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MODELOS MATEMTICOS APLICADOS AO ENSAIO DE RELAXAO DE TENSES

Prof. Levi de Oliveira Bueno

RELAXAO DE TENSO EM MATERIAIS METLICOS Dieter G.- Metalurgia Mecnica, no Cap. 13, apresenta um modelo matemtico para descrever o comportamento de materiais metlicos sob condies de teste de relaxao de tenso. Considere que: t = el + pl Onde el a parcela elstica da deformao imposta no incio do teste e pl a parcela plstica dessa deformao;. Diferenciando a Eq. 1 em relao ao tempo, e lembrando que a condio de teste para o ensaio de relaxao de tenso d/dt = 0 ( a deformao mantida constante), temos: del /dt = - dpl /dt O comportamento de deformao elstica dos metais pode ser representado pela lei de Hooke, e admitindo-se uma relao potencial entre a taxa de deformao plstica e a tenso ( fenmeno de fluncia), temos: el = / E dpl /dt = B. n Obsv.: no confundir esse expoente n ( sensibilidade da taxa de deformao com a tenso) com o expoente de encruamento n ( sensibilidade da tenso com a deformao, = K n ) Levando-se as relaes acima Equao 2 (1/E) (d /dt) = - B. n d /dt = - BE. n

fazendo a integral dessa expresso: d / n = - B.E dt e colocando-se a condio inicial do ensaio de relaxao de tenso ( t = 0 = o ), obtemos uma relao entre o tempo e tenso, dada por: 1/ n- 1 = 1/o n - 1 + B E (n -1).t ou 1- n = o 1-n - B E ( 1- n ).t

com 1/p = 1- n = BE / p O fenmeno de relaxao de tenso pode ser analisado com o ajuste dessa funo no-linear diretamente aos dados experimentais da variao da tenso em funo do tempo. Um programa de computador determinaria os melhores valores de a e p que ajustaria a Equao 3a. aos dados experimentais.

= ( o1/p - . t ) p ....................................................... Eq. 3a

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O estudo tambm pode ser feito , considerando-se a equao em sua forma derivada : d /dt = - BE. n

Podemos analisar o fenmeno fazendo o logartimo dos dois membros dessa equao. No entanto, como as velocidades de relaxao so sempre negativas, temos que tomar o mdulo de d/dt , uma vez que no existe logartimo de nmero negativo: d/dt = BE. n

Log (d /dt) = Log (BE) + n Log

com A1 = Log (BE ) e A2 = n

RELAXAO DE TENSO EM POLMEROS:

a) Modelo de Maxwell :

Mola : = E . Amortecedor : = .(d/dt) = e + v 1 = 2 = d = d/E + (/)dt d/dt = (1/E) . (d/dt) + / = 0 (Condio do ensaio de relaxao)

Log (d/dt) = A1 + A2. Log Eq. 3b

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(d/dt) + (E/) = 0 Equao diferencial de soluo igual a: = . exp(-E .t/) Definindo = /E, e considerando que para t = 0 = o

onde: = / E = tempo de relaxao do sistema = coeficiente de viscosidade E = mdulo elstico do material Neste caso, fazendo a linearizao da expresso (1), temos:

Verifica-se a validade do modelo, se os dados se ajustarem a uma reta quando plotados na forma Ln x t, sendo a inclinao da reta igual a 1/ . b) Modelo de Kelvin-Voight

t (tempo, s)

(tenso, MPa)

= 0 para t

Ln ( , MPa)

t (s)

1 /

Ln o

= o . exp (- t / ) Eq. 1a

Ln = Ln o - t / Eq. 1b

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1 = E . 2 = .(d/dt) 1 = 2 = = 1 + 2

= E . + .(d/dt) Para ensaio de relaxao de tenso, (d /dt) = 0 = E . O modlo no se aplica ao ensaio de Relaxao de Tenso ! c) Modelo do slido Linear Padro

Este modelo tem a seguinte expresso para relaxao de tenso:

onde r = Em . Ea . o (Em+Ea) = m / (Ea + Em) Observar que neste caso: quando t = 0 = = R + o Neste caso preciso derivar a expresso:

d / d t = - ( o / ) . exp ( - t / ) ou d / d t = ( o / ) . exp ( - t / ) Eq. 2b e ento, linearizando :

e construindo-se um grfico Ln ( |d / d t| ) x t , ser obtida uma reta com coeficiente angular igual a 1 / , se o modelo for vlido.

= R + o . exp (- t / ) Eq. 2a

Ln ( d / d t ) = Ln ( o / ) - t / Eq. 2c

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d) Modelos mais realistas: modelos combinados Surgem pela combinao de vrios modelos, em srie ou em paralelo, para explicar o fenmeno de viscoelasticidade dos polmeros.

t (tempo, s) t (s)

(tenso, MPa)

= R para t

Ln ( d/dt, MPa / s)

1 /

R

Ln ( / )

o = o - R

Associao de 3 elementos S.L.P. em paralelo

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Podemos calcular os valores da interseco e inclinao de cada uma dessas retas e termos aproximadamente os valores de o e de cada mecanismo. Os valores no so rigorosamente corretos pois em cada trecho o domnio de um certo mecanismo no total . O fenmeno de relaxao de tenso para a associao de 3 modelos Maxwell em paralelo, por exemplo regido pela seguinte expresso matemtica: = o1. EXP (- t / 1) + o2. EXP (- t / 2) + o3. EXP (- t / 3)...............Eq.3a Nota-se que a simples aplicao do logartimo neperiano esta equao, no consegue abrir a soma dos termos da expresso, linearizando-a, como no caso de um modelo simples. J o fenmeno de relaxao de tenso para a associao de 3 modelos S.L.P. em paralelo, por exemplo, regido pela seguinte expresso matemtica: = R + o1. EXP (- t / 1) + o2. EXP (- t / 2) + o3. EXP (- t / 3)........Eq.3b A derivada desta expresso dada por: (d/dt) = - (o1 / 1).EXP (- t / 1) - (o2/ 2).EXP (- t / 2) - (o3/ 3).EXP (- t /3).... ....... Eq. 3c

t

mecanismo 1

mecanismo 2

mecanismo 3

Ln ou Ln d/dt No caso do fenmeno de relaxao de tenso pode-se imaginar a ocorrncia de mecanismos operando em paralelo baseados nos

modelos de Maxwell ou do S.L.P. )

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Percebe-se que o Ln dessa expresso tambm no corresponde ao Ln de cada um dos termos da expresso separadamente. Isso s seria correto se quando um mecanismo estivesse operando os outros no operassem absolutamente, o que no ocorre na realidade, pois o domnio de cada mecanismo no total. Dessa forma quando se avalia os valores de o e , a partir dos trechos que retos de cada setor do grfico, pode-se cometer algum erro. A anlise mais correta de dados de relaxao de tenso, considerando-se esta associao de 3 modelos S.L.P. obtida quando se faz o ajuste matemtico da prpria Equao 3a aos dados experimentais, usando-se um programa de ajuste de funes no-lineares pelo mtodo dos mnimos quadrados, como o caso do Origin, por exemplo. No entanto, quando se considera a reta referente ao ltimo mecanismo ( que o mais lento de todos) na anlise do grfico Ln ou Ln (d / dt) em funco de t , os valores encontrados para e o se aproximam bastante do valores deste mecanismo atuando isoladamente, pois nos estgios finais do processo de relaxao, os mecanismos anteriores ( mais rpidos) j praticamente se extinguiram.