Equação Secular

NOTAS DE ANLISE MATEMTICA III-D

A Equao Secular

Departamento de Matemtica

FCT-UNL

Antnio Patrcio

NOTAS DE ANLISE MATEMTICA III-D A equao secular 1

A EQUAO SECULAR

Existem vrios mtodos para resolver sistemas homogneos de equaes diferenciais ordinrias

lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. Um desses processos utiliza a denominada

equao secular, a qual uma equao diferencial (ordinria) associada ao polinmio caracterstico da

matriz do sistema. y

Considere-se o sistema homogneo de equaes diferenciais ordinrias lineares de primeira ordem com

coeficientes constantes,

XXX =AAAXXX (1)

ou

XXX(t) =AAAXXX(t),

onde(1)

XXX(t) :=

x1(t)

x2(t)

...

xn(t)

, XXX(t) :=

x1(t)

x2(t)

...

xn(t)

e AAA :=

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n...

.... . .

...

an1 an2 ann

Mn(R)

(x1(t), x2(t), . . . , xn(t) so as funes incgnitas e n N).

As solues do sistema (1) so as sequncias de n funes,

(1,2, . . . ,n),

onde j : R R, com j = 1, . . . , n, tais que:

1) para cada j = 1, . . . , n, existe j(t), para todo t R;

2) para todo t R,

1(t)

2(t)

...

n(t)

=

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n...

.... . .

...

an1 an2 ann

1(t)

2(t)

...

n(t)

.

bem conhecido (veja-se, por exemplo, Boyce [3]) que o conjunto das solues do sistema (1) um espao

vectorial real de dimenso finita n N. Por outro lado, no que respeita existncia e unicidade de soluo

(veja-se, novamente, Boyce [3]), para cada ponto (t0, (b1, b2, . . . , bn)) RRn, existe uma, e uma s, soluo

(1,2, . . . ,n) do sistema (1) que satisfaz as condies inicias:

1Estamos a denotar o conjunto das matrizes quadradas de ordem n N com entradas no conjunto R por Mn(R).

Antnio Patrcio Dez-2009 (V1)

2 A equao secular NOTAS DE ANLISE MATEMTICA III-D

1(t0)

2(t0)

...

n(t0)

=

b1

b2...

bn

.

Definio. Considerado o sistema (1), o polinmio caracterstico da matrizAAA o polinmio(2) de grau n N

na indeterminada ,

pAAA() := |AAA IIIn| =

a11 a12 a13 a1n

a21 a22 a23 a2n...

......

. . ....

an1 an2 an3 ann

R[].

Chama-se equao secular associada ao sistema de equaes diferenciais (1) equao diferencial (ordinria)

linear com coeficientes constantes e de ordem n N,

pAAA(D)u = 0,

onde pAAA(D) designa o operador diferencial com coeficientes constantes associado ao polinmio pAAA().

Exemplo 1. Considerando o sistema de equaes diferenciais,

x = x y

y = x +y

x

(t)

y (t)

=

1 11 1

q

AAA

x(t)y(t)

, (2)

tem-se

pAAA() =

1 1

1 1

= 2 2+ 2,

pelo que

0 = pAAA(D)u = (D2 2D + 2)u = u 2u + 2u

a equao secular associada ao sistema (2).

Estamos em condies de enunciar:

Proposio 1. Se a sequncia (1,2, . . . ,n) uma soluo do sistema de equaes diferenciais (1), ento

para cada j {1, . . . , n}, a funo j soluo da equao secular,

pAAA(D)u = 0.

2Estamos a denotar o conjunto dos polinmios na indeterminada com coeficientes reais por R[].



Prova. Por uma propriedade conhecida da teoria das matrizes (cf. Apostol [1]),

adj(AAA)AAA = |AAA|IIIn.

Em particular

adj(AAA IIIn)(AAA IIIn) = |AAA IIIn|IIIn.

Pelas propriedades dos operadores diferenciais com coeficientes constantes,

adj(AAADIIIn)(AAADIIIn) = |AAADIIIn|IIIn

e, desta forma,

pAAA(D)

1

2...

n

= |AAADIIIn|IIIn

1

2...

n

= adj(AAADIIIn)(AAADIIIn)

1

2...

n

= adj(AAADIIIn)

AAA

1

2...

n

1

2...

n

=

0

0...

0

,

como se pretendia mostrar.

Exemplo 2. Determine-se a soluo do problema de valores iniciais:

x = x y

y = x +y

e

x(0) = 1

y(0) = 0. (3)

Ora, pelo Exemplo 1,



u 2u + 2u = 0 (4)

a equao secular associada a este sistema de equaes diferenciais e, como fcil concluir,

u(t) = Aet cos t + Bet sen t (A, B R)

a sua soluo geral. Se (1(t),2(t)) for a soluo do problema de valores iniciais (3), ento, em particular,

pela Proposio 1, as funes 1(t) e 2(t) so solues da equao secular (4). Logo,

1(t) = A1et cos t + B1e

t sen t e 2(t) = A2et cos t + B2e

t sen t,

para certas constantes reais A1, A2, B1 e B2. Ora,

1 = 1(0) = A1

0 = 2(0) = A2

=

1(t) = e

t cos t + B1et sen t

2(t) = B2et sen t

.

Por outro lado, da primeira equao do sistema (3) resulta, para todo t R,

(et cos t + B1et sen t) = (et cos t + B1e

t sen t) (B2et sen t)

B1 = 0

B2 = 1.

Finalmente, 1(t)2(t)

=

e

t cos t

et sen t

a soluo procurada.

Exemplo 3. Determine-se a soluo geral do sistema de equaes diferenciais,

XXX =

2 1 3

0 2 1

0 0 2

XXX +

1 t

1+ 2t

0

, (5)

sabendo-se que

XpXpXp(t) :=

t

t

0

uma soluo particular deste sistema. Ora, neste exemplo,

2 1 3

0 2 1

0 0 2

= (2 )3,



pelo que a equao secular do sistema homogneo associado ao sistema (5) a equao diferencial,

(2D)3u = 0, (6)

a qual admite a soluo geral

u(t) = Ae2t + Bte2t + Ct2e2t (A, B,C R)

Se (1,2,3) for uma soluo arbitrria do sistema homogneo associado ao sistema (5), ento, pela

Proposio 1, 1,2 e 3 so solues da equao secular (6). Logo, para todo t R,

1(t)

2(t)

3(t)

= e

2t

A1

A2

A3

+ te

2t

B1

B2

B3

+ t

2e2t

C1

C2

C3

,

para certas constantes reais A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2 e C3. Ora,

1(t)

2(t)

3(t)

= e

2t

2A1 + B1

2A2 + B2

2A3 + B3

+ te

2t

2B1 + 2C1

2B2 + 2C2

2B3 + 2C3

+ t

2e2t

2C1

2C2

2C3

e, por outro lado,

1(t)

2(t)

3(t)

=

2 1 3

0 2 1

0 0 2

e

2t

A1

A2

A3

+ te

2t

B1

B2

B3

+ t

2e2t

C1

C2

C3

= e2t

2A1 +A2 + 3A3

2A2 A3

2A3

+ te

2t

2B1 + B2 + 3B3

2B2 B3

2B3

+ t

2e2t

2C1 + C2 + 3C3

2C2 C3

2C3

.

Ento, necessariamente,

A2 = B1 + 6C1, A3 = 2C1, B2 = 2C1, B3 = 0, C2 = 0 e C3 = 0

e, por conseguinte,

1(t)

2(t)

3(t)

= A1

e2t

0

0

+ B1

te2t

e2t

0

+ C1

t2e2t

6e2t + 2te2t

2e2t

(A1, B1, C1 R)

a soluo geral do sistema homogneo associado ao sistema (5). Logo,



XXX =

t

t

0

+A1

e2t

0

0

+ B1

te2t

e2t

0

+ C1

t2e2t

6e2t + 2te2t

2e2t

(A1, B1, C1 R)

a soluo geral do sistema completo (5).

Referncias

[1] Apostol, T.M., Calculus, Vol. 2, John Wiley & Sons, Inc., 2a Ed., 1969.

[2] Birkhoff, G. & Rota, Gian-Carlo, Ordinary Differential Equations, John Wiley & Sons, Inc., 4a Ed., 1989.

[3] Diprima, R. e Boyce, W.E., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons,

Inc., 8a Ed., 2005.


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