Matemtica e Suas Tecnologias MatemticaEnsino Fundamental, 9 ESTUDO DAS FUNES CONCEITOS INICIAISMATEMTICAEnsino Fundamental, 9 anoEstudo das funes conceitos iniciais

Imagem: JC Santos/ Public Domain.Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Entendemos por par ordenado um conjunto de dois elementos, sendo:Produto cartesiano:PAR ORDENADO (x,y)A X B = {(X,Y)/ X A e Y B}Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Exemplo:Dados os conjuntos A={2, 3} e B={1, 3, 5}, teremos: A x B ={(2, 1),(2, 3),(2, 5),(3, 1),(3, 3), (3, 5)}primeiro elemento do conjunto A e o segundo do B.Essa forma de representao denominada forma tabular.Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Forma grfica:A x B ={(2, 1),(2, 3),(2, 5),(3, 1),(3, 3),(3, 5)}{(1, 2),(3, 2),(5, 2),(1, 3),(3, 3),(5, 3)}A = {2, 3} e B = {1, 3, 5}B x A =023135......(2, 1)(2, 3)(2, 5)(3, 1)(3, 3)(3, 5)03523....(3, 2)(3, 3)(5, 2)(5, 3)1..(1, 3)(1, 2)YXYXMatemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

{(2, 2),(2, 4),(2, 5),Seja A = {2, 3, 4} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, temos:A x B =Chamamos de relao binria de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B.(2, 6),(2, 7),(2, 8),(2, 9),(3, 2),(3, 4),(3, 5),(3, 6),(3, 7),(3, 8),(3, 9),(4, 2),(4, 4),(4, 5),(4, 6),(4, 7),(4, 8),(4, 9)}Chamemos uma relao binria R do produto cartesiano A x B, em que y o consecutivo do dobro de x.R={(2, 5), A equao y = 2x + 1 a Lei da relao R.(3, 7),(4, 9)}R = {(X,Y)/ A X B/ Y = 2X+1}Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

2 3 4 6 A BA = {2, 3, 4} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}R={(2, 5),(3, 7),(4, 9)} 2 4 5 7 8 9D = {2, 3, 4} so os primeiros elementos da relao R.CD = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} so os elementos do conjunto B.Im = {5, 7, 9} so os elementos do conj. B que fazem parte da relao.D = domnioCD = contradomnioIm = imagemA relao R = {(x,y)/ A x B/ y = 2x+1} em diagramas de flechas. Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Exemplo: 1 3 4 A BA = {1, 3, 4, 7} e B = {2, 3, 5, 9}R={(3, 2),(4, 3)} 2 3 5 9D = {3 , 4} so os primeiros elementos da relao R.CD = {2, 3, 5, 9} so os elementos do conjunto B.Im = {2, 3} so os elementos do conj. B que fazem parte da relao.D = domnioCD = contradomnioIm = imagem 7RA relao R = {(x,y)/ A x B/ y = x- 1} em diagramas de flechas. Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

A = {1, 3, 4, 7} e B = {2, 3, 5, 9}R={(3, 2),(4, 3)}023139..(3, 2)(4, 3)YX42Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Funo uma relao binria em que cada elemento x do conjunto A corresponde a um nico elemento y do conjunto B.f: A B l-se: f funo de A em B.Sejam A e B conjuntos no vazios.Exemplos: 1 3 4 A B 2 3 5a)R1 uma funo de A em B, pois cada elemento do conjunto A corresponde a um nico elemento do conjunto B. R1y = f(x) l-se: y funo de x, com x A e y B. Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

1 3 4 A B 2 3 5b)R2 uma funo de A em B, pois cada elemento do conjunto A corresponde a um nico elemento do conjunto B. R2 1 3 A B 2 3 5c)R3 no uma funo de A em B, pois o elemento 3 do conjunto A corresponde a dois elementos do conjunto B. R3Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

3 A B 2 3 5d)R4 no uma funo de A em B, pois o elemento 3 do conjunto A corresponde a trs elementos do conjunto B. R4 1 3 A B 2 3 5e)R3 no uma funo de A em B, pois o elemento 4 do conjunto A no corresponde a um elemento do conjunto B. R5 4Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

.Quais diagramas representam funes?a)876987b)12413c)33d)61212e)47283f)23100ABABABABABABSimNoSimNoSimNoMatemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Sejam os conjuntos:A= {1, 0, 1, 2, 3} e B= {3, 2, 1, 0, 1, 2} e a relaoR= {(1, 3),(0, 2), (1, 1),(2, 0), (3, 1)}e 1 0 0 2R 1 2 3 2 1 1 A B 3R = {(x,y)/ A x B/ y = x 2}Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

1 3 4 A B 2 3 5Considerando uma funo f: AB, temos:fD(f) = A l-se: o domnio da funo f igual ao conjunto A.CD(f) = B l-se: o contradomnio da funo f igual ao conjunto B.Im(f) = {2, 3} l-se: o conj. imagem da funo f est contido no CD.D(f) = {1, 3, 4}CD(f) = {2, 3, 5}Im(f) = {2, 3}Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

2.32 32x2 3 =a) Considerando a funo f(x)= x + 2, temos:f:(1) =1 + 2= 3(a imagem de 1 pela funo f f(1) = 3)f:(2) =2 + 2= 0(a imagem de 2 pela funo f f( 2) = 0)b) Considerando a funo f(x)= 2x2 3, temos:f:(3) == 2.9 3(a imagem de 3 pela funo f f(3) = 21)= 18 3= 21f:(1) =2.(1)2 3(a imagem de 1 pela funo f f(1) = 5)= 2.1 3= 2 3= 5x + 2f:(x) =f:(x) =x + 2f:(x) =f:(x) =2x2 3 =Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Dada a funo f de A em B, chamamos raiz (ou zero) da funo todo elemento de A cuja imagem zero.(portanto 3 no raiz da funo, pois f (3)= - 21 0 2.32 3f:(2) =2 + 2= 0(portanto 2 raiz da funo, ou seja, f( 2) = 0)f:(3) == 2.9 3= 18 3= 21a) Na funo f:IRIR dada por f(x) = x + 2, temos:b) Na funo f:IRIR dada por f(x) = 2x2 3, temos:Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Exemplo: Dados os conjuntos A= {1, 0, 1} e B= {1, 1, 2, 3}, determinar a funo f:AB definida pela lei y = 2x +1. 1 0 1 A B 1 1 2f 3x= 1 y= 2.(1) + 1 y = 2 +1 y= 1x= 0 y= 2.0 + 1 y = 0 +1 y= 1x= 1 y= 2.1 + 1 y = 2 +1 y= 3OBS: Cada elemento de A corresponde apenas a um elemento em B.FUNO INJETORASeja f uma funo de A em B (f:A B). Se para quaisquer elementos distintos do conjunto A (x1 x2) correspondem elementos diferentes do conjunto B (y1 y2), dizemos que a funo injetora.Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

FUNO SOBREJETORASeja f uma funo de A em B (f:AB). Dizemos que f uma funo sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao conjunto B.Exemplo: Dados os conjuntos A= {1, 1, 2} e B= {1, 7}, determinar a funo f:AB definida pela lei y= 2x2 1. 1 1 2 A B 1 7fx= 1 y= 2.(1)2 1 y = 2. 11 y= 2 1 y= 1OBS: Cada elemento de B imagem de pelo menos um elemento de A.Im(f) = B ou Im(f) = CD(f)x= 1 y= 2.12 1 y = 2. 11 y= 2 1 y= 1x= 2 y= 2.22 1 y = 2. 41 y= 8 1 y= 7Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

FUNO BIJETORAx= 0 y= 2.0 1 y= 0 1 y= 1x= 2 y= 2.2 1 y = 4 1 y= 3x= 4 y= 2.4 1 y= 8 1 y= 7Seja f uma funo de A em B (f:AB). Dizemos que f uma funo bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Neste caso, cada elemento distinto de A corresponde a um elemento distinto em B (injetora) e Im(f) = B (sobrejetora).Exemplo: Dados os conjuntos A= {0, 2, 4} e B= {1, 3, 7}, determinar a funo f:AB definida pela lei y= 2x 1. 0 2 4 A B 1 3fOBS: Cada elemento de B imagem de pelo menos um elemento de A e cada elemento de A possui uma imagem distinta em B. 7Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Determinar o domnio de uma funo em IR, determinar o subconjunto de IR, formados por todos os valores de x possveis, para que as expresses resultem em um nmero real.Exemplos:Determine o domnio, em IR, das funes:a) D (f) = {x R/ x 5/2}b) 2x 5 02x 5x 5/22x 6 02x 6x 3D (f) = {x R/ x 3}Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

c) x + 2 > 0 x > 0 2 x > 2d) No h restrio. Qualquer n. real possvel. D(f) = IRD (f) = {x R/ x > -2}Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Exemplo:Dados os conjuntos A= {1, 2, 3} e B= {6, 7, 8}, sendo f:AB definida pela lei f(x)= x + 5.Teremos: f= {(1,6), (2, 7), (3, 8)} 1 2 3 A B 6 7 8fe f-1= {(6, 1), (7, 2), (8, 3)} 1 2 3 A B 6 7 8f -1y= x + 5y= x 5Seja f:AB, bijetora. Chama-se funo inversa de f a funo g:BA, se, e somente se, f(m) = n equivaler a g(n) = m, quaisquer que sejam m A e n B. Seja f-1 a funo inversa de f.Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Exemplo 1: Seja a funo: y= x + 5 na lei de correspondncia f:AB.Troca-se o x por y e vice-versa. Ento teremos:x= y + 5Isola-se o y.x 5 = yOu y= x 5Lei de correspondncia da funo f-1.Exemplo 2: Determinar a lei da funo inversa de:A lei da inversa iguala lei da funo dada.Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Observe as tabelas:f(x)= 0,1xg(x)= 12xh(x)= 1,2xFazendo a composio das duas tabelas, podemos obter o custo do percurso sem verificar o consumo.Essa lei obtida fazendo a composio entre as funes g(x) e f(x), ou seja:g o f(x) = g[f(x)] = 12.[f(x)]g o f(x) = 12.(0,1x)h(x) = g o f(x) = 1,2xMatemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Percurso (km)Consumo(L)101202303404

Consumo(L)Custo(R$)112,00224,00336,00448,00

Percurso (km)Custo(R$)1012,002024,003036,004048,00

10 20 30 A C 12 24 36 1 2 3 BPercurso (km)Custo (R$)Consumo (L) 4 40 48Observe que CD(f) = D(g)hfgEnto: h g o f (funo composta de g com f)EM DIAGRAMASMatemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Dadas as funes f e g de IR em IR determine g o f e f o g:a) f(x)= x + 3 e g(x)= x2 5.(g o f)(x)= g[f(x)](g o f)(x)= [f(x)]2 5(g o f)(x)= [x + 3]2 5(g o f)(x)= x2 +6x + 9 5(g o f)(x)= x2 +6x + 4(f o g)(x)= f[g(x)](f o g)(x)= [g(x)] + 3(f o g)(x)= x2 5 + 3(f o g)(x)= x2 2g o ff o gExemplosMatemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

b) f(x)= x + 5 e g(x)= x2 1.(g o f)(x)= g[f(x)](g o f)(x)= [f(x)]2 1(g o f)(x)= [x + 5]2 1(g o f)(x)= x2 +10x + 25 1(g o f)(x)= x2 +10x + 24(f o g)(x)= f[g(x)](f o g)(x)= [g(x)] + 5(f o g)(x)= x2 1 + 5(f o g)(x)= x2 + 4g o ff o gDadas as funes f e g de IR em IR determine g o f e f o g:Matemtica, 9 ano - Estudo das funes conceitos iniciais

Giovanni, Jos Ruy, 1937. Aprendendo matemtica. So Paulo: FTD, 1999.

Site: http://www.modernadigital.com.br

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Tabela de Imagens

SlideAutoria / LicenaLink da FonteData do Acesso2JC Santos/ Public Domain.http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Differentiable_function.png20/07/2015

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