EQUAC˘OES DE RETAS E PLANOS~ NO ESPAC˘O · Universidade Federal do Rio Grande - FURG EQUAC˘OES DE RETAS E PLANOS NO~ ESPAC˘O Instituto de Matem atica, Estat stica e F sica - IMEF

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURGINSTITUTO DE MATEMATICA, ESTATISTICA E

FISICA - IMEF

FABIOLA AIUB SPEROTTODAIANE SILVA DE FREITAS

EQUACOES DE RETAS E PLANOSNO ESPACO

1◦ Edicao

Rio Grande

2018

S749e Sperotto, Fabíola Aiub

Equações de retas e planos no espaço [recurso eletrônico] /

Fabíola Aiub Sperotto, Daiane Silva de Freitas. - Rio Grande: Ed. da

FURG, 2018.

79 p.

Modo de acesso: http://www.lemas.furg.br/index.php/material-didatico

ISBN: 978-85-7566-528-2

1. Equações de retas 2.Equações de planos 3. Geometria analítica

I. Freitas, Daiane Silva de II. Título

CDU 517.9

Catalogação na fonte: Bibliotecária Vanessa Dias Santiago – CRB10/1583

Universidade Federal do Rio Grande - FURG

EQUACOES DE RETAS E PLANOS NOESPACO

Instituto de Matematica, Estatıstica e Fısica - IMEFFabıola Aiub SperottoDaiane Silva de Freitas

site: www.lemas.furg.br/index.php/material-didatico

i

Sumario

1 Retas 11.1 Equacoes Parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Reta definida por Dois Pontos . . . . . . . . . . . . . 41.2 Equacoes Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Equacoes Reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados . . . . . 11

1.4.1 Retas Paralelas aos Planos Coordenados . . . . . . . . 111.4.2 Retas Paralelas aos Eixos Coordenados . . . . . . . . 131.4.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Angulo entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Condicoes de Ortogonalidade, Paralelismo e Coplanaridade

entre retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.1 Condicao de Ortogonalidade entre duas retas . . . . . 171.6.2 Condicao de Paralelismo entre duas retas . . . . . . . 171.6.3 Retas Coplanares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Posicoes relativas entre retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8 Intersecao de duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.8.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9 Reta ortogonal a duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.9.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10 Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.10.1 Distancia de um ponto a uma reta . . . . . . . . . . . 251.10.2 Distancia entre retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11 Lista de Exercıcios - Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Planos 322.1 Determinacao da Equacao de um Plano . . . . . . . . . . . . 34

2.1.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.2 Outra forma para determinar a equacao geral do plano 39

2.2 Planos Paralelos aos Eixos e Planos Coordenados . . . . . . . 402.2.1 Planos Paralelos aos Eixos Coordenados . . . . . . . . 40

ii

2.2.2 Planos Paralelos aos Planos Coordenados . . . . . . . 412.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Equacao Vetorial e Equacoes Parametricas do Plano . . . . . 432.5 Angulo entre dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6 Planos Paralelos e Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . 452.7 Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7.1 Angulo de uma reta com um plano . . . . . . . . . . . 462.7.2 Condicoes de paralelismo e perpendicularismo entre

reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.7.3 Condicoes para que uma reta esteja contida num plano 472.7.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.8 Intersecao entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.9 Intersecao de uma reta com o plano . . . . . . . . . . . . . . 49

2.9.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.10 Intersecao de um Plano com os Eixos e Planos coordenados . 512.11 Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.11.1 Distancia de um ponto a um Plano . . . . . . . . . . . 522.11.2 Distancia entre dois planos . . . . . . . . . . . . . . . 532.11.3 Distancia de uma reta a um plano . . . . . . . . . . . 532.11.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.12 Lista de Exercıcios - Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Gabaritos 583.1 Lista de Exercıcios - Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2 Lista de Exercıcios - Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A Retas e Planos - Exemplos 62

B Estudo da Reta no plano cartesiano 66B.1 Conceito de Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . 66

B.1.1 Coordenadas Cartesianas na reta . . . . . . . . . . . . 67B.1.2 A Equacao da Reta no plano . . . . . . . . . . . . . . 69

iii

Capıtulo 1

Retas

No estudo da reta no plano cartesiano (R2), e facil perceber que da-dos dois pontos distintos obtemos uma unica reta, que e definida por umaequacao linear. Para maiores detalhes, revise o apendice B.1.

Nosso objetivo agora e o estudo da reta no espaco (R3), que sera deter-minada por um ponto e um vetor indicando a direcao da reta, conforme aFigura 1.1. Neste capıtulo, mostraremos como usar os produtos escalares evetoriais para escrever equacoes para retas e segmentos de retas.

Figura 1.1: Ponto da reta e vetor direcional

Definicao: Considere uma reta r que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) ecom direcao do vetor nao nulo ~v = (a,b,c). Dado um ponto P qualquer, esse

ponto pertence a reta r se, e somente se, o vetor−→AP e paralelo ao vetor ~v.

Entao,

−→AP= t~v, para algum t real. (1.1)

1

Pela equacao (1.1), temos que

P −A = t~v ⇒ P = A+ t~v,

ou em coordenadas,

(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t(a,b,c). (1.2)

A equacao (1.2) e denominada equacao vetorial da reta r no espaco(R3). O vetor ~v e o vetor diretor ou vetor direcional da reta e t e denomi-nado parametro.

A reta no R3 e o conjunto de todos os pontos A(x1,y1,z1) para os quais−→AP‖ ~v (

−→AP e paralelo ao vetor ~v) e o parametro t depende da localizacao

do ponto A ao longo da reta. E o domınio de t e (−∞,∞).

Exemplo 1. Determine a equacao vetorial da reta que passa pelo pontoA(2,3,5) e tem direcao do vetor ~v = 3~i+ 4~j − ~k.

Solucao: O vetor ~v = 3~i+ 4~j −~k pode ser reescrito na forma de coorde-nadas: ~v = (3,4,− 1).

Entao, a equacao vetorial da reta e

(x,y,z) = (2,3,5) + t(3,4,− 1).

Se desejarmos obter pontos da reta r, atribuımos valores para o parametrot. Assim, para

t = 0⇒ A(2,3,5)

t = 1⇒ B(5,7,4)

t = −1⇒ C(−1,− 1,6),

e assim sucessivamente. Se o parametro t assumir todos os valores reaisteremos todos os infinitos pontos da reta. Observe o grafico da Figura 1.2.

2IMEF - FURG

1.1. EQUACOES PARAMETRICAS

Figura 1.2: Pontos selecionados sobre a reta.

Exemplo 2. Determine a equacao vetorial da reta que passa pelo pontoA(1,− 3,2) e tem direcao do vetor ~v = 3~i+ 5~j − 4~k.

Reescrevendo o vetor na forma de coordenadas, ~v = (3,5,−4). A equacaovetorial da reta fica

(x,y,z) = (1,− 3,2) + t(3,5,− 4).

Observacao: A equacao vetorial dos exemplos anteriores nao e unica.Existem infinitas equacoes vetoriais para uma mesma reta, pois basta escre-ver a equacao usando outro ponto da reta ou outro vetor nao nulo que sejamultiplo do vetor diretor.

1.1 Equacoes Parametricas

Pela equacao vetorial da reta (1.2): (x,y,z) = (x1, y1,z1) + t(a,b,c) ouainda (x,y,z) = (x1 + at,y1 + bt,z1 + ct) igualamos as componentes corres-pondentes dos dois lado, e temos:

x = x1 + aty = y1 + bt −∞ < t < +∞.z = z1 + ct

(1.3)

As equacoes (1.3) sao denominadas de Equacoes Parametricas. Oparametro t das equacoes parametricas e unico para cada ponto da reta decoordenadas (x,y,z). Sabendo que o domınio do parametro t e (−∞,∞), asequacoes parametricas nos fornecem as coordenadas de todos os pontos dareta.

3IMEF - FURG


Exemplo 3. Dado o ponto A(4,6,− 8) e o vetor ~v = (1,− 2,3):

a) Escrever as equacoes parametricas da reta r que passa por A e temdirecao de ~v.

b) Determinar dois pontos B e C da reta r cujos parametros sao t = 1 et = 8, respectivamente.

Solucoes:

a)

x = 4 + ty = 6− 2tz = −8 + 3t

b) Ponto B:x = 4 + (1) = 5y = 6− 2(1) = 4z = −8 + 3(1) = −5

O ponto B tem coordenadas (5,4,− 5).

Ponto C:x = 4 + (8) = 12y = 6− 2(8) = −10z = −8 + 3(8) = 16

O ponto C tem coordenadas (12,− 10,16).

Observacao: O parametro t das equacoes parametricas pode ser inter-pretado como o instante de tempo. Por exemplo, uma partıcula lancadano espaco que descreve um movimento retilıneo uniforme m.r.u. para umdeterminado vetor velocidade ~v = (a,b,c), a cada instante de tempo estaralocalizada em um determinado ponto (x,y,z) no espaco.

1.1.1 Reta definida por Dois Pontos

O segmento de reta definido pelos pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) e osegmento de reta que passa pelo ponto A (ou pelo B) e tem direcao do vetor:

~v =−→AB= (x2 − x1,y2 − y1,z2 − z1).

Exemplo 4. Parametrize o segmento de reta que liga os pontos P (−3,2,−3)e Q(2,− 2,4).

4IMEF - FURG


Solucao:−→PQ= (2,− 2,4)− (−3,2,− 3) = (5,− 4,7).

r :

x = −3 + 5ty = 2− 4tz = −3 + 7t

Observe que quando t = 0 temos o ponto P e para t = 1 temos o pontoQ. Se adicionarmos a restricao 0 ≤ t ≤ 1 parametrizamos o segmento.

r :

x = −3 + 5ty = 2− 4t 0 ≤ t ≤ 1z = −3 + 7t

Figura 1.3: Parametrizacao do segmento de reta PQ

Exemplo 5. Parametrize o segmento de reta r que passa por A(3,− 1,− 2)e B(1,2,4).

Solucao:

Primeiramente, calculando o vetor

−→AB= B −A = (1,2,4)− (3,− 1,− 2) = (−2,3,6).

Agora escolhemos um dos pontos, A ou B e escrevemos as equacoesparametricas da reta. Neste caso escolheremos o ponto B.

x = 1− 2ty = 2 + 3t − 1 ≤ t ≤ 0.z = 4 + 6t

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1.2. EQUACOES SIMETRICAS

1.2 Equacoes Simetricas

Pelas equacoes parametricas (1.3),x = x1 + aty = y1 + bt.z = z1 + ct

Sendo as componentes do vetor diretor nao nulas, podemos escrever aequacao da reta como

t =x− x1a

, t =y − y1b

, t =z − z1c

,

e, sabendo que para cada ponto da reta corresponde um unico valor para oparametro t:

x− x1a

=y − y1b

=z − z1c

. (1.4)

As equacoes (1.4) sao denominadas Equacoes Simetricas da reta. Ob-serve que para escrever a equacao 1.4, as componentes do vetor, (a, b, c),devem ser nao nulas.

Exemplo 6. Escreva as equacoes simetricas da reta que passa pelo pontoA(−2,4,0) e tem direcao do vetor ~v = −2~i+~j − 3~k.

Solucao:

Substituindo as coordenadas do vetor direcao e o ponto A temos:

x+ 2

−2= y − 4 =

z

−3.

Exemplo 7. Seja o triangulo de vertices A(−1,4,−2), B(3,−3,6) e C(2,−1,4). Escrever as equacoes parametricas da reta que passa pelo ponto mediodo lado AB e pelo vertice C.

Solucao:

Primeiro, vamos calcular o ponto medio M , entre A e B:

M = ((−1) + 3

2,4 + (−3)

2,(−2) + 6

2) = (1,

1

2,2).

Agora vamos calcular o vetor diretor da reta, o vetor ~v com origem noponto M e extremidade em C.

~v = C −M = (2,− 1,4)− (1,1

2,2) = (1,− 3

2,2).

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1.2. EQUACOES SIMETRICAS

Por fim, escreveremos as equacoes parametricas da reta que passa noponto C e tem vetor diretor ~v.

x = 2 + ty = −1− 3

2 t.z = 4 + 2t

Figura 1.4: Reta que passa pelo vertice C do triangulo ABC.

Exemplo 8. Verificar se M(13,17,− 14) pertence a reta r : (x,y,z) = (1,−3,2) + t(3,5,− 4).

Solucao:

Reescrevendo a equacao da reta r na forma parametrica e isolando oparametro t, temos:

x = 1 + 3t −→ t = x−13

y = −3 + 5t −→ t = y+35

z = 2− 4t −→ t = z−24 .

Igualando o parametro t, vamos escrever a equacao na forma simetrica:

t =x− 1

3=y + 3

5=−z + 2

4.

Agora, vamos substituir o ponto M e verificar se ele satisfaz a equacao:

13− 1

3=

17 + 3

5=

14 + 2

4= 4.

Logo, verificamos que o ponto M(13,17,− 4) pertence a reta r.

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1.3. EQUACOES REDUZIDAS

1.2.1 Agora tente resolver!

1. Escreva as equacoes parametricas e simetricas da reta:

(a) que passa pelos pontos P (−3,− 4,6) e Q(5,3,2);

(b) que passa pelo ponto P (3,5, − 6) e e paralela a reta que passapelos pontos A(2,3,1) e B(3,− 2,1);

(c) que passa pelo ponto (−4,2,5) e e paralela a reta r :x− 1

2=

y + 3

3=z − 7

4;

(d) que passa na origem e e paralela a reta r :x− 3

5=y − 2

−3=z + 2

−2.

2. Escreva as equacoes parametricas dos eixos coordenados.

3. Escreva as equacoes parametricas da reta que passa no ponto (3,0,4)e pelo ponto medio do segmento AB, sendo A(2,7,9) e B(2,3,5).

1.3 Equacoes Reduzidas

Podemos isolar duas variaveis em funcao de uma terceira, desta formatemos outra maneira de escrever a equacao da reta. Partindo das equacoessimetricas (1.4) vamos escrever a equacao da reta em funcao da variavel x.

Entao:

y − y1b

=x− x1a

y − y1 =b

a(x− x1)

y − y1 =b

ax− b

ax1

y =b

ax− b

ax1 + y1

y = mx+ n.

Portanto,y = mx+ n. (1.5)

Observando queb

a= m e − b

ax1 + y1 = n. De forma analoga, temos

z − z1a

=x− x1c

⇒ z = px+ q (1.6)

As equacoes (1.5 e 1.6) sao denominadas como Equacoes Reduzidasda reta em na variavel x.

Sendo assim,

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{y = mx+ nz = px+ q

Observacao: Como determinar um ponto e um vetor dada a equacaoreduzida da reta:

Podemos isolar a variavel independente nas equacoes reduzidas e com-para-las com as equacoes simetricas da reta.

• Se a equacao reduzida esta em funcao da variavel x:{y = mx+ nz = px+ q

entao, x =y − nm

e x =z − qp

.

Entao, a sua forma simetrica e dada por

x =y − nm

=z − qp

.

Agora fica facil perceber que a reta passa pelo ponto P (0,n,q) ∈ y0z eseu vetor diretor e ~v = (1,m,p).

Exemplo 9.

{y = 3x− 4z = 4x+ 3

Solucao: P (0,− 4,3) o ponto P e obtido fazendo x = 0, ~v = (1,3,4).

• Se a equacao reduzida esta em funcao da variavel y:{x = m1y + n1z = p1y + q1

entao, y =x− n1m1

e y =z − q1p1

.

Portanto,x− n1m1

= y =z − q1p1

.

A reta passa no ponto P (n1,0,q1) ∈ x0z e seu vetor ~v = (m1,1,p1).

• Se a equacao reduzida esta em funcao da variavel z:{x = m2z + n2y = p2z + q2

entao, z =x− n2m2

e z =y − q2p2

.

Assim, reescrevendo na forma simetrica temosx− n2m2

=y − q2p2

= z.

A reta passa no ponto P (n2,q2,0) ∈ x0y e tem ~v = (m2,p2,1).

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Exemplo 10. Estabelecer as equacoes reduzidas da reta r que passapor A(4,2,1) e tem direcao do vetor ~v = (3,1,1).

Solucao:

Primeiramente, vamos escrever a equacao na forma simetrica:

x− 4

3= y − 2 = z − 1

Agora, reescrevendo as equacoes na variavel x:

x− 4

3= y − 2⇒ y =

x

3+

2

3

e,

x− 4

3= z − 1⇒ z =

x

3− 1

3

Portanto,

y =

x

3+

2

3

z =x

3− 1

3.

Agora tente resolver!

1. Escrever equacoes reduzidas na variavel x da reta que passa pelospontos M(3,− 1,4) e N(4,0,5).

2. Determinar equacoes reduzidas na variavel y da reta que passa pelospontos M(−1,5,7) e N(8,6,9).

3. Escreva equacoes reduzidas da reta l:

x = 1 + ty = 2 + 3tz = 3− t

4. Escreva equacoes reduzidas da reta s:

x = 2 + 2ty = 1− 4tz = 6− t

5. Escreva as equacoes reduzidas da reta s que passa no ponto P (3,1,−3)e tem direcao do vetor ~s = (3,− 6,4):

a. na variavel z,

b. na variavel y.

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1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOSCOORDENADOS

6. Escrever um ponto e o vetor diretor de cada uma das retas:

a. r :

{x = 3y − 2

3z = −y + 2

b. s :

y = −6x− 2

5

z =1

2x+ 3

c. t :

x = 3z +

4

3

y =3

7z − 2

d. p :

x = 5

2z

y = z − 3

2

e. m :

{x = −y

3 + 53

z = 23y −

13

1.4 Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coor-denados

1.4.1 Retas Paralelas aos Planos Coordenados

Uma das componentes do vetor diretor e nula: O vetor diretor ~v e orto-gonal a um dos eixos coordenados, e a reta r e paralela ao plano dos outroseixos.

1. Se a=0, ~v = (0,b,c) ⊥ Ox ∴ r ‖ yOz.

Equacoes:

{x = x1y − y1b

=z − z1c

Exemplo 11.

x = 4y − 3

−3=z − 3

4

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Figura 1.5: Reta paralela ao plano yOz.

2. Se b = 0, ~v = (a,0,c) ⊥ Oy ∴ r ‖ xOz.

Equacoes:

{y = y1x− x1a

=z − z1c

Exemplo 12.

{y = 4x− 2

3=z − 3

4

Figura 1.6: Reta paralela ao plano xOz.

3. Se c = 0, ~v = (a,b,0) ⊥ Oz ∴ r ‖ xOy.

Equacoes:

{z = z1x− x1a

=y − y1b

Exemplo 13.

z = 4

x− 4 =y − 2

−2

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Figura 1.7: Reta paralela ao plano xOy.

1.4.2 Retas Paralelas aos Eixos Coordenados

Duas componentes do vetor diretor sao nulas: O vetor diretor ~v temdirecao de um dos vetores ~i ou ~j ou ~k e a reta e paralela ao eixo que temdirecao de ~i ou ~j ou ~k.

1. Se a = b = 0, ~v = (0,0,c) ‖ ~k ∴ r ‖ Oz.

Equacoes:

x = x1y = y1z = z1 + ct

Figura 1.8: Reta paralela ao eixo Oz

Exemplo 14. r :

{x = 3y = 6

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2. Se a = c = 0, ~v = (0,b,0) ‖ ~j ∴ r ‖ Oy.

Equacoes:

x = x1y = y1 + btz = z1

Exemplo 15. r :

{x = 1z = 2

Figura 1.9: Reta paralela ao eixo Oy

3. Se b = c = 0, ~v = (a,0,0) ‖~i ∴ r ‖ Ox.

Equacoes:

x = x1 + aty = y1z = z1

Exemplo 16. r :

{y = −2z = 3

Observacao: Os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, sao retas particulares:

• a reta Ox passa pela origem O(0,0,0) e tem direcao do vetor−→i =

(1,0,0).

Equacoes parametricas:

x = ty = 0z = 0

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• a reta Oy passa pela origem O(0,0,0) e tem direcao do vetor−→j =

(0,1,0).


x = 0y = tz = 0

• a reta Oz passa pela origem O(0,0,0) e tem direcao do vetor−→k =

(0,0,1).


x = 0y = 0z = t

Exemplo 17. Determinar as equacoes simetricas da reta que passa no pontoA(−2,3,− 2) e tem direcao do vetor ~v = 3~i+ 2~k.

Solucao:

Pelo vetor ~v percebemos que a reta e perpendicular ao plano Oy e para-lelo ao eixo xOz, entao as equacoes simetricas sao:{

y = 3x+ 2

3=z + 2

2


1. Escreva as equacoes parametricas da reta que passa pelos pontosA(7,4,3)e B(7,5,4).

2. Escreva as equacoes da reta que passa pelo ponto A(6,8,9) e temdirecao do vetor ~v = 7~j.

3. Determine a posicao relativa das retas em relacao aos eixos ou planoscoordenados, e escreva um ponto e um vetor diretor para cada umadas retas:

a. r :

{x = 4y + 1

8=z + 1

6

b. s :

y = 2x

4=z − 18

−12

c. p :

{z = 4x = −2y + 4

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1.5. ANGULO ENTRE RETAS

d. m :

{y = −8z = 6

e. n :

{x = −4y = 4

f. o :

{x = 6z = −3

4. Determinar a equacao da reta, em todas as suas formas possıveis, quepassa no ponto R(2,− 6,8) e

(a) tem direcao de ~u = (2,0,− 3)

(b) e paralela (‖) ao eixo Oz

5. Escreva as equacoes parametricas das retas nos seguintes casos:

a. Passa pelo ponto (7,8,6) e e perpendicular ao plano xOz.

b. Passa pelo ponto (4,− 4,5) e e paralela ao eixo x.

c. Passa pelo ponto (6,− 3,4) e e paralela ao eixo z.

d. Passa pelo ponto (5,5,2) e tem direcao do vetor 2~i−~j.e. Passa pelo ponto (1,3,4) e tem direcao do vetor 2~j

6. Considere a reta s :

x = 1 + 2t

y =3

2+ t

z = 3 +3

2t

encontre a intersecao da reta s

com o plano coordenado xy.

1.5 Angulo entre Retas

Considere duas retas, a reta r que passa pelo ponto A1 e tem direcaodo vetor ~v1 e a reta s que passa pelo ponto A2 e tem direcao do vetor ~v2.Denomina-se angulo de duas retas o menor angulo formado por r e s, isto e,o menor angulo de um vetor diretor de r e de um vetor diretor de s. Sendoassim:

cos(θ) =|~v1 · ~v2||~v1||~v2|

, 0 ≤ θ ≤ π

2

Exemplo 18. Calcular o angulo entre as retas

r :

x = 3 + 3ty = −6tz = −1− 2t

s :

{x+ 2

2=y − 3

1=

z

−2

16IMEF - FURG

1.6. CONDICOES DE ORTOGONALIDADE, PARALELISMO ECOPLANARIDADE ENTRE RETAS

Solucao:

O vetor diretor da reta r e ~v1 = (3,− 6,− 2) e o vetor diretor da reta se ~v2 = (2,1,− 2), entao:

cos(θ) =|(3,− 6,− 2) · (2,1,− 2)||(3,− 6,− 2)||(2,1,− 2)|

=4

21

θ = arccos

(4

21

)≈ 79,01◦.

1.6 Condicoes de Ortogonalidade, Paralelismo eCoplanaridade entre retas

1.6.1 Condicao de Ortogonalidade entre duas retas

Dadas duas retas r e s e seus respectivos vetores diretores ~v1 = (a1,b1,c1)e ~v2 = (a2,b2,c2), a condicao de ortogonalidade (Capıtulo de Produto Esca-lar) diz que se

~v1 · ~v2 = 0 ou a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 .

entao as retas r e s sao ortogonais.

Exemplo 19. Verifique se as retas a seguir sao ortogonais.

r :

{y = −2x+ 1z = 4x

s :

x = 3− 2ty = 4 + tz = t

Solucao:

O vetor diretor da reta r e ~v1 = (1, − 2,4) e o vetor diretor da reta s e~v2 = (−2,1,1), entao:

(1,− 2,4) · (−2,1,1) = −2− 2 + 4 = 0, logo as retas sao ortogonais.

1.6.2 Condicao de Paralelismo entre duas retas

Se duas retas r e s sao paralelas, entao seus vetores ~v1 e ~v2 sao paralelos:

~v1 = m~v2 oua1a2

=b1b2

=c1c2

.

17IMEF - FURG

1.6. CONDICOES DE ORTOGONALIDADE, PARALELISMO ECOPLANARIDADE ENTRE RETAS

Figura 1.10: Retas paralelas

Exemplo 20. Sejam ~u = (8,− 6,2) e ~v = (−4,3,− 1) vetores diretores dasretas r e s respectivamente. Essas retas sao paralelas?

Solucao:

Observe que,

8

−4=−6

3=

2

−1= −2

logo as retas sao paralelas.

1.6.3 Retas Coplanares

Dadas as retas r que passa pelo ponto A1 e tem direcao do vetor ~v1 =(a1,b1,c1) e s que passa pelo ponto A2 e tem direcao do vetor ~v2 = (a2,b2,c2),

elas serao coplanares se os vetores ~v1, ~v2 e−→A1A2 forem coplanares, isto e, se

for nulo o produto misto (~v1, ~v2,−→A1A2).

Exemplo 21. Determinar o valor de m para que as retas r :

{y = mx+ 1z = 3x− 1

s :

x = ty = 1 + 2tz = −2t

sejam coplanares.

Solucao:

18IMEF - FURG

1.7. POSICOES RELATIVAS ENTRE RETAS

O vetor diretor de r e ~v1 = (1,m,3) e de s ~v2 = (1,2,− 2) e o vetor−→A1A2

e A2 −A1 = (0,1,0)− (0,1,− 1) = (0,0,1). O produto misto mostra que:

((1,m,3),(1,2,− 2),(0,0,1)) =

∣∣∣∣∣∣1 m 31 2 −20 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0 = 2−m

⇒ m = 2

Portanto, para que as retas sejam coplanares m deve ser igual a 2.

1.7 Posicoes relativas entre retas

Suponha duas retas r e s no espaco. Elas podem ser:

1. Retas Coplanares: Situadas no mesmo plano. Podem ser: Paralelas,Concorrentes, Coincidentes.

2. Retas Nao Coplanares: Sao as retas reversas, entao r ∩ s = ∅.

� Como classificar cada uma:

1. Analisar os vetores direcionais das retas dadas.

2. Se os vetores forem colineares entao as retas sao paralelas (r ∩ s = ∅)ou coincidentes.

3. Se as retas forem paralelas e o produto misto (~v1, ~v2,−→A1A2) = 0

entao, as retas sao coplanares. Se as retas nao forem paralelas e

o produto misto (~v1, ~v2,−→A1A2) = 0 entao, as retas sao concorrentes,

mas se o produto misto (~v1, ~v2,−→A1A2) 6= 0 sao reversas.

Exemplo 22. Estudar a posicao relativa das retas:

r :

{x

2=y − 1

−1= z s :

x = 2− 4ty = 2tz = −2t+ 1

Solucao:

O vetor diretor de r e ~v1 = (2, − 1,1) e de s e ~v2 = (−4,2, − 2), temosque:

2

−4=−1

2=

1

−2= −1

2.

Logo as retas sao paralelas. Pergunta: Sera que elas sao coincidentes?

19IMEF - FURG

1.7. POSICOES RELATIVAS ENTRE RETAS

Vamos escolher um ponto da reta s, para t = 1, teremos:

s :

x = −2y = 2z = −1

Agora vamos substituir os pontos em r:

r :

{−2

2=

1

−1= −1

Temos um ponto em comum entre as duas retas, vamos testar para outroponto de s, escolhemos t = 0.

s :

x = 2y = 0z = 1

r :

{2

2=−1

−1= 1

Temos outro ponto em comum, logo as retas sao coincidentes.


1. Estudar a posicao relativa das retas:

r :

{x− 2

2=y

3=z − 5

4s :

x = 5 + ty = 2− tz = −7− 2t

2. Verificar se as seguintes retas sao paralelas ou ortogonais(perpendiculares):

a. r :x+ 3

4=y − 4

−3= z − 2 s : M(−1,2,− 3) e N(−5,5,4)

b. l :

{x− 3

2=y − 3

4=z + 1

6l :x

1=y + 1

1=z − 3

−1

c. r :

x = 1 + 10ty = −2 + 16tz = 18t

s :

x = 2 + 5t1y = −2 + 8t1z = 9t1

d. r1 :

x = 2 + 2hy = 3 + hz = 1

r2 :

x = 4y = 1z = t

3. A reta r :

{y = mx+ 3z = x− 1

e perpendicular a reta s determinada pe-

los pontos A(1,0, − 3) e B(−2,2m,2m). Determinar m e as equacoesparametricas da reta s.

20IMEF - FURG

1.8. INTERSECAO DE DUAS RETAS

4. Verificar se a retas r :x− 2

2=y

3=z − 5

4e s :

{x = −y − 8z = 3y + 15

sao

ortogonais.

5. Determinar a equacao da reta t que passa no ponto T (−1,0,−2) e orto-

gonal ao vetor ~v = (2,1,−1) e coplanar com a reta l :

{x = z − 3y = −3z + 1

.

1.8 Intersecao de duas retas

Duas retas r e s coplanares e nao paralelas sao concorrentes, logo existeum ponto em comum entre elas.

Figura 1.11: Intersecao de duas retas

Exemplo 23. Encontrar o ponto de intersecao das retas:

r :

{y = −3x+ 2z = 3x− 1

s :

x = −ty = 1 + 2tz = −2t

Solucao:

Vamos determinar seu ponto de intersecao I(x,y,z), as coordenadas desteponto satisfazem o sistema formado pelas equacoes das respectivas retas.Sendo assim, primeiramente vamos reescrever a equacao da reta s na formareduzida: {

y = 1− 2xz = 2x

21IMEF - FURG

1.9. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS

Agrupando todas as equacoes, temos um sistema a resolver:y = −3x+ 2z = 3x− 1y = 1− 2xz = 2x

Igualando a segunda equacao com a quarta equacao, temos:

3x− 1 = 2x⇒ x = 1

Logo, y = −1 e z = 2.Por fim, o ponto de intersecao e I(1,− 1,2).


1. Encontrar a equacao da reta t, em todas as suas formas, que passa na

intersecao das retas r :

{x = y − 1z = −y + 3

e s :x+ 1

2= y − 1 =

z − 2

−1e

e paralela a reta m :

{x = y − 1z = −y + 5

2. Dois foguetes FA e FB sao lancados de suas plataformas situadas nospontos A(4,2, − 6) e B(−2,4,2) respectivamente. Sabe-se que suastrajetorias sao retilıneas e seus vetores velocidades sao ~vA = (−1,3,1)e ~vB = (2,2,− 3), pergunta-se:

a. Sera que suas trajetorias interceptam-se?

b. Caso afirmativo, em que ponto ocorre?

c. Sendo os vetores dados em km/h, quantas horas apos o lancamentoocorrera a colisao?

3. Encontrar o ponto de intersecao das retas:

r :

x = 2 + 2hy = 3hz = 5 + 4h

s :x− 5

1=y − 2

−1=z − 7

−2.

1.9 Reta ortogonal a duas retas

Suponha duas retas nao paralelas r e s sendo ~v1 e ~v2 seus vetores dire-tores. Se uma terceira reta t e simultaneamente ortogonal as retas dadas,entao o vetor diretor da reta t e paralelo ou igual ao vetor ~v1× ~v2. Neste caso,e possıvel determinar a equacao da reta t conhecendo um de seus pontos.

22IMEF - FURG


Exemplo 24. Dadas as retas:

r :

{y = 2x− 3z = −3x+ 1

s :x− 1

5=y + 3

−1= z + 2.

Determine a equacao da reta t que passa pelo ponto M(3,− 6,7) e e simul-taneamente ortogonal as retas r e s.

Solucao:Observe que os vetores diretores das retas r e s nao sao paralelos:

1

56= 2

−16= −3

1

Como a reta t e simultaneamente ortogonal as retas r e s, o vetor diretor~vt sera:

~vt = ~vr × ~ssPortanto,

~vt = ~vr × ~vs =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 2 −35 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = −~i− 16~j − 11~k

~vt = (−1,− 16,− 11) = (1,16,11)

Assim, ficam determinadas as equacoes parametricas da reta t:x = 3 + ty = −6 + 16tz = 7 + 11t

No caso em que as retas r e s sejam paralelas, existem infinitas retas quepassam por um ponto e estao em um plano ortogonal as retas r e s.

Figura 1.12: Retas ortogonais a retas paralelas

23IMEF - FURG


Exemplo 25. O ponto M(10,8,− 9) pertence a reta t e sabe-se que o vetordiretor ~vt = (a,b,c) e perpendicular as retas r e s onde as equacoes das retassao:

r :

{x = yz = 2y + 3

s :

x = 2− ty = 3− tz = −2t

Determine a equacoes da reta t.

Solucao: Um ponto e o vetor da reta r sao: Pr(0,0,3) e ~vr = (1,1,2). Umponto e o vetor da reta s sao: Ps = (2,3,0) e ~vs = (−1,− 1,− 2). Observemque as reta sao paralelas,

1

−1=

1

−1=

2

−2∴ −1 = −1 = −1,

logo, α = −1. Entao, temos infinitas possibilidades para as equacoes da retat. Por exemplo, sabendo que M ∈ t e sendo a reta t ortogonal a reta r:

~vt ⊥ ~vr ⇒ ~vt · ~vr = 0⇒ (a,b,c) · (1,1,2) = 0.

Resolvendo o produto escalar:

a+ b+ 2c = 0⇒ a = −b− 2c.

Uma possıvel solucao: se b = 1 e c = 2 ⇒ a = −5 e ~vt = (−5,1,2)

t :

x = 10− 5ty = 8 + tz = −9 + 2t

Outra solucao: se b = 0 e c = −1 ⇒ a = 2 e ~vt = (2,0,− 1)

t :

x = 10 + 2ty = 8z = −9− t

Observacao: Podemos obter uma solucao particular dando-se outracondicao, por exemplo, dizendo que a reta t e ortogonal ao plano de r es.Se t e ortogonal ao plano de r e s, podemos determinar o vetor diretor dareta t fazendo:

~vt = ~vr×−→PrPs

24IMEF - FURG

1.10. DISTANCIAS

~vt = ~vr × ~vs =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 1 22 3 −3

∣∣∣∣∣∣ = −9~i+ 7~j + ~k

Desta forma, as equacoes parametrica da reta sao

t :

x = 10− 9ty = 8 + 7tz = −9 + t


1. Determine as equacoes simetricas da reta que passa pelo pontoA(−2,1,3)e e ortogonal as retas nao paralelas

t :

x = 2− ty = 1 + 2tz = −3t

s :x− 1

−3=y + 1

2=

z

−2

2. Determinar as equacoes da reta t ortogonal ao plano das retas r :{y = 2x− 3z = 3x− 5

e s : x =y

2=z

3e que passa no ponto T (2,− 1,6).

1.10 Distancias

1.10.1 Distancia de um ponto a uma reta

Dados um ponto P1(x1,y1,z1) e uma reta r. Seja P0(x0,y0,z0) um pontoqualquer no espaco nao pertencente a reta r. O vetor diretor ~v da reta

e o vetor−→P1P0 determinam um paralelogramo cuja altura corresponde a

distancia d de P0 a r que pretendemos calcular:Sabemos que a area do paralelogramo e definida pela multiplicacao da

base do paralelogramo pela sua altura,

A = d · |~v|.

Ou pela interpretacao geometrica do produto vetorial:

A = |~v×−→P1P0 |,

comparando os dois, temos:

d = d(P0,r) =|~v×

−→P1P0 ||~v|

. (1.7)

25IMEF - FURG

1.10. DISTANCIAS

Figura 1.13: Distancia entre ponto e reta

Exemplo 26. Calcular a distancia do ponto P (2,3,-1) a reta r :

x = 3 + ty = −2tz = 1− 2t

.

Solucao:

Primeiro, vamos calcular o vetor−→P1P= P − P1 = (2,3, − 1) − (3,0,1) =

(−1,3,− 2). Desta forma,

d = d(P,r) =|(1,− 2,− 2)× (−1,3,− 2)|

|(1,− 2,− 2)|=

|(10,4,1)||(1,− 2,− 2)|

=

√117

3u.c.

Sendo assim, d(P,r) =

√117

3u.c.

1.10.2 Distancia entre retas

A distancia entre retas so esta definida se as retas forem paralelas oureversas:

Retas Paralelas: A distancia entre duas retas paralelas se reduz ao calculoda distancia de ponto a uma reta.

•

r

s��•|

|

|

|

|

|P1

P0

d

26IMEF - FURG

1.10. DISTANCIAS

Retas reversas: Consideremos duas retas: a reta r que passa pelo pontoP1(x1,y1,z1) e tem direcao do vetor ~u, e a reta s que passa pelo ponto

P2(x2,y2,z2) e tem direcao do vetor ~v. Os vetores ~u, ~v e−→P1P2 determinam

um paralelepıpedo, cuja base e definida por ~u e ~v e a altura a distancia dentre as retas r e s.

O volume deste paralelepıpedo e dado pelo produto da sua area da basemultiplicado pela sua altura:

V = |~u× ~v|d

ou de acordo com a interpretacao geometrica do modulo do produto misto:

V = |(~u,~v,−→P1P2)|.

Comparando os dois, temos:

d = d(r,s) =|(~u,~v,

−→P1P2)|

|~u× ~v|. (1.8)

Figura 1.14: Distancia entre retas reversas

Exemplo 27. Calcular a distancia entre as retas r e s onde: r :

x = 1− ty = 2 + 3tz = −t

e s: e o eixo Ox.

Solucao:Um ponto do eixo OX e P (1,0,0) e o vetor e ~vx =~i = (1,0,0).Um ponto da reta r e Pr(1,2,0) e o vetor e ~vr = (−1,3,− 1).

27IMEF - FURG

1.11. LISTA DE EXERCICIOS - RETAS

Calculando o vetor−→PPr= (0,2,0) e aplicando na equacao, temos:

d = d(r,s) =|(~i,~vr,

−→PPr)|

|~i× ~vr|=

2√10

√10√10

=

√10

5

Portanto, d(r,s) =

√10

5u.c.

1.11 Lista de Exercıcios - Retas

1. Escrever as equacoes parametricas e simetricas da reta que passa porA(6,3,9) e e paralela a reta r : (x,y,z) = (4,5,2) + t(2,− 6,− 1).

2. Representar graficamente as seguintes retas de equacoes:

(a) x = 2 + ty = −1 + 2tz = 3 + 3t

(1.9)

(b) x = 3y = 1 + tz = 2t

(1.10)

(c) {y = 4z = 3

(1.11)

(d) {x = 4z = 2

(1.12)

3. Obter as equacoes reduzidas na variavel x, das seguintes retas:

(a) Que passa por A(8,2,− 2) e tem direcao de ~v = (4,8,7).

(b) Pelos pontos A(3,2,1) e B(6,− 1,0).

4. Escrever as equacoes reduzidas na variavel z da reta que passa porA(−1,6,3) e B(2,2,1).

5. Escrever equacoes parametricas das retas que passam pelo pontoA(4,−5,3) e sao, respectivamente, paralelas aos eixos Ox, Oy, Oz.

6. Determinar o angulo entre as seguintes retas:

28IMEF - FURG


(a) r1 :

x = −2− ty = tz = 3− 2t

r2 :

{x

2=y + 6

1=z − 1

1

(b) r2 :

{y = −x+ 5z = 3x− 2

r2 :

{x− 2 = y =

z + 3

2

7. Determine o valor de m sabendo que as retas sao coplanares:

r1 :

{y = 4x− 3z = −2x+ 1

r2 :{x− 4 =

y

m= z + 2

8. Verificar se as retas sao concorrentes e, em caso afirmativo, encontraro ponto de intersecao:

(a) r1 :

{y = 2x− 3z = −x+ 5

r2 :

{y = −3x+ 7z = x+ 1

(b) r1 :

x = 2− ty = 3− 5tz = 6− 6t

r2 :

x = −3 + 6hy = 1 + 7hz = −1 + 13h

9. Determinar as equacoes das seguintes retas:

(a) que passa por A(1,− 2,4) e e paralela ao eixo dos x;

(b) que passa por B(3,2,1) e e perpendicular ao plano xOz;

(c) que passa por A(4,− 1,2) e tem direcao do vetor ~i−~j;(d) que passa pelos pontos M(2,− 3,4) e N(2,− 1,3).

10. Determine o ponto de intersecao das seguintes retas:

r1 :

{y = −3x+ 3z = 3x− 2

r2 :

x = −ty = 1 + 2tz = −2t

11. Determine o ponto de intersecao das seguintes retas:

r1 :

x = 4 + ty = 1− tz = 1 + t

r2 :

x = 9− 4hy = 2 + hz = 2− 2h

12. Calcular a distancia do ponto P (4,2,1) a reta:

r :

x = 1− 2ty = 3 + tz = 6− 2t

29IMEF - FURG


13. Calcular a distancia entre as duas retas:

r1 :

x = 2− ty = 3 + 2tz = 2− 2t

r2 :

{y = x− 2z = −x+ 3

14. Dado o triangulo de vertices A(3, − 4,4), B(4, − 7,2), C(1, − 3,2)determinar:

(a) As Equacoes simetricas da reta suporte do lado AB.

(b) O ponto em que a reta fura o plano xOy.

15. Calcule o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:

(a) r :

{y = mx− 3z = x− 1

s :

{y = 4x−mz = x

16. Dadas as retas l :

{x = 2z − 4y = −3z + 6

e t :

{x− 4

2= y + 2 =

z − 2

−1,

determinar a equacao da reta m simultaneamente ortogonal as retasdadas e que passa no ponto de intersecao das mesmas.

17. Determinar a equacao da reta t que passa pelo ponto M(3,3,-2) e

concorrente com o eixo Oy e ortogonal a reta m :

{y = −xz = x+ 3

.

18. Sendo A(1,0,1), B(2,−1,1), C(−1,0,2), D(3,2,2) vertices de um tetra-edro, pede-se:

(a) as equacoes parametricas da reta r, suporte da altura hD do te-traedro de base ABC relativa ao vertice D.

(b) as equacoes parametricas da mediana relativa ao vertice C dotriangulo ABC.

19. Sendo A(1, − 2,2), B(3,0,1), C(3, − 2,0) vertices de um triangulo, de-terminar a equacao da reta suporte da altura baixada do vertice C.(Dica: aplicar duas vezes o produto vetorial)

20. Dados os vertices de um triangulo A(−1,1,3), B(2,1,4), C(3,− 1,− 1),obter as equacoes simetricas das retas suportes dos lados AB, AC,BC.

21. Estudar a posicao relativa das retas e calcular a distancia entre as

retas r :

{x− 3

3=y − 5

3=z − 1

−8e s :

x = −2 + 3ty = −tz = −2

30IMEF - FURG


22. Determine a equacao da reta t que passa no ponto A(1,− 3,2) e con-corrente com o eixo Oz que passa na origem e e ortogonal a reta

m :

{y = x+ 2z = 2x− 1

23. Escreva as equacoes parametricas da reta r que passa pelo ponto A(4,−4,2) e ortogonal ao vetor −→v = (10,10, − 1) e intercepta a reta s :{y = −x+ 3z = 4x− 4

24. Determine a equacao da reta que passa pelo ponto P (2,− 3,4), e con-

corrente com o eixo Ox e ortogonal a reta s :

x− 5

−1= y + 2

z = 4

25. Determinar a equacao da reta r que passa pelo ponto P (3,3, − 2) e

concorrente com o eixo Oy e ortogonal a reta s :

{y = −xz = x+ 3

26. Os itens a seguir mostram pontos e um vetor diretor. Para cada item,escreva as equacoes parametricas das retas e faca o estudo da posicaorelativa das mesmas em relacao aos eixos ou planos coordenados, sa-bendo que as retas passam pelo ponto medio do segmento AB:

(a) A(−1,− 2,− 3), B(1,3,5) e −→v = (2,0,3)

(b) A(−2,− 2,4), B(2,2,− 4) e −→v = (1,0,0)

(c) A(3,− 2,1), B(5,1,4) e −→v = (0,2,1)

(d) A(1,4,1), B(7,8,5) e −→v = (3,2,0)

(e) A(2,1,4), B(8,2,10) e −→v = (0,1,0)

27. Dadas as seguintes retas:

r :

{y = 3x− 1z = 2x+ 1

s :

{y = 4x− 2z = 3x

(a) escreva os respectivos vetores diretores das retas;

(b) faca o estudo da posicao relativa das retas;

(c) determine o ponto de intersecao das retas;

(d) parametrize o segmento de reta que passa pelo ponto de intersecao(item c) e pelo ponto (5,0,1).

31IMEF - FURG

Capıtulo 2

Planos

A equacao geral ou cartesiana de um plano π no espaco e determinadaconhecendo-se um ponto sobre o plano e sua inclinacao ou orientacao. Essainclinacao e definida especificando-se um vetor que seja perpendicular ounormal ao plano, observe a Figura 2.1.

Figura 2.1: Plano

Portanto, o plano pode ser definido como o conjunto de todos os pontos

P (x,y,z) ∈ R3, onde o vetor−→AP e ortogonal ao vetor −→n .

Notacao: Usamos letras gregas π, α, β, para representar as equacoesdos planos. O vetor normal ao plano e dado por ~n = (a,b,c).

Definicao: Considere A(x0,y0,z0) um ponto pertencente a um plano πe um vetor normal ~n = (a,b,c), nao nulo, ortogonal ao plano que determinasua inclinacao ou orientacao, observe a Figura 2.2:

32

Figura 2.2: Definicao de Plano no Espaco

Sendo o vetor ~n ortogonal ao plano π, ~n sera ortogonal a todo vetorrepresentado no plano π. Dado um ponto P (x,y,z) qualquer, esse ponto

pertencera a π se, e somente, se o vetor−→AP e ortogonal a ~n, isto e,

~n·−→AP= 0. (2.1)

A igualdade acima e valida pela condicao de ortogonalidade (ver produtoescalar). Reescrevendo, temos

~n · (P −A) = 0 (2.2)

ou, em coordenadas

(a,b,c) · (x− x0,y − y0,z − z0) = 0, (2.3)

resolvendo o produto escalar, chegamos a seguinte expressao

ax+ by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0. (2.4)

Fazendo −ax0 − by0 − cz0 = d, obtemos

ax+ by + cz + d = 0. (2.5)

A equacao 2.5 e denominada equacao geral ou cartesiana do plano.

Exemplo 28. π : 2x− 5y + z − 3 = 0. Os coeficientes 2,− 5,1 da equacaogeral representam as componentes do vetor normal ao plano, entao, ~n =(2, − 5,1). Esse mesmo vetor e ortogonal a qualquer plano paralelo a ele.Desta forma, todos os infinitos planos paralelos a π teriam como equacaogeral 2x− 5y + z + d = 0.

33IMEF - FURG

2.1. DETERMINACAO DA EQUACAO DE UM PLANO

2.1 Determinacao da Equacao de um Plano

Agora sabemos que um plano e determinado por um de seus pontos epelo seu vetor normal. Vamos analisar situacoes que tambem ficam evidentespara a determinacao da equacao do plano.

A. O plano passa por um ponto A e e paralelo a dois vetores ~v1 e ~v2, naocolineares: o vetor normal sera determinado

~n = ~v1 × ~v2 (2.6)

Neste caso, os vetores ~v1 e ~v2 sao chamados de vetores de base doplano e para determinar o vetor normal usamos a definicao de produtovetorial, visto que e o unico dos produtos de vetores que determina umvetor simultaneamente ortogonal aos vetores dados (ver propriedadesdo produto vetorial).

34IMEF - FURG


Exemplo 29. Determine a equacao do plano que passa por A(2,1,4)e e paralelo aos vetores ~u = (2,1,− 1), ~v = (3,2,− 4).

Solucao:

~n = ~v1 × ~v2 = (2,1,− 1)× (3,2,− 4) = (−2,5,1).

Portanto, temos a equacao: π : −2x + 5y + 1z + d = 0, substi-tuindo o ponto A, temos que d = −5 e reescrevendo a equacao:π : −2x+ 5y + z − 5 = 0 ou π : 2x− 5y − z + 5 = 0.

Observacao: Qualquer multiplo de ~n, ou seja k~n, com k 6= 0 tambeme normal ao plano π.

B. Se o plano passa por tres pontos dados A, B e C nao em linha reta,

neste caso os vetores−→AB e

−→AC nao sao paralelos, portanto

~n =−→AB ×

−→AC (2.7)

35IMEF - FURG


Nesta situacao os vetores−→AB e

−→AC sao os vetores de base e novamente

usamos o produto vetorial para determinar o vetor normal ao plano.

Exemplo 30. Determine a equacao do plano que passa por A(2,1,−4),B(1,− 2,− 1), C(3,0,1).

Solucao:−→AB= (−1,− 3,3) e

−→AC= (1,− 1,5), fazendo

~n =−→AB ×

−→AC= (−1,− 3,3)× (1,− 1,5) = (−12,8,4) = (−3,2,1).

Entao, π : −3x+ 2y+ z+d = 0, substituindo o ponto C, por exemplo,temos que d = 8 portanto,

π : −3x+ 2y + z + 8 = 0 ou π : 3x− 2y − z − 8 = 0.

C. Contem duas retas concorrentes: Primeiro precisamos analisar a posicaorelativa das retas dadas (ver capıtulo de retas). Se as retas dadas naosao paralelas, mas sao coplanares (ver propriedades do produto misto),entao as retas sao concorrentes e o vetor normal e determinado da se-guinte forma:

~n = ~v1 × ~v2 (2.8)

Exemplo 31. Determine a equacao do plano que passa pelas retas:

r :

x = ty = −3 + 2tz = 5− t

e s :

{x =

y − 7

−3= z − 1

36IMEF - FURG


Solucao: O vetor diretor da reta r e ~v1 = (1,2, − 1) e da reta s e~v2 = (1,−3,1). Analisando a posicao relativas das retas dadas elas saoconcorrentes (verifique!), entao o vetor normal e

~n = ~v1 × ~v2 = (−1,− 2,− 5).

Assim, π : −x− 2y− 5z+d = 0, substituindo um ponto da reta r, porexemplo (0,− 3,5), temos que d = 19 e a equacao:

π : −x− 2y − 5z + 19 = 0 ou π : x+ 2y + 5z − 19 = 0.

D. Contem duas retas r1, r2 paralelas: Verificar se os vetores diretores dasrespectivas retas satisfazem a condicao de paralelismo, e determinar ovetor normal ao plano usando:

~n =−→AB ×~v (2.9)

onde, A e B sao pontos respectivamente das retas r1 e r2. O vetor ~vsera o vetor diretor da reta r1 ou da reta r2.

Exemplo 32. Determine a equacao do plano que passa pelas retas

r : x = y = z + 3 e s :

{x = y + 3z = y − 2

Solucao: Um ponto da reta r e A(0,0, − 3) e um ponto da reta s

e B(3,0, − 2), entao−→AB= (3,0,1) e usando o vetor diretor de r,

~vr = (1,1,1), temos:

~n =−→AB ×~vr = (−1,− 2,3)

Portanto, π : −x− 2y + 3z + d = 0, substituindo um ponto da reta r,por exemplo A(0,0,− 3), temos que d = 9 e:

π : −x− 2y + 3z + 9 = 0.

E. Contem uma reta r e um ponto B /∈ r, desta forma A sera um pontona reta r e v o vetor diretor da reta. Assim,

~n = ~v×−→AB (2.10)

Exemplo 33. Determine a equacao do plano que contem a reta r :{x = −2yz = 4y + 1

e um ponto P (3,0,− 1).

37IMEF - FURG


Solucao: Sendo A(0,0,1) um ponto de r, o vetor−→AP= (3,0, − 2). O

vetor diretor de r e ~v = (−2,1,4),

~n = ~v×−→AP= (−2,8,− 3).

Temos a equacao, π : −2x+ 8y − 3z + d = 0, substituindo o ponto P ,temos que d = 3. Desta forma,

π : −2x+ 8y − 3z + 3 = 0.

F. Passa por dois pontos A e B e e paralelo a um vetor nao colinear ao

vetor−→AB:

~n = ~v×−→AB (2.11)

Exemplo 34. Determine a equacao do plano que passa por A(2,1,3)e B(4,5,0) e e paralelo ao vetor ~u = (2,− 1,2).

Solucao:

−→AB= (4,5,0)− (2,1,3) = (2,4,− 3)

~n = ~u×−→AB= (2,− 1,2)× (2,4,− 3) = (−5,10,10).

Assim, π : −5x + 10y + 10z + d = 0, substituindo o ponto B, temosque d = −30 entao,

π : −5x+ 10y + 10z − 30 = 0 ou x− 2y − 2z + 6 = 0.

Observacao: Nos casos acima fica claro que o vetor normal ~n e sempredado pelo produto vetorial de dois vetores representados no plano.


1. Encontre a equacao do plano que passa pelos pontosA(3,1,2), B(−1,2,−2), C(2,1,− 2).

2. Determine a equacao do plano que passa pelo ponto P (5,2,3) e e per-

pendicular a reta r :

x = 5 + 2ty = 1 + tz = −2t

.

3. Encontre a equacao do plano que passa pelo ponto A(2, − 2,3) e eperpendicular ao vetor da origem O(0,0,0) ate o ponto A.

38IMEF - FURG


4. Determine a equacao do plano que passa pelo ponto P (2, − 1,2) e eparalelo ao plano π : 3x+ 2y + z = 7.

5. Dado o plano π : 2x − y + 5z − 10 = 0 determinar um vetor normalao plano e um ponto do plano. E, verifique se M(1,-3,5) pertence aoplano π.

6. Determinar a equacao do plano perpendicular ao segmento AB quepassa no ponto medio do mesmo, sendo A(5,3,− 1) e B(−1,− 1,− 3).

7. Encontre a equacao do plano que passa pelos pontosA(1,2,3) eB(−2,0,1)sabendo que o plano e paralelo ao vetor ~u = (2,3,− 1).

8. Determine a equacao geral do plano que contem as retas:

r1 :

{y = 2x− 3z = −x+ 5

r2 :

{y = −3x+ 7z = x+ 1

2.1.2 Outra forma para determinar a equacao geral do plano

Dados dois vetores de base do plano, por exemplo, ~v1 e ~v2 e um pontoP (x,y,z) ∈ π, se o plano passa pelo ponto A, o produto misto entre os

seguintes vetores deve ser nulo, isto e, (−→AP ,~v1, ~v2) = 0, pois esses vetores sao

coplanares. Dados, A(x1,y1,z1), ~v1 = (a1,b1,c1), ~v2 = (a2,b2,c2), e possıvelobter a equacao geral do plano desenvolvendo o seguinte determinante:

(−→AP ,~v1, ~v2) =

x− x1 y − y1 z − z1a1 a2 a3b1 b2 b3

= 0

(x− x1)[b1 c1b2 c2

]− (y − y1)

[a1 c1a2 c2

]+ (z − z1)

[a1 b1a2 b2

]= 0

Portanto, ax+ by + cz + d = 0.

Exemplo 35. Sendo A(0,2,−4) e os vetores ~v = (2,4,−6), ~u = (−1,−1,5),determine a equacao do plano.

Solucao:

(−→AP ,~v, ~u) =

x y − 2 z + 42 4 −6−1 −1 5

= 0

Desenvolvendo o determinante acima temos que a equacao do plano e:14x− 4y + 2z + 16 = 0.

Observacao: Um plano cuja equacao tenha a forma:

39IMEF - FURG

2.2. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E PLANOS COORDENADOS

1. ax+ by + d = 0, e perpendicular ao plano xOy;

2. by + cz + d = 0, e perpendicular ao plano yOz;

3. ax+ cz + d = 0, e perpendicular ao plano xOz.

Isto e, se uma das variaveis nao figurar na equacao, o plano sera perpendi-cular ao plano coordenado correspondente as duas variaveis presentes.

2.2 Planos Paralelos aos Eixos e Planos Coorde-nados

2.2.1 Planos Paralelos aos Eixos Coordenados

Considere ~n = (a,b,c). No caso de uma componente do vetor normal sernula, o vetor normal sera ortogonal a um dos eixos coordenados. E o planosera paralelo ao mesmo eixo.

A. Plano paralelo ao eixo Ox: a = 0, ~n = (0,b,c) ⊥ Ox e π ‖ Ox

Equacao: by + cz + d = 0.

Equacao do plano que contem o eixo Ox: by + cz = 0, onde d = 0, oplano passa na origem O. Observe a Figura 2.3, a equacao do plano eπ : 3y + 2z + 4 = 0, portanto ~n = (0,3,2).

40IMEF - FURG


Figura 2.3: Plano paralelo ao eixo Ox π : 3y + 2z + 4 = 0

B. Plano paralelo ao eixo Oy: b = 0, ~n = (a,0,c) ⊥ Oy e π ‖ Oy

Equacao: ax+ cz + d = 0.

Equacao do plano que contem o eixo Oy: ax+ cz = 0, onde d = 0, jaque o plano passa na origem O.

C. Plano paralelo ao eixo Oz: c = 0, ~n = (a,b,0) ⊥ Oz e π ‖ Oz

Equacao: ax+ by + d = 0.

Equacao do plano que contem o eixo Oz: ax + by = 0, onde d = 0, oplano passa na origem O.

2.2.2 Planos Paralelos aos Planos Coordenados

Quando duas componentes do vetor normal sao nulas, o vetor normal e

colinear a um dos vetores−→i ou

−→j ou

−→k . Sendo assim, temos:

A. Plano paralelo ao plano xOy: Se a = b = 0, ~n = (0,0,c) ∴ ~n =(0,0,1) = ~k ∴ π ‖ xOy.

Equacao: cz+d = 0 ∴ z = −dc . Os planos cujas equacoes sao da forma

z=k representam planos paralelos ao plano xOy. Observe a Figura2.4.

41IMEF - FURG


Figura 2.4: Plano paralelo ao plano xOy

B. Paralelo ao plano xOz: Se a = c = 0, ~n = (0,b,0) ∴ ~n = (0,1,0) = ~jportanto, π ‖ xOz. Veja Figura 2.5.

Equacao: y=k.


C. Paralelo ao plano yOz: Se b = c = 0, ~n = (a,0,0) ∴ ~n = (1,0,0) = ~i,portanto, π ‖ yOz. A equacao para estes planos e da forma x=k.Observe a Figura 2.6.

42IMEF - FURG

2.3. AGORA TENTE RESOLVER!


2.3 Agora tente resolver!

1. Determine a posicao relativa dos seguintes planos em relacao aos eixose ou planos coordenados:

(a) z − 7 = 0;

(b) x− 3y = 0;

(c) 3y − 2 = 0;

(d) −3x+ z − 4 = 0;

(e) 4y − 8z + 5 = 0;

(f) x = −4

(g) y − 8 = 0

2. Nos itens a seguir, obter a equacao geral do plano:

(a) paralelo ao eixo y que contenha os pontos A(3,1,2) e B(4,0,3);

(b) paralelo ao eixo x que contenha os pontos A(2,1,1) e B(4,0,3).

2.4 Equacao Vetorial e Equacoes Parametricas doPlano

Seja A(x0,y0,z0) um ponto pertencente a um plano π e ~u = (a1,b1,c1) e~v = (a2,b2,c2) dois vetores paralelos ao plano π, porem, ~u e ~v sao vetoresnao paralelos entre si.

43IMEF - FURG

2.5. ANGULO ENTRE DOIS PLANOS

Para um ponto P (x,y,z) pertencer ao plano π, os vetores−→AP , ~u e ~v

devem ser coplanares. Sendo assim, um ponto P (x,y,z) pertence a π se, esomente se, existem numeros reais h e t tais que P −A = h · ~u+ t ·~v ou, emcoordenadas

(x,y,z) = (x0,y0,z0) + h(a1,b1,c1) + t(a2,b2,c2), h, t ∈ R (2.12)

A equacao 2.12 e denominada equacao vetorial do plano π. Os vetores~u e ~v sao vetores de base do plano π.

Pela equacao 2.12,

(x,y,z) = (x0 + a1h+ a2t,y0 + b1h+ b2t,z0 + c1h+ c2t)

obtemos, x = x0 + a1h+ a2ty = y0 + b1h+ b2tz = z0 + c1h+ c2t

(2.13)

as equacoes 2.13 que sao as equacoes parametricas do plano.

Exemplo 36. Determinar as equacoes parametricas, vetorial e geral doplano que passa por A(1,2,5) e B(3,3,5) e e paralelo a ~v = (1,1,2).

Solucao: (x,y,z) = (1,2,5) + h(1,1,2) + t(2,1,0) ex = 1 + h+ 2ty = 2 + h+ tz = 5 + 2h

Para encontrar a equacao geral do plano resolvemos: ~n = ~v×−→AB, desta

forma:

~n = ~v×−→AB=

~i ~j ~k1 1 22 1 0

= −2~i+ 4~j − ~k.

Portanto, a equacao geral do plano e −2x+4y−z+d = 0, como A(1,2,5) ∈ πtem-se −2x+ 4y − z − 1 = 0 ou 2x− 4y + z + 1 = 0.

2.5 Angulo entre dois planos

Sejam: π1 : a1x+b1y+c1z+d1 = 0 e π2 : a2x+b2y+c2z+d2 = 0, e ~n1 =(a1,b1,c1) e ~n2 = (a2,b2,c2) sao os vetores normais a π1 e π2, denominamosangulo de dois planos como sendo o menor angulo que um vetor normal deum plano forma com o outro, observe a Figura 2.7, desta forma

44IMEF - FURG

2.6. PLANOS PARALELOS E PERPENDICULARES

cos(θ) =| ~n1 · ~n2|| ~n1| · | ~n2|

, com 0 ≤ θ ≤ π

2(2.14)

Figura 2.7: Angulo de dois planos

2.6 Planos Paralelos e Perpendiculares

Considere os seguintes planos π1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e π2 :a2x+ b2y + c2z + d2 = 0. Sabe-se que

~n1 = (a1,b1,c1) ⊥ π1 e ~n2 = (a2,b2,c2) ⊥ π2

Entao, as condicoes de paralelismo e de perpendicularismo de dois planossao

i. Se π1 ‖ π2 ⇒ ~n1 ‖ ~n2 ∴ a1a2

= b1b2

= c1c2

Se alem disso, a1a2

= b1b2

= c1c2

= d1d2

os planos sao coincidentes.

ii. Se π1 ⊥ π2 ⇒ ~n1 ⊥ ~n2 ∴ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

Exemplo 37. Planos paralelos:

45IMEF - FURG

2.7. RETAS E PLANOS

Figura 2.8: π1 : 3x+ 6y + 9z − 5 = 0 e π2 : x+ 2y + 3z + 8 = 0

Exemplo 38. Planos Perpendiculares:

Figura 2.9: π1 : y = 0 e π2 : z = 0

2.7 Retas e Planos

2.7.1 Angulo de uma reta com um plano

Dados uma reta r e um plano π. Considere α sendo o angulo entre areta e o plano. Como α e o complemento do angulo θ que a reta forma com

46IMEF - FURG

2.7. RETAS E PLANOS

uma reta normal ao plano (θ + α = 90◦ → α = 90◦ − θ), da trigonometriacos(θ) = sin(α), portanto,

sin(α) =|~v · ~n||~v| · |~n|

, com 0 ≤ α ≤ π

2(2.15)

Exemplo 39. Encontre o angulo formado pela reta

{y = −2xy = 2x+ 1

e π :

x− y + 5 = 0

Solucao:

sin(α) =|(1,− 2,2) · (1,− 1,0)|√

1 + 4 + 4√

1 + 1⇒ α = arcsen(

√2

2)

2.7.2 Condicoes de paralelismo e perpendicularismo entrereta e plano

i. Se r ‖ π, ~v ⊥ ~n.

ii. Se r ⊥ π, ~v ‖ ~n.

2.7.3 Condicoes para que uma reta esteja contida num plano

i. O vetor ~v de r e ortogonal ao vetor ~n.

ii. Um ponto A pertence a r pertence tambem ao plano.


1. Determinar o angulo entre os planos:

(a) π1 : 2x− 3y + z − 5 = 0 e π2 : x+ 2y − 2z − 12 = 0

(b) π1 : 2x− 3y + 5z − 8 = 0 e π2 : 3x+ 2y + 5z − 4 = 0

(c) π1 : 3x+ 2y − 6 = 0 e π2 : plano xOz.

2. Determine se os seguintes planos sao paralelos ou ortogonais:

(a) π1 : 4x+ 6y + 8z = 0 e π2 : 2x+ 3y + 4z − 3 = 0;

(b) π1 : 3x− 2y + z + 4 = 0 e π2 : 2y + 4z = 0;

(c) π1 : 4x− 6y + 2z − 4 = 0 e π2 : −6x+ 9y − 3z + 1 = 0;

(d) π1 : −2x+ 3y − 2z + 1 = 0 e π2 : −x+ 2y + 4z − 4 = 0;

3. Verifique se as retas sao paralelas aos planos:

a) r :

{x− 1

3=y + 1

−2= z e π : x+ 2y + 3 = 0

47IMEF - FURG

2.8. INTERSECAO ENTRE PLANOS

b) s :

{y = 2xz = −3x+ 7

e π : 2x+ 5y + 4z − 12 = 0

4. Sendo r :

{x− 1

a=y − 2

−1= z + 3 e π : 2x+3y−z+d = 0, determinar

a e d tal que a reta r esteja contida no plano π.

2.8 Intersecao entre Planos

Considere dois planos: π1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e π2 : a2x + b2y +c2z + d2 = 0, a intersecao de dois planos nao paralelos e uma reta r cujasequacoes se deseja determinar.

Portanto, π1 ∩ π2 = {t}.

Figura 2.10: Intersecao entre planos

Para determinar um ponto e um vetor diretor da reta t, da Figura 2.10,encontramos suas equacoes reduzidas, isolando duas variaveis em funcao daterceira. Como a reta t esta contida nos dois planos, as coordenadas de

48IMEF - FURG

2.9. INTERSECAO DE UMA RETA COM O PLANO

qualquer ponto (x,y,z) ∈ t devem satisfazer, simultaneamente, as equacoesdos dois planos. Assim, os pontos da reta constituem a solucao do sistemaformado pelas equacoes dos planos.

Exemplo 40. Encontre a reta de intersecao dos planos π1 : x+3y−z+4 = 0e π2 : 3x− 2y + z − 7 = 0.

Solucao:

x+ 3y − z + 4 = 03x− 2y + z − 7 = 0(+)

4x+ y − 3 = 0⇒ y = −4x+ 3

substituindo na primeira equacao, temos:

x+ 3(−4x+ 3)− z + 4 = 0

−11x− z + 13 = 0

z = −11x+ 13

Entao:

{y = −4x+ 3z − 11x+ 13

Estas sao as equacoes reduzidas da reta intersecao dos planos, sendo ospontos desta intersecao da forma: (x,− 4x+ 3,− 11x+ 13).

Observacao: Sendo ~vr ⊥ ~n1 e ~n2, o vetor da reta pode ser obtido por~vr = ~n1 × ~n2. (Resolva o exemplo anterior usando o produto vetorial). Umponto da reta r satisfaz as equacoes dos planos, sendo uma solucao particularpelo sistema formado por elas.

2.9 Intersecao de uma reta com o plano

Para ilustrar a situacao vamos resolver o exemplo a seguir.

Exemplo 41. Considere r :

{x = −y + 2z = −3y + 6

e π : 2x + y − 4z − 13 = 0.

Encontre o ponto de intersecao entre a reta e o plano. Se existir, teracoordenadas que satisfacam simultaneamente as equacoes da reta e do plano.

49IMEF - FURG

2.9. INTERSECAO DE UMA RETA COM O PLANO

Resolvendo o sistema:

r ∩ π = I ⇒

x = −y + 2z = −3y + 62x+ y − 4z − 13 = 0

⇒ 2(−y + 2) + y − 4(−3y + 6)− 13 = 0.

Portanto, o ponto de intersecao e I(−1,3,− 3).

RESUMO:

Posicao relativa entre reta e plano:

a) Se ~n e ~vr sao ortogonais ⇒ ~n · ~vr = 0 (~n ⊥ ~vr).Ou r ⊂ π ou r ‖ π ⇒ r ∩ π = ∅.

b) Se ~n e ~vr nao sao ortogonais ⇒ ~n · ~vr 6= 0, r ∩ π = I a reta interceptao plano.

c) Se ~n e ~vr sao ortogonais, para decidir se r ⊂ π ou r ‖ π , verificamos seum ponto de r pertence ao plano. Caso afirmativo, r ⊂ π senao r ‖ π.

Posicao relativa entre planos:

a) Se o plano π1 coincide com π2 : ~n1 ‖ ~n2.π1 ≡ π2 se e somente se, os coeficientes a1, b1, c1, d1 e a2, b2, c2, d2sao proporcionais.

b) π1 ‖ π2, ~n1 ‖ ~n2 ∴a1a2

=b1b2

=c1c2

, porem d1 e d2 nao tem a mesma

proporcao.

c) ~n1 e ~n2 nao paralelos, π1 ∩ π2 = r.


1. Determinar um ponto e um vetor da reta de intersecao com os seguintesplanos:

(a) π1 : x− 2y + z − 8 = 0 e π2 : 2x− y + z − 5 = 0

(b) π1 : 3x+ y + 2z + 1 = 0 e π2 : −x+ 3y − 2 = 0

2. Determinar a intersecao, se houver, do planos e a reta:

(a) π : x− 3y − 3z − 5 = 0 e r : x+13 = y+3

4 = z+42

50IMEF - FURG

2.10. INTERSECAO DE UM PLANO COM OS EIXOS E PLANOSCOORDENADOS

(b) π : x+ y − 2z + 4 = 0 e

x = 5 + 3ty = 2− tz = −4 + t

(c) π : xOy e

{y = 2xz = −3x+ 9

2.10 Intersecao de um Plano com os Eixos e Pla-nos coordenados

Considere o plano: π : 3x+ 4y + z − 12 = 0.Vamos encontrar a intersecao de π com os eixos coordenados e com

os planos coordenados

a) Com os eixos coordenados

Lembrando que:

Ox

{y = 0z = 0

, Oy

{x = 0z = 0

, Oz

{x = 0y = 0

(2.16)

Voltando ao exemplo, resolvendo os sistemas lineares:

1. π ∩ 0x→

3x+ 4y + z − 12 = 0y = 0z = 0

→ Px(4,0,0)

2. π ∩ 0y → Py(0,3,0)

3. π ∩ 0z → Pz(0,0,12)

51IMEF - FURG

2.11. DISTANCIAS

Figura 2.11: Intersecao do plano com os eixos

b) Com os planos coordenadosLembrando que as equacoes dos planos coordenados sao respectiva-mente: xOy : z = 0, xOz : y = 0 e yOz : x = 0.

1. π ∩ x0y = r →{

3x+ 4y + z − 12 = 0z = 0

→{y = −3

4x+ 3z = 0

2. π ∩ x0z = r →{

3x+ 4y + z − 12 = 0y = 0

→{z = −3x+ 12y = 0

3. π ∩ y0z = r →{

3x+ 4y + z − 12 = 0x = 0

→{z = −4x+ 12x = 0

2.11 Distancias

2.11.1 Distancia de um ponto a um Plano

Dado um ponto A(x0,y0,z0) nao pertencente a π e o plano π : ax+ by+cz + d = 0, queremos determinar a distancia de A ao plano π. Se P (x,y,z)e um ponto no plano e ~n a normal ao plano entao a distancia de qualquer

ponto A ao plano, d(A,π), e o modulo da projecao ortogonal−→PA na direcao

de ~n. Observe a Figura 2.12.

52IMEF - FURG

2.11. DISTANCIAS

Figura 2.12: Distancia de ponto a plano

d(A,π) =∣∣∣proj~n ~PA

∣∣∣ =

∣∣∣∣−→PA · ~n|~n|∣∣∣∣ (2.17)

d(A,π) =

∣∣∣∣(x0 − x,y0 − y,z0 − z)(a,b,c)√a2 + b2 + c2

∣∣∣∣d(A,π) =

∣∣∣∣a(x0 − x) + b(y0 − y) + c(z0 − z)√a2 + b2 + c2

∣∣∣∣Como P ∈ π, suas coordenadas satisfazem a equacao do plano, entao

d = −ax− by − cz. Portanto,

d(A,π) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2(2.18)

Observe que a expressao do numerador se obtem substituindo as coordena-das do ponto A. Esse valor sera sempre positivo, pois no numerador temoso modulo do numero e o denominador e o modulo do vetor normal ao plano.

2.11.2 Distancia entre dois planos

A distancia entre dois planos so e definida se os planos sao paralelos,portanto, a distancia d entre eles e a distancia de um ponto qualquer de umdos planos ao outro: d(π1,π2) = d(A,π2) com A ∈ π1.

2.11.3 Distancia de uma reta a um plano

So e definida quando a reta e paralela ao plano, entao a distancia dareta ao plano e a distancia de um ponto qualquer da reta ao plano, d(r,π) =d(A,π) com A ∈ r.

53IMEF - FURG

2.12. LISTA DE EXERCICIOS - PLANOS


1. Encontrar a distancia da reta: r :

{x = 3y = 4

a) Ao plano x0z

b) Ao plano y0z

c) Ao plano π : x+ y − 12 = 0

2.12 Lista de Exercıcios - Planos

1. Escrever a equacao do plano que passa por A(3,2,3) e e perpendicularao segmento que liga este ponto ao ponto P (4,4,6).

2. Determinar a equacao geral do plano perpendicular a reta r :

{y = 3x+ 2z = 4x− 2

e que contenha o ponto A(3,1,2).

3. Determinar a equacao geral do plano que passa pelo ponto medio dosegmento de extremos A(4,3,6), B(2,1,0) e seja perpendicular a ele.

4. Dadas as equacoes parametricas

x = 3 + 2h+ ty = 4− h+ tz = 6− h+ 2t

, obter uma equacao

geral do plano.

5. Escrever uma equacao geral e as equacoes parametricas do plano de-terminado pelos pontos: A(2,1,6), B(−1,4,8), C(1,− 1,− 1).

6. Determinar uma equacao geral do plano que contem as retas:

r1 :

{y = 2x+ 2z = 3x− 1

r2 :

{x− 1

2=y − 4

1=z − 2

2

7. Determinar uma equacao geral do plano que contem as retas:

r1 :

{x = 2y − 2z = y − 3

r2 :

{y = 2x+ 1z = −3x− 2

8. Determinar a equacao geral do plano que contenha o ponto e a retadados:

(a) A(3,4,6) e r

x = ty = 3− tz = 3 + 2t

(b) A(4,5,2) e o eixo z

54IMEF - FURG


9. Obter uma equacao geral do plano paralelo ao eixo dos x e que conte-nha os pontos A(−4,1,2), B(0,− 3,4).

10. Determinar a posicao relativa dos seguintes planos, em relacao aosplanos e eixos coordenados:

(a) 3x− 2y + 6 = 0

(b) x− 3z = 0

(c) 2y + z − 9 = 0

(d) z − 3 = 0

(e) y = 0

(f) x+ 5 = 0

11. Determine as intersecoes dos planos com os eixos coordenados e repre-sente graficamente:

(a) 5x+ 2y − 10 = 0

(b) y + 2z − 4 = 0

(c) x− 5 = 0

(d) z = 3

(e) 3x+ 2y + 4z = 12

(f) 4x+ 2y + 6z = 12

(g) y + z = 5

(h) x+ y − z = 0

12. Determine a equacao do plano que passa:

(a) pelo ponto P (5,6,2) e e paralelo ao plano xOy;

(b) pelo ponto P (2,3,3) e e paralelo ao plano xOz;

(c) pelo ponto P (1,− 2,2) e e paralelo ao plano yOz.

13. Dados os seguintes planos: π : ax + by − 4z + 3 = 0 e α : 3x + 2y −2z + 20 = 0, calcule:

(a) a e b para que os planos sejam paralelos.

(b) a distancia entre eles.

14. Determinar a equacao geral do plano que passa pelo ponto A(−4,2,9)e e perpendicular ao eixo Oz.

15. Determinar a equacao geral do plano mediador do segmento retilıneoque tem por extremidades os pontos A(4,3,− 4), B(2,3,− 4).

55IMEF - FURG


16. Escreva a equacao do plano paralelo ao eixo Ox e que passa pelospontos A(6,1,2) e B(6,− 1,3).

17. Determinar a equacao do plano que passa pelo ponto A(3,1, − 1) e eperpendicular ao plano 2x− 2y + z + 4 = 0, tendo sua intersecao como eixo Oz no ponto de cota igual a −3.

18. Determine a equacao do plano que passa pela origem e e perpendicularaos planos xOy e y − 2 = 0.

19. Escreva a equacao do plano determinado pelas retas r : x2 = y + 1 =

z − 3 e (x,y,z) = (−1,1,0) + t(4,2,2).

20. Determinar a intersecao da reta r : (x,y,z) = (0,1,0) + t(1, − 2, − 1),como plano π : 2x+ y − z − 4 = 0.

21. Escreva a equacao do plano:

(a) paralelo ao plano xy, 10 unidades acima dele;

(b) perpendicular ao eixo dos z, no ponto (0,0,− 15);

(c) paralelo ao plano xz, 8 unidades atras dele.

22. Escreva as equacoes parametricas da reta r, intersecao dos planos:π1 : 2x+ y − z = 0 e π1 : x− 2y + z − 1 = 0.

23. Determinar a equacao do plano π, paralelo ao plano α : 2x + 5y +z − 4 = 0, sabendo-se que passa pelo ponto de intersecao da retar : (x,y,z) = (1,0,3) + t(2,− 1,3) com o plano π2 : x+ 3y − z − 2 = 0.

24. O ponto A(3,2,2) ∈ π e o plano π e paralelo aos vetores ~u = (3,2,− 1)e ~v = (2,2,3). Escreva a equacao vetorial, as equacoes parametricas ea equacao geral do plano π.

25. Determine as equacoes parametricas do plano π : 3x+ 2y− z + 6 = 0.

26. Determine a equacao geral do plano π de equacoes:x = 1 + 3h+ ty = −1 + h+ 2tz = −h+ 3t

27. Escrever uma equacao geral e as equacoes parametricas dos planosdeterminados pelos seguintes pontos:

(a) A(2,0,− 1), B(3,1,2), C(4,− 1,− 3)

(b) A(3,2,1), B(1,− 2,1), C(0,2,3)

56IMEF - FURG


28. Escreva uma equacao geral do plano paralelo ao eixoOx e que contenhaA(2,3,0) e B(1,0,− 1).

29. Determine uma equacao geral para o plano π que contem A(2,1,− 1)e B(3,2,3) e e perpendicular ao plano α : 3x− y + 2z = 0.

30. Determine a distancia dos pontos aos respectivos planos:

(a) P (2,3,6) e π : x+ y + z = 0

(b) P (2,− 1,2) e π : 2x− 2y − z + 3 = 0

(c) P (−3,1,2) e π : 2x− 3y + 6z − 42 = 0

31. Verifique se os planos sao paralelos, caso afirmativo calcule a distanciaentre os mesmos: π1 : x+ y + z = 4 e π2 : 2x+ 2y + 2z = 5.

32. Determine a distancia da reta r ao plano π: r :

x = 4 + 3ty = −1 + tz = t

π :

x− y − 2z + 4 = 0.

57IMEF - FURG

Capıtulo 3

Gabaritos

3.1 Lista de Exercıcios - Retas

1. x = 6 + 2t, y = 3− 6t, z = 9− t; x− 6

2=y − 3

−6=z − 9

−1

2. graficos

3. a.y = 2x− 14, z =7

4x− 16; b. y = −x+ 5, z = −1

3x+ 2

4. x = −3

2z +

7

2, y = 2z

5. Paralela ao eixo x : x = 4 + t, y = −5,z = 3 ou y = −5,z = 3. Paralelaao eixo y : x = 4, y = −5 + t, z = 3 ou x = 4, z = 3. Paralela ao eixoz : x = 4, y = −5,z = 3 + t ou x = 4, y = −5.

6. a. θ = arccos(1

2); b. θ = arccos(

√66

11).

7. m = −19

5

8. a. I(2,1,3); b. h = 1, t = −1, I(3,8,12)

9. a. y = −2, z = 4; b. x = 3, z = 1; c. x = 4 + t, y = −1 − t, z = 2; d.x = 2, y = −3 + 2t, z = 4− t.

10. I(2,− 3,4)

11. I(1,4,− 2)

12.

√306

3u.c.

13. 2√

2u.c.

58


14. a.x− 3

1=y + 4

−3=z − 4

−2; b. (5,− 10,0)

15. m = 4

16. x = 2 + 2t, y = −3 + 4t, z = 3 + 8t

17. Uma solucao: −→v = (−3,− 1,2);x = 3− 3t, y = 3− t, z = −2 + 2t

18. a. x = 3− t, y = 2− t, z = 2− 2t; b. x = −1 +5

2t, y = −1

2t, z = 2− t

19. −→v = (−−→AB×

−→AC)×

−−→AB = (6,− 12,− 12);x = 3 + 6t, y = −2− 12t, z =

−12t

20.−−→AB = (3,0,1),

x+ 1

3= z − 3, y = 1;

−→AC = (4, − 2, − 4),

x+ 1

4=

y − 1

−2=z − 3

−4;−−→BC = (1,− 2,− 5), x− 2 =

y − 1

−2=z − 4

−5

21. 7u.c.

22. −→v = (1,− 3,1);x = 1 + t, y = −3− 3t, z = 2 + t

23. −→v = (1,− 2

5,6);x = 4 + t, y = −4− 2

5t, z = 2 + 6t

24.x− 2

3=y + 3

3=z − 4

−4

25.x− 3

3= y − 3 =

z + 2

−2

26. a. Pm(0,1

2,1), x = 2t, y =

1

2,z = 1 + 3t; b. Pm(0,0,0), x = t, y = 0, z =

0; c. Pm(4,− 1

2,3

2); d. Pm(4,6,3); e. Pm(5,

3

2,7)

27. Nao sao paralelas, sao coplanares, ponto de intersecao I(1,2,3), para-

metrizacao:

x = 1 + 2ty = 2− t 0 ≤ t ≤ 2.z = 3− t

3.2 Lista de Exercıcios - Planos

1. x+ 2y + 3z − 16 = 0

2. x+ 3y + 4z − 14 = 0

3. x+ y + 3z − 14 = 0

4. x+ 5y − 3z − 5 = 0

59IMEF - FURG


5. 17x+ 23y − 9z − 3 = 0

6. x+ 4y − 3z − 11 = 0

7. 5x− 7y − 3z − 1 = 0

8. a. 5x− 3y − 4z + 21 = 0; b.5x− 4y = 0

9. 2y + 4z − 10 = 0

10. a. plano paralelo Oz; b.plano paralelo Oy; c. plano paralelo Ox; d.plano paralelo ao plano xOy; e. plano paralelo ao plano xOz; f. planoparalelo ao plano yOz

11. Graficos.

12. a. z − 2 = 0; b. y − 3 = 0; c. x− 1 = 0

13. a. a = 6, b = 4

14. z − 9 = 0

15. x− 3 = 0

16. y + 2z − 5 = 0

17. 5x+ y − 8z − 24 = 0

18. x = 0

19. 5x− 5y − 5z + 10 = 0

20. P (3,− 5,− 3)

21. a. z = 10; b. z = −15; c. y = −8

22. y = 3x− 1, z = 5x− 1

23. 2x+ 5y + z − 3 = 0

24. 8x− 11y + 2z − 6 = 0

25. x = t, y = h, z = 6 + 3t+ 2h

26. x− 2y + z − 3 = 0

27. a.x+ 8y − 3z − 5 = 0; b. 2x− y + 3z − 7 = 0

28. y − 3z − 3 = 0

29. 6x+ 10y − 4z − 26 = 0

60IMEF - FURG


30. a.11√

3

3u.c.; b.

7

3u.c.; c.

39

7u.c.

31.

√3

2u.c.

32.3√

6

2u.c.

Bibliografia

1. Steinbruch, A.; Winterle, P. Geometria Analıtica, Sao Paulo: PearsonMakron Books, 1987.

2. Winterle, P. Vetores e Geometria Analıtica, Sao Paulo: Makron Books,2 ed., 2014.

3. Boulos, P. Geometria Analıtica: um tratamento vetorial, Sao Paulo:McGraw-Hill, 1987.

4. Weir, Maurice D. Calculo (George B. Thomas), Volume II, Sao Paulo:Addison Wesley, 2009.

61IMEF - FURG

Apendice A

Retas e Planos - Exemplos

Exemplos de retas e planos:

Exemplo 42. A intersecao dos planos π : 3x − 6y − 2z − 15 = 0 e α :2x+ y − 2z − 5 = 0 e a reta r : (x,y,z) = (2.8,− 1.02,− 0.1) + t(14,2,15).

Figura A.1: Intersecao entre planos.

62

Exemplo 43. Tres pontos nao alinhados pertencentes a um plano.

Figura A.2: Pontos pertencentes a um plano.

63IMEF - FURG

Exemplo 44. Intersecao entre retas. Essas retas sao tambem ortogonais.

Figura A.3: Retas ortogonais.

64IMEF - FURG

Exemplo 45. Reta perpendicular ao plano xOy. O ponto A ∈ xOy.

Figura A.4: Reta perpendicular ao plano xOy.

65IMEF - FURG

Apendice B

Estudo da Reta no planocartesiano

B.1 Conceito de Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, (A×B)e o conjunto formado por todos os pares ordenados (a,b), em que a ∈ A eb ∈ B:

A×B = {(a,b)|∀a ∈ A;∀b ∈ B}

Exemplo 46. Considere os seguintes conjuntos: A = {1,3,5} e B = {2,3}.

A×B = {(1,2),(1,3),(3,2),(3,3),(5,2),(5,3)}

Produtos cartesianos importantes:

Sendo R - conjunto dos reais.

Indica-se por R2 o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y), em quex e y sao numeros reais. O produto cartesiano: R× R = R2 = {(x,y)|∀x ∈R; ∀y ∈ R}.

O numero x e a primeira coordenada (abscissa) e o numero y a segundacoordenada (ordenada) do par (x,y).

Indica-se por R3 o conjunto formado pelos ternos ordenados (x,y,z), emque x,y e z sao numeros reais.

O produto cartesiano: R× R× R = R3 = {(x,y,z)|∀x ∈ R,∀y ∈ R,∀z ∈R}.

66

B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO

O numero x e a primeira coordenada (abscissa) e o numero y a segundacoordenada (ordenada) e z e a terceira coordenada (cota) do terno (x,y,z).

B.1.1 Coordenadas Cartesianas na reta

Uma reta orientada e uma reta na qual tomamos um sentido positivo depercurso (flecha).

Figura B.1: Reta Orientada.

Como vimos, cada ponto no plano (R2) possui uma abscissa e uma or-denada, portanto, o ponto P e um par ordenado (x,y). Note que o planocartesiano e formado a partir de duas retas mutuamente perpendiculares. Oeixo x e perpendicular ao eixo y.

Figura B.2: Plano cartesiano.

Exemplo 47. Pontos no plano cartesiano.

67IMEF - FURG


Suponha que deseja-se marcar o ponto A(1, − 3) no plano cartesiano.Para isso, imagine uma reta vertical passando pelo ponto 1 do eixo x e umareta horizontal passando pelo ponto −3 do eixo y. A intersecao dessas duasretas e o ponto A.

Figura B.3: Ponto no plano cartesiano.

Distancia entre dois pontos

Para falar em distancia entre dois pontos devemos lembrar do Teoremade Pitagoras, que relaciona as medidas dos lados de um triangulo retangulo.Os lados que formam um angulo reto sao denominados catetos e o ladooposto ao angulo reto e chamado de hipotenusa. Assim, temos

a2 = b2 + c2.

Pela figura abaixo, considere os pontos P (x1,y1) e Q(x2,y2)

Figura B.4: Distancia entre dois pontos.

68IMEF - FURG


|−−→PQ|2 = |x2 − x1|2 + |y2 − y1|2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

|−−→PQ| =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Ponto Medio

Considere tres pontos sobre uma reta A(x1,y1), B(x2,y2), P (x,y), ondeP e o ponto medio entre A e B, entao AP = PB. Portanto,

x =(x1 + x2)

2, y =

(y1 + y2)

2

P =

(x1 + x2

2,y1 + y2

2

)

Figura B.5: Ponto medio.

B.1.2 A Equacao da Reta no plano

E facil perceber que dois pontos distintos definem uma unica reta. Con-sidere a reta definida por A(x0,y0) e B(x1,y1). Um ponto P (x,y) esta sobrea reta desde que A,B e P sejam colineares, como podemos observar pelafigura abaixo.

Tal condicao de alinhamento e satisfeita se os triangulos ABM e APNforem semelhantes,

PN

AN=BM

AM

Portanto,y − y0x− x0

=y1 − y0x1 − x0

.

69IMEF - FURG


Figura B.6: Definicao da equacao da reta.

Onde, x0,y0,x1,y1 sao numeros conhecidos. Tal constante e o coefici-ente angular da reta a e pode ser calculado dividindo-se a variacao 4y dasordenadas dos pontos conhecidos da reta pela variacao4x de suas abscissas.

a =4y4x

=y1 − y0x1 − x0

.

Entao,y1 − y0x1 − x0

= a ou y − y0 = a(x − x0) e a equacao na forma ponto

coeficiente angular. Isolando y, temos y = ax− ax0 + y0, onde ax0 + y0 = b,entao a forma da equacao reduzida da reta e dada por

y = ax+ b.

Sendo assim, a e o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear. Di-zer que y = ax+b e uma equacao de uma dada reta significa que todo pontoda reta tem coordenadas que satisfazem sua equacao. Reciprocamente, todopar ordenado que satisfaz sua equacao e um ponto da reta.

Declividade ou coeficiente angular

Considere uma reta r nao paralela ao eixo Oy e α sua inclinacao, ocoeficiente angular a e o numero real que expressa a tangente trigonometricade sua inclinacao α.

a = tgα

Observe a seguir os casos com 0◦ ≤ α < 180◦ :A equacao da reta horizontal e y = b.

70IMEF - FURG


Figura B.7: Reta horizontal.

Figura B.8: Reta com coeficiente angular negativo.

71IMEF - FURG


Figura B.9: Reta com coeficiente angular positivo.

Figura B.10: Reta vertical.

A equacao da reta vertical e x = c.Observamos que uma reta com coeficiente angular positivo dirige-se paracima e para direita, e, uma reta com coeficiente angular negativo dirige-separa baixo e para direita.

Exemplo 48. Como calcular o coeficiente angular: Dados dois pontos dareta, por exemplo, A(2,3) e B(4,7), entao:

a =7− 3

4− 2=

4

2= 2

Equacao da reta conhecidos um ponto e a declividade:

72IMEF - FURG


Considere P (x,y) um ponto generico sobre a reta e a a declividade (co-eficiente angular), temos

tgα = a =y − y1x− x1

⇒ y − y1 = a(x− x1)

Exemplo 49. Se o ponto A(3,2) pertence a reta r e o coeficiente angularda reta e 2, usando a equacao (y − y1) = a(x− x1), temos:

(y − 2) = 2(x− 3)⇒ (y − 2) = 2x− 6⇒ y = 2x− 4.

Equacao Geral da reta:

Toda reta possui uma equacao na forma ax+ by + c = 0 na qual a,b e csao constantes e a e b nao sao simultaneamente nulos, chamada de equacaogeral da reta.

Retas paralelas

Duas retas sao paralelas quando nao existe um ponto comum a elas. Por-tanto, duas retas sao paralelas se, e somente se, possuem a mesma inclinacaoa e cortam o eixo Oy em pontos diferentes.

Figura B.11: Retas paralelas.

Retas concorrentes

Exemplo 50. Dadas as retas r : 3x + 2y − 7 = 0 e s : x − 2y − 9 = 0,determinar o ponto P de intersecao das retas r e s.

73IMEF - FURG


Figura B.12: Retas concorrentes.

Solucao: Resolver o seguinte sistema:{3x+ 2y − 7 = 0x− 2y − 9 = 0

Temos: 4x − 16 = 0 ⇒ 4x = 16 ⇒ x = 4, substituindo na segunda

equacao, y =−5

2. Portanto, P (4,

−5

2).

Retas perpendicularesDuas retas sao perpendiculares quando o angulo entre elas e 90◦. Sejam,

r : y = ax+ b e s : y = mx+ n, r e s sao perpendiculares se ma = −1.

Figura B.13: Retas perpendiculares.

74IMEF - FURG

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EQUAC˘OES DE RETAS E PLANOS~ NO ESPAC˘O · Universidade Federal do Rio Grande - FURG EQUAC˘OES DE RETAS E PLANOS NO~ ESPAC˘O Instituto de Matem atica, Estat stica e F sica - IMEF