Ensino Superior

Matemática Básica

Unidade 5 – Estudo de Funções

Amintas Paiva Afonso

O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática.

A idéia de função…• Toda vez que temos

dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles...que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1°Trim.

3°Trim.

LesteOesteNorte

Em nosso dia-a-dia temos muitos exemplos de funções:

• O tempo de viagem é função, entre outras coisas, da distância percorrida.

• A altura de uma criança é função de sua idade;

• O consumo de combustível é função, entre outras coisas, da velocidade.

• Perímetro de um triângulo é função da medida de seus lados.

O conceito de função na história...

• René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês porpôs a utilização de um sistema de eixos para localizar pontos e representar graficamente as equações.

• Galileu Galilei (1564-1642), astrônomo e matemático italiano iniciou o método experimental a partir do qual se pode estabelecer uma lei que descreve relações entre as variáveis de um fenômeno.

A função é um modo especial de relacionar grandezas.

• Duas grandezas x e y se relacionam de tal forma que:

– x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado.

– a cada valor de x corresponde um único valor y em um dado conjunto B.

– os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x.

Temos várias maneiras para representar a idéia de função.

d iag ram a d e se tas g rá ficos(p lan o cartes ian o)

le i d e fo rm açã o

C om o rep resen ta r u m a fu n çã o

Representação gráfica

• No dia-a-dia

utilizamos esse tipo

de representação

em vários setores.

Algumas funções especiais:

c rescen te d ec rescen te

q u e p od e ser

o g rá fico é u m a re ta

fu n çã o d o p rim e iro g rau

com con cavid ad e p ara c im a com con cavid ad e p ara b a ixo

o g rá fico é u m a p ará b o la

fu n çã o d o seg u n d o g rau

F u n çõ es

A = {1, 2}; B = {2, 3, 4}A x B = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}

A x B = { (x, y) | x A e y B}

Produto Cartesiano

Uma função (ou aplicação) f é uma lei

segundo a

qual cada elemento x em um conjunto A

está

associado a exatamente um elemento,

chamado f(x), em um conjunto B.

Definição de função

Não é função de A em B

É função de A em B

Definição de função através de conjuntos

Não é função de A em B

É função de A em B

Noção de função através de conjuntos

Im(f)

D(f) = A CD(f) = B

Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem

Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de uma função y = f(x), nenhuma reta vertical deve interceptá-la mais de uma vez.

Teste da reta vertical

D = {x IR| –3 x 4 e x 1} e Im = {y IR| –2 < y 3}

Domínio e imagem através do gráfico

Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da função f todo elemento de A para o qual temos f(x) =0.

Interpretação geométrica das raízes de uma função

raiz

raiz

FUNÇÃO INJETORA

É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B.

0

-3

2

4

1

6

8

Ou seja, “x” diferente tem “y” diferente !!!A B

Uma função f(x) é injetora se nenhuma reta horizontal interceptar seu gráfico em mais de um ponto.

Teste da reta horizontal para verificar se uma função é

injetora

FUNÇÃO SOBREJETORAÉ quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto contradomínio. (Im = CD)

-1

1

3

1

9

Se M é o conjunto das mulheres e H é o conjunto dos homens,então não se pode ter homem

solteiro !!!M H

FUNÇÃO BIJETORAÉ uma função simultaneamente injetora e sobrejetora.

-1

3

7

Ou seja, homens e mulheres com os mesmos direitos !!

1

5

9

M H

Injetora: “x” diferente

tem “y” diferente

Sobrejetora: NÃO SOBRAM elementos no contra domínio.

Não é injetora.É sobrejetora

É injetora.Não é sobrejetora

Injeção, sobrejeção e bijeção

a) b)

É injetoraÉ sobrejetora É bijetora

Injeção, sobrejeção e bijeção

c)

Testando seus conhecimentos

1) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas:

é injetora é sobrejetora

a) b)

123

4567

123

4

6

é bijetoranão é sobrejetora, nem injetora

c) d)123

456

123

345

2) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas:

3) Dada a função sobrejetora f : [2; 8] B, tal que f(x) = x² – 8x +7, observe atentamente seu gráfico e determine seu domínio e imagem.

D(f) = [2;8]

Im(f) = [-9;7]

y

x

7

-5

2 4

7 8

-9

A função f é crescente

A função f é crescente

A função g é decrescente

A função g é decrescente

a b

g

g(a)

g(b)

a b

ff(a)

f(b)

O a b

f

f(a)

f(b)

O a b

g

g(a)

g(b)

Diz-se que f é crescente, se para a < b, então f(a) < f(b).

FUNÇÃO CRESCENTE:

Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).

6) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos onde a função é:

y

x-2 0 2 4 6

a) Decrescente: ]0, 4[

b) Crescente: ]-∞ ; 0[ e ]4 ; +∞[

Função crescente e Função decrescente

Função crescente e Função decrescente

Função crescente e Função decrescente

GRÁFICO PARA x 0 GRÁFICO COMPLETO

Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo das ordenadas.

Função Parf(-x) = (-x)4 - (-x)2 = x4 – x2 = f(x)

f(x) = x4 – x2

Função ímpar

Gráfico para x 0

Os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal.

Função ímparf(-x) = (-x)3 + (-x)5 = -(x3 + x5) = - f(x)

f(x) = x3 + x5

FUNÇÃO PAR: f(x) = f(-x)

Exemplo:

f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4

FUNÇÃO ÍMPAR: f(a) = - f(-a)

Exemplo:

f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³

Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eixo y.

Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem.

y

x

f(x) = x²

y

x

f(x) = x³

4) a) Verifique se f(x) = 2x³ + 5x é par ou ímpar:

Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ + 5.1 = 7

Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7

Logo f(x) = 2x³ + 5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x)

ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7)

b) Mostre que f(x) = 3x² é par:

Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3

Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3

Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x)

ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3

5) Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f(– x) será:

Resposta: E

f(x) = f(-x)

Lembre-se:Se

Então a função “f” é par e ela é simétrica ao eixo “y”.

Sejam f e g duas funções quaisquer. Denomina-se função composta de g com f a função h definida por h(x) = g(f(x)).

Esquema para a composição de funções

x y

D Rf(x)

f -1(x)

FUNÇÃO INVERSAA idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o seguinte procedimento:1) Isola “x”;2) Troca “x” por “y” e vice versa.

O símbolo para a função inversa de f é f -1 e lê-se “função inversa de f”.

FUNÇÃO INVERSA

O símbolo “–1” em f-1 não é um expoente; f-1(x) não significa 1/f(x).

x

y ou f(x)y = x2 ou f(x) = x2

2-2

4

0

TESTE DA RETA HORIZONTAL

Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal.

EXEMPLO: a função f(x) = x2 tem inversa?

reta horizontal

FUNÇÃO INVERSA

Conclusão: a função f(x) = x2 não tem inversa.

Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x).

Simetria das funções inversas

1.

3.

7.

. 3

. 7

. 15

f

1.

3.

7.

. 3

. 7

. 15

f -1 A B

A B