ndice - MatemticaNMEROS NATURAIS 03FRAES 04DIVISIBILIDADE 05GABARITO COMENTADO 1 44GABARITO COMENTADO 2 47..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................PORCENTAGEM 20REA DAS FIGURAS PLANAS 20MEDIDAS DE SUPERFCIE 20MEDIDAS DE MASSA 24MEDIDAS DE TEMPO 25MEDIDAS DE COMPRIMENTO 25SEMELHANAS 28JUROS SIMPLES 28JUROS COMPOSTOS 29NMEROS PRIMOS 06MXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) 07MNIMO MLTIPLO COMUM (M.M.C.) 08EQUAES DE 1 GRAU (com uma varivel) 08EQUAES DE 1 GRAU (com duas variveis) 10INEQUAES DE 1 GRAU 12RADICIAO 12RAZES 13PROPORES 15GRANDEZAS 17REGRA DE TRS SIMPLES 18REGRA DE TRS COMPOSTA 19MEDIDAS DE VOLUME 21MEDIDAS DE CAPACIDADE 22EQUAES DE 2 GRAU 22MDIAARITMTICA SIMPLES 27MDIA PONDERADA 27RAZES TRIGONOMTRICAS 27SISTEMA MONETRIO NACIONAL 29ANLISE COMBINATORIA 30PROBABILIDADE 31FUNES 32PROGRESSES ARITMTICAS 36PROGRESSES GEOMTRICAS 37GEOMETRIA ANALTICA 38PROVA SIMULADA 1 43PROVA SIMULADA 2 46NMEROS NATURAISO conjunto dos nmeros naturais representado pela letramaiscula N e estes nmeros so construdos com os algarismos:, , , , , , , , , .Embora o zero no seja um nmero natural no sentido quetenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremosconsider-lo como um nmero natural uma vez que ele tem asmesmas propriedades algbricas que os nmeros naturais.Na sequncia consideraremos que os naturais tmincio comonmero zero e escreveremos este conjunto como:Representaremos o conjunto dos nmeros naturais coma letra. As reticncias (trs pontos) indicam que este conjunto no temfim. umconjunto cominfinitos nmeros.Excluindo o zero do conjunto dos nmeros naturais, o conjuntoser representado por:Todo nmero natural dado tem um sucessor (nmero que vemdepois do nmero dado), considerando tambmo zero.Exemplos: Seja umnmero natural.a) Osucessor de m m+1.b) Osucessor de 0 1.c) Osucessor de 1 2.d) Osucessor de 19 20.Seumnmeronatural sucessordeoutro, entoosdoisnmeros juntos so chamados nmeros consecutivos.Exemplos: a) 1 e 2 so nmeros consecutivos.b) 5 e 6 so nmeros consecutivos.c) 50 e 51 so nmeros consecutivos.Vriosnmerosformamumacoleodenmerosnaturaisconsecutivos se o segundo sucessor do primeiro, o terceiro sucessor do segundo, o quarto sucessor do terceiro e assimsucessivamente.Exemplos: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 so consecutivos.b) 5, 6 e 7 so consecutivos.c) 50, 51, 52 e 53 so consecutivos.Todo nmero natural dado , exceto o zero, tem um antecessor(nmero que vemantes do nmero dado).Exemplos: Se umnmero natural finito diferente de zero.Oantecessor do nmero m m-1.Oantecessor de 2 1.Oantecessor de 56 55.Oantecessor de 10 9.Oconjuntoabaixoconhecidocomooconjuntodosnmerosnaturais pares. Embora uma seqncia real seja um outro objetomatemticodenominadofuno, algumasvezesutilizaremosadenominao sequncia dos nmeros naturais pares pararepresentar o conjunto dos nmeros naturais pares:Oconjuntoabaixoconhecidocomooconjuntodosnmerosnaturais mpares, s vezes tambm chamado, a sequncia dosnmeros mpares.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}NNN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}AConstruodosNmeros Naturais1 -m2 -3 -4 - nma)b)c)d)P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}Igualdadee DesigualdadesOperaes comNmeros NaturaisDiremos que um conjunto A igual a um conjunto B se, e somentese, o conjunto A est contido no conjunto B e o conjunto B estcontido no conjunto A. Quando a condio acima for satisfeita,escreveremos A=B (l-se: A igual a B) e quando no for satisfeitadenotaremos tal fatopor:(l-se: A diferente de B). Na definio de igualdade de conjuntos,vemos que no importante a ordemdos elementos no conjunto.Na sequncia, estudaremos as duas principais operaespossveis no conjunto dos nmeros naturais. Praticamente, toda aMatemtica construda a partir dessas duas operaes: adio emultiplicao.A adio no conjunto dos nmeros naturais fechada, pois a soma de dois nmeros naturais ainda umnmeronatural. Ofatoqueaoperaodeadiofechadaem conhecido na literatura do assunto como: A adio uma lei decomposio interna no conjunto .A = BPropriedadesdaAdio1 - Fechamento:NNMatemtica2 - Associativa: A adio no conjunto dos nmeros naturais associativa, pois na adio de trs ou mais parcelas de nmerosnaturais quaisquer possvel associar as parcelas de quaisquermodos, ou seja, com trs nmeros naturais, somando o primeirocomosegundoeaoresultadoobtidosomarmosumterceiro,obteremos um resultado que igual soma do primeiro com asoma do segundo e o terceiro.mnm + n3 - Elemento neutro: No conjunto dos nmeros naturais, existe oelemento neutro que o zero, pois tomando um nmero naturalqualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultadoser o prprio nmero natural.A + B + C=A + B + C4 - Comutativa: No conjunto dos nmeros naturais, a adio comutativa, pois a ordem das parcelas no altera a soma, ou seja,somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos omesmoresultadoquesesomandoasegundaparcelacomaprimeira parcela.m + n=n + m+= +=1.2 MultiplicaodeNmeros Naturais a operao que tem por finalidade adicionar o primeiro nmerodenominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas so asunidades do segundo nmero denominado multiplicador.Exemplo: 4 vezes 9 somar o nmero 9 quatro vezes:O resultado da multiplicao denominado produto e os nmerosdados que geraram o produto, so chamados fatores. Usamos osinal ou ou x, para representar a multiplicao.A multiplicao fechada no conjunto dosnmerosnaturais, poisrealizandooprodutodedoisoumaisnmeros naturais, o resultado estar em . O fato que a operaodemultiplicaofechadaem conhecidonaliteraturadoassunto como: Amultiplicao uma lei de composio interna noconjunto .4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36Propriedades damultiplicaoNNNN1 - Fechamento:mnm . nEXPRESSO CULTURAL3Matemtica2 - Associativa: Na multiplicao, podemos associar 3 ou maisfatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fatorcom o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro nmeronatural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro peloproduto do primeiro pelo segundo.(m.n).p = m.(n.p)(3.4).5 = 3.(4.5) = 603 -nElemento Neutro: No conjunto dos nmeros naturais existe umelemento neutro para a multiplicao que o 1. Qualquer que sejao nmero natural , tem-se que:1.n = n.1 = n1.7 = 7.1 = 7Comutativa: Quando multiplicamos dois nmeros naturaisquaisquer, aordemdosfatoresnoalteraoproduto, ouseja,multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremoso mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento peloprimeiro elemento.m.n = n.m3.4 = 4.3 = 12PropriedadeDistributivaMultiplicandoumnmeronatural pelasomadedoisnmerosnaturais, o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma dasparcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.m.(p+q) = m.p + m.q6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 481.3 DivisodeNmeros NaturaisDados dois nmeros naturais, s vezes necessitamos saberquantas vezes o segundo est contido no primeiro. O primeironmero que o maior denominado dividendo e o outro nmeroquemenor odivisor. Oresultadodadivisochamadoquociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos odividendo.No conjunto dos nmeros naturais, a diviso no fechada, poisnemsempre possvel dividir umnmero natural por outro nmeronatural e na ocorrncia disto a diviso no exata.Relaes essenciais numa diviso de nmeros naturaisEm uma diviso exata de nmeros naturais, o divisor deve sermenor do que o dividendo.35 : 7 = 5Emumadivisoexatadenmerosnaturais, odividendooproduto do divisor pelo quociente.35 = 5 x 7A diviso de um nmero natural n por zero no possvel pois, seadmitssemos que o quociente fosse q, ento poderiamosescrever:n 0 = qe isto significaria que:n = 0 x q = 0o que no correto! Assim, a diviso de n por 0 no temsentido ouainda dita impossvel.Para dois nmeros naturais e , a expresso umproduto defatores iguais ao nmero m, ou seja:m= m . m . m ... m . maparece vezesO nmero que se repete como fator denominado base que nestecaso m. O nmero de vezes que a base se repete denominadoexpoente que neste caso n. Oresultado donominado potncia.Esta operao no passa de uma multiplicao comfatores iguais,como por exemplo:2 = 2 2 2 = 84 = 4 4 4 = 64PotenciaodeNmeros Naturaism n mnm nnn331.4 Propriedades daPotenciao1 - n2 -3 -4 -n n5 -nUma potncia cuja base igual a 1 e o expoente natural ,denotada por 1, ser sempre igual a 1.Exemplos:a) 1 =11...1(n vezes) =1b) 1 =111 =1c) 1 =1111111 =1Se n um nmero natural no nulo, ento temos que n=1. Porexemplo:a) n =1b) 5 =1c) 49 =1A potncia zero elevado a zero, denotada por 0, carente desentido no contexto do Ensino Fundamental.Qualquer que seja a potncia emque a base o nmero naturale o expoente igual a 1, denotada por n, igual ao prprio . Porexemplo:a) n =nb) 5 =5c) 64 =64Toda potncia 10 o nmero formado pelo algarismo 1 seguidode zeros.Exemplos:a) 10 =1000b) 10 =100.000.000c) 10 =1nn37oo1n380O smbolosignifica , sendo e nmeros naturais e a:b a b bdiferente de zero.FRAESChamamos:de frao; a de numerador; b de denominador.Se mltiplo de , ento um nmero natural. a bVeja um exemplo:A frao igual a . Neste caso, o numerador e o 8:2 8 2denominador. Efetuando a diviso de por , obtemos o quociente .Assim, umnmeronatural e mltiplode .Durante muito tempo, os nmeros naturais foram os nicos conheci-dos e usados pelos homens. Depois comearam a surgir questes quenopoderiamserresolvidascomnmerosnaturais. Entosurgiuoconceito de nmero fracionrio.8 2 48 2Osignificadodeuma fraodividir algo em partesiguais uma algumas43Algumas vezes, um nmero natural. Outras vezes, isso noacontece. Neste caso, qual o significado de ?Umafraoenvolveaseguinteidia:. Dentreessaspartes, consideramos ou ,conforme nosso interesse.Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que,se dividssemos o chocolate em partes iguais, Robervalteriacomido partes:Nafiguraacima, aspartespintadasseriamaspartescomidaspor Roberval, e a parte branca a parte que sobrou do chocolate.CHOCOLATEabababab828234344Matemtica EXPRESSO CULTURALExemplo: Somar as fraes .Obtendo o mmc dos denominadores temos = .utilizamos o para obter as fraes equivalentese depois somamos normalmente as fraes, que j tero o mesmodenominador, ou seja, utilizamos o caso 1.Na de nmeros fracionrios, devemos multiplicarnumerador por numerador, e denominador por denominador,assimcomo mostrado nos exemplos abaixo:Na de nmeros fracionrios, devemos multiplicar aprimeira frao pelo inverso da segunda, como mostrado noexemplo abaixo:Na , quando elevamos um nmero fracionrio a umdeterminado expoente, estamos elevando o numerador e odenominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:Na , quando aplicamos a raiz quadrada a um nmerofracionrio, estamos aplicandoessaraiz aonumerador eaodenominador, conforme o exemplo abaixo:mmc (5,2) 10mmcmmc Resumindo:multiplicaodivisopotenciaoradiciaoMultiplicaoe DivisodeNmeros FracionriosAdioe subtraodenmeros fracionriosTemos que analisar dois casos:Parasomarfraescomdenomi-nadoresiguais, basta osnumeradorese.Para subtrair fraes comdenominadores iguais, basta osnumeradores e .Observe os exemplos:Para somar fraes comdenomi-nadores diferentes, uma soluo obter fraes equivalentes, dedenominadores iguais ao dos denominadores das fraes.1)DenominadoresIguais:2) denominadores diferentes:somar conservar odenominadorsubtrairconservar odenominadormmcUma frao equivalente a , comtermos menores, . Afraofoi obtida dividindo-se ambos os termos da frao pelo fatorcomum3. Dizemos que a frao uma frao simplificada de .Afrao no pode ser simplificada, por isso chamada deAfrao no pode ser simplificada porque 3 e 4 nopossuemnenhumfator comum.fraoirredutvel.5Fraes equivalentes so fraes que representama mesma partedo todo.Exemplo: , , so equivalentes.Para encontrar fraes equivalentes devemos multiplicar onumerador eodenominador por ummesmonmeronatural,diferente de zero.Exemplo: obter fraes equivalentes frao .122448121.22.224=1.2.3336=1.2.4448=1.2.55510=Portanto as fraes, , ,so algumas das fraesequivalentes a.Simplificao de fraes243648510129123434912349123434Nmeros fracionriosSeria possvel substituir a letra Xpor umnmero natural que torne asentena abaixo verdadeira?5 . X = 1Substituindo X, temos:por 0 temos: 5.0 = 0por 1 temos: 5.1 = 5.Portanto, substituindo por qualquer nmeronatural jamaisencontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temosque criar novos nmeros. Assim, surgem os..Portanto, umafrao ( diferentedezero) etodasfraesequivalentes a ela representamo mesmo nmero fracionrio .Resolvendo agora o problema inicial, conclumos que = , poisXXXnmerosfracionriosnXToda frao equivalente representa o mesmo nmerofracionrio47+27=6757-27=3745e5245=?10(10:5).4 = 852=?10(10:2).5 = 25810+2510=331083x43=8 x 43 x 3329=-52x43=-5 x 42 x 3-206= =206= -103-83x43=8 x 33 x 42412= = 243=43222=16923=23333=82715mnmn5 .= 1155,2 51,2 21,15.2 = 10= =58=144100= =1210= 1,4414410065DIVISIBILIDADEPara alguns nmeros como o dois, o trs, o cinco e outros, existemregras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar adiviso. Essas regras so chamadas de.Um nmero natural divisvel por 2 quando ele termina em 0, ou2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele par.1) 5040 divisvel por 2, pois termina em 0.2) 237 no divisvel por 2, pois no um nmero par.Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valoresabsolutos dos seus algarismos for divisvel por 3.234 divisvel por 3, pois a soma de seus algarismos igual a2+3+4=9, e como 9 divisvel por 3, ento 234 divisvel por 3.critrios dedivisibilidadeDivisibilidade por 2Divisibilidade por 3Exemplos:Exemplo:EXPRESSO CULTURAL MatemticaUm nmero divisvel por 12 quando divisvel por 3 e por 4.1) 720 divisvel por 12, porque divisvel por 3 (soma=9) e por4 (dois ltimos algarismos, 20).2) 870 no divisvel por 12 ( divisvel por 3, mas no divisvel por 4).3) 340 no divisvel por 12 ( divisvel por 4, mas no divisvel por 3).Um nmero divisvel por 15 quando divisvel por 3 e por 5.1) 105 divisvel por 15, porque divisvel por 3 (soma=6) e por5 (termina em 5).2) 324 no divisvel por 15 ( divisvel por 3, mas no divisvel por 5).3) 530 no divisvel por 15 ( divisvel por 5, mas no divisvel por 3).Um nmero divisvel por 25 quando os dois algarismos finaisforem 00, 25, 50 ou 75.so os nmeros naturais que tm: o 1 e ele mesmo.1) tem apenas os divisores e , portanto um nmeroprimo.2) tem apenas os divisores e , portanto um nmeroprimo.3) tem os divisores e , portanto um nmeroprimo.=> , porque ele tem apenas umdivisor que ele mesmo.=> o nico nmero primo que par.Os nmeros que tm mais de dois divisores so chamados.: 15 tem mais de dois divisores => 15 um nmerocomposto.Para saber se um nmero primo, dividimos esse nmero pelosnmeros primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. at que tenhamos:=> ou uma diviso com resto zero e neste caso o nmero,=> ou uma diviso com que o divisor e o. Neste caso o nmero .1) O nmero 161:no par, portanto no divisvel por 2;1+6+1 = 8, portanto no divisvel por 3;no termina em 0 nem em 5, portanto no divisvel por 5;por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 divisvel por7, e portanto um nmero primo.2) O nmero 113:no par, portanto no divisvel por 2;1+1+3 = 5, portanto no divisvel por 3;no termina em 0 nem em 5, portanto no divisvel por 5;por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda maior que o divisor (7).por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) menor que o divisor (11), e alm disso o resto diferente de zero (o resto vale 3), portantoDivisibilidade por 12Divisibilidade por 15Divisibilidade por 25Nmeros primos apenasdois divisores diferentesExemplos:2 1 2 217 1 17 1710 1, 2, 5 10 10 no1 no um nmero primo2nmeros compostosReconhecimento de um nmero primono primoquociente menor restodiferente de zero primoExemplos:no113 umnmero primoExemplos:Exemplos:Exemplos:Observaes:Exemplo200, 525, 850 e 975 so divisveis por 25.NMEROS PRIMOS Divisibilidade por 4Divisibilidade por 5Divisibilidade por 6Divisibilidade por 8Divisibilidade por 9Divisibilidade por 10Divisibilidade por 11Um nmero divisvel por 4 quando termina em 00 ou quando onmeroformadopelos dois ltimos algarismos dadireitafordivisvel por 4.1800 divisvel por 4, pois termina em00.4116 divisvel por 4, pois 16 divisvel por 4.1324 di vi svel por 4, poi s 24 di vi svel por 4.3850 no divisvel por 4, pois no termina em 00 e 50 no divisvel por 4.Umnmero natural divisvel por 5 quando ele termina em0 ou 5.1) 55 divisvel por 5, pois termina em 5.2) 90 divisvel por 5, pois termina em 0.3) 87 no divisvel por 5, pois no termina em 0 nem em 5.Um nmero divisvel por 6 quando divisvel por 2 e por 3.1) 312 divisvel por 6, porque divisvel por 2 (par) e por 3(soma: 6).2) 5214 divisvel por 6, porque divisvel por 2 (par) e por 3(soma: 12).3) 716 no divisvel por 6, ( divisvel por 2, mas no divisvelpor 3).4) 3405 no divisvel por 6 ( divisvel por 3, mas no divisvel por 2).Um nmero divisvel por 8 quando termina em 000, ou quando onmeroformadopelos trs ltimos algarismos dadireitafordivisvel por 8.1) 7000 divisvel por 8, pois termina em 000.2) 56104 divisvel por 8, pois 104 divisvel por 8.3) 61112 divisvel por 8, pois 112 divisvel por 8.4) 78164 no divisvel por 8, pois 164 no divisvel por 8.Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos valoresabsolutos dos seus algarismos for divisvel por 9.Um nmero natural divisvel por 10 quando ele termina em 0.1) 4150 divisvel por 10, pois termina em 0.2) 2106 no divisvel por 10, pois no termina em 0.Um nmero divisvel por 11 quando a diferena entre as somasdos valores absolutos dos algarismos de ordem mpar e a dos deordem par divisvel por 11.O algarismo das unidades de 1 ordem, o das dezenas de 2ordem, o das centenas de 3 ordem, e assimsucessivamente.1) 87549Si (soma das ordens mpares) = 9+5+8 = 22Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11Si-Sp = 22-11 = 112) 439087Si (soma das ordens mpares) =7+0+3 =10Sp (soma das ordens pares) =8+9+4 =21Si-Sp =10-21Como a subtrao no pode ser realizada, acrescenta-se o menormltiplode11(diferentedezero) aominuendo, paraqueasubtrao possa ser realizada: 10+11 =21. Ento temos asubtrao 21-21 =0.Como zero divisvel por 11, o nmero 439087 divisvel por 11.Exemplo:Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplo:Exemplos:Exemplos:2871 divisvel por 9, pois a soma de seus algarismos igual a2+8+7+1=18, e como 18 divisvel por 9, ento 2871 divisvel por 9.Como 11 divisvel por 11, ento o nmero 87549 divisvel por 11.6Matemtica EXPRESSO CULTURAL7Decomposio em fatores primospode ser decomposto numprodutodedoisoumais fatores.24 = 4 x 624 = 2 x 2 x 624 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2 x 3fatoraoDe um modo geral, chamamos de fatorao de um nmeronatural, maior que 1, a sua decomposio num produto defatores primos.Regra prtica para a fatoraoDeterminao dos divisores de um nmeroTodo nmero natural, maior que 1,Decomposio do nmero 24 num produto:No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores so primos.Chamamosde de24adecomposiode24numproduto de fatores primos. Ento a fatorao de 24 2x 3..Existe umdispositivo prtico para fatorar umnmero. Acompanhe,no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:1) Dividimos o nmero pelo seu menordivisor primo;2) a seguir, dividimos o quociente obtidopelo menor divisor primo desse quocientee assim sucessivamente at obter oquociente 1.A figura ao lado mostra a fatorao donmero 630.Ento 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.630 = 2 x 3x 5 x 7.Na prtica determinamos todos os divisores de umnmeroutilizando os seus fatores primos.Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:332Portanto os so 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. divisores de90MXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)Dois nmeros naturais sempre tmdivisores comuns. Porexemplo: os divisores comuns de 12 e 18 so 1,2,3 e 6. Dentre eles,6 o maior. Ento chamamos o de mximo divisor comumde ee indicamosAlguns exemplos: mdc (6,12) = 6mdc (12,20) = 4mdc (20,24) = 4mdc (12,20,24) = 4mdc (6,12,15) = 3Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais nmeros utilizara decomposio desses nmeros em fatores primos.1)2)Acompanhe o clculo do m.d.c. entre 36 e 90:36 = 2 x x x90 = x x x 5O m.d.c. o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90)=Portanto m.d.c.(36,90) = 18.Escrevendo a fatorao do nmero na forma de potncia temos:36 = 2x 390 = 2 x 3x 5Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 3= 18.Nesse processo efetuamos vrias divises at chegar a umadiviso exata. O divisor desta diviso o m.d.c. Acompanhe oclculo do m.d.c.(48,30).1) dividimos o nmero maior pelo nmero menor;48 / = 1 (com resto )2) dividimos o divisor 30, que divisor da diviso anterior, por18, que o resto da diviso anterior, e assim sucessivamente;/ = 1 (com resto )= 1 (com resto )= 2 (com resto zero - diviso exata)3) O 6. EntoExemplos:6 1218 m.d.c.(12,18) =6.O maior divisor comum de dois ou mais nmeros chamadode mximo divisor comum desses nmeros. Usamosaabreviao m.d.c.Clculo do M.D.C.2 3 32 3 32 x 3 x 3O m.d.c. de dois ou mais nmeros, quando fatorados, oproduto dos fatores comuns a eles, cada um elevado aomenor expoente.Clculo do M.D.C. Pelo processo das divises sucessivasRegra prtica:30 1830 18 1218 / 12 612 / 6divisor da diviso exata m.d.c.(48,30) = 6.Nmeros primos entre siDois ou mais nmeros so primos entre si quando o mximodivisor comum desses nmeros 1.decompomos os nmeros em fatores primos;o m.d.c. o produto dos fatores primos comuns.2 222Os nmeros 35 e 24 nmeros primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.Os nmeros 35 e 21 nmeros primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.sono so630315105357123357divisores primosquociente1) decompomos o nmero em fatores primos;2) traamos uma linha e escrevemos o 1 noalto, porque ele divisor de qualquer nmero;904515512335divisores13) multiplicamos sucessivamente cada fatorprimo pelos divisores j obtidos e escrevemosesses produtos ao lado de cada fator primo;904515512335divisores123,64) os divisores j obtidos no precisam serrepetidos.904515512335divisores123,69,185,10,15,30,45,90EXPRESSO CULTURAL MatemticaDentre os nmeros 6, 18 e 30, o nmero 6 divisor dos outrosdois. Neste caso, 6 o m.d.c.(6,18,30). Observe:6 = x 318 = x30 = x x 5Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6Propriedade do M.D.C.22 32 32MNIMO MLTIPLO COMUM (M.M.C.)Mltiplo de um nmero naturalMNIMO MLTIPLO COMUM (M.M.C.)CLCULODOM.M.C.Como dizemos que .24 tambm mltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.Os mltiplos de um nmero so calculados multiplicando-se essenmero pelos nmeros naturais.os mltiplos de 7 so:7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... =Observaes importantes:1) Um nmero tem infinitos mltiplos2) Zero mltiplo de qualquer nmero naturalDois ou mais nmeros sempre tm mltiplos comuns a eles.Vamos achar os mltiplos comuns de 4 e 6:Mltiplos de 6: , 6, , 18, , 30,...Mltiplos de 4: , 4, 8, , 16, 20, ,...Mltiplos comuns de 4 e 6: , , ,...Dentre estes mltiplos, diferentes de zero, .Chamamos o .Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais nmeros utilizando afatorao. Acompanhe o clculo do m.m.c. de 12 e 30:decompomos os nmeros em fatores primoso m.m.c. o produto dos fatores primos comuns e no-comuns:12 = x x30 = x xm.m.c (12,30) = x x xEscrevendo a fatorao dos nmeros na forma de potncia,temos:12 = x30 = x xm.m.c (12,30) = x x24 divisvel por 3 24 mltiplo de 3Se um nmero divisvel por outro, diferente de zero, entodizemos que ele mltiplo desse outro.Exemplo:0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...0 12 240 12 240122412 o menor deles12 de mnimo mltiplo comum de 4 e 6O menor mltiplo comum de dois ou mais nmeros,diferente de zero, chamado de mnimo mltiplo comumdesses nmeros. Usamos a abreviao m.m.c.1)2)2 2 32 3 52 2 3 52 32 3 52 3 5O m.m.c. de dois ou mais nmeros, quando fatorados, oproduto dos fatorescomuns e no-comuns a eles, cada um elevado ao maiorexpoente.222223515,15,15,15,5,1,24,12,6,3,1,1,60,30,15,15,5,1,2353,3,1,1,30,15,5,1,6,3,1,1,223515,15,15,5,1,4,2,1,1,1,Processo da decomposio simultneaPropriedade do M.M.C.IntroduoNeste processo decompomos todos osnmerosao mesmo tempo, num dispositivo como mostraa figura ao lado. O produto dos fatores primosque obtemos nessa decomposio o m.m.c.desses nmeros. Ao lado vemos o clculo dom.m.c.(15,24,60)Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 =Entre os nmeros 3, 6 e 30, o nmero 30 mltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 om.m.c.(3,6,30). Observe:m.m.c.(3,6,30) =2 x 3 x 5 =Considerando os nmeros 4 e 15, ques soprimos entre si. O m.m.c.(4,15) igual a 60,que o produto de 4 por 15. Observe:m.m.c.(4,15) =2 x 2 x 3 x 5 =Equao toda sentena matemtica aberta que exprime umarelao de igualdade. A palavra equao tem o prefixo , queem latim quer dizer "igual". Exemplos:2x + 8 = 05x - 4 = 6x + 83a - b - c = 0No so equaes:4 + 8 = 7 + 5x - 5 < 35 = -2A equao geral do primeiro grau:onde a e b so nmeros conhecidos e a > 0, se resolve demaneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:dividindo agora por a (dos dois lados), temos:Considera a equaoA letra a da equao. A palavra significa "desconhecida".Na equao acima a incgnita x; tudo que antecede o sinal daigualdade denomina-se 1 e o que sucede, 2 .12030Dados dois ou mais nmeros, se um deles mltiplo detodos os outros, ento ele o m.m.c. dos nmeros dados60Dados dois nmeros primos entre si, o m.m.c. deles oproduto desses nmeros.equa2x - 8 =3x -10incgnita incgnitamembro, membroEQUAES DE 1 GRAU(com uma varivel)(No uma sentena aberta)(No igualdade)(no sentena aberta, nem igualdade)ax+b = 0ax = -bx =ba2x - 8 = 3x -101 Membro 2 Membro8MatemticaDados dois ou mais nmeros, se um deles divisor de todosos outros, ento ele o m.d.c. dos nmeros dados.EXPRESSO CULTURAL9Qualquer parcela, do 1 ou do 2 membro, umtermo da equao.Considere o conjuntoA={0, 1, 2, 3, 4, 5}e a equao x +2 =5.Observe que o nmero 3 do conjunto A denominadoda equao e o conjunto {3} o dessamesma equao.Observe este outro exemplo:Determine os nmeros inteiros que satisfazema equao x =25Oconjunto dos nmeros inteiro o conjunto universo da equao.Os nmeros -5 e 5, que satisfazem a equao, formam o conjuntoverdade, podendo ser indicado por: V={-5, 5}.Da conclumos que:O conjunto verdade subconjunto do conjunto universo.No sendo citado o conjunto universo, devemos considerarcomo conjunto universo o conjunto dos nmeros racionais.O conjunto verdade tambm conhecido pore pode ser indicado por .Os elementos do conjunto verdade de uma equao sochamados razes da equao.Para verificar se um nmero raiz de uma equao, devemosobedecer seguinte seqncia:Substituir a incgnita por esse nmero.Determinar o valor de cada membro da equao.Verificar a igualdade, sendo uma sentena verdadeira, o nmeroconsiderado raiz da equao.Exemplos: Verifique quais dos elementos do conjunto universo sorazes das equaes abaixo, determinandoemcadacasooconjunto verdade.Resolva a equao x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.Para x = 0 na equao x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F)Para x = 1 na equao x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F)Para x = 2 na equao x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V)Para x = 3 na equao x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)Verificamos que 2 raiz da equao x - 2 = 0, logo V = {2}.Equao do 1 grau na incgnita toda equao que podeser escrita na forma = , sendo e nmeros racionais,com diferente de zero.conjuntouniverso conjunto verdadeConjunto Universo o conjunto de todos os valores quevarivel pode assumir. Indica-se por U.Conjunto verdade o conjunto dos valores de U, que tornamverdadeira a equao. Indica-se por V.Observaes:conjunto soluoSRazes de uma equao***xaxb a baConjunto Verdade e Conjunto Universo de umaEquaoResolva a equao 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.Para x =-1 na equao 2x - 5 =1 temos: 2 . (-1) - 5 =1 =>-7 =1. (F)Para x =0 na equao 2x - 5 =1 temos: 2 . 0 - 5 =1 =>-5 =1. (F)Para x =1 na equao 2x - 5 =1 temos: 2 . 1 - 5 =1 =>-3 =1. (F)Para x =2 na equao 2x - 5 =1 temos: 2 . 2 - 5 =1 =>-1 =1. (F)A equao 2x - 5 = 1 no possui raiz em U, logo V = .Resolver uma equao consiste em realizar uma espcie deoperaes de operaes que nos conduzem a equaesequivalentes cada vez mais simples e que nos permitem,finalmente, determinar os elementos do ou as. Resumindo:Na resoluo de uma equao do 1 grau com uma incgnita,devemosaplicar osprincpiosdeequivalnciadasigualdades(aditivo e multiplicativo). Exemplos:Sendo , resolva a equao .MMC(4, 6) =12 -9x =10 9x =-10Como , ento = .Sendo , resolva a equao 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) =2 . (x - 4).2x - 4 - 3 +3x = 2x - 82x +3x -2x = - 8 +4 +33x = -1Como , ento = .Sendo, considere a seguinte equao:2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1).Observe, agora, a sua resoluo:2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 112x - 8 = 12x - 312x - 12x = - 3 + 80 . x = 5Como nenhum nmero multiplicado por zero igual a 5, dizemosque a equao e, portanto, no tem soluo.Logo, V = .Assim, uma equao do tipo ax + b = 0 impossvel quandoResoluo de uma equaoEquaes impossveis e identidadesconjunto verdaderazes da equaoResolver uma equao significa determinar o seu conjuntoverdade, dentro do conjunto universo considerado.impossvelVVIniciamos aplicandoa propriedade distributiva da multiplicao:2x - 8 = 3x -10Termos da equao- 3x456- 9x121012x =-109-109-109Multiplicando por -1x =-13-13-13EXPRESSO CULTURAL MatemticaSendo , considere a seguinte equao: 10 - 3x - 8 =2 - 3x.Observe a sua resoluo:-3x +3x =2 - 10 +80 . x =0Como todo nmero multiplicado por zero igual a zero, dizemosque a equao possui .Equaes desse tipo, em que qualquer valor atribudo variveltorna a equao verdadeira, so denominadas .Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos doisnmeros racionais, numa certa ordem.Denominamos esses nmeros de .Exemplos:Assim:Deummodogeral, sendoxeydoisnmerosracionaisquaisquer, temos: (x,y) (y,x).Exemplo:Dois pares ordenados e so iguais somente see .Podemos representar um par ordenado atravs de um pontonum plano.Esse ponto chamado de do par ordenado.Os nmeros dopar ordenados sochamados. Exemplos:A(3, 5) ==>3 e 5 so as coordenadas do pontoA.Denominamosde o1 nmerodopar ordenado, e, o 2 nmero desse par. Assim:Representamos umpar ordenado numplano cartesiano.Esse plano formado por duas retas,x e y perpendiculares entre si.Areta horizontal o eixo das abscissas (eixo x).Areta vertical o eixo das ordenadas (eixo y).Oponto comumdessas duas retas denominado, que corresponde ao par ordenado (0, 0).infinitassoluesidentidadespar ordenadoIndicamos por (x, y) o par ordenado formado peloselementos x e y, onde x o 1 elemento e y o 2 elemento.Observaes1 -2 - (x, y) (r, s) x =ry =simagemCoordenadas CartesianascoordenadascartesianasabscissaordenadaorigemPares ordenadosRepresentaogrfica deumPar OrdenadoPlanoCartesianoLocalizaodeumPontoProdutosCartesianoPara localizar umponto numplano cartesiano, utilizamos aseqncia prtica:- O 1 nmero do par ordenado deve ser localizado no eixo dasabscissas.- O 2 nmero do par ordenado deve ser localizado no eixo dasordenadas.- No encontro das perpendiculares aos eixos e , por essespontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo:- Localize o ponto ( , ).Considere a equao: 2- 6 =5 - 3Trata-se de uma equao com duas variveis, e , pode sertransformada numa equao equivalente mais simples. Assim:2+3=5 +62+3=11 ==>Na equao ax +by =c, denominamos:- variveis ou incgnita - coeficiente de- coeficiente de - termo independenteExemplos: x +y =30 -3x - 7y =-482x +3y =15 2x- 3y =0x - 4y =10 x - y =8123 x y4 4 3Equaodo1 graunaformaDenominando equao de 1 grau com duas variveis, x e y,a toda equao que pode ser reproduzida forma ax + by =c,sendo a e b nmeros diferentes de zero, simultaneamente.x +y b ya x cSejamos conjuntos A={1, 2, 3} e B={3, 4}.Comauxlio do diagrama de flechas ao ladoformaremos o conjunto de todos os paresordenados emque o 1 elemento pertenaao conjuntoAe o 2 pertena ao conjunto B.Assim, obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}Esse conjunto denominado de por , e indicado por:Logo:Dados dois conjuntos e , no-vazios, denominamos produtoscartesiano o conjunto de todos os pares ordenadosondeproduto cartesiano A BA BAx B (x, y)Equaes de primeiro grau(com duas variveis)x yx yx yx y ax by c + = .(3,4)-2,122 elemento1 elemento2 elemento1 elemento(1,3)= (3,1)(3,5)2 elemento1 elementoCoordenadasXY1 2 3 4 -4 -1 -2 -31234-1-2-3-40XY1 2 3 4 -4 -1 -2 -31234-1-2-3-40(4,3)12334A Bx A e y Bx A e y BAX B = x, y x A e yB { } ( )10Matemtica EXPRESSO CULTURAL11Soluodeuma equaode1 graucomduasvariveisQuaisovaloresde e quetornamasentenaverdadeira?Observe os pares abaixo:x =6, y =1 x =8, y =2 x =-2, y =-3x - 2y =4 x - 2y =4 x - 2y =4- 2 . =4 - 2 . =4 -2 - 2 . (-3) =46 - 2 =4 8 - 4 =4 -2 +6 =44 =4 (V) 4 =4 (V) 4 =4 (V)x y x - 2y = 46 1 8 2Verificamos que todos esses pares so da equao x - 2y =4.Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) so algumas das solues dessaequao.Uma equaes do 1 grau comduas variveis tem -infinitos (x, y) - , sendo, portanto, seu conjunto universo x .Podemos determinar essas solues, atribuindo-se valores quaisquerpara uma das variveis, calculando a seguir o valor da outra.Exemplo: Determine uma soluo para a equao 3x - y =8.Atribumos para o o valor , e calculamos o valor de . Assim:3x - y =83 . (1) - y =83 - y =8-y =5 ==> ==>Opar (1, -5) uma das solues dessa equao. V={(1, -5)}Resumindo:soluesinfinitas soluesx 1 yy=-5Um par ordenado (r, s) soluo de uma equao ax + by = c(a e b no-nulos simultaneamente), se para x = r e y = sa sentena verdadeira.Q QMultiplicamos por -1Grfico de uma equao de 1 grau com duas variveisSabemos que uma equao do 1 grau com duas variveis possuiinfinitas solues.Cada uma dessas solues pode ser representada por um parordenado ( ).Dispondodedoisparesordenadosdeumequao, podemosrepresent-los graficamente num plano cartesiano, determinando,atravs da reta que os une, o conjunto das soluo dessa equao.Exemplo:Construir umgrfico da equao + =4.Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionamessa equao.1 par: (4, 0)2 par: (0, 4)Aseguir, representamos esses pontos numplano cartesiano.Fi nal ment e, uni mos ospontosAeB, determinandoa quecontmtodosos pont os sol ues daequao.x yx y,ABreta r,Sistemas de EquaesResoluodeSistemasMtodo de substituioMtododaadioConsidere o seguinte problema:Pipoca, emsua ltima partida, acertou arremessos de 2 pontos earremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?Podemostraduzir essasituaoatravsdeduasequaes, asaber:+ =252+3=55Essas equaes contmumCostuma-se indicar o sistema usando .O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenasverdadeiras, chamado .Um sistema de duas equaes com duas variveis possui uma.Aresoluo de um sistema de duas equaes com duas variveisconsiste emdeterminar umpar ordenado que torne verdadeiras, aomesmo tempo, essas equaes.Estudaremos a seguir alguns mtodos:Determinamos o valor de na 1 equao.= 4 -Substitumos esse valor na 2 equao.2 . (4 - ) -3 = 3Resolvemos a equao formada.8 - 2 -3 = 38 - 2 -3 = 3-5 = -5 ==>5 = 5= 1Substitumos o valor encontrado de , em qualquer das equaes,determinando .+1 =4=4 - 1=3Asoluo do sistema o par ordenado (3, 1).V={(3, 1)}Sendo = x , observe a soluo de cada um dos sistemas aseguir, pelo mtodo da adio.Resolva o sistema abaixo:xyx yx yx yy yy yy yyyyxxx(total dearremessos certo)(total depontosobtidos)Multiplicamos por -1sistema deequaes.chavesoluodosistemanicasoluoSoluoxyxU Q QXY1 2 3 4 -4 -1 -2 -31234-1-2-3-40xy4004XY1 2 3 4 -4 -1 -2 -31234-1-2-3-40A chamada reta suportedo grfico da equao.reta rreta rx+y=252x + 3y = 55x + y = 42x- 3y = 355y =x + y = 10x-y = 6EXPRESSO CULTURAL MatemticaSoluo:Denominamos toda sentena matemtica aberta poruma desigualdade.As inequaes do 1 grau com uma varivel podem ser escritasnuma das seguintes formas:como e reais (aSubstitumos a desigualdade por uma igualdade.Traamos a reta no plano cartesiano.Escolhemos um ponto auxiliar, de preferncia o ponto (0, 0) everificamos se o mesmo satisfaz ou no a desigualdade inicial.Emcaso positivo, a soluo da inequao corresponde aosemiplano ao qual pertence o ponto auxiliar.Emcaso negativo, a soluo da inequao corresponde aosemiplano oposto aquele ao qual pertence o ponto auxiliar.Exemplos:Representa graficamente a inequao 2Substituindo o (0, 0) na inequao 2Verificamos:2.0 44 ( satisfaz )2x = 16INEQUAES DE 1 GRAUIntroduoinequaopontoauxiliarAfirmativa positiva, opontoauxiliar a inequao> 0, < 0, 0, 0, a b 4.4.0)Exemplos:Representao grfica de uma inequao do 1 grau comduas variveisMtodo prticoiiiSubstitumos o valor encontrado de , em qualquer das equaes,determinado :+ y = 10y = 10 - 8y = 2A soluo do sistema o par ordenado (8, 2)V = {(8, 2)}Asoluo da inequao corresponde ao semiplano ao qualpertence o ponto auxiliar .xy8(0, 0)ax + b ax + b ax + b ax + bx +yx +y+00Resoluo Grfica de um Sistema de Inequaes do 1grauPara resolver um sistema de inequaes do 1 grau graficamente,devemos:traar nummesmo plano o grfico de cada inequao;determinar a regio correspondente interseco dos doissemiplanos. Exemplos:D a resoluo grfica do sistema:Traando as retas - 4 e 3 + 2 = 6.Soluox + y = x yx + y = 10x-y = 6162x =x = 82x - 0 122x - 7 0 +< 0723x5XY1 2 3 4 -4 -1 -2 -31234-1-2-3-40xy0420(x, y)(0,4)(2,0)-x + y3x+ 2y46xy04-4 0(x, y)(0,4)(-4,0)XY1 2 3 4 -4 -1 -2 -31234-1-2-3-403x+2y=6-x +y =4SoluoGrfico Tabelaxy0 -11 0(x, y)(0,-1)(1,0)TabelaRADICIAOPotenciao de RadicaisDivisodeRadicaisObservando as potencias, temos que:De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente,basta elevar o radicando quele expoente. Exemplos:Segundo as propriedades dos radicais, temos que:Deummodogeral, nadivisoderadicaisdemesmondice,mantemos o ndice e dividimos os radicais: Exemplos:Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmondice e depois efetue a operao. Exemplos:223= 2 . 2 . 2 . = 2.2.2 2 =323= 2353= 5 =3= 5.525 54949=317417433=8282= 4 = 2 = 8 : 2=5454= =35 : 4=354=663263212516612Matemtica EXPRESSO CULTURAL13Racionalizao de denominadoresConsidereafrao: queseudenominador umnmeroirracional.Vamosagoramultiplicar onumerador eodenominador destafrao por , obtendo uma frao equivalente:Observe que a frao equivalente possui um denominadorracional.Aessatransformao, damosonomede.A racionalizao de denominadores consiste, portanto, naobteno de um frao com denominador racional, equivalente auma anterior, que possua um ou mais radicais em seudenominador.Para racionalizar o denominador de uma frao devemosmultiplicar os termos desta frao por uma expresso com radical,denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fraoequivalente comdenominador semradical.O denominador um radical de ndice :Exemplos: o fator racionalizante de , poisO denominador um radical de ndice de .Exemplos: o fator racionalizante de o fator racionalizante de o fator racionalizante de o fator racionalizante deObserve as seguintes igualdades:Igualmente podemos transformar uma potncia com expoentefracionrio em um radical.De modo eral, definimos:, comPodemos tambm transformar um radical com expoentefracionrio:racionalizao dedenomindoresPrincipaiscasos deracionalizao:1 Caso: 22 Caso: diferente 2Potncia com expoente racionalaR, m, n, N, a > 0, n > 0, m > 0Propriedade das potncias comexpoentes racionaisAs propriedades das potncias com expoentes racionais so asmesmas para os expoentes inteiros.Sendo a e b nmeros reais e positivos e os expoentes nmerosracionais, temos que:Exemplo:RAZESVamos considerar um carro de corrida com de comprimento eum kart com de comprimento. Para compararmos as medidasdos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro.Assim:(o tamanho do carro de corrida duas vezes o tamanhodo kart).Podemos afirmar tambm que o kart tem a metade do com-primento do carro de corrida.Acomparaoentredoisnmerosracionais, atravsdeumadiviso, chama-se .Arazo pode tambmser representada por e significa quecada metro do kart corresponde a do carro de corrida.A palavra , vem do latim , e significa "diviso". Como noexemplo anterior, so diversas as situaes em que utilizamos oconceito de razo. Exemplos:Dos1200inscritosnumconcurso, passaram240candidatos.Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.A razo entre dois nmeros racionais pode ser apresentada detrs formas. Exemplo:Razo entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.A razo entre dois nmeros racionais pode ser expressa comsinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrrios.Exemplos:Arazo entre 1 e -8 Arazo entre e =4m2mrazo1:22mDenominamos de razo entre dois nmeros e( diferente de zero) o quociente ou .razoObservaes:1)2)a bb a b :ratioRazo dos candidatos aprovados nesse concurso:Razo entre o nmero de mulheres e o nmero de convidados:_______________________________________________________3=35 33 3 .5. 335 3=25=5 22 2 .5. 2=25 222a a a . a= a2= a=73=3 77 7 .3. 7=73 77333 322 3 2333 2an n - man ma- b a+ ba+ b a- ba+ b a- b56=53ou56=52619 = 1921am=namn7 = 721= a .nmaqpnmaqp+ = (a .b)nmnma . bnm=anmaqpnmaqp- =anmbnmanmb=9721191172724221212ab2401200240 : 1200 = =15: 240: 240(de cada 5 candidatos inscritos,1 foi aprovado).7510075 : 100 = =34: 25: 25(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres)14-18-1514-1514-45EXPRESSO CULTURAL Matemtica53Termos de uma razoRazes inversasRazes equivalentesObserve a razo:(l-se "a est para b" ou "a para b").Na razo , o nmero a denominadoe o nmero b denominado . Veja o exemplo:Leitura da razo: 3 est para 5 ou 3 para 5.Considere as razes eObserve que o produto dessas duas razes igual a 1, ou seja,.= 1Nesse caso, podemos afirmar que e so razes .Exemplo:e so razes inversas, pois . = 1.Verifiquequenasrazesinversasoantecedentedeumaoconsequente da outra, e vice-versa.____________________________________________________Observaes:1) Uma razo de antecedente zero no possui inversa.2) Para determinar a razo inversa de uma razo dada, devemospermutar (trocar) os seus termos.Exemplo: O inverso de .antecedenteconsequenteinversasDuas razes so inversas entre si quando o produto delas igual a 1.Dadaumarazoentredoisnmeros, obtemosumarazo equivalente da seguinte maneira:Ex:Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de umarazo por um mesmo nmero racional (diferente dezero), obtemos uma razo equivalente.Razes entre grandezas damesma espcieRazes entre grandezas de espciesdiferentesO conceito o seguinte:Exemplos:Calcular a razo entre a altura de dois anes, sabendo que oprimeiro possui uma altura h = 1,20m e o segundo possui umaaltura h =1,50m. Arazo entre as alturas he h dada por:Determinar a razo entre as reas das superfcies das quadrasde vlei e basquete, sabendo que a quadra de vlei possui umarea de 162me a de basquete possui uma rea de 240m .Razo entre as rea da quadra de vlei e basquete:O conceito o seguinte:Exemplos:Beatriz foi de So Paulo a Campinas (92Km) no seu carro.Foramgastos nesse percurso 8 litros de combustvel. Qual a razoentre a distncia e o combustvel consumido? Oque significa essarazo? Soluo:Razo =Razo = (l-se "11,5 quilmetros por litro").Essa razo significa que a cada litro consumido foram percorridosemmdia 11,5 km.Moacir fez o percurso Rio-So Paulo (450Km) em 5 horas.Qual a razo entre a medida dessas grandezas? O que significaessarazo?Soluo:Razo =Razo = (l-se "90 quilmetros por hora").Essa razo significa que a cada hora foram percorridos em mdia90 kmOestadodoCearnoltimocensoteveumapopulaoavaliada em 6.701.924 habitantes. Sua rea de 145.694 km2.Determine a razo entre o nmero de habitantes e a rea desseestado. Oque significa essa razo? .Soluo:Denomina-se razo entre grandezas de mesma espcie oquociente entre os nmeros que expressam as medidasdessas grandezas numa mesma unidade.1)2)Para determinar a razo entre duas grandezas de espciesdiferentes, determina-se o quociente entre as medidasdessas grandezas. Essa razo deve ser acompanhada danotao que relaciona as grandezas envolvidas.12 1 22 21) Consumomdio:2) Velocidademdia:3) Densidade demogrfica:.Razo == a : babou a : bab= 3 : 53 O antecedente 35 O consequente 545544554455445544554255256=1012x 2x 256e1012so razes equivalentes.1535=37: 5: 51535e37so razes equivalentes.=h1h2=1,20m1,50m=1,21,545=AvAB=162m240m=162240274022=92 km=150 km5 h90 km / h90 km / h=6.701.924 hab145.694 km246 hab/ km214Matemtica EXPRESSO CULTURAL15Razo = (l-se "46 habitantes por quilmetroquadrado").Essa razo significa que emcada quilmetro quadrado existememmdia 46 habitantes.Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g.Determine a razo entre a massa e o volume desse corpo. O quesignifica essa razo?Soluo:Volume =1cm. 1cm. 1cm=1cm3Razo =Razo =7,8 g/cm(l-se "7,8 gramas por centmetro cbico").Essa razo significa que 1cmde ferro pesa 7,8g.Rogerio e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogeriopesa 120kg, e seu co, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, eseu co, 16kg.Observe a razo entre o peso dos dois rapazes:Observe, agora, a razo entre o peso dos cachorros:Verificamos que as duas razes so iguais. Nesse caso, podemosafirmar que a igualdade uma Assim:Dadosquatronmerosracionaisa, b, c, d, no-nulos, nessaordem, dizemos que eles formam uma proporo quando a razodo 1 para o 2 for igual razo do 3 para o 4. Assim:(l-se " est para assim como est para ")Os nmeros a, b, c e d so os termos da proporo, sendo:e os da proporo.e os da proporo.Exemplo:Dada a proporo, temos:Leitura: 3 est para 4 assim como 27 est para 36.Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 3646 hab/km24) Densidadeabsolutaoumassa especfica:proporo.Proporo uma igualdade entre duas razes.b c meiosa d extremos33PROPORESElementos de uma proporoa b c dPropriedade fundamental das proporesAplicaes da propriedade fundamentalObserve as seguintes propores:De modo geral, temos que:Da podemos enunciar a propriedade fundamental das propores:Exemplos:Determine o valor de x na proporo:5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)5 . x = 120Determine o valor de x na proporo:5 . (x-3) = 4 . (2x+1)(aplicando a propriedade fundamental)5x - 15 = 8x + 45x - 8x = 4 + 15-3x = 193x = -19Os nmeros 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporo.Determine o valor de x.Em toda proporo, o produto dos meios igual ao produtodos extremos.Soluo:Soluo:Soluo:Determinao do termo desconhecido de umaproporo=7,8 g1 cm37,8 g / cm3120 kg48 kg= 52: 24: 2440 kg16 kg= 52: 8: 812048= 4016ab=cdou a : b c : d =a : b c : d =abcdMeiosExtremos=MeiosExtremos34=273634=3040Produto dos meios = 4.30 = 120Produto dos extremos = 3.40 = 12049=2045Produto dos meios = 9.20 = 180Produto dos extremos = 4.45 = 18058=4572Produto dos meios = 8.45 = 360Produto dos extremos = 5.72 = 360ab=cda : d b : c =58=15x=x1205=x 24 Logo, o valor de x 24.xx- 32 + 1=45, sendo x-12=x-193Logo, o valor de x -19358=35x(aplicando a propriedade fundamental)5 . x = 8 . 355x = 280=2805x= 56 x Logo, o valor de x 56EXPRESSO CULTURAL MatemticaResoluodeproblemas envolvendoproporesSoluo:proporcionalquarta proporcionalSoluo:proporocontnuaProporo contnua toda a proporo que apresentaos meios iguais.Terceira proporcionalterceira proporcionalExemplo:Numa salina, de cada metro cbico (m ) de gua salgada, soretirados 40 dmde sal. Para obtermos 2 mde sal, quantos metroscbicos de gua salgada so necessrios?Aquantidade de sal retirada ao volume de guasalgada. .Indicamos por x a quantidade de gua salgada a serdeterminada e armamos a proporo:Lembre-se que 40dm3 =0,04m .Dados trs nmeros racionais e , no-nulos, denomina-sedesses nmeros umnmero tal que:Exemplo: Determine a quarta proporcional dos nmeros 8, 12 e 6.Indicamosporxaquartaproporcional earmamosaproporo:Considere a seguinte proporo:Observe que os seus meios so iguais, sendo, por isso,denominada . Assim:De ummodo geral, uma proporo contnua pode ser representadapor:Dadosdoisnmerosnaturaisaeb, no-nulos, denomina-sedesses nmeros o nmero x tal que:33 33Quarta proporcionalProporo contnuaa, b cxExemplo: Determine a terceira proporcional dos nmeros 20 e 10.Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporo:Dada uma proporo contnuaSoluoMdiageomtrica oumdia proporcional, o nmero denominadoou entre e .Exemplo:Considere as propores:1 a cada membro obtemos:Determine x e y na proporo , sabendo que .Substituindo x + y = 84 temos:Logo, x=36 e y=48.Considere as propores:ba c mdia geomtrica mdia proporcionalNuma proporo, a soma dos dois primeiros termosest para o 2 (ou 1) termo, assim comoa soma dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).Demonstrao:Ex: x+y=84Soluo:Numa proporo, a diferena dos dois primeiros termos estpara o 2 (ou 1) termo, assimcomo a diferena dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).Demonstrao:Determine a mdia geomtrica positiva entre 5 e 20.Soluo:Propriedades das propores1 propriedade:2 propriedade:Adicionando=1 m340 dm3Quantidade de gua salgadaQuantidade de sal1 m340 dm3x2 m3=1 m30,04 dm3x2 m3=x2=1 . 2 = 0,04 . x0,04x = 20,04x= 50 m3Logo, so necessrios 50 mdegua salgada.3abcx=8126x=(aplicando a propriedade fundamental)8 . x = 12 . 68 . x = 72=728x= 9 x Logo, a Quarta proporcional 99121216=abbc=abbx=201010x=(aplicando a propriedade fundamental)20 . x = 10 . 1020 x = 100=10020x= 5 x Logo, a Terceira proporcional 5.abbc=5bb20=5 . 20 = b . b100 = b2= 10 b Logo, a Mdia geomtrica positiva 10.b =2100b = 100abcd=badc=abcd+1 = +1badc+1 = +1ab+bb=cd+ddba+aa=dc+ccabb=+cdd+aab=+ccd+xy34=xy=xyy+34=344+84y=344+84y=74x+y = 84 x = 84-y x = 84-48x=36.abcd=badc=16Matemtica EXPRESSO CULTURAL17Subtraindo 1 a cada membro obtemos:Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporo .Pela 2 propriedade temos que:Logo, x=30 e y=12.Considere a proporo:Permutando os meios, temos:Aplicando a 1 propriedade, obtemos:Permutando os meios, finalmente obtemos:Considere a proporo:Permutando os meios, temos:Aplicando a 2 propriedade, obtemos:Permutando os meios, finalmente obtemos:Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporoPela 4 propriedade, temos que:Ex:Soluo:Numa proporo, a soma dos antecedentes est para asoma dos consequentes, assim como cada antecedenteest para o seu consequente.Demonstrao:Numa proporo, a diferena dos antecedentes est para adiferena dos consequentes, assim como cada antecedenteest para o seu consequente.Demonstrao:Ex.Soluo:Numa proporo, o produto dos antecedentes est parao produto dos consequentes,assim como o quadrado de cada antecedente est paraquadrado do seu consequente.3 propriedade:4 propriedade:5 propriedade:Demonstrao:proporo mltiplaConsidere a proporo:Multiplicando os dois membros por, temos:Assim:Observao: a 5 propriedade pode ser estendida para qualquernmero de razes. Exemplo:Denominamos uma srie de razes iguais.Assim:Dada a srie de razes iguais, de acordo com a3 e 4 propriedade, podemos escrever:Proporo mltiplaGRANDEZASEntendemospor tudoaquiloquepodeser medido,contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas oudiminudas.Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfcie, ocomprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e aproduo. comumao nosso dia-a-dia situaes emque relacionamos duasou mais grandezas. Por exemplo:Emuma corrida de "quilmetros contra o relgio", quanto maior fora velocidade, menor ser o tempo gasto nessa prova. Aquiasgrandezas so a velocidade e o tempo.Numfornoutilizadoparaaproduodeferrofundidocomum,quanto maior for o tempo de uso, maior ser a produo de ferro.Nesse caso, as grandezas so o tempo e a produo.Um forno tem sua produo de ferro fundido de acordo com atabela abaixo:Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essasgrandezas so . Observe que:Quandoo tempo, a produo tambm .5 min ----> 100Kg10 min ----> 200KgQuando o tempo, a produo tambm .5 min ----> 100Kg15 min ----> 300KgAssim:grandezavariveis dependentesduplicamos duplicatriplicamos triplicaGrandezas diretamente proporcionaisabcd-1 = -1badc-1 = -1ab-bb=cd-ddba-aa=dc-ccabb=-cdd-aab=-ccd-(Mult. os 2 membrospor -1)xy52=xy=xyy-52=522-18y=3218.2y =3y =12x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30.abcd=acbd=acc=+bdd+ab d +b=+cd=ababcd=acbd=acc=-bdd-ab - db=-cd=aba5b7=a5 - 7b=-a5=b7-24-2=a5=5.(-24)-2a =60 a-24-2=b7=7.(-24)-2a =84 babcd=ababab=cdabab22a . cb . d=ab22a . cb . d=cd22=ab33a . c . eb . d . f=cd33=ef33=25410=615= uma proporo mltipla.abcd=ef=aba c e + +b d f + +=cd=ef=aba c - e +b d - f +=cd=ef=aba - c e +b - d f +=cd=ef=Tempo (minutos) Produo (kg)5101520100200300400EXPRESSO CULTURAL MatemticaDuas grandezas variveis dependentes so diretamenteproporcionais quando a razo entre os valores da 1 grandeza igual a razo entre os valores correspondentes da 2Verifique na tabela que a razo entre dois valores de uma grandeza igual a razo entre os dois valores correspondentes da outragrandeza.Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra orelgio", mantendoemcadavoltaumavelocidadeconstanteeobtendo, assim, umtempocorrespondente, conformeatabelaabaixoGrandezas inversamente proporcionaisObserve que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essasgrandezas so . Observe que:Quandoa velocidade, o tempo fica reduzido .5 m/s ----> 200s10 m/s ----> 100sQuando a velocidade, o tempo fica reduzido .5 m/s ----> 200s20 m/s ----> 50sAssim:Verifique na tabela que a razo entre dois valores de uma grandeza igual ao inverso da razo entre os dois valores correspondentesda outra grandeza.Regra de trs simples umprocesso prtico para resolverproblemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemostrs deles. Devemos, portanto, determinar umvalor a partir dos trsj conhecidos.Construir umatabela, agrupandoasgrandezasdamesmaespcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas deespcies diferentes emcorrespondncia.Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamenteproporcionais.Montar a proporo e resolver a equao.Com uma rea de absoro de raios solares de 1,2m2, umalancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400watts por hora de energia. Aumentando-se essa rea para 1,5m2,qual ser a energia produzida?variveis dependentesduplicamosmetadequadriplicamosquarta parteDuas grandezas variveis dependentes so inversamenteproporcionais quando a razo entre os valores da 1grandeza igual ao inverso da razo entre osvalores correspondentes da 2.Passos utilizadosnumaregra detrs simples:1)2)3)Exemplos:1)REGRA DE TRS SIMPLESSoluo: montando a tabela:Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contmo x (2 coluna). .Observe que: a rea de absoro, a energia solar. .Como as palavras correspondem(aumentando - aumenta),podemos afirmar que as grandezas so. Assimsendo, colocamos uma outra seta nomesmo sentido (para baixo) na 1 coluna.:Logo, a energia produzida ser de .____________________________________________________Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400Km/h,faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo fariaesse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de480km/h?montando a tabela:Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contmo x (2 coluna).Observe que: a velocidade, o tempo do percurso.Como as palavras so contrrias (aumentando - diminui), podemosafirmar queas grandezas so .Assimsendo, colocamos uma outra seta no sentido contrrio (paracima) na 1 coluna.:Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30minutos.____________________________________________________Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto elapagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preo?montando a tabela:Observeque: onmerodecamisetas, opreo.Como as palavras correspondem(aumentando - aumenta),podemos afirmar que as grandezas so. Montando a proporo e resolvendo a equaotemos:Identificao do tipo de relao:Montando a proporo eresolvendo a equao temosSoluo:Identificao do tipo de relao:Montando a proporo e resolvendo a equaotemosSoluo:Aumentandoaumentadiretamenteproporcionais500 watts por hora2)Aumentandodiminuiinversamente proporcionais3)Aumentandoaumentadiretamenteproporcionais51 510010=13=1 02 0200400=12=Velocidade (m/s) Tempo (s)5810162020012510062,55010016=5810062,5 =85Razo inversa=2512550=52Razo inversa820velocidade (km) tempo (h)4004803x1,21,5400xrea energia1,21,5400xrea energia1,21,5400x=1,2 x= 1,5 . 4001,5 . 4002=x=x 5004004803xvelocidade temporea m2energia (wh)1,21,5400x4004803xvelocidadetempo3x480400=480 x = 3 . 4003 . 400480=x=x 2,5Invertemosos termoscamisetas preo (R$)35120x18Matemtica EXPRESSO CULTURAL19Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.____________________________________________________4) Uma equipe de operrios, trabalhando 8 horas por dia, realizoudeterminada obra em20 dias. Se o nmero de horas de servio forreduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe far o mesmotrabalho?montando a tabela:Observe que: o nmero de horas trabalhadas por dia,o prazo para trmino . .Como as palavras so contrrias (diminuindo - aumenta), podemosafirmar que as grandezas so . .:A regra de trs composta utilizada em problemas com mais deduas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.Exemplos:Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160mde areia. Em 5horas, quantos caminhessero necessriospara descarregar125m ?montando a tabela, colocando emcada coluna asgrandezas de mesma espcie e, em cada linha, as grandezas deespcies diferentes que se correspondem:Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contmo x (2 coluna).Aseguir, devemos comparar cada grandeza comaquela onde esto x. .Observe que: .o nmero de horas de trabalho, podemos onmero de caminhes. Portanto a relao ( ).o volume de areia, devemos o nmero decaminhes. Portanto a relao (). Devemos igualar a razo que contm otermo x com o produto das outras razes de acordo com o sentidodas setas.Montando a proporo e resolvendo a equao temos:Logo, sero necessrios caminhes.Soluo:Montando a proporo e resolvendo a equao temosSoluo:Identificao dos tipos de relao: .inversamenteproporcionaldiretamente proporcionalDiminuindoaumentainversamente proporcionais1)Aumentando diminuirseta para cima na1 colunaAumentando aumentarsetapara baixo na 3 coluna25REGRA DE TRS COMPOSTA332)AumentandoaumentaAumentandoaumenta32 carrinhos3)diretamente proporcionaisinversamente proporcionais12 diasPratique1)2)3)4)5)Numa fbrica de brinquedos, 8 homens montam20 carrinhos em5 dias. Quantos carrinhos sero montados por 4 homens em 16dias?montando a tabela:Observe que:onmerodehomens, aproduodecarrinhos. Portantoarelao (noprecisamos inverter a razo).o nmero de dias, a produo de carrinhos. Portanto a relao tambm (no precisamos inverter a razo). Devemos igualar a razo quecontmo termo x como produto das outras razes.:Logo, sero montados .____________________________________________________Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m dealtura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m,qual ser o tempo necessrio para completar esse muro?Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contmo x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezascom a incgnita e discordantes paraas , como mostra a figura abaixo::Logo, para completar o muro sero necessrios .Agora chegou a sua vez de tentar. tentando fazer essesexerccios:Trs torneiras enchemuma piscina em10 horas. Quantas horaslevaro 10 torneiras para encher 2 piscinas?Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6toneladasdecarvo. Sefor aumentadapara20homens, emquantos dias conseguiro extrair 5,6 toneladas de carvo?Vinte operrios, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 diaspara construir um muro de 300m. Quanto tempo levar uma turmade 16 operrios, trabalhando 9 horas por dia, para construir ummuro de 225m?Um caminhoneiro entrega uma carga em um ms, viajando 8horas por dia, a uma velocidade mdia de 50 km/h. Quantas horaspor dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, auma velocidade mdia de 60 km/h?Comuma certa quantidade de fio, uma fbrica produz 5400mdetecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros detecido, com1 metro e 20 centmetros de largura, seriamproduzidosem25 minutos?RESPOSTAS:Soluo:diretamente proporcionaldiretamente proporcionalMontando a proporo e resolvendo a equao temosMontando a proporo e resolvendo a equao temosExerccios complementares35120x= 3 x = 5 . 1205 . 1203=x=x 200horas por dia prazo para trmino (dias)8520xx2085= 5 x = 20 . 81605=x=x 32Invertemosos termoshoras caminhes1601258520xvolume160125volume8520xhoras caminhes160125volume8520xhoras caminhes20x160125=58. Invertemosos termos20x160125=58.20251120x=202520x=455. 204=x=x 25homens carrinhos5168420xdias20x84=20 . 4 . 168 . 5=x=x 325169xdias2324pedreiros altura9x24=32.Invertemosos termos9. 86=x=x121 - 6 h o r a s .2 - 3 5 d i a s .3 - 1 5 d i a s .4 - 1 0 h o r a s p o r d i a .5 - 2 0 2 5 m e t r o s .EXPRESSO CULTURAL MatemticaUma dica importante: o .Se, por exemplo, h um de 10%a umdeterminado valor,podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por, que o fator de multiplicao. Se o acrscimo for de 20%,multiplicamos por , e assimpor diante. Veja a tabela abaixo:Aumentando 10%no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 =No caso de haver um , o fator de multiplicao ser:Fator de Multiplicao =1 - taxa de desconto (na forma decimal)Veja a tabela abaixo:Descontando 10%no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 =Asmedidasdesuperfciefazempartedenossodiaadiaerespondema nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:- Qual a area desta sala?- Qual a area desse apartamento?- Quantos metros quadrados de azulejos so necessarios pararevestir essa piscina?- Qual a area dessa quadra de futebol de salo?- Qual a area pintada dessa parede?FATOR DE MULTIPLICAO1,101,20R$ 11,00____________________________________________________R$ 9,00IntroduoacrscimodecrscimoExemplo:Exemplo:REA DAS FIGURAS PLANASMEDIDAS DE SUPERFCIEahS = a . hbParalelogramoPORCENTAGEMfrequenteousodeexpressesquerefletemacrscimosouredues em preos, nmeros ou quantidades, sempre tomandopor base 100 unidades. Alguns exemplos:Agasolina teve um aumento de 15% .Significa que emcada R$100 houve umacrscimo de R$15,00O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.Significa que emcada R$100 foi dado umdesconto de R$10,00Dos jogadores que jogamno Grmio, 90%so craques. .Significa que emcada 100 jogadores que jogamno Grmio, 90 socraques.Toda a razo que tem para consequente onmero 100 denomina-se . Alguns exemplos:Podemos representar uma razo centesimal de outras formas:Joovendeu50%dosseus50cavalos. Quantoscavaloselevendeu? .Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual(50%) sobre o total de cavalos.Logo, elevendeu25cavalos, querepresentaaprocurada.Portanto, chegamos a seguinte definio:Exemplos:Calcular 10%de 300.Calcular 25% de 200kg.Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols defalta esse jogador fez?Se eu comprei uma ao de um clube por R$250,00 e a revendipor R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?Razo centesimal:razocentesimalporcentagem1-2 -1)2)As expresses 7%, 16% e 125% so chamadasou .Considere o seguinte problema:taxas centesimaistaxas percentuaisEXERCCIOS:Montamos uma equao, onde somando os R$250,00 iniciais coma porcentagem que aumentou em relao a esses R$250,00,resulte nos R$300,00.Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.7100, , ,161001251002101007100= 0,07 = 7%(l-sesete por cento)16100125100= 0,16 = 16% (l-sedezesseis por cento)= 1,25 = 125%(l-secento e vinte e cinco por cento)5010050% de 50 =. 50 = 25 cavalos25001001010010% de 300 = . 300= 302510025% de 200 = . 200= 5081008% de 75 = . 75= = 6600100Portanto o jogadorfez 6 gols de falta.x100250 + 250 .= 300 2,5 . x = 300 - 250 x =502,5x = 20Porcentagem o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentuala um determinado valor.Acrscimo ou Lucro Fator de Multiplicao10 %15 %20 %47 %67 %1,101,151,201,471,67Desconto Fator de Multiplicao10 %25 %34 %60 %90 %0,900,750,660,400,10abS = a . bRetnguloaS = a2QuadradoaTringuloabcS =a . h2haTrapziobc dhS =(B + b) . h2ha aa aS =D. d2DLosangoaTringulo equilterol lh20Matemtica EXPRESSO CULTURAL21Superfcie e reaMetroQuadrado.1)2)3)100 vezestrs direitaSuperficie uma grandeza comduas dimenses, enquanto rea a medida dessa grandeza, portanto, umnmero.Aunidade fundamental de superfcie chama-seO metro quadrado (m ) a medida correspondente superfcie deumquadrado com1 metro de lado.Odam , o hme kmso utilizados para medir grandes superfcies,enquantoodm , ocmeommsoutilizadosparapequenassuperfcies.Exemplos:Leia a seguinte medida: 12,56mL-se12 metros quadrados e 56 decmetros quadrados. Cadacoluna dessa tabela corresponde a uma unidade de rea.Leia a seguinte medida: 178,3 mL-se178 metros quadrados e 30 decmetros quadradosLeia a seguinte medida: 0,917 damL-se 9.170 decmetros quadrados.Asmedidasagrriassoutilizadaspareamedirsuperfciesdecampo, plantaes, pastos, fazendas, etc. Aprincipal unidadedestas medidas o are (a). Possui ummltiplo, o hectare (ha), e umsubmltiplo, o centiare (ca).Lembre-se: 1 ha = 1hm1a = 1 dam1ca = 1mNo sistema mtrico decimal, devemos lembrar que, natransformao de unidades de superfcie, cada unidade desuperfcie maior que a unidade imediatamente inferior:Observe as seguintes transformaes:- Transformar 2,36 m emmm .Para transformar mem mm( posies ) devemosmultiplicar por 1.000.000 (100x100x100).2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mmmetroquadrado22 2 22 2 22222222 22 22Medidas AgrriasTransformao de unidades- Transformar 580,2 damem km .Para transformar damem km( posies )devemos dividir por 10.000 (100x100).580,2 : 10.000 = 0,05802 kmTente resolver esses exerccios:1) Transforme 8,37 dmem mm2) Transforme 3,1416 mem cm3) Transforme 2,14 mem dam4) Calcule 40m x 25mFrequentemente nos deparamos com problemas que envolvem ouso de trs dimenses: comprimento, largura e altura. De posse detaismedidastridimensionais, poderemoscalcular medidasdemetros cbicos e volume.Aunidadefundamental devolumechama-semetrocbico. O(m ) medida correspondente ao espao ocupadopor umcubo com1 mde aresta.A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimentodo aplicado s medidas lineares. Devemos utilizar porem, tresalgarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casaficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.Leia a seguinte medida: 75,84mL-se "75 metros cbicos e 840 decmetros cbicos".Leia a medida: 0,0064dmL-se "6400 centmetros cbicos".Natransformaodeunidadesdevolume, nosistemamtricodecimal, devemos lembrar que.Observe a seguinte transformao:- Transformar 2,45 m para dm .Para transformar mem dm( ) devemosmultiplicar por 1.000.2,45 x 1.000 = 2.450 dm2 22 22________________________________________________________________________________________________________2 22 22 23333 33 33duas esquerdaPratique!IntroduoMetro cbicometro cbicoMltiplos e submltiplos do metro cbicoLeitura das medidas de volume1)2)cada unidade de volume 1.000vezes maior quea unidadeimediatamente inferioruma posio direita(R: 83.700 mm )(R: 31.416 cm )(R: 0,0214 dam )(R: 1.000 m )2222MEDIDAS DE VOLUMETransformao de unidadesMltiplosUnidadeFundamentalSubmltiplosquilmetrosquadradoshectmetrosquadradosdecmetrosquadradosmetroquadradodecmetrosquadradoscentmetrosquadradosmilmetrosquadradoskm2hm2dam2m2dm2cm2mm21.000.000 m210.000 m2100 m21 m20,01 m20,0001 m20,000001 m2km2hm2dam2m2dm2cm2mm212, 56km2hm2dam2m2dm2cm2mm278, 30 1Unidade Agrria hectare (ha) are (a) centiare (ca)1 a 100 a Equivalncia de Valor 0,01 akm2hm2dam2m2dm2cm2mm2x100 x100 x100 x100 x100 x100:100 :100 :100 :100 :100 :100km2hm2dam2m2dm2cm2mm2km2hm2dam2m2dm2cm2mm291, 70 0km2hm2dam2m2dm2cm2mm2MltiplosUnidadeFundamentalSubmltiplosquilmetroscbicoshectmetroscbicosdecmetroscbicosmetroscbicosdecmetroscbicoscentmetroscbicosmilmetroscbicoskm3hm3dam3m3dm3cm3mm31.000.000.000 m31.000.000 m31.000 m31 m30,001 m30,000001 m30,000000001 m3km3hm3dam3m3dm3cm3mm375, 840km3hm3dam3m3dm3cm3mm30, 006 400km3hm3dam3m3dm3cm3mm3x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000:1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000km3hm3dam3m3dm3cm3mm3EXPRESSO CULTURAL MatemticaPratique!1)2)3)4)CapacidadeMltiplose submltiplosdolitroLeitura das medidas de capacidadecada unidade de capacidade 10vezes maior quea unidadeimediatamente inferiortrs direitaPratique!DefiniesTente resolver esses exerccios:Transforme 8,132 km emhmTransforme 180 hmemkmTransforme 1 dmemdamExpresse em metros cbicos o valor da expresso: 3.540dm+340.000cmAquantidade de lquido igual ao volume interno de umrecipiente,afinal quando enchemos este recipiente, o lquido assume a formado mesmo. o volume interno de umrecipiente.Aunidade fundamental de capacidade chama-se litro.Litro a capacidade de umcubo que tem1dmde aresta.1l =1dmCada unidade 10 vezes maior que a unidade imediatamenteinferior.Relaes1l = 1dm1ml = 1cm1kl = 1mEx: Leia a seguinte medida: 2,478 dalL-se "2 decalitros e 478 centilitros".Na transformao de unidades de capacidade, no sistema mtricodecimal, devemos lembrar que.Observe a seguinte transformao:- Transformar 3,19 l para ml.Paratransformar l paraml ( posies ) devemosmultiplicar por 1.000 (10x10x10).3,19 x 1.000 =3.190 mlTente resolver esses exerccios:Denomina-se equao do 2 grau na incgnita x, toda equao daforma:3 33 33 3333333(R: 8.132 hm ) .(R: 0,18 km ) .(R: 0,000001 dam ) .(R: 3,88 m )(R: 71.500 dl)(R: 650 l)(R: 0,0906 l)(R: 800 l)3333MEDIDAS DE CAPACIDADEEQUAES DE 2 GRAUTransformao de unidades1)2)3)4)Transforme 7,15 kl emdlTransforme 6,5 hl emlTransforme 90,6 ml emlExpresse emlitros o valor da expresso: 0,6m3+10 dal+1hlExemplo: umequao do 2 grau com =1, =-5 e =6. umequao do 2 grau com =6, =-1 e =-1. umequao do 2 grau com =7, =-1 e =0. umequao do 2 grau com =1, =0 e =-36.Nas equaes escritas na forma + + = 0 ( oudeumaequaodo2 graunaincgnita )chamamos , e de . sempre o coeficiente de ; sempre o coeficiente de , o coeficiente ou termo independente.Uma equao do 2 grau quando e so diferentesde zero. Exemplos:- 9 + 20 = 0 e - + 10 - 16 = 0 so equaes completas.Uma equao do 2 grau quando ou igual azero, ou ainda quando ambos so iguais a zero. Exemplos:Resolver uma equao do 2 grau significa determinar suas .Raiz o nmero real que, ao substituir a incgnita de umaequao, transforma-a numa sentena verdadeira.O conjunto formado pelas razes de uma equao denomina-seou . Exemplos:- Dentre os elementos do conjuntosA= {-1, 0, 1, 2}, quais so razesda equao x - x - 2 =0 ?Substitumos a incgnita x da equao por cada umdos elementosdo conjunto e verificamos quais as sentenas verdadeiras.Logo, -1 e 2 so razes da equao..Substituindo a incgnita por , determinamos o valor de p.x - 5x +6 =0 a b c6x - x - 1 =0 a b c7x - x =0 a b cx - 36 =0 a b cax bx ca b cx x x x222222 2forma normalforma reduzidacoeficientesEquao completas e Incompletascompletaincompletarazesconjunto verdade conjunto soluoSoluoSoluox 2xa xb xcb cb c2Razes de uma equao do 2 grauDetermine sabendo que raiz da equao (2p - 1) x - 2px - 2 = 0 p 2MltiplosUnidadeFundamentalSubmltiplosquilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitrokl hl dal l dl cl ml1000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 lkl hl dal l dl cl ml4 7 2, 8kl hl dal l dl cl mlx10 x10 x10 x10 x10 x10:10 :10 :10 :10 :10 :10kl hl dal l dl cl ml= ax + bx + c = abc20; , , e IR a 0xb - 36 = 0( = 0)x - 10x = 0(c = 0)4xb = 0( = c = 0)Para x = -1x - x - 2 = 0- (-1) - 2 = 01 + 1 - 2 = 00 = 0(-1)2(V)Para x = 0x - x - 2 = 00- 0 - 2 = 00 - 0 - 2 = 0-2= 02(F)Para x = 1x - x - 2 = 01- 1 - 2 = 01 - 1 - 2 = 0-2= 02(F)Para x = 2x - x - 2 = 02- 2 - 2 = 04 - 2 - 2 = 00 = 02(V)(2p - 1) . 22- 2p . 2 - 2 = 0(2p - 1) . 4 - 4p - 2 = 08p - 4 - 4p -2 = 04p - 6 = 04p = 6p =64p =3232Logo, o valor de p22Matemtica EXPRESSO CULTURAL1 Propriedade: Se e ento ou xIR, yIR xy = 0, , x = 0 y = 02 Propriedade: Se e ento ou xIR, y IR x = y , , x = y x = - y223Resoluo de equaes incompletasResoluodeequaes completasResolver uma equao significa determinar o seu conjuntoverdade.Utilizamos na resoluo de uma equao incompleta as tcnicasda fatorao e duas importantes propriedades dos nmeros reais:Equao do tipoExemplo:- Determine as razes da equao sendo =IRInicialmente, colocamos em evidncia:Para o produto ser igual a zero, basta que umdos fatores tambmoseja. Assim:Obtemosdessamaneiraduasrazesqueformamoconjuntoverdade: V={0, 8}De modo geral, a equao do tipo tempara solueseEquao do tipoExemplo:- Determine as razes da equao sendo =IRDe modo geral, a equao do tipo possui duas razesreais se for umnmero positivo, no tendo raiz real casoseja umnmero negativo.A resoluo de equaes do 2 grau incompletas j foi explicadaacima, vamos agora resolver equaes do 2 grau completas, ouseja, do tipo ax+bx+c=0 com, e diferentes de zero.- Uma equao do 2 grau pode ter at 2 razes reais, que podemser determinadas pela .Denominamos o radical b2 - 4ac que represen-tado pela letra grega (delta).Utilizando a frmula de Bhskara, vamos resolver algunsexerccios:3x - 7x +2 =0 =3, =-7 e =2Substituindo na frmula, temos:1 Caso:Soluo:x2 Caso:Soluo:a b cfrmuladeBhskaradiscriminante1) a b cax +bx =0x +8x =0 Ux =0 ou x - 8=0 x =8ax +bx =0x =0 x =-ax +c =02x - 72=0 Uax +c =0222222x.(x-8) = 02) a b c3) a b csomasomaprodutoprodutoa-x +4x - 4 =0 =-1, =4 e =-4Substituindo na frmula de Bhskara, temos:- Neste caso, tivemos uma equao do 2 grau com duas razesreais e iguais. ( =0)5x - 6x +5 =0 =5, =-6, =5Note que < 0 no existe raiz quadrada de umnmero negativo.Assim, a equao no possui nenhuma raiz real.:Vamos provar as relaes descritas acima:Dado a equao ax+bx+c=0, coma 0e 0, suas raizesso:A das razes ser:Logo,a dasrazes de uma equao do2 graudadapor:O das razes ser:Logo, o dasrazes deumaequaodo2 grau dadapor:Podemos atravs da equao ax+bx+c=0, dividir por . ObtendoRelaes entre coeficientes e razesba+-+-a equao tem duas raizes simtricas2x2= 72x = 36x =36oux = - 36x = 36x =62-caca= b - 4ac2x =- b+2a= b - 4ac2= (-7) - 4.3.22= 25x=- b+2a- (-7) +252 . 3x=7+ 56x=7 + 56xl=2 xl=7 56xll=xll=1313, 2V = Logo, o conjunto verdade ou soluo da equao := b - 4ac2= 4 - 4.(-1).(-4)2= 0 = 16 - 16x=- b+2a-4 +02 . (-1)x=-4+0-2x= 2 x=Logo, o conjunto verdade ou soluo da equao := b - 4ac2= (-6) - 4 . 5 . 52= - 64 = 36 - 100Dada a equao ax + bx + c = 0, temos:Para> 0, a equao tem duas razes reais diferentes.Para= 0, a equao tem duas razes reais iguais.Para< 0, a equao no tem razes reais.Resumindox=- b +2ax=- b2aex + x=- b +2a- b2a=2ba=ba=bSx . x=( b ) -+4a.=( b ) - b4a=b4ab - (b - 4ac)4a=4ac4a=caa=cPax + bx + c =axa+bxa+caa=bSa=cP eSubstituindo por:EXPRESSO CULTURAL MatemticaSomaba=Produtoca=Obtendo aDetermine a soma e o produto das seguintes equaes:x - 4x +3 =0Soluo: Sendo a=1, b=-4e c=3:2x - 6x - 8 =0Sendo a=2, b=-6e c=-8:4-x =0Sendo a=-1, b=0e c=4:Equaes fracionrias so as que possuemincgnitas nodenominadoreoprocessoderesoluodestasequaesomesmo das equaes no fracionrias.Exemplos resolvidos:Encontrando o dos denominadores: 2xEliminando os denominadores, pois eles so iguais:8 +x =6x x - 6x +8 =0Aplicando a frmula de Bhskara:x - 6x +8 =0Logo, x =2 e x =4 S={2,-4}dos denominadores: (x-1).(x+2)Eliminando os denominadores:* Note que a soluo da equao deve ser diferente de 1 e 2 poisseno anularia o denominador, logo a soluo da equao sersomente:x=-1 S={-1}Equaes literais so as que possuemuma ou mais letras almdaincgnita.ExDetermine o valor da incgnita .x - 3ax +2a =0Aplicando a frmula de Bhskara:Soma e Produtodeuma equaodo2 grau:Ex.1)a)b)c)a)m.m.cb)m.m.cxResoluodeequaes fracionrias do2 grau:Resoluodeequaes literais do2 grau:Soluo:Soluo:Soluo:l lla=1, b=-3a, c=2aEquaco biquadrada como o prprio nome diz, so equaes nasquais esto elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma :Exemplo resolvido:1) x - 5x + 4 = 0Fazendo x =y, temos x ySubstituindo os valores na equao, temos:y - 5y + 4 = 0Aplicando Bhskara:Logo, y =4 e y=1Voltando a varivel x:Como y =x, temos:x =4 x 12 e e x =1 x= 1Ento a soluo serS={-2, -1, 1, 2}ou simplesmenteS={2, 1}Observe a distino entre os conceitos de corpo e massa: a quantidade de matria que um corpo possui, sendo,portanto, constante emqualquer lugar da terra ou fora dela.deumcorpoaforacomqueessecorpoatrado(gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local emque o corpo se encontra. Por exemplo:Amassa do homemna Terra ou na Lua temo mesmo valor. Opeso,no entanto, seis vezes maior na terra do que na lua.Explica-se esse fenmeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6vezes superior gravidade lunar.Obs: A palavragrama, empregadanosentidode"unidadedemedidademassadeumcorpo", umsubstantivomasculino.Assim200g, l-se "duzentos gramas".Aunidade fundamental de massa chama-se quilograma.Resoluodeequaes biquadradas44=l llMEDIDAS DE MASSAMassaPesoQuilogramaApesar de o quilograma ser a unidade fundamentalde massa,utilizamos na prtica o como unidade principal de massa. gramax - Sx + P = 0a= = 4bSa= = 3cP ea= = 3bSa= = - 4cP ea= = 0bSa= = - 4cP ex+42= 3xOnde x 0, pois seno anularia o denominador.Ento:2x+82xx2x6x=x=6+2=( 6) - 4.1.8 - 6=62 +42 2+x - 1+2xx + 21=(x - 1) . (x + 2)5x + 1Onde x 1ex2(x - 1) . (x+2)+2x (x + 2)=(x - 1) . (x + 2)5x + 1(x - 1) . (x + 2)x - 1Ento:2x + 4x + x - 1 = 5x + 1 2x = 2 x = 1 x =1x - (m + n).x + p = 0equao1 - (m + n) pa b c= (-3a) - 4.1.2a2x=3a+2= Logo:3a + a2= b - 4ac2= aax=- b+2ax = 2aex= a ={a,2a} Sl llax + bx + c = 0onde a 04y=-5+2-5+ 32(-5) - 4.1.4y=- b+2ab - 4acy=+ ++ +24Matemtica EXPRESSO CULTURALO quilograma (Kg) a massa de 1dm3 de gua destilada temperatura de 4C.25Mltiplose SubmltiplosdogramaRelaes ImportantesObserve que cada unidade de volume dez vezes maior que aunidade imediatamente inferior. Exemplos:1 dag = 10 g1 g = 10 dgPodemos relacionar as medidas de massa com as medidas devolume e capacidade.Assim, para a (destilada) a uma temperatura de vlida a seguinte equivalncia:gua pura 4CObservao:Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda asseguintes unidades especiais:1 arroba = 15 kg1 tonelada (t) = 1.000 kg1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kgA leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimentoaplicado s medidas lineares. Exemplos:- Leia a seguinte medida: 83,732 hg- Leia a medida: 0,043gL-se "83 decagramas e 731 decigramas".L-se " 43 miligramas".Leitura das Medidas de MassaTransformao de UnidadesObserve as Seguintes transformaes:- Transforme 4,627 kg emdag.Para transformar kg em dag ( ) devemos(10 x 10).4,627 x 100 =462,7Ouseja: 4,627 kg =462,7 dagObservao:peso do produto com a embalagem.peso somente do produto. comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:- Qual a durao dessa partida de futebol?- Qual o tempo dessa viagem?- Qual a durao desse curso?- Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?Todas essas perguntas sero respondidas tomando por base umaunidade padro de medida de tempo.A unidade de tempo escolhida como padro no SistemaInternacional (SI) o segundo.OSol foi o primeiro relgio do homem: o intervalo de tempo naturaldecorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dadomeridiano d origemao dia solar.As medidas de tempo no pertencemao Sistema Mtrico Decimal.Mltiplos e Submltiplos do Segundo.1 minutos (min)=60 s1 hora (h) =60 min =3.600 s1 dia =24 h =1.440 min =86.400sSo submltiplos do segundo: dcimo de segundocentsimo de segundomilsimo de segundoNunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40min. Pois o sistema de medidas de tempo no decimal.Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades demedida. Cada um deles possua suas prprias unidades-padro.Comodesenvolvimentodocomrcioficavamcadavezmaisdifceisatrocadeinformaeseasnegociaescomtantasmedidas diferentes. Era necessrio que se adotasse umpara cada grandeza.Foi assim que, em 1791, poca da Revoluo francesa, um grupoderepresentantesdevriospasesreuniu-separadiscutir aadoodeumsistemanicodemedidas. Surgiaoduas posies direitamultiplicar por 100Peso bruto:Peso lquido:Cuidado:padrodemedidanicosistemamtricodecimal.MEDIDAS DE TEMPOMEDIDAS DE COMPRIMENTOSegundoMltiplose SubmltiplosdoSegundoSistema Mtrico DecimalMltiplos SubmltiplosUnidadeprincipalquilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligramakg hg dag g dg cg mg1000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g1 kg 1dm3 1L1m 1 Kl1t31cm 1ml1g3kghgdaggdgcgmg8 3, 7 3 1kghgdaggdgcgmg0, 0 4 3kg hg dag g dg cg glx10 x10 x10 x10 x10 x10:10 :10 :10 :10 :10 :10hg dag g dg cg mg kg186400O segundo (s) o tempo equivalente a do dia solar mdio2,40 h=2h + h=2 h e 24 minutos4010040100. 60 minutos =24 minutosEXPRESSO CULTURAL MatemticaCada unidade de massa 10 vezes maiorque a unidade imediatamente inferiorMetroMltiplose SubmltiplosdoMetroApalavra vemdo gegro e significa "o que mede". Foiestabelecido inicialmente que a medida do metro seria a dcimamilionsimapartedadistnciadoPloNorteaoEquador, nomeridianoquepassaporParis. NoBrasil ometrofoi adotadooficialmente em1928.Alm da unidade fundamental de comprimento, o metro, existemainda os seus mltiplos e submltiplos, cujos nomes soformados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centie mili. Observe o quadro:Os mltiplos do metro so utilizados para medir grandesdistncias, enquanto os submltiplos, para pequenas distncias.Para medidas milimtricas, emque se exige preciso, utilizamos:mcron () =10m angstrn () =10 mPara distncias astronmicas utilizamos oAno-luz (distnciapercorrida pela luz emumano):Ano-luz =9,5 10 kmOp, a polegada, a milha e a jarda so unidades no pertencentesao sistemas mtrico decimal, so utilizadas em pases de lnguainglesa. Observe as igualdades abaixo:P =30,48 cmPolegada =2,54 cmJarda =91,44 cmMilha terrestre =1.609 mMilha martima =1.852 mObserve que: 1 p =12 polegadas1 jarda = 3 psA leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com oauxlio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida:15,048 m.1) Escrever o quadro de unidades:2) Colocar o nmero no quadro de unidades, localizando o ltimoalgarismo da parte inteira sob a sua respectiva.3) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seultimo algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade demedida do ltimo algarismo da mesma.15 metros e 48 milmetrosOutros exemplos:6,07 km82,107dam0,003 mmetro mtronSeqnciaprtica-6 -1012Leitura das Medidas de Comprimentol-se "seis quilmetros e sete decmetrosl-se "oitenta edois decmetros ecento esete centmetros".l-se "trs milmetros".Transformao de UnidadesPermetrodeumPolgonoObserve as seguintes transformaes:- Transforme 16,584hm em m.Para transformar hm em m ( ) devemos(10 x 10).16,584 x 100 =1.658,4Ouseja: 16,584hm=1.658,4mPara resolver uma expresso formada por termos com diferentesunidades, devemosinicialmentetransformar todoselesnumamesma unidade, para a seguir efetuar as operaes.duas posies direitamultiplicar por 100Observao:MltiplosUnidadeFundamentalSubmltiplosquilometro hectmetro decmetro metro decmetro centmetro milmetrokm hm dam m dm cm mm1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 mkm hm dam m dm cm mmkm hm dam m dm cm mm5, 0 1 4 8km hm dam m dm cm mmx10 x10 x10 x10 x10 x10:10 :10 :10 :10 :10 :10hm dam m dm cm mm kmbhPermetro= base ou comprimento= altura ou largura= 2b + 2h = 2(b+h)bhRetnguloPP== 4 .l l l + + +llTringulo equilterol lPP== 3 .l l l + +llTringuloabcP = a + b + cHexagonollll lll ll llPP== 5 .l l l + + + + l llPentgonoPP== 6 .l l l + + + + + l l lllP- medida do lado do polgono regular- permetro do polgono regularPara um polgono de lados, temos: n P = n .l26Matemtica EXPRESSO CULTURALPermetro de um polgono a soma das medidas dos seus lados.27Comprimento da CircunfernciaUm pneu tem 40cm de dimetro, conforme a figura. Pergunta-se:Cadavoltacompletadestepneucorrespondenahorizontal aquantos centmetros?Envolva a roda com um barbante. Marque o incio (A) e o fim (B)desta volta no barbante.Estiqueobastanteemeaocomprimentodacircunfernciacorrespondente roda.Medindo essa dimenso voc encontrar aproximadamente125,6cm, queumvalorumpoucosuperiora3vezesoseudimetro. Vamos ver como determinar este comprimento por umprocesso no experimental.Vocprovavelmentejouviufalar deumaantigadescobertamatemtica:Onmero corresponde emmatemtica letra grega(l-se Pi) que a primeira letra da palavra grega permetro.Costuma-se considerar =3,14.Utilizando essa frmula, podemos determinar o comprimento dequalquer circunferncia.Podemos agora conferir com auxlio da frmula o comprimento datoda obtido experimentalmente.Nos clculos envolvendo mdia aritmtica simples, todas asocorrncias tm exatamente a mesma importncia ou o mesmopeso. Dizemos ento que elas tm o mesmo peso relativo. Noentanto, existemcasos ondeas ocorrncias tmimportnciarelativa diferente. Nestes casos, o clculo da mdia deve levar emconta esta importncia relativa ou peso relativo. Este tipo de mdiachama-se mdia aritmtica .Ponderar sinnimo de . No clculo da mdia ponderada,multiplicamos cada valor do conjunto por seu "peso", isto , suaimportncia relativa.3,141592...ponderadapesarMDIAARITMTICA SIMPLESMDIA PONDERADAAmdia aritmtica simples tambm conhecida apenas por mdia.a medida de posio mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Elaest to presente emnosso dia-a-dia que qualquer pessoa entendeseu significado e a utiliza com frequncia. Amdia de um conjuntode valores numricos calculadae dividindo-se o resultado pelo, que igual ao nmero de elementos do conjunto, ouseja, a mdia de nmeros sua .somando-se todos estesvalores nmero de elementossomadosn soma divididapor nDefiniodemdia aritmtica ponderada:Catetos e HipotenusaSeno, Cossenoe TangenteFrmulaFundamental daTrigonometriaAmdia aritmtica ponderada de umconjunto de nmeros x , x ,x , ..., xcuja importncia relativa ("peso") respectivamente p , p ,p , ..., p calculada da seguinte maneira:1 23 n 1 23 nExemplo: Alcebadesparticipoudeumconcurso, ondeforamrealizadas provas de Portugus, Matemtica, Biologia e Histria.Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. SabendoqueAlcebades tirou 8,0 emPortugus, 7,5 emMatemtica, 5,0 emBiologia e 4,0 emHistria, qual foi a mdia que ele obteve?Portanto a mdia deAlcebades foi de 6,45.Emumtringulochamamosoladoopostoaonguloretodehipotenusa e os lados adjacentes de catetos.Considere umtringulo retngulo BAC:Ora: sen = e cos = , portanto:Dividindo a frmula fundamental por cos e sabendo quetemos queAnalogamente, dividindo por sene dado quevem queEstas frmulas so consideradasepermitemdeduzir, semrecorrer aoauxliodetabelas ou de mquinas de calcular, os valores exactos de todas asrazes trigonomtricas de um ngulo, desde que se