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Universidade Federal da Paraıba
Centro de Ciencias Exatas e da Natureza
Graduacao em Matematica
A equacao da onda
Aline de Araujo Maia
Joao Pessoa – PBNovembro de 2017
Universidade Federal da Paraıba
Centro de Ciencias Exatas e da Natureza
Graduacao em Matematica
A equacao da onda
por
Aline de Araujo Maia
sob a orientacao do
Prof. Dr. Fagner Dias Araruna
Joao Pessoa – PB
Novembro de 2017
M217e Maia, Aline de Araújo. A equação da onda / Aline de Araújo Maia. - João Pessoa, 2017. 74 f. : il.
Orientação: Araruna, Fágner Dias. Monografia (Graduação) - UFPB/CCEN.
1. Séries de Fourier. 2. Equação da onda. 3. Corda vibrante. I. Araruna, Fágner Dias. II. Título.
UFPB/BC
Catalogação na publicaçãoSeção de Catalogação e Classificação
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Dedico este trabalho a minha famılia, em especial aos meus
pais Ana Maria (in memoriam) e Manoel Alves, que sem-
pre acreditaram em mim e fizeram o possıvel pela minha
educacao.
“Porque Dele e por Ele, e para Ele, sao todas
as coisas; gloria, pois, a Ele eternamente.
Amem.”
Romanos 11:36
v
Agradecimentos
A Deus, pois Nele vivemos, nos movemos e existimos, Ele e a fonte de todo o
conhecimento e ajuda aqueles que o buscam.
Aos meus pais, Ana Maria (in memoriam) e Manoel Alves, por estarem incondi-
cionalmente ao meu lado, me criando no caminho da retidao e sempre influenciando
meu interesse pelo conhecimento. Aos meus avos, Maria da Gloria, Isaac Araujo (in
memoriam), Eunice Maia (in memoriam) e Antonio Amaro (in memoriam), por ofe-
recerem um ambiente de amor e atencao especialmente na minha infancia. Aos meus
tios, em especial minhas tias Zenaide Maria e Joanita Maria, que cuidaram de mim
apos o falecimento da minha mae.
Ao meu orientador, Prof. Dr. Fagner Dias Araruna, por toda a contribuicao
e auxılio para o meu desenvolvimento nao so academico, mas tambem enquanto ser
humano. Aos professores membros da banca examinadora, Prof. Dr. Damiao Junio
Goncalves Araujo e Prof. Dr. Uberlandio Batista Severo, por aceitarem o convite de
participarem deste momento importante.
Aos meus colegas do laboratorio Milenio, a destacar, Thiago Luiz, Raoni, Mariana,
Cassio, Angelica, Raiza, Jose Ribeiro, Esau, Julian, Douglas, Marcelo, Jose Carlos,
Richardson, Moises, Josenildo, Suelena, Victor, Leon e Wendel, pelos momentos de
estudo e brincadeiras compartilhados. A Liana Coliselli e Karoline Medeiros, minhas
amigas e conselheiras.
A todos os colegas da Cru Campus, na pessoa de Shirley Mesquita, pela comunhao
no campus e fora dele, e pela vivencia crista neste local. Seguramente posso chama-los
de irmaos.
A todos das igrejas Batista em Ferreiros e Luterana, que me auxiliaram com oracoes
e apoio espiritual.
Resumo
Neste trabalho, focamos o nosso estudo na equacao da onda. Apresentamos inicial-
mente conceitos basicos referentes a Equacoes Diferenciais Parciais (EDPs) e a Teoria
das series de Fourier. Em seguida, lidamos com a deducao fısica e resolucao desta
equacao. Discutimos diversos problemas de valores iniciais e de fronteira, tais como:
o da corda com extremidades fixas, da corda dedilhada, da corda infinita e da corda
semi-infinita. Alem disso, nos dois ultimos, encontramos a solucao de D’Alembert. Na
abordagem desses problemas, tivemos a oportunidade de tratar nao so de conceitos
matematicos mas tambem de fısicos relacionados a este tema.
Palavras-chave: Series de Fourier, Corda vibrante, Equacao da onda.
Abstract
In this work, we focus our study in wave equations. We present incially basic
concepts of Partial Di↵erentials Equations (PDEs) and Theory of Fourier series. In the
following, we deal with the physic dedution and also the resolution of this equation. We
treat several problems of inicial value and boundary conditions such as: the problem of
the string with fixed extremeties, the figering string, the infinity string and semi-infinity
string. Additionally, in the last two ones, we have found a solution of D’Alembert type.
In the approach of this problems, we had the opportunity of treating not just with
mathematical concepts but also with physical related topics to this theme.
Keywords: Fourier Series, Vibrating String, Wave Equation.
Sumario
Introducao 1
1 Preliminares 3
1.1 Sobre equacoes diferenciais parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Condicoes de fronteira e iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Convergencia da serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Equacao da onda 13
2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Nota historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Deducao fısica da equacao da corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Exemplos da equacao da onda e diferentes condicoes iniciais e de fronteira 19
2.5 Resolucao da equacao da onda por series de Fourier . . . . . . . . . . . 21
2.6 Energia da corda vibrante e unicidade de solucao . . . . . . . . . . . . 30
2.6.1 Interpretacao fısica das formulas da energia cinetica (2.33) e po-
tencial (2.34) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Harmonicos, frequencia e amplitude de uma onda estacionaria . . . . . 36
2.7.1 Partes de uma onda estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7.2 A energia do n-esimo harmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8 A corda dedilhada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.9 Vibracoes forcadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.10 A corda infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.10.1 Solucao generalizada da equacao da onda . . . . . . . . . . . . . 45
2.10.2 Formula de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.10.3 Inferencias a respeito da formula de D’Alembert . . . . . . . . . 48
2.10.4 Corda infinita dedilhada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.10.5 A integral da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.10.6 Unicidade de solucao estrita do problema de Cauchy . . . . . . 57
ix
2.10.7 Continuidade da solucao do problema de Cauchy com os dados
iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.10.8 O problema de Cauchy nao-homogeneo . . . . . . . . . . . . . . 58
2.11 A corda semi-infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.11.1 Comentarios a respeito de (2.73) . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Referencias Bibliograficas 63
x
Notacoes
A seguir, listamos algumas notacoes utilizadas neste trabalho.
• @f
@x
ou fx
denotam que a funcao f foi derivada com relacao a variavel x;
• K, c, c1
, c2
, . . . denotam constantes positivas, possivelmente deferentes;
• Ck(⌦) denota o conjunto das funcoes de classe Ck definitas em um subconjunto
⌦ 2 Rn;
• R denota o conjunto R = {(x, t) 2 R2; 0 < x < L; t > 0} ;
• R denota o fecho do conjunto R .
xi
Introducao
A teoria das Equacoes Diferenciais Parciais (EDPs) e um campo de estudo da
matematica amplamente explorado por outras areas da ciencia, tendo suas origens no
calculo diferencial e integral com motivacao em problemas oriundos da fısica, biologia,
ciencias economicas, entre outras.
Nos ultimos tres seculos, esta teoria tem conquistado espaco significativo tanto
na matematica pura, sendo considerada parte vital da analise, quanto na matematica
aplicada, onde tem se mostrado uma importante ferramenta.
Tais equacoes sao utilizadas para modelar fenomenos que dependam da posicao, do
tempo ou outras variaveis. Muitas leis da natureza encontram nas EDPs uma liguagem
objetiva para sua expressao, como por exemplo, problemas de eletrodinamica, difusao
do calor e propagacao de ondas. Entre estes, esta o famoso problema de vibracoes de
cordas elasticas, que se reduz na obtencao de uma solucao para uma equacao diferencial
parcial, conhecida como a equacao da onda unidimensional.
Neste trabalho, estudaremos a equacao da onda unidimensional de forma detalhada,
desde a sua deducao fısica ate problemas de valores iniciais e de fronteira ligados a
mesma, utilizando como principal referencia o livro [2].
E interessante frisar que o problema tratado neste trabalho tem grande contribuicao
historica para a matematica, pois foi um dos debates cientıficos mais importantes do
seculo XVIII. Diversos matematicos famosos como D’Alembert, Daniel Bernoulli, Euler
e Lagrange se debrucaram para resolve-lo. Foram obtidas solucoes de diversas formas,
que geraram discussoes a respeito de assuntos importantes como o conceito de funcao.
Muitos destes debates perduraram ate o inıcio do seculo XIX, trazendo grandiosas
contribuicoes para a matematica da epoca e embasando teorias futuras.
Este trabalho esta dividido em dois capıtulos. No Capıtulo 1 comecaremos com
conceitos basicos e, em seguida, de maneira sucinta, mencionaremos alguns resultados
pertencentes a teoria de series de Fourier.
Iniciaremos o Capıtulo 2, o principal deste texto, com uma breve introducao a
ondas e, em seguida, apresentaremos uma nota historica referente ao problema da corda
vibrante. Em seguida, faremos a deducao fısica da equacao da onda unidimensional,
1
usando como ferramenta o princıpio fundamental da dinamica.
Considerando o problema da corda vibrante, tambem mostraremos a resolucao da
equacao utilzando o metodo de Fourier. Na sequencia, apresentaremos um teorema que
valida a solucao encontrada. Abordaremos tambem diferentes problemas de valores
iniciais e de fronteira, dentre eles a corda com extremidades fixas, a corda dedilhada, a
corda infinita ou problema de Cauchy- de onde obteremos a formula de D’Alembert-e,
finalmente a corda semi-infinita. Dentre tais problemas de valores iniciais e de fronteira,
tambem poderemos analisar a energia da corda vibrante, harmonicos, frequencia e
amplitude de uma onda estacionaria, que sao temas de cunho mais fısico.
2
Capıtulo 1
Preliminares
Neste capıtulo destacaremos informacoes importantes para a compreensao de afir-
macoes e teoremas usados nesta monografia. Essencialmente, partiremos da explanacao
acerca do conceito de equacoes diferenciais parciais e das condicoes iniciais e de fron-
teira; posteriormente falaremos da teoria de series de Fourier, sobre a definicao e
tambem sobre sua covergencia pontual e uniforme. Tal teoria e imprescındivel a ob-
tencao de uma solucao para a equacao que e tema deste trabalho, a equacao da onda.
1.1 Sobre equacoes diferenciais parciais
Uma Equacao Diferencial Parcial (EDP) e uma equacao envolvendo duas ou mais
variaveis independentes x, y, w, ...; e derivadas parciais de uma funcao (variavel depen-
dente) u = (x, y, w, ...). De maneira mais precisa, uma EDP em n-variaveis indepen-
dentes x1
, ..., xn
e uma equacao da forma
F
✓x1
, ..., xn
,@u
@x1
, ...,@u
@xn
,@2u
@x1
@xn
, ...,@ku
@xk
n
◆= 0, (1.1)
onde x = (x1
, ..., xn
) 2 ⌦, ⌦ e um subconjunto aberto do Rn, F e uma funcao dada e
u = u(x) e a funcao que queremos determinar.
A ordem de uma EDP e dada pela derivada parcial de maior ordem.
Uma EDP e dita linear se e de primeiro grau em u e em todas as derivadas parciais
que ocorrem na equacao; caso contrario, diremos que e nao linear.
A forma mais geral de uma EDP linear de primeira ordem e
nX
i,j=1
aij
(x)@u
@xj
+ b(x)u+ c(x) = 0. (1.2)
3
1. Preliminares
Para equacoes de segunda ordem a forma mais geral e dada por
nX
i,j=1
aij
(x)@2u
@xi
@xj
+nX
j=1
bj
(x)@u
@xj
+ c(x)u+ d(x) = 0. (1.3)
Dizemos que uma EDP linear e homogenea se o termo que nao contem a variavel
dependente u e identicamente nulo.
As condicoes que iremos tratar sao validas para equacoes diferenciais parciais linea-
res de qualquer ordem, contudo iremos exemplificar com uma EDP de segunda ordem.
Podemos reescrever (1.3) da seguinte forma:
Lu = f. (1.4)
onde f(x) = �d(x) e (Lu)(x) =P
n
i,j=1
aij
(x) @
2u
@xi@xj+P
n
j=1
bj
(x) @u
@xj+ c(x)u.
Em (1.4), L e chamado de operador diferencial que e a funcao definida por
L : C2(⌦) ! C(⌦)
u 7! Lu,
O resultado a seguir e conhecido como princıpio da superposicao.
Teorema 1.1. Seja L um operador linear diferencial parcial de ordem k cujos coefi-
cientes estao definidos em um aberto ⌦ ⇢ Rn. Suponha que {un
}n2N e um conjunto
de funcoes de classe Ck em ⌦ satisfazendo a EDP linear homogenea Lu = 0 e que
{↵n
}n2N e uma sequencia de escalares tal que a serie
1X
n=1
↵n
un
e convergente e k vezes diferenciavel termo a termo em ⌦. Entao u satisfaz Lu = 0.
A prova deste resultado encontra-se em [4, p. 10].
1.1.1 Condicoes de fronteira e iniciais
Quando impomos condicoes sobre o valor da solucao e das suas derivadas no bordo
da regiao ⌦ ⇢ Rn, onde a solucao esta definida, tais valores sao chamados de condicoes
de fronteira, daı temos um problema de valores de fronteira.
Quanto as condicoes iniciais, como temos mais de uma variavel dependente em
EDP, por exemplo, x e t, e comum fixarmos uma das variaveis (t = 0) e assim termos
o valor da solucao e de suas derivadas parciais em relacao a variavel fixa como funcao
4
1. Preliminares
das outras variaveis, por exemplo, u(x, 0) = f(x) e ut
(x, 0) = g(x), onde f e g sao
funcoes dadas.
Problemas envolvendo condicoes de fronteira e condicoes iniciais serao chamados de
problemas de valores iniciais e de fronteira, que abreviaremos com a sigla PV IF .
1.2 Series de Fourier
Nesta secao discorreremos a respeito da teoria de series de Fourier, sob quais
hipoteses uma funcao pode ser representada por uma serie de Fourier, e tambem acerca
da obtencao dos coeficientes de Fourier para esta, quando ela existir. Por fim, tratare-
mos de teoremas que expliquem a convergencia pontual e uniforme desta serie.
E importante ressaltar que os resultados aqui expressos serao apresentados de ma-
neira sucinta, algumas demonstracoes serao omitidas. Tambem e importante salientar
que esta teoria serve como base para as conclusoes obtidas no capıtulo principal mo-
nografia, o capıtulo 2.
Para iniciarmos a apresentacao da teoria das series de Fourier, vejamos as a de-
finicoes a seguir.
Definicao 1.1. Uma funcao f : R ! R e dita periodica de perıodo T se f(x+T ) = f(x)
para todo x.
Definicao 1.2. Seja f : R ! R uma funcao periodica de perıodo 2L, integravel e
absolutamente integravel no intervalo [�L,L], isto e,R
L
�L
|f(x)|dx < 1. Os numeros
dados por
an
=1
L
ZL
�L
f(x) cos⇣n⇡x
L
⌘dx, n � 0,
bn
=1
L
ZL
�L
f(x)sen⇣n⇡x
L
⌘dx, n � 1,
(1.5)
sao chamados de coeficientes de Fourier da funcao f .
Definicao 1.3. Dada uma funcao f : R ! R periodica de perıodo 2L, integravel e
absolutamente integravel no intervalo [�L,L], podemos calcular seus coeficientes de
Fourier pelas expressoes em (1.5). E, desta forma, podemos escrever
f(x) ⇠ 1
2a0
+1X
n=1
⇣an
cos⇣n⇡x
L
⌘+ b
n
sen⇣n⇡x
L
⌘⌘. (1.6)
Isto significa que a expressao do lado direito e a serie de Fourier de f .
O sinal ⇠ em (1.6) significa que nem sempre ocorre a igualdade, podendo ocorrer
aproximacoes, e algo mais serio pode acontecer, que e o caso da serie de Fourier divergir.
5
1. Preliminares
Por isso, mais adiante, veremos condicoes suficientes para que a funcao f seja igual a
sua serie de Fourier.
Definicao 1.4. Uma funcao f : R ! R sera seccionalmente contınua se tiver apenas
um numero finito de descontinuidades (todas de primeira especie) em qualquer intervalo
limitado. Em outras palavras, dados a < b, existem a a1
< a2
< ... < an
b, tais
que f e contınua em cada intervalo aberto (aj
, aj+1
), j = 1, ..., n � 1, e existem os
limites
f(aj
+ 0) = limx!a
+j
f(x) e f(aj
� 0) = limx!a
�j
f(x).
Definicao 1.5. Uma funcao f : R ! R sera seccionalmente diferenciavel se for secci-
onalmente contınua e se a funcao derivada f 0 for tambem seccionalmente contınua.
Teorema 1.2. Teorema de Fourier Seja f : R ! R uma funcao seccionalmente
diferenciavel e de perıodo 2L. Entao a serie de Fourier da funcao f , dada em (1.6),
converge, em cada ponto x para 1
2
[f(x+ 0) + f(x� 0)].
Estimativas dos coeficientes de Fourier
Primeiramente, suponhamos que f seja uma funcao periodica de perıodo 2L, in-
tegravel e absolutamente integravel, daı utilizando a equacao (1.5), e que as funcoes
seno e cosseno sao limitadas por um. Obtemos as seguintes estimativas para os cofici-
entes an
e bn
|an
| =����1
L
ZL
�L
f(x) cos⇣n⇡x
L
⌘dx
���� 1
L
ZL
�L
|f(x)|dx,
|bn
| =����1
L
ZL
�L
f(x)sen⇣n⇡x
L
⌘dx
���� 1
L
ZL
�L
|f(x)|dx.(1.7)
Agora, usando a hipotese de f e |f | serem funcoes integraveis, podemos concluir a
existencia de uma constante M , tal que
|an
| M e |bn
| M, 8 n.
Suponhamos agora que f seja periodica de perıodo 2L e tambem que seja derivavel,
e tal derivada f 0 seja integravel e absolutamente integravel. Entao, integrando por
partes as expressoes em (1.5)e tomando valores absolutos obtemos
|an
| 1
n⇡
ZL
�L
|f 0(x)|dx
|bn
| 1
n⇡
ZL
�L
|f 0(x)|dx.(1.8)
6
1. Preliminares
Daı, usando a hipotese que f e contınua e f 0 tem derivada integravel e absolutamente
integravel, temos a implicacao de que existe uma constante M , tal que
|an
| M
ne |b
n
| M
n, 8 n = 1, 2, ... (1.9)
Finalmente, suponhamos que f seja periodica de perıodo 2L, com primeira deri-
vada contınua, e a segunda derivada integravel e absolutamente integravel. Com estas
hipoteses, podemos melhorar as estimativas em (1.9). Para isto, realizamos mais uma
integracao por partes nas expressoes em (1.7) e obtemos
|an
| L
n2⇡2
ZL
�L
|f 00(x)|dx,
|bn
| L
n2⇡2
ZL
�L
|f 00(x)|dx.
Portanto, atraves das nossas ultimas hipoteses podemos concluir que
|an
| M
n2
e |bn
| M
n2
, 8 n = 1, 2, ... (1.10)
1.2.1 Convergencia da serie de Fourier
Classes das funcoes consideradas
Como vimos anteriormente, para definirmos coeficientes de Fourier e, consequente-
mente, a serie de Fourier de uma funcao f , foi necessario admitir algumas hipoteses
sobre esta funcao, tais como periodicidade (f e de perıodo 2L), integrabilidade e in-
tegrabilidade absoluta no intervalo [�L,L], onde a integral que estamos lidando e a
integral de Riemann. Veremos agora resultados a respeito da convergencia desta serie.
Definicao 1.6. Uma funcao f sera chamada L 1 se, e somente se, f e |f | forem
integraveis.
Convergencia pontual da serie de Fourier
Neste ponto daremos condicoes suficientes sobre a funcao f de modo a grantir sua
convergencia num ponto fixado x para o valor f(x) ou em geral para 1
2
[f(x+0)+f(x�0)]. Nosso objetivo e mostrar estimativas para
en
(x) = sn
(x)� f(x+ 0) + f(x� 0)
2,
7
1. Preliminares
onde
sn
(x) =1
2a0
+nX
k=1
hak
cos⇣n⇡x
L
⌘+ b
k
sen⇣n⇡x
L
⌘i.
Inicialmente iremos escrever a soma parcial sn
(x) de modo mais conveniente com o obje-
tivo de majorar en
(x). Para que isto ocorra iremos usar as expressoes dos coeficientes de
Fourier em (1.5) e a identidade trigonometrica cos(a�b) = cos(a) cos(b)+sen(a)sen(b),
para assim obter
sn
(x) =
ZL
�L
1
L
"1
2+
nX
k=1
cos
✓k⇡(x� y)
L
◆f(y)dy
#. (1.11)
Antes de prosseguirmos, atentemos para a seguinte definicao:
Definicao 1.7. O nucleo de Dirichlet e a expressao
Dn
(x) =1
L
1
2+
nX
k=1
cos
✓k⇡x
L
◆!. (1.12)
Propriedades do Nucleo de Dirichlet
i) Dn
(x) e uma funcao contınua;
ii) Usando relacoes de ortogonalidade, temos
ZL
�L
Dn
(x)dx = 1;
iii) Dn
(x) e uma funcao periodica de perıodo 2L;
iv) Dn
(0) =(n+
12 )
L
;
v) Vale a seguinte expressao para Dn
(x), com x 6= 0,±2,±4, ...
Dn
(x) =1
2L
sen⇣
(n+
12 )⇡x
L
⌘
sen�⇡x
2L
� .
Voltando para a expressao (1.11), usando (1.12) e fazendo a mudanca de variavel
y = x� t, obtemos
sn
(x) =
ZL
�L
Dn
(x� y)f(y)dy =
ZL+x
�L+x
Dn
(t)f(x� t)dt.
Dispondo que Dn
e f sao periodicas de perıodo 2L e que Dn
e par, podemos escrever
sn
(x) =
ZL
0
Dn
(t)[f(x+ t) + f(x� t)]dt. (1.13)
8
1. Preliminares
De (1.13) temos que a expressao en
, para a qual queremos estimativas, ganha a forma
en
(x) =
ZL
0
Dn
(t)g(x)dt, (1.14)
com g(x) = [f(x+ t)� f(x+ 0)] + [f(x� t)� f(x� 0)].
O lema a seguir e um importante resultado que e usado na demonstracao do Teste
de Dini, teorema que fala da convergencia pontual da serie de Fourier.
Lema 1.3. (Lema de Riemann-Lebesgue) Seja f : [a, b] ! R uma funcao L 1([a, b]).
Entao
limt!1
Zb
a
f(x)sen(tx)dx = 0,
limt!1
Zb
a
f(x) cos(tx)dx = 0.
(1.15)
A prova deste lema encontra-se em [2, p. 56].
De posse deste lema, enunciemos um resultado referente a convergencia da serie de
Fourier no ponto x.
Teorema 1.4. (Teste de Dini) Seja f : R ! R uma funcao periodica de perıodo 2L
e L 1([�L,L]). Fixado x em [�L,L], suponha que f(x + 0) e f(x � 0) existam e que
exista ⌘ > 0 tal que Z⌘
0
����g(x, t)
t
���� dt < 1. (1.16)
Entao en
(x) ! 0, ou seja, sn
(x) ! [f(x+0)+f(x�0)]
2
, quando n ! 1.
Demonstracao. Para fazermos esta demonstracao, iremos decompor a funcao en
(x) em
duas partes
en
(x) =
Z�
0
tDn
(t)g(x, t)
tdt+
ZL
�
sen
✓n+
1
2
◆⇡t
L
�g(x, t)
2Lsen�⇡t
2L
�dt.
A primeira integral ficara pequena desde que se tome � convenientemente pequeno e
usando a hipotese em (1.16). Ja no caso da segunda integral, usaremos o lema 1.4.
Como
|tDn
(t)| t
2Lsen�⇡t
2L
� , (1.17)
e como a funcao do lado direito de (1.17) e crescente e contınua no intervalo [0, L],
conseguimos a seguinte estimativa:
|tDn
(t)| 1
2para t 2 [0, L].
9
1. Preliminares
Portanto, dado " > 0, tomamos � < min(L, ⌘), tal que
����Z
�
0
tDn
(t)g(x, t)
tdt
���� 1
2
Z�
0
����g(x, t)
t
���� dt <"
2.
Tal desigualdade e possıvel por causa da hipotese (1.16). Com esse � fixado, olhemos
para a segunda integral a fim de aplicar o Lema 1.4. Para isto, basta verificar que a
funcao
h(t) =g(x, t)
2Lsen�⇡t
L
� , t 2 [�, L],
e integravel, o que e decorrente do fato do denominador nunca se anular em [�, L] e g
ser integravel. Daı, para n suficientemente grande
�����
ZL
�
sen
✓n+
1
2
◆⇡t
L
�g(x, t)
2Lsen�⇡t
2L
�dt
����� <"
2,
assim concluindo a demonstracao.
Desigualdades
A desigualdade de Bessel e dada por
a20
2+
1X
k=1
(a2k
+ b2k
) 1
L
ZL
�L
|f(x)|2dx. (1.18)
Sejam a = (a1
, ..., an
) e b = (b1
, ..., bn
) dois vetores do Rn. A desigualdade de
Cauchy-Schwarz para vetores do Rn tem a seguinte forma:
�����
nX
j=1
aj
bj
�����
nX
j=1
a2j
! 12
nX
j=1
b2j
! 12
. (1.19)
Uma outra desigualdade importante e a seguinte:
"nX
j=1
(aj
+ bj
)2# 1
2
nX
j=1
a2j
! 12
+
nX
j=1
b2j
! 12
, (1.20)
conhecida como a desigualdade triangular ou desigualdade de Minkowski.
10
1. Preliminares
Convergencia uniforme da serie de Fourier
Neste topico apresentaremos condicoes suficientes sobre a funcao f periodica de
perıodo 2L, de modo que estas garantam a convergencia uniforme de sua serie de
Fourier. Vejamos os resultados a seguir.
Teorema 1.5. (Primeiro teorema da convergencia uniforme da serie de Fou-
rier) Seja f uma funcao periodica de perıodo 2L, contınua e com derivada primeira
de quadrado integravel. Entao, a serie de Fourier de f converge uniformemente para
f .
Demonstracao. Vejamos, em primeiro lugar, que
���an
cos⇣n⇡x
L
⌘��� |an
| e���b
n
sen⇣n⇡x
L
⌘��� |bn
|,
e consideremos a serie numerica
1X
n=1
(|an
|+ |bn
|). (1.21)
Usando a estimativa feita sobre os coeficientes de Fourier em (1.10), que diz que caso
a funcao f tenha derivada primeira continua e derivada segunda uma funcao L 1,
entao a serie numerica em (1.21) e majorada pela serie MP1
n=1
1
n
2 , a qual e uma serie
convergente. Entretanto, podemos demonstrar a convergencia de (1.21) sem impor
tantas restricoes sobre a funcao f . Suponhamos que f seja uma funcao contınua e que
a sua derivada primeira seja uma funcao L 2. Usando as relacoes em (1.8), concluımos
an
=�L
n⇡b0n
, bn
=L
n⇡a0n
;
onde a0n
e b0n
designam os coeficientes de Fourier de f 0. Daı a reduzida de ordem n da
serie (1.21) pode ser escrita
nX
j=1
(|aj
|+ |bj
|) = L
⇡
nX
j=1
1
j(|a0
j
|+ |b0j
|), (1.22)
que e majorada por
L
⇡
nX
j=1
1
j2
! 12"
nX
j=1
(|a0j
|+ |b0j
|)2# 1
2
, (1.23)
onde utilizamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz no Rn. Em seguida, iremos usar a
desigualdade (|a|+ |b|)2 2(a2 + b2), que e a desigualdade de Cauchy-Schwarz no R2,
11
1. Preliminares
no segundo somatorio em (1.23). Daı obtemos a seguinte majoracao para (1.22)
p2L
⇡
nX
j=1
1
j2
! 12"
nX
j=1
(|a0j
|2 + |b0j
|2)# 1
2
.
Finalmente, a serie em (1.21) e majorada por
p2L
⇡
1X
n=1
1
n2
! 12" 1X
j=1
(|a0j
|2 + |b0j
|2)# 1
2
,
onde ambas as series convergem, a segunda devido a desigualdade de Bessel.
Teorema 1.6. (Segundo teorema sobre convergencia uniforme da serie de
Fourier) Seja f periodica de perıodo 2L, seccionalmente contınua e tal que sua de-
rivada primeira seja de quadrado integravel. Entao, a serie de Fourier de f converge
uniformemenre para f em todo intervalo fechado que nao contenha pontos de descon-
tinuidade de f .
A prova deste teorema encontra-se em [2, p. 70].
12
Capıtulo 2
Equacao da onda
Nossos objetivos neste capıtulo sao deduzir e estudar a equacao da onda atraves da
aplicacao de conceitos fısicos, abordar metodos de resolucao desta equacao utilizando a
teoria de series de Fourier, verificar a existencia e a unicidade das solucoes encontradas,
e tambem a resolver alguns problemas de valor incial para equacao da onda, dentre
eles o problema de Cauchy.
2.1 Introducao
No campo da fısica classica, ondas e partıculas sao dois grandes conceitos, ambos
concentrando quase todos os ramos desta ciencia. Embora sejam iguais em importancia,
as definicoes de onda e partıcula que apresentam diferem entre si.
Quando nos referimos a palavra partıcula, esta tem o significado de uma dimi-
nuta quantidade de materia capaz de transmitir energia; quando falamos de ondas, tal
conceito se refere a uma distribuicao ampla de energia que vai preenchendo o espaco
por onde passa. Neste trabalho, destinaremos nossa atencao as ondas, para, assim,
trabalharmos com a equacao que as descreve.
Existem tres tipos principais de ondas, a saber, ondas mecanicas, eletromagneticas
e materiais.
As ondas mecanicas sao as que se propagam exclusivamente em meios materiais e
sao governadas pelas leis de Newton; sao bastante comuns e encontradas facilmente no
cotidiano, como, por exemplo, ondas do mar, ondas sısmicas e ondas sonoras.
As ondas eletromagneticas sao as que resultam da combinacao de campos eletricos
e magneticos. Tais ondas nao exigem um meio material para se propagarem, isto e,
podem se propagar no vacuo; no dia a dia, as ondas eletromagneticas estao presentes
nos raio X, microondas, raios ultravioletas etc.
As ondas materiais sao associadas com eletrons, protons e outras partıculas funda-
13
2. Equacao da onda
mentais, e ate mesmo atomos e moleculas. Estas sao as menos comuns, e sao, em sua
maioria, encontradas em tecnologias modernas e no campo quantico.
O que discutiremos neste capıtulo se refere as ondas mecanicas. Utilizaremos aqui a
segunda lei de Newton para deduzirmos a equacao diferencial parcial que as representa.
2.2 Nota historica
Os matematicos do seculo XVIII se debrucaram sobre problemas difıceis ligados ao
campo da fısica, dentre os quais um dos mais famosos e o problema da corda vibrante.
Estes estudiosos tiveram que desenvolver intensamente o instrumental matematico ja
existente para que tal pudesse ser utilizado na resolucao deste problema.
Como veremos neste capıtulo, o problema de vibracao de cordas se reduz a encontrar
uma solucao para a equacao
utt
= c2uxx
,
conhecida como equacao da onda. A equacao foi estudada e derivada pela primeira
vez por D’Lambert em 1746. Tal problema tambem atraiu a atencao de diversos
matematicos, como Euler (1748), Daniel Bernoulli (1755) e Lagrange (1759). Os dois
primeiros chegaram a conclusao de que a solucao deveria ser da forma
u(x, t) = F (x+ ct) +G(x� ct),
onde F e G sao funcoes reais.
Ja Bernoulli chegou a expressao
u(x, t) =1X
n=1
an
sen(nx)cos(nct),
quando a corda de comprimento ⇡ vibra por uma pertubacao da sua posicao de repouso.
Os meritos entre essas solucoes foram dicutidos de forma acalorada numa serie de
debates que perduraram por mais de vinte e cinco anos. Entre os pontos principais
destas discussoes estava o que diz respeito a natureza de uma funcao, ja que o conceito
de funcao como entendemos hoje nao estava formulado de maneira concreta naquela
epoca. Tambem entre as discussoes estavam os tipos de funcoes que poderiam ser
representadas por series trigonometricas. Tais questoes nao foram resolvidas ate o
seculo XIX.
Na epoca de Euler havia duas classes de funcoes, a saber, as contınuas, que eram
as que podiam ser expressas por uma equacao entre x e y, e as geometricas, que eram
todas aquelas que podiam ser tracadas a mao livre. Admitia-se tambem que a classe
14
2. Equacao da onda
de funcoes contınuas era menor que a classe de funcoes geometricas, porque uma linha
partida nao era considerada uma funcao contınua no sentido da epoca, e sim varias
funcoes.
Essencialmente as solucoes propostas por D’Lambert e Euler eram as mesmas, mas
a diferenca estava no significado de funcao em cada caso. No caso de Euler admitia-se
quaisquer funcoes geometricas para os dados iniciais; D’Lambert, por sua vez, tomava
apenas funcoes contınuas para esta posicao.
Bernoulli dizia que a sua solucao era absolutamente geral e que continha as dadas
por D’Lambert e Euler, porem, Euler contestava que isto era impossıvel, pois se a
funcao fosse escrita como uma serie de senos, isso implicaria que ela era periodica
e ımpar, e a ideia de que uma expressao analıtica representasse uma funcao em um
intervalo nao era aceita na epoca.
Em 1759, Lagrange mostrou que a solucao da equacao da onda para uma corda de
comprimento 1, quando a posicao inicial e dada por f(x) e a velocidade inicial por g(x)
e da seguinte forma:
u(x, t) = 2
Z1
0
1X
n=1
senn⇡y cosn⇡ctf(y)dy + 2
Z1
0
1
nsenn⇡y senn⇡x senn⇡ctdy,
e dessa forma ele conseguiu representar a expressao na forma prevista por Euler.
Foi tarefa de Fourier (1811) explicitar os coeficientes e escrever a serie de senos e
cossenos de varias funcoes. Ele afirmou que qualquer funcao poderia ser representada
pela serie que recebeu o seu nome e, apesar disso nao ser verdade, recebeu as glorias
de ter apresentado a forma da serie que deveria representar a funcao.
Todas estas contribuicoes levaram a consolidacao da moderna teoria das series de
Fourier, e dessa forma a matematica pode ser desenvolvida para que, assim, o problema
de pequenas vibracoes de uma corda pudesse ser finalmente solucionado.
2.3 Deducao fısica da equacao da corda vibrante
Por corda entenderemos um fio fino perfeitamente flexıvel, isto e, que nao apresente
resistencia ao ser dobrado. Iremos estudar o problema de pequenas vibracoes trans-
versais de uma corda, e tal fenomeno sera localizado num plano (x, u). Iremos, ainda,
supor que a corda vibre em torno da sua posicao de repouso ao longo do eixo x. Por
transversal, entenderemos a oscilacao que se realiza em um plano que contem o eixo
dos x e em que cada partıcula que compoe a corda se desloca perpendicularmente a
esse eixo.
15
2. Equacao da onda
Figura 2.1: Vibracoes transversaisFonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Ondas_transversais
Representaremos por u(x, t) o deslocamento de cada ponto x da corda no instante
t, partindo da posicao de equilıbrio. Para deduzirmos a equacao diferencial parcial a
qual a funcao u(x, t) deve satisfazer, utilizaremos a segunda lei de Newton, tambem
conhecida como o princıpio fundamental da dinamica, que nos diz:
“A derivada com relacao ao tempo da quantidade de movimento e igual a soma das
forcas aplicadas”.
E necessario perceber que as grandezas fısicas envolvidas nessa lei sao vetoriais, isto
e, dependem da direcao e do sentido dos vetores, de modo que, ao apica-la, estaremos
atentos a este fato.
No modelo com qual trabalharemos, consideraremos o sistema mecanico constituıdo
por um trecho arbitrario da corda entre dois pontos x = a e x = b. Chamaremos de
⇢(x, t) a densidade linear da corda, que e dada pela massa dividida pelo comprimento.
Como estamos supondo que as partıculas que constituem a corda se deslocam trans-
versalmente atraves de pequenas vibracoes, vemos que a massa nao se altera ao longo
do tempo, concluindo assim que a densidade linear nao dependera de t. Devido a isto,
denotaremos a densidade linear da corda por ⇢(x).
Portanto, a quantidade de movimento da corda entre os pontos x = a e x = b e
dada por
M(t) =
Zb
a
⇢(x)ut
(x, t)dx, (2.1)
onde ut
(x, t) designa a velocidade do ponto x da corda no instante t. A integral na
expressao (2.1) e devido a velocidade nao ser necessariamente constante em todos os
pontos da corda, logo, a quantidade de movimento deve ser a soma infinitesimal da
densidade vezes a velocidade do trecho que estamos trabalhando.
A hipotese da vibracao transversal tambem nos leva a concluir que nao ha compo-
nente de velocidade no eixo x, pois, como dito, as partıculas constituintes da corda se
movem no sentido normal a x, logo, existe componente de velocidade apenas no eixo
u.
16
2. Equacao da onda
Existem dois tipos de forca a serem considerados. O primeiro tipo se refere a acao do
resto da corda sobre o trecho entre a e b, a que chamamos de forcas de tensao na direcao
das retas tangentes ao ponto a e b, sao Fa
e Fb
respectivamente. E representaremos por
f(a, t) e f(b, t), respectivamente, as intensidades destas forcas. Na ilustracao abaixo,
podemos observar graficamente a representacao destas forcas
Figura 2.2: Forcas de tensaoFonte: [2, p. 131]
onde ✓a
e ✓b
correspondem aos angulos das retas tangentes a corda com eixos x = a e
x = b, respectivamente.
Usando a segunda lei de Newton, que foi enunciada anteriormente, e lembrando
que nao existe quantidade de movimento na direcao do eixo x, devido a ausencia da
componente de velocidade neste eixo, temos:
X
i
~Fi
=@ ~M
@t(2.2)
Como foi dito, nesta lei estamos lidando com grandezas vetoriais, logo, existem duas
componentes possıveis, a saber, a no sentido u e a no sentido x, as quais sao represen-
tadas da seguinte forma:X
i
~fix
=@ ~M
x
@t
X
i
~fiu
=@ ~M
u
@t
(2.3)
Olhando para a componente x, e lembrando que nao ha quantidade de movimento
nesta direcao, concluımos que X
i
~fix
= 0. (2.4)
Alem disso, veja na Figura 2.2 que Fa
e Fb
estao na mesma direcao, que e a do eixo
x, porem em sentidos opostos. Daı, como em (2.4) o somatorio destas componente e
17
2. Equacao da onda
zero, concluımos que estas forcas possuem componentes iguais, logo
f(b, t)cos(✓b
) = f(a, t)cos(✓a
), (2.5)
de onde comprovamos que a componente horizontal da tensao e independente do ponto
x e e funcao apenas do tempo t. Por este motivo, para representa-la, usaremos a
notacao ⌧(t).
Podemos, entao, ver que a resultante vertical das forcas de tensao que atuam sobre
o trecho da corda entre os pontos x = a e x = b, e
⌧(t)tg(✓b
)� ⌧(t)tg(✓a
). (2.6)
Enxergando a derivada com relacao a x como a inclinacao da reta tangente, temos que
a expressao (2.6) se torna
⌧(t)ux
(x, t)/x=b
x=a
. (2.7)
E supondo que a funcao u(x, t) possui segunda derivada integravel, temos, pelo teorema
fundamental do calculo, que Zb
a
⌧(t)uxx
(x, t)dx. (2.8)
Em segundo lugar, alem das forcas de tensao, nosso sistema pode estar sujeito a acao
de forcas externas, dentre elas a gravidade, a resistencia ao movimento, e forcas que
tendem a retornar a corda para o seu estado de equilıbrio. Chamaremos de h1
(x, t) a
densidade linear destas forcas ao longo da corda, e utilizaremos novamente a segunda
lei de Newton, como tambem as expressoes (2.1) e (2.8) para obter
d
dt
✓Zb
a
⇢(x)ut
(x, t)dx
◆=
Zb
a
⌧(t)uxx
(x, t)dx+
Zb
a
h1
(x, t)dx. (2.9)
Supondo que utt
(x, t) seja uma funcao contınua, podemos reescrever (2.9) da seguinte
forma: Zb
a
⇢(x)utt
(x, t)dx =
Zb
a
⌧(t)uxx
(x, t)dx+
Zb
a
h1
(x, t)dx,
que podemos reescrever como
Zb
a
⇢(x)utt
(x, t)� ⇢(x)uxx
(x, t)� h1
(x, t)dx = 0.
Finalmente, como a e b foram escolhidos arbitrariamente, podemos concluir
⇢(x)utt
(x, t)� ⌧(x)uxx
(x, t)� h1
(x, t) = 0
18
2. Equacao da onda
) ⇢(x)utt
(x, t) = ⌧(t)uxx
(x, t) + h1
(x, t).
Para melhorarmos a notacao, escreveremos
utt
= c2uxx
+ h(x, t), (2.10)
donde c(x, t)2 = ⌧(t)
⇢(x)
e h(x, t) = h1(x,t)
⇢(x)
. A equacao em (2.10) e a equacao da onda.
2.4 Exemplos da equacao da onda e diferentes condicoes
iniciais e de fronteira
Nesta secao, mostraremos diferentes tipos de equacao da onda, onde estas diferem de
acordo com o tipo de forcas externas atuando sobre a corda. Alem disso, aboradaremos
diferentes condicoes iniciais e de fronteira que irao depender da natureza da corda e do
modo como se iniciou o processo vibratorio.
1. Vibracoes livres
Suponhamos que as unicas forcas atuantes sobre a corda sejam as de tensao, Fa
e Fb
. Assim, a equacao (2.10) torna-se
utt
= c2uxx
,
onde podemos introduzir a hipotese de c ser constante caso a corda seja ho-
mogenea, isto e, possua densidade linear ⇢(x) constante, e caso as vibracoes
tenham amplitudes muito pequenas, ou seja, ⌧(t) constante.
2. Vibracoes forcadas
Neste caso, iremos considerar a corda a merce de uma forca externa, de modo
que esta varie com x e t. Entao a (2.10) e escrita como
utt
= c2uxx
+ h(x, t).
3. Vibracoes amortecidas
Aqui, iremos ter a hipotese de que a corda esteja imersa em um meio fluıdo, na
agua, no ar etc, e em tal meio ela encontre resistencia a seu movimento. Deste
modo, ha uma forca externa que depende da velocidade, e tal forca suporemos
ser da forma h(x, t) = �but
(x, t) com b > 0, sendo o sinal negativo porque a
forca e de resistencia ao movimento vibratorio. Com essas suposicoes, a equacao
19
2. Equacao da onda
(2.10) torna-se
utt
= c2uxx
� but
.
4. Vibracoes sob a acao de uma forca restauradora
Suponhamos agora que exista uma forca que possa trazer a corda de volta para
a posicao u ⌘ 0, posicao de repouso. A esta chamaremos forca restauradora, que
sera dada por h(x, t) = �au(x, t) com a > 0. Como no caso 3 o sinal negativo
e devido a forca ser contraria ao movimento vibratorio. Entao a equacao (2.10)
torna-se
utt
= c2uxx
� au.
Na secao 2.3, deduzimos a EDP que representa o problema de pequenas vibracoes
transversais de uma corda em torno da sua posicao de repouso, mas, para completarmos
a descricao deste fenomeno fısico, iremos comentar sobre algumas outras informacoes,
como o comprimento da corda, o tipo de articulacao das extremidades da mesma e
tambem sobre o que provocou o ınicio das vibracoes. Para atendermos essa demanda,
vamos considerar os casos a seguir.
Corda finita com extremidades fixas
Suponhamos que a corda com a qual estamos trabalhando tenha comprimento L, e
que em sua posicao de equilıbrio coincida com o eixo x no plano (x, u), onde 0 x L.
Assim, a hipotese das extremidades fixas implica que
u(0, t) = u(L, t) = 0, para t � 0, (2.11)
onde as expressoes em (2.11) sao chamadas de condicoes de fronteira.
Do ponto de vista matematico, nao estaremos interessados no que provocou o ınicio
das vibracoes. Nossa atencao sera voltada ao deslocamento inicial da corda, o qual
iremos denotar por u(x, 0). O deslocamento inicial diz respeito a posicao da corda
no tempo zero e ao modo como a corda e abandonada nesta posicao. Esta ultima
informacao e dada pela velocidade inicial ut
(x, 0). Assim devemos ter o seguinte:
u(x, 0) = f(x), para 0 x L
ut
(x, 0) = g(x), para 0 x L. (2.12)
As condicoes em (2.12) sao chamadas de condicoes iniciais.
Portanto, o problema da corda vibrante finita com extremidades fixas consiste em
20
2. Equacao da onda
determinar uma funcao u(x, t) com, 0 x L e t � 0, que satisfaca a equacao da
onda (2.10), as condicoes de fronteira em (2.11) e as condicoes iniciais em (2.12). Um
problema deste tipo e conhecido como problema de valor inicial e de fronteira, que
denotaremos abreviadamente por PV IF .
O PV IF tratado neste item inclui casos como as vibracoes das cordas de uma
harpa, pois ao tocar este instrumento o harpista desloca a corda e depois a abandona,
para assim comecarem as vibracoes, neste caso, f(x) 6= 0 e g(x) = 0.
Corda finita com extremidades livres
Suponhamos, agora, uma corda de comprimento L, esta com as suas extremidades
postas em trilhos colocados perpendicularmente a corda no plano (x, u). Isso implica
ux
(0, t) = ux
(L, t) = 0. (2.13)
E suponhamos as condicoes iniciais iguais as do caso anterior. Desta forma, o PV IF
em questao e determinar uma funcao u(x, t) que satisfaca a equacao (2.10), as condicoes
de fronteira em (2.13) e as condicoes iniciais em (2.12).
2.5 Resolucao da equacao da onda por series de
Fourier
Nesta secao, iremos utilizar o metodo de Fourier para encontrar uma solucao para
a equacao da onda atraves de um PV IF . A nossa procedencia inicial se dara de
maneira informal, isto e, nao colocaremos hipoteses sobre as funcoes dos dados iniciais
f e g. Desta forma obteremos uma expressao candidata a solucao do PV IF que sera
apresentado. Posteriormente, olhando para expressao obtida, vamos colocar algumas
hipoteses necessarias sobre as funcoes f e g, para que assim tenhamos o resultado
formal para este problema.
Utilizaremos o metodo de separacao de variaveis e tambem a teoria de series de
Fourier, apresentada no capıtulo 1, para resolver o problema da corda vibrante com
extremindades fixas, apresentado na secao anterior e descrito abaixo
8>>><
>>>:
utt
= c2uxx
, em R
u(0, t) = u(L, t) = 0, para t � 0
u(x, 0) = f(x) e ut
(x, 0) = g(x), para 0 x L
(2.14)
21
2. Equacao da onda
com c = constante e R = {(x, t) 2 R2/0 < x < L; t > 0}.O metodo de Fourier consiste em usar a separacao de variaveis para determinar
funcoes u(x, t) = F (x)G(t) que satisfacam a equacao da onda e as condicoes de fron-
teira. Com isso, usamos estas funcoes para assim compor outra funcao que tambem
satisfaca as condicoes iniciais.
Com o metodo em mente, vamos utiliza-lo para resolver o PV IF (2.14). Em
primeiro lugar, vamos substituir a funcao u(x, t) = F (x)G(t) na equacao da onda, daı
temos o seguinte:
F (x)G00(t) = c2F 00(x)G(t),
donde, supondo, F (x) 6= 0 e G(t) 6= 0, podemos escrever
F 00(x)
F (x)=
G00(t)
c2G(t). (2.15)
Do lado esquerdo da equacao (2.15) temos uma expressao que depende apenas de
x, e do lado direito, temos uma expressao que depende apenas de t; isto implica que
ambos os tados de (2.15) independem de x e de t, logo, sao iguais a um parametro que
denotaremos por �. Este parametro sera determinado de forma que as condicoes de
fronteira em (2.14) sejam satisfeitas pela funcao u(x, t). Potanto, na equacao (2.15),
temosF 00
F=
G00
c2G= �,
donde obtemosF 00 � �F = 0
G00 � �c2G = 0.(2.16)
As condicoes de fronteira do problema (2.14) nos dizem que 0 = u(0, t) = F (0)G(t)
e 0 = u(L, t) = F (L)G(t); isto implica que F (0) = F (L) = 0, pois caso nao fosse assim
terıamos G(t) = 0 para todo t, e por consequencia u(x, t) = 0 para todo x e t, o que so
satisfaria as condicoes iniciais em (2.14) se f(x) = 0 e g(x) = 0, e assim restringirıamos
muito nosso campo de estudo. Logo, consideraremos F (0) = F (L) = 0, e deste modo
chegaremos ao seguinte problema de autovalores
8<
:F 00 � �F = 0
F (0) = F (L) = 0.(2.17)
A resolucao de (2.17) consiste em determinar os valores � (que sao chamados au-
tovalores) de forma que suas solucoes, chamadas de autofuncoes, sejam nao nulas.
Ha tres possibilidades para �, conforme segue.
22
2. Equacao da onda
• � > 0
Se isto ocorre, temos um problema de valor inicial constituıdo por uma EDO de
segunda ordem. Daı sua solucao geral e da forma
F (x) = c1
ep�x � c
2
e�p�x.
Alem disso, F deve satisfazer as condicoes de fronteira. Logo, obtemos o sistema
(F (0) = c
1
+ c2
= 0 (I)
F (L) = c1
ep�L + c
2
e�p�L = 0 (II)
De (I), temos que c2
= �c1
; substituindo em (II), obtemos
c1
ep�L � c
1
e�p�L = 0
) c1
(ep�L � e�
p�L) = 0,
donde concluımos que c1
= 0, pois ep�L 6= e�
p�L ) e
p�L � e�
p�L 6= 0.
Ou seja, c1
= c2
= 0. Assim, temos F ⌘ 0, o que por sua vez nos leva a obter
u ⌘ 0, que, como foi dito anteriormente, nao e insteressante para o nosso estudo.
• � = 0
Se isto ocorre, temos que a equacao em (2.17) torna-se F 00(x) = 0, uma EDO que
tem como solucao geral
F (x) = c1
x+ c2
,
e para satisfazer as condicoes de fronteira obtemos o sistema
(F (0) = c
2
= 0 (III)
F (L) = c1
L+ c2
= 0 (IV )
que, quando resolvemos, encontramos a solucao c1
= c2
= 0 e desta forma temos F ⌘ 0,
e nos deparamos com a mesma conclusao do caso anterior.
• � < 0
Se isto ocorre, podemos reescrever � = ��2, e a solucao geral da equacao em (2.17)
sera
F (x) = c1
cos(�x) + c2
sen(�x).
E para F satisfazer as condicoes de fronteira, temos
F (0) = c1
= 0
F (L) = c1
cos(�L) + c2
sen(�L) = 0,
23
2. Equacao da onda
de onde temos c1
= 0 e c2
sen(�L) = 0. Como nao queremos c2
= 0, pois assim F ⌘ 0
e concluirıamos o mesmo dos casos anteriores, devemos ter
sen(�L) = 0 ) �L = n⇡; onde n e um inteiro nao nulo.
Assim,
�n
= �n2⇡2
L2
(com n = 1, 2, 3, ...), sao os autovalores, substituindo � em (2.17) temos
F 00 +n2⇡2
L2
F = 0.
Daı obtemos as autofuncoes
Fn
(x) = sen⇣n⇡x
L
⌘,
que satisfazem a expressao acima. Analogamente, em
G00 = �c2G,
fazemos os casos de � > 0 e � = 0 e obtemos u ⌘ 0, que nao interessa, no caso � < 0
fazemos �n
= ��2c2, e vemos que para cada �n
a solucao geral da EDO acima e
Gn
(t) = an
cos
✓n⇡ct
L
◆+ b
n
sen
✓n⇡ct
L
◆,
onde an
e bn
sao constantes arbitrarias.
Logo, substituindo as solucoes Fn
(x) e Gn
(t)na equacao un
(x, t) = Fn
(x)Gn
(t),
temos
un
(x) = an
sen⇣n⇡x
L
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆+ b
n
sen⇣n⇡x
L
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆, (2.18)
com n = 1, 2, ..., tais un
sao solucoes da equacao da onda e satisfazem as condicoes
de fronteira em (2.14). Como a soma de solucoes e uma solucao, o proximo passo e
determinar as constantes an
e bn
de forma que a solucao do PV IF (2.14) seja dada
por
u(x, t) =1X
n=1
an
sen⇣n⇡x
L
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆+ b
n
sen⇣n⇡x
L
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆�. (2.19)
• Determinacao dos an
24
2. Equacao da onda
Da primeira condicao inicial em (2.14) conseguimos encontrar o valor de an
, pois
u(x, 0) = f(x) )1X
n=1
han
sen⇣n⇡x
L
⌘cos (0) + b
n
sen⇣n⇡x
L
⌘sen (0)
i= f(x).
Como sen(0) = 0, temos que bn
sen�n⇡x
L
�sen (0) = 0, e como cos(0) = 1, podemos
escrever1X
n=1
an
sen⇣n⇡x
L
⌘= f(x). (2.20)
Assim como f esta representada por uma serie de senos, os seus coeficientes de Fourier
devem ser da forma
an
=2
L
ZL
0
f(x) sen⇣n⇡x
L
⌘dx. (2.21)
• Determinacao dos bn
Derivando a serie em (2.19) termo a termo com relacao a t, obtemos
ut
(x, t) =@
@t
1X
n=1
an
sen⇣n⇡x
L
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆+ b
n
sen⇣n⇡x
L
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆�!
=1X
n=1
@
@t
✓an
sen⇣n⇡x
L
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆+ b
n
sen⇣n⇡x
L
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆�◆
=1X
n=1
@
@t
✓an
sen⇣n⇡x
L
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆�◆+
@
@t
✓bn
sen⇣n⇡x
L
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆�◆�
=1X
n=1
�a
n
sen⇣n⇡x
L
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆n⇡c
L+ b
n
sen⇣n⇡x
L
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆n⇡c
L
�
Da segunda condicao inicial em (2.14), conseguimos encontrar o valor de bn
, pois
1X
n=1
ut
(x, 0) = g(x) )1X
n=1
h�a
n
sen⇣n⇡x
L
⌘sen (0)
n⇡c
L+ b
n
sen⇣n⇡x
L
⌘cos (0)
n⇡c
L
i= g(x).
Como sen(0) = 0, temos que �an
sen�n⇡x
L
�sen (0) n⇡c
L
= 0, e como cos(0) = 1, podemos
escrever,1X
n=1
bn
sen⇣n⇡x
L
⌘ n⇡c
L= g(x). (2.22)
Assim como f esta representada por uma serie de senos os seus coeficientes de Fourier
devem ser da forman⇡c
Lbn
=2
L
ZL
0
g(x) sen⇣n⇡x
L
⌘dx. (2.23)
Aqui terminamos a resolucao utilizando o metodo de Fourier, com ele obtemos a
25
2. Equacao da onda
solucao informal do PV IF (2.14), dada em (2.19), alem dos coeficientes an
e bn
dados
em (2.21) e (2.23).
Como foi dito no inıcio desta secao, nosso procedimento foi bastante informal. As-
sim, olhando para a expressao (2.19) como candidata a solucao de (2.14), colocaremos
as seguintes questoes:
• A serie em (2.19) e convergente?
• Define ela uma funcao contınua em R?
• Define uma funcao de classe C2 em R que seja solucao do PV IF (2.14)?
• Que condicoes devemos impor sobre f para que (2.21) ocorra?
• Que condicoes devemos impor sobre g para que (2.23) ocorra?
Para respondermos as perguntas feitas acima, consideraremos o teorema a seguir.
Teorema 2.1. Suponha que f e g sejam funcoes dadas em [0, L] tais que f, f 0, f 00, g, g0
sejam contınuas e f 000 e g00 sejam seccionalmente contınuas. Alem disso, suponha que
f(0) = f(L) = f 00(0) = f 00(L) = g(0) = g(L) = 0. Entao:
i) an
e bn
sao bem definidas por (2.21) e (2.23), respectivamente;
ii) as igualdades em (2.20) e (2.22) ocorrem;
iii) a expressao em (2.19) define uma funcao contınua em R, de classe C2 em R, que
satisfaz a equacao da onda em R.
Prova: A parte i) e consequencia da hipotese de f , g e sen serem contınuas em [0, L].
Como toda funcao contınua e integravel, isto implica que as integrais em (2.21) e (2.23)
convergem, logo, estao bem definidas.
Agora, como f(0) = f(L) = g(0) = g(L) = 0, podemos estender as funcoes f e
g continuamente em toda a reta, de modo a serem ımpares e periodicas de perıodo
2L. Desta forma, usando as hipoteses de que f e g sao de classe C1, pelo Teorema de
Fourier que foi citado no capıtuo 1, podemos afirmar
1X
n=1
an
sen⇣n⇡x
L
⌘= f(x).
1X
n=1
bn
sen⇣n⇡x
L
⌘ n⇡c
L= g(x).
Mostrando assim, a parte ii).
26
2. Equacao da onda
Para mostrar iii), basta provar a convergencia da serieP1
n=1
[|an
|+ |bn
|]. Pois
un
(x, t) |un
(x, t)|
=
����an sen⇣n⇡x
L
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆+ b
n
sen⇣n⇡x
L
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆����
����an sen
⇣n⇡xL
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆����+����bn sen
⇣n⇡xL
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆����
= |an
|����sen
⇣n⇡xL
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆����+ |bn
|����sen
⇣n⇡xL
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆����
|an
|+ |bn
|.
Tomando somatorios,
NX
n=1
un
(x, t) NX
n=1
|un
(x, t)| NX
n=1
[|an
|+ |bn
|] 1X
n=1
[|an
|+ |bn
|] .
Como estamos somando para qualquer N , temos
1X
n=1
un
(x, t) 1X
n=1
[|an
|+ |bn
|] .
Logo, se mostrarmos a convergencia deP1
n=1
[|an
|+ |bn
|], temos, pelo teste da com-
paracao, queP1
n=1
un
(x, t) converge.
Por outro lado, fazendo integracao por partes tres vezes na expressao 2.21 temos
an
= � 2L2
n3⇡3
ZL
0
f 000(x) cos⇣n⇡x
L
⌘dx. (2.24)
Analogamente, fazendo a integracao por partes tres vezes em (2.23), temos
n⇡c
Lbn
= � 2L
n2⇡2
ZL
0
g00(x) sen⇣n⇡x
L
⌘dx. (2.25)
De (2.24) e (2.25) seguem
|an
| =�����
2L
n3⇡3
ZL
0
f 000(x) cos⇣n⇡x
L
⌘dx
����
2L
n3⇡3
ZL
0
���f 000(x) cos⇣n⇡x
L
⌘��� dx
27
2. Equacao da onda
e
|bn
| =�����
2L2
n3⇡3c
ZL
0
g00(x) sen⇣n⇡x
L
⌘dx
����
2L2
n3⇡3c
ZL
0
���g00(x) sen⇣n⇡x
L
⌘��� dx,
que podemos escrever
|an
| K
n3
e |bn
| K 0
n3
,
onde K = 2L
2
⇡
3 k1 e K 0 = 2L
2
c⇡
3 k2, de modo que tenhamos k1
� cn
e k2
� dn
, onde cn
e dn
sao os coeficientes de Fourier de f 000 e g00, respectivamente. Podemos falar na existencia
de tais coeficientes por conta da hipotese de f 000 e g00 serem funcoes seccionalmente
contınuas. Logo, temos a seguinte estimativa:
|an
|+ |bn
| K
n3
+K 0
n3
.
Tomando somatorios
NX
n=1
[|an
|+ |bn
|] NX
n=1
K
n3
+K 0
n3
�
1X
n=1
K
n3
+K 0
n3
�.
Como estamos somando para qualquer N , temos
1X
n=1
[|an
|+ |bn
|] 1X
n=1
K
n3
+K 0
n3
�,
onde a serie majorante na expressao acima e convergente, pois e uma p-serie, daı, pelo
teste da comparacao, temos a convergencia deP1
n=1
[|an
| + |bn
|] e finalmente conse-
guimos a convergencia deP1
n=1
un
(x, t), que e uma convergencia uniforme pois nao
depende de x e t, e como e uma serie de funcoes contınuas, convergira para uma funcao
contınua donde, deste ultimo fato e de (2.19), concluımos que u e contınua.
Vejamos agora se u e C1. Para isto, vamos obter as derivadas primeiras de u,
derivandoP1
n=1
un
(x, t) termo a termo,
@u
@x=
1X
n=1
an
n⇡
Lcos⇣n⇡x
L
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆+ b
n
n⇡
Lcos⇣n⇡x
L
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆�
@u
@t=
1X
n=1
�a
n
n⇡c
Lsen⇣n⇡x
L
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆+ b
n
n⇡c
Lcos⇣n⇡x
L
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆�.
(2.26)
28
2. Equacao da onda
A partir daı, fazendo o modulo das expressoes em (2.26), podemos majorara-las por
1X
n=1
[n|an
|+ n|bn
|].
E vemos que esta ultima serie e convergente, pois
n|an
| K
n2
e n|bn
| K 0
n2
,
daı1X
n=1
[n|an
|+ n|bn
|] 1X
n=1
K
n2
+K 0
n2
�,
onde a expressao da direita e uma serie numerica convergente; com isto temos as
igualdades em (2.26), ou seja, u e de classe C1 em R.
Vejamos agora se u e C2. Para isto, vamos derivar uma vez termo a termo as
expressoes em (2.26), donde encontramos
@2u
@x2
=1X
n=1
�a
n
n2⇡2
L2
sen⇣n⇡x
L
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆� b
n
n2⇡2
Lsen⇣n⇡x
L
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆�
@2u
@t2=
1X
n=1
�a
n
n2⇡2c2
L2
sen⇣n⇡x
L
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆� b
n
n2⇡2c2
L2
sen⇣n⇡x
L
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆�.
(2.27)
Vamos majorar estas expressoes, aplicando modulo nos termos dos somatorios em
(2.27). Temos: ����@2u
@x2
���� |an
|n2⇡2
L2
+ |bn
|n2⇡2
L2
e ����@2u
@t2
���� |an
|n2⇡2c2
L2
+ |bn
|n2⇡2c2
L2
.
Assim, podemos majorar as series em (2.27) pela seguinte expressao:
⇡2c21X
n=1
[n2|an
|+ n2|bn
|]. (2.28)
Para afirmarmos algo sobre a serie em (2.28), vamos observar os calculos seguintes. De
(2.24) e (2.25), temos
|an
| K 00
n3
|cn
| e |bn
| K 000
n3
|dn
|,
onde K 00 = 2L
2
⇡
3 e K 000 = 2L
2
c⇡
3 .
29
2. Equacao da onda
Logo, usando a desigualde ab 1
2
(a2 + b2) temos
n2|an
| K 00
L
✓1
n2
+ |cn
|2◆
e n2|bn
| K 000
2
✓1
n2
+ |dn
|2◆,
o que nos da
1X
n=1
⇥n2|a
n
|+ n2|bn
|⇤
1X
n=1
K 00
2
✓1
n2
+ |cn
|2◆+
K 000
2
✓1
n2
+ |dn
|2◆�
<
1X
n=1
K 00
2
✓1
n2
+ |cn
|2 + |dn
|2◆+
K 000
2
✓1
n2
+ |cn
|2 + |dn
|2◆�
=1X
n=1
K 00 +K 000
2
✓1
n2
+ |cn
|2 + |dn
|2◆�
=K 00 +K 000
2
1X
n=1
1
n2
+1X
n=1
|cn
|2 +1X
n=1
|dn
|2!.
Donde a convergencia destas ultimas series e devido a desigualdade de Bessel.
Finalmente, a serie obtida ao derivar u duas vezes com relacao a x ou a t e majorada
por uma serie convergente em (2.28), logo, u e de classe C2 em R.
Alem disto, comparando as duas series de (2.27), vemos que
utt
= c2uxx
, em R,
ou seja, u satisfaz a equacao da onda.
Podemos retirar conclusoes importante a respeito da natureza de uma solucao do
PV IF (2.14). Vemos que uma funcao u(x, t) sera solucao do PV IF em questao se
• for contınua em R e de classe C2 em R, com ut
(x, t) contınua em R;
• satisfizer as condicoes iniciais e de fronteira;
• satisfizer a equacao da onda.
2.6 Energia da corda vibrante e unicidade de solucao
Suponhamos que u(x, t) seja uma solucao da equacao da onda expressa da forma
⇢(x)utt
= ⌧uxx
+ h1
(x, t); (2.29)
vimos a equacao da onda apresentada desta forma na secao 2.1. Tambem iremos adotar
a hipotese de que ⌧(t) = ⌧ , isto e, que as componentes horizontais das forcas de tensao
nao dependam do tempo. Mais especificamente, suporemos que a solucao u seja uma
30
2. Equacao da onda
funcao de classe C1 em R de classe C2 em R e que satisfaca a equacao da onda em R.
Multiplicando a equacao (2.29) por ut
, obtemos
⇢utt
ut
= ⌧uxx
ut
+ h1
(x, t)ut
.
Integrando tal resultado com relacao a x no intervalo [0, L], temos
ZL
0
⇢utt
ut
dx =
ZL
0
⌧uxx
ut
dx+
ZL
0
h1
(x, t)ut
dx. (2.30)
Usando a regra da cadeia, conseguimos a identidade ut
utt
= 1
2
(u2
t
)t
, daı substituindo
esta identidade em (2.30), temos
1
2
ZL
0
⇢(u2
t
)t
dx =
ZL
0
⌧uxx
ut
dx+
ZL
0
h1
(x, t)ut
dx,
que devido a continuidade do integrando, utilizando o teorema de Leibniz [6, Teorema
3 p. 66], podemos escrever como
1
2
d
dt
✓ZL
0
⇢(x)u2
t
dx
◆=
ZL
0
⌧uxx
ut
dx+
ZL
0
h1
(x, t)ut
dx. (2.31)
Usando integral por partes com relacao a x na segunda integral da equacao acima, de
modo que u = ut
e dv = ⌧uxx
, conseguimos o seguinte:
⌧ut
ux
���L
0
�Z
L
0
⌧ux
utx
dx.
Substituindo em (2.31)
d
dt
✓1
2
ZL
0
⇢(u2
t
)t
dx
◆+
ZL
0
⌧ux
utx
dx = ⌧ut
ux
���L
0
+
ZL
0
h1
(x, t)ut
dx,
usando a identidade utx
ux
= 1
2
(u2
x
)t
, obtida de modo semelhante a usada anteriormente,
e usando novamente o teorema de Leibniz, [6, Teorema 3 p.66], temos:
d
dt
1
2
ZL
0
⇢(x)u2
t
dx+1
2
ZL
0
⌧u2
x
dx
�= ⌧u
t
ux
���L
0
+
ZL
0
h1
(x, t)ut
dx. (2.32)
A relacao em (2.32) e denominda de equacao da energia. Em (2.32) podemos destacar
duas expressoes: a expressao
K(t) =1
2
ZL
0
⇢(x)u2
t
dx, (2.33)
31
2. Equacao da onda
que e a energia cinetica da corda, e a expressao
V (t) =1
2
ZL
0
⌧u2
x
dx, (2.34)
que e a energia potencial da corda. Finalmente,
E(t) = K(t) + V (t) (2.35)
e a energia total da corda. Destacaremos, agora, alguns comentarios a respeito da
equacao (2.32). Suponhamos que u seja solucao do PV IF (2.14), neste caso terıamos
h1
(x, t) = 0
ut
(0, t) = ut
(L, t) = 0,
desta forma, podemos reescrever a equacao em (2.32) como
d
dt
1
2
ZL
0
⇢(x)u2
t
dx+1
2
ZL
0
⌧u2
x
dx
�= 0. (2.36)
Tal resultado implica que a energia total seja constante em relacao ao tempo, portanto,
temos o princıpio da conservacao de energia para o fenomeno de vibracao de cordas
com extremidades fixas e sem acao de forcas externas. Dizemos tambem que o sistema
e conservativo.
Podemos representar a energia da corda vibrante no tempo t = 0 usando os dados
iniciais do PV IF (2.14) por
E(0) =1
2
ZL
0
⇢(x)g(x)2dx+1
2
ZL
0
⌧f 0(x)2dx.
Tal energia e mantida devido ao princıpio da conservacao de energia.
Teorema 2.2. A solucao do PV IF abaixo caso exista e unica
8>>><
>>>:
⇢(x)utt
= ⌧uxx
+K1
(t, x), em R
u(0, t) = h1
(t), u(L, t) = h2
(t), t > 0
u(x, 0) = f(x), ut
(x, 0) = g(x), 0 < x < L
(2.37)
Demonstracao. Suponhamos que o PV IF (2.37) possua duas solucoes u1
e u2
. Por
solucao, nos entenderemos uma funcao de classe C2 em R e contınua em R que satisfaca
todas as relacoes em (2.37). Isto implica h1
(0) = f(0) e h2
(L) = f(L). Estas relacoes
sao de compatibilidade entre os dados iniciais e as condicoes de fronteira. Vejamos
32
2. Equacao da onda
tambem que a funcao u = u1
� u2
e uma funcao de classe C2 em R, contınua em R, e
satisfaz as relacoes
⇢utt
= ⇢(u1
)tt
� ⇢(u2
)tt
= (⌧(u1
)xx
+K1
)� (⌧(u2
)xx
+K1
)
= ⌧((u1
)xx
� (u2
)xx
)
= ⌧uxx
eu(0, t) = u
1
(0, t)� u2
(0, t) = h1
(t)� h1
(t) = 0
u(L, t) = u1
(L, t)� u2
(L, t) = h2
(t)� h2
(t) = 0
u(x, 0) = u1
(x, 0)� u2
(x, 0) = f(x)� f(x) = 0
ut
(x, 0) = (u1
)t
(x, 0)� (u2
)t
(x, 0) = g(x)� g(x) = 0.
Ou seja, u satisfaz o seguinte PV IF , que e do tipo (2.14):
8>>><
>>>:
⇢utt
= ⌧uxx
u(0, t) = u(L, t) = 0
u(x, 0) = ut
(x, 0) = 0.
Veja tambem que E(0) = 0, pois
E(0) =1
2
ZL
0
⇢(x)g(x)2dx+1
2
ZL
0
⌧f 0(x)2dx
=1
2
ZL
0
⇢(x)02dx+1
2
ZL
0
⌧02dx
= 0,
daı, de (2.36) cocluımos
1
2
ZL
0
⇢(x)u2
t
dx+1
2
ZL
0
⌧u2
x
dx = 0.
Isto implica ut
(x, t) = ux
(x, t) = 0, para (x, t) em R, pois ⇢(x) e ⌧ sao positivos. Logo,
u(x, t) e constante em R. Usando a continuidade de u, em R, e as condicoes iniciais
u(x, 0) = ut
(x, 0) = 0, podemos concluir que u = 0 em R, e finalmente u1
= u2
,
mostrando assim a unicidade de solucao do problema (2.37).
2.6.1 Interpretacao fısica das formulas da energia cinetica (2.33)
e potencial (2.34)
• Energia cinetica
33
2. Equacao da onda
A energia cinetica no instante t do trecho da corda entre os pontos de coordenadas
a e a+h, para h pequeno, e dado por 1
2
⇢(x)hu2
t
(x, t), onde x e um valor apropriado no
intervalo [a, a+ h].
Seja P = {r1
= 0, ..., rn
= L} uma particao do intervalo [0, L] e seja h pequeno,
somando as varias energias cineticas dos trechos de corda nos subintervalos de P,
temos:1
2⇢(x
1
)hut
(x1
, t) + ...+1
2⇢(x
n
)hu2
t
(xn
, t)
com x1
2 [r1
, r2
], ..., xn
2 [rn�1
, rn
]. Que podemos escrever
1
2
nX
N=1
⇢(xN
)hu2
t
(xN
, t).
Tomando limite quando n ! 1 temos, pela definicao de integral como limite das
somas de Rieman,
limn!1
1
2
nX
N=1
⇢(xN
)hu2
t
(xN
, t) =1
2
ZL
0
⇢(x)u2
t
(x, t)dx.
• Energia potencial
Para a questao da energia potencial, vejamos o trabalho das forcas de tensao. To-
memos novamente o trecho da corda entre x = a e x = a + h; a forca de tensao neste
trecho, no instante t, e apenas na direcao transversal, e e dada por
⌧ux
(a+ h, t)� ⌧ux
(a, t) = ⌧uxx
(x, t)h, (2.38)
onde a igualdade acima e devida ao teorema do valor medio e x 2 [a, a+ h]. Sabendo
que a formula fısica para o trabalho e
T = ~F ~d, (2.39)
isto e, forca vezes deslocamento, e que a velocidade e dada por
V =4x
4t, (2.40)
obtemos usando (2.38), (2.39) e (2.40), que o trabalho realizado em um pequeno
34
2. Equacao da onda
retangulo [a, a+4x]⇥ [t, t+4t] e dado por
T = ⌧uxx
(x, t)4xut
(x, t)4t.
Daı, tomemos as particoes X = {x0
= 0, ..., xi
= L} e T = {t0
= 0, ..., tj
= t0
} dos
intervalos [0, L] e [0, t0
], respectivamente, e com essas particoes formemos os retangulos
rij
= [xi
, xi+1
] ⇥ [tj
, tj+1
]. Estes retangulos formam uma particao para a regiao R.
Somando todos os trabalhos realizados nestes retangulos da particao, temos:
nX
i=1
mX
j=1
⌧uxx
(xi
, tj
)ut
(xi
, tj
)4xi
4tj
,
onde 4xi
= xi
� xi�1
e 4tj
= tj
� tj�1
. Tomando limite quando n ! 1 e m ! 1,
temos, pela soma de Rieman, que
T = limn,m!1
nX
i=1
mX
j=1
⌧uxx
(xi
, tj
)ut
(xi
, tj
)4xi
4tj
=
Z Z
R⌧u
xx
(x, t)ut
(x, t)dA.
Entao, utilizando o teorema de Fubini, temos:
T =
Z Z
R⌧u
xx
(x, t)ut
(x, t)dA =
Zt0
0
ZL
0
⌧uxx
(x, t)ut
(x, t)dxdt.
Integrando com relacao a x por partes, chamando u = ut
e dv = ⌧uxx
, temos o seguinte:
T =
Zt0
0
⌧u
x
(x, t)ut
(x, t)���L
0
�Z
L
0
⌧ux
(x, t)utx
(x, t)dx
�dt.
Portanto, se as extremidades da corda estao fixas, isto e, u(0, t) = u(L, t) = 0, nos
temos
T = �Z
t0
0
ZL
0
⌧ux
(x, t)utx
(x, t)dxdt,
e daı usando ut
utx
= 1
2
(u2
x
)t
e o teorema de Leibniz, [6, Teorema 3 p. 66], podemos
escrever:
T = �Z
t0
0
1
2
d
dt
ZL
0
⌧u2
x
dxdt,
o que implica pelo teorema fundamental do calculo;
T = �1
2
ZL
0
⌧u2
x
dx���t0
0
=1
2
ZL
0
⌧u2
x
(x, 0)dx� 1
2
ZL
0
⌧u2
x
(x, t0
)dx
.
35
2. Equacao da onda
Esta ultima expressao mostra que o trabalho das forcas de tensao para levar a corda da
configuracao u(x, 0) ate a configuracao u(x, t0
) depende tao somente das configuracoes
inicial e final, e isto e o que motiva a definicao de energia potencial em (2.34).
2.7 Harmonicos, frequencia e amplitude de uma
onda estacionaria
Na secao 2.5, vimos, pelo metodo de Fourier, que as solucoes do PV IF (2.14) sao
do tipo
un
(x, t) = an
sen⇣n⇡x
L
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆+ b
n
sen⇣n⇡x
L
⌘sen
✓n⇡ct
L
◆.
Essas funcoes sao denominadas de ondas estacionarias.
2.7.1 Partes de uma onda estacionaria
Antes de tudo, e interessante sabermos que a denominacao onda estacionaria se
deve ao fato de que para x tal que n⇡x
L
= K⇡, isto e, x = KL
n
com k = 0, 1, 2, ..., n,
temos sen�n⇡x
L
�= 0. Estes pontos, e apenas estes, permanecem parados se a vibracao
da corda e descrita pela funcao un
. Tais pontos sao denominados de nos da onda
estacionaria e o ponto medio entre dois nos e chama do de antino ou ventre.
Figura 2.3: onda estacionariaFonte: https://www.infoescola.com/fisica/onda-estacionaria/
O comprimento da onda e a distancia entre dois nos consecutivos. No caso das
ondas estacionarias descritas por un
, temos que seu comprimento e 2L
n
.
A funcao un
tambem e denominada de n-esimo harmonico ou n-esima tonica. O pri-
meiro harmonico recebe o nome de harmonico fundamental ou tonica fundamental, e os
demais sao conhecidos como supertonicas. Fazendo ↵n
=p
a2n
+ b2n
e ✓n
= arctan⇣
anbn
⌘,
podemos reescrever un
, assim:
un
(x, t) = ↵n
sen
✓n⇡ct
L+ ✓
n
◆sen⇣n⇡x
L
⌘. (2.41)
36
2. Equacao da onda
O angulo ✓n
e chamado de fase.
Observe que para cada t fixado em (2.41) a corda e descrita como uma curva senoide.
Nos valores de t tais que�n⇡ct
L
�+ ✓
n
= k⇡, com k = 0, ..., n, a corda passa pela posicao
de equilıbrio (pois sen(k⇡) = 0, e daı un
= 0).
Derivando a equacao (2.41) com relacao a t, temos o seguinte:
@
@tun
(x, t) = ↵n
cos
✓n⇡ct
L+ ✓
n
◆n⇡c
Lsen⇣n⇡x
L
⌘. (2.42)
Aplicando (2.42) num ponto da posicao de equilıbrio, conseguimos que
@
@tun
(x, t) = ↵n
cos(k⇡)n⇡c
Lsen⇣n⇡x
L
⌘,
ou seja, o coseno atingira seu valor maximo 1, e daı conseguimos a velocidade maxima
atingida,@
@tun
(x, t) = ↵n
n⇡c
Lsen⇣n⇡x
L
⌘.
Se considerarmos os valores de t tais que sen⇥�
n⇡ct
L
�± ✓
n
⇤= ±1, neste caso a corda
tera seus desvios maximos da posicao de equilıbrio pois, o seno atinge seus valores
extremos ±1 e entao teremos
un
(x, t) = ±↵n
sen⇣n⇡x
L
⌘.
Como sen⇥�
n⇡ct
L
�± ✓
n
⇤= ±1, devemos ter n⇡ct
L
+ ✓n
= k⇡
2
, com k = 1, 3, ..., 2n + 1.
Portanto,@
@tun
(x, t) = ↵n
cos
✓k⇡
2
◆n⇡c
Lsen⇣n⇡x
L
⌘= 0,
ou seja, teremos que a velocidade nos pontos de equilıbrio e 0.
Sabendo que a forma basica de uma curva senoide ao longo do tempo e dada por
y(t) = A sen(2⇡ft+ '), (2.43)
ondeA = amplitude
2⇡f = frequencia angular = !
' = fase
t = tempo
,
podemos comparar (2.42) com (2.43) e ver se o movimento da corda obedece uma lei
senoidal de amplitude ↵n
sen�n⇡x
L
�. O perıodo de uma onda e caculado pela formula
Tn
= 2L
!
, portanto, no caso de (2.42), temos que Tn
= 2L
nc
, e a frequencia de vibracao
37
2. Equacao da onda
e dada por !n
= T�1
n
= nc
2L
, que nao depende de x e t, logo e a mesma em todos os
pontos da corda.
Daı,
!n
=nc
2Le ↵
n
sen⇣n⇡x
L
⌘
sao denominadas, respectivamente frequencia ou frequencia natural e amplitude da
n-esima tonica.
2.7.2 A energia do n-esimo harmonico
Consideremos o n-esimo harmonico un
produzido pela corda vibrante com extremi-
dades fixas
un
(x, t) = ↵n
sen
✓n⇡ct
L+ ✓
n
◆.
De onde temos
@
@tun
(x, t) = ↵n
n⇡c
Lcos
✓n⇡ct
L+ ✓
n
◆sen⇣n⇡x
L
⌘
@
@xun
(x, t) = ↵n
n⇡
Lsen
✓n⇡ct
L+ ✓
n
◆cos⇣n⇡x
L
⌘,
e dai, usando as formulas da energia cinetica e da energia potencial, conseguimos que
a energia total e
En
(t) =1
2
ZL
0
⇢↵2
n
n2⇡2c2
L2
cos2(�n
) sen2
⇣n⇡xL
⌘dx+
1
2
ZL
0
⌧↵2
n
n2⇡2
L2
sen2(�n
) cos⇣n⇡x
L
⌘dx,
onde �n
= n⇡ct
L
+ ✓n
. Supondo que ⇢ e ⌧ sejam constantes, temos que
En
(t) =n2⇡2c2
2L2
⇢
ZL
0
↵2
n
cos2(�n
) sen2
⇣n⇡xL
⌘dx+
n2⇡2
2L2
⌧
ZL
0
↵2
n
sen2(�n
) cos2⇣n⇡x
L
⌘dx.
Usando relacoes de ortogonalidade, podemos reescrever En
da seguinte forma:
En
(t) =n2⇡2
4L↵2
n
(⇢c2 cos2(�n
) + ⌧ sen2(�n
)),
sabendo que c2 = ⌧
⇢
e que sen2(�n
) + cos2(�n
) = 1, segue
En
(t) =n2⇡2
4L↵2
n
⇢c2 = M⇡2↵2
n
!2
n
,
onde M = L⇢ e a massa da corda e !n
e a frequencia do n-esimo harmonico.
Teorema 2.3. A energia da corda e a soma das energias dos varios harmonicos.
38
2. Equacao da onda
Demonstracao. Para provarmos tal resultado, basta calcularmos a energia no instante
t = 0, pois, como vimos na secao anterior, a corda vibrante com extremidades fixas
forma um sistema conservativo. Assim, a energia E da corda e:
E =1
2
ZL
0
⇢g(x)2dx+1
2
ZL
0
⌧f 0(x)2dx.
Usando as expressoes (2.20) e (2.22), temos
E =1
2
ZL
0
⇢
" 1X
n=1
n⇡c
Lbn
sen⇣n⇡x
L
⌘#2dx+
1
2
ZL
0
⌧
" 1X
n=1
n⇡
Lan
cos⇣n⇡x
L
⌘#2dx.
Como a convergencia da series acima e uniforme, podemos escrever
E =⇢
2
1X
n=1
ZL
0
n2⇡2c2
L2
b2n
sen2
⇣n⇡xL
⌘dx+
⌧
2
1X
n=1
ZL
0
n2⇡2
L2
a2n
cos2⇣n⇡x
L
⌘dx,
e usando as relacoes de ortogonalidade, temos que
E =1
2
1X
n=1
⇢n2⇡2c2
2Lb2n
+⌧n2⇡2
2La2n
�=
1
2
1X
n=1
n2⇡2
2L(c2⇢b2
n
+ ⌧a2n
);
como ⌧ = c2⇢, temos
E =1X
n=1
n2⇡2c2⇢
4L(b2
n
+ a2n
) =1X
n=1
n2⇡2c2⇢↵2
n
4L.
Ou seja,
E =1X
n=1
En
.
2.8 A corda dedilhada
Nesta secao, abordaremos matematicamente como se comporta a corda quando e
dedilhada. Consideraremos uma corda com extremidades fixas posta a vibrar gracas a
um deslocamento em sua posicao de equilıbrio. Daı, terıamos que as suas configuracoes
39
2. Equacao da onda
seriam descritas pela funcao u(x, t), que e solucao do PV IF (2.14), com
f(x) =
8>><
>>:
hx
L
, para 0 x a
h(x�L)
a�L
, para a x L
g(x) = 0.
(2.44)
Esse e o modelo ideal do que ocorre quando se dedilha cordas de uma harpa, ou
quando se toca instrumentos de corda como violao, cavaquinho e guitarra. A figura
abaixo representa geometricamente este modelo.
Figura 2.4: corda dedilhadaFonte:[2, p. 145]
A solucao do PV IF (2.14), neste caso, e dada pela expressao (2.19), com bn
= 0,
pois g(x) = 0, e para calcularmos an
vejamos que, pela expressao geral do coeficiente
de Fourier an
, temos
an
=2
L
ZL
0
f(x) sen⇣n⇡x
L
⌘dx,
que substituindo pela funcao f(x), definida em (2.44), resulta
an
=2
L
Za
0
hx
asen⇣n⇡x
L
⌘dx+
2
L
ZL
a
h(x� L)
(a� L)sen⇣n⇡x
L
⌘dx. (2.45)
Calculando separadamente as integrais em (2.45), temos que a primeira intergral, uti-
lizando integracao por partes com u = hx
a
e dv = sen�n⇡x
L
�, tem como solucao
� 2h
n⇡cos⇣n⇡a
L
⌘+
2hL
an2⇡2
sen⇣n⇡a
L
⌘. (2.46)
Usando integracao por partes novamente agora na segunda integral de (2.45) com,
40
2. Equacao da onda
u = h(x�L)
a�L
e dv = sen�n⇡x
L
�, obtemos
2h
n⇡cos⇣n⇡a
L
⌘� 2hL
(a� L)n2⇡2
sen⇣n⇡a
L
⌘. (2.47)
Voltando a expressao principal (2.45), temos que ela e igual a
an
= � 2h
n⇡cos⇣n⇡a
L
⌘+
2hL
an2⇡2
sen⇣n⇡a
L
⌘+
2h
n⇡cos⇣n⇡a
L
⌘� 2hL
(a� L)n2⇡2
sen⇣n⇡a
L
⌘
=2hL
an2⇡2
sen⇣n⇡a
L
⌘� 2hL
(a� L)n2⇡2
sen⇣n⇡a
L
⌘
= sen⇣n⇡a
L
⌘ 2hL
n2⇡2
1
a� 1
a� L
�
= � 2hL2
a(a� L)n2⇡2
sen⇣n⇡a
L
⌘.
Assim, o n-esimo harmonico, obtido substituindo an
e bn
na equacao (2.18), e dado por
un
(x, t) =2hL
a(L� a)n2⇡2
sen⇣n⇡a
L
⌘sen⇣n⇡x
L
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆.
A equacao em (2.19) e a superposicao desses harmonicos. E importante perceber
que, dependendo do ponto a onde se dedilha a corda, alguns harmonicos podem estar
ausentes na expressao de u. Dizemos, entao, que estes harmonicos estao mudos. Para
ilustrar esta definicao, consideremos que a seja um ponto de no do n-esimo harmonico,
ou seja, a = KL
n
. Daı temos em un
que
un
(x, t) =2hL2
KL
n
�L� KL
n
�n2⇡2
sen
n⇡KL
n
L
!sen⇣n⇡x
L
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆
=2hL2
KL
n
�L� KL
n
�n2⇡2
sen(K⇡) sen⇣n⇡x
L
⌘cos
✓n⇡ct
L
◆
= 0.
Portanto, nos pontos de nos temos que o n-esimo harmonico permanecera mudo. Vemos
tambem que o primeiro harmonico nunca permanecera mudo,
u1
(x, t) =2hL2
a(L� a)⇡2
sen⇣⇡aL
⌘,
pois a u1
(x, t) sera zero apenas no ponto de no, logo, nao temos uma funcao identica-
mente nula.
As vibracoes de uma corda se transmitem pelo ar, produzindo, assim, ondas sonoras;
desta forma podemos entender o som produzido pela corda vibrante como sendo uma
41
2. Equacao da onda
superposicao de harmonicos.
Fisicamente, as propriedades do som sao funcoes que dependem de varios parametros,
os quais podem ser representados em un
de acordo com cada caso. A altura do som,
por exemplo, e medida em hertz (ciclos por segundo); ela e a frequencia do harmonico
fundamental. Quanto maior e a frequencia, mais alto e o som. Os sons audıveis tem
frequencias variando entre 16 e 16.000 hertz.
A altura do som depende das condicoes fısicas da corda. Temos que
!n
=nc
2L,
daı,
!1
=c
2L.
Como c =q
⌧
⇢
, conseguimos
!1
=1
2L
r⌧
⇢.
Portanto, se diminuirmos o comprimento L da corda, a altura aumentara. Empirica-
mente, este artifıcio e usado quando na harpa se diminui o comprimento da corda por
meio de um pedal. Tambem vemos isso quando os comprimentos de cordas do violao
ou violino sao diminuidos com a pressao dos dedos em certos pontos.
De modo analogo, vemos em !1
, que a altura do som aumenta segundo a raiz
quadrada da forca de tensao. Daı a explicacao para o porque de afinarmos as cordas
do violao, violino ou qualquer instrumento de cordas, pois, com o tempo, a tensao na
corda varia, e ela passa a produzir sons em alturas diferentes.
A intensidade do som depende da energia da corda vibrante. No caso da corda
dedilhada, essa energia e
E = n⇡2
1X
n=1
!2
n
a2n
.
Sabendo pelo teorema 2.3 que E =P
En
, temos que a intensidade varia proporcio-
nalmente ao quadrado do deslocamento dado a corda no ponto onde se dedilha, por
exemplo: se dobrarmos h (altura que puxamos a corda ao dedilhar) como temos na
expressao da energia o a2n
, tal valor quadruplicara.
Por ultimo, o timbre do som e uma qualidade que permite distinguir sons de mesma
altura e mesma intensidade. Ele depende da forma de u(x, t) e, portanto, das su-
pertonicas. Assim, sons de mesma altura e intensidade podem ser executados ao mesmo
tempo por intrumentos cuja vibracao, pode ser propiciada por dedilhamento (violao),
percussao (piano) ou atrito de um arco (violoncelo), de modo que nao sejam confun-
didos entre si. O que faz com que este interessante fenomeno ocorra e o timbre, pois a
42
2. Equacao da onda
forma de u(x, t) e diferente em cada um dos casos.
2.9 Vibracoes forcadas
Nesta secao, consideraremos o problema de vibracao de uma corda que possui ex-
tremidades fixas e esta sujeita a acao de forcas externas. O deslocamento u(x, t) e
solucao do seguinte PV IF :
8>>>>>><
>>>>>>:
utt
= c2uxx
+ g(x, t)
u(0, t) = u(L, t) = 0, 8 t > 0
u(x, 0) = f0
(x), 8 0 x L
ut
(x, 0) = f1
(x), 8 0 x L.
(2.48)
Vamos proceder informalmente quanto a diferenciabilidade das funcoes envolvidas,
a fim de descobrir um candidato a solucao do PV IF (2.48). Este candidato tem a
forma idealizada por
u(x, t) =1X
n=1
cn
(t) sen⇣n⇡x
L
⌘, (2.49)
com os coeficientes cn
(t) a serem determinados.
Suponhamos que para cada t a funcao g(x, t) possa ser escrita como uma serie de
Fourier do tipo
g(x, t) =1X
n=1
gn
(t) sen⇣n⇡x
L
⌘. (2.50)
Procedendo informalmente quanto a derivacao termo a termo de (2.49), temos usando
a equacao da onda, que
1X
n=1
c00n
sen⇣n⇡x
L
⌘= �c2
1X
n=1
n2⇡2
L2
cn
sen⇣n⇡x
L
⌘+
1X
n=1
gn
(t) sen⇣n⇡x
L
⌘.
Observando os coeficientes de Fourier na expressao acima, segue que
c00n
+n2⇡2c2
L2
cn
= gn
(t),
que podemos escrever,
c00n
+ (2⇡!n
)cn
= gn
, 8 t > 0, (2.51)
onde !n
= nc
L
e a frequencia do n-esimo harmonico. Usando as condicoes iniciais do
43
2. Equacao da onda
PV IF (2.48), concluımos
f0
(x) = u(x, 0) ! f0
(x) =1X
n=1
cn
(0) sen⇣n⇡x
L
⌘(2.52)
e
f1
(x) = ut
(x, 0) ! f1
(x) =1X
n=1
c0n
(0) sen⇣n⇡x
L
⌘, (2.53)
que mostra, atraves dos coeficientes de Fourier de f0
e f1
, que devemos ter
cn
(0) =2
L
ZL
0
f0
(x) sen⇣n⇡x
L
⌘dx (2.54)
e
c0n
(0) =2
L
ZL
0
f1
(x) sen⇣n⇡x
L
⌘dx. (2.55)
Assim, temos um PV I envolvendo uma equacao diferencial ordinaria de segunda
ordem. Tal problema e dado em (2.51)-(2.54)-(2.55), onde a solucao geral da EDO
(2.51) e da forma
cn
(t) = an
cos(2⇡!n
t) + bn
sen(2⇡!n
t) + cn
(t),
onde an
e bn
sao constantes arbitrarias que serao determinadas de modo que (2.54) e
(2.55) sejam satisfeitas; e cn
(t) e uma solucao particular da EDO (2.51) que e obtida
atraves do metodo da variacao dos parametros.
Portanto, determinamos cn
(t) reslvendo o PV I (2.51)-(2.54)-(2.55), e daı temos
que a equacao (2.49) deve ser solucao do PV IF (2.48). Mas, para que isto ocorra, e
necessario pormos hipoteses sobre a diferenciabilidade das funcoes g, f0
e f1
, para que
desta maneira possamos provar que a serie em (2.49) converge e define uma solucao
para (2.48). Tal problema ja foi discutido de maneira analoga anteriormente quando
vimos na secao 2.5 o teorema 2.1.
2.10 A corda infinita
Iremos estudar as vibracoes de uma corda de comprimento infinito. Portanto, como
podemos pensar intuitivamente, neste caso nao ha condicoes de fronteira a serem sa-
tifeitas e, desta forma, o problema consiste em encontrar uma solucao u(x, t) definida
44
2. Equacao da onda
no semiplano x 2 R e t 0, tal que ela satisfaca
8>>><
>>>:
utt
= c2uxx
, x 2 R e t � 0
u(x, 0) = f(x), x 2 R
ut
(x, 0) = g(x), x 2 R,
(2.56)
onde f(x) e g(x) sao as condicoes iniciais. O problema (2.56) e conhecido como pro-
blema de Cauchy.
2.10.1 Solucao generalizada da equacao da onda
Veremos no proximo teorema que a equacao da onda possui uma solucao geral que
compreende todas as suas solucoes. Este fato e bastante interessante no estudo de
EDP , pois solucoes gerais nao sao muito comuns, sendo mais presentes em EDO.
Teorema 2.4. Se u(x, t) satisfizer a equacao da onda, utt
= c2uxx
, onde c e constante,
entao existirao funcoes F e G reais de variavel real , isto e F : R ! R e G : R ! R,tais que
u(x, t) = F (x+ ct) +G(x� ct) (2.57)
Demonstracao. Inicialmente, vamos introduzir as seguintes variaveis independentes:
⇠ = x+ ct e ⌘ = x� ct,
e daı definiremos a funcao v da seguinte forma:
v(⇠, ⌘) = v(x+ ct, x� ct) = u(x, t).
Logo, usando a regra da cadeia no R2 derivando com relacao a x, obtemos
ux
=@v
@⇠(⇠, ⌘)
@⇠
@x(x, t) +
@v
@⌘(⇠, ⌘)
@⌘
@x(x, t).
Como @⇠
@x
(x, t) = @⌘
@x
= 1, derivando a expressao acima novamente com relacao a x,
obtemos
uxx
=@2v
@⇠2@⇠
@x+
@2v
@⌘@⇠
@⌘
@x+
@2v
@⇠@⌘
@⇠
@x+
@2v
@⌘2@⌘
@x.
Vamos usar a seguinte notacao para facilitar os calculos:
uxx
= v⇠⇠
+ v⌘⇠
+ v⇠⌘
+ v⌘⌘
.
Pelo teorema de Schwarz, [6, Teorema 4 p. 67], podemos somar as derivadas mistas
45
2. Equacao da onda
para, assim, termos
uxx
= v⇠⇠
+ 2v⌘⇠
+ v⌘⌘
. (2.58)
Analogamente, usando a regra da cadeia no R2 e o teorema de Schwarz, [6, Teorema 4
p. 67], obtemos
utt
= c2v⇠⇠
� 2c2v⇠⌘
+ c2v⌘⌘
. (2.59)
Substituindo (2.58) e (2.59) na equacao da onda, temos
c2v⇠⇠
� 2c2v⇠⌘
+ c2v⌘⌘
= c2[v⇠⇠
+ 2v⌘⇠
+ v⌘⌘
],
que implica
4c2v⇠⌘
= 0,
de onde temos
v⇠⌘
= 0. (2.60)
A equacao em (2.60) nos diz que a funcao v⇠
e constante com relacao a ⌘, por isso,
integrando-a com relacao a ⌘ podemos escrever
Zv⇠⌘
d⌘ = F1
(⇠),
ou seja,
v⇠
= F1
(⇠).
Integrando a expressao acima com relacao a ⇠, usando o teorema fundamental do
calculo, temos
v =
Zv⇠
d⇠ =
ZF1
(⇠)d⇠ +G(⌘).
O resultado segue chamando F (⇠) uma das primitivas de F1
,
v(⇠, ⌘) = F (⇠) +G(⌘).
Voltando as variaveis x, t, temos
u(x, t) = F (x+ ct) +G(x� ct).
De acordo com o teorema demonstrado acima, a solucao da equacao da onda (2.19)
do PV IF (2.14) deve ser escrita da forma (2.57), uma vez que ela e solucao da equacao
46
2. Equacao da onda
da onda. E isto de fato ocorre; basta usarmos as identidades trigonometricas
sen(a) cos(b) =1
2[sen(a+ b) + sen(a� b)]
e
sen(a) sen(b) =1
2[cos(a� b)� cos(a+ b)].
Daı, em (2.19) nos obtemos
u(x, t) =
1X
n=1
an
1
2
sen
✓n⇡x
L
+
n⇡ct
L
◆+ sen
✓n⇡x
L
�n⇡ct
L
◆�+ bn
1
2
cos
✓n⇡x
L
�n⇡ct
L
◆+ cos
✓n⇡x
L
+
n⇡ct
L
◆��
=
1
2
1X
n=1
han sen
⇣n⇡
L
(x+ ct)
⌘+ bn cos
⇣n⇡
L
(x+ ct)
⌘i+
1
2
1X
n=1
han sen
⇣n⇡
L
(x� ct)
⌘+ bn cos
⇣n⇡
L
(x� ct)
⌘i ,
mostrando que (2.19) pode ser escrita na forma F (x+ ct) +G(x� ct), com
F (⇠) =1
2
1X
n=1
an
sen
✓n⇡⇠
L
◆+ b
n
cos⇣n⇡⌘
L
⌘�
e
G(⌘) =1
2
1X
n=1
han
sen⇣n⇡⌘
L
⌘+ b
n
cos⇣n⇡⌘
L
⌘i.
2.10.2 Formula de D’Alembert
A fim de obtermos a solucao do problema de Cauchy com a equacao da onda
PV IF (2.56), vamos procurar determinar funcoes F e G usando as condicoes iniciais.
Como vimos no teorema 2.4, a solucao geral da equacao da onda e da forma u(x, t) =
F (x+ ct) +G(x� ct). Portanto das condicoes inicias em (2.56) obtemos
u(x, 0) = F (x) +G(x) = f(x)
ut
(x, 0) = cF 0(x)� cG0(x) = g(x).(2.61)
Da ultima expressao de (2.61), temos
F 0(x)�G0(x) =1
cg(x).
Integrando a expressao acima, conseguimos
Zx
0
F 0(s)�G0(s)ds =1
c
Zx
0
g(s)ds,
47
2. Equacao da onda
e usando o teorema fundamental do calculo obtemos
F (x)�G(x) =1
c
Zx
0
g(s)ds� (F (0)�G(0));
chamando K = F (0)�G(0), podemos escrever
F (x)�G(x) =1
c
Zx
0
g(s)ds+K. (2.62)
Da primeira igualdade em (2.61) e de (2.62), conseguimos que
f(x)�G(x)�G(x) =1
c
Zx
0
g(s)ds+K
� 2G(x) = �f(x) +1
c
Zx
0
g(s)ds+K,
ou seja,
G(x) =f(x)
2� 1
2c
Zx
0
g(s)ds� K
2.
Procedendo de maneira analoga, temos que
F (x) =f(x)
2+
1
2c
Zx
0
g(s)ds+K
2.
Portanto, como
u(x, t) = F (x+ ct) +G(x� ct)
=1
2[f(x+ ct) + f(x� ct)] +
1
2c
Zx+ct
0
g(s)ds� 1
2c
Zx�ct
0
g(s)ds,
temos
u(x, t) =1
2[f(x+ ct) + f(x� ct)] +
1
2c
Zx+ct
x�ct
g(s)ds. (2.63)
A solucao em (2.63) e conhecida como formula de D’Alembert.
2.10.3 Inferencias a respeito da formula de D’Alembert
Intervalo de dependencia
Analisando a formula de D’Alembert, vemos que o valor da solucao u do problema
de Cauchy em (2.56) no ponto (x, t) depende apenas dos valores dos dados iniciais
f(x) e g(x) no intervalo [x � ct, x + ct]. Este intervalo e chamado de intervalo de
dependencia do ponto (x, t). Observe a figura abaixo, que representa este intervalo
geometricamente.
48
2. Equacao da onda
Figura 2.5: Intervalo de dependenciaFonte: [2, p. 152]
Notemos que os valores dos dados iniciais f e g fora do intervalo [x� ct, x+ ct] nao
afetam o valor de u no ponto (x, t), ou seja, os dados iniciais podem ser arbitrariamente
modificados fora deste intervalo sem que a solucao u seja alterada no ponto (x, t).
Para calcularmos a equacao das retas que estao na figura acima, primeiramente
acharemos os seus respectivos coeficientes angulares,
m1
=�t
�x=
t� 0
x� x+ ct=
1
c
e
m2
=�t
�x=
t� 0
x� x� ct= �1
c.
Daı podemos calcular as equacoes das retas. Vamos fazer o calculo para a reta da
esquerda:
(a� a1
) = m1
(b� b1
)
a =1
c(b� x+ ct)
ac = b� x+ ct
ac� b = �x+ ct
ac� b = x� ct.
Do calculo acima, concluımos que
x� ct = constante, (2.64)
e analogamente temos que a equacao da reta da direita e dada por
x+ ct = constante. (2.65)
As retas em (2.64) e (2.65) sao conhecidas como retas caracterısticas.
49
2. Equacao da onda
Regiao de influencia
A formula de D’Alembert tambem nos diz que os valores de f e g no ponto (x, 0)
influenciam os valores de u apenas no setor haxurado da figura abaixo.
Figura 2.6: Regiao de influenciaFonte: [2, p. 153]
De fato, fixemos (x0
, 0), x0
2 R e consideremos o seguinte conjunto:
I(x0
) = {(x, t) 2 R⇥ [0,+1); x� ct x0
x+ ct}.
Note que (x, t) 2 I(x0
) , x 2 [x � ct, x + ct]. Os pontos de I(x0
) sao aqueles
que a solucao u do problema de Cauchy depende dos valores iniciais f e g no ponto
(x0
, 0); se mudarmos os valores iniciais f e g nesse ponto, isso so afetara u nos pontos
(x, t) 2 I(x0
). O conjunto I(x0
) e chamado de regiao de influencia.
Deste modo, supondo que os dados iniciais f e g tenham suporte no intervalo [a, b],
isto e, f e g se anulem fora da regiao haxurada na figura abaixo, entao a solucao u(x, t)
e nula fora desta regiao, que e chamada regiao de influencia dos dados iniciais.
Figura 2.7: Regiao de influencia dos dados iniciaisFonte: [2, p. 153]
50
2. Equacao da onda
Velocidade de propagacao
E possıvel interpretar o prolema de Cauchy como a vibracao de uma corda de
comprimento infinito, onde esta vibracao e oriunda de perturbacoes feitas a corda
quando esta se encontra em sua posicao de repouso. No tempo inicial, temos que o
afastamento causado a corda e descrito por u(x, 0) = f(x); e a velocidade inicial da
corda e representada pelo outro dado inicial, ut
(x.0) = g(x). Assim, vemos que, caso as
pertubacoes iniciais estejam concentradas em um trecho [a, b] da corda, elas poderao
afetar um ponto x0
> b apenas depois de um tempo, t0
= x0�b
c
, obtido atraves da
formula da velocidade media. Isso quer dizer que as pertubacoes viajam ao longo da
corda com velocidade c; observe a representacao geometrica desta situacao na figura
abaixo.
Figura 2.8: Velocidade de propagacaoFonte: [2, p. 153]
2.10.4 Corda infinita dedilhada
Suponhamos que a vibracao da corda seja causada apenas pelo deslocamento inicial
f(x), isto e, g(x) = 0. Entao, a formula de D’Alembert nos diz que:
u(x, t) =1
2[f(x+ ct) + f(x� ct)]. (2.66)
Neste caso, para cada t, a solucao u(x, t) e a superposicao de duas ondas, a saber, a
funcao f(x + ct) e a chamada onda regressiva, e f(x � ct) e a onda progressiva. Para
fixarmos esta ideia, vejamos o exemplo a seguir.
Exemplo 2.1. Consideremos c = 1 e f(x) = �|x| + 1, cujo o grafico esta na figura
seguinte.
51
2. Equacao da onda
Figura 2.9: grafico da f(x)Fonte: [2, p. 154]
Na Figura 2.9 vemos a onda no instante t = 0. Ela gera duas ondas: a regressiva,
que se locomove para a esquerda, a qual representaremos nas proximas figuras como
uma linha de tracos e pontos, e a onda progressiva, que se locomove para a direita,
representada apenas como uma linha tracejada.
A figura abaixo mostra as ondas regressiva e progressiva no instante t = 1
2
.
Figura 2.10: ondas regressiva e progressiva no instante t = 1
2
Fonte: [2, p. 154]
Para termos as superposicao u(x, t) das ondas no instante t = 1
2
, calculamos
* u para valores de x no intervalo
⇥�1
2
, 12
⇤
u
✓x,
1
2
◆=
1
2
f
✓x+
1
2
◆+ f
✓x� 1
2
◆�
=1
2
�����x+
1
2
����+ 1�����x� 1
2
����+ 1
�;
no intervalo⇥�1
2
, 12
⇤, temos x+ 1
2
e sempre positivo e x� 1
2
e sempre negativo, logo,
u
✓x,
1
2
◆=
1
2
�x� 1
2+ 1 + x� 1
2+ 1
�
=1
2.
* u para valores de x no intervalo [�3
2
,�1
2
]
52
2. Equacao da onda
Nesta regiao, temos apenas a influencia da onda regressiva f�x+ 1
2
�, pois, a onda
progressiva nao tem valores antes de x = �1
2
. Entao, concluımos que neste ponto a u
e dada por
u
✓x,
1
2
◆=
1
2
f
✓x+
1
2
◆�
=���x+ 1
2
��+ 1
2
=�x� 1
2
+ 1
2
= �x
2+
3
4.
* u para valores de x no intervalo
⇥1
2
, 32
⇤
Nesta regiao, temos apenas a influencia da onda progressiva f�x� 1
2
�, pois a onda
regressiva nao tem valores depois de x = 1
2
. Entao, concluımos que nestes pontos que
a u e dada por
u
✓x,
1
2
◆=
1
2
f
✓x� 1
2
◆�
=���x� 1
2
��+ 1
2
=+x� 1
2
+ 1
2
=x
2+
3
4.
Logo, temos que a superposicao u com t = 1
2
tem o grafico descrito pela imagem
abaixo.
Figura 2.11: u(x, 12
)Fonte: [2, p. 154]
Nas Figuras 2.12 e 2.14 vemos as ondas progressiva e regressiva viajando nos tempos
t = 1 e t = 2, respectivamente; ja nas Figuras 2.13 e 2.15, vemos as superposicoes u(x, 1)
e u(x, 2).
53
2. Equacao da onda
Figura 2.12: ondas regressiva e progressiva no instante t = 1Fonte: [2, p. 155]
Figura 2.13: u(x, 1)Fonte: [2, p. 155]
Figura 2.14: ondas regressiva e progressiva no instante t = 2Fonte: [2, p. 155]
Figura 2.15: u(x, 2)Fonte: [2, p. 155]
Observacao 2.1. Ao vermos este exemplo, notamos um fenomeno interessante, a
saber, ao fixarmos um ponto x longe da perturbacao inicial, observamos que esta
demora um certo tempo para atingir o ponto x fixado, quando o atinge, o perturba por
um certo momento e em seguida passa por ele, deixando-o em repouso para sempre.
Esse fato e intrısseco a ondas unidimensionais e tridimensionais, as ondas sonoras no
espaco R3, por exemplo, e e denominado de fenomeno de Huyghens.
54
2. Equacao da onda
A expressao u dada na formula de D’Alembert em (2.63) define
realmente uma solucao para o problema de Cauchy?
No teorema 2.4, ja tınhamos como hipotese a existencia de solucao da equacao da
onda, e a partir deste fato, asseguramos que a equacao possuıa uma solucao geral. No
processo de obtencao da formula de D’Alembert na subsecao 2.10.2, tambem foi admi-
tido que tal solucao existia. Portanto, a pergunta que fizemos no tıtulo desta subsecao
e bastante pertinente. Logo, devemos olhar para u em (2.63) como um candidato a
solucao do problema de Cauchy descrito em (2.56).
Em primeiro lugar, devemos verificar se (2.63) satisfaz as condicoes iniciais de (2.56).
u(x, 0) =1
2[f(x) + f(x)] +
1
2c
Zx
x
g(s)ds
=1
2[f(x) + f(x)]
= f(x).
Vimos acima que a condicao inicial u(x, 0) = f(x) e satisfeita; vejamos agora a outra
condicao, tendo (2.63) como
u(x, t) =1
2[f(x+ ct) + f(x� ct)] +
1
2c
Zx+ct
0
g(s)ds�Z
x�ct
0
g(s)ds.
Entao, usando o teorema fundamental do calculo e a regra da cadeia, derivando com
relacao a t, obtemos
ut
(x, t) =1
2[cf 0(x+ ct)� cf 0(x� ct)] +
1
2c[cg(x+ ct) + cg(x� ct)],
daı,
ut
(x, 0) =1
2[cf 0(x)� cf 0(x)] +
1
2c[2g(x)c]
= g(x),
portanto, ut
(x, t) = g(x).
Mas para isto devemos impor hipoteses: e necessario que f seja C2 e g seja de classe
C1; deste modo, derivando (2.63), teremos
utt
=1
2[c2f 00(x+ ct)� c2f 00(x� ct)] +
1
2c[2g0(x+ ct)c2]
e
uxx
=1
2[f 00(x+ ct)� f 00(x� ct)] +
1
2c[2g0(x+ ct)].
Assim, e facil ver que (2.63) satisfaz a equacao da onda utt
= c2uxx
.
55
2. Equacao da onda
Sob tais condicoes dizemos que a funcao (2.63) e de classe C2 em todo plano (x, t),
e dizemos que e uma solucao estrita. Para termos o problema de Cauchy (2.56) com os
dados iniciais, f e g, nao diferenciaveis ou ate mesmo descontınuos, temos que ampliar
o nosso conceito de solucao. Assim, consideramos as solucoes generalizadas de Sobolev.
No entanto, estas nao serao abordadas neste trabalho.
2.10.5 A integral da energia
Suponhamos que os dados iniciais f e g do problema de Cauchy (2.56) sejam tais
que, para cada t � 0, u(x, t) e todas as suas derivadas ate segunda ordem, sejam
de quadrado integravel como funcao de x em R. Isto ocorre se f e g satisfizerem as
condicoes que impomos na subsecao anterior e, alem disso, se ambas tiverem suporte
compacto, o que quer dizer que elas se anulam fora de um intervalo [a, b]. Entao,
multiplicando a equacao da onda por ut
, temos
utt
ut
= c2uxx
ut
,
usando a regra do produto (ux
ut
)x
= uxx
ut
+ ux
uxt
, temos
1
2(u2
t
)t
= c2[(ux
ut
)x
� ux
uxt
],
que podemos reescrever como
1
2(u2
t
)t
+c2
2(u2
x
)t
= c2(ux
ut
)x
.
Integrando a expressao acima com relacao a x de�1 a1, e supondo que limx!±1 u
x
ut
=
0, temos Z 1
�1
@
@t
✓1
2u2
t
+c2
2u2
x
◆dx = c2
Z 1
�1
@
@x(u
x
ut
)dx,
Usando a definicao de integral no infinito no segundo membro da expressao acima
temos. Z 1
�1
@
@t
✓1
2u2
t
+c2
2u2
x
◆dx = lim
r!1
Zr
�r
@
@x(u
x
ut
)dx.
Usando o teorema fundamental do calculo, obtemos
Z 1
�1
@
@t
✓1
2u2
t
+c2
2u2
x
◆dx = lim
r!1[u
x
(r, t)ut
(r, t)� ux
(�r, t)ut
(�r, t)],
56
2. Equacao da onda
e como estamos supondo limx!±1 u
x
ut
= 0, conseguimos que
Z 1
�1
@
@t
✓1
2u2
t
+c2
2u2
x
◆dx = 0.
Finalmente, utilizando o teorema de Leibniz, [6, Teorema 3 p. 66],
@
@t
Z 1
�1
1
2u2
t
+c2
2u2
x
dx = 0. (2.67)
A integral em (2.67) e chamada integral da energia e ela nos diz que a energia, e
constante. Logo,
Z 1
�1
1
2ut
(x, t)2 +c2
2ux
(x, t)2�dx =
Z 1
�1
1
2g(x)2 +
c2
2f 0(x)2
�dx (2.68)
a relacao em (2.68) expressa conservacao de energia, pois diz que a integral de energia
em qualquer tempo e igual a do tempo inicial, t = 0.
2.10.6 Unicidade de solucao estrita do problema de Cauchy
Suponhamos que f e g sejam de classe C2 e C1, respectivamente, e ambas tenham
suporte compacto. Se o problema (2.56) tiver duas solucoes, u1
e u2
, entao u = u1
�u2
tera condicoes iniciais identicamente nulas, pois as condicoes iniciais de u1
sao iguais
as de u2
, alem disto, u satisfaz as condicoes necessarias para a aplicacao da relacao
(2.68). Logo, ut
(x, t) = ux
(x, t) = 0, mostra que u(x, t) = constante. Como u se anula
para t = 0, devemos ter que u ⌘ 0, e daı concluımos que u1
= u2
, ou seja, a unicidade
de solucao.
2.10.7 Continuidade da solucao do problema de Cauchy com
os dados iniciais
Suponhamos que o probema de Cauchy com dois conjuntos diferentes de dados inici-
ais, {f1
, g1
} e {f2
, g2
}. Iremos supor, tambem, que estes dados tenham as propriedades
necessarias que permitam a elaboracao da equacao de energia.
Seja u1 a solucao do problema de Cauchy que satisfaz o primeiro conjunto de dados
iniciais {f1
, g1
}, e seja u2 a solucao para o segundo conjunto de dados iniciais {f2
, g2
}.Aplicando a relacao (2.68) a diferenca dessas solucoes, conseguimos
Z+1
�1
1
2|u1
t
� u2
t
|2 + c2
2|u1
x
� u2
x
|2�dx =
Z+1
�1
1
2|g
1
� g2
|2 + c2
2|f 0
1
� f 02
|2�dx. (2.69)
57
2. Equacao da onda
Logo, ao observarmos a relacao (2.69), concluımos que se os dados iniciais estiverem
perto, de modo que a integral do segundo membro se torne pequena, entao as solucoes
do problema de Cauchy estarao perto, pois a energia da diferenca das solucoes, repre-
sentada no primeiro membro, tambem sera pequena.
2.10.8 O problema de Cauchy nao-homogeneo
Este problema consiste na determinacao de uma solucao u(x, t) do problema
8>>><
>>>:
utt
= c2uxx
+ h(x, t), �1 < x < +1, t > 0
u(x, 0) = f(x), �1 < x < +1
ut
(x, 0) = g(x), �1 < x < +1
(2.70)
onde h, f e g sao funcoes dadas.
Como c e constante, sem perda de generalidade, vamos supor c = 1, o que pode ser
feito a partir da mudanca de variavel y = cx.
O valor de u no ponto A = (x, t) pode ser obtido atraves da aplicacao do Teorema da
divergencia de Gauss na regiao triangular ⌦, orientada no sentido anti-horario, limitada
pelo eixo x e pelas retas caracterısticas que tem origem no ponto (x, t). Observe a figura
abaixo, que representa esta situacao:
Figura 2.16: Representacao da regiao ⌦Fonte: [2, p. 159]
Os vetores normais unitarios exteriores aos lados, CA, AB e BC da fronteira de ⌦,
sao, respectivamente, ~nCA
=⇣
1p2
, 1p2
⌘, ~n
AB
=⇣� 1p
2
, 1p2
⌘e ~n
BC
= (0,�1).
Portanto, aplicando o teorema da divergencia de Gauss a funcao vetorial �(x, t) =
(�ux
, ut
), obtemos
Z Z
⌦
div�dxdt =
ZA
C
� · ~nCA
ds+
ZB
A
� · ~nAB
ds+
ZC
B
� · ~nBC
ds,
Z Z
⌦
(utt
� uxx
)dxdt =1p2
ZA
C
(�ux
+ ut
)ds+1p2
ZB
A
(ux
+ ut
)ds�Z
C
B
ut
ds.
58
2. Equacao da onda
Como a funcao u e de classe C2, temos que a sua derivada parcial na direcao do
vetor unitario�!CA e dada por
@u
@�!CA
= ru ·�!CA =1p2(�u
x
+ ut
).
Analogamente, 1p2
(ux
+ ut
) e a derivada direcional de u na direcao�!BA. Daı,
Z Z
⌦
(utt
� uxx
)dxdt =
ZA
C
@u
@�!CA
(s, t)ds+
ZB
A
@u
@�!AB
(s, t)ds�Z
C
B
ut
(s, 0)ds,
ou seja,
Z Z
⌦
(utt
� uxx
)dxdt = u(x, t)� u(x+ t, 0) + u(x, t)� u(x� t, 0)�Z
x+t
x�t
ut
(s, 0)ds.
Finalmente, aplicando os dados iniciais do problema (2.70) na expressao anterior,
obtemos
Z Z
⌦
h(x, t)dxdt = 2u(x, t)� f(x+ ct)� f(x� ct)�Z
x+t
x�t
g(s)ds,
que nos da a solucao para o problema de Cauchy nao-homogeneo, representada pela
equacao abaixo:
u(x, t) =f(x+ ct) + f(x� ct)
2+
1
2
Zx+t
x�t
g(s)ds+
Z Z
⌦
h(x, t)dxdt. (2.71)
2.11 A corda semi-infinita
Como foi visto no teorema 2.4, existe uma solucao geral para a equacao da onda,
que e da forma
u(x, t) = F (x+ ct) +G(x� ct).
Utilizaremos este fato para resolvermos o PV IF para a corda semi-infinita, dado por
8>>><
>>>:
utt
= c2uxx
, x > 0 e t > 0
u(0, t) = h(t), t > 0
u(x, 0) = f(x) e ut
(x, 0) = g(x), x > 0
, (2.72)
onde f , g e h sao funcoes dadas; posteriormente, falaremos das hipoteses que devemos
impor sobre a regularidade destas funcoes.
A resolucao do problema (2.72) consiste na determinacao de funcoes F e G em
59
2. Equacao da onda
(2.57) de modo que u satisfaca as condicoes iniciais e de fronteira acima.
Partindo das condicoes iniciais de (2.72), temos que:
u(x, 0) = f(x) ) F (x) +G(x) = f(x); x > 0
ut
(x, 0) = g(x) ) cF 0(x)� cG0(x) = g(x); x > 0.
Usando as expressoes acima, e fazendo um calculo analogo ao que foi feito na obtencao
da formula de D’Alembert, temos
F (x) =1
2f(x) +
1
2c
Zx
0
g(s)ds+K; x > 0,
e
G(x) =1
2f(x)� 1
2c
Zx
0
g(s)ds�K; x > 0,
onde K e uma constante.
Perceba que para escrevermos a solucao u(x, t) = F (x + ct) + G(x � ct) devemos
saber quem e G quando x � ct < 0. Para isto, vamos usar a condicao de fronteira do
PV IF (2.72), que nos fornece a seguinte implicacao:
u(0, t) = h(t) ) F (ct)�G(�ct) = h(t), t > 0;
donde fazendo a mudanca de variavel y = ct, obtemos
G(�y) = h⇣yc
⌘� F (y),
que podemos escrever como
G(�y) = h⇣yc
⌘� 1
2f(y)� 1
2c
Zy
0
g(s)ds�K.
Finalmente, podemos apresentar a solucao u(x, t) do PV IF (2.72), que sera dada
por duas expressoes diferentes, dependendo do ponto (x, t) esta na regiao x � ct � 0
ou x� ct < 0.
u(x, t) =
(f(x+ct)+f(x�ct)
2
+ 1
2c
Rx+ct
x�ct
g(s)ds, se x� ct � 0f(ct+x)�f(ct�x)
2
+ 1
2c
Rct+x
ct�x
g(s)ds+ h�ct�x
c
�, se x� ct < 0
(2.73)
2.11.1 Comentarios a respeito de (2.73)
i) Notemos que se o ponto (x, t) estiver abaixo da caracterıstica x�ct = 0, o valor de u
sera como se a corda fosse infinita, pois teremos em (2.73) que a solucao sera a formula
60
2. Equacao da onda
de D’Alembert nessa regiao. Podemos dizer, entao, que, o ponto x ”nao percebe”o fato
de que a corda e limitada a esquerda, a nao ser apos um tempo t = x
c
.
Figura 2.17: Representacao geometricaFonte: [2, p. 161]
ii) Se o ponto (x, t) estiver na regiao x � ct < 0, observemos que, na figura acima, a
reta caracterıstica que sai de (x, t) toca o eixo t no ponto t � x
c
, reflete, e em seguida
toca o eixo x no ponto ct � x. Na realidade, devemos olhar esse trajeto no sentido
oposto, como um sinal emanando do ponto (ct� x, 0), que se propaga para a esquerda
com velocidade c, onde encontra a extremidade da corda, e daı se reflete e encontra
o ponto (x, t); a formula da solucao nos diz que nesta reflexao ha uma troca de sinal:
f(ct� x) passa a ser �f(ct� x).
Observemos tambem que ha uma producao de sinais na extremidade da corda que
se propagam para a direita, com velocidade de propagacao c. Assim, no instante t� x
c
temos, pela condicao u(0, t) = h(t),um sinal se intensidade h(t � x
c
), que tambem vai
aparecer na composicao da solucao u no instante (x, t).
Teorema 2.5. Quando h(t) = 0 o problema (2.72) e redutıvel ao problema da corda
infinita.
Demonstracao. Consideremos o PV IF
utt
= c2uxx
, �1 < x < +1, t > 0
u(x, 0) = f(x) e ut
(x, 0) = g(x),
onde f(x) e a extensao de f para x < 0, de modo que f(x) e g(x) sejam funcoes
ımpares. Usando a formula de D’Alembert, como ela satisfaz as condicoes iniciais de
(2.72), basta mostrar que u(0, t) = 0. Com efeito,
u(0, t) =1
2[f(ct) + f(�ct)] +
1
2c
Zct
�ct
g(s)ds,
61
2. Equacao da onda
e como f e g sao extensoes ımpares de f e g segue que u(0, t) = 0. Isso nos mostra que
a solucao do problema de Cauchy e a mesma solucao para o PV IF (2.72).
Observacao 2.2. Se f e g forem de classe C2 e C1, respectivamente, entao a solucao
u(x, t) sera de classe C2 em x > 0 e t > 0. Para que a funcao u(x, t) seja contınua em
� 0 e t � 0, devemos ter que h(0) = f(0).
62
Referencias Bibliograficas
[1] Boyce W. E. & Diprima R. C., Elementary Di↵erential Equations and Bourd-
nary Value Problems, John Wiley & sons, 3o Ed.
[2] Figueiredo D.G., Analise de Fourier e equacoes diferenciais parciais, IMPA, 4o
Ed., Rio de Janeiro, 2012.
[3] Halliday D.; Resnick R.; Walker J., Fundamentos da Fısica: gravitacao,
ondas e termodinamica, volume 2, LTC, 8o Ed., 2009.
[4] Iorio V., EDP Um Curso de Graduacao, IMPA, 4� Ed., Rio de Janeiro, 2016.
[5] Lima E.L., Analise Real, volume 1, IMPA, 12o Ed., Rio de Janeiro, 2016.
[6] Lima E.L., Analise Real, volume 2, IMPA, 6o Ed., Rio de Janeiro, 2016.
[7] Medeiros L.A., Iniciacao as Equacoes Diferenciais Parciais, LTC, 1o Ed., Rio
de Janeiro, 1978.
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![TOPICOS· DE EQUAC‚ OESŸ DIFERENCIAIS - uft.edu.br · Prefacio· Este e· um texto alternativo ao excelente livro Boyce-DiPrima [1] para uma disciplina introdutoria· sobre Equac‚oesŸ](https://img.document.onl/doc/110x75/5c171ab009d3f2fa588b57f7/topicos-de-equac-oesy-diferenciais-uftedubr-prefacio-este-e-um.jpg)
