrito

el

MM

1

1.2

0.8

1

0.6

Legenda:

1,75

0.4

1, 25

1,50

1,00

0.2

00 0.5 1 1.5 2 2.5 ( )T s

Figura 5.14: Momento flector elastico normalizado nos dois pilares considerando um aparelho de apoio comcoeficiente de atrito µa = 5%

pilares fixos, o atrito e sempre favoravel do ponto de vista da seguranca.

Verifica-se tambem na figura 5.14 uma tendencia crescente em funcao do perıodo, ou seja, a diferenca

entre os esforcos elasticos sera tanto menor quanto maior for o perıodo, o que se justifica parcialmente

pelo facto de maiores perıodos implicarem maiores deslocamentos absolutos nas estruturas consideradas.

Deve entao analisar-se qual o efeito deste tipo de elementos numa estrutura com comportamento nao-

linear. Nas figuras 5.15 e 5.16 estao representados, para todos os valores de x utilizados anteriormente,

os momentos nos pilares 1 e 2 apos a analise nao-linear incluindo o atrito, normalizados em relacao aos

momentos obtidos anteriormente para a mesma estrutura sem o apoio deslizante.

A partir das figuras 5.15 e 5.16 e possıvel tirar duas conclusoes fundamentais. A primeira e que

os esforcos apresentam diferencas pequenas quer se considere ou nao o apoio com atrito, em especial

no pilar 1. Por outro lado verifica-se a tendencia em funcao do perıodo ja observada para os esforcos

elasticos, isto e, quanto maior for o perıodo menor sera a influencia do apoio.

O facto da relacao MAtrito

MNLpossuir valores proximos da unidade confirma a adequacao dos modelos

habitualmente utilizados nas pontes em que se despreza o efeito do atrito. Esta proximidade verificada

na analise nao-linear, que nao e tao evidente na analise linear, deve-se ao facto de que o apoio funciona

como um dissipador de energia, que reduz o valor do deslocamento maximo da estrutura.

Esta reducao do deslocamento tem uma elevada importancia quando se analisam esforcos elasticos

porque a relacao entre deslocamentos e esforcos e definida apenas pela rigidez Kl dos elementos. A partir

do momento em que um pilar atinge o momento de cedencia, uma diferenca no deslocamento traduz-se


1,

1,

Atrito

NL

MM

1.15

1.2

0,01k

1.1

1

1.05Legenda:

1,75

0.95 1, 25

1,50

1,00

0.85

0.9

0.80 0.5 1 1.5 2 2.5 ( )T s

Figura 5.15: Momento flector normalizado no pilar 1 considerando um aparelho de apoio com coeficiente deatrito µa = 5%, para valores de x = 2, 2, 5 e 3

2,

2,

Atrito

NL

MM

1.15

1.2

0,01k

1.1

1

1.05Legenda:

1,75

0.95 1, 25

1,50

1,00

0.85

0.9

0.80 0.5 1 1.5 2 2.5 ( )T s

Figura 5.16: Momento flector normalizado no pilar 2 considerando um aparelho de apoio com coeficiente deatrito µa = 5%, para valores de x = 2, 2, 5 e 3

5.2. Ponte Real 71

numa alteracao dos esforcos na proporcao de Kpc, sendo este valor bastante inferior a Kl.

O comportamento dependente do nıvel de plastificacao dos pilares torna-se visıvel no pilar 2 apresen-

tado na figura 5.16, pois a relacao entre os esforcosM2,Atrito

M2,NLdepende do nıvel de plasticidade que o pilar

2 suporta durante a analise, que esta intimamente associado ao valor de β. Ou seja, quanto maior for o

valor de β mais “elastico” sera o pilar 2, e consequentemente maior sera a diferenca entre os dois valores

de esforcos em comparacao.

5.2 Ponte Real

Nesta seccao pretende-se fazer uma analise de um modelo de uma ponte baseada numa estrutura real a

realizar em Portugal. De forma a enquadrar os resultados no ambito deste trabalho optou-se por alterar

ligeiramente a estrutura, nomeadamente nas alturas dos pilares. Considere-se entao a ponte representada

esquematicamente na figura 5.17, cujos parametros adoptados no modelo se encontram na tabela 5.4, em

que se adoptou a hipotese de substituir os aparelhos de apoio deslizantes nos pilares de extremidade por

apoios moveis, de acordo com o estudado na seccao 5.1.9.

28,8 m 28,8 m10 x 36 = 360 m

P1 P7

K

K

K K

K

K

P1P2

P3P4

P5P6

P7K

K

K

Figura 5.17: Representacao da ponte modelada

5.2.1 Dimensionamento

Na definicao das accoes adoptou-se mais uma vez apenas o sismo do tipo 1. Considerou-se a ponte na

zona 1.1 e consequentemente adoptou-se para o parametro ag, que traduz a aceleracao em rocha, o valor

de 2,5. Tomou-se para o factor S, que traduz a influencia do tipo de solo de fundacao, o valor de 1,35.

As seccoes dos pilares mantiveram-se constantes e de acordo com o projecto da ponte. Nao se repre-

senta explicitamente a pormenorizacao por razoes de confidencialidade. Indica-se apenas que os pilares

tem seccoes em caixao, com uma camada de armaduras em cada face, e nao diferem nem em geometria

nem em armadura de pilar para pilar (o que esta de acordo com as hipoteses assumidas na seccao 5.1

deste capıtulo).

Pretende-se analisar o momento flector maximo a que os pilares estao sujeitos e verificar que estes

nao excedem a sua rotacao maxima θRot.

A massa do tabuleiro inclui o peso proprio (do tabuleiro e dos capiteis), a restante carga permanente

e a sobrecarga regulamentar para a accao sısmica. A massa dos pilares e inserida de forma automatica


Tab

ela5.4

:P

rop

riedad

esd

os

pila

rese

suas

respectiva

sro

tulas

plasticas

Pila

res

Are

aI

ρL

νN

MCed

MRot

αy

θCed

θRot

Kl

Kpc

k=

Kl /K

pc

(m2)

(m4)

(%)

(m)

(kN

)(kN.m

)(kN.m

)(ra

d)

(rad)

(kN.m/ra

d)

(kN.m/ra

d)

×10

3×

10

3×

10

3×

10−

3×

10−

3×

106

×10

6

P1

eP

7

4,6

03,0

70,9

5

20

0,1

40

12,8

827,9

231,6

50,1

71

4,4

322,45

6,300,21

0,033P

2e

P6

25

0,1

46

13,4

628,4

432,1

50,1

71

5,5

627,21

5,110,17

0,033P

3e

P5

30

0,1

53

14,0

328,9

632,6

50,1

71

6,7

031,79

4,320,15

0,034P

435

0,1

59

14,6

129,4

833,1

50,1

71

7,8

536,19

3,750,13

0,034

5.2.2. Analise de Esforcos 73

pelo programa de calculo. Por conseguinte considerou-se, para o tabuleiro, uma massa por unidade de

comprimento igual a 30 ton/m.

O perıodo da estrutura foi calculado com base na rigidez fendilhada modelada pela rigidez Kl das

molas conforme o proposto na seccao 3.4.1. Esta definicao para a rigidez originou, em conjugacao com

a massa definida anteriormente, um perıodo de 3,7 segundos, equivalendo portanto esta ponte a uma

estrutura com perıodo elevado.

5.2.2 Analise de Esforcos

Foram efectuadas duas analises ao modelo da ponte. A primeira em regime elastico e a segunda em

regime elasto-plastico com as molas definidas de acordo com as caracterısticas definidas anteriormente

na tabela 5.4.

Apresenta-se em seguida na figura 5.18 os dois valores de momentos calculados para cada pilar, assim

como os respectivos valores dos momentos de cedencia. Os dois valores de momentos representados

correspondem, no primeiro caso, aos valores do momento flector apos a analise elastica e, no segundo

caso, aos valores do momento apos a analise nao-linear.

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7

ElásticoNão-LinearCedência

Legenda:

( . )M kN m

pilar

310

Figura 5.18: Comparacao dos momentos em regime linear e em regime nao-linear na ponte

Por observacao da figura 5.18 verifica-se uma reducao no valor do momento flector em todos os

pilares quando se consideram os valores da analise nao-linear em relacao aos valores da analise elastica.

No entanto, a reducao so e significativa nos pilares que apresentavam em regime elastico um valor do

momento superior ao momento de cedencia. Observa-se assim que os pilares 3, 4 e 5 permanecem em

regime elastico, por oposicao aos restantes.


Apesar de se poder obter directamente os valores dos deslocamentos maximos nas duas analises, e

facil observar que estes terao de ser semelhantes, visto que nos pilares 3, 4 e 5, que permanecem em

regime elastico, os momentos tem valores muito semelhantes.

Constata-se tambem que a existencia de plasticidade, apesar de proporcionar uma redistribuicao de

esforcos, neste caso por se estar ao abrigo da hipotese de todos os pilares serem iguais em seccao e

armadura, nao implica uma inversao na ordem que os pilares tomam em funcao do valor do esforco. Isto

e, o pilar mais esforcado permanece como mais esforcado, o menos esforcado mantem-se como o menos

esforcado e assim sucessivamente para todos os restantes. Note-se no entanto que esta conclusao nao sera

sempre verdade, mesmo dentro da hipotese assumida. Isto acontece porque, apesar das caracterısticas

em seccao e armadura serem as mesmas, o esforco axial na base dos pilares varia em funcao da altura, o

que apesar de nao significar uma alteracao muito grande, pode ser suficiente para que um pilar que nao

era o mais esforcado na analise elastica passe a se-lo na analise nao linear.

5.2.3 Analise Parametrica da Estrutura e dos Esforcos

Pretende-se nesta seccao fazer a classificacao das estrutura nos parametros que habitualmente se tem

utilizado ao longo deste trabalho. Comece-se entao por definir os valores de q e de x em funcao do pilar

mais esforcado, que a semelhanca da estrutura na seccao 5.1, corresponde ao pilar mais curto (Pilar 1 ou

7). Assim obtem-se que

q =M1,NL

M1,el= 1, 81 (5.14)

e tambem que

x =M1,NL

M1,Ced= 1, 93 (5.15)

Pretende entao utilizar-se o grafico da figura 5.3 que corresponde a um xref = x = 2. Desta forma

define-se o parametro

q′ = qxrefx

(5.16)

em que q′ e o coeficiente de comportamento equivalente da estrutura para se utilizar o grafico associado a

xref . Devia corrigir-se este valor tambem em funcao de k, mas neste caso a influencia deste parametro e

desprezavel. Esta operacao assume uma relacao constante entre o quociente q/x e o valor das ordenadas do

grafico da figura 5.3, o que para o caso presente, dado que x esta proximo de xref , nao tera consequencias

significativas, mas que nao podera ser assumido em geral. Obtem-se assim com o valor de

q′ = 1, 88 (5.17)

Assume-se simplificadamente, como ja foi mencionado, que para a consulta do grafico a estrutura tem

um valor de k = 0, 01.

E necessario por fim definir o parametro β para se poder utilizar convenientemente o grafico da

figura 5.3. O valor de β estava definido como a relacao de comprimentos entre os dois pilares que

constituiam a estrutura. No caso da ponte em estudo existem mais do que dois pilares sendo por isso

necessario redefinir este parametro de modo a poder ser aplicado nesta ponte, mantendo a sua validade

5.2.4. Comparacao de Resultados 75

em relacao a estrutura da seccao 5.1. Define-se entao o parametro βp como uma caracterıstica do pilar p

que toma o valor de

βp =LpLref

(5.18)

em que Lp corresponde ao comprimento do pilar p e Lref corresponde ao comprimento do pilar de

referencia a partir do qual se calcula o coeficiente de comportamento.

Apresentam-se entao na tabela 5.5 os parametros associados a cada pilar:

Tabela 5.5: Propriedades dos pilares e suas respectivas rotulas plasticas

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

Lp (m) 20 25 30 35 30 25 20

βp 1 1.25 1.5 1.75 1.5 1.25 1

Mp,NL

Mp,Ed1.00 1.50 1.69 1.69 1.69 1.50 1.00

O valores deMp,NL

Mp,Edforam calculados, a semelhanca daquilo que foi feito na seccao 5.1, atraves dos

valores de Mp,el, Mp,NL e q.

5.2.4 Comparacao de Resultados

Para comparar os resultados desta seccao com os resultados da seccao 5.1 comece-se por relembrar que

a estrutura em causa vai ser analisada atraves do grafico da figura 5.3 desta mesma seccao, que de agora

em diante sera denominado “abaco” por ter, a partir deste ponto, uma utilizacao deste tipo.

Da figura 5.18 pode concluir-se, como ja foi referido, que os pilares 3, 4 e 5 nao atingiram a cedencia e

que os restantes vao plastificar durante a analise. Consultando o abaco para um valor de q = 1, 88 pode

concluir-se que pilares com valores de β ≥ 1, 50 estarao em regime elastico e que pilares com valores de

β ≤ 1, 25 estarao em regime plastico. A partir da tabela 5.5 pode-se concluir que e exactamente isso que

acontece nesta estrutura pois os pilares 3, 4 e 5 tem um valor de β = 1, 50 ou 1,75 e os restantes tem um

valor de β = 1, 25 ou 1,00.

Note-se ainda que o valor das ordenadas no abaco para β = 1, 25 esta bastante mais proximo do valor

do momento de cedencia do que para β = 1, 00, o que indica que o momento no pilar 2(6) estara mais

proximo do seu momento de cedencia do que o momento no pilar 1(7). Esta conclusao, obtida atraves

do abaco, podera ser confirmada mais uma vez por observacao da figura 5.18

Por fim, comparem-se os valores deMp,NL

Mp,Edrecolhidos atraves do abaco com aqueles que se obtiveram

directamente da analise da ponte e que se apresentaram na tabela 5.5. A proximidade elevada dos valores

e notoria e nao deixa duvidas quanto a boa representacao que o abaco faz deste parametro.

De facto, o conhecimento do comportamento dos pilares integrados numa ponte a partir da analise de

um portico de apenas dois pilares e um resultado importante do ponto de vista da analise dinamica, pois

permite ter a partida ter uma ideia do comportamento de cada pilar individualmente, sem ser necessario

recorrer a metodos complexos de analise dinamica.

Na figura 5.19 pode observar-se a comparacao entre os tres metodos de calculo de esforcos nos pila-

res. A cheio representam-se os momentos recolhidos a partir dos dois tipos de analise dinamica (analise


nao-linear passo-a-passo e analise por espectro de resposta com o coeficiente de comportamento q). Adi-

cionalmente representam-se os pontos que se obteriam tomando os resultados da analise por espectro de

resposta e corrigindo-os atraves do abaco.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6 7

Não-LinearEspectro Dim. Ábaco

Legenda:

( . )M kN m

pilar

310

Figura 5.19: Comparacao dos momentos de calculo na ponte, calculados pelos tres modos possıveis

Por fim refira-se que o quociente entre o deslocamento maximo obtido atraves da analise nao-linear

e o deslocamento elastico da ponte toma um valor de 0,93. Este valor corresponde aproximadamente

aquele que se obteria caso se utilizasse o grafico da figura 5.10 ja que a estrutura possui um perıodo

elevado, significando isto que a hipotese de considerar o deslocamento maximo em pontes de perıodo

elevado igual ao deslocamento elastico da estrutura permanece valida bem como as observacoes feitas

como consequencia desse facto, nomeadamente em relacao ao coeficiente de comportamento maximo.

Dado que a estrutura possui um perıodo elevado, o deslocamento no final da analise nao-linear passo-

a-passo vai ser pouco influenciado pelo endurecimento (k) dos elementos. Isto faz com que o resultado

obtido atraves da utilizacao dos abacos seja, em geral, melhor do que seria caso a estrutura tivesse um

perıodo muito baixo. Isto acontece porque a existencia de varios pilares aumenta virtualmente a rigidez

pos-cedencia do sistema, o que tem maiores consequencias para perıodos baixos, nomeadamente inferiores

a 1,25TC . Basta entao o perıodo ser superior a este, o que e usual em pontes, para que os resultados

sejam bons.

Capıtulo 6

Conclusoes e Desenvolvimentos Futuros

6.1 Conclusoes

6.1.1 Definicao de uma Rotula Plastica

No desenvolvimento deste trabalho, foi definido o parametro αy que representa o comprimento da rotula

plastica associado a rotacao de cedencia. Este parametro, foi calculado para varias seccoes com diferentes

caracterısticas, tendo sido analisado em particular a influencia da geometria da seccao, da distribuicao

da armadura, da percentagem de armadura (ρ) e do esforco axial reduzido (ν). Os resultados obtidos

estao apresentados na figura 3.9 e no anexo A.

Conclui-se que este parametro, em condicoes habituais para pilares de pontes (ν ≤ 0, 4), varia numa

gama apertada de valores (entre 0,10 e 0,17). Observe-se que para a generalidade das seccoes, quando

o esforco axial reduzido ν ≤ 0, 1, a sua rigidez efectiva (EIeff ) sera cerca de 20% a 40% da sua rigidez

nao-fendilhada (EII). Na figura 6.1 apresenta-se o valor do quociente entre a rigidez efectiva e a rigidez

nao-fendilhada em funcao do valor de αy e da relacao (EIIIEII).

1effEI

0 8

0.9

1IEI

0.7

0.8

0.5

0.6

0.3

0.4

0,20II

I

EIEI

0.1

0.2IEI

00 0.05 0.1 0.15 0.2 y

Figura 6.1: Relacao entre a rigidez efectiva de um pilar e o parametro αy

Na figura 6.1 apresentam-se todos os valores de αy possıveis teoricamente. No entanto, na analise

feita neste trabalho, foram observados apenas valores superiores a 0,1 para as seccoes habituais em pilares

e tambem que a maioria das seccoes sujeitas a um esforco axial reduzido ν ≤ 0, 4 apresentam valores de

αy superiores a 0,14.

77

78 Capıtulo 6. Conclusoes e Desenvolvimentos Futuros

Verificou-se tambem que a percentagem de armadura tem uma influencia reduzida na variacao deste

parametro, ja que este depende fundamentalmente da relacao entre a rigidez nao-fendilhada e a rigi-

dez fendilhada (EIIIEII). De facto, observou-se que um aumento de 100% na quantidade de armadura

correspondia sensivelmente a uma reducao de 10% no valor de αy.

6.1.2 Influencia do Endurecimento

Habitualmente o endurecimento nao e tomado em consideracao quando se analisa uma estrutura, assumindo-

se como nula a rigidez pos-cedencia de uma seccao. No entanto, este fenomeno existe e contribui signi-

ficativamente para a resposta da estrutura. Para incluir o efeito do endurecimento foi necessario tomar

em consideracao tanto o coeficiente de comportamento q como o coeficiente de ductilidade em forca x,

definidos na seccao 5.1.1.

Verificou-se que um maior endurecimento (k) implica um maior coeficiente de ductilidade em forca (x)

para o mesmo valor do coeficiente de comportamento. Observou-se tambem que a exigencia de ductilidade

(dada por dtdCed

) e tanto maior quanto maior for o valor do coeficiente de ductilidade em forca (x).

Assim, quando se considera uma seccao com elevado endurecimento (como e o caso da seccao circular),

devera haver maior exigencia na escolha do coeficiente de comportamento (q), pois para estes casos e

necessario um maior valor do coeficiente de ductilidade em forca (x) do que seria numa seccao com baixo

endurecimento, e consequentemente uma maior exigencia de ductilidade.

De facto, para uma estrutura com um perıodo na ordem dos 2 segundos e comparando um elemento

com endurecimento elevado (k = 0, 3) e um elemento com baixo endurecimento (k = 0, 01), verificou-se

que um acrescimo de 25% no coeficiente de comportamento implica um aumento de 35% na ductilidade

exigida para o primeiro caso e de apenas 11% para o segundo caso.

Um valor de endurecimento elevado tem, no entanto, a vantagem de reduzir o valor do deslocamento

sofrido pela estrutura. De facto, um aumento do valor do endurecimento implica inevitavelmente uma

reducao no deslocamento da estrutura, sendo tanto mais significativa quanto mais rıgida for a estru-

tura (menor perıodo). Isto acontece porque para perıodos baixos o deslocamento sofre um agravamento

muito significativo em relacao ao deslocamento elastico, tal como esta previsto no EC8-2. Este agrava-

mento reduz-se fortemente quando o valor do endurecimento aumenta, reduzindo assim os deslocamentos

maximos da estrutura.

Convem referir que, nesta gama de perıodos, a propria estrutura tem uma rigidez mais elevada, o que

significa que apesar do agravamento, o deslocamento final sera, em geral, reduzido.

Por fim, verificou-se que a hipotese do EC8-2 de considerar os deslocamentos iguais ao deslocamento

elastico quando o perıodo e superior a 1,25TC (ver anexo B) pode ser demasiado conservativo principal-

mente quando o valor do endurecimento e elevado.

6.1.3 Verificacao da Seguranca

Considerou-se no trabalho um modelo estrutural simples de dois pilares com as mesmas caracterısticas

em seccao e armadura, sendo o primeiro mais curto. Dentro destas hipoteses o momento flector real na

6.1.4. Perıodos Elevados 79

base do segundo pilar sera, em geral, superior ao momento flector que se obtem efectuando um calculo

pelo metodo tradicional dos espectros de resposta do EC8-1.

Verificou-se que este aumento nunca corresponde a um momento de tal modo elevado que ponha em

causa a seguranca do pilar. Observou-se, por outro lado, que a margem de seguranca sera maior: (a)

quando o comprimento do segundo pilar em relacao ao primeiro (β) aumentar, (b) quando o coeficiente

de ductilidade em forca (x) tomar um valor mais elevado ou (c) quando o endurecimento das rotulas (k)

for maior. Verifica-se tambem que o coeficiente de comportamento (q) considerado nao tem influencia na

margem de seguranca, pois apenas reflecte a influencia do valor do perıodo (T ).

6.1.4 Perıodos Elevados

Constatou-se que, para perıodos elevados (T ≥ 2s), o valor do deslocamento real maximo que a estrutura

sofre tende a ser semelhante ao valor do deslocamento calculado em regime elastico. Esta propriedade

permite relacionar o coeficiente de comportamento (q) com o coeficiente de ductilidade em forca (x) e

com o valor do endurecimento (k). A relacao entre estas variaveis ficou explıcita nas equacoes (5.12)

e (5.13).

Na figura 5.13 apresenta-s a variacao do valor de x em funcao de q e k. Como se trata apenas do

resultado para estruturas com perıodos elevados, nao e de aplicacao generica. No entanto, dado que as

estruturas com perıodo elevado permitem valores de coeficiente de comportamento proximos do maximo

(quando comparadas com estruturas semelhantes mas com menor perıodo), pode afirmar-se que o valor

obtido para o coeficiente de ductilidade em forca e um minorante do valor que esse mesmo coeficiente

pode tomar para um estrutura generica, independentemente do seu perıodo.

Assim, observa-se claramente o efeito gravoso que a consideracao valores elevados de k implica no

valor do coeficiente de ductilidade em forca x, confirmando a conclusao tirada anteriormente acerca da

influencia do valor do endurecimento (k) neste parametro que tem como consequencia o agravamento da

ductilidade exigida a estrutura.

6.1.5 Influencia do Atrito num Apoio Deslizante

Efectuou-se um estudo para verificar o efeito da nao consideracao do atrito num apoio deslizante.

Verificou-se que, quando se considera a estrutura em regime elastico, a consideracao do atrito nos

aparelhos de apoio influencia consideravelmente a resposta da estrutura, podendo chegar a reducoes nos

esforcos na ordem dos 30% em relacao aos esforcos calculados desprezando este efeito.

Ao introduzir a nao-linearidade no modelo da estrutura esta diferenca atenua-se, passando para valores

na ordem dos 5% se o pilar plastificar e 10% se o pilar permanecer em regime elastico. Estas diferencas

podem ser maiores para perıodos inferiores a 1 segundo, tomando valores de 10% e 15% respectivamente.

Assim, conclui-se que a hipotese habitualmente assumida, em que pilares com apoios deslizantes

podem ser modelados como apoios moveis sem atrito, e valida e corresponde a uma hipotese que sendo

sempre conservativa, nao o e excessivamente.

80 Capıtulo 6. Conclusoes e Desenvolvimentos Futuros

6.1.6 Momentos nos Pilares de uma Ponte

Como ja foi referido, os momentos flectores nos pilares da estrutura real, considerando as hipoteses

ja enunciadas, nao vao ser iguais aos calculados atraves de uma analise por espectro de resposta. A

comparacao feita na seccao 5.1.4 confirma esta afirmacao.

No entanto, a analise por espectro de resposta e muito economica do ponto de vista do calculo

computacional e esta ja bem disseminada nos processos de calculo de um grande numero de gabinetes

de projecto. Por esta razao, seria util estabelecer um metodo sistematico de converter os resultados da

analise por espectro de resposta nos resultados de uma analise nao-linear.

Assim, aplicaram-se os dois tipos de analise a varias estruturas simplificadas, de modo a obter dia-

gramas que relacionem os resultados obtidos em cada um.

Estes resultados foram obtidos apenas para uma estrutura de dois pilares, sendo validos por simetria

a um ponte com quatros pilares, iguais dois a dois. No entanto procurou-se extrapolar os resultados para

pontes com mais pilares.

Analisou-se entao um modelo de uma ponte com onze pilares, em que apenas sete estao ligados hori-

zontalmente ao tabuleiro. Os resultados obtidos foram apresentados nas figuras 5.18 e 5.19, permitindo

avaliar a aplicabilidade dos graficos calculados para modelos com dois pilares. De facto a semelhanca e

muito significativa, referindo-se no entanto que, dado a estrutura possuir um perıodo elevado, o deslo-

camento no final da analise vai ser pouco influenciado pela rigidez pos-cedencia dos elementos, tornando

assim os resultados melhores do que seriam se a estrutura tivesse um perıodo muito baixo. Note-se, por

outro lado, que basta o perıodo ser superior a 1 segundo para que a utilizacao das figuras 5.3 a 5.8 ja

conduzam a bons resultados.

6.2 Desenvolvimentos Futuros

Em primeiro lugar, o parametro αy definido na seccao 3.4.1 foi apresentado sucintamente e apenas como

forma de estimar o comprimento da rotula plastica associado a rotacao de cedencia. Este parametro

tem no entanto um grande valor informativo acerca do comportamento de uma seccao, dado que traduz

a relacao entre a rigidez fendilhada efectiva a utilizar na analise de pontes e a rigidez nao-fendilhada

da seccao, sendo por esta razao de grande utilidade desenvolver melhor o seu estudo. Como principais

pontos de abordagem indicam-se o estudo da variabilidade do valor desta variavel em funcao de alguns

parametros adimensionais que caracterizam as seccoes (esforco axial reduzido, relacao d/h, etc. . . ), um

maior desenvolvimento no estudo da dependencia deste valor em funcao da percentagem de armadura

(ρ) e um aumento na gama de tipos de seccoes estudadas.

Sugere-se tambem como um possıvel desenvolvimento futuro a consideracao de um modelo mais com-

plexo no comportamento da mola nao-linear definida na seccao 4.1.3, nomeadamente para ter em consi-

deracao a degradacao da rigidez e da capacidade resistente da seccao quando sujeita a uma analise cıclica,

e o efeito de aperto (“pinching”).

Para a analise comparativa entre os dois tipos de abordagem a accao sısmica (analise por espectro de

resposta e analise nao-linear ao longo do tempo), poderiam considerar-se gamas mais alargadas para os

6.2. Desenvolvimentos Futuros 81

valores do coeficiente de ductilidade em forca x e para o endurecimento da rotula plastica k. Apesar de

os valores considerados neste estudo cobrirem a generalidade dos casos, estes apenas dao uma ideia da

tendencia que o comportamento dos pilares tem em funcao destes parametros, sendo entao adequado um

maior desenvolvimento da analise de forma a comprovar esta tendencia.

Neste trabalho abordou-se fundamentalmente a gama de perıodos onde se inserem a generalidade das

pontes. Foi tambem estudada a tematica da analise de pontes com perıodos elevados, mas apenas de

uma forma sucinta dado que nesta gama os resultados variam pouco. No entanto seria interessante uma

abordagem mais profunda neste tema, pois comecam a surgir cada vez com mais frequencia estruturas

de pontes que se incorporam nesta gama de perıodos. Adicionalmente, no presente trabalho nao foi

analisado o comportamento e a resposta das estruturas de pontes quando sujeitas a accao de um sismo

do tipo 2, ficando tambem como possibilidade de estudo a analise das diferencas entre os efeitos dos dois

tipos de sismo.

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83

Anexos

85

Anexo A

SeccoesTodas as seccoes seguintes estao definidas para que AST (quantidade TOTAL de armadura) seja

igual a 1%.

1m

STA2STA

5m5m

A2STA

. 0,05rec

(a) Rectangular

1,5mSTAST

. 0,08rec

(b) Circular

1,5m

1,5mSTAST

. 0,05rec

(c) Quadrada

2m

A

sAS

sAS

5m5m0,70m

0 35m

sAS

0,35m

. 0,05rec sAS

(d) Em I

2m

sAS

5m

sAS

5m

0,35m

. 0,05rec

(e) Em Caixao

Figura A.1: Seccoes de referencia

I

II Anexo A. Seccoes

Tab

elaA

.1:P

rop

riedad

esd

ealg

um

as

seccoes

de

pila

resp

ara

diferen

tesva

lores

deν

:L

-5m,Lp -0,6875,

ρ-1%

Seccao

Are

aI

νχCed

χR

ot

MCed

MR

ot

αy

θCed

θR

ot

Kl

Kpc

k=

Kl /

Kpc

(m2)

(m4)

(m−1)

(m−1)

(kN.m

)(kN.m

)(ra

d)

(rad)

(kN.m/rad)

(kN.m/rad)

×10−4

×10−4

×103

×103

×10−4

×10−4

×106

×106

Recta

ngula

r5,0

010,4

20,0

4,3

9154,3

840,7

042,6

00,1

64

3,6

168,7

2112,7

85

0,2

91

0,0

03

0,2

4,9

528,1

267,1

175,2

30,1

38

3,4

213,4

8196,1

39

8,0

69

0,0

41

0,4

4,2

114,0

067,6

589,8

10,1

19

2,5

16,7

6269,6

09

52,1

51

0,1

93

Circ

ula

r1,7

70,2

50,0

16,3

1119,2

52,6

63,6

70,1

71

13,9

758,6

51,9

04

0,2

25

0,1

18

0,2

16,2

164,8

64,3

35,8

40,1

54

12,4

933,6

13,4

68

0,7

14

0,2

06

0,4

15,2

445,3

44,9

66,7

50,1

38

10,5

023,5

74,7

22

1,3

68

0,2

90

Quadra

da

2,2

50,4

20,0

15,0

9204,0

94,1

85,3

10,1

71

12,9

294,9

73,2

33

0,1

39

0,0

43

0,2

16,8

978,0

57,5

28,8

40,1

55

13,1

239,6

75,7

32

0,4

97

0,0

87

0,4

15,0

746,7

28,1

810,3

00,1

40

10,5

224,2

67,7

75

1,5

44

0,1

99

I4,4

112,2

20,0

4,1

7152,7

434,4

636,8

90,1

71

3,5

668,0

696,6

75

0,3

77

0,0

04

0,2

5,0

143,1

464,9

568,4

60,1

55

3,8

820,4

3167,3

54

2,1

22

0,0

13

0,4

4,4

614,3

070,4

883,8

80,1

39

3,1

07,3

7227,1

41

31,3

88

0,1

38

Caix

ao

4,4

112,2

20,0

4,1

781,9

924,5

035,6

00,1

69

3,5

137,3

069,7

38

3,2

86

0,0

47

0,2

5,0

124,4

852,9

959,8

90,1

65

4,1

412,6

0127,9

48

8,1

71

0,0

64

0,4

4,6

714,1

562,5

669,3

00,1

53

3,5

67,6

8175,5

57

16,3

69

0,0

93

Anexo B

Espectro de Resposta Segundo o EC8

Apresenta-se em seguida a representacao de um espectro de resposta elastico segundo o EC8.

/e gS ae g

2,5SAceleração Constante

2,5S

Velocidade Constante

SDeslocamento Constante

BT CT DT T

Figura B.1: Espectro de Resposta Elastico do EC8

Em que:

Se(T ) - Espectro de resposta elastico

T - Perıodo da estrutura elastica de um grau de liberdade

ag - Aceleracao do solo de dimensionamento

TB - Limite inferior do perıodo para o patamar de aceleracao constante

TC - Limite superior do perıodo para o patamar de aceleracao constante

TD - Valor do perıodo que define o inıcio da gama de perıodos com resposta de deslocamento constante

S - Factor do solo

η - Factor de correccao do amortecimento com um valor de referencia de η = 1 quando o amortecimento

e igual a 5%

III

Anexo C

Programa de Calculo para a Analise

Dinamica em MATLAB R©

1 function [] = PTese(XXtipoest,XXperiodo,XXcoefq,XXkmola)2 %Descricao das variaveis globais3 %Opcoes - Opcoes da estrutura4 % .MassaCons - Utilizacao da Matriz de Massa Consistente (1-Sim 0-Nao)5 % .NModos - N.o de Modos a considerar na analise modal6 % .NDirec - N.o de direccoes em que o sismo pode actuar (1-x, 2-x,y)7 % .TEspec - Tipo de Espectro a introduzir (1-Directo do Ficheiro, 2-EC8)8 % .KVert - Factor Multiplicativo pelo qual se multiplica o espectro horizontal para obter o vertical9 % .ResEspec - Resolucao a considerar no espectro do EC8

10 % .BetaEspec - Limite inferior do espectro do EC811 %12 %N - Contagem do numero de entradas13 % .Nos - Nos14 % .NosR - Nos restringidos15 % .Ape - Apoios Elasticos16 % .Mat - Tipos de Material17 % .Sec - Tipos de Seccao18 % .Barras - Barras19 % .Molas - Molas20 % .ParamMolasNL - Parametros das Molas Nao-Lineares21 % .MolasNL - Molas Nao-Lineares22 % .DInd - Deslocamentos Independentes23 % .DRest - Deslocamentos Restringidos24 % .DTot - Deslocamentos Ind + Rest25 % .Modos - Numero de modos considerados26 % .Direc - Numero de direccoes de sismo consideradas27 %28 %Nos - (x, y)29 %InciNosR - (n.o no, x, y, r) [1-fixo, 0-livre, <0-dependente]30 %StiffApe - (kxx, kyy, krr, kxy, kxr, kyr)31 %PropMat - (E, PesoVol, MassaVol)32 %CarSec - (A,I)33 %Barras - (noi, nof, kmat, ksec, L, Cos, Sen)34 %Molas - (noi, nof, kape)35 %ParamMolasNL - (Tced, Tu, Mced, Mu) [a entrada e da forma (KL,Ku,Mced,Tu)]36 %MolasNL - (noi, nof, kparam, tipo)37 %38 %Idesl - (x, y, r) [numerados]39 %40 %MatrizBarrasElem -41 % .Transf(6x6) - Matriz Transformacao Elementar42 % .Stiff(6x6) - Matriz Rigidez Elementar43 % .Massa(6x6) - Matriz Massa Elementar44 %45 %MatrizMolasElem -46 % .Stiff(6x6) - Matriz Rigidez Elementar47 %48 %InciBarras - (xi,yi,ri,xf,yf,rf)49 %InciMolas - (x,y,r)50 %GlobStiff - Matriz de Rigidez Global da Estrutura51 %KNL0 - Matriz de Rigidez devido apenas a contribuicao das MolasNL52 % .G - Para todos os deslocamentos53 % .Ind - Para os deslocamentos independentes54 %55 %MMassa - Matriz de Massa da Estrutura

V

VI Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R©

56 %Periodos - Vector com os Periodos de cada modo da Estrutura57 %ValoresP - Verctor com os valores de P de cada modo da Estrutura58 %Fi - Matriz com os modos de vibracao em coluna59 %Um - Matriz com os graus de liberdade separados por direccoes60 %DeslMod - [direccao, gl, modo] - Deslocamentos modais61 %EsforcosMod - [Barra, Direcao ,Modo ,Esforco(Ni,Vi,Mi,Nf,Vf,Mf)]62 %Espectro -63 % .Hor - Espectro para a direccao x64 % .Vert - Espectro para a direccao y65 %EsforcosComb - [Barra, Esforco(Ni,Vi,Mi,Nf,Vf,Mf)]66

67 %clear68 clear global69

70 global Opcoes N %#ok<NUSED>71 global Nos InciNosR StiffApe PropMat CarSec Barras Molas %#ok<NUSED>72 global Idesl MatrizBarrasElem InciBarras InciMolas GlobStiff MMassa %#ok<NUSED>73 global Periodos ValoresP Fi Um %#ok<NUSED>74 global DeslMod EsforcosMod Espectro EsforcosComb %#ok<NUSED>75 global niter Carga InvMMassa vinic KInd MC Pinic P DESL%#ok<NUSED>76

77 Opcoes.TipoEstrutura=XXtipoest;78 Opcoes.PeriodoEstrutura=XXperiodo;79 Opcoes.CoefComport=XXcoefq;80 Opcoes.RigidezMolak=XXkmola;81

82 DefineOpcoes();83 InicioGlobal();84

85

86 for iestrut=1:Opcoes.nEstrut87

88 PassosComuns(iestrut);89

90 %Analise Espectral91 if Opcoes.Analise==1||Opcoes.Analise==392 AnaliseEspectral();93 dadosE(iestrut,:)=EsforcosComb(:,3)94 end95

96 %Analise Incremental97 if Opcoes.Analise==2||Opcoes.Analise==398 Calculaheniter();99 for iacel=1:Opcoes.nAcel

100 LerAcel(iacel);101 CalculaInicio();102 CalculaDeslNoTempo(iacel,iestrut);103 %PlotaEscreveResultadoEsforco(1,3,1); %(Barra,Esforco,1-Plota 2-Escreve)104 %PlotaEscreveResultadoDeslInd(1,4,2,iacel); %(Barra,GL no referencial da barra,1-Plota 2-Escreve,iacel)105 %MostraResultadoInsTempo(1,Opcoes.Duracao);106 Esfmax(iacel,:)=CalcMaxEsf(0,3); %(Barra, Esforco [Barra=0: Todas as barras])107 Deslmax(iacel,1)=CalcMaxDesl(1,4);108 end109 dadosE(iestrut,:)=[mean(Esfmax)];110 dadosD(iestrut,:)=[mean(Deslmax)];111 end112 end113 nomeE=[’E’,’ - te’,num2str(Opcoes.TipoEstrutura),’ - k’,num2str(Opcoes.RigidezMolak),’ - x’,num2str(Opcoes.CoefComport),’ - T’,num2str(Opcoes.PeriodoEstrutura)];114 nomeD=[’D’,’ - te’,num2str(Opcoes.TipoEstrutura),’ - k’,num2str(Opcoes.RigidezMolak),’ - x’,num2str(Opcoes.CoefComport),’ - T’,num2str(Opcoes.PeriodoEstrutura)];115 Escreve(dadosE’,nomeE);116 Escreve(dadosD’,nomeD);117

118 %nomeE=[’E’,’ PonteEl’];119 %nomeD=[’D’,’ PonteEl’];120 %Escreve(Esfmax’,nomeE);121 %Escreve(Deslmax’,nomeD);122

123

124

125 end126

127 %==============================================%128 %Opcoes

Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R© VII

129 %==============================================%130

131 function DefineOpcoes()132 global Opcoes133

134 Opcoes.Analise=2; %Tipo de Analise (1-Espectral, 2-Incremental, 3-Ambos)135 Opcoes.DPercent=0.01; %Intervalo de informacao do progresso136 Opcoes.IntroFicheiros=0; %Intruduzir ficheiros manualmente (1-Sim [pergunta ao longo do programa], 0-Nao[usa os definidos abaixo])137

138 Opcoes.CriaEstrutura=1; %Criar uma estrutura automaticamente (0-Nao ; 1-Sim)139 Opcoes.FicheiroEstrut=’Dados/Estruturas/PonteRealEl.estrut’;%’Dados/Estruturas/Extra/VGL.ConsolaMolaNL.’;%140

141 Opcoes.nEstrut=4; %Numero de estruturas a analisar142 Opcoes.EstVariacao=3; %(1-Esforco Cedencia(%elastico), 2-Altura pilar, 3-N.o pilares[%variacao])143 Opcoes.EstValormin=1;144 Opcoes.EstValormax=1.75;145

146 %Opcoes.TipoEstrutura=3; %(1-Parabola, 2-Triangular, 3-Dois Pilares, 4-"Tres pilares" um com atrito)147 Opcoes.NumeroPilares=1; %Numero de Pilares a considerar na estrutura (Se TipoEstrutura=3 entao Lp1=Hmaximo e Lp2=NP*Hmaximo)148 Opcoes.Hmaximo=12; %Altura do ponto mais alto da parabola149 Opcoes.RigidezMolaLin=25000; %Rigidez da mola antes da cedencia150 %Opcoes.RigidezMolak=0.01; %Rigidez da mola depois da cedencia/Rigidez da mola antes da cedencia151 %Opcoes.PeriodoEstrutura=2; %Periodo pretendido para a estrutura152 Opcoes.VectorMomElast=[49.6928,29.9973]; %Vector com os momentos elasticos de cada mola153 Opcoes.FicheiroVectorMomElast=[’Resultados/Elastico - ’,num2str(Opcoes.PeriodoEstrutura),’.txt’];154 %Opcoes.CoefComport=2; %Coeficiente de comportamento (-1=> Elastico)155 Opcoes.RotTodasIguais=1; %Considerar todos os pilares iguais em rotula (0-Nao, 1-Sim)156 Opcoes.MElasticidade=30E06;157 Opcoes.MInercia=5E-03;158 Opcoes.Area=0.1;159 %Mola de Atrito160 Opcoes.CoefAtrito=0.05;161

162

163 %Amplificacao dos valores da accao elastica (espectro ou acelerograma)164 Opcoes.AmpElast=1;%3.375;165

166

167 Opcoes.nAcel=10; %Numero de Acelerogramas a utilizar168 Opcoes.FicheiroAccelx=’Dados/Sismos/SismoTipo_A_’;%’Dados/Aceleracoes/asin.a25.t6.acel’;%169 Opcoes.CriaAccelxSin=0;%Usar um perfil de aceleracoes sinusoidais170 Opcoes.AccelxSin.A=50;%Amplitude171 Opcoes.AccelxSin.T=0.2;%Periodo172

173 Opcoes.MassaCons=0;%Utilizacao da Matriz de Massa Consistente (1-Sim 0-Nao)174 Opcoes.NModos=1;%N.o de Modos a considerar na analise modal175 Opcoes.NDirec=1;%N.o de direccoes em que o sismo pode actuar (1-x, 2-x,y)176

177 Opcoes.TEspec=1;%Tipo de Espectro a introduzir (1-Directo do Ficheiro, 2-EC8)178 Opcoes.FicheiroEspectro=’Dados/Sismos/Espectro_A_m10.espectro’;%’Dados/Sismos/EspectroEC8.espectro’;%179 Opcoes.KVert=0.3;%Factor Multiplicativo pelo qual se multiplica o espectro horizontal para obter o vertical180 Opcoes.ResEspec=0.1;%Resolucao a considerar no espectro do EC8181 Opcoes.BetaEspec=0.2;%Limite multiplicativo inferior do espectro do EC8182 Opcoes.Amort=0.05;%Amortecimento183 Opcoes.TipoCombMod=1;%Tipo de Combinacao modal (1-CQC, 2-SRSS)184

185 Opcoes.CalcAlfaBeta=1;%Matriz C definida com Alfa e Beta calculados. (1-Sim, 0-Alfa e Beta definidos nas opcoes)186 Opcoes.Alfa=0;%0.41;%Alfa para calcular C=alfa*M+beta*K187 Opcoes.Beta=0;%0.0025;%Beta para calcular C188

189 Opcoes.Desi=0;%Deslocamento inicial190 Opcoes.Veli=0;%Velocidade inicial191 Opcoes.calch=0;%Divisor em relacao ao menor periodo para calcular o h (0-Usa o valor definido abaixo)192 Opcoes.h=0.005;%Duracao dos incrementos em segundos193 Opcoes.Teta=1.4;%Extensao do intervalo para garantir estabilidade194 Opcoes.Duracao=40;%Duracao da analise incremental (s)195

196 Opcoes.MYmin=-100; %Ordenada Minima no grafico dos esforcos197 Opcoes.MYmax=100; %Ordenada Maxima no grafico dos esforcos198 Opcoes.DYmin=-0.25;%Ordenada Minima no grafico dos deslocamentos199 Opcoes.DYmax=0.25; %Ordenada Maxima no grafico dos deslocamentos200

201 end

VIII Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R©

202

203 function InicioGlobal()204

205 global Opcoes206

207 if Opcoes.nEstrut>1208 if Opcoes.EstVariacao==3&&Opcoes.CoefComport˜=-1209 LeMatVect();210 end211 end212

213 end214

215 %==============================================%216 %Passos Comuns217 %==============================================%218

219 function LeMatVect()220

221 global Opcoes MatVect222

223 ficheiro = Opcoes.FicheiroVectorMomElast;224 fid=fopen(ficheiro,’r’);225 MatVect=fscanf(fid,’%g’,[2,inf])’;226 fclose(fid);227

228 end229

230 function PassosComuns(iestrut)231

232 global Opcoes MatVect233 PercentEsf=1;234

235 if Opcoes.nEstrut>1236 Valordait=Opcoes.EstValormin+(Opcoes.EstValormax-Opcoes.EstValormin)*(iestrut-1)/(Opcoes.nEstrut-1);237 if Opcoes.EstVariacao==1238 PercentEsf=Valordait;239 elseif Opcoes.EstVariacao==2240 Opcoes.Hmaximo=Valordait;241 elseif Opcoes.EstVariacao==3242 Opcoes.NumeroPilares=Valordait;243 if Opcoes.CoefComport˜=-1244 Opcoes.VectorMomElast=MatVect(iestrut,:);245 end246 end247 end248

249 LerFicheiro();%iestrut);250 AlteraParamMolasNL(PercentEsf);251 NumeraDeslocamentos();252 CalculaMatrizesElementares();253 CalculaGlobStiff();254 CalculaMatrizMassa();255 CalculaModos();256 CalculaUm();257

258 end259

260 function LerFicheiro()%iestrut)261

262 global Opcoes N Nos InciNosR StiffApe PropMat CarSec Barras Molas ParamMolasNL MolasNL MassasPontuais;263

264 if Opcoes.CriaEstrutura==0265 if Opcoes.IntroFicheiros==1266 ficheiro = input(’\nInsira o nome do ficehiro -> ’,’s’);267 elseif Opcoes.IntroFicheiros==0268 % if Opcoes.nEstrut>1269 % ficheiro = [Opcoes.FicheiroEstrut,num2str(iestrut),’.estrut’];270 % else271 ficheiro = Opcoes.FicheiroEstrut;272 % end273 else274 ’Opcao invalida para Opcoes.IntroFicheiros’ %#ok<NOPRT>

Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R© IX

275 end276

277 fid=fopen(ficheiro,’r’);278

279 A=fscanf(fid,’%d’,10);280 N.Nos=A(1);281 N.NosR=A(2);282 N.Ape=A(3);283 N.Mat=A(4);284 N.Sec=A(5);285 N.Barras=A(6);286 N.Molas=A(7);287 N.ParamMolasNL=A(8);288 N.MolasNL=A(9);289 N.MassasPontuais=A(10);290

291 NosProv=fscanf(fid,’%g’,[3,N.Nos])’; %(n.ono, x, y)292 InciNosR=fscanf(fid,’%d’,[4,N.NosR])’;%(n.ono, x, y, r) [1-fixo, 0-livre, <0-dependente]293 StiffApe=fscanf(fid,’%g’,[6,N.Ape])’;%(kxx, kyy, krr, kxy, kxr, kyr)294 PropMat=fscanf(fid,’%g’,[3,N.Mat])’;%(E, PesoVol, MassaVol)295 CarSec=fscanf(fid,’%g’,[2,N.Sec])’;%(A,I)296 BarrasProv=fscanf(fid,’%d’,[5,N.Barras])’;%(n.oBarra, noi, nof, kmat, ksec)297 MolasProv=fscanf(fid,’%d’,[4,N.Molas])’;%(n.omola, noi, nof, kape)298 ParamMolasNL=fscanf(fid,’%g’,[4,N.ParamMolasNL])’;%(KL,Ku,Mced,Tu)299 MolasNLProv=fscanf(fid,’%d’,[5,N.MolasNL])’;%(n.omola, noi, nof, kparam, tipo [1-hor, 2-vert, 3-rot])300 MassasPontuais=fscanf(fid,’%g’,[4,N.MassasPontuais])’;%(n.ono, Mx(ton), My(ton), Mr(ton.m2))301

302 fclose(fid);303

304 elseif Opcoes.CriaEstrutura==1305 Estrutnova=CriaEstruturaAuto();306 NosProv=Estrutnova.NosProv;307 BarrasProv=Estrutnova.BarrasProv;308 MolasNLProv=Estrutnova.MolasNLProv;309 end310

311 %Nos (x,y)312 Nos=zeros(N.Nos,2);313 for i=1:N.Nos314 j=NosProv(i,1);315 Nos(j,[1,2])=NosProv(i,[2,3]);316 end317

318 %Barras (noi, nof, kmat, ksec, L, Cos, Sen)319 Barras=zeros(N.Barras,7);320 for i=1:N.Barras321 noi=BarrasProv(i,2);322 nof=BarrasProv(i,3);323

324 Dx=Nos(nof,1)-Nos(noi,1);325 Dy=Nos(nof,2)-Nos(noi,2);326 L=sqrt(Dxˆ2+Dyˆ2);327

328 j=BarrasProv(i,1);329 Barras(j,[1,2,3,4])=BarrasProv(i,[2,3,4,5]);330 Barras(j,[5,6,7])=[L,Dx/L,Dy/L];331 end332

333 %Molas (noi, nof, kape)334 Molas=zeros(N.Molas,3);335 for i=1:N.Molas,336 j=MolasProv(i,1);337 Molas(j,[1,2,3])=MolasProv(i,[2,3,4]);338 end339

340 %MolasNL (noi, nof, kparam)341 MolasNL=zeros(N.MolasNL,3);342 for i=1:N.MolasNL,343 j=MolasNLProv(i,1);344 MolasNL(j,[1,2,3,4])=MolasNLProv(i,[2,3,4,5]);345 end346

347 end

X Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R©

348

349 function [Res]= CriaEstruturaAuto()350

351 global Opcoes N InciNosR PropMat CarSec ParamMolasNL;352

353 if Opcoes.TipoEstrutura==3||Opcoes.TipoEstrutura==4354 np=2;355 alfa=Opcoes.NumeroPilares;356 else357 np=Opcoes.NumeroPilares;358 end359

360 ME=Opcoes.MElasticidade;361 MI=Opcoes.MInercia;362 MA=Opcoes.Area;363

364 L1=0;365 SKi=0;366 Lp=zeros(np,1);367 Res.NosProv=zeros(3*np,3);368 InciNosR=zeros(3*np,4);369 Res.BarrasProv=zeros(np,5);370 ParamMolasNL=zeros(np,4);371 Res.MolasNLProv=zeros(np,5);372

373 N.Nos=3*np;374 N.NosR=3*np;375 N.Ape=0;376 N.Mat=1;377 N.Sec=1;378 N.Barras=np;379 N.Molas=0;380 N.ParamMolasNL=np;381 N.MolasNL=np;382 N.MassasPontuais=0;383

384 for i=1:np385

386 xi=i/(np+1);387 if Opcoes.TipoEstrutura==1388 Lp(i)=4*Opcoes.Hmaximo*(xi-xiˆ2);389 elseif Opcoes.TipoEstrutura==2390 Lp(i)=2*Opcoes.Hmaximo*min(xi,1-xi);391 elseif Opcoes.TipoEstrutura==3||Opcoes.TipoEstrutura==4392 Lp(1)=Opcoes.Hmaximo;393 Lp(2)=Opcoes.Hmaximo*alfa;394 end395

396 Res.NosProv(i,:)=[i,i,0];397 Res.NosProv(i+np,:)=[i+np,i,Lp(i)];398 Res.NosProv(i+2*np,:)=[i+2*np,i,0];399

400 InciNosR(i,:)=[i,1,1,0];401 InciNosR(i+np,:)=[i+np,-(np+1),1,0];402 InciNosR(i+2*np,:)=[i+2*np,1,1,1];403 if i==1404 InciNosR(i+np,:)=[i+np,0,1,0];405 end406

407 Res.BarrasProv(i,:)=[i,i,i+np,1,1];408

409 if Opcoes.CoefComport==-1410 MCed=1E06;411 else412 if Opcoes.RotTodasIguais==1413 ref=1;414 else415 ref=i;416 end417 MCed=Opcoes.VectorMomElast(ref)/Opcoes.CoefComport;418 end419

420 Tu=0.1;

Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R© XI

421 KL=Opcoes.RigidezMolaLin*Lp(1)/Lp(i);422 Kpc=Opcoes.RigidezMolak*KL;423 ParamMolasNL(i,:)=[KL,Kpc,MCed,Tu];424

425 Res.MolasNLProv(i,:)=[i,i+2*np,i,i,3];426

427 SKi=SKi+1/(1/(3*ME*MI/Lp(i)ˆ3)+1/(KL/Lp(i)ˆ2));428 L1=L1+Lp(i);429 end430 % MolasProv=[];431 % StiffApe=[];432

433 RO=(Opcoes.PeriodoEstrutura/(2*pi))ˆ2*(2/MA)*SKi/L1;434 PropMat=[ME,25,RO];435 CarSec=[MA,MI];436

437 if Opcoes.TipoEstrutura==4438 Res.NosProv(3*np+1,:)=[3*np+1,np,Lp(1)];439 InciNosR(3*np+1,:)=[3*np+1,1,1,1];440 Du=1;441 KL=1/(1/(3*ME*MI/Lp(2)ˆ3)+1/(KL/Lp(2)ˆ2));442 %SKi=SKi+KL;443 Kpc=KL*0.01;444 FCed=Opcoes.CoefAtrito*9.8*RO*(Lp(1)+Lp(2))/6;445 ParamMolasNL(np+1,:)=[KL,Kpc,FCed,Du];446 Res.MolasNLProv(np+1,:)=[np+1,3*np+1,2*np,np+1,1];447

448 N.Nos=3*np+1;449 N.NosR=3*np+1;450 N.ParamMolasNL=np+1;451 N.MolasNL=np+1;452 end453

454 end455

456 function AlteraParamMolasNL(PercentEsf)457 % (KL,Ku,Mced,Tu) -> (Tced, Tu, Mced, Mu)458

459 global N ParamMolasNL460

461 for p=1:N.ParamMolasNL462 KL=ParamMolasNL(p,1);463 Ku=ParamMolasNL(p,2);464 MCed=PercentEsf*ParamMolasNL(p,3);465 Tu=ParamMolasNL(p,4);466

467 TCed=MCed/KL;468 Mu=MCed+(Tu-TCed)*Ku;469

470 ParamMolasNL(p,:)=[TCed,Tu,MCed,Mu];471 end472

473 end474

475 function NumeraDeslocamentos()476

477 global N InciNosR Idesl;478

479 Idesl=zeros(N.Nos,3);480

481 for i=1:N.NosR482 j=InciNosR(i,1);483 Idesl(j,[1,2,3])=InciNosR(i,[2,3,4]);484 end485

486 k=1;487 for i=1:N.Nos488 for j=1:3489 if Idesl(i,j)==0,490 Idesl(i,j)=k;491 k=k+1;492 elseif Idesl(i,j)==1,493 Idesl(i,j)=0;

XII Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R©

494 end495 end496 end497

498 N.DInd=k-1;499

500 for i=1:N.Nos501 for j=1:3502 if Idesl(i,j)==0,503 Idesl(i,j)=k;504 k=k+1;505 elseif Idesl(i,j)<0,506 x=-Idesl(i,j);507 if x<i508 Idesl(i,j)=Idesl(x,j);509 else510 ’erro -> A dependencia tem de se referir a um no que ja existe’ %#ok<NOPRT>511 end512 end513 end514 end515

516 N.DTot=k-1;517 N.DRest=N.DTot-N.DInd;518

519 end520

521 function CalculaMatrizesElementares()522

523 global Opcoes N PropMat CarSec Barras MatrizBarrasElem Molas MatrizMolasElem StiffApe;524

525 %Barras526 for i=1:N.Barras527

528 Cb=Barras(i,6);529 Sb=Barras(i,7);530

531 MTransf=[532 Cb, Sb, 0, 0, 0, 0;533 Sb,-Cb, 0, 0, 0, 0;534 0, 0, 1, 0, 0, 0;535 0, 0, 0, Cb, Sb, 0;536 0, 0, 0, Sb,-Cb, 0;537 0, 0, 0, 0, 0, 1];538

539

540 Eb=PropMat(Barras(i,3),1);541 Lb=Barras(i,5);542 Ab=CarSec(Barras(i,4),1);543 Ib=CarSec(Barras(i,4),2);544

545 MStiff=[546 (Eb*Ab)/Lb, 0, 0, -((Eb*Ab)/Lb), 0, 0;547 0, (12*Eb*Ib)/Lbˆ3, -((6*Eb*Ib)/Lbˆ2), 0, -((12*Eb*Ib)/Lbˆ3), -((6*Eb*Ib)/Lbˆ2);548 0, -((6*Eb*Ib)/Lbˆ2), (4*Eb*Ib)/Lb, 0, (6*Eb*Ib)/Lbˆ2, (2*Eb*Ib)/ Lb;549 -((Eb*Ab)/Lb), 0, 0, (Eb*Ab)/Lb, 0, 0;550 0, -((12*Eb*Ib)/Lbˆ3), (6*Eb*Ib)/Lbˆ2, 0, (12*Eb*Ib)/Lbˆ3, (6*Eb*Ib)/Lbˆ2;551 0, -((6*Eb*Ib)/Lbˆ2), (2*Eb*Ib)/Lb, 0, (6*Eb*Ib)/Lbˆ2, (4*Eb*Ib)/Lb];552

553 MatrizBarrasElem(i).Transf=MTransf;554 MatrizBarrasElem(i).Stiff=MStiff;555

556

557 if Opcoes.MassaCons==1,558

559 Rob=PropMat(Barras(i,3),3);560 mb=Ab*Rob;561

562 MMassab=[(Lb*mb)/3, 0, 0, (Lb*mb)/6, 0, 0;563 0, (13*Lb*mb)/35, -((11*Lbˆ2*mb)/210), 0, (9*Lb*mb)/70, (13*Lbˆ2*mb)/420;564 0, -((11*Lbˆ2*mb)/210), (Lbˆ3*mb)/105, 0, -((13*Lbˆ2*mb)/420), -((Lbˆ3*mb)/140);565 (Lb*mb)/6, 0, 0, (Lb*mb)/3, 0, 0;566 0, (9*Lb*mb)/70, -((13*Lbˆ2*mb)/420), 0, (13*Lb*mb)/35, (11*Lbˆ2*mb)/210;

Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R© XIII

567 0, (13*Lbˆ2*mb)/420, -((Lbˆ3*mb)/140), 0, (11*Lbˆ2*mb)/210, (Lbˆ3*mb)/105];568

569 MatrizBarrasElem(i).Massa=MMassab;570 end571

572 end573

574 %Molas575 InciKMolas=[576 1 4 5 -1 -4 -5;577 0 2 6 -4 -2 -6;578 0 0 3 -5 -6 -3;579 0 0 0 1 4 5;580 0 0 0 0 2 6;581 0 0 0 0 0 3];582 for m=1:N.Molas583 TipoApe=Molas(m,3);584 %Cria Matriz 6x6 Triangular Superior585 for i=1:6,586 for j=i:6,587 if InciKMolas(i,j)<0588 MatrizMolasElem(m).Stiff(i,j)=-StiffApe(TipoApe,-InciKMolas(i,j));589 else590 MatrizMolasElem(m).Stiff(i,j)=StiffApe(TipoApe,InciKMolas(i,j));591 end592 end593 end594 end595

596 end597

598 function CalculaGlobStiff()599

600 global N Idesl MatrizBarrasElem Barras InciBarras InciMolas Molas InciMolasNL MolasNL MatrizMolasElem GlobStiff KNL0601

602 InciMolas=zeros(N.Molas,3);603 InciBarras=zeros(N.Barras,6);604 InciMolasNL=zeros(N.MolasNL,3);605 GlobStiff=zeros(N.DTot,N.DTot);606

607 %Barras608 for b=1:N.Barras609 Mel(b).Glob=MatrizBarrasElem(b).Transf’*MatrizBarrasElem(b).Stiff*MatrizBarrasElem(b).Transf; %#ok<AGROW>610

611 %Cria a matriz de Incidencia dos nos do elemento612 for i=1:6613 if i<=3,614 x=Barras(b,1);615 y=0;616 else617 x=Barras(b,2);618 y=3;619 end620

621 InciBarras(b,i)=Idesl(x,i-y);622 end623

624 %Adiciona a contribuicao do elemento para a Matriz de Rigidez Global625 for i=1:6626 x=InciBarras(b,i);627 if x˜=0,628 for j=i:6629 y=InciBarras(b,j);630 if y˜=0,631 GlobStiff(x,y)=GlobStiff(x,y)+Mel(b).Glob(i,j);632 end633 end634 end635 end636 end637

638 %Molas639 for m=1:N.Molas

XIV Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R©

640

641 %Cria a matriz de Incidencia dos nos do elemento642 for i=1:6643 if i<=3,644 x=Molas(m,1);645 y=0;646 else647 x=Molas(m,2);648 y=3;649 end650

651 InciMolas(m,i)=Idesl(x,i-y);652 end653

654 %Adiciona a contribuicao do elemento para a Matriz de Rigidez Global655 for i=1:6656 x=InciMolas(m,i);657 if x˜=0,658 for j=i:6659 y=InciMolas(m,j);660 if y˜=0,661 GlobStiff(x,y)=GlobStiff(x,y)+MatrizMolasElem(m).Stiff(i,j);662 end663 end664 end665 end666 end667

668 %Soma a matriz calculada com a sua transposta e retira-lhe a diagonal669 v=diag(GlobStiff);670 Diagonal=diag(v);671 GlobStiff=GlobStiff+GlobStiff’-Diagonal;672

673 %Cria a matriz KNL0 somando a rigidez das molas nao lineares em condicoes de repouso674 %Cria a matriz de Incidencia dos nos do elemento675 for m=1:N.MolasNL676 for i=1:6677 if i<=3,678 x=MolasNL(m,1);679 y=0;680 else681 x=MolasNL(m,2);682 y=3;683 end684 InciMolasNL(m,i)=Idesl(x,i-y);685 end686 end687

688 KNL0=CalculaKMolasNL(0,0,0);689

690 end691

692 function CalculaMatrizMassa()693

694 global Opcoes N Barras CarSec PropMat InciBarras MatrizBarrasElem MassasPontuais Idesl;695 global MMassa696

697 MMassa=zeros(N.DInd,N.DInd);698

699 if Opcoes.MassaCons==1,700 for b=1:N.Barras701 MM(b).Glob=MatrizBarrasElem(b).Transf’*MatrizBarrasElem(b).Massa*MatrizBarrasElem(b).Transf; %#ok<AGROW>702 for i=1:6703 x=InciBarras(b,i);704 if (x˜=0&&x<=N.DInd),705 for j=1:6706 y=InciBarras(b,j);707 if (y˜=0&&y<=N.DInd),708 MMassa(x,y)=MMassa(x,y)+MM(b).Glob(i,j);709 end710 end711 end712 end

Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R© XV

713 end714

715 elseif Opcoes.MassaCons==0,716 for i=1:N.Barras,717

718 mati=Barras(i,3);719 seci=Barras(i,4);720 Li=Barras(i,5);721 Ai=CarSec(seci,1);722 Roi=PropMat(mati,3);723 Mi2=Ai*Roi*Li/2;724

725 for j=1:6726 if j˜=3&&j˜=6727 x=InciBarras(i,j);728 if x<=N.DInd729 MMassa(x,x)=MMassa(x,x)+Mi2;730 end731 % else732 % x=InciBarras(i,j);733 % if x<=N.DInd734 % MMassa(x,x)=MMassa(x,x)+Mi2*0.01;735 % end736 end737 end738 end739 end740

741 for i=1:N.MassasPontuais742 no=MassasPontuais(i,1);743 for j=1:3744 desl=Idesl(no,j);745 if desl<=N.DInd746 MMassa(desl,desl)=MassasPontuais(i,j+1);747 end748 end749 end750

751 end752

753 function CalculaModos()754

755 global Opcoes N GlobStiff KNL0 MMassa;756 global Periodos ValoresP Fi757 global Kt Mt difzero igzero758

759 N.Modos=Opcoes.NModos;760 GlobStiff2=GlobStiff+KNL0.G;761 X=1:N.DInd;762

763 if Opcoes.MassaCons==1,764 Kt=GlobStiff2(X,X);765 Mt=MMassa;766 NSist=N.DInd;767

768 elseif Opcoes.MassaCons==0,769 m=diag(MMassa);770 n=length(m);771 k=1;772 for i=1:n773 if m(i)˜=0774 difzero(k)=i;775 k=k+1;776 end777 end778

779 Mt=MMassa(difzero,difzero);780 Ktt=GlobStiff2(difzero,difzero);781

782 igzero=X(˜ismember(X,difzero));783 Koo=GlobStiff2(igzero,igzero);784 iKoo=inv(Koo);785 Kto=GlobStiff2(difzero,igzero);

XVI Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R©

786 Kt=Ktt-Kto*iKoo*Kto’;787 Erros=Kt-Kt’;788 Kt=Kt-Erros/2;789

790 NSist=length(difzero);791 % Kt792 % Mt793 end794

795 opc.issym=1;796 opc.disp=0;797 [V,D]=eigs(Kt,Mt,N.Modos,’SA’,opc);798 k=diag(D);799 Periodos=(1./k.ˆ0.5).*2*pi;800 ValoresP=k.ˆ0.5;801

802 Fio=zeros(length(igzero),N.Modos);803 Fit=zeros(NSist,N.Modos);804 Fi=zeros(N.DInd,N.Modos);805 vi=zeros(NSist,1);806

807 for m=1:N.Modos808 vi(:)=V(:,m);809 den=(vi’*Mt*vi).ˆ0.5;810 filinha=vi./den;811

812 if Opcoes.MassaCons==1||isempty(igzero)813 Fi(:,m)=filinha(:);814 elseif Opcoes.MassaCons==0,815 Fit(:,m)=filinha(:);816 Fio(:,m)=-iKoo*Kto’*filinha;817 Fi(difzero,m)=Fit(:,m);818 Fi(igzero,m)=Fio(:,m);819 end820 end821

822 end823

824 function CalculaUm()825

826 global N Opcoes Idesl;827 global Um;828

829 N.Direc=Opcoes.NDirec;830

831 Um=zeros(N.DInd,N.Direc);832

833 for n=1:N.Nos834 for d=1:N.Direc835 k=Idesl(n,d);836 if(k˜=0&&k<=N.DInd)837 Um(k,d)=1;838 end839 end840 end841

842 end843

844 %==============================================%845 %Analise Espectral846 %==============================================%847

848 function AnaliseEspectral()849

850 CalculaDeslMod();851 CalculaEsfMod();852 LerEspectro();853 CombinacaoModDir();854

855

856 end857

858 function CalculaDeslMod()

Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R© XVII

859

860 global N MMassa Fi Um;861 global DeslMod862

863 Part=Fi’*MMassa*Um;864

865 for m=1:N.Modos866 for d=1:N.Direc867 DeslMod(d,:,m)=Fi(:,m).*Part(m,d);868 end869 end870

871 end872

873 function CalculaEsfMod()874

875 global N DeslMod;876 global EsforcosMod;877

878 deslglob=zeros(N.DInd,1);879

880 for b=1:N.Barras881 for d=1:N.Direc882 for m=1:N.Modos883 deslglob(:)=DeslMod(d,:,m);884 EsforcosBarra=CalcularEsforcosBarra(b,deslglob);885 for i=1:6,886 EsforcosMod(b,d,m,i)=EsforcosBarra(i);887 end888 end889 end890 end891

892 end893

894 function LerEspectro()895

896 global Opcoes897 global Espectro898

899 if Opcoes.IntroFicheiros==1900 ficheiroh = input(’\nInsira o nome do ficehiro (Espectro Horizontal)-> ’,’s’);901 else902 ficheiroh = Opcoes.FicheiroEspectro;903 end904

905 fidh=fopen(ficheiroh,’r’);906

907 %espectro do ficheiro908 if Opcoes.TEspec==1909 Espectro.Hor=fscanf(fidh,’%g’,[2,inf])’;910 if Opcoes.NDirec==2911 ficheirov = input(’\nInsira o nome do ficehiro (Espectro Vertical)-> ’,’s’);912 fidv=fopen(ficheirov,’r’);913 EV=fscanf(fidv,’%g’,[2,inf])’;914 X=EV(:,1);915 Y=EV(:,2)*Opcoes.KVert;916 EV=cat(2,X,Y);917 Espectro.Vert=EV;918 fclose(fidv);919 end920

921 %espectro do EC8922 elseif Opcoes.TEspec==2923 A=fscanf(fidh,’%g’,inf);924 B=[];925 if Opcoes.NDirec==2926 ficheirov = input(’\nInsira o nome do ficehiro (Espectro Vertical)-> ’,’s’);927 fidv=fopen(ficheirov,’r’);928 B=fscanf(fidv,’%g’,inf);929 fclose(fidv);930 end931

XVIII Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R©

932 DadosEC8=cat(2,A,B);933 Espectro=CriaEspectroEC8(DadosEC8,Opcoes.ResEspec,Opcoes.BetaEspec,Opcoes.NDirec);934 else935 ’Erro no Tipo de Espectro (1-Directo do Ficheiro, 2-EC8)’ %#ok<NOPRT>936 end937

938 fclose(fidh);939

940 end941

942 function CombinacaoModDir()943 global Opcoes N ValoresP EsforcosMod EsforcosComb;944

945 Sa=CalculaSa();946

947 if Opcoes.TipoCombMod==1,%CQC948 Miu=CalculaMiu();949 elseif Opcoes.TipoCombMod==2,%SRSS950 Miu=eye(N.Modos);951 end952

953 EsfCMod=zeros(N.Barras,N.Direc,6);954 EsforcosComb=zeros(N.Barras,6);955 for b=1:N.Barras956 for e=1:6957 E=0;958 for d=1:N.Direc959 K=0;960 for mi=1:N.Modos961 Fmi=Opcoes.AmpElast*Sa(mi,d)*(1/ValoresP(mi))ˆ2;962 for mj=1:N.Modos963 Fmj=Opcoes.AmpElast*Sa(mj,d)*(1/ValoresP(mj))ˆ2;964 K=K+EsforcosMod(b,d,mi,e)*Fmi*Miu(mi,mj)*EsforcosMod(b,d,mj,e)*Fmj;965 end966 end967 EsfCMod(b,d,e)=Kˆ0.5;968 E=E+K;969 end970 EsforcosComb(b,e)=Eˆ0.5;971 end972 end973

974 end975

976 %- - - - - - - - - - - - - - - - - - -977 %Analise Espectral - Funcoes Auxiliares978 %- - - - - - - - - - - - - - - - - - -979

980 function [Espectro]=CriaEspectroEC8(DadosEC8,Resol,Beta,NDirec)981

982 for d=1:NDirec983

984 S=DadosEC8(1,d);985 TB=DadosEC8(2,d);986 TC=DadosEC8(3,d);987 TD=DadosEC8(4,d);988 ag=DadosEC8(5,d);989 q=DadosEC8(6,d);990

991 E(1,1)=0;992 E(1,2)=ag*S*(2/3);993 E(2,1)=TB;994 E(2,2)=ag*S*(2.5/q);995 E(3,1)=TC;996 E(3,2)=ag*S*(2.5/q);997

998 %TC a TD999 TL=S*(2.5/q)*(TC/Beta);

1000 if TL<=TD1001 TF=TL;1002 parar=1;1003 else1004 TF=TD;

Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R© XIX

1005 parar=0;1006 end1007 X=(TC+Resol):Resol:TF;1008 Nx=length(X);1009 if X(Nx)˜=TF1010 X(Nx+1)=TF;1011 Nx=Nx+1;1012 end1013 Y=zeros(1,Nx);1014 for i=1:Nx1015 Y(i)=ag*S*(2.5/q)*(TC/X(i));1016 end1017 Z=cat(1,X,Y);1018

1019 E=cat(1,E,Z’);1020

1021 %>TD1022 if parar==01023 TF=(S*(2.5/q)*(TC*TD/Beta))ˆ0.5;1024

1025 X=(TD+Resol):Resol:TF;1026 Nx=length(X);1027 if X(Nx)˜=TF1028 X(Nx+1)=TF;1029 Nx=Nx+1;1030 end1031 Y=zeros(1,Nx);1032 for i=1:Nx1033 Y(i)=ag*S*(2.5/q)*(TC*TD/(X(i))ˆ2);1034 end1035 Z=cat(1,X,Y);1036 E=cat(1,E,Z’);1037 end1038

1039 CEspec{d}=E; %#ok<AGROW>1040

1041 end1042

1043 Espectro.Hor=CEspec{1};1044 if NDirec==21045 Espectro.Vert=CEspec{2};1046 end1047

1048 end1049

1050 function [Miu]=CalculaMiu()1051 global Opcoes N ValoresP1052

1053 Miu=zeros(N.Modos,N.Modos);1054 A=Opcoes.Amort;1055

1056 for i=1:N.Modos1057 for j=i:N.Modos1058 r=ValoresP(i)/ValoresP(j);1059

1060 Miu(i,j)=(8*Aˆ2*(1+r)*rˆ(3/2))/((1-rˆ2)ˆ2+4*Aˆ2*r*(1+r)ˆ2);1061 Miu(j,i)=Miu(i,j);1062 end1063 end1064 end1065

1066 function [Sa]=CalculaSa()1067

1068 global N Periodos Espectro1069

1070 Sa=zeros(N.Modos,N.Direc);1071

1072 for d=1:N.Direc1073 for m=1:N.Modos1074 Sa(m,d)=Interpola(Periodos(m),Espectro.Hor);1075 if d==21076 Sa(m,d)=Interpola(Periodos(m),Espectro.Vert);1077 end

XX Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R©

1078 end1079 end1080

1081 end1082

1083 %==============================================%1084 %Analise Incremental1085 %==============================================%1086

1087 function Calculaheniter()1088

1089 global Opcoes Periodos niter1090

1091 if Opcoes.calch˜=01092 sper=length(Periodos);1093 Opcoes.h=(Periodos(sper))/Opcoes.calch;1094 end1095

1096 niter=Opcoes.Duracao/Opcoes.h;1097 niter=niter-mod(niter,1);1098

1099 end1100

1101 function LerAcel(iacel)1102

1103 global Opcoes N MMassa Um niter1104 global Carga1105

1106 if Opcoes.CriaAccelxSin==01107 if Opcoes.IntroFicheiros==11108 ficheiroax = input(’\nInsira o nome do ficehiro das aceleracoes em x-> ’,’s’);1109 elseif Opcoes.IntroFicheiros==01110 if Opcoes.nAcel>=11111 ficheiroax = [Opcoes.FicheiroAccelx,num2str(iacel),’.sismo’];1112 else1113 ficheiroax = Opcoes.FicheiroAccelx;1114 end1115 else1116 ’Opcao invalida para Opcoes.IntroFicheiros’ %#ok<NOPRT>1117 end1118

1119 fidax=fopen(ficheiroax,’r’);1120 Ax=fscanf(fidax,’%g’,[2,inf])’;1121 fclose(fidax);1122 else1123 Amp=Opcoes.AccelxSin.A;1124 Tt=Opcoes.AccelxSin.T;1125 Ww=2*pi/Tt;1126 for i=1:niter+11127 X(i)=Opcoes.h*(i-1); %#ok<AGROW>1128 Y(i)=Amp*sin(Ww*X(i)); %#ok<AGROW>1129 end1130 Ax=[X’ Y’];1131 end1132

1133 if N.Direc==21134 if Opcoes.IntroFicheiros==11135 ficheiroay = input(’\nInsira o nome do ficehiro das aceleracoes em y-> ’,’s’);1136 elseif Opcoes.IntroFicheiros==01137 ficheiroay = Opcoes.FicheiroAccely;1138 else1139 ’Opcao invalida para Opcoes.IntroFicheiros’ %#ok<NOPRT>1140 end1141

1142 fiday=fopen(ficheiroay,’r’);1143 Ay=fscanf(fiday,’%g’,[2,inf])’;1144 fclose(fiday);1145

1146 % ------- Para futuramente introduzir perfis de aceleracao com abcissas diferentes --------1147 %1148 % z=[0 0];1149 % Ay=cat(2,Ay,z);1150 %

Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R© XXI

1151 % sx=length(Ax);1152 % sy=length(Ay);1153 % if sx<sy1154 % z=zeros(sy-sx,2);1155 % Ax=cat(2,Ax,z);1156 % elseif sx>sy1157 % z=zeros(sx-sy,2);1158 % Ay=cat(2,Ay,z);1159 % end1160 %----------------------------------------------------------------------------------------------1161

1162 Acel=cat(3,Ax,Ay);1163 else1164 Acel=Ax;1165 end1166

1167 aux=size(Acel);1168 Carga=zeros(aux(1),2,N.DInd);1169 MAux=MMassa*Um.*Opcoes.AmpElast; %AmpElast amplifica a accao1170 for i=1:N.DInd1171 for d=1:N.Direc1172 k=MAux(i,d);1173 PerfAux=Acel(:,:,d);1174 MatMult=[1,0;0,k];1175 PerfFin=PerfAux*MatMult;1176 Carga(:,:,i)=Carga(:,:,i)+PerfFin;1177 end1178 end1179

1180 end1181

1182 function CalculaInicio()1183

1184 global Opcoes N GlobStiff MMassa Um Carga difzero igzero1185 global InvMMassa vinic KInd MC Pinic1186

1187

1188 if Opcoes.MassaCons1189 InvMMassa=inv(MMassa);1190 else1191 InvMMassa=zeros(N.DInd,N.DInd);1192 for i=1:length(difzero)1193 x=difzero(i);1194 InvMMassa(x,x)=1/MMassa(x,x);1195 end1196 end1197

1198

1199 if N.Direc==21200 Uma=Um(:,1);1201 else1202 Uma=Um;1203 end1204

1205 vinic.d=Opcoes.Desi.*Uma;1206 vinic.v=Opcoes.Veli.*Uma;1207

1208 KInd=GlobStiff(1:N.DInd,1:N.DInd);1209

1210 if Opcoes.CalcAlfaBeta==11211 CalculaAlfaBeta()1212 end1213 alfa=Opcoes.Alfa;1214 beta=Opcoes.Beta;1215 MC=alfa.*MMassa+beta.*KInd;1216

1217

1218 Pinic(:,1,1)=Carga(1,2,:);1219 vinic.a=zeros(N.DInd,1);1220 %vinic.a=InvMMassa*(Pinic-MC*vinic.v-KInd*vinic.d);1221 if isempty(igzero)1222 Aa=InvMMassa(difzero,difzero)*(Pinic(difzero)-MC(difzero,difzero)*vinic.v(difzero)-KInd(difzero,difzero)*vinic.d(difzero));1223 vinic.a(difzero)=Aa;

XXII Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R©

1224 else1225 Aa=InvMMassa(difzero,difzero)*(Pinic(difzero)-MC(difzero,difzero)*vinic.v(difzero)-MC(difzero,igzero)*vinic.v(igzero)-KInd(difzero,difzero)*vinic.d(difzero)-KInd(difzero,igzero)*vinic.d(igzero));1226 vinic.a(difzero)=Aa;1227 end1228

1229 end1230

1231 function CalculaDeslNoTempo(iacel,iestrut)1232

1233 global Opcoes N Percent inictempo tempo1234 global difzero1235 global MMassa Carga InvMMassa vinic KInd KNL0 MC Pinic1236 global DESL P niter1237

1238 global Paux vi di ai1239

1240 Teta=Opcoes.Teta;1241 h=Opcoes.h;1242 DK=KNL0.Ind;1243 EMInd=DK*vinic.d;1244 EK=(KInd+DK)*vinic.d;1245 P=zeros(N.DInd,niter);1246 VEL=zeros(N.DInd,niter);1247 DESL=zeros(N.DInd,niter);1248 ACEL=zeros(N.DInd,niter);1249

1250 for i=1:niter1251

1252 for b=1:N.DInd1253 Caux(:,:,1)=Carga(:,:,b);1254 P(b,i)=Interpola(h*i,Caux);1255 end1256

1257 if i==11258 ai=vinic.a;1259 vi=vinic.v;1260 di=vinic.d;1261 Pin(:,1)=Pinic(:,1,1);1262 DP(:,1)=P(:,1)-Pin(:,1);1263 else1264 ai(:,1)=ACEL(:,i-1);1265 vi(:,1)=VEL(:,i-1);1266 di(:,1)=DESL(:,i-1);1267 DP(:,1)=P(:,i)-P(:,i-1);1268 end1269

1270 tau=Teta*h;1271

1272 Klinha=KInd+DK+(3/tau).*MC+(6/(tauˆ2)).*MMassa;1273

1274 x=3.*vi+(tau/2).*ai;1275 y=(6/tau).*vi+3.*ai;1276 DPlinha=DP*Teta+MC*x+MMassa*y;1277

1278 Ddlinha=(inv(Klinha))*DPlinha;1279

1280 Dalinha=(6/(tauˆ2)).*Ddlinha-(6/tau).*vi-3.*ai;1281 Da=Dalinha./Teta;1282

1283 Dv=h.*ai+(h/2).*Da;1284 Dd=h.*vi+((hˆ2)/2).*ai+((hˆ2)/6).*Da;1285

1286 DEMInd=DK*Dd;1287 DEK=(KInd+DK)*Dd;1288

1289 EMInd=EMInd+DEMInd;1290

1291 df=di+Dd;1292 vf=vi+Dv;1293

1294 DKaux=CalculaKMolasNL(df,vf,EMInd);1295 DK=DKaux.Ind;1296

Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R© XXIII

1297 af=ai;1298 EK=EK+DEK;1299 Paux(:,1)=P(:,i);1300 EC=MC*vf;1301

1302 af(difzero)=InvMMassa(difzero,difzero)*(Paux(difzero)-EC(difzero)-EK(difzero));1303

1304 DESL(:,i)=df(:,1);1305 VEL(:,i)=vf(:,1);1306 ACEL(:,i)=af(:,1);1307

1308

1309 %----- Diz o progresso do programa1310 if (i==1)&&(iacel==1)&&(iestrut==1)1311 Percent=0;1312 inictempo=0;1313 tempo=000;1314 end1315 progresso=((i/niter+iacel-1)/Opcoes.nAcel+iestrut-1)/Opcoes.nEstrut;1316 if (Opcoes.DPercent˜=0)&&(progresso>=Percent+Opcoes.DPercent)1317 if inictempo,1318 tempo=toc;1319 else1320 inictempo=1;1321 end1322 tic1323 Percent=(progresso-mod(progresso,Opcoes.DPercent));1324 Temporestante=(tempo*(1-Percent)/Opcoes.DPercent);1325 [num2str(Percent*100),’% Concluido’,’ - Falta: ’,num2str((Temporestante-mod(Temporestante,60))/60),’m ’,num2str(mod(Temporestante,60)-mod(mod(Temporestante,60),1)),’s’] %#ok<NOPRT>1326 end1327 %----------------------------------1328 end1329

1330 end1331

1332 function PlotaEscreveResultadoEsforco(barra,esforco,t)1333

1334 global Opcoes DESL niter1335

1336 Y=zeros(1,niter);1337

1338 for i=1:niter1339 D(:,1)=DESL(:,i);1340 E=CalcularEsforcosBarra(barra,D);1341 Y(i)=E(esforco);1342 end1343

1344 if t==11345 X=(1:niter).*Opcoes.h;1346 plot([X,NaN,0,0],[Y,NaN,Opcoes.MYmin,Opcoes.MYmax])1347 elseif t==21348 Escreve(Y,’esforco’);1349 end1350

1351 end1352

1353 function PlotaEscreveResultadoDeslInd(barra,desl,t,iacel)1354

1355 global Opcoes N DESL niter InciBarras1356

1357 x=InciBarras(barra,desl);1358 if (x˜=0&&x<=N.DInd),1359 Y=DESL(x,:);1360 else1361 ’Esse deslocamento nao e independente’ %#ok<NOPRT>1362 end1363

1364 if t==11365 X=(1:niter).*Opcoes.h;1366 plot([X,NaN,0,0],[Y,NaN,Opcoes.DYmin,Opcoes.DYmax]);1367 elseif t==21368 nome=[’desloc - a’,num2str(iacel)];1369 Escreve(Y,nome);

XXIV Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R©

1370 end1371

1372 end1373

1374 function MostraResultadoInsTempo(barras,T)1375

1376 global Opcoes DESL1377

1378 iteracao=T/Opcoes.h;1379 iteracao=iteracao-mod(iteracao,1);1380

1381 D(:,1)=DESL(:,iteracao);1382 Esf(:,barras)=CalcularEsforcosBarra(barras,D);1383

1384 Esf(:,barras)1385

1386 end1387

1388 function [Res]=CalcMaxEsf(barra,esforco)1389

1390 global N DESL niter1391

1392 if barra==01393 xb=N.Barras;1394 else1395 xb=1;1396 end1397

1398 E=zeros(xb,6);1399 Y=zeros(niter,xb);1400

1401 for i=1:niter1402 D(:,1)=DESL(:,i);1403 if barra==01404 for b=1:N.Barras1405 E(b,:)=CalcularEsforcosBarra(b,D);1406 end1407 else1408 E(1,:)=CalcularEsforcosBarra(barra,D);1409 end1410 Y(i,:)=E(:,esforco);1411 end1412

1413 Res=max(abs(Y));1414

1415 end1416

1417 function [Res]=CalcMaxDesl(barra,desl)1418

1419 global N DESL InciBarras1420

1421 x=InciBarras(barra,desl);1422 if (x˜=0&&x<=N.DInd),1423 Y=DESL(x,:);1424 else1425 ’Esse deslocamento nao e independente’ %#ok<NOPRT>1426 end1427

1428 Res=max(abs(Y));1429

1430 end1431 %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1432 %Analise Incremental - Funcoes Auxiliares1433 %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1434

1435 function CalculaAlfaBeta()1436

1437 global Opcoes ValoresP1438

1439 p1=ValoresP(1);1440 eta=Opcoes.Amort;1441

1442 if length(ValoresP)>1

Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R© XXV

1443 p2=ValoresP(2);1444 Beta=2*eta/(p1+p2);1445 Alfa=Beta*p1*p2;1446 else1447 if Opcoes.CriaEstrutura==01448 Beta=0;1449 Alfa=2*eta*p1;1450 else1451 p2=p1;1452 k=Opcoes.RigidezMolak;1453 p1=p2*(5/(2+3/k))ˆ0.5;1454 Beta=2*eta/(p1+p2);1455 Alfa=Beta*p1*p2;1456 end1457 end1458

1459 Opcoes.Alfa=Alfa;1460 Opcoes.Beta=Beta;1461

1462 end1463

1464 %==============================================%1465 %Funcoes Auxiliares Gerais1466 %==============================================%1467

1468 function [Esforcos]=CalcularEsforcosBarra(Barra,DeslocamentosGlobais)1469

1470 global N MatrizBarrasElem InciBarras;1471

1472 deslloc=zeros(6,1);1473 Esforcos=zeros(6,1);1474 for i=1:61475 x=InciBarras(Barra,i);1476 if (x˜=0&&x<=N.DInd),1477 deslloc(i)=DeslocamentosGlobais(x);1478 end1479 end1480

1481 X=MatrizBarrasElem(Barra).Stiff*MatrizBarrasElem(Barra).Transf*deslloc;1482

1483 for i=1:3,1484 Esforcos(i)=-X(i);1485 end1486 for i=4:6,1487 Esforcos(i)=X(i);1488 end1489

1490 end1491

1492 function [Yd]=Interpola(Xd,Dados)1493 %Dados e uma matriz nx2 em que a 1Aa coluna e x e a 2Aa coluna e y1494

1495 Z=0;1496 i=0;1497 s=size(Dados,1);1498 while Z<=Xd1499 i=i+1;1500 if i<=s1501 Z=Dados(i,1);1502 else1503 Z=Xd+1;1504 end1505 end1506

1507 Xi=Dados(i-1,1);1508 Xf=Z;1509 Yi=Dados(i-1,2);1510

1511 if i<=s1512 Yf=Dados(i,2);1513 else1514 Yf=Yi;1515 % if Xd˜=Xi

XXVI Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R©

1516 % ’Fora dos limites do espectro, assumiu-se o ultimo valor constante’ %#ok<NOPRT>1517 % end1518 end1519 Yd=Yi+(Yf-Yi)*(Xd-Xi)/(Xf-Xi);1520

1521 end1522

1523 function Escreve(MATRIZ,nome)1524

1525 sdesl=size(MATRIZ);1526 ncol=sdesl(1); %NOTA-Na realidade sdesl(1) representao o numero de linhas, mas como a matriz vai ser transposta ao escrever, no resultado do ficheiro sera o numero de colunas1527 totcol=’’;1528 for i=1:ncol1529 totcol=[totcol,’%g ’]; %#ok<AGROW>1530 if i==ncol1531 totcol=strcat(totcol,’\n’);1532 end1533 end1534 nome=[’Resultados/’,nome,’.txt’];1535 fid=fopen(nome,’wt’);1536 fprintf(fid,totcol, MATRIZ);1537 fclose(fid);1538

1539 end1540

1541 %==============================================%1542 %Funcoes Auxiliares Molas Nao-Lineares1543 %==============================================%1544

1545 function [KNL] = CalculaKMolasNL(DESL,VEL,ESFInd)1546

1547 global N MolasNL InciMolasNL1548

1549 KNLG=zeros(N.DTot,N.DTot);1550

1551 %Adiciona a contribuicao do elemento para a Matriz de Rigidez Global1552 for m=1:N.MolasNL1553

1554 xt=MolasNL(m,4);1555 x=InciMolasNL(m,xt);1556 y=InciMolasNL(m,xt+3);1557 Di=0;1558 Vi=0;1559 Dj=0;1560 Vj=0;1561 Momento=0;1562

1563 if length(DESL)>11564 if x<=N.DInd,1565 Di=DESL(x);1566 Vi=VEL(x);1567 Momento=ESFInd(x);1568 end1569 if y<=N.DInd,1570 Dj=DESL(y);1571 Vj=VEL(y);1572 Momento=-ESFInd(y);1573 end1574 elseif length(DESL)==11575 Di=DESL;1576 Vi=VEL;1577 Momento=ESFInd;1578 end1579

1580 Desloc=Di-Dj;1581 Veloc=Vi-Vj;1582

1583 K=CalculaKMola(Desloc,Veloc,Momento,m);1584

1585 if x˜=0,1586 KNLG(x,x)=KNLG(x,x)+K;1587 if y˜=0,1588 KNLG(x,y)=KNLG(x,y)-K;

Anexo C. Programa de Calculo para a Analise Dinamica em MATLAB R© XXVII

1589 KNLG(y,x)=KNLG(y,x)-K;1590 end1591 end1592 if y˜=01593 KNLG(y,y)=KNLG(y,y)+K;1594 end1595 end1596

1597 KNL.G=KNLG;1598 KNL.Ind=KNLG(1:N.DInd,1:N.DInd);1599

1600 end1601

1602 function [Km] = CalculaKMola(Ti,Vi,Mi,Mola)1603 %ParamMolasNL - (tced, tu, Mced, Mu)1604 %MolasNL - (noi, nof, kparam)1605

1606 global ParamMolasNL MolasNL1607

1608 param=MolasNL(Mola,3);1609 Tced=ParamMolasNL(param,1);1610 Tu=ParamMolasNL(param,2);1611 Mced=ParamMolasNL(param,3);1612 Mult=ParamMolasNL(param,4);1613

1614 KL=Mced/Tced;1615 K001=(Mult-Mced)/(Tu-Tced);1616

1617 FYTi=Mced+(Ti-Tced)*K001;1618 FYTin=-(Mced-(Ti+Tced)*K001);1619

1620 if abs(Ti)>Tu1621 ’Atingiu Rotura’ %#ok<NOPRT>1622 Km=0;1623 elseif (Mi*1.001>=FYTi)&&(Vi>0) %Cedencia Positiva1624 Km=K001;1625 elseif (Mi*1.001<=FYTin)&&(Vi<0) %Cedencia Negativa1626 Km=K001;1627 else %Entre Patamares ou em Descarga1628 Km=KL;1629 end1630

1631 end

Anexo D

Programa de Calculo para a Analise de

Seccoes em MATLAB R©

1 function [ output_args ] = ParamRot(XXL,XXAxi,XXT,XXNome,XXTC)2 %PARAMROT3 %ElemC ( A , yg , Mat , fcd(MPa) , ecu(10ˆ-3) , Ecd(GPa) )4 %ElemS ( A , yg , Mat , fsyd(MPa) , esu(10ˆ-3) )5

6 %clear7 clear global8

9 global ElemC ElemS N Opcoes Dados Axi Mom Curv10

11 Opcoes.LBarraR=XXL;12 Opcoes.NCal=XXAxi;13 Opcoes.RC.T1=XXT;14 Opcoes.NomeSec=cell2mat(XXNome);15 Opcoes.TipoCalc=XXTC;16

17 if XXT==018 Opcoes.MododeApresentacao=6;19 else20 Opcoes.MododeApresentacao=1;21 end22

23

24 %Preparacao25 DefineOpcoes();26 LerFicheiroSeccao();27 MatRelConst();28

29 for i=1:Opcoes.nQArm30 %Corrige Armaduras31 CorrigeArmaduras(i);32

33 %Calculo34 CalculaInfoCed();35 CalculaCompRotPl();36 Resultados(i)=CalculoRotula(i);37 end38

39 if Opcoes.EscreveosResultados40 %Dados escritos para o ficheiro41 EscreveDados(Resultados);42 else43 %Apresentacao Grafica dos Resultados44 MostraDados(Resultados);45 end46

47 end48

49 %-----------------------------------------------50 % Funcoes de preparacao51 %-----------------------------------------------52

53 function DefineOpcoes()54

55 global Opcoes

XXIX

XXX Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R©

56

57 %Tipo de Relacao Constitutiva do Betao58 %Global59 %----%Opcoes.RC.T1=3; %( 1,2,3,4 -> Linear, KETAm, KETAd, Parabola rectangulo )60 %Cedencia61 Opcoes.RCCed.T0=2; %( 1,2,3 -> Linear, KETAm, KETAd )62 Opcoes.RCCed.Corr=1; %( 1,0 -> Sim,Nao) [Corrige o valor do MCed para satisfazer dois criterios (1: fc<=fck , 2: K2>=0.01)63 %Rotura64 Opcoes.RCRot.T0=3; %( 1,2,3,4 -> Linear, KETAm, KETAd, Parabola-Rectangulo )65

66 % Opcoes.BetLinear=0;67 % Opcoes.ComportReal=0; %(1-Sim, 0-Nao) [Valido para TipoCalc=0: faz com que o betao tenha comportamento nao linear para o calculo da rotura]68 Opcoes.K2min=0.01;69

70 %Tipo de Calculo71 %----%Opcoes.TipoCalc=0; %0-Calculo dos pontos MCed e Mu, 1-Calculo da Relacao M-X72 Opcoes.nN=1; %n.o incrementos do esforco axial (1-Apenas um valor de N igual a NCal, >1-Varios valores de N de 0 ate NCal)73 %----%Opcoes.NCal=0.16;%X<=0: NCal=X, 0<=X<=1: NCal=Nmax*X74

75 %Variacao da quantidade de armaduras76 Opcoes.nQArm=1;77 Opcoes.QArmmin=0.5;78 Opcoes.QArmmax=1.5;79

80 %Entrada e Saida de Dados81 Opcoes.XouTeta=1; %0-Calcula X, 1-Calcula Teta com os parametros da rotula82 Opcoes.AlfaTCed=0; %Lpy/L (0-Calcula no prog, 1/3-EC8.2)83 Opcoes.EscreveosResultados=1; %(1-Escreve os resultados num ficheiro, 0-Mostra os dados no Ecran)84 %----%Opcoes.MododeApresentacao=1;85 % 1 - M=f(X)86 % 2 - niu=f(MCed,MRot)87 % 3 - niu=f(XCed,XRot) [X ou Teta]88 % 4 - (MCed,MRot)=f(XCed,XRot) [X ou Teta]89 % 5 - niu=f(Alfa)90 % 6 - Parametros da rotula plastica91 Opcoes.IntroFicheiros=0;%Intruduzir ficheiros manualmente (1-Sim [pergunta ao longo do programa], 0-Nao[usa o definido abaixo])92 Opcoes.FicheiroSeccao=’Dados/Seccoes/PonteReal-hor.seccao’;93 %----%Opcoes.NomeSec=’Hor - PonteReal4’;94 Opcoes.DPercent=0.1;%Valor em fraccao do intervalo de percentagem a mostrar do progresso (0-Nao Mostra o progresso)95 Opcoes.EscX=0;%2E5; %Valor maximo na escala em X96 Opcoes.EscY=0; %Valor maximo na escala em Y97

98 %Tolerancias99 Opcoes.Tolerancia=0.01;

100 Opcoes.TolExtRot=0.01;101

102 %Discretizacao103 Opcoes.Discretizacao.ElemBetao=50; %Elementos por area de betao104 Opcoes.Discretizacao.dX=1E-05; %Passo das curvaturas antes da cedencia105 Opcoes.Discretizacao.MultCed=10; %Multiplicador do passo apos a Cedencia106

107 %Rotulas Plasticas108 %----%Opcoes.LBarraR=40; %(m)109 Opcoes.fykRotula=500; %(MPa)110 Opcoes.dbL=0.020; %(diametro dos varoes em m)111 Opcoes.GamaRp=1.4; %Factor de correccao para a rotacao ultima112

113 TesteOpcoes()114 end115

116 function LerFicheiroSeccao()117

118 global ElemC ElemS N Opcoes Dados119

120 if Opcoes.IntroFicheiros==1121 ficheiro = input(’\nInsira o nome do ficehiro -> ’,’s’);122 elseif Opcoes.IntroFicheiros==0123 ficheiro = Opcoes.FicheiroSeccao;124 else125 ’Opcao invalida para Opcoes.IntroFicheiros’ %#ok<NOPRT>126 end127

128

Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R© XXXI

129 fid=fopen(ficheiro,’r’);130

131 A=fscanf(fid,’%d’,2);132 NAC=A(1);133 NAS=A(2);134 N.DiscC=Opcoes.Discretizacao.ElemBetao;135

136 AreasC=fscanf(fid,’%g’,[5,NAC])’;%(B, H, Zinf, Material, tipo) se tipo=1[rectangulo]137 %(R, 0, Zinf, Material, tipo) se tipo=2[circulo]138 AreasS=fscanf(fid,’%g’,[6,NAS])’;%( A, Z, Material, 0, 0, tipo) se tipo=1[rectangulo]139 %(Av, Zgc, Material, Raio, Nv, tipo) se tipo=2[circulo]140 fclose(fid);141

142 %Calcular G143 x=0;144 y=0;145 for i=1:NAC146 if AreasC(i,5)==1 %Rectangulos147 a=AreasC(i,1)*AreasC(i,2);148 z=AreasC(i,3)+AreasC(i,2)/2;149 elseif AreasC(i,5)==2 %Circulos150 a=pi*AreasC(i,1)ˆ2;151 z=AreasC(i,3)+AreasC(i,1);152 end153 x=x+a*z;154 y=y+a;155 end156 Dados.Area=y;157 Zg=x/y;158 Dados.Zg=Zg;159

160 %Discretizar Betao161 k=0;162 for i=1:NAC163 if AreasC(i,5)==1 %Rectangulos164 B=AreasC(i,1);165 H=AreasC(i,2);166 Zi=AreasC(i,3);167 M=AreasC(i,4);168 hd=H/N.DiscC;169 Ad=B*hd;170 for j=1:N.DiscC171 k=k+1;172 ElemC(k,1)=Ad;173 ElemC(k,2)=Zg-(Zi+j*hd-hd/2);174 ElemC(k,3)=M;175 end176 elseif AreasC(i,5)==2 %Circulos177 R=AreasC(i,1);178 Zi=AreasC(i,3);179 M=AreasC(i,4);180 Teta=pi/N.DiscC;181 for j=1:N.DiscC/2182 Beta=(j-1)*Teta;183 cB=cos(Beta);184 sB=sin(Beta);185 cTB=cos(Beta+Teta);186 sTB=sin(Beta+Teta);187 h=R*(sTB-sB);188 zinf1=R*(1+sB)+Zi;189 zinf2=R*(1-sB)-h+Zi;190 c2=R*sB*cTB/sTB;191 A=2*(Teta*Rˆ2/2+R*cTB*h-h*(R*cTB-c2)/2-R*sB*(R*cB-c2)/2);192

193 k=k+1;194 ElemC(k,1)=A;195 ElemC(k,2)=Zg-(zinf1+h/2);196 ElemC(k,3)=M;197 k=k+1;198 ElemC(k,1)=A;199 ElemC(k,2)=Zg-(zinf2+h/2);200 ElemC(k,3)=M;201 end

XXXII Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R©

202 end203 end204

205 N.ElemC=k;206

207 %Criar nova matriz para Aco208 k=0;209 for i=1:NAS210 if AreasS(i,6)==1 %Rectangulos211 k=k+1;212 ElemS(k,1)=AreasS(i,1)/10000;213 ElemS(k,2)=Zg-AreasS(i,2);214 ElemS(k,3)=AreasS(i,3);215 elseif AreasS(i,6)==2 %Circulos216 Avarao=AreasS(i,1)/10000;217 zgcirc=AreasS(i,2);218 M=AreasS(i,3);219 R=AreasS(i,4);220 nvaroes=AreasS(i,5);221 niter=(nvaroes-mod(nvaroes,2))/2+1;222 DTeta=2*pi/nvaroes;223

224 for j=1:niter225 Alfa=-pi/2+DTeta*(j-1);226 zgvarao=zgcirc+R*sin(Alfa);227

228 k=k+1;229 ElemS(k,2)=Zg-zgvarao;230 ElemS(k,3)=M;231 if (j==1)||((mod(nvaroes,2)==0)&&(j==niter))232 ElemS(k,1)=Avarao;233 else234 ElemS(k,1)=Avarao*2;235 end236 end237 end238 end239

240 N.ElemS=k;241

242 end243

244 function MatRelConst()245

246 global ElemC ElemS N247

248 %Materiais possiveis249

250 % | fck(MPa) | ecu(10ˆ-3) | Ecm(GPa) |251 Betoes=[ 25 , -3.5 , 30.5 ; %C25/30252 30 , -3.5 , 32.0 ]; %C30/37253

254 % | fsyk(MPa) | esu(10ˆ-3) |255 Acos=[ 400 , 75 ; %A400256 500 , 75 ]; %A500257

258 %Betao259 for i=1:N.ElemC260 for j=1:3261

262 if j==1,alfa=(1/1.5)*10ˆ3;263 elseif j==2,alfa=10ˆ-3;264 elseif j==3,alfa=(1/1.5)*10ˆ6;265 end266

267 ElemC(i,j+3)=alfa*Betoes(ElemC(i,3),j);268

269 end270 end271

272 %Aco273 for i=1:N.ElemS274 for j=1:2

Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R© XXXIII

275

276 if j==1,alfa=(1/1.15)*10ˆ3;277 elseif j==2,alfa=10ˆ-3;278 end279

280 ElemS(i,j+3)=alfa*Acos(ElemS(i,3)-100,j);281 end282 ElemS(i,6)=ElemS(i,1);283 end284

285 end286

287 %-----------------------------------------------288 % Funcoes de Calculo289 %-----------------------------------------------290

291 function CorrigeArmaduras(i)292

293 global Opcoes N ElemS294

295 if Opcoes.nQArm>1296

297 intervalo=Opcoes.QArmmax-Opcoes.QArmmin;298 delta=intervalo/(Opcoes.nQArm-1);299 mult=(Opcoes.QArmmin+(i-1)*delta);300

301 for es=1:N.ElemS302 A=ElemS(es,6);303 A2=A*mult;304 ElemS(es,1)=A2;305 end306

307 end308

309 end310

311 function CalculaInfoCed()312

313 global Opcoes ElemC ElemS N Dados314

315 %Analiza qual a dist a fibra mais traccionada e qual a sua tensao de cedencia316 esyd=0;317 ysv=0;318 Nmax=0;319 As=0;320 for i=1:N.ElemS321 y=ElemS(i,2);322 fsy=ElemS(i,4);323 As=As+ElemS(i,1);324 if y>ysv325 ysv=y;326 esyd=fsy/200000000;327 esud=ElemS(i,5);328 end329 % Nmax=Nmax-fsy*ElemS(i,1);330 end331

332 %Calcula Esforco Axial Maximo e a distancia a fibra de betao mais comprimida333

334 ecud=0;335 ycv=0;336 Ac=0;337 for i=1:N.ElemC338 Nmax=Nmax-ElemC(i,1)*ElemC(i,4);339 y=ElemC(i,2);340 Ac=Ac+ElemC(i,1);341 if (sign(y)==-sign(ysv))&&(abs(y)>=abs(ycv))342 ycv=y;343 k=i;344 ecud=ElemC(i,5);345 end346 end347

XXXIV Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R©

348 if Opcoes.RCCed.Corr==1349 Ecm=ElemC(k,6)*1.5;350 fck=-ElemC(k,4)*1.5;351 ecfk=fck/Ecm;352 else353 ecfk=1;354 end355 %Constroi a Matriz de Transformacao356

357 %para a fibra de Aco358 MTs=[1,-ysv;0,1];359 %para a fibra de Betao360 MTc=[1,-ycv;0,1];361

362

363 %Calcula o esforcos axiais a partir dos quais a rotura e a cedencia se dao pelo betao364

365 %Cedencia366 Opcoes.CedouRot=1;367 Xc=(esyd-ecud)/(ysv-ycv);368 Ec=ecud-Xc*ycv;369 KEsf=Calcula_K_ESF(Ec,Xc);370 NCedCr=KEsf.N;371

372 %Rotura373 Opcoes.CedouRot=2;374 Xu=(esud-ecud)/(ysv-ycv);375 Eu=ecud-Xu*ycv;376 KEsf=Calcula_K_ESF(Eu,Xu);377 NRotCr=KEsf.N;378 Opcoes.CedouRot=1;379

380 %Calcula a Rigidez Inicial381 EI1=CalculaEI1();382

383 %Calcula Ro384 Ro=As/Ac;385

386 %Junta os resultados finais387 Dados.Nmax=Nmax;388 Dados.ecud=ecud;389 Dados.ecfk=ecfk;390 Dados.esyd=esyd;391 Dados.esud=esud;392 Dados.MTs=MTs;393 Dados.MTc=MTc;394 Dados.NCedCr=NCedCr;395 Dados.NRotCr=NRotCr;396 Dados.Xuv=Xu;397 Dados.EI1=EI1.EI1;398 Dados.I1=EI1.I1;399 Dados.Ro=Ro;400

401 end402

403 function CalculaCompRotPl()404

405 global Opcoes Dados406

407 L=Opcoes.LBarraR;408 fyk=Opcoes.fykRotula;409 dbL=Opcoes.dbL;410 Lp=0.1*L+0.015*fyk*dbL;411 Dados.Lp=Lp;412

413 Dados.CorrRot=Lp*(1-Lp/(2*L));414

415 end416

417 function [Res]=CalculoRotula(iQArm)418

419 global Opcoes Dados Axi Percent inictempo420

Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R© XXXV

421 nN=Opcoes.nN;422 MX.Curvs=zeros(1);423 MX.Moms=zeros(1);424 Param.N=zeros(1);425

426 Param.XCed=zeros(1);427 Param.AlfaLpy=zeros(1);428 Param.TCed=zeros(1);429 Param.MCed=zeros(1);430

431 Param.XRot=zeros(1);432 Param.TRot=zeros(1);433 Param.MRot=zeros(1);434

435 if Opcoes.NCal<=1&&Opcoes.NCal>0436 Opcoes.NCal=Dados.Nmax*Opcoes.NCal;437 elseif Opcoes.NCal>1438 Opcoes.NCal=-Opcoes.NCal;439 ’Esforco Axial Positivo Convertido para Negativo’ %#ok<NOPRT>440 end441

442 for n=1:nN443 if nN==1444 Axi=Opcoes.NCal;445 elseif nN>1446 Axi=(n-1)*Opcoes.NCal/(nN-1);447 % niu=Axi/Opcoes.NCal;448 end449

450 if Opcoes.TipoCalc==1451 ResCalculo=CalculaMX();452 x=ResCalculo.Curv;453 y=ResCalculo.Mom;454 MX.Curvs=[MX.Curvs,NaN,x];455 MX.Moms=[MX.Moms,NaN,y];456 else457 ResCalculo=CalculaParamDir();458 end459

460 %----- Calcula valores para a rotula plastica461

462 EI2=ResCalculo.MCed/ResCalculo.XCed;463

464 if Opcoes.RCCed.Corr==1&&Opcoes.TipoCalc==0465 MCed1=ResCalculo.MCed;466 MCed2=ResCalculo.MCedfck;467 MCed3=EI2*(ResCalculo.MRot-Opcoes.K2min*ResCalculo.XRot)/(EI2-Opcoes.K2min);468 MCed=min([MCed1,MCed2,MCed3]);469

470 if MCed==MCed1,’1’471 elseif MCed==MCed2,’2’472 elseif MCed==MCed3,’3’473 end474 XCed=MCed/EI2;475 else476 MCed=ResCalculo.MCed;477 XCed=ResCalculo.XCed;478 end479

480 if Opcoes.AlfaTCed==0481 xr=EI2/Dados.EI1;482 Alfa=(1/(1+0.08/xr)-xr)/3;483 else484 Alfa=Opcoes.AlfaTCed;485 end486

487 TCed=Alfa*Opcoes.LBarraR*XCed;488 TRot=TCed+((ResCalculo.XRot-XCed).*Dados.CorrRot)./Opcoes.GamaRp;489

490 %----- Escreve todos os parametros491 Param.N=[Param.N,Axi];492 Param.XCed=[Param.XCed,XCed];493 Param.AlfaLpy=[Param.AlfaLpy,Alfa];

XXXVI Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R©

494 Param.TCed=[Param.TCed,TCed];495 Param.MCed=[Param.MCed,MCed];496 Param.XRot=[Param.XRot,ResCalculo.XRot];497 Param.TRot=[Param.TRot,TRot];498 Param.MRot=[Param.MRot,ResCalculo.MRot];499

500 %----- Diz o progresso do programa501 if (n==1)&&(iQArm==1)502 Percent=0;503 inictempo=0;504 tempo=000;505 end506

507 progresso=(n/nN+iQArm-1)/Opcoes.nQArm;508 if (Opcoes.DPercent˜=0)&&(progresso>=Percent+Opcoes.DPercent)509 if inictempo,510 tempo=toc;511 else512 inictempo=1;513 end514 tic515 Percent=(progresso-mod(progresso,Opcoes.DPercent));516 Temporestante=(tempo*(1-Percent)/Opcoes.DPercent);517 [num2str(Percent*100),’% Concluido’,’ - Falta: ’,num2str((Temporestante-mod(Temporestante,60))/60),’m ’,num2str(mod(Temporestante,60)-mod(mod(Temporestante,60),1)),’s’] %#ok<NOPRT>518 end519

520 end521

522 Res.MX=MX;523 Res.Param=Param;524

525 end526

527 function [Res]=CalculaMX()528

529 global Opcoes Axi530

531 clear QN QM DUN DE DX Ei Xi Ef Xf Mom Curv Res532

533 dX=Opcoes.Discretizacao.dX;534 Tolerancia=Opcoes.Tolerancia;535

536 k=1;537 i=0;538 Curv(1)=0;539 Mom(1)=0;540

541 PontosNot.Rot=0;542 PontosNot.Ced=0;543

544

545 while PontosNot.Rot==0 %Ciclo de incrementos em k546 j=1;547 erro=Tolerancia+2;548

549 while abs(erro)>abs(Tolerancia) %Ciclo de iteracoes em j550

551 if j==1 %Primeir iteacao552 if k==1, %Primeiro incremento553 DUN(k,j)=Axi;%#ok<AGROW>554 DX(k,j)=dX;%#ok<AGROW>555 Ei(k,j)=0;%#ok<AGROW>556 Xi(k,j)=0;%#ok<AGROW>557 else558 DUN(k,j)=Axi-QN(k-1,i);%#ok<AGROW>559 DX(k,j)=dX;%#ok<AGROW>560 Ei(k,j)=Ef(k-1,i);%#ok<AGROW>561 Xi(k,j)=Xf(k-1,i);%#ok<AGROW>562 end563 i=1;564 else565 DUN(k,j)=Axi-QN(k,j-1);%#ok<AGROW>566 DX(k,j)=0;%#ok<AGROW>

Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R© XXXVII

567 Ei(k,j)=Ef(k,j-1);%#ok<AGROW>568 Xi(k,j)=Xf(k,j-1);%#ok<AGROW>569 i=j;570 end571

572 KEsf=Calcula_K_ESF(Ei(k,j),Xi(k,j));573 MatrizK=KEsf.K;574 DE(k,j)=(DUN(k,j)-MatrizK(1,2)*DX(k,j))/MatrizK(1,1);%#ok<AGROW>575

576 Ef(k,j)=Ei(k,j)+DE(k,j);%#ok<AGROW>577 Xf(k,j)=Xi(k,j)+DX(k,j);%#ok<AGROW>578

579 KEsf=Calcula_K_ESF(Ef(k,j),Xf(k,j));580 QN(k,j)=KEsf.N;%#ok<AGROW>581 QM(k,j)=KEsf.M;%#ok<AGROW>582

583 %Verifica se a seccao atingiu a cedencia584 if (PontosNot.Ced==0)&&(KEsf.CedS==1)585 PontosNot.Ced=1;586 if KEsf.CedS==1 %Cedencia pelo Aco587 dX=dX*Opcoes.Discretizacao.MultCed;588 end589 Res.XCed=Xf(k,j);590 Res.MCed=QM(k,j);591 end592

593

594 %Verifica se a seccao atingiu a rotura595

596 if (KEsf.RotS==1)||(KEsf.RotC==1)597 PontosNot.Rot=1;598 erro=0;599 Res.XRot=Xf(k-1,j);600 Res.MRot=QM(k-1,j);601 if PontosNot.Ced==0602 Res.XCed=Res.XRot;603 Res.MCed=Res.MRot;604 end605 else606 erro=QN(k,j)-Axi;607 j=j+1;608 end609 end610

611 if PontosNot.Rot==0612 Curv(k+1)=Xf(k,i);%#ok<AGROW>613 Mom(k+1)=QM(k,i);%#ok<AGROW>614 end615

616 k=k+1;617

618 end619

620 Res.Mom=Mom;621 Res.Curv=Curv;622

623 end624

625 function [Res]=CalculaParamDir()626

627 global Opcoes Axi Dados628

629 alfa=1-Opcoes.TolExtRot;630 vel=0.87;631 CR=1;632 contador=1;633 % Opcoes.BetLin=Opcoes.BetLinear;634

635 while CR<=2636

637 %Dados para inicio do processo638

639 if CR==1 %Parametros de Cedencia

XXXVIII Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R©

640 Opcoes.CedouRot=1;641 if (Axi>=Dados.NCedCr)&&(contador==1)642 eyd=Dados.esyd;643 MT=Dados.MTs;644 %’CedAco’645 else646 if contador==1647 eyd=alfa*Dados.ecud;648 elseif contador==2649 eyd=Dados.ecfk;650 end651 MT=Dados.MTc;652 %’CedBetao’653 end654 DUNaux=Axi;655 DEvaux=eyd;656 Eivaux=0;657 Xivaux=0;658

659 elseif CR==2 %Parametros de Rotura660 Opcoes.CedouRot=2;661 if Axi>=Dados.NRotCr662 eyd=alfa*Dados.esud;663 MT=Dados.MTs;664 DUNaux=0;665 DEvaux=0;666 Eivaux=eyd;667 Xivaux=Dados.Xuv;668 ’RotAco’669 else670 eyd=alfa*Dados.ecud;671 MT=Dados.MTc;672 DUNaux=Axi;673 DEvaux=eyd;674 Eivaux=0;675 Xivaux=0;676 % ’RotBetao’677 end678 end679

680 %Resto do calculo681

682 Tolerancia=Opcoes.Tolerancia;683 j=1;684 erro=Tolerancia+1;685

686 while abs(erro)>abs(Tolerancia) %Ciclo de iteracoes em j687 if j==1 %Primeira iteacao688 DUN(1,j)=DUNaux; %#ok<AGROW>689 DEv(1,j)=DEvaux;%#ok<AGROW>690 Eiv(1,j)=Eivaux;%#ok<AGROW>691 Xiv(1,j)=Xivaux;%#ok<AGROW>692 else693 DUN(1,j)=Axi-QN(1,j-1);%#ok<AGROW>694 DEv(1,j)=0;%#ok<AGROW>695 Eiv(1,j)=Efv(1,j-1);%#ok<AGROW>696 Xiv(1,j)=Xfv(1,j-1);%#ok<AGROW>697 end698 Vi=[Eiv(1,j),Xiv(1,j)];699 Ui=MT*Vi’;700 Ei=Ui(1);701 Xi=Ui(2);702 KEsf=Calcula_K_ESF(Ei,Xi);703 MatrizK=KEsf.K;704 MatrizKv=MT’*MatrizK*MT;705 DXv(1,j)=(DUN(1,j)-MatrizKv(1,1)*DEv(1,j))/MatrizKv(1,2);%#ok<AGROW>706 Efv(1,j)=Eiv(1,j)+DEv(1,j);%#ok<AGROW>707 Xfv(1,j)=Xiv(1,j)+vel*DXv(1,j);%#ok<AGROW>708

709 Vf=[Efv(1,j),Xfv(1,j)];710 Uf=MT*Vf’;711 Ef(j)=Uf(1);%#ok<AGROW>712 Xf(j)=Uf(2);%#ok<AGROW>

Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R© XXXIX

713 KEsf=Calcula_K_ESF(Ef(j),Xf(j));714 QN(1,j)=KEsf.N;%#ok<AGROW>715 QM(1,j)=KEsf.M;%#ok<AGROW>716 erro=QN(1,j)-Axi;717 j=j+1;718

719 end720

721 if CR==1 %Parametros de Cedencia722 if Opcoes.RCCed.Corr==0723 Res.XCed=Xf(j-1);724 Res.MCed=QM(j-1);725 CR=2;726 elseif Opcoes.RCCed.Corr==1727 if contador==1728 Res.XCed=Xf(j-1);729 Res.MCed=QM(j-1);730 contador=2;731 CR=1;732 elseif contador==2733 Res.MCedfck=QM(j-1);734 CR=2;735 if KEsf.RotS==1736 Res.MCedfck=Res.MCed+1;737 end738 end739 end740 elseif CR==2 %Parametros de Rotura741 Res.XRot=Xf(j-1);742 Res.MRot=QM(j-1);743 CR=3;744 end745 end746

747 Opcoes.CedouRot=1;748

749 end750

751 function [Res]=Calcula_K_ESF(Ei,Xi)752

753 global N ElemC ElemS754

755 clear TE Res756

757 Res.CedC=0;758 Res.CedS=0;759 Res.RotC=0;760 Res.RotS=0;761

762 K11=0;763 K12=0;764 K22=0;765 EN=0;766 EM=0;767

768 for ec=1:N.ElemC769 A=ElemC(ec,1);770 z=ElemC(ec,2);771

772 extensao=Ei+Xi*z;773 TE=TensaoC(extensao,ec);774 Tc=TE.T;775 Ect=TE.E;776

777 K11=K11+Ect*A;778 K12=K12+Ect*z*A;779 K22=K22+Ect*zˆ2*A;780

781 EN=EN+Tc*A;782 EM=EM+Tc*z*A;783

784 if Res.CedC==0785 Res.CedC=TE.Ced;

XL Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R©

786 end787 if TE.Rot788 Res.RotC=1;789 % break;790 end791

792 end793

794 for es=1:N.ElemS795 A=ElemS(es,1);796 z=ElemS(es,2);797

798 extensao=Ei+Xi*z;799 TE=TensaoS(extensao,es);800 Ts=TE.T;801 Est=TE.E;802

803 K11=K11+Est*A;804 K12=K12+Est*z*A;805 K22=K22+Est*zˆ2*A;806

807 EN=EN+Ts*A;808 EM=EM+Ts*z*A;809

810 if Ts>0&&Res.CedS==0811 Res.CedS=TE.Ced;812 end813 if TE.Rot814 Res.RotS=1;815 % break;816 end817

818 end819

820 Res.K=[K11,K12;K12,K22];821 Res.N=EN;822 Res.M=EM;823

824 end825

826 function [Res]=CalculaEI1()827

828 global Opcoes N ElemC829 clear TE Res830 EI1=0;831

832 if Opcoes.RCCed.T0==1||Opcoes.RC.T1==1833 xaux=1.5;834 elseif Opcoes.RCCed.T0==2||Opcoes.RC.T1==2835 xaux=1.1*1.5;836 elseif Opcoes.RCCed.T0==3||Opcoes.RC.T1==3837 xaux=1.1;838 elseif Opcoes.RC.T1==4839 xaux=0.85;%Valor Aproximado840 end841

842 for ec=1:N.ElemC843 A=ElemC(ec,1);844 z=ElemC(ec,2);845 Ect=xaux*ElemC(ec,6);846 EI1=EI1+Ect*zˆ2*A;847 end848

849 Res.EI1=EI1;850 Res.I1=EI1/Ect;851

852 % KEsf0=Calcula_K_ESF(0,0);853 % MatK0=KEsf0.K;854 % Dados.EI1=MatK0(2,2);855 end856

857 %-----------------------------------------------858 % Funcoes [sigma,Et] = f(extensao)

Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R© XLI

859 %-----------------------------------------------860

861 function [Res]=TensaoC(Extensao,Elemento)862

863 global ElemC Opcoes864 clear Res865

866 Res.Ced=0;867 Res.Rot=0;868

869 %Define a Relacao Constitutiva a usar a partir das Opcoes870 if Opcoes.CedouRot==1871 if Opcoes.TipoCalc==0872 TipodeRC=Opcoes.RCCed.T0;873 elseif Opcoes.TipoCalc==1874 TipodeRC=Opcoes.RC.T1;875 end876 elseif Opcoes.CedouRot==2877 if Opcoes.TipoCalc==0878 TipodeRC=Opcoes.RCRot.T0;879 elseif Opcoes.TipoCalc==1880 TipodeRC=Opcoes.RC.T1;881 end882 end883

884 %Calcula os valores iniciais dos KETAs885 if TipodeRC==2||TipodeRC==3886 fck=round(ElemC(Elemento,4)*1.5/1000);887 if TipodeRC==2 %KETAm888 AuxE=1.5;889 if fck==25890 Auxf=1.98;891 ec1=-2.1E-3;892 elseif fck==30893 Auxf=1.9;894 ec1=-2.2E-3;895 end896 elseif TipodeRC==3 %KETAd897 AuxE=1.0;898 Auxf=1.0;899 if fck==25900 ec1=-2.1E-3;901 elseif fck==30902 ec1=-2.2E-3;903 end904 end905 fc=-Auxf*ElemC(Elemento,4);906 Ec0=AuxE*1.1*ElemC(Elemento,6);907 end908

909 %Calcula a Tensao e o Modulo de Elasticidade910 %Relacao Linear911 if TipodeRC==1912 if Extensao>0913 Tensao=0;914 Ect=0;915 else916 Ect=1.5*ElemC(Elemento,6);917 Tensao=Extensao*Ect;918 end919

920 %Relacao KETA921 elseif TipodeRC==2||TipodeRC==3922 ecu=ElemC(Elemento,5);923 if Extensao>0924 Tensao=0;925 Ect=0;926 elseif abs(Extensao) > abs(ecu);927 Tensao=0;928 Ect=0;929 Res.Rot=1;930 else931 K=Ec0*ec1/fc;

XLII Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R©

932 Eta=Extensao/ec1;933

934 alfa=(K*Eta-Etaˆ2)/(1+(K-2)*Eta);935 Tensao=fc*alfa;936 Ect=(fc/ec1)*(K-2*Eta-(K-2)*Etaˆ2)/((1+(K-2)*Eta)ˆ2);937 end938

939 %Relacao Parabola-Rectangulo940 elseif TipodeRC==4941 ecu=ElemC(Elemento,5);942 ec2=-2.0E-3;943 fc=-ElemC(Elemento,4);944

945 if Extensao>0946 Tensao=0;947 Ect=0;948 elseif abs(Extensao) > abs(ecu)949 Tensao=0;950 Ect=0;951 Res.Rot=1;952 elseif abs(Extensao) > abs(ec2)953 Tensao=fc;954 Ect=0;955 else956 Tensao=fc*(1-(1-Extensao/ec2)ˆ2);957 Ect=(2*fc/ec2)*(1-Extensao/ec2);958 end959 %parabola rectangulo960

961 end962 Res.T=Tensao;963 Res.E=Ect;964

965 end966

967 function [Res]=TensaoS(Extensao,Elemento)968

969 global ElemS970 clear Res971

972 Res.Ced=0;973 Res.Rot=0;974

975 fsy=ElemS(Elemento,4);976 E0=200000000; %Kpa977 esy=fsy/E0;978 esu=ElemS(Elemento,5);979

980 ext=abs(Extensao);981 sinal=sign(Extensao);982

983 if ext > esu984 Tensao=0;%fsy*sinal;%Mudanca de zero985 Est=0;986 Res.Rot=1;987

988 elseif ext >= esy989 Tensao=fsy*sinal;990 Est=0;991 Res.Ced=1;992

993 else % 0 < ext < esy994 Tensao=E0*Extensao;995 Est=E0;996

997 end998

999 Res.T=Tensao;1000 Res.E=Est;1001

1002 end1003

1004 %-----------------------------------------------

Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R© XLIII

1005 % Funcoes Varias1006 %-----------------------------------------------1007

1008 function TesteOpcoes()1009


1012 % Opcoes.BetLin=Opcoes.BetLinear;1013

1014 Opcoes.CedouRot=1;1015 if Opcoes.RCCed.T0==41016 ’Parabola Rectangulo nao e adequado para calculo do momento de cedencia’ %#ok<NOPRT>1017 ParaPrograma;1018 end1019

1020 if Opcoes.TipoCalc==1&&(Opcoes.MododeApresentacao==2||Opcoes.MododeApresentacao==3)1021 strvcat(’Esta a calcular atraves de um metodo menos economico, considere colocar Opcoes.TipoCalc=0’,’ ’) %#ok<VCAT>1022 if Opcoes.nN>101023 strvcat(’-ATENcaO! O numero de esforcos axiais considerados e maior que 10 o que pode significar um tempo de calculo elevado’,’A alterar a percentagem de apresentacao para 5%’,’ ’) %#ok<VCAT>1024 Opcoes.DPercent=0.05;1025 end1026 strvcat(’-Para terminar o programa faca Ctrl+c’) %#ok<VCAT>1027 end1028

1029 if Opcoes.MododeApresentacao==11030 if Opcoes.TipoCalc==01031 strvcat(’Esta a tentar utilizar um tipo de calculo incompativel com a apresentacao dos dados pedida’,’A alterar o valor de "Opcoes.TipoCalc" de 0 para 1’,’ ’) %#ok<VCAT>1032 Opcoes.TipoCalc=1;1033 end1034 if Opcoes.nN>101035 strvcat(’-ATENcaO! O numero de esforcos axiais considerados e maior que 10 o que pode significar um tempo de calculo elevado’,’A alterar a percentagem de apresentacao para 5%’,’ ’) %#ok<VCAT>1036 Opcoes.DPercent=0.05;1037 end1038 if Opcoes.nQArm>11039 strvcat(’Esta a tentar utilizar varias percentagens de armadura o que e incompativel com a apresentacao dos dados pedida’,’A alterar o valor de "Opcoes.nQArm" para 1’,’ ’) %#ok<VCAT>1040 Opcoes.nQArm=1;1041 end1042 if Opcoes.TipoCalc==0||Opcoes.nN>10||Opcoes.nQArm>11043 strvcat(’-Para terminar o programa faca Ctrl+c’) %#ok<VCAT>1044 end1045 end1046

1047 if Opcoes.MododeApresentacao==51048 if Opcoes.AlfaTCed˜=01049 strvcat(’Esta a tentar utilizar um Alfa constante o que e incompativel com a apresentacao dos dados pedida’,’A alterar o valor de "Opcoes.AlfaTCed" para 0’,’ ’) %#ok<VCAT>1050 Opcoes.AlfaTCed=0;1051 end1052 if Opcoes.XouTeta==01053 strvcat(’Esta a tentar utilizar curvaturas em vez de rotacoes o que e incompativel com a apresentacao dos dados pedida’,’A alterar o valor de "Opcoes.XouTeta" de 0 para 1’,’ ’) %#ok<VCAT>1054 Opcoes.XouTeta=1;1055 end1056 if Opcoes.AlfaTCed˜=0||Opcoes.XouTeta==01057 strvcat(’-Para terminar o programa faca Ctrl+c’) %#ok<VCAT>1058 end1059 end1060

1061 if Opcoes.MododeApresentacao==61062 if Opcoes.nN>11063 strvcat(’Para a apresentacao dos dados pedida so faz sentido utilizar um valor de esforco axial’,’A alterar o valor de "Opcoes.nN" para 1’,’ ’) %#ok<VCAT>1064 Opcoes.nN=1;1065 end1066 end1067

1068 end1069

1070 function MostraDados(Resultados)1071


1074 a=Opcoes.MododeApresentacao;1075

1076 if a==3||a==4||a==51077 if Opcoes.XouTeta

XLIV Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R©

1078 TCed=Resultados.Param.TCed;1079 TRot=Resultados.Param.TRot;1080 Alfa=Resultados.Param.AlfaLpy;1081 else1082 TCed=Resultados.Param.XCed;1083 TRot=Resultados.Param.XRot;1084 end1085 end1086

1087 if a==1 %Diagrama M=f(X)1088 x=Resultados.MX.Curvs;1089 y=Resultados.MX.Moms;1090

1091 elseif a==2 %Diagrama niu=f(MCed,MRot)1092 x=[Resultados.Param.MCed,NaN,Resultados.Param.MRot];1093 y=[Resultados.Param.N,NaN,Resultados.Param.N]./Dados.Nmax;1094

1095 elseif a==3 %Diagrama niu=f(XCed,XRot)1096 x=[TCed,NaN,TRot];1097 y=[Resultados.Param.N,NaN,Resultados.Param.N]./Dados.Nmax;1098

1099 elseif a==4 %Diagrama (MCed,MRot)=f(XCed,XRot)1100 comp=length(Resultados.Param.XCed);1101 x=0;1102 y=0;1103 for i=2:comp1104 cadanx=[0,TCed(i),TRot(i),NaN];1105 cadany=[0,Resultados.Param.MCed(i),Resultados.Param.MRot(i),NaN];1106 x=[x,cadanx]; %#ok<AGROW>1107 y=[y,cadany]; %#ok<AGROW>1108 end1109

1110 elseif a==5 %Diagrama niu=f(Alfa)1111 x=Alfa;1112 y=(Resultados.Param.N)./Dados.Nmax;1113

1114 elseif a==6 %Todos os parametros relevantes1115 Gr=ploterro();1116 x=Gr.x;1117 y=Gr.y;1118 Opcoes.EscX=0;1119 Opcoes.EscY=0;1120

1121 Parametros=ArranjaParametros(Resultados,1);1122 Parametros %#ok<NOPRT>1123 end1124

1125 plot([x,NaN,Opcoes.EscX],[y,NaN,Opcoes.EscY])1126 ’Terminado’ %#ok<NOPRT>1127

1128 end1129

1130 function EscreveDados(Resultados)1131


1134 a=Opcoes.MododeApresentacao;1135

1136 if a==11137 x=Resultados.MX.Curvs;1138 y=Resultados.MX.Moms;1139 x=x(3:length(x));1140 y=y(3:length(y));1141 Escreve([x;y],’MomentoCurvatura’)1142 elseif a==21143 ’Nao escreveu nada’ %#ok<NOPRT>1144 elseif a==31145 ’Nao escreveu nada’ %#ok<NOPRT>1146 elseif a==41147 ’Nao escreveu nada’ %#ok<NOPRT>1148 elseif a==51149 Dados=Resultados(1).Param.N./Dados.Nmax;1150 for i=1:Opcoes.nQArm

Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R© XLV

1151 Dados=cat(1,Dados,Resultados(i).Param.AlfaLpy);1152 Dados(i+1,1)=Opcoes.QArmmin+(i-1)*(Opcoes.QArmmax-Opcoes.QArmmin)/(Opcoes.nQArm-1);1153 end1154 Escreve(Dados’,’Alfas’)1155 elseif a==61156 Parametros=ArranjaParametros(Resultados,2);1157 Escreve(Parametros,’Parametros da rotula’);1158 end1159

1160 end1161

1162 function [Parametros]=ArranjaParametros(Resultados,tipo)1163

1164 global Dados Opcoes1165

1166 if tipo==11167 Parametros.niu=Resultados.Param.N(2)/Dados.Nmax;1168 Parametros.Area=Dados.Area;1169 Parametros.XCed=Resultados.Param.XCed(2);1170 Parametros.XRot=Resultados.Param.XRot(2);1171 Parametros.MCed=Resultados.Param.MCed(2);1172 Parametros.MRot=Resultados.Param.MRot(2);1173 Parametros.AlfaCed=Resultados.Param.AlfaLpy(2);1174 Parametros.AlfaRot=Dados.Lp/Opcoes.LBarraR;1175 Parametros.L=Opcoes.LBarraR;1176 Parametros.TCed=Resultados.Param.TCed(2);1177 Parametros.TRot=Resultados.Param.TRot(2);1178 Parametros.KLinear=Parametros.MCed/Parametros.TCed;1179 Parametros.KPosCedencia=(Parametros.MRot-Parametros.MCed)/(Parametros.TRot-Parametros.TCed);1180 Parametros.RelacaoDosK=Parametros.KPosCedencia/Parametros.KLinear;1181 Parametros.I=Dados.I1;1182 Parametros.Ro=Dados.Ro;1183 else1184 Parametros(1)=Resultados.Param.N(2)/Dados.Nmax;1185 Parametros(2)=Dados.Area;1186 Parametros(3)=Resultados.Param.XCed(2);1187 Parametros(4)=Resultados.Param.XRot(2);1188 Parametros(5)=Resultados.Param.MCed(2);1189 Parametros(6)=Resultados.Param.MRot(2);1190 Parametros(7)=Resultados.Param.AlfaLpy(2);1191 Parametros(8)=Dados.Lp/Opcoes.LBarraR;1192 Parametros(9)=Opcoes.LBarraR;1193 Parametros(10)=Resultados.Param.TCed(2);1194 Parametros(11)=Resultados.Param.TRot(2);1195 Parametros(12)=Parametros(5)/Parametros(10);1196 Parametros(13)=(Parametros(6)-Parametros(5))/(Parametros(11)-Parametros(10));1197 Parametros(14)=Parametros(13)/Parametros(12);1198 Parametros(15)=Dados.I1;1199 Parametros(16)=Dados.Ro;1200 end1201

1202 end1203

1204 function Escreve(DADOS,Nome)1205


1208 sdesl=size(DADOS);1209 ncol=sdesl(1); %NOTA-Na realidade sdesl(1) representao o numero de linhas, mas como a matriz vai ser transposta ao escrever, no resultado do ficheiro sera o numero de colunas1210 totcol=’’;1211 for i=1:ncol1212 totcol=[totcol,’%g ’]; %#ok<AGROW>1213 if i==ncol1214 totcol=strcat(totcol,’\n’);1215 end1216 end1217 Nome=[’Resultados/’,Nome,’ - ’,Opcoes.NomeSec,’.txt’];1218 fid=fopen(Nome,’wt’);1219 fprintf(fid,totcol, DADOS);1220 fclose(fid);1221

1222 end1223

XLVI Anexo D. Programa de Calculo para a Analise de Seccoes em MATLAB R©

1224 function [Res]=ploterro()1225

1226 Res.x=[-1,NaN,-1,NaN,10,NaN,10,NaN,0,0,2,2,NaN,4,4.25,4.5,4.75,5,NaN,4.25,4.75,NaN,7,7,9,9];1227 Res.y=[-1,NaN,5,NaN,-1,NaN,5,NaN,0,4,0,4,NaN,0,1,2,1,0,NaN,1,1,NaN,0,4,0,4];1228

1229 end

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Engenharia Civil - Autenticação...v Resumo Pontes sujeitas a ac˘c~ao s smica podem formar r otulas pl asticas nos pilares conduzindo a valores de esfor˘cos inferiores aos el asticos